振动力学基础
- 格式：pdf
- 大小：547.74 KB
- 文档页数：53
下载文档原格式
合集下载
振动基础必学知识点
振动基础必学知识点
以下是振动基础必学的知识点：
1. 振动的定义：振动是物体围绕某个平衡位置来回周期性地运动。
2. 振动的周期和频率：振动的周期是振动一个完整循环所需要的时间，单位是秒；频率是单位时间内振动的次数，单位是赫兹。
它们之间有
以下关系：频率 = 1/周期。
3. 振动的幅度：振动的幅度是指物体离开平衡位置的最大距离。
4. 简谐振动：简谐振动是指物体在没有阻力的情况下，围绕平衡位置
做匀速往复运动的振动。
简谐振动的特点是周期恒定、频率固定且幅
度不断变化。
5. 谐振：谐振是指当外力作用频率与物体固有频率相同时，物体容易
发生共振现象，振幅会明显增大的现象。
6. 弹簧振子：弹簧振子是指一个质点通过与弹簧连接，形成一个可以
进行振动的系统。
弹簧振子的运动方程可以用简谐振动的方程表示。
7. 摆钟：摆钟是指一个由质点与一个固定的绳或杆连接，形成可以进
行振动的系统。
摆钟的运动方程可以用简谐振动的方程表示。
8. 声音的传播和振动：声音是由物体的振动引起的机械波。
声音的传
播需要介质的存在，并且介质中的分子通过相互振动来传递能量。
9. 波动的特征：波动的特征包括传播速度、波长、频率和振幅。
10. 波的类型：根据波动传播介质的性质，波可以分为机械波和电磁波两种类型。
以上是振动基础必学的知识点，掌握这些知识可以帮助理解振动和波动以及它们在不同物理现象中的应用。
振动力学基础
A=
y +
2 0
y = 0 .06 cos( 6 .4 t ) (m) v = − ω A sin ω t 速度方程： 速度方程： v = − 0 .384 sin( 6 . 4 t ) (m/s)
振动方程： 振动方程： 加速度方程： 加速度方程： a
2
ω
2 v0 2
= 0.06 ( m )
v0 = 0 ⇒ϕ = 0 tgϕ = − y0ω
2 x 2 = A cos( ω t + π ) 3
A2
2 π 3
x A o π 2π π ωt
x1 = A cos ω t
x3 = A cos( ω t −
o
A3
A1
π
2
t=0
)
↵
（四）谐振动的速度 加速度 （1）速度： ）速度： dx π v= = −ω A sin( ω t + ϕ ) = v m cos( ω t + ϕ + ) dt 2 （2）加速度： a = d x = −ω 2 A cos( ω t + ϕ ) ）加速度： 2
厘米， 例1： 一谐振动，已知振幅 A= 12 厘米，T= 2 秒 ： 一谐振动， t= 0 时，X= 6 厘米且朝 负向运动。求（1）初 厘米且朝X负向运动 负向运动。 ） 位相。（ 。（2） 位相。（ ）t =0.5 秒时 x, v, a。（3）当x= -6厘米 ） 厘米 和到平衡位置所需时间。 且朝负相运动时的 v, a 和到平衡位置所需时间。 解 (1) x = A cos(ωt + ϕ )
2
dt
a = −ω x
2
或
d x 2 = −ω x 2 dt
振动基础知识
振动基础知识精心整理基本概念和基础知识一、常见的工程物理量力、压力、应力、应变、位移、速度、加速度、转速等（一）力：力是物体间的相互作用，是一个广义的概念。
物体承受的力可以有加载力，也可以有动态力，我们常测试的力主要是动态力，即给结构施加力，激发结构的某些特性，便（四）振动速度：质量块在振荡过程中运动快慢的度量。
质量块在运动波形的上部和下部极限位置时，其速度为0，这是因为质量块在这两点处，在它改变运动方向之前，必须停下来。
质量块的振动速度在平衡位置处达到最大值，在此点处质量块已经加速到最大值，在此点以后质量块开始减速运动。
振动速度的单位是用mm/s来表示。
（五）振动加速度：被定义为振动速度的变化率，其单位是用有多少个m/s2或g来表示。
由下图可见加速度最大值处是速度值最小值的地方，在这些点处质量块由减速到停止然后再开始加速。
（六）转速：旋转机械的转动速度（七）简谐振动及振动三要素振动是一种运动形式――往复运动d＝Dsin（2πt/T＋Φ）DTfω和fωf将式（d振动三要素：振幅D、频率f和相位Φ（八）、表示振动的参数：位移、速度、加速度振动位移：d=Dsin tDπ)振动速度：v=Dωcosωt=Vsin(ωt+2V=Dω振动加速度：a=-Dω2sinωt=Asin(ωt+π)A＝-Dω2（九）振动三要素在工程振动中的意义1、振幅○振幅～物体动态运动或振动的幅度。
★振幅是振动强度和能量水平的标志，是评价机器运转状态优劣的主要指标。
即“有没有问题看振幅”。
○峰峰值、单峰值、有效值振幅的量值可以表示为峰峰值（pp）、单峰值（p）、有效值（rms）或平均值（ap）。
峰峰值是整个振动历程的最大值，即正峰与负峰之间的差值；单峰值是正峰或负峰的最大值；有效值即均方根值。
○振动位移、振动速度、振动加速度振幅分别用振动位移、振动速度、振动加速度值加以描述、度量，三者相互之间可以通过微分或积分进行换算。
在振动测量中，除特别注明外，习惯上：○振动位移的量值为峰峰值，单位是微米[μm]或毫米[mm]；○振动速度的量值为有效值（均方根值），单位是毫米/秒[mm/s]；○振动加速度的量值是单峰值，单位是米/秒平方[m/s2]或重力加速度[g]，1[g]=9.81[m/s2]。
《振动力学基础》课件
非耦合振动
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
振动力学基础
m 0.08 0.25
x0 0.04m v0 0.21m / s
A x02 v02 / 2 0.05m
tg 1 v0 0.64rad x0
x0 0第1,4象限 tg 0第1,3象限 第1象限
x 0.05cos( 7t 0.64 )( SI )
8
例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体
2
)
x2
A cos( t
7
6
)
x3
A cos( t
11
6
)
画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出
振动曲线。写出合振动方程。
x1
x3 x2 x1
x2
x3
合振动方程X=0
20
二、同方向的N个同频率简谐振动的合成
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：
x1(t) a cost
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
7
例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸 长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物
体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的
初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
解：k m0g 0.19.8 N / m l 0.08
k 0.19.8 7.0rad / s
1 2
KA2
1 2
mv02
1 2
k x02
A2
m K
v02
x02
2 K
m
1.A由系统能量决定；
有
A2
x02
(v0
)2
结论：
2.t=0的含义；
3.x0、v0含义。
x0 0.04m v0 0.21m / s
A x02 v02 / 2 0.05m
tg 1 v0 0.64rad x0
x0 0第1,4象限 tg 0第1,3象限 第1象限
x 0.05cos( 7t 0.64 )( SI )
8
例题 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体
2
)
x2
A cos( t
7
6
)
x3
A cos( t
11
6
)
画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出
振动曲线。写出合振动方程。
x1
x3 x2 x1
x2
x3
合振动方程X=0
20
二、同方向的N个同频率简谐振动的合成
设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。 其表达式为：
x1(t) a cost
x2 (t) a cos(t ) x3(t) a cos(t 2 )
7
例题 在一轻弹簧下端悬挂m0=100克砝码时，弹簧伸 长8厘米，现在这根弹簧下悬挂m=250克的物体。将物
体从平衡位置向下拉动4厘米并给予向上的21厘米/秒的
初速度。选X轴向下，求振动的表达式。
解：k m0g 0.19.8 N / m l 0.08
k 0.19.8 7.0rad / s
1 2
KA2
1 2
mv02
1 2
k x02
A2
m K
v02
x02
2 K
m
1.A由系统能量决定；
有
A2
x02
(v0
)2
结论：
2.t=0的含义；
3.x0、v0含义。
振动力学基础与matlab应用
振动力学是研究物体在作往复振动或周期性运动时的力学规律和特性的一门学科。
它在工程、物理、地震学等领域中有着广泛的应用。
MATLAB是一种强大的数值计算和科学绘图软件，可以用于振动力学的建模、仿真和可视化。
在振动力学基础方面，需要掌握以下内容：
1. 单自由度系统：这是振动力学的基础，主要研究质点的简谐振动和阻尼振动等。
需要了解自由度、刚度、阻尼和质量等概念，并能够利用牛顿第二定律、欧拉-拉格朗日原理等方法分析运动方程和相应的振动特性。
2. 多自由度系统：多自由度系统是复杂振动问题的常见形式，需要掌握刚体系统、弹性系统和连续系统等的振动特性。
这里需要了解模态分析、正交性原理和频率响应等概念，并学会通过欧拉-拉格朗日方程和质量矩阵、刚度矩阵等进行系统参数的求解和模拟。
在MATLAB应用方面，需要掌握以下内容：
1. MATLAB基础语法和常用命令，如数据类型、矩阵运算、函数定义和图形绘制等。
2. 振动力学的MATLAB模型建立和仿真分析。
需要学会利用MATLAB解决振动力学问题的程序设计和编写，如求解ODE方程组、进行模态分析和频率响应分析等。
3. MATLAB可视化工具的使用，如画图工具箱、动画工具箱、GUI界面设计与应用等，以便更加直观地展现振动力学问题的结果和结论。
振动力学基础与MATLAB应用是一门需要深入掌握的学科。
通过深入学习这门学科，可以更好地理解和应用振动力学的理论和方法，同时也可以更好地掌握MATLAB在振动力学中的应用。
振动力学研究物体振动的力学原理
振动力学研究物体振动的力学原理振动力学是研究物体振动的一门学科，通过对物体在外界作用下的振动行为进行分析和研究，揭示物体的振动规律和机理。
振动是物体围绕平衡位置作周期性往复运动的现象，广泛存在于自然界和工程实践中。
本文将简要介绍振动力学的基本概念、力学原理以及对物体振动特性的影响因素。
一、振动力学基本概念振动力学涉及的基本概念主要包括振动现象的周期性、振幅、频率和相位。
周期性是指物体振动的运动状态呈现出重复性，即物体在一定时间内完成一个往复运动的过程。
振幅表示物体振动运动中离开平衡状态最大的位移，通常用符号A表示。
频率是指物体在单位时间内完成的振动周期数，通常用符号f表示，其倒数称为振动的周期T。
相位描述了物体运动状态相对于参考点的先后关系，常用角度表示。
二、弹簧振子的力学原理弹簧振子是研究物体振动的典型模型，它通过振子质点围绕平衡位置做简谐振动来展示振动力学的基本原理。
在弹簧振子的振动过程中，存在着弹性势能和动能的转换。
根据胡克定律，当弹簧受到外力F作用时，其形变x与外力之间具有线性关系，并满足以下公式：F = -kx其中，k为弹簧的劲度系数，它衡量了弹簧的刚度，x为弹簧受力方向上的位移。
根据牛顿第二定律，弹簧的受力与加速度之间也存在线性关系：F = ma结合弹簧受力表达式，可推导出振子的运动方程：m(d^2x/dt^2) + kx = 0考虑到振动是周期性的，假设振动解为：x(t) = A*sin(ωt + φ)其中，A为振动的振幅，ω为角频率，φ为相位常数。
将该解代入运动方程，可得到振动方程：mω^2A*sin(ωt + φ) + kA*sin(ωt + φ) = 0化简后可得到角频率的表达式：ω = ±√(k/m)通过这一表达式，我们可以看出物体的振动频率与弹簧的刚度和质量有关，增加刚度或减小质量都将导致振动频率的增加。
三、物体振动特性的影响因素物体振动的特性受到多种因素的影响，包括质量、刚度、阻尼等。
振动力学基础
k1 = k2 = 2k0
k0 4k0 ϖ= =ϖ0 ϖ = = 2ϖ 0 m m
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。 解： 取平衡位置为坐标原点 平衡时： mg 浮力：
−F =0
F
F = ρ Vg
o
2
2
d πρg ω= 2 m
x
x
k的轻弹簧、一 例.如图所示，振动系统由一倔强系数为 如图所示，振动系统由一倔强系数为k 半径为 R、转动惯量为 J的定滑轮和一质量为 m的物体所 半径为R 转动惯量为J 的定滑轮和一质量为m 组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证 物体作简谐振动 . 物体作简谐振动. 解：取位移轴 ox ， 解：取位移轴ox ox， m的平衡位 原点在 原点在m m在平衡位置 置。 置。m 时，设弹簧伸长量 : 为∆l，则有 ，则有:
x1
x2
1 1 1 2 2 2 m1v1 + m2 v2 + kx = c 2 2 2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
dv1 dv2 dx m1v1 + m2 v2 + kx =0 dt dt dt
d ( x2 − x1 −l) dv1 dv2 mv +mv +k ( x2 − x1 −l) =0 11 11 dt dt dt dv1 dv2 k − + ( x2 −x1 −l)( v2 −v1) =0 dt dt m v1
o
其中 V 为比重计的排水体积
mg
2 ⎡ ⎤ d x ⎛d ⎞ mg − ⎢V + π ⎜ ⎟ x ⎥ ρ g = m 2 2 d t ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 d x ⎛d ⎞ mg − ρ Vg − ρ gπ ⎜ ⎟ x = m 2 dt ⎝2⎠
第一章振动学基础
6： 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m 的小球，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托 使弹簧保持自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出 振动方程。
自然长度 0
取静平衡位置为坐标原点 b
平衡位置
x
自然 长度
x 任意位置时小球所受到的合外力为： Σ F = mg - k ( b + x ) = - kx=ma 可见小球作谐振动。由 mg - kb = 0 得 g k ω= m = b 当 t = 0 : x 0 = b, v 0 = 0 得 A = b, φ 0= π g x = b cos ( b t + π )
4 ．一质点在 x 轴上做简谐振动，选取该 质点向右运动通过 A 点时作为计时起点 ，经过2s后，质点第一次经过B点，再经 过2s后，质点第二次经过B点，若已知该 质点在 A、B 两点具有相同的速度，且 AB=10cm，求： (1) 质点的振动方程 (2) 质点在A点处的速率。
5 已知滑轮半径和转动惯量，所挂物体 的质量，及弹簧倔强系数 求：1 这一系统静止时弹簧的伸长量 和绳的张力 2 将物体用手托起L， 现突然放手，证明物体做简谐运动 3 确定物体的振动周期 4 以平衡位置为原点，OX轴竖直向下 物体振动方程
x = A cos (ω t +φ )
位相差
同相 反相
位相差 x 1= A cos ( ω t +φ 1 ) x 2 = A cos ( ω t +φ 2 ) 若位相差Δ Φ = φ 2 φ 1 ＞ 0 0 称振动 2 超前振动 1
A2
φ2
A1
φ1
x
振动 1 滞后振动 2 若周相差 Δ Φ = 0 0
2
＜0
( 不合题意 )
振动力学知识点章末总结
振动力学知识点章末总结首先，振动力学的基本概念包括自由振动、强迫振动、阻尼振动等。
自由振动是指物体在没有外力作用下由于其固有属性而产生的振动。
强迫振动是指物体受到外力作用而产生的振动。
阻尼振动则是指物体在振动过程中会受到阻尼力的影响而衰减的振动。
这些基本概念是理解振动力学知识的基础，同时也是振动现象的基本分类。
其次，振动力学的数学描述是振动研究的重要内容。
在振动力学中，物体的振动状态可以通过振动方程进行描述和分析。
振动方程通常是一个二阶常微分方程，描述了物体振动的规律。
解振动方程可以得到物体振动的频率、振幅、相位等重要参数，从而帮助我们理解和预测振动现象。
同时，振动力学中的拉普拉斯变换、频谱分析等数学方法也是对振动现象进行研究和分析的重要工具。
另外，振动力学的能量和动量是在振动研究中重要的物理量。
在振动过程中，物体的能量会发生转换和传递，了解振动系统的能量变化规律有助于我们对振动的特性有更深入的理解。
同时，振动系统的动量也是有其特殊性质，它的守恒性质使得我们可以通过对振动系统的分析，了解振动系统的均衡和稳定性。
能量和动量是振动力学研究的核心内容，通过对它们的研究，我们可以更好地掌握振动系统的特性。
此外，振动力学中的共振现象是一个重要的研究内容。
共振是指当外力的频率与系统的固有频率相等或接近时，系统会出现明显的振幅增长和能量传输的现象。
共振现象在工程设计和科学研究中有重要的应用，我们需要通过对共振现象的分析和研究，避免共振对系统的破坏性影响。
最后，振动力学的应用包括在机械工程、土木工程、航空航天等领域。
振动力学的知识在设计和维护机械设备、建筑结构、飞行器等方面都有着重要的作用。
了解振动系统的特性，可以帮助我们优化设计和改进系统，避免由于振动引起的故障和事故。
总之，振动力学是一个重要的力学学科，通过对振动力学知识的学习，我们可以更好地理解和应用振动现象，提高工程设计和科学研究的水平。
振动力学的研究内容包括基本概念、数学描述、能量和动量、共振现象和应用等方面，对这些内容的深入研究可以帮助我们更好地掌握振动力学的理论和方法，更好地应用和发展振动力学知识。
振动力学基础
v0 0
5 或 3
因此，所求振动式为 4
4
x
2l0 cos(
g t 3 )
2l0 4
即新g的/(平2l0衡) 位置在原来木板平衡位置下x方l0处A
x0=－l0
cos(
t
)
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻
弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程；
9
2
相位: (t + ) –描述振动状态
初相位 ：
➢ 相位差: =( 2 t + 2 )-(1t + 1)
对两同频率的谐振动 =2 - 1 初相差
➢ 同相和反相
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两
振动步调相同,称同相. 当 = (2k+1) , ( k
而应满足
即新的平衡位置在原来木板平衡位置下方l0处
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻 弹簧下端固定于地面。开始时木板静止，弹簧被压缩了l0； 在木板上方高h= l0处自由落下一与木板质量相同的泥块，与 木板作完全非弹性碰撞。求： (1)碰撞后木板的运动方程； (2)从泥块与木板相碰到它们第一次回到相碰位置所用时间。
由此可知l ，板做d简t 2谐振动dt 2 l
f2
x
m
0
d2x dt 2
f1
周期为
mN1, T
f2
2
mN2 l mg
[例4-3]如图所示，质量为m的木板水平置于轻弹簧上端，轻
振动力学基础
= 1 kA2 2
结论： � 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但
任一时刻总机械能保持不变。 � 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
� 频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正 比。（适合于任何谐振系统）
第一个重点：如何判断物体是否作简谐振动？ 简谐振动的特征方程
（1） f = −kx
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
其中 V 为比重计的排水体积
F
o mg
mg
−
⎡ ⎢V ⎢⎣
+π
⎛ ⎜ ⎝
d 2
2
⎞ ⎟ ⎠
⎤ x⎥
⎥⎦
振动学知识点总结归纳
振动学知识点总结归纳一、振动学基础知识1.1 振动的基本概念振动是物体在某一平衡位置附近来回作周期性运动的现象。
当物体在平衡位置周围出现微小偏离时，物体受到恢复力的作用，使其朝着平衡位置运动，从而形成振动。
1.2 振动的分类振动可分为自由振动和受迫振动。
自由振动是指物体在没有外力作用下的振动，而受迫振动是指物体受到外力作用下的振动。
1.3 振动的描述振动可以通过振幅、周期、频率等指标进行描述。
振幅是指振动过程中物体偏离平衡位置的最大距离，周期是指物体完成一次完整振动所需的时间，频率是指单位时间内振动的次数。
1.4 振动的动力学方程物体在振动过程中受到恢复力和阻尼力的作用，可以通过动力学方程进行描述。
动力学方程可以用来描述物体的振动规律，求解物体的振动响应。
二、单自由度系统2.1 单自由度系统的基本模型单自由度系统是指只有一个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的基本模型之一。
单自由度系统的受力分析和振动方程可以通过牛顿定律和动能定理进行推导。
2.2 单自由度系统的自由振动单自由度系统在没有外力作用下的振动是自由振动，它可以通过解振动方程得到振动的时间变化规律。
自由振动的特点是振幅不变，频率固定。
2.3 单自由度系统的受迫振动单自由度系统受到外力作用时会发生受迫振动，外力的作用使得系统产生特定的振动响应。
受迫振动可以通过傅立叶分析和频谱分析进行研究，得到系统的振动响应特性。
2.4 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统在振动过程中会受到阻尼力的作用，阻尼振动是指系统在振动过程中能量不断减少的现象。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，频率不变。
2.5 单自由度系统的参数对振动的影响单自由度系统的质量、刚度和阻尼等参数对振动的影响是振动学研究的重要内容。
通过改变系统的参数，可以调控系统的振动特性，实现对系统振动的控制和优化。
三、多自由度系统3.1 多自由度系统的基本概念多自由度系统是指具有多个自由度可以发生振动的系统，它是振动学研究的扩展和深化。
振动基础知识点总结
振动基础知识点总结一、基础概念1. 振动的定义振动是指物体相对固定位置或平衡位置的周期性运动。
当物体相对于平衡位置发生周期性移动时，我们就称其为振动。
在自然界和日常生活中，我们可以观察到很多不同形式的振动，比如弹簧的拉伸振动、弦的横向振动、机械系统的转子振动等。
2. 振动的分类振动可以根据其运动形式、引起振动的原因、系统的特性等多种方式进行分类。
常见的分类方式包括：- 按运动形式可分为直线振动、旋转振动和复合振动；- 按引起振动的原因可分为自由振动、受迫振动和阻尼振动；- 按系统的特性可分为单自由度振动和多自由度振动等。
3. 振动的基本参数在描述振动时，常用的基本参数包括振幅、周期、频率、角频率、相位等。
这些参数描述了振动的幅度、速度和相位关系，是分析和描述振动运动特性的重要工具。
二、自由振动1. 自由振动概念自由振动是指系统在没有外力作用下的振动运动。
在自由振动的过程中，系统的振幅会随着时间不断变化，最终趋于稳定。
自由振动的运动方程一般为二阶线性微分方程，解析求解需要用到振动的基本理论知识。
2. 自由振动的特性自由振动的特性主要包括振动频率、振幅和相位。
对于简谐振动系统，其振动频率和振幅与系统的质量、刚度和阻尼相关。
而相位描述了系统中各个振动部件之间的相对位置关系。
3. 自由振动的应用自由振动的应用非常广泛，比如桥梁的结构振动、地震的振动运动、建筑物的自由振动等。
通过对自由振动的分析，可以评估结构的稳定性和安全性，为工程设计和地震防护提供重要参考。
三、受迫振动1. 受迫振动概念受迫振动是指系统在外部周期性力作用下的振动运动。
在受迫振动的过程中，系统受到外部力的影响，振动的频率和振幅会受到外部力的调控，产生共振等现象。
2. 受迫振动的特性受迫振动的特性与外部激励力的频率和幅度有关。
当外部激励力的频率接近系统的固有频率时，系统会产生共振现象，振动幅度会急剧增大。
另外，受迫振动也与系统的阻尼特性相关，阻尼会削弱系统的受迫振动响应。
振动力学简介
振动力学简介振动力学是研究物体在受到外界激励时产生的振动现象以及其规律的科学。
它涉及到物体的自由振动和受迫振动，并在许多领域有广泛的应用。
本文将介绍振动力学的基本概念、振动的特性以及其在工程领域的应用。
一、基本概念振动力学的基本概念包括自由振动和受迫振动，自由振动是指物体在没有外界干扰的情况下，由于其自身固有的特性，在某一固有频率下产生的振动。
受迫振动则是物体在受到外界激励时产生的振动。
物体振动的主要特性有振幅、周期、频率和阻尼。
振幅指振动物体在平衡位置附近的最大位移；周期是振动物体从一个极端到另一个极端所需时间；频率则是指单位时间内振动物体完成的周期个数；而阻尼是振动过程中由于摩擦力或其他因素导致能量损失的现象。
二、振动的特性振动力学研究了振动的各种特性，包括振幅的变化规律、周期和频率的确定、能量的转换和阻尼的影响等。
当物体受到外界激励时，振动的特性会发生变化。
振动的特性可以通过振动方程来描述，振动方程是研究振动的重要工具。
它可以表示出受迫振动中物体的位置、速度或加速度与时间的关系。
经典的振动方程包括简谐振动方程和非简谐振动方程，简谐振动是指振动物体回复力与其位移成正比的振动，而非简谐振动则是指回复力与位移之间不成线性关系的振动。
振动的特性还涉及到固有频率、共振以及振动的幅频特性等。
固有频率是指物体固有振动时的频率，它与物体的刚度和质量有关；共振是指当外界激励频率等于物体的固有频率时，振动会达到最大幅度的现象；振动的幅频特性则是指在不同频率下振幅的变化规律，它是评估振动特性的重要参数。
三、工程应用振动力学在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构工程中，振动力学可以帮助研究建筑物、桥梁等结构在受到地震或其他外界激励时的响应和稳定性；在机械工程中，振动力学可以用于分析和优化机械系统的振动特性，以提高机械设备的运行效率和稳定性。
此外，振动力学还在声学、电子、航空航天等领域有着重要的应用。
在声学领域，振动力学可以帮助分析和预测音乐乐器的声音特性，以及建筑物和交通工具等产生的噪音；在电子领域，振动力学可以用于振动传感器和振动发电器的设计和优化；在航空航天领域，振动力学可以帮助分析和控制航天器和飞机在飞行过程中的振动问题。
《振动力学基础》课件
Forced Vibration
1
Definition
Forced vibration occurs when a system is subjected to an external force or motion.
2
Resonance
Resonance is a phenomenon that can occur in forced vibration when the frequency of the external force matches the natural frequency of the system.
2 Types of Damping
Common types of damping include viscous damping, structural damping, and material damping.
3 Effect onVibration
Damping reduces the amplitude of the vibration and causes the system to reach a steady-state condition.
The equation of harmonic motion is x = A sin(ωt + φ), where x is displacement, A is amplitude, ω is angular frequency, t is time, and φ is phase angle.
Explanation
A simple mass-spring system is an example of free undamped vibration, where the mass oscillates back and forth around its equilibrium position.
一般力学与力学基础的振动理论
一般力学与力学基础的振动理论振动是力学中的一个重要分支，研究物体在固定点附近的快速往复运动。
在一般力学和力学基础中，振动理论是一个核心概念，它涉及到物体的弹性、周期、频率以及能量转换等多个方面。
本文将从数学模型和理论研究的角度介绍一般力学与力学基础的振动理论。
一、物体的振动模型物体的振动可以用简谐振动来近似描述。
简谐振动是指物体受到恢复力作用，且恢复力与物体的位移成正比的振动。
数学上，一个简谐振动可以用以下方程描述：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)是物体在时间t的位移，A是振幅，ω是振动角频率，φ是初相位。
这个方程展示了物体的往复运动，其中振幅决定了振动的大小，角频率决定了振动的快慢，初相位决定了起始位置。
二、力学基础的振动理论力学基础中的振动理论基于牛顿定律以及弹簧的力学性质。
物体在振动过程中，受到弹簧的弹性力以及其他包括重力等外力的作用。
根据牛顿第二定律和胡克定律，可以得到振动物体的运动方程：m * d²x/dt² + k * x = 0其中，m是物体的质量，k是弹簧的弹性系数，x是物体的位移。
这是一个二阶线性常微分方程，解这个方程即可得到物体的振动规律。
三、一般力学中的振动理论一般力学中的振动理论扩展了力学基础的振动理论，引入了阻尼、驱动力和非线性等因素。
阻尼是由于介质的摩擦力或其他损耗力导致振动衰减的现象。
驱动力是外界对物体施加的周期性作用力，会改变振动的特性。
非线性则是指振动系统中弹性力不满足线性关系，例如弹簧变形达到一定程度后的非线性特性。
一般力学中的振动理论常常涉及到复杂的数学模型和计算方法。
通过引入阻尼项、驱动力项以及非线性项，可以得到更符合实际情况的振动模型。
根据具体的问题和应用，可以使用不同的方法进行求解，如变分法、数值方法等。
四、振动理论的应用振动理论在工程学、物理学、地震学等领域具有广泛的应用。
在工程学中，振动理论被应用于设计和分析建筑物、桥梁、机械设备等的动力学行为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 4 章 振动力学基础
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振
§4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。
问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
解:
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
kx2
=
c
x1 x2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
m1v1
dv1 dt
+
m2v2
dv2 dt
+ kx
dx dt
=0
m1v1
dv1 dt
+m1v1
dv2 dt
+k(
x2
−x1
−l)
d(
x2
−x1 dt
−l)
=0
dv1 dt
解 分析小球的切向运动
θ
− mg sin θ = ma τ
aτ
=
Rβ
=
R
d 2θ dt 2
O mg
θ很小 sin θ ≈ θ
d 2θ g
dt 2
+
θ=0 R
d 2θ ∴ −mgθ = mR dt 2
令ω2 = g R
d 2θ dt 2
+
ω2θ
=
0
谐振动
§4-3 阻尼振动
阻力
振动机械能
振幅
产生阻尼的原因： 摩擦、空气阻力、辐射……
x(cm)
解 振动方程为：
x = A cos(ωt + ϕ )
由图可知：
A = 31.4cm
31.4
15.7 0
− 15.7
− 31.4
1
t(s)
t = 0: x0 = −15.7 = −A/ 2, v0 < 0
∵x0 = Acosϕ = −A/ 2, v0 = −Aωsinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
= am cos(ω t + ϕ ± π )
其中：am=ω2A称为加速度振幅
振动系统的能量 (包括振动动能、势能)
振子动能：
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2(ω t
+ϕ
)
振子势能：
Ep
=
1 kx2 2
=
1 kA2 cos2 (ω t + ϕ 2
)
∵ mω2 = k
∴总能量： E = Ek + Ep
J ( R2
+
m)v2
=
C
1 2
kx2
+
1 2
J (
R2
+
m)v2
=
C
dx J
dv
kx dt + ( R2 + m)v dt = 0
dx = v dt
J
dv
kx + ( R2 + m) dt = 0
J
d2x
kx + ( + m) = 0
R2
dt 2
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
例.光滑水平桌面上放两个 质量分别为M1和M2的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 接,系数为K,求该系统的振 动频率?
解: ω2 = k m
ϖ=
k1k2
(k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
ϖ=
k0 m
=ϖ0
ϖ=
4k0 m
= 2ϖ 0
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。
解： 取平衡位置为坐标原点
平衡时： mg − F = 0 浮力： F = ρ Vg
k2
o
x
x
d2x f =m
dt 2
−k2 x2
=
−
k1k2 k1 + k2
x
=
m
d2x dt 2
d2 dt
x
2
+
(
k1
k1k2 + k2
)
m
x
=
0
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
ω=
k1k2
(k1 + k2 )m
k1
k2
o
x
x
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
（2）
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
(3) 1 kx2 + 1 mv 2 = C
2
2
（4） x = A cos(ω t + ϕ1 )
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。
证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 f = −k1x1 = −k2 x2
x2
=
k1 k1 + k2
x
k1
S
x
x
k = SY x
k1
k2
o
x
x
� 在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。
∑
� F
=
−kx�
由牛顿第二定律得：
∑F
=
m
d2x dt 2
=
−k
x
得：
d2x dt 2
=
−
k m
x
d2x = − k x dt2 m d2 x = −ω2 x dt 2
动力学方程
令： ω 2 = k m
x = Acos(ω t + ϕ )
)
(
x1
−
x2
−l
)
=
0
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π , ω = 2π = 2πν T
ω= k m
T = 1 = 2π = 2π m
νω
k
2. 相位
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
令： ω 2 = mgrc 得： J
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
由：sin θ
=θ
θ3 −
θ5 +
−⋯
3! 5!
sinθ ≈ θ
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
d2θ dt 2
+ ω2θ
=
0
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
相应的角频率：
ω = mgrc J
或从机械能守恒：
v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0,取ϕ=3π/2
∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) m
O
x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x
对同一谐振动, 取不同的计时起点,
X
ϕ 不同，但ω和A 不变 .
例：已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
Tt
•超前、落后以 <π 的相位角来判断
例. 如图：m=2×10-2kg, 平衡时弹簧的形变
为∆l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止
释放。
m
1)开始振动时为计时零点，写出振动方程；
2）取x0=0，v0 >0为计时零点，写出振动方程。
O
x
解 ⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 X
弹簧的弹性系数为：k = mg / ∆ l对物体任意位移x时受力分析
−dv2 dt
k +
mv1
(
x2
−x1
−l)
(v2
−v1)
=0
dv1 dt
−
dv2 dt
+
k mv1
(
x2
−
x1
−l)
⎛ ⎜ ⎝
m1 m2
v1
+ v1
⎞ ⎟ ⎠
§4.1 简谐振动动力学 §4.2 简谐振动运动学 §4.3 微振动的简谐近似 §4.4 阻尼振动.受迫振动 共振
§4.5 平行简谐振动的合成 振动频谱
振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。
问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
解:
1 2
m1v12
+
1 2
m2v22
+
1 2
kx2
=
c
x1 x2
m1v1 + m2v2 = 0 x = x2 − x1 − l
m1v1
dv1 dt
+
m2v2
dv2 dt
+ kx
dx dt
=0
m1v1
dv1 dt
+m1v1
dv2 dt
+k(
x2
−x1
−l)
d(
x2
−x1 dt
−l)
=0
dv1 dt
解 分析小球的切向运动
θ
− mg sin θ = ma τ
aτ
=
Rβ
=
R
d 2θ dt 2
O mg
θ很小 sin θ ≈ θ
d 2θ g
dt 2
+
θ=0 R
d 2θ ∴ −mgθ = mR dt 2
令ω2 = g R
d 2θ dt 2
+
ω2θ
=
0
谐振动
§4-3 阻尼振动
阻力
振动机械能
振幅
产生阻尼的原因： 摩擦、空气阻力、辐射……
x(cm)
解 振动方程为：
x = A cos(ωt + ϕ )
由图可知：
A = 31.4cm
31.4
15.7 0
− 15.7
− 31.4
1
t(s)
t = 0: x0 = −15.7 = −A/ 2, v0 < 0
∵x0 = Acosϕ = −A/ 2, v0 = −Aωsinϕ < 0, ∴ϕ = 2π / 3
= am cos(ω t + ϕ ± π )
其中：am=ω2A称为加速度振幅
振动系统的能量 (包括振动动能、势能)
振子动能：
Ek
=
1 2
mv2
=
1 2
mω2 A2
sin2(ω t
+ϕ
)
振子势能：
Ep
=
1 kx2 2
=
1 kA2 cos2 (ω t + ϕ 2
)
∵ mω2 = k
∴总能量： E = Ek + Ep
J ( R2
+
m)v2
=
C
1 2
kx2
+
1 2
J (
R2
+
m)v2
=
C
dx J
dv
kx dt + ( R2 + m)v dt = 0
dx = v dt
J
dv
kx + ( R2 + m) dt = 0
J
d2x
kx + ( + m) = 0
R2
dt 2
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
例.光滑水平桌面上放两个 质量分别为M1和M2的圆球, 它们之间被一根轻弹簧连 接,系数为K,求该系统的振 动频率?
解: ω2 = k m
ϖ=
k1k2
(k1 + k2 ) m
k1 = k2 = 2k0
ϖ=
k0 m
=ϖ0
ϖ=
4k0 m
= 2ϖ 0
例. 质量为m的比重计，放在密度为 ρ 的液体中。已知比 重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向 的运动为简谐振动，并计算周期。
解： 取平衡位置为坐标原点
平衡时： mg − F = 0 浮力： F = ρ Vg
k2
o
x
x
d2x f =m
dt 2
−k2 x2
=
−
k1k2 k1 + k2
x
=
m
d2x dt 2
d2 dt
x
2
+
(
k1
k1k2 + k2
)
m
x
=
0
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
ω=
k1k2
(k1 + k2 )m
k1
k2
o
x
x
例.一弹性劲度系数为的弹簧振动子，如果一分为二 后串联，则振动频率是多少？如果并联呢？
（2）
d 2x dt2
+
ω
2x
=
0
(3) 1 kx2 + 1 mv 2 = C
2
2
（4） x = A cos(ω t + ϕ1 )
例. 证明图示系统的振动为简谐振动。
证： 设物体位移x，弹簧分别伸长x1和x2
x = x1 + x2 f = −k1x1 = −k2 x2
x2
=
k1 k1 + k2
x
k1
S
x
x
k = SY x
k1
k2
o
x
x
� 在弹性限度内，弹性力F和位移x成正比。
∑
� F
=
−kx�
由牛顿第二定律得：
∑F
=
m
d2x dt 2
=
−k
x
得：
d2x dt 2
=
−
k m
x
d2x = − k x dt2 m d2 x = −ω2 x dt 2
动力学方程
令： ω 2 = k m
x = Acos(ω t + ϕ )
)
(
x1
−
x2
−l
)
=
0
§4.1.2 简谐振动运动学
1. 周期 频率和角频率
周期T：完成一次全振动所经历的时间。 频率n ：单位时间内完成全振动的次数。 n =1/T
ω ：角频率 （或称圆频率）
ωT = 2π , ω = 2π = 2πν T
ω= k m
T = 1 = 2π = 2π m
νω
k
2. 相位
力学量（如位移）
机械振动
电磁量（如I 、V、 E、 B） 电磁振动 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
§4.1 简谐振动动力学
简谐振动：凡质点的运动遵从余弦（或正弦） 规律时，其运动形式为简谐振动。
x = Acos(ω t + ϕ )
x
o
t
1. 弹簧振子模型
弹簧振子： 一根轻弹簧和一个质点构成的一 个振动系统
令： ω 2 = mgrc 得： J
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
由：sin θ
=θ
θ3 −
θ5 +
−⋯
3! 5!
sinθ ≈ θ
d2θ dt 2
+ω2
sin θ
=
0
d2θ dt 2
+ ω2θ
=
0
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
相应的角频率：
ω = mgrc J
或从机械能守恒：
v0=–Aωsinϕ>0,sinϕ<0,取ϕ=3π/2
∴ x=9.8×10-2cos( 10 t + 3π /2 ) m
O
x1 = 9.8×10-2cos( 10t+π ) m
x
对同一谐振动, 取不同的计时起点,
X
ϕ 不同，但ω和A 不变 .
例：已知某简谐振动的 位移与时间的关系曲线如图所
示，试求其振动方程。
E
=
1 2
J
( dθ dt
)2
+
mgrc
(1 −
cosθ
)
o
两边对时间t求一阶导数：
J
dθ dt
d2θ ⋅ dt2
+
mgrc
dθ dt
⋅ sin θ
=
0
d2θ + mgrc θ = 0 dt2 J
θ rc c
x
解为： θ = θ0 cos(ωt + ϕ)
例. 小球在半径很大的光滑凹球面底部来回滚动， 试分析小球的运动是否简谐振动。
Tt
•超前、落后以 <π 的相位角来判断
例. 如图：m=2×10-2kg, 平衡时弹簧的形变
为∆l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm, 物体由静止
释放。
m
1)开始振动时为计时零点，写出振动方程；
2）取x0=0，v0 >0为计时零点，写出振动方程。
O
x
解 ⑴ 取平衡位置为坐标原点。向下为正。 X
弹簧的弹性系数为：k = mg / ∆ l对物体任意位移x时受力分析
−dv2 dt
k +
mv1
(
x2
−x1
−l)
(v2
−v1)
=0
dv1 dt
−
dv2 dt
+
k mv1
(
x2
−
x1
−l)
⎛ ⎜ ⎝
m1 m2
v1
+ v1
⎞ ⎟ ⎠