振动力学基础
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振动基础必学知识点
振动基础必学知识点
以下是振动基础必学的知识点：
1. 振动的定义：振动是物体围绕某个平衡位置来回周期性地运动。
2. 振动的周期和频率：振动的周期是振动一个完整循环所需要的时间，单位是秒；频率是单位时间内振动的次数，单位是赫兹。
它们之间有
以下关系：频率 = 1/周期。
3. 振动的幅度：振动的幅度是指物体离开平衡位置的最大距离。
4. 简谐振动：简谐振动是指物体在没有阻力的情况下，围绕平衡位置
做匀速往复运动的振动。
简谐振动的特点是周期恒定、频率固定且幅
度不断变化。
5. 谐振：谐振是指当外力作用频率与物体固有频率相同时，物体容易
发生共振现象，振幅会明显增大的现象。
6. 弹簧振子：弹簧振子是指一个质点通过与弹簧连接，形成一个可以
进行振动的系统。
弹簧振子的运动方程可以用简谐振动的方程表示。
7. 摆钟：摆钟是指一个由质点与一个固定的绳或杆连接，形成可以进
行振动的系统。
摆钟的运动方程可以用简谐振动的方程表示。
8. 声音的传播和振动：声音是由物体的振动引起的机械波。
声音的传
播需要介质的存在，并且介质中的分子通过相互振动来传递能量。
9. 波动的特征：波动的特征包括传播速度、波长、频率和振幅。
10. 波的类型：根据波动传播介质的性质，波可以分为机械波和电磁波两种类型。
以上是振动基础必学的知识点，掌握这些知识可以帮助理解振动和波动以及它们在不同物理现象中的应用。
振动力学基础
A=
y +
2 0
y = 0 .06 cos( 6 .4 t ) (m) v = − ω A sin ω t 速度方程： 速度方程： v = − 0 .384 sin( 6 . 4 t ) (m/s)
振动方程： 振动方程： 加速度方程： 加速度方程： a
2
ω
2 v0 2
= 0.06 ( m )
v0 = 0 ⇒ϕ = 0 tgϕ = − y0ω
2 x 2 = A cos( ω t + π ) 3
A2
2 π 3
x A o π 2π π ωt
x1 = A cos ω t
x3 = A cos( ω t −
o
A3
A1
π
2
t=0
)
↵
（四）谐振动的速度 加速度 （1）速度： ）速度： dx π v= = −ω A sin( ω t + ϕ ) = v m cos( ω t + ϕ + ) dt 2 （2）加速度： a = d x = −ω 2 A cos( ω t + ϕ ) ）加速度： 2
厘米， 例1： 一谐振动，已知振幅 A= 12 厘米，T= 2 秒 ： 一谐振动， t= 0 时，X= 6 厘米且朝 负向运动。求（1）初 厘米且朝X负向运动 负向运动。 ） 位相。（ 。（2） 位相。（ ）t =0.5 秒时 x, v, a。（3）当x= -6厘米 ） 厘米 和到平衡位置所需时间。 且朝负相运动时的 v, a 和到平衡位置所需时间。 解 (1) x = A cos(ωt + ϕ )
2
dt
a = −ω x
2
或
d x 2 = −ω x 2 dt
振动基础知识
振动基础知识精心整理基本概念和基础知识一、常见的工程物理量力、压力、应力、应变、位移、速度、加速度、转速等（一）力：力是物体间的相互作用，是一个广义的概念。
物体承受的力可以有加载力，也可以有动态力，我们常测试的力主要是动态力，即给结构施加力，激发结构的某些特性，便（四）振动速度：质量块在振荡过程中运动快慢的度量。
质量块在运动波形的上部和下部极限位置时，其速度为0，这是因为质量块在这两点处，在它改变运动方向之前，必须停下来。
质量块的振动速度在平衡位置处达到最大值，在此点处质量块已经加速到最大值，在此点以后质量块开始减速运动。
振动速度的单位是用mm/s来表示。
（五）振动加速度：被定义为振动速度的变化率，其单位是用有多少个m/s2或g来表示。
由下图可见加速度最大值处是速度值最小值的地方，在这些点处质量块由减速到停止然后再开始加速。
（六）转速：旋转机械的转动速度（七）简谐振动及振动三要素振动是一种运动形式――往复运动d＝Dsin（2πt/T＋Φ）DTfω和fωf将式（d振动三要素：振幅D、频率f和相位Φ（八）、表示振动的参数：位移、速度、加速度振动位移：d=Dsin tDπ)振动速度：v=Dωcosωt=Vsin(ωt+2V=Dω振动加速度：a=-Dω2sinωt=Asin(ωt+π)A＝-Dω2（九）振动三要素在工程振动中的意义1、振幅○振幅～物体动态运动或振动的幅度。
★振幅是振动强度和能量水平的标志，是评价机器运转状态优劣的主要指标。
即“有没有问题看振幅”。
○峰峰值、单峰值、有效值振幅的量值可以表示为峰峰值（pp）、单峰值（p）、有效值（rms）或平均值（ap）。
峰峰值是整个振动历程的最大值，即正峰与负峰之间的差值；单峰值是正峰或负峰的最大值；有效值即均方根值。
○振动位移、振动速度、振动加速度振幅分别用振动位移、振动速度、振动加速度值加以描述、度量，三者相互之间可以通过微分或积分进行换算。
在振动测量中，除特别注明外，习惯上：○振动位移的量值为峰峰值，单位是微米[μm]或毫米[mm]；○振动速度的量值为有效值（均方根值），单位是毫米/秒[mm/s]；○振动加速度的量值是单峰值，单位是米/秒平方[m/s2]或重力加速度[g]，1[g]=9.81[m/s2]。
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学基础
m 0.08 0.25
x0 0.04m v0 0.21m / s
A x02 v02 / 2 0.05m
tg 1 v0 0.64rad x0
x0 0第1,4象限 tg 0第1,3象限 第1象限
x 0.05cos( 7t 0.64 )( SI )
8
例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体
2
)
x2
A cos( t
7
6
)
x3
A cos( t
11
6
)
画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出
振动曲线。写出合振动方程。
x1
x3 x2 x1
x2
x3
合振动方程X=0
20
二、同方向的N个同频率简谐振动的合成
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：
x1(t) a cost
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
7
例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸 长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物
体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的
初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
解：k m0g 0.19.8 N / m l 0.08
k 0.19.8 7.0rad / s
1 2
KA2
1 2
mv02
1 2
k x02
A2
m K
v02
x02
2 K
m
1.A由系统能量决定；
有
A2
x02
(v0
)2
结论：
2.t=0的含义；
3.x0、v0含义。
x0 0.04m v0 0.21m / s
A x02 v02 / 2 0.05m
tg 1 v0 0.64rad x0
x0 0第1,4象限 tg 0第1,3象限 第1象限
x 0.05cos( 7t 0.64 )( SI )
8
例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体
2
)
x2
A cos( t
7
6
)
x3
A cos( t
11
6
)
画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出
振动曲线。写出合振动方程。
x1
x3 x2 x1
x2
x3
合振动方程X=0
20
二、同方向的N个同频率简谐振动的合成
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：
x1(t) a cost
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
7
例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸 长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物
体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的
初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
解：k m0g 0.19.8 N / m l 0.08
k 0.19.8 7.0rad / s
1 2
KA2
1 2
mv02
1 2
k x02
A2
m K
v02
x02
2 K
m
1.A由系统能量决定；
有
A2
x02
(v0
)2
结论：
2.t=0的含义；
3.x0、v0含义。
振动力学基础与matlab应用
振动力学是研究物体在作往复振动或周期性运动时的力学规律和特性的一门学科。
它在工程、物理、地震学等领域中有着广泛的应用。
MATLAB是一种强大的数值计算和科学绘图软件，可以用于振动力学的建模、仿真和可视化。
在振动力学基础方面，需要掌握以下内容：
1. 单自由度系统：这是振动力学的基础，主要研究质点的简谐振动和阻尼振动等。
需要了解自由度、刚度、阻尼和质量等概念，并能够利用牛顿第二定律、欧拉-拉格朗日原理等方法分析运动方程和相应的振动特性。
2. 多自由度系统：多自由度系统是复杂振动问题的常见形式，需要掌握刚体系统、弹性系统和连续系统等的振动特性。
这里需要了解模态分析、正交性原理和频率响应等概念，并学会通过欧拉-拉格朗日方程和质量矩阵、刚度矩阵等进行系统参数的求解和模拟。
在MATLAB应用方面，需要掌握以下内容：
1. MATLAB基础语法和常用命令，如数据类型、矩阵运算、函数定义和图形绘制等。
2. 振动力学的MATLAB模型建立和仿真分析。
需要学会利用MATLAB解决振动力学问题的程序设计和编写，如求解ODE方程组、进行模态分析和频率响应分析等。
3. MATLAB可视化工具的使用，如画图工具箱、动画工具箱、GUI界面设计与应用等，以便更加直观地展现振动力学问题的结果和结论。
振动力学基础与MATLAB应用是一门需要深入掌握的学科。
通过深入学习这门学科，可以更好地理解和应用振动力学的理论和方法，同时也可以更好地掌握MATLAB在振动力学中的应用。
振动力学研究物体振动的力学原理
振动力学研究物体振动的力学原理振动力学是研究物体振动的一门学科，通过对物体在外界作用下的振动行为进行分析和研究，揭示物体的振动规律和机理。
振动是物体围绕平衡位置作周期性往复运动的现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
本文将简要介绍振动力学的基本概念、力学原理以及对物体振动特性的影响因素。
一、振动力学基本概念振动力学涉及的基本概念主要包括振动现象的周期性、振幅、频率和相位。
周期性是指物体振动的运动状态呈现出重复性，即物体在一定时间内完成一个往复运动的过程。
振幅表示物体振动运动中离开平衡状态最大的位移，通常用符号A表示。
频率是指物体在单位时间内完成的振动周期数，通常用符号f表示，其倒数称为振动的周期T。
相位描述了物体运动状态相对于参考点的先后关系，常用角度表示。
二、弹簧振子的力学原理弹簧振子是研究物体振动的典型模型，它通过振子质点围绕平衡位置做简谐振动来展示振动力学的基本原理。
在弹簧振子的振动过程中，存在着弹性势能和动能的转换。
根据胡克定律，当弹簧受到外力F作用时，其形变x与外力之间具有线性关系，并满足以下公式：F = -kx其中，k为弹簧的劲度系数，它衡量了弹簧的刚度，x为弹簧受力方向上的位移。
根据牛顿第二定律，弹簧的受力与加速度之间也存在线性关系：F = ma结合弹簧受力表达式，可推导出振子的运动方程：m(d^2x/dt^2) + kx = 0考虑到振动是周期性的，假设振动解为：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，A为振动的振幅，ω为角频率，φ为相位常数。
将该解代入运动方程，可得到振动方程：mω^2A*sin(ωt + φ) + kA*sin(ωt + φ) = 0化简后可得到角频率的表达式：ω = ±√(k/m)通过这一表达式，我们可以看出物体的振动频率与弹簧的刚度和质量有关，增加刚度或减小质量都将导致振动频率的增加。
三、物体振动特性的影响因素物体振动的特性受到多种因素的影响，包括质量、刚度、阻尼等。
振动力学基础
k1 = k2 = 2k0
k0 4k0 ϖ= =ϖ0 ϖ = = 2ϖ 0 m m
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。 解： 取平衡位置为坐标原点 平衡时： mg 浮力：
−F =0
F
F = ρ Vg
o
2
2
d πρg ω= 2 m
x
x
k的轻弹簧、一 例.如图所示，振动系统由一倔强系数为 如图所示，振动系统由一倔强系数为k 半径为 R、转动惯量为 J的定滑轮和一质量为 m的物体所 半径为R 转动惯量为J 的定滑轮和一质量为m 组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证 物体作简谐振动 . 物体作简谐振动. 解：取位移轴 ox ， 解：取位移轴ox ox， m的平衡位 原点在 原点在m m在平衡位置 置。 置。m 时，设弹簧伸长量 : 为∆l，则有 ，则有:
x1
x2
1 1 1 2 2 2 m1v1 + m2 v2 + kx = c 2 2 2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
dv1 dv2 dx m1v1 + m2 v2 + kx =0 dt dt dt
d ( x2 − x1 −l) dv1 dv2 mv +mv +k ( x2 − x1 −l) =0 11 11 dt dt dt dv1 dv2 k − + ( x2 −x1 −l)( v2 −v1) =0 dt dt m v1
o
其中 V 为比重计的排水体积
mg
2 ⎡ ⎤ d x ⎛d ⎞ mg − ⎢V + π ⎜ ⎟ x ⎥ ρ g = m 2 2 d t ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 d x ⎛d ⎞ mg − ρ Vg − ρ gπ ⎜ ⎟ x = m 2 dt ⎝2⎠
第一章振动学基础
6： 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m 的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托 使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出 振动方程。
自然长度 0
取静平衡位置为坐标原点 b
平衡位置
x
自然 长度
x 任意位置时小球所受到的合外力为： Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx=ma 可见小球作谐振动。由 mg - kb = 0 得 g k ω= m = b 当 t = 0 : x 0 = b, v 0 = 0 得 A = b, φ 0= π g x = b cos ( b t + π )
4 ．一质点在 x 轴上做简谐振动，选取该 质点向右运动通过 A 点时作为计时起点 ，经过2s后，质点第一次经过B点，再经 过2s后，质点第二次经过B点，若已知该 质点在 A、B 两点具有相同的速度，且 AB=10cm，求： (1) 质点的振动方程 (2) 质点在A点处的速率。
5 已知滑轮半径和转动惯量，所挂物体 的质量，及弹簧倔强系数 求：1 这一系统静止时弹簧的伸长量 和绳的张力 2 将物体用手托起L， 现突然放手，证明物体做简谐运动 3 确定物体的振动周期 4 以平衡位置为原点，OX轴竖直向下 物体振动方程
x = A cos (ω t +φ )
位相差
同相 反相
位相差 x 1= A cos ( ω t +φ 1 ) x 2 = A cos ( ω t +φ 2 ) 若位相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差 Δ Φ = 0 0
2
＜0
( 不合题意 )
振动力学知识点章末总结
振动力学知识点章末总结首先，振动力学的基本概念包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等。
自由振动是指物体在没有外力作用下由于其固有属性而产生的振动。
强迫振动是指物体受到外力作用而产生的振动。
阻尼振动则是指物体在振动过程中会受到阻尼力的影响而衰减的振动。
这些基本概念是理解振动力学知识的基础，同时也是振动现象的基本分类。
其次，振动力学的数学描述是振动研究的重要内容。
在振动力学中，物体的振动状态可以通过振动方程进行描述和分析。
振动方程通常是一个二阶常微分方程，描述了物体振动的规律。
解振动方程可以得到物体振动的频率、振幅、相位等重要参数，从而帮助我们理解和预测振动现象。
同时，振动力学中的拉普拉斯变换、频谱分析等数学方法也是对振动现象进行研究和分析的重要工具。
另外，振动力学的能量和动量是在振动研究中重要的物理量。
在振动过程中，物体的能量会发生转换和传递，了解振动系统的能量变化规律有助于我们对振动的特性有更深入的理解。
同时，振动系统的动量也是有其特殊性质，它的守恒性质使得我们可以通过对振动系统的分析，了解振动系统的均衡和稳定性。
能量和动量是振动力学研究的核心内容，通过对它们的研究，我们可以更好地掌握振动系统的特性。
此外，振动力学中的共振现象是一个重要的研究内容。
共振是指当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，系统会出现明显的振幅增长和能量传输的现象。
共振现象在工程设计和科学研究中有重要的应用，我们需要通过对共振现象的分析和研究，避免共振对系统的破坏性影响。
最后，振动力学的应用包括在机械工程、土木工程、航空航天等领域。
振动力学的知识在设计和维护机械设备、建筑结构、飞行器等方面都有着重要的作用。
了解振动系统的特性，可以帮助我们优化设计和改进系统，避免由于振动引起的故障和事故。
总之，振动力学是一个重要的力学学科，通过对振动力学知识的学习，我们可以更好地理解和应用振动现象，提高工程设计和科学研究的水平。
振动力学的研究内容包括基本概念、数学描述、能量和动量、共振现象和应用等方面，对这些内容的深入研究可以帮助我们更好地掌握振动力学的理论和方法，更好地应用和发展振动力学知识。
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第 4 章 振动力学基础
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振
§4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。
问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
解:
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
kx2
=
c
x1 x2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
m1v1
dv1 dt
+
m2v2
dv2 dt
+ kx
dx dt
=0
m1v1
dv1 dt
+m1v1
dv2 dt
+k(
x2
−x1
−l)
d(
x2
−x1 dt
−l)
=0
dv1 dt
解 分析小球的切向运动
θ
− mg sin θ = ma τ
aτ
=
Rβ
=
R
d 2θ dt 2
O mg
θ很小 sin θ ≈ θ
d 2θ g
dt 2
+
θ=0 R
d 2θ ∴ −mgθ = mR dt 2
令ω2 = g R
d 2θ dt 2
+
ω2θ
=
0
谐振动
§4-3 阻尼振动
阻力
振动机械能
振幅
产生阻尼的原因： 摩擦、空气阻力、辐射……
x(cm)
解 振动方程为：
x = A cos(ωt + ϕ )
由图可知：
A = 31.4cm
31.4
15.7 0
− 15.7
− 31.4
1
t(s)
t = 0: x0 = −15.7 = −A/ 2, v0 < 0
∵x0 = Acosϕ = −A/ 2, v0 = −Aωsinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
= am cos(ω t + ϕ ± π )
其中：am=ω2A称为加速度振幅
振动系统的能量 (包括振动动能、势能)
振子动能：
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2(ω t
+ϕ
)
振子势能：
Ep
=
1 kx2 2
=
1 kA2 cos2 (ω t + ϕ 2
)
∵ mω2 = k
∴总能量： E = Ek + Ep
J ( R2
+
m)v2
=
C
1 2
kx2
+
1 2
J (
R2
+
m)v2
=
C
dx J
dv
kx dt + ( R2 + m)v dt = 0
dx = v dt
J
dv
kx + ( R2 + m) dt = 0
J
d2x
kx + ( + m) = 0
R2
dt 2
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
例.光滑水平桌面上放两个 质量分别为M1和M2的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 接,系数为K,求该系统的振 动频率?
解: ω2 = k m
ϖ=
k1k2
(k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
ϖ=
k0 m
=ϖ0
ϖ=
4k0 m
= 2ϖ 0
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。
解： 取平衡位置为坐标原点
平衡时： mg − F = 0 浮力： F = ρ Vg
k2
o
x
x
d2x f =m
dt 2
−k2 x2
=
−
k1k2 k1 + k2
x
=
m
d2x dt 2
d2 dt
x
2
+
(
k1
k1k2 + k2
)
m
x
=
0
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
ω=
k1k2
(k1 + k2 )m
k1
k2
o
x
x
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
（2）
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
(3) 1 kx2 + 1 mv 2 = C
2
2
（4） x = A cos(ω t + ϕ1 )
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。
证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 f = −k1x1 = −k2 x2
x2
=
k1 k1 + k2
x
k1
S
x
x
k = SY x
k1
k2
o
x
x
� 在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。
∑
� F
=
−kx�
由牛顿第二定律得：
∑F
=
m
d2x dt 2
=
−k
x
得：
d2x dt 2
=
−
k m
x
d2x = − k x dt2 m d2 x = −ω2 x dt 2
动力学方程
令： ω 2 = k m
x = Acos(ω t + ϕ )
)
(
x1
−
x2
−l
)
=
0
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π , ω = 2π = 2πν T
ω= k m
T = 1 = 2π = 2π m
νω
k
2. 相位
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
令： ω 2 = mgrc 得： J
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
由：sin θ
=θ
θ3 −
θ5 +
−⋯
3! 5!
sinθ ≈ θ
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
d2θ dt 2
+ ω2θ
=
0
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
相应的角频率：
ω = mgrc J
或从机械能守恒：
v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0,取ϕ=3π/2
∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) m
O
x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x
对同一谐振动, 取不同的计时起点,
X
ϕ 不同，但ω和A 不变 .
例：已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
Tt
•超前、落后以 <π 的相位角来判断
例. 如图：m=2×10-2kg, 平衡时弹簧的形变
为∆l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止
释放。
m
1)开始振动时为计时零点，写出振动方程；
2）取x0=0，v0 >0为计时零点，写出振动方程。
O
x
解 ⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 X
弹簧的弹性系数为：k = mg / ∆ l对物体任意位移x时受力分析
−dv2 dt
k +
mv1
(
x2
−x1
−l)
(v2
−v1)
=0
dv1 dt
−
dv2 dt
+
k mv1
(
x2
−
x1
−l)
⎛ ⎜ ⎝
m1 m2
v1
+ v1
⎞ ⎟ ⎠
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振
§4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。
问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
解:
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
kx2
=
c
x1 x2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
m1v1
dv1 dt
+
m2v2
dv2 dt
+ kx
dx dt
=0
m1v1
dv1 dt
+m1v1
dv2 dt
+k(
x2
−x1
−l)
d(
x2
−x1 dt
−l)
=0
dv1 dt
解 分析小球的切向运动
θ
− mg sin θ = ma τ
aτ
=
Rβ
=
R
d 2θ dt 2
O mg
θ很小 sin θ ≈ θ
d 2θ g
dt 2
+
θ=0 R
d 2θ ∴ −mgθ = mR dt 2
令ω2 = g R
d 2θ dt 2
+
ω2θ
=
0
谐振动
§4-3 阻尼振动
阻力
振动机械能
振幅
产生阻尼的原因： 摩擦、空气阻力、辐射……
x(cm)
解 振动方程为：
x = A cos(ωt + ϕ )
由图可知：
A = 31.4cm
31.4
15.7 0
− 15.7
− 31.4
1
t(s)
t = 0: x0 = −15.7 = −A/ 2, v0 < 0
∵x0 = Acosϕ = −A/ 2, v0 = −Aωsinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
= am cos(ω t + ϕ ± π )
其中：am=ω2A称为加速度振幅
振动系统的能量 (包括振动动能、势能)
振子动能：
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2(ω t
+ϕ
)
振子势能：
Ep
=
1 kx2 2
=
1 kA2 cos2 (ω t + ϕ 2
)
∵ mω2 = k
∴总能量： E = Ek + Ep
J ( R2
+
m)v2
=
C
1 2
kx2
+
1 2
J (
R2
+
m)v2
=
C
dx J
dv
kx dt + ( R2 + m)v dt = 0
dx = v dt
J
dv
kx + ( R2 + m) dt = 0
J
d2x
kx + ( + m) = 0
R2
dt 2
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
例.光滑水平桌面上放两个 质量分别为M1和M2的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 接,系数为K,求该系统的振 动频率?
解: ω2 = k m
ϖ=
k1k2
(k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
ϖ=
k0 m
=ϖ0
ϖ=
4k0 m
= 2ϖ 0
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。
解： 取平衡位置为坐标原点
平衡时： mg − F = 0 浮力： F = ρ Vg
k2
o
x
x
d2x f =m
dt 2
−k2 x2
=
−
k1k2 k1 + k2
x
=
m
d2x dt 2
d2 dt
x
2
+
(
k1
k1k2 + k2
)
m
x
=
0
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
ω=
k1k2
(k1 + k2 )m
k1
k2
o
x
x
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
（2）
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
(3) 1 kx2 + 1 mv 2 = C
2
2
（4） x = A cos(ω t + ϕ1 )
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。
证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 f = −k1x1 = −k2 x2
x2
=
k1 k1 + k2
x
k1
S
x
x
k = SY x
k1
k2
o
x
x
� 在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。
∑
� F
=
−kx�
由牛顿第二定律得：
∑F
=
m
d2x dt 2
=
−k
x
得：
d2x dt 2
=
−
k m
x
d2x = − k x dt2 m d2 x = −ω2 x dt 2
动力学方程
令： ω 2 = k m
x = Acos(ω t + ϕ )
)
(
x1
−
x2
−l
)
=
0
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π , ω = 2π = 2πν T
ω= k m
T = 1 = 2π = 2π m
νω
k
2. 相位
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
令： ω 2 = mgrc 得： J
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
由：sin θ
=θ
θ3 −
θ5 +
−⋯
3! 5!
sinθ ≈ θ
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
d2θ dt 2
+ ω2θ
=
0
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
相应的角频率：
ω = mgrc J
或从机械能守恒：
v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0,取ϕ=3π/2
∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) m
O
x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x
对同一谐振动, 取不同的计时起点,
X
ϕ 不同，但ω和A 不变 .
例：已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
Tt
•超前、落后以 <π 的相位角来判断
例. 如图：m=2×10-2kg, 平衡时弹簧的形变
为∆l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止
释放。
m
1)开始振动时为计时零点，写出振动方程；
2）取x0=0，v0 >0为计时零点，写出振动方程。
O
x
解 ⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 X
弹簧的弹性系数为：k = mg / ∆ l对物体任意位移x时受力分析
−dv2 dt
k +
mv1
(
x2
−x1
−l)
(v2
−v1)
=0
dv1 dt
−
dv2 dt
+
k mv1
(
x2
−
x1
−l)
⎛ ⎜ ⎝
m1 m2
v1
+ v1
⎞ ⎟ ⎠