2020-2021学年北师大版初二数学上册难点突破14一次函数在实际应用中的最值问题

专题18 一次函数中的待定系数法求解析式1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2（1）求k的值；（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝＝，∴k＝．（2）如图，∵tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°，∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°，∴∠AQP＝30°，∴AQ＝2AP＝2t，当0＜t＜时，S＝•OQ•P y＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．当t＞时，S＝OQ•P y＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），∴2t﹣1+2＝（﹣），∴2t+1＝•，∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，∴3t2﹣11t+6＝0，解得t＝3或（舍弃），∴P（，），Q（5，0），设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，∴D（3，5），把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，﹣3+b＝5，b＝8，∴y＝﹣x+8，当y＝0时，x+2＝0，x＝﹣2，∴C（﹣2，0），如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，解得：，∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，∴P（0，﹣10）；（2）分三种情况：①当AP＝AM时，如图2，由（1）知：OP＝10，由勾股定理得：AP＝＝2，∵AB＝8，∴BM＝AB+AM＝8+2；同理得：BM1＝2﹣8；②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，∵PB＝18，∴BN＝＝9，∵AB＝8，∴AN＝9﹣8＝，∵AP＝PM，PN⊥AM，∴AM＝2AN＝2，∴BM＝8+2＝10；③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，∵AN＝，PN＝9，设MN＝x，则PM＝AN＝x+，由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，，解得：x＝40，∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．3、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式．（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．解：（1）当x＝0时，y＝3，∴A（0，3）．令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，∴B（﹣1，0）．设OC＝x，则AC＝BC＝x+1．在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2，即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，∴C（4，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，∴F为DG的中点．∴FG＝DF．∵在△BGF和△HDF中，，∴△BGF≌△HDF（ASA）．∴HD＝BG．∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC．∵HD∥CG，∴∠AHD＝∠ABC，∴∠HAD＝∠AHD．∴AD＝DH，∴AD＝BG．（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，∵CB＝CA，CH⊥AB，∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，∵∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠BCH，∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，∴∠BCA＝2∠BAO．又∵∠AFD＝2∠BAO，∴∠AFD＝∠BCA．又∵∠FAD＝∠BAC，∴△FAD∽△CAB，∴AF＝DF．又∵GF＝FD，∴△GAD为直角三角形．∴OG•OC＝OA2，∴OG＝．∴G（﹣，0）．∴AD＝BG＝．Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，∴AC＝5，∵DM∥OA，∴，即，OM＝1，当x＝1时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝，∴D（1，）．4、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线AM的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当x＝0时，y＝8，∴B（0，8），当y＝0时，﹣x+8＝0，x＝6，∴A（6，0）；（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝10，由折叠得：AB＝AB'＝10，∴OB'＝10﹣6＝4，设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，a＝3，∴M（0，3），设AM：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图∵M（0，3），B′（﹣4，0），∴B′M＝5，当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；当B′M＝PM时，P3（4，0），当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，∴P4B′＝，∴OP4＝4﹣＝，∴P4（﹣，0），综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+3的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（2，0）．（1）求k的值；（2）已知点Q在第四象限，且到两坐标轴距离相等，若△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，求点Q的坐标．解：（1）∵点A（2，0）在一次函数y＝kx+3上，∴0＝2k+3，得k＝﹣1.5，即k的值是﹣1.5；（2）∵k＝﹣1.5，∴一次函数解析式为y＝﹣1.5x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点B的坐标为（2，0），∴OB＝3，∵点A（2，0），∴OA＝2，∴△AOB的面积是＝＝3，又∵△AOB的面积是△AOQ面积的2倍，∴△AOQ的面积是1.5，设点Q的坐标为（a，﹣a），∴1.5＝，得a＝1.5，∴点Q的坐标为（1.5，﹣1.5）．6、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC 时，求点P的坐标．解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，设P（a，﹣a），∵PQ∥x轴，∴Q（﹣a﹣7，﹣a），∴PQ＝|a+7|，∵C（﹣3，4），∴OC＝5，∴PQ＝OC＝14，∴|a+7|＝14，∴a＝3或a＝﹣9，∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B；直线y═x+6过点B和点C，且AC⊥x轴．点M从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点O运动，同时点N 从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AC向点C运动，当点M到达点O时，点M、N同时停止运动，设点M运动的时间为t（秒），连接MN．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式及点C的坐标；（2）当MN⊥x轴时，求t的值；（3）MN与AB交于点D，连接CD，在点M、N运动过程中，线段CD的长度是否变化？如果变化，请直接写出线段CD长度变化的范围；如果不变化，请直接写出线段CD的长度．解：（1）⊥AC⊥x轴，点A（5，0），⊥点C的横坐标为5，对于y═x+6，当x＝5时，y＝×5+6＝10，对于x＝0，y＝6，⊥点C的坐标为（5，10），点B的坐标为（0，6），直线y＝kx+b与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点B（0，6），则，解得，，⊥直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，综上所述，直线y＝kx+b的函数表达式为y＝﹣x+6，点C的坐标为（5，10）；（2）由题意得，BM＝2t，AN＝3t，⊥OM＝6﹣2t，⊥OM⊥AN，MN⊥x轴，⊥四边形MOAN为平行四边形，⊥OM＝AN，⊥6﹣2t＝3t，解得，t＝，⊥当MN⊥x轴时，t＝；（3）线段CD的长度不变化，理由如下：过点D作EF⊥x轴，交OB于E，交AC于F，⊥EF⊥x轴，BM⊥AN，⊥AOE＝90°，⊥四边形EOAF为矩形，⊥EF＝OA＝5，EO＝F A，⊥BM⊥AN，⊥⊥BDM⊥⊥ADN，⊥＝＝，⊥EF＝5，⊥DE＝2，DF＝3，⊥BM⊥AN，⊥⊥BDE⊥⊥ADF，⊥＝＝，⊥＝，⊥OB＝6，⊥EO＝F A＝，⊥CF＝AC﹣F A＝，⊥CD＝＝．8、如图，直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，直线y＝x+3交y轴于点C，两直线相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，过点A作AE⊥y轴交直线y＝x+3于点E，连接AC，BE．求证：四边形ACBE是菱形；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在线段BC上，点G在线段AB上，连接CG，FG，当CG＝FG，且⊥CGF＝⊥ABC时，求点G的坐标．解：（1）根据题意可得：，解得：⊥点D坐标（2，4）（2）⊥直线y＝﹣2x+8分别交x轴，y轴于点A，B，⊥点B（0，8），点A（4，0），⊥直线y＝x+3交y轴于点C，⊥点C（0，3），⊥AE⊥y轴交直线y＝x+3于点E，⊥点E（4，5）⊥点B（0，8），点A（4，0），点C（0，3），点E（4，5），⊥BC＝5，AE＝5，AC＝＝5，BE＝＝5，⊥BC＝AE＝AC＝BE，⊥四边形ACBE是菱形；（3）⊥BC＝AC，⊥⊥ABC＝⊥CAB，⊥⊥CGF＝⊥ABC，⊥AGF＝⊥ABC+⊥BFG＝⊥AGC+⊥CGF⊥⊥AGC＝⊥BFG，且FG＝CG，⊥ABC＝⊥CAB，⊥⊥ACG⊥⊥BGF（AAS）⊥BG＝AC＝5，设点G（a，﹣2a+8），⊥（﹣2a+8﹣8）2+（a﹣0）2＝52，⊥a＝±，⊥点G在线段AB上⊥a＝，⊥点G（，8﹣2）9、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B（﹣4，3）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）点P是线段AB上的一点，当S⊥AOP：S⊥AOB＝2：3时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°，点B落在点C处，连结CP，求⊥APC 的面积，并直接写出点C的坐标．解：（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，⊥点A（2，0），点B（﹣4，3），⊥，解得：，⊥直线AB的函数表达式为y＝﹣x+1；（2）过B作BE⊥x轴于E，过P作PD⊥x轴于D，。

【问题】四、如何利用一次函数图像信息解决实际问题？
难易度：★★★★
关键词：解决问题
答案：
根据函数图像判断函数类型，确定关系式；理解函数图像上的点的坐标的实际意义。

【举一反三】
典题：由于持续的高温，某水库的蓄水量随时间的增加而减少。

干旱持续时间t （天）与蓄水量V的关系如图，回答
下列问题：
（1）干旱持续20天，蓄水量是
多少？（2）持续干旱多少天这个水
库干涸？
思路导引：通过图像观察得到相
关信息，确定函数关系式，再根据要
求得出结论。

标准答案：解：设一次函数的表
达式为V=kt+b，由图像经过点
（0,1200）和（10,1000），得
b=1200，k=-20，所以次函数表达式为：V=-20t+1200.当x=20时，V=800（万立方米）；当水库干涸时，V=0，得-20t+1200=0，t=60，所以持续干旱60天，这个水库干涸。

1。

专题14一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等．1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30m 时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出：①甲队在 0≤x≤6 的时段内，y与x之间的函数关系式；②乙队在 2≤x≤6 的时段内，y与x之间的函数关系式．(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m 时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在 0≤x≤6 的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k x(k ≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k＝60，1 1 1解得k＝10，∴y＝10x.设乙队在 2≤x≤6 的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k x＋b(k ≠0)，由图可知，函1 2 2数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k x＋b，求出k＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，2 2解得x＝4(h)．解：(1)210(2)①y＝10x.②y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x k m，应付给个体车主的月费用为y元，应付给国有出租车公司的月费用是y元，y，y分别1 2 1 2与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y＞y；0＜x＜1 5002 1时，y＜y.解：观察图象，得：2 1(1)每月行驶的路程小于1 500 km 时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km 时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算．析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．3、某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y(L) 与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图．请你根据这些信息求A 型车在实验中的速度.行驶时间t(h)0 1 2 3油箱余油量y(L) 100 84 68 52分析：考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力．解法一：∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，∴可设关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由图象可知y＝kx＋b经过两点(0,100)和(500,20)，则有b＝100,20＝500k＋b.425把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－.4∴直线的解析式为y＝－x＋100.25当y＝100时，x＝0；当y＝84时，x＝100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km.∴A 型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A 型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知：A 型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16L 所行驶的路程为x k m，则500∶80＝x∶16，解得x＝100.∴A 型汽车1 h行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解．A、B A A两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比B发电厂多发 40 度电，焚烧 20 吨垃圾比B焚烧3、有30 吨垃圾少 1800 度电.A（1）求焚烧 1 吨垃圾，和B各发多少度电？A、B A A两个发电厂共焚烧 90 吨垃圾，焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求厂和B厂总发电（2）量的最大值.【答案】（1）焚烧 1 吨垃圾，发电厂发电 300 度，B发电厂发电 260 度；（2）当yA x60时，取最大值25800 度.【详解】（1）设焚烧 1 吨垃圾， 发电厂发电a 度， 发电厂发电 度，则A B b a b 40 a 300 ，解得： 30b 20a 1800b 260 答：焚烧 1 吨垃圾， A 发电厂发电 300 度， 发电厂发电 260 度.B90 x y 吨，总发电量为 度，则（2）设 A 发电厂焚烧 x 吨垃圾，则 发电厂焚烧 B y 300x 260(90 x) 40x 23400x 2(90 x)∵ 60∵ x y ∵ 随 x 的增大而增大60 y ∵当 x 时， 取最大值 25800 度.4、学校计划为“我和我的祖国”演 讲比赛购买奖品．已知购买3 个 A 奖品和 2 个 B 奖品共需 120 元；购买5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．（1）求 A ，B 两种奖品的单价；1 （2）学校准备购买 A ，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B 奖品数量的 ．请设计出最省钱的 3购买方案，并说明理由．【答案】（1）A 的单价 30 元，B 的单价 15 元（2）购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少【详解】解：（1）设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，根据题意，得3x 2y 120 5x 4y 210 ， x 30 ， y 15 A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；（2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为(30 z )个，购买奖品的花费为 W 元，1(30z)由题意可知，z，315z ，2W30z15(30z)45015z ，=8当z时，W 有最小值为 570 元，即购买 A 奖品 8 个，购买 B 奖品 22 个，花费最少；5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩，已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5 元，小丽从该网店网购 2袋甲种口罩和 3 袋乙种口罩共花费 110 元．（1）改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元？（2）根据消费者需求，网店决定用不超过10000 元购进价、乙两种口罩共 500 袋，且甲种口罩的数量大于4乙种口罩的，已知甲种口罩每袋的进价为 22.4 元，乙种口罩每袋的进价为 18 元，请你帮助网店计算有几5种进货方案？若使网店获利最大，应该购进甲、乙两种口罩各多少袋，最大获利多少元？【答案】（1）该网店甲种口罩每袋的售价为 25 元，乙种口罩每袋的售价为 20 元；（2）该网店购进甲种口罩 227 袋，购进乙种口罩 273 袋时，获利最大，最大利润为 1136.2 元．【详解】x y 5解：（1）设该网店甲种口罩每袋的售价为x元，乙种口罩每袋的售价为y元，根据题意得：2x3y110，25x解这个方程组得：，故该网店甲种口罩每袋的售价为 25 元，乙种口罩每袋的售价为 20 元；20y4m(500m)5（2）设该网店购进甲种口罩m袋，购进乙种口罩（500﹣m）袋，根据题意得，22.4m18(500m)10000解这个不等式组得：222.2＜m≤227.3，因m为整数，故有 5 种进货方案，分别是：购进甲种口罩 223 袋，乙种口罩 277 袋；购进甲种口罩 224 袋，乙种口罩 276 袋；购进甲种口罩 225 袋，乙种口罩 275 袋；购进甲种口罩 226 袋，乙种口罩 274 袋；购进甲种口罩 227 袋，乙种口罩 273 袋；设网店获利w元，则有w=（25﹣22.4）m+（20﹣18）（500﹣m）=0.6m+1000，故当m=227 时，w最大，w=0.6×227+1000=1136.2（元），故该网店购进甲种口罩227袋，购进乙种口罩273袋时，获利最大，最大最大利润为1136.2元．6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．【详解】1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．（2）根据题意得：，解得：30≤t≤32，∵有三种购买方案：方案一：购买30件文化衫、15本相册；方案二：购买31件文化衫、14本相册；方案三：购买32件文化衫、13本相册．∵W=8t+900中W随x的增大而增大，∵当t=30时，W取最小值，此时用于拍照的费用最多，∵为了使拍照的资金更充足，应选择方案一：购买30件文化衫、15本相册．7、江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．（1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？（2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元．【详解】（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：．答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．（2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000．∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∵，解得：5≤m≤7，∵有三种不同方案．∵w=200m+4000中，200＞0，∵w值随m值的增大而增大，∵当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元．答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元．8、为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为 x（单位：个），请写出 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【答案】（1）购进篮球40个，排球20个；（2）y=5x+1200；（3）共有四种方案，方案1：购进篮球40个，排球20个；方案2：购进篮球41个，排球19个；方案3：购进篮球42个，排球18个；方案4：购进篮球43个，排球17个．最大利润为1415元．【详解】m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．m n 60m 40解：（1）设购进篮球 m 个，排球 n 个，根据题意得： ，解得： ． 80m 50n 4200n 20 答：购进篮球 40 个，排球 20 个．（2）设商店所获利润为y 元，购进篮球x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得：y =（105﹣80）x +（70 ﹣50）（60﹣x ）=5x +1200，∵y 与 x 之间的函数关系式为：y =5x +1200． 5x 1200 1400130 3（3）设购进篮球 x 个，则购进排球（60﹣x ）个，根据题意得： ，解 得：40≤x ≤ ． 80x 50(60 x) 4300 ∵x 取整数，∵x =40，41，42，43，共有四种方案，方案1：购进篮球 40 个，排球 20 个；方案 2：购进篮球 41 个，排球 19 个；方案 3：购进篮球 42 个，排球 18 个；方案 4：购进篮球 43 个，排球 17 个． ∵在 y =5x +1200 中，k =5＞0，∵y 随 x 的增大而增大，∵当 x =43 时，可获得最大利润，最大利润为 5×43+1200=1415 元．9、为解决消费者停车难的问题，某商场新建一小型轿车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用 （包括设施维修费、管理人员工资等）为600 元，为制定合理的收费标准，该商场对每天轿车停放辆次（每 辆轿车每停放一次简称为“辆次”）与每辆轿车的收费情况进行调查，发现每辆次轿车的停车费定价不超过 10 元时，每天来此停放的轿车都为300 辆次；若每辆次轿车的停车费定价超过10 元，则每超过1 元，每天 来此停放的轿车就减少 12 辆次，设每辆次轿车的停车费 x 元（为便于结算，停车费 x 只取整数），此停车场 的日净收入为 y 元（日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出）回答下列问题：（1）∵当 x ≤10 时，y 与 x 的关系式为：∵当 x ＞10 时，y 与 x 的关系式为： ； ； （2）停车场能否实现 3000 元的日净收入？如能实现，求出每辆次轿车的停车费定价，如不能实现，请说 明理由；（3）该商场要求此停车场既要吸引顾客，使每天轿车停放的辆次较多，又要有最大的日净收入，按此要求， 每辆次轿车的停车费定价应定为多少元？此时最大日净收入是多少元？【答案】（1）∵y =300x ﹣600；∵y =﹣12x +420x ﹣600；（2）停车场能实现 3000 元的日净收入，每辆次轿车2 的停车费定价是 15 元或 20 元；（3）每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．【详解】(1)∵由题意得：y=300x ﹣600；∵由题意得：y=[300﹣12（x ﹣10）]x ﹣600， 即 y=﹣12x +420x ﹣600；2 (2)依题意有：﹣12x +420x ﹣600=3000， 解得 x =15，x =20．2 1 2故停车场能实现 3000元的日净收入，每辆次轿车的停车费定价是 15 元或 20 元；(3)、当 x ≤10 时，停车 300 辆次，最大日净收入 y=300×10﹣600=2400（元）；当 x ＞10 时，y=﹣12x +420x ﹣600=﹣12（x ﹣35x ）﹣600=﹣12（x ﹣17.5） +3075，2 2 2 ∵当 x=17.5 时，y 有最大值．但 x 只能取整数， ∵x 取 17 或 18．显然 x 取 17 时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072（元）．由上可得，每辆次轿车的停车费定价应定为 17 元，此时最大日净收入是 3072 元．10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2 箱 A 品种芒果和 3 箱 B 品种芒果，共花费 450 元；后又购买了 l 箱 A 品种芒果和 2 箱 B 品种芒果，共花费 275 元（每次两种芒果的售价都不变）．（1）问 A 品种芒果和 B 品种芒果的售价分别是每箱多少元？（2）现要购买两种芒果共 18 箱，要求 B 品种芒果的数量不少于 A 品种芒果数量的 2 倍，但不超过 A 品种 芒果数量的 4 倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．【答案】（1）A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元；（2）购买方案有：A 品种芒果 4 箱，B 品种芒果 14 箱；A 品种芒果 5 箱，B 品种芒果 13 箱；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；其中购 进 A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．【详解】2x 3y 450 x 2y 275 x 75 { { 解：（1）设 A 品种芒果箱 x 元 ，B 品种芒果为箱 y 元，根据题意得： 答：A 品种芒果售价为每箱 75 元，B 品种芒果售价为每箱 100 元．，解得： . y 10018 5（2）设 A 品种芒果 n 箱，总费用为 m 元 ，则 B 品种芒果 18﹣n 箱，∵18﹣n ≥2n 且 18﹣n ≤4n ，∵ ∵n 非负整数，∵n =4，5，6，相应的 18﹣n =14，13，12；≤n ≤6， ∵购买方案有：A 品种芒果 4 箱 ，B 品种芒果 14 箱 ；A 品种芒果 5 箱 ，B 品种芒果 13 箱 ；A 品种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱；∵所需费用 m 分别为：4×75+14×100=1700 元；5×75+13×100=1675 元；6×75+12×100=1650 元，∵购进 A 品 种芒果 6 箱，B 品种芒果 12 箱总费用最少．。

一次函数的应用课题复杂一次函数的应用课时安排共（1 ）课时课程标准课本93-94学习目标1．进一步提高识图能力，通过函数图象获取信息．2．能利用函数图象解决较复杂的实际问题．教学重点两个一次函数图象的应用．教学难点通过函数图象解决实际问题．教学方法合作交流法教学准备让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成．课前作业先自学课本94页教学过程教学环节课堂合作交流二次备课（修改人：）环节一思考：图4－10中，l1对应的一次函数y＝k1x＋b1中，k1和b1的实际意义各是什么？l2对应的一次函数y＝k2x＋b2中，k2和b2的实际意义各是什么？自学互研生成能力知识模块一两个一次函数图象在同一坐标系中的应用师生合作完成教材第94页例3的学习与探究．课中作业课本94页例4环典例讲解：例：某单位急需用车，但不准备买车，他们准备和一个个体车主或一节二xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付给国有出租车公司的月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系的图象(两条射线)如图所示，观察图象，回答下列问题．(1)分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；(2)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？(3)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(4)如果这个单位估计平均每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家的合算？课中作业课本95页例3环节三仿例：如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是( D )A．①②B．②③④C．②③D．①②③课中作业课本95页想一想课后作业设计：课本95页习题4.7（修改人：）感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。

2022-2023学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之一次函数的应用一．选择题（共5小题）1．（2021春•梁平区期末）张伟骑摩托车从甲地去乙地，李亮开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设张伟、李亮两人间的距离为s（单位：千米），张伟行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发3小时时，张伟和李亮同时到达终点；②张伟骑摩托车的速度为千米/小时；③李亮开汽车的速度为60千米/小时；④出发1.5小时时，李亮比张伟多行驶50千米；上述结论正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．②③④2．（2021春•双峰县期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2020秋•九龙坡区校级期末）一天，小明匀速去音乐教室练习钢琴，3分钟后，妈妈发现小明的钢琴书忘带了，于是立刻以每分钟75米的速度匀速去追小明，妈妈追上小明后立刻以她原来的速度返回家．小明拿到钢琴书后以原速的继续前行，妈妈到家时小明也到了音乐教室，两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到音乐教室的步行时间x （分）之间的关系如图所示，则小明家到音乐教室的路程为（）米．A．750B．770C．810D．8304．（2021春•沙河口区期末）为预防疫情传播，学校对教室定期喷药消毒．如图为一次消毒中，某教室每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）的函数图象，它是由关闭门窗集中喷药，通风前和打开门窗后通风三段不同的一次函数组成的．在下面四个选项中，错误的是（）A．经过5min集中喷药，教室每立方米空气中含药量最高达到10mg/m3B．持续11min室内空气中的含药量不低于8mg/m3C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才有效杀灭病毒．由此判断此次消毒有效D．当室内空气中的含药量低于4mg/m3时，对人体是安全的．从室内空气中的含药量达到10mg/m3开始，需经过40min后学生才能进入室内5．（2021春•连山区期末）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②OA∥CD；③点D的坐标为（65，27500）；④图中a的值是，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共5小题）6．（2021春•兴国县期末）甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法其中正确的结论有．①A、B两地相距210千米；②甲车速度为60千米/小时；③乙车速度为120千米/小时；④乙车共行驶小时．7．（2021春•曾都区期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，其中C地位于A，B两地之间．甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象可得A，B两地之间的距离为km；当甲车出发h时，两车相距300km．8．（2021春•七星关区期末）周末王刚与同事相约去郊游．他骑自行车从家匀速出发，过一段时间他父亲发现他忘带了必需品，于是立即开车以一定的速度去追他并在中途追上，追上后父子简单交流了一会儿，随后王刚按原速度继续前往目的地而父亲按原速度返回家．如图大致刻画了王刚与他父亲离家的距离S（米）随时间t（分钟）的变化情况．结合图判断下列说法正确的是．（填序号）①王刚骑自行车的速度是每分钟300米；②王刚父亲用了5分钟追上他；③王刚父亲从离家到返回家共用了10分钟；④王刚家离目的地8.4千米；⑤王刚与他父亲交流的时间为2分钟．9．（2021春•海淀区校级期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水吨．10．（2020秋•九龙坡区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地千米．三．解答题（共5小题）11．（2021春•朝阳区期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，如图是小明在散步过程中离家的路程y（米）与离开家的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题．（1）小明散步的速度为米/分；（2）求小明回家过程中y与x之间的函数关系式；（3）在小明出发2分钟时，小亮从小明家出发，沿小明散步的路线以48米/分的速度去超市，直接写出小亮去超市途中与小明相遇的时间．12．（2021春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知某地C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点．从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D总计/tA200B x300总计/t240260500（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．13．（2021春•朝阳区校级期末）某地自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．（1）某月该单位用水3200吨，水费是元；若用水2800吨，水费是元；（2）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？14．（2021春•大安市期末）A城有肥料400吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡镇，从A城运往C、D两乡镇肥料费为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡镇运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨，C乡镇需要肥料340吨，D乡镇需要肥料360吨．设A城运往C乡镇x吨肥料，请解答下列问题：（1）根据题意，填写下列表格：城、乡/吨数C DA xB（2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）求怎样调运可使总运费最少？最少为多少元？15．（2021春•新城区校级期末）小明家、新华书店、学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又返回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的距离是米；小明在书店停留了分钟；（2）如果骑车的速度超过了300米/分就超越了安全限度，小明买到书后继续骑车到学校的这段时间的骑车速度在安全限度内吗？请说明理由；（3）请直接写出小明出发后多长时间离家的距离为900米？2022-2023学年上学期初中数学北师大版八年级期末必刷常考题之一次函数的应用参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021春•梁平区期末）张伟骑摩托车从甲地去乙地，李亮开汽车从乙地去甲地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设张伟、李亮两人间的距离为s（单位：千米），张伟行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发3小时时，张伟和李亮同时到达终点；②张伟骑摩托车的速度为千米/小时；③李亮开汽车的速度为60千米/小时；④出发1.5小时时，李亮比张伟多行驶50千米；上述结论正确的是（）A．①②B．③④C．②④D．②③④【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】据函数图象可知，甲地与乙地的距离为100千米，两车出发1小时时相遇，李亮出发1.5小时到达甲地，张伟出发3小时到达乙地，再根据路程，速度与时间的关系解答即可．【解答】解：由图象可得，在1.5小时时，李亮到达终点，张伟在3小时时到达终点，故①结论错误；张伟骑摩托车的速度为千米/小时，故②结论正确；李亮开汽车的速度为：100÷1.5＝千米/小时，故③结论错误；（千米），即出发1.5小时时，李亮比张伟多行驶50千米，故④结论正确，所以结论正确的是②④．故选：C．【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．2．（2021春•双峰县期末）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力；应用意识．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，乙车出发1.5小时后甲乙相遇，故①错误；两人相遇时，他们离开A地20km，故②正确；甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是km/h，故③正确；当乙车出发2小时时，两车相距：20+（2﹣1.5）×40﹣×2＝km，故④错误；故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．3．（2020秋•九龙坡区校级期末）一天，小明匀速去音乐教室练习钢琴，3分钟后，妈妈发现小明的钢琴书忘带了，于是立刻以每分钟75米的速度匀速去追小明，妈妈追上小明后立刻以她原来的速度返回家．小明拿到钢琴书后以原速的继续前行，妈妈到家时小明也到了音乐教室，两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到音乐教室的步行时间x （分）之间的关系如图所示，则小明家到音乐教室的路程为（）米．A．750B．770C．810D．830【考点】函数的图象；一次函数的应用．【专题】函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力．【分析】由图象可知：小明原来的速度：150÷3＝50（米/分），进而求出妈妈追上小明需要＝6（分钟），进而求出小明后来的速度是50×＝60（米/分），即的求出答案．【解答】解：由图象得：小明原来的速度：150÷3＝50（米/分），∵妈妈的速度是每分钟75米，∴妈妈追上小明需要＝6（分钟），妈妈按原速返回需要6分钟，小明后来的速度是50×＝60（米/分），∴小明家到音乐教室的路程是50×（3+6）+60×6＝810（米）．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的增减性的运用，读图能力；路程＝速度×时间之间的关系的运用，解答时熟悉并理解函数的图象．4．（2021春•沙河口区期末）为预防疫情传播，学校对教室定期喷药消毒．如图为一次消毒中，某教室每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）的函数图象，它是由关闭门窗集中喷药，通风前和打开门窗后通风三段不同的一次函数组成的．在下面四个选项中，错误的是（）A．经过5min集中喷药，教室每立方米空气中含药量最高达到10mg/m3B．持续11min室内空气中的含药量不低于8mg/m3C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才有效杀灭病毒．由此判断此次消毒有效D．当室内空气中的含药量低于4mg/m3时，对人体是安全的．从室内空气中的含药量达到10mg/m3开始，需经过40min后学生才能进入室内【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据图象分别求出三段一次函数的解析式即可判断．【解答】解：设三段一次函数的解析式为：y＝k1x，y＝k2x+b1，y＝k3x+b2，由图象可得，10＝5k1，，，解得k1＝2，，，∴三段函数的解析式为：y＝2x，y＝﹣x+11，y＝﹣x+，A通过图象可得，经过5min集中喷药，教室每立方米空气中含药量最高达到10mg/m3，故A正确；B将y＝8代入y＝2x得x＝4，15﹣4＝11，因此持续11min室内空气中的含药量不低于8mg/m3，故B正确；C将y＝5代入y＝2x得x＝，将y＝5代入y＝﹣x+得x＝45，45﹣＝42.5＞35，由此判断此次消毒有效，故C正确；D将y＝4代入y＝﹣x+得x＝55，55﹣5＝50，由此从室内空气中的含药量达到10mg/m3开始，需经过50min后学生才能进入室内，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据函数图形，利用待定系数法求出三段一次函数的解析式．5．（2021春•连山区期末）货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②OA∥CD；③点D的坐标为（65，27500）；④图中a的值是，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【解答】解：①由图象可知，当x＝10时，轿车开始出发；当x＝45时，轿车开始发生故障，则x＝45﹣5＝40（分钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，设货车，轿车的速度分别为m米/分，n米/分，根据题意，得，解得，所以货车的速度为1500米/分，故①正确；②由题意可知，OA段货车在行驶，轿车停止；CD段货车在行驶，轿车发生故障停止，则OA与x轴夹角和CD与x轴夹角相等，所以OA∥CD，故②正确；③轿车故障花了20分钟修好，由题意图象可知，B点时x＝45，此时轿车开始分钟故障，D点时轿车刚修好，即此时x＝45+20＝65，∴D点纵坐标为：（20﹣）×1500＝30000﹣2500＝27500，∴D点坐标为：（65，27500），故③正确；④在D点时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为：2000×＝1800（米/分），D点坐标为：（65，27500），到x＝a时轿车开始追赶货车直到两车相遇，∴（a﹣65）×（1800﹣1500）＝27500，解得a＝65+＝，即图中a的值是，故④正确．综上所述，正确的结论①②③④．故选：D．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．二．填空题（共5小题）6．（2021春•兴国县期末）甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法其中正确的结论有①②③．①A、B两地相距210千米；②甲车速度为60千米/小时；③乙车速度为120千米/小时；④乙车共行驶小时．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据题意和函数图象可以分别计算出各个小题中的结果，从而可以判断各小题是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可知，甲车的速度为：60÷1＝60千米/时，故②正确，则A、B两地的距离是：60×＝210（千米），故①正确，则乙的速度为：（60×2）÷（2﹣1）＝120千米/时，故③正确，乙车行驶的时间为：2﹣1＝1（小时），故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．7．（2021春•曾都区期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，其中C地位于A，B两地之间．甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象可得A，B两地之间的距离为480km；当甲车出发h时，两车相距300km．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据图象，可得A与C的距离等于B与C的距离，根据行驶路程与时间的关系，可得相应的速度，根据甲、乙的路程，可得方程，解方程可得答案．【解答】解：由题意，得AC＝BC＝240km，∴A，B两地之间的距离为480km；甲的速度240÷4＝60（km/h），乙的速度240÷3＝80（km/h）．设甲出发x小时甲乙相距300km，由题意，得：60x+80（x﹣1）+300＝240×2，解得x＝．故答案为：480；．【点评】本题考查了函数图象的应用，利用数形结合的方法找出等量关系是解题关键．8．（2021春•七星关区期末）周末王刚与同事相约去郊游．他骑自行车从家匀速出发，过一段时间他父亲发现他忘带了必需品，于是立即开车以一定的速度去追他并在中途追上，追上后父子简单交流了一会儿，随后王刚按原速度继续前往目的地而父亲按原速度返回家．如图大致刻画了王刚与他父亲离家的距离S（米）随时间t（分钟）的变化情况．结合图判断下列说法正确的是①②④⑤．（填序号）①王刚骑自行车的速度是每分钟300米；②王刚父亲用了5分钟追上他；③王刚父亲从离家到返回家共用了10分钟；④王刚家离目的地8.4千米；⑤王刚与他父亲交流的时间为2分钟．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】根据图象逐项判断即可．【解答】解：由图象知，王刚的速度为：3000÷10＝300（米/分），故①正确；王刚行驶4500米所用时间为：4500÷300＝15（分），由图象知，王刚父亲用了5分钟追上他，故②正确；∵王刚父亲返回时速度不变，∴王刚父亲返回家所用时间5分钟，即王刚父亲从离家到返回家共用了5+2+5＝12（分），故③错误；王刚30﹣17＝13分钟所走路成为：13×300＝3900（米），∴王刚家离目的地为4500+3900＝8400米＝8.4千米，故④正确；由图知，王刚与他父亲交流的时间为2分，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是根据图象所给信息进行判断．9．（2021春•海淀区校级期末）为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水3吨．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出相应的系数，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出．【解答】解：当x＜10时，设y＝kx，将点（10，22）代入可得：22＝10k，解得：k＝2.2，即可得：y＝2.2x，当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y＝ax+b（a≠0），当x＝10时，y＝22，当x＝20时，y＝57，将它们分别代入y＝ax+b中得：，解得：，那么y与x的函数关系式为：y＝3.5x﹣13，综上可得：y＝，当y＝29时，知道x＞10，将y＝29代入得29＝3.5x﹣13，解得x＝12，当y＝19.8时，知道x＜10，将y＝19.8代入得19.8＝2.2x，解得：x＝9，即可得四月份比三月份节约用水：12﹣9＝3（吨）．故答案为：3．【点评】本题考查了一次函数的应用：利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后运用一次函数的性质解决实际问题．也考查了观察函数图象的能力．10．（2020秋•九龙坡区期末）甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地100千米．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力．【分析】由图像可知甲车从A地到B地用了4小时，进而可知甲车的速度，得出A、B 两地的距离是300千米，可得乙车的速度，进而可得答案．【解答】解：由图像可知，甲车从A地到B地用了4小时，∵经过12小时后两车同时到达距A地300千米的C地，∴甲车从B地到C地用12﹣4＝8（小时），乙从B地到C地用了12小时，∴A、C两地的距离是300千米，甲车的速度是300÷（8﹣4）＝75（千米/时），∴A、B两地之间的距离是75×4＝300（千米），乙车的速度是300÷6＝50（千米/时），∴当甲车到达B地时，用时4小时，此时乙车距A地300﹣50×4＝100（千米）．故答案为：100．【点评】本题以行程问题为背景的函数图象的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得两车的速度．三．解答题（共5小题）11．（2021春•朝阳区期末）小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，如图是小明在散步过程中离家的路程y（米）与离开家的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题．（1）小明散步的速度为80米/分；（2）求小明回家过程中y与x之间的函数关系式；（3）在小明出发2分钟时，小亮从小明家出发，沿小明散步的路线以48米/分的速度去超市，直接写出小亮去超市途中与小明相遇的时间．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；应用意识．【分析】（1）由图象直接求出散步时的速度；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）分三种情况进行讨论即可．【解答】解：（1）由图象得：240÷3＝80（米/分），故答案为：80．（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b．由题意，得．解得．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣80x+1200．（3）①当小明在公共健身区域活动时，48（x﹣2）＝240，解得：x＝7；②小明到达超市之前，48（x﹣2）＝240+80（x﹣8），解得：x＝；③小明从超市返回时，400﹣80（x﹣10）＝48（x﹣2），解得：x＝．综上所述：当小明离家7分钟或分钟或分钟时，小亮与小明相遇．【点评】本题主要考查一次函数的应用以及一元一次方程的应用，关键是分情况讨论列出方程．12．（2021春•海淀区校级期末）某市A，B两个蔬菜基地得知某地C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点．从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．（1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；C D总计/tA240﹣x x﹣40200B x300﹣x300总计/t240260500（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案．【考点】一次函数的应用．【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以将表格补充完整，并写出两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的方程，然后求解即可；（2）根据题意和表格中的数据，可以得到w与x之间的函数关系式，然后求出x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到总运费最小的调运方案．【解答】解：（1）由题意可得，C D总计/tx﹣40 200A240﹣xB x300300﹣x总计/t24026050020（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x），解得x＝200，故答案为：240﹣x，x﹣40，300﹣x；答：两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值是200；（2）由题意可得，w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200，∴w随x的增大而增大，∵，∴40≤x≤240，∴当x＝40时，w取得最小值，此时w＝9280，240﹣x＝200，x﹣40＝0，300﹣x＝260，答：w与x之间的函数关系式是w＝2x+9200，总运费最小的调运方案是A地运往C灾民安置点200吨，运往D灾民安置点0吨，B地运往C灾民安置点40吨，运往D灾民安置点260吨．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．13．（2021春•朝阳区校级期末）某地自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．（1）某月该单位用水3200吨，水费是1660元；若用水2800吨，水费是1400元；（2）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式；（3）若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位这个月的用水量为多少吨？【考点】一次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）由2800≤3000，根据“水费＝每吨水费×用水量”即可算出此时水费；由3200＞3000，根据“水费＝3000×0.5+超出部分×0.8”即可算出此时水费；（2）分0≤x≤3000以及x＞3000来考虑，根据“水费＝每吨水费×用水量和水费＝3000×0.5+超出部分×0.8”即可得出y关于x的函数解析式；（3）根据用水3000吨的收费可知该单位本月用水量超过3000吨，故把1540代入y＝0.8x ﹣900求出x即可．【解答】解：（1）某月该单位用水3200吨，水费是：3000×0.5+（3200﹣3000）×0.8＝1660（元）；若用水2800吨，水费是：2800×0.5＝1400（元）．。

2020~2021学年北师大八年级数学上学期期末考点压轴集训：一次函数综合1．已知一次函数y ＝2x ﹣4的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数的图象上，P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1、d 2．（1）当P 为线段AB 的中点时，求d 1+d 2的值；（2）直接写出d 1+d 2的范围，并求当d 1+d 2＝3时点P 的坐标；（3）若在线段AB 上存在无数个P 点，使d 1+ad 2＝4（a 为常数），求a 的值．2．如图，直线l 1在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B （﹣3，3）也在直线l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上．（1）求点C 的坐标和直线l 1的解析式；（2）若将点C 先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D ，请你判断点D 是否在直线l 1上；（3）已知直线l 2：y ＝x +b 经过点B ，与y 轴交于点E ，求△ABE 的面积．3．已知直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．4．某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．5．如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC ＝2，求点C 的坐标．6．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休整后提速行驶至乙地．货车的路程y 1（km ），小轿车的路程y 2（km ）与时间x （h ）的对应关系如图所示．（1）甲乙两地相距多远？小轿车中途停留了多长时间？（2）①写出y 1与x 的函数关系式；②当x ≥5时，求y 2与x 的函数解析式；（3）货车出发多长时间与小轿车首次相遇？相遇时与甲地的距离是多少？7．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出点C的坐标．（3）当S△ABP8．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．9．某地出租车计费方法如图，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象解答下列问题：（1）该地出租车的起步价是元；（2）当x＞2时，求y与x之间的函数关系式；（3）若某乘客有一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车车费多少元？10．已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3；（1）若函数图象经过原点，求m的值；（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；（3）若函数的图象平行直线y＝3x﹣3，求m的值；（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．参考答案1．解：（1）对于一次函数y＝2x﹣4，令x＝0，得到y＝﹣4；令y＝0，得到x＝2，∴A（2，0），B（0，﹣4），∵P为AB的中点，∴P（1，﹣2），则d1+d2＝3；（2）①d1+d2≥2；②设P（m，2m﹣4），∴d1+d2＝|m|+|2m﹣4|，当0≤m≤2时，d1+d2＝m+4﹣2m＝4﹣m＝3，解得：m＝1，此时P1（1，﹣2）；当m＞2时，d1+d2＝m+2m﹣4＝3，解得：m＝，此时P2（，）；当m＜0时，不存在，综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）；（3）设P（m，2m﹣4），∴d1＝|2m﹣4|，d2＝|m|，∵P在线段AB上，∴0≤m≤2，∴d1＝4﹣2m，d2＝m，∵d1+ad2＝4，∴4﹣2m+am＝4，即（a﹣2）m＝0，∵有无数个点，即无数个解，∴a﹣2＝0，即a＝2．2．解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，∴﹣3+1＝﹣2，3﹣2＝1，∴C的坐标为（﹣2，1），的解析式为y＝kx+c，设直线l1上，∵点B、C在直线l1∴代入得：解得：k＝﹣2，c＝﹣3，的解析式为y＝﹣2x﹣3；∴直线l1（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），∴﹣2﹣3＝﹣5，1+6＝7，∴D的坐标为（﹣5，7），代入y＝﹣2x﹣3时，左边＝右边，上；即点D在直线l1（3）把B的坐标代入y＝x+b得：3＝﹣3+b，解得：b＝6，∴y＝x+6，∴E的坐标为（0，6），∵直线y＝﹣2x﹣3与y轴交于A点，∴A的坐标为（0，﹣3），∴AE＝6+3＝9，∵B（﹣3，3），∴△ABE的面积为×9×|﹣3|＝13.5．3．解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+5；（2）∵若直线y＝2x﹣4与直线AB相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．4．解：（1）由题意可得：银卡消费：y＝10x+150，普通消费：y＝20x；（2）由题意可得：当10x+150＝20x，解得：x＝15，则y＝300，故B（15，300），当y＝10x+150，x＝0时，y＝150，故A（0，150），当y＝10x+150＝600，解得：x＝45，则y＝600，故C（45，600）；（3）如图所示：由A，B，C的坐标可得：当0＜x＜15时，普通消费更划算；当x＝15时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，银卡消费更划算；当x＝45时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，金卡消费更划算．5．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2．（2）设点C的坐标为（x，y），∵S△BOC＝2，∴•2•x＝2，解得x＝2，∴y＝2×2﹣2＝2，∴点C的坐标是（2，2）．6．解：（1）由图可知，甲乙两地相距420km，小轿车中途停留了2小时；（2）①y1＝60x（0≤x≤7）；②当x＝5.75时，y1＝60×5.75＝345，x≥5时，设y2＝kx+b，∵y2的图象经过（5.75，345），（6.5，420），∴，解得：，∴x≥5时，y2＝100x﹣230；（3）x＝5时，有y2＝100×5﹣230＝270，即小轿车在3≤x≤5停车休整，离甲地270km，当x＝3时，y1＝180；x＝5时，y1＝300，∴货车在3≤x≤5时，会与小轿车相遇，即270＝60x，x＝4.5；当0＜x≤3时，小轿车的速度为270÷3＝90km/h，而货车速度为60km/h，故，货车在0＜x≤3时，不会与小轿车相遇，∴货车出发4.5小时后首次与小轿车相遇，距离甲地270km．7．解：（1）∵经过A（0，1），∴b＝1，∴直线AB的解析式是．当y＝0时，，解得x＝3，∴点B（3，0）．（2）过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM＝1，∵x＝1时，＝，P在点D 的上方，∴PD＝n﹣，由点B（3，0），可知点B到直线x＝1的距离为2，即△BDP的边PD上的高长为2，∴，∴；＝2时，，解得n＝2，（3）当S△ABP∴点P（1，2）．∵E（1，0），∴PE＝BE＝2，∴∠EPB＝∠EBP＝45°．第1种情况，如图1，∠CPB＝90°，BP＝PC，过点C作CN⊥直线x＝1于点N．∵∠CPB＝90°，∠EPB＝45°，∴∠NPC＝∠EPB＝45°．又∵∠CNP＝∠PEB＝90°，BP＝PC，∴△CNP≌△BEP，∴PN＝NC＝EB＝PE＝2，∴NE＝NP+PE＝2+2＝4，∴C（3，4）．第2种情况，如图2∠PBC＝90°，BP＝BC，过点C作CF⊥x轴于点F．∵∠PBC＝90°，∠EBP＝45°，∴∠CBF＝∠PBE＝45°．又∵∠CFB＝∠PEB＝90°，BC＝BP，∴△CBF≌△PBE．∴BF＝CF＝PE＝EB＝2，∴OF＝OB+BF＝3+2＝5，∴C（5，2）．第3种情况，如图3，∠PCB＝90°，CP＝CB，∴∠CPB＝∠EBP＝45°，在△PCB和△PEB中，，∴△PCB≌△PEB（SAS），∴PC＝CB＝PE＝EB＝2，∴C（3，2）．∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．8．解（1）∵A（8，0），∴OA＝8，S＝OA•|y|＝×8×（﹣x+10）＝﹣4x+40，（0＜x＜10）．P（2）当S＝10时，则﹣4x+40＝10，解得x＝，当x＝时，y＝﹣+10＝，∴当△OPA的面积为10时，点P的坐标为（，）．9．解：（1）该地出租车的起步价是7元；（2）设当x＞2时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，代入（2，7）、（4，10）得解得∴y与x的函数关系式为y＝x+4；（3）把x＝18代入函数关系式为y＝x+4得y＝×18+4＝31．答：这位乘客需付出租车车费31元．10．解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3＝0，且2m+1≠0，解得：m＝3；（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3＝﹣2，且2m+1≠0，解得：m＝1；（3）∵函数的图象平行直线y＝3x﹣3，∴2m+1＝3，解得：m＝1；（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得：m＜﹣．。