王后雄教育顶级名师刘振诚高三数学专题-导数与切线

用思维导图突破解导数压轴题 专题4 导数与切线函数在某点的导函数值就是过该点切线的斜率。

高考中切线问题多数年份出现在客观题和解答题第（1）题中，考查知识点相对单一，比较容易。

少数年份出现在解答题（2）、（3）题，往往与方程结合起来考查，难度较大，解题时要注意数形结合。

两个函数若相切作差构造再求导判断导数正负号想方设法零点找引例（2018天津理科第20题）已知函数()x f x a =， ()log a g x x =，其中a >1. （1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间； （2）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln a x g x a +=-； （3）证明当1e a e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线.函数y =f (x )与y =g(x )图象相切 构造函数h (x )=f (x )–g(x ) 根据具体问题，运用分析法确定区间[a ,b ](区间不唯一) 判断在区间[a ,b ]上的正负,使h (a )h (b )<0思路点拨第（1）题只需求出()h x的导函数，并令其为0，然后分区间讨论符号即可确定单调区间；第（2）先求各自的斜率，令其相等，化简即得；第（3）题分别求出两个函数的切线方程，若两个函数有公切线，则这两条切线表示同一条直线，通过待定系数法转化为二元方程组解的问题，通过消元将方程组化为一元方程.而方程是否有解问题可归结为连续函数的零点定理，即只要在区间上存在零点，其函数值异号即可.满分解答若函数，有公切线在点处的切线l2：在点处的切线l1：令，证明r(x)有零点。

高三第一轮复习专题 用导数求曲线的切线方程一、几个常用函数的导数：基本初等函数的导数公式表： （共5个）()1x xααα-'= （幂函数的导数）()()sin cos cos sin x xx x ⎫'=⎪⎬'⎪=-⎭（三角函数的导数） ()ln xxa aa '= （指数函数的导数）()1log ln a x x a'=（对数函数的导数）常用函数的导数： （共8个）()0c '= ()1x '=()22x x '= ()323x x'=()xxe e'= ()1ln x x'=二、导数的运算法则：1。

[]()()()()f x g x f x g x '''+=+，[]()()()()f x g x f x g x '''-=-2。

[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+（前导后不导+前不导后导)特别地，[]()()cf x cf x ''=3。

2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(上导下不导—上不导下导）课后练习：1。

求下列函数的导数：①323y x x =-+ ②2log y x =③2xy e = ④522354y x x x =-+- ⑤3cos 4sin y x x =- ⑥32log y x x =+⑦nx y x e =⋅ ⑧cos sin xy x=三、求复合函数的导数：例。

()2()32y f x x ==-是由2,32y u u x ==-复合而成的函数。

求()y f x =的导数有两个途径：①()()223291241812y x x x x ''⎡⎤'=-=-+=-⎣⎦②2,3u x y u u ''==，()2366321812u x y u u u x x ''∴⋅=⨯==-=- 故x u x y y u '''=⋅一般地，复合函数(())y f x ϕ=，()y f u =，()u x ϕ=，则x u x y y u '''=⋅。

2023届全国高考数学复习：专题（曲线的切线方程）重点讲解与练习考点一 求切线的方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； 第二步，由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)ꞏ(x －x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． (2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12 D ．1(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ．【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝05．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝06．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝111．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1413．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．(3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．(4)(2019ꞏ全国Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 (5)设曲线y ＝x ＋1x －2在点(1，－2)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则a b ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．3 D ．－3(6)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为________．(7)已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是 ． (8)关于x 的方程2|x ＋a |＝e x 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．【对点训练】1．若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．33．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．参考答案【例题选讲】[例1](1) (2021ꞏ全国甲)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0．(2) (2020ꞏ全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1答案 B 解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f ′(x )＝4x 3－6x 2，所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1．(3) (2018ꞏ全国Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ．若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x答案 D 解析 法一 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0．因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法二 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，此时f (x )＝x 3＋x (经检验，f (x )为奇函数)，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．法三 易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x ．故选D ．(4) (2020ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．答案 2x －y ＝0 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，因为y ＝ln x ＋x ＋1，所以y ′＝1x ＋1，所以切线的斜率为1x 0＋1＝2，解得x 0＝1．所以y 0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．(5)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋lnx ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．(6) (2021ꞏ新高考Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( )A ．e b <aB ．e a <bC ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D 解析 根据y ＝e x 图象特征，y ＝e x 是下凸函数，又过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0<b <e a ．故选D ．(7)已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C 解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1，∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上，∴y 0＝x 30－x 0＋3，∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3．∴切点P 为(1，3)或(－1，3)．(8) (2019ꞏ江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e ，1) 解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m (x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m (m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1．故点A 的坐标为(e ，1)．(9)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)ꞏx 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为 ．答案 (0，0) 解析 ∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0，∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)．(10)函数y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A ．18B ．14C ．12D ．1答案 B 解析 ∵y ＝x －1x ＋1，∴y ′＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2　x ＋1　2，∴k ＝y ′|x ＝0＝2，∴切线方程为y ＋1＝2(x －0)，即y ＝2x －1，令x ＝0，得y ＝－1；令y ＝0，得x ＝12，故所求的面积为12×1×12＝14．(11)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是 ． 答案 2 解析 设曲线在点P (x 0，y 0)(x 0>0)处的切线与直线x －y －2＝0平行，则0|x x y '＝＝12x x x x 0=⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2x 0－1x 0＝1．∴x 0＝1，y 0＝1，则P (1，1)，则曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2． 【对点训练】1．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，πB ．⎣⎡⎭⎫2π3，πC ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，πD ．⎝⎛⎦⎤π2，5π6 1．答案 C 解析 y ′＝3x 2－3，∴y ′≥－3，∴tan α≥－3，又α∈[0，π)，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故 选C ．2．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为 ．2．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1，又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1，即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋2．3．(2019ꞏ全国Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________．3．答案 y ＝3x 解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ．4．曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝04．答案 D 解析 因为f (x )＝1－2ln x x f ′(x )＝－3＋2ln x x 2．又f (1)＝1，且f ′(1)＝－3，故所求切线方 程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0．5．(2019ꞏ全国Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( )A ．x －y －π－1＝0B ．2x －y －2π－1＝0C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝05．答案 C 解析 设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0．故选C ．6．(2019ꞏ天津)曲线y ＝cos x －x 2(0，1)处的切线方程为________．6．答案 y ＝－12x ＋1 解析 y ′＝－sin x －12，将x ＝0代入，可得切线斜率为－12．所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12x ＋1．7．已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为 ． 7．答案 2x －y ＝0 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0，解得a ＝1，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＋x ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0．8．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________．8．答案 3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0 解析 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0 ＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1，此时切线的斜率为1；若x 0＝2，则切线的斜率为4．故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)，即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0．9．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为 ． 9．答案 x －y －1＝0 解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x ．∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0．∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0．10．设函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，曲线f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．5x －y －4＝0B ．3x －y －2＝0C ．x －y ＝0D ．x ＝110．答案 A 解析 因为f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫12x 2－2x ＋f (1)ln x ，所以f ′(x )＝2f ′⎝⎛⎭⎫12x －2＋f （1）x ．令x ＝12得f ′⎝⎛⎭⎫12＝2f ′⎝⎛⎭⎫12 ×12－2＋2f (1)，即f (1)＝1．又f (1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12－2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝3，所以f ′(1)＝2f ′⎝⎛⎭⎫12－2＋f (1)＝6－2＋1＝5．所以曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝5(x －1)，即5x －y －4＝0．11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln2 022－ln2 021≈________．11．答案 y ＝x 12 021 解析 函数f (x )＝ln(1＋x )，则f ′(x )＝11＋x，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴切线方程为y ＝x ．∴ ln2 022－ln2 021＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋12 021＝f ⎝⎛⎭⎫12 021，根据以直代曲，x ＝12 021也非常接近切点x ＝0．∴可以将x ＝12 021代入切线近似代替f ⎝⎛⎭⎫12 021，即f ⎝⎛⎭⎫12 021≈12 021． 12．曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．2B ．32C ．12D ．1412．答案 D 解析 f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝2，故曲线f (x )＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12＝14，故选D ．13．已知曲线y ＝133＋43．(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程．13．解析 (1)∵P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2，4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4．∴曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0．(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20． ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20ꞏx －23x 30＋43． ∵点P (2，4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0．14．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0．(1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．14．解析 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12．又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x (2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6． 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6． 15．(2021ꞏ全国乙)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．(1)讨论f (x )的单调性；(2)求曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标．15．解析 (1)由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，Δ≤0，f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3， 令f ′(x )>0，则x <x 1或x >x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增． (2)记曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线为l ，切点为P (x 0，x 30－x 20＋ax 0＋1)．因为f ′(x 0)＝3x 20－2x 0＋a ，所以切线l 的方程为y －(x 30－x 20＋ax 0＋1)＝(3x 20－2x 0＋a )(x －x 0)．由l 过坐标原点，得2x 30－x 20－1＝0，解得x 0＝1，所以切线l 的方程为y ＝(1＋a )x ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(1＋a )x ，y ＝x 3－x 2＋ax ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1＋a 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1－a . 所以曲线y ＝f (x )过坐标原点的切线与曲线y ＝f (x )的公共点的坐标为(1，1＋a )和(－1，－1－a )． 考点二 求参数的值(范围)【方法总结】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．注意：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．【例题选讲】[例1](1)已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x 在(1，f (1))处的切线的斜率为2，则实数a 的值是________．答案 13 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1x ，则f ′(1)＝3a ＋1＝2，解得a ＝13．(2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．答案 [2，＋∞) 解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0．又4x ＋1x ≥24x ꞏ1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2．∴a 的取值范围是[2，＋∞)． (3)设函数f (x )＝a ln x ＋bx 3的图象在点(1，－1)处的切线经过点(0，1)，则a ＋b 的值为 ．答案 0 解析 依题意得f ′(x )＝a x ＋3bx 2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－1，f ′(1)＝1＋10－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1，a ＋3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，2．设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．32．答案 D 解析 ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1．∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3．故选D ．3．若曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)3．答案 C 解析 f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1，3)或(－1，3)，经检验点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C ．4．函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是 ．4．答案 (－∞，2) 解析 由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x ．因为x ＞0，所以2－1x 2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．5．已知函数f (x )＝x cos x ＋a sin x 在x ＝0处的切线与直线3x －y ＋1＝0平行，则实数a 的值为 ． 5．答案 2 解析 f ′(x )＝cos x ＋x ꞏ(－sin x )＋a cos x ＝(1＋a )cos x －x sin x ，∴f ′(0)＝1＋a ＝3，∴a ＝2． 6．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________；b ＝________． 6．答案 －1 －3 解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋a ，则由切线方程得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1＋a ＋b ＝2×1－5，f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝ －1，b ＝－3．7．若函数f (x )＝ax －3x 的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，4)，则a ＝________．7．答案 2 解析 f ′(x )＝a ＋3x 2，f ′(1)＝a ＋3，f (1)＝a －3，故f (x )的图象在点(1，a －3)处的切线方程为y－(a －3)＝(a ＋3)(x －1)，又切线过点(2，4)，所以4－(a －3)＝a ＋3，解得a ＝2．8．若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．e8．答案 C 解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线斜率k ＝1，则曲线y ＝e x 在x＝0处的切线方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1．设y ＝x ＋1与y ＝ln x ＋b 相切的切点为(m ，m ＋1)．又y ′＝1x ，则1m ＝1，解得m ＝1．所以切点坐标为(1，2)，则2＝b ＋ln 1，得b ＝2．9．曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0，1)处的切线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－12，0，则a ＝ ； 9．答案 1 解析 y ′＝e x (ax ＋1＋a )，所以y ′|x ＝0＝1＋a ，则曲线y ＝(ax ＋1)e x 在(0，1)处的切线方程为y＝(1＋a )x ＋1，又切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫－12，0，所以0＝(1＋a )×⎝⎛⎭⎫－12＋1，解得a ＝1． 10．过点M (－1，0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A 、B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝ ．10．答案 －274 解析 设切点坐标为(t ，2t 3＋at ＋a )，∵y ′＝6x 2＋a ，∴6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，即4t 3＋6t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32，∵|MA |＝|MB |，∴两切线的斜率互为相反数，即2a ＋6×⎝⎛⎭⎫－322＝0，解得a ＝－274．11．已知曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，直线l ：y ＝ax －3a ，则a ＝6是直线l 与曲线C 相切的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．答案 A 解析 因为曲线C ：f (x )＝x 3－3x ，所以f ′(x )＝3x 2－3．设直线l 与曲线C 相切，且切点的横坐标为x 0，则切线方程为y ＝(3x 20－3)x －2x 30，所以⎩⎨⎧ 3x 20－3＝a ，2x 30＝3a ，解得⎩⎨⎧ x 0＝3，a ＝6或⎩⎨⎧ x 0＝－32，a ＝－34，所以a ＝6是直线l 与曲线C 相切的充分不必要条件，故选A ．12．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围．12．解析 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，y ＝53，∴斜率最小的切线过点⎝⎛⎭⎫2，53，斜率k ＝－1，∴切线方程为y －53＝－1×(x －2)，即3x ＋3y －11＝0．(2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 故α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π． 13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．13．解析 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1． (2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12．所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞．14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C ．(1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 14．解析 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎪⎨⎪⎧ k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1， 则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1，3)∪[2＋2，＋∞)．。

导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=； （3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=； （6）若()e x f x =，则()e x f x '=； （7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程 （1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。

专题09 导数的几何意义-----切线问题【热点聚焦与扩展】导数的几何意义为高考热点内容，考查题型文科多为选择、填空题，理科常出现在解答题中，难度中等或更小．归纳起来常见的命题探究角度有： (1)求切线方程问题． (2)确定切点坐标问题． (3)已知切线问题求参数． (4)切线的综合应用． （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A.这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线.（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上. （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点.（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线.（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．3、从导数的几何意义中可通过数形结合解释几类不含导数的点：（1）函数的边界点：此类点左侧（或右侧）的点不在定义域中，从而某一侧不含割线，也就无从谈起极限位置.故切线不存在，导数不存在；与此类似还有分段函数如果不连续，则断开处的边界值也不存在导数.（2）已知点与左右附近点的割线极限位置不相同，则不存在切线，故不存在导数.例如前面例子y x =在()0,0处不存在导数.此类情况多出现在单调区间变化的分界处，判断时只需选点向已知点左右靠近，观察极限位置是否相同即可.（3）若在已知点处存在切线，但切线垂直x 轴，则其斜率不存在，在该点处导数也不存在.例如：3y x =在()0,0处不可导.综上所述：（1）-（3）所谈的点均不存在导数，而（1）（2）所谈的点不存在切线，（3）中的点存在切线，但没有导数.由此可见：某点有导数则必有切线，有切线则未必有导数. （二）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程。

切线的相关问题是历年高考中的热门考点，常在选填题中出现，偶尔也会出现在解答题中。

特别是近几年高考中关于公切线的相关考点出现较多。

导数在高中数学中，作为解题工具具有很重要的地位，导数的几何意义为解决曲线的切线和公切线提供诸多便利。

本专题主要研究导数在切线中的相关运用，望能对同学们解决切线和公切线提供帮助。

【技巧精讲】专题目录【专题1】求切线方程（已知切点和未知切点） (5)【专题2】求切点（已知切线或斜率） (7)【专题3】求参数（未知切点，已知切线） (8)【题型4】切线的条数问题 (9)【专题5】切线与切线的关系 (10)【专题6】求公切线方程 (12)【专题7】求公切线的条数问题 (13)【专题8】与公切线有关的参数问题 (14)【专题9】切线的应用：距离问题 (16)【专题10】切线的应用：恒成立（存在）问题 (18)【专题11】切线的应用：零点（方程的根、交点）问题 (20)【提升训练】 (23)【高考再现】 (32)【专题1】求切线方程（已知切点和未知切点）【典例分析】1.（2022·江西高三月考）已知曲线31433y x =+．（1）求曲线在2x =处的切线方程；（2）求曲线过点()2,4的切线方程．【答案】（1）440x y --=；（2）440x y --=或20x y -+=．【详解】（1）∵2y x '=，∴在点()2,4P 处的切线的斜率24x k y ='==．∴曲线在点()2,4P 处的切线方程为()442y x -=-，即440x y --=．（2）设曲线31433y x =+与过点()2,4P 的切线相切于点30014,33A x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线的斜率020x x k y x =='=．∴切线方程为()320001433y x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，即23002433y x x x =⋅-+．∵点()2,4P 在切线上，∴2300244233x x =-+，即3200340x x -+=，∴322000440x x x +-+=，∴()()()2000014110x x x x +-+-=，∴()()200120x x +-=，解得01x =-或02x =，故所求的切线方程为440x y --=或20x y -+=．【变式演练】1.（2022·河北高三模拟）已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，1()1x f x e -=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为___________.【答案】10x y -+=【详解】由()f x 是(,0)(0,)-∞+∞ 上的奇函数，当x ＜0时，0x ->,f （x ）＝-f （﹣x ）＝11x e ---+，则()1x f x e--'=，可得()1111f e-'-==，f （﹣1）＝0，故()f x 在(1,(1))f --处的切线方程为y ﹣0＝（x +1），即x -y +1＝0，故答案为：10x y -+=．2．（2022·福建省连江县高三期中）（多选题）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列命题中，正确的有（）A．直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =B．直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+C．直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =D．直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =【答案】AC【分析】根据“切过”的定义和导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值逐一判断选项即可.【详解】A：由3y x =，得23y x '=，得()00f '=，直线0y =是曲线C 的切线，又当0x >时0y >，当0x <时0y <，满足曲线C 在(0,0)P 附近位于直线0y =的两侧，故A 正确；B：由于2(1)y x =+，得2(1)y x '=+，则()10f '-=，而直线:1l x =的斜率不存在，在点(1,0)P -处不与曲线C 相切，故B 错误；C：由于sin y x =，得cos y x '=，所以()01f '=，直线y x =是过点(0,0)P 的曲线的切线，又(,0)2x π∈-时sin ,(0,2x x x π<∈时sin x x >，满足曲线C 在(0,0)P 附近位于直线y x =两侧，故C 正确；D：由于ln y x =，得1y x'=，所以()11f '=，曲线在(1,0)P 处的切线为1y x =-，设()1ln g x x x =--，得()11g x x'=-，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上有极小值也是最小值，为()10g =，所以1y x =-恒在ln y x =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，故D 错误.故选：AC．3.（2022·安顺市高二月考）已知1ln y x =+.（1）求曲线1ln y x =+在点(),2P e 处的切线方程；（2）求曲线1ln y x =+过原点()0,0O 的切线方程.【答案】（1）0x ey e -+=；（2）0x y -=.【详解】（1）由1ln y x =+求导得：1y x '=，当x e =时，1y e'=，由点斜式得曲线在点(),2P e 处的切线方程为()12y x e e-=-，即0x ey e -+=，所以曲线1ln y x =+在点(),2P e 处的切线方程0x ey e -+=；（2）由题意知，点()0,0O 不在曲线上，设切点为()00,1ln B x x +，由(1)知曲线1ln y x =+在点B 处切线斜率为01x ，切线方程为0001(1ln ))y x x x x -+=-，即001ln y x x x =+，而切线过点()0,0O ，即0ln 0x =，解得01x =，于是得所求切线方程为y x =，所以曲线1ln y x =+过原点()0,0O 的切线方程为0x y -=.【专题2】求切点（已知切线或斜率）【典例分析】1.（2022·玉林市高三期中）曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，则P 0的坐标为（）A．()1,0B．()2,8C．()1,0或()1,4--D．()2,8或()1,4--【答案】C【详解】曲线3()2f x x x =+-在P 0处的切线垂直于直线114y x =--，所以切线的斜率为4，依题意，令2()314f x x '=+=，解得1x =±，(1)1120,(1)1124f f =+-=-=---=-，故0P 点的坐标为()1,0和()1,4--，故选：C【变式演练】1.（2022·东莞市高三月考）已知曲线33y x x =+在点P 处的切线与直线153=+y x 平行，则点P 的坐标为（）A．(2,14)B．(2,14)--C．(2,14)或(2,14)--D．以上都不对【答案】C【详解】解：由题意可知：函数33y x x =+的导函数为'233y x =+ 过P 点的切线与直线153=+y x 平行∴23315x +=，解得2x =±当2x =时，322314y =+⨯=，此时切线方程为1415(2)y x -=⨯-，即1516y x =-；当2x =-时，3(2)(2)314y =-+-⨯=-，此时切线方程为1415(2)y x +=⨯+，即1516y x =+.所以点P 的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C2．（2022·重庆高三模拟）曲线()2ln 2f x x x x x =+-+在点()()0,x f x ()00x >处的切线恰好经过坐标原点，则0x =___________.【答案】1【详解】()ln 2f x x x '=+，则()000ln 2k f x x x '==+则切线方程为()()()20000000ln 2ln 2y x x x x x x x x -+-+=+-，代入原点可得：220000000ln 2ln 2x x x x x x x --+-=--，即20020x x +-=，解得01x =（负根舍去）故答案为：1【专题3】求参数（未知切点，已知切线）【典例分析】1.（2022·安徽高三月考（理））直线1y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k =（）A．1-B．1C．2D．e【答案】B【详解】设切点坐标为()00,ln x x ，且()1y f x x ''==，所以0001ln 1kx x k x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以011x k =⎧⎨=⎩，故选：B.【变式演练】1．（2022·河北高三月考）若直线l ：2y ex b =+是曲线2ln y x =的切线，则实数b =________.【答案】4-【详解】由()()2ln 0f x x x =>，则()2f x x'=，设直线l 与曲线()2ln f x x =相切于点(),2ln m m ，则切线斜率()22k f m e m '===，所以1m e =，切点为1,2e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入直线l 方程得122e b e -=⨯+，4b =-.故答案为：4-.2．（2022·江苏高三开学考试）已知a b ，为实数，直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，则a b +=________.【答案】2【分析】设切点为()00,x y ，根据直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，求得切点代入直线方程求解.【详解】因为直线2y x a =-+与曲线e 1x b y +=-相切，设切点为()00,x y ，由e 1x b y +=-，则e x b y +'=，所以0e 1x b +=，即00x b +=，解得0x b =-，又00e 10x b y +=-=，所以切点是(),0b -，代入直线方程得02b a =--+，所以2a b +=，故答案为：2【题型4】切线的条数问题【典例分析】1.（2021·广东高三月考）过定点()1,P e 作曲线()0x y ae a =>的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)x x ae ，利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+，由题意知00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，构造()(2)xeg x e x =-且2x ≠，利用导数研究单调性及值域，进而确定a 的范围.【详解】由x y ae '=，若切点为00(,)x x ae ，则00x y k ae '==>，∴切线方程为00(1)x y ae x x =-+，又()1,P e 在切线上，∴00(2)x ae x e -=，即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，令()(2)x e g x e x =-，即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点，而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-，1、当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，且lim ()0x g x -→+∞→，2、当21x >>时，()0g x '>，()g x 递增；当1x <时，()0g x '<，()g x 递减；∴()()11g x g ≥=，又lim ()x g x →-∞→+∞，12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞，∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，即()1,a ∈+∞.故答案为：()1,+∞【变式演练】1．（2022·北京市高三期中）已知函数()()02af x x a x=+>，则曲线()y f x =过点()2,0P 的切线有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【答案】C【详解】设切点为A 00(,)x y ，直线AP 的斜率为k ,则0()f x k '=，又020()12af x x '=-，0200020000222224ax y x x a k x x x x ++===---，∴2004220x ax a +-=又方程2004220x ax a +-=的判别式为2432a a +，且0a >，∴方程2004220x ax a +-=有两个不同的解，∴曲线()y f x =过点(2,0)的切线有两条，故选：C.2．（2022·江北·高三期中）若过点(),2A a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是__________.【答案】2(e ,)+∞【详解】由题意得：()ln 1,(0)f x x x '=+>，设切点为00(,)x y ，所以切线的斜率0ln 1k x =+，又000ln y x x =，所以切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，因为点(),2A a a 在切线上，代入可得00002ln (ln 1)()a x x x a x -=+-，整理可得00ln 11x a x -=设ln 1(),(0)x g x x x -=>，则22ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，可得2e x =，当2(0,e )x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当2(e ,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以2max 21()(e )e g x g ==，因为过点A 与()f x 相切的直线有两条，所以方程00ln 11x a x -=有2个根，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →，所以2110ea <<，解得2e a >.故答案为：2(e ,)+∞【专题5】切线与切线的关系【典例分析】1.（2022·河北·高三二模）已知函数()cos 2sin 2f x ax b x c x =++，其中a ，b ，c ∈R ，2214b c +=，()f x '为()f x 的导函数．若存在12,x x R ∈使得()()121f x f x ''⋅=-成立，则a b c ++的最大值为______．【答案】2【详解】2214b c +=，∴可设1cos 2b θ=，1sin 2c θ=，()()()2sin 22cos 2sin 2cos cos 2sin sin 2f x a b x c x a x x a x θθθ'∴=-+=--=--，()11a f x a '∴-≤≤+，存在12,x x R ∈使得()()121f x f x ''⋅=-，()()1010111a a a a ⎧-<⎪∴+>⎨⎪-+≤-⎩，2110a a -<<⎧∴⎨≤⎩，0a ∴=，11cos sin 2224a b c b c πθθθ⎛⎫∴++=+=+=+ ⎪⎝⎭，∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，a b c ++取得最大值2.故答案为：2.【变式演练】1．（2022·全国·模拟预测（理））已知,,a b c R ∈，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a +的取值范围是（）A．[2,2]-B．[C．[D．[-【答案】B【详解】∵函数22()cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=，∴()cos sin sin()f x a c x b x a x ϕ=-'+=--，其中tan cbϕ=，则()[1,1]f x a a -+'∈，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在12,[1,1]k k a a ∈-+，使121k k =-，由2(1)(1)11a a a -+=-≥-，得0a =，则)a ϕθ+=+=+，其中tan θ=[a +∈；故选B．【专题6】求公切线方程【典例分析】1.（2022·重庆高三专题练习）若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则k b +=（）A．ln22-B．1ln22-C．ln212-D．ln22【答案】D【详解】设曲线2x y e -=上的点11(,)P x y ，2x y e -'=，121x k e -=；曲线1x y e =-上的点22(,)Q x y ，e x y '=，22x k e =；11122211x x x l y e x e x e ---∴=+-：，222221x x x l y e x e x e ∴=+--：121122222121x x x x x x e e e x e e x e ---⎧=∴⎨-=--⎩，2ln 2x ∴=-，2222111ln 21(ln 2)2222x x x k b e e x e ∴+=+-+=+--=．故选：D．【变式演练】1.（2022·安徽高三月考）已知曲线()f x =()()ln g x a x a R =∈相交，且在交点处有相同的切线，则该切线方程是__________．【答案】220x ey e -+=【详解】解:'()f x ='()ag x x=(0)x >．设两曲线的交点为00(,)x y ，则公切线有两种表达式：000()()()y f x f x x x '-=-和000()()()y g x g x x x '-=-，即0)y x x -=-和000ln ()a y a x x x x -=-．化简得y x =00ln a y x a x a x =+-．0a x =0ln a x a =-，联立解得2e a =，20x e =，将2ea =，20x e =代入y x =00ln a y x a x a x =+-中，得到公切线方程为122ey x e =+，即220x ey e -+=．故答案为:220x ey e -+=2.（2022·河北高三月考）（多选题）已知函数()()11x f x e e =+与()11x g x e e+=-的图象的公切线为l ，则（）A．l 的斜率大于12B．l 在x 轴上的截距为一2C．l 的斜率小于12D．l 在y 轴上的截距为2【答案】BC【详解】设切点分别为()1211211,1,,.xx P x e Q x e ee +⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()()11,x x f x e g x e -+'=='，所以11x e -=()1221112111x x x e e e e e x x ++⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=-，可得1211x x -=+，即122x x =+，则()121121111x x e e e e x x e+⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=-，所以()120,0,,2,0P e x Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以公切线方程为21y x e e -=，即20.x ey -+=所以选项BC 正确.故选：BC.【专题7】求公切线的条数问题【典例分析】1.（2022广西高三模拟）曲线1()x f x e -=与曲线()ln g x x =有（）条公切线.A．1B．2C．3D．4【答案】B 【详解】设()010,x x e -是曲线()f x 图像上任意一点，()'1x f x e-=，所以()01'0x fx e -=，所以过点()010,x x e -的切线方程为()00110x x y e e x x ---=-，整理得()001101x x y e x x e --=⋅+-①.令()01'1x g x e x-==，解得011x x e -=，则()101g x x =-，所以曲线()g x 上过点()010,1xe x --的切线方程为：()()001101x x y x e x e ----=-，整理得010x y e x x -=⋅-②.由于切线①②重合，故()01001x x e x --=-，即()010010x x ex --⋅-=③.构造函数()()11x h x x e x -=--，则()'11x h x xe -=-，()()''11x h x x e -=+，故当1x <-时()()'''0,h x h x <递减、当1x >-时()()'''0,h x h x >递增，注意到当0x <时()'0h x <，且()'10h =，所以当1x <时()()'0,h x h x <递减，当1x >时，()()'0,h x h x >递增，而()()()22110,110,220h h h e e-=->=-<=->，根据零点存在性定理可知在区间()()1,1,1,2-各存在()h x 的一个零点，也即()h x 有两个零点，也即方程③有两个根，也即曲线()f x 和曲线()g x 有两条公切线.故选：B【变式演练】1.．已知函数21()44,()f x x x g x x -=-+=，则()f x 和()g x 的公切线的条数为A．三条B．二条C．一条D．0条【答案】A【详解】设公切线与()f x 和()g x 分别相切于点()()()()(),,,,24m f m n f n f x x =-'，()()()()()2,g n f m g x x g n f m n m--=-==''-'，解得222n m -=-+，代入化简得328810n n -+=，构造函数()()()32881,832f x x x f x x x +='=--，原函数在()22-00+33⎛⎫⎛⎫∞∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，极大值()200,03f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭极小值，故函数和x 轴有交3个点，方程328810n n -+=有三解，故切线有3条.故选A.【专题8】与公切线有关的参数问题【典例分析】1．（2022·眉山市高三开学考试）若两曲线y ＝x 2+1与y ＝a ln x +1存在公切线，则正实数a 的取值范围是______．【答案】（0，2e ]【详解】解：设公切线与曲线y ＝x 2+1和y ＝a ln x +1的交点分别为（x 1，x 12+1），（x 2，a ln x 2+1），其中x 2＞0，对于y ＝x 2+1，y ′＝2x ，所以与曲线y ＝x 2+1相切的切线方程为：y ﹣（x 12+1）＝2x 1（x ﹣x 1），即y ＝2x 1x ﹣x 12+1，对于y ＝a ln x +1，y ′＝ax，所以与曲线y ＝a ln x +1相切的切线方程为y ﹣（a ln x 2+1）＝2a x （x ﹣x 2），即y ＝2a x x ﹣a +1+a ln x 2，所以122122111a x x x a nx a⎧=⎪⎨⎪-=+-⎩，即有﹣2224a x ＝a ln x 2﹣a ，由a ＞0，可得a ＝4x 2﹣4x 2ln x ，记f (x )＝4x 2﹣4x 2ln x （x ＞0），f ′(x )＝8x ﹣4x ﹣8x ln x ＝4x （1﹣2ln x ），当xf ′(x )＞0，即f (x )在（0xf ′(x )＜0，即f (x )+∞）上单调递减，所以f (x )max ＝f）＝2e ，又x →0时，f (x )→0，x →+∞时，f (x )→﹣∞，所以0＜a ≤2e ．故答案为：（0，2e ]．【变式演练】1.（2022·福建龙岩市·高三模拟）已知函数()x f x xe =与()()2g x x ax a =+∈R 的图象在()0,0A 处有相同的切线，则a =（）A．0B．1-C．1D．1-或1【答案】C【详解】点()0,0A 在两函数图象上，()()1x f x x e '=+，()2g x x a '=+，根据题意可得()()00f g '='，即1a =.故选：C2.（2022·成都市·高三模拟）直线y kx b =+与曲线()y f x =相切也与曲线()y g x =相切，则称直线y kx b =+为曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线，已知函数2(),()ln ,f x x g x a x ==，其中0a ≠，若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为（）A．0a <B．1a <-C．02ea <<D．20a e<<【答案】C【详解】设曲线2()f x x =的切点为：2(,)s s ，2'()()2f x x f x x ⇒==，所以过该切点的切线斜率为'()2f s s =，因此过该切点的切线方程为：222()2y s s x s y sx s -=-⇒=-；设曲线()y g x =的切点为：(,ln )t a t ，'()ln ()a g x a x g x x =⇒=，所以过该切点的切线斜率为'()a g t t=，因此过该切点的切线方程为：ln ()ln a ay a t x t y x a a t t t-=-⇒=-+，则两曲线的公切线应该满足：2224(1ln )ln a s a t t ts a a t⎧=⎪⇒=-⎨⎪-=-+⎩，构造函数2'()4(1ln )(0)()4(12ln )h t t t t h t t t =->⇒=-,当12t e>时，'()0,()h t h t <单调递减，当120t e<<时，'()0,()h t h t >单调递增，所以函数有最大值为：12()2h e e =，当t e >时，()0h t <，当0t e <<，()0h t >，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线()y f x =和曲线()y g x =的公切线有两条，则a 的取值范围为02e a <<.故选：C【专题9】切线的应用：距离问题【典例分析】1.（2022·海南高三）已知点(),P a b 为曲线()ln 21y x =+255a b -+5255a b -+(),P a b 到直线250x y -+=的距离，令2221x a y a =+'==，所以0a =，所以(),P a b 到直线250x y -+=252005555a b -+⨯-+==．故答案为：52.（2022江西高三模拟）已知a R ∈，b R ∈()()221ba b a e -+--2【分析】利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答.()()221ba b a e -+--(),1a a -到点(),bb e 的距离，而点(),1a a -的轨迹是直线1y x =-，点(),bb e 的轨迹是曲线()x f x e =，则所求最小值可转化为曲线()x f x e =上的点到直线1y x =-距离的最小值，而曲线()x f x e =在直线1y x =-上方，平移直线1y x =-使其与曲线()x f x e =相切，则切点到直线1y x =-距离即为所求，设切点00(,)x x e ，()xf x e '=，由()001x f x e '==得00x =，切点为(0,1)则(0,1)到直线1y x =-距离d =【变式演练】1.（2022·河南开封·高三（理））在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.【答案】22【详解】设21()(0)f x x x x =+>，则322121()2x f x x x x -'=-=，令()0f x '=，即3210x -=，解得42x =，当402x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当42x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.如图，画出函数大致图象以及直线y x =，当直线y x =的平行直线与曲线21(0)y x x x =+>相切时，切点P 到直线y x =的距离最小.设切点00(,)P x y ，切线斜率为k ，由3002021()1x k f x x -'===，解得01x =，即点(1,2)P .则点(1,2)P 到直线y x =的距离d 22.2．（2022.绵阳市高三期中）若实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=，的最小值为．【解答】解： 实数a ，b ，c ，d 满足222(3)(2)0b a lna c d +-+-+=，230b a lna ∴+-=，20c d -+=．分别设2()3(0)y f x lnx x x ==->，2y x =+．设直线2y x =+与曲线23(0)y lnx x x =->相切于点0(P x ，0)y ．则3()2f x x x '=-，0003()21f x x x '=-=，解得01x =，01y ∴=-．(1,1)P ∴-．∴点P 到直线2y x =+的距离d =的最小值为【专题10】切线的应用：恒成立（存在）问题【典例分析】1.（2022广东高三期中）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x ≥+恒成立，则m 的取值范围为（）A．[]1,21e --B．(,21]e -∞-C．[]1,1e --D．(,1]e -∞-【答案】A【详解】解：因为()x f x a =，所以()ln x f x a a '=，又函数()f x 的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，所以0(0)ln 2f a a '==，解得2e a =，所以2()e x f x =，因为()f x mx x ≥+恒成立，所以2e x mx x ≥+恒成立．当0x =时，0e 0≥成立．当0x ≠时，令2e ()1x g x x =-，则22e (21)()x x g x x-'=．当1(,0)0,2x ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在(,0)-∞和10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x >时，e 1xm x ≤-恒成立，所以2mine 112e 12x m g x ⎛⎫⎛⎫≤-==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当0x <时，2e 1x m x ≥-恒成立，而2e ()11xg x x=-<-，所以1m ≥-．综上，12e 1m ≤≤-一，所以m 的取值范围为[1,2e 1]--．故选：A2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11ae -=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩ ，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）A．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．21e 1,3e 2⎛⎫- ⎪⎝⎭C．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()e f x ax >-在R 上恒成立，等价于()f x 的图像恒在直线e y ax =-的上方，画出()0ln ,0x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩的图像：直线e y ax =-恒过定点()0,e -，当直线e y ax =-与ln y x x =，0x >相切时，设切点()000,ln P x x x ，求导得ln 1y x ¢=+，可得01ln k x =+，由0000ln e1ln x x x x ++=，解得0e x =，则切线的斜率为2.当直线e y ax =-与y =0x ≤相切时，直线e y ax =-与半圆()()22110x y y ++= 相切，1=，解得21e 2e a -=，由图可知，a 的取值范围是21e ,22e ⎛⎫-⎪⎝⎭.故A，B，C 错误.故选：D.【专题11】切线的应用：零点（方程的根、交点）问题【典例分析】1.已知函数()f x 满足1()()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是．【答案】ln 31[,)3e【解析】试题分析：由题意知，ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，∵在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有三个不同的交点，∴函数ln ,[1,3]()12ln ,[,1)3x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-∈⎪⎩与y ax =在区间1[,3]3内有三个不同的交点，合图象可知，当直线y ax =与()ln f x x =相切时，ln 1x x x =，解得：x e =；此时1a e=；当直线y ax =过点(3,ln 3)时，ln 33a =；故ln 313a e≤<.【变式演练】1.已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________.【答案】11[,4e【分析】采用数形结合，先计算直线直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的值，然后讨论114a e≤<，10,4<<a 104a <<的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数()y f x =的图象如图所示：先考虑直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的取值，设切点为(,ln )t t ，对函数ln y x =求导得1y x'=，切线方程为1ln ()y t x t t -=-，即1ln 1y x t t =+-，则有1ln 10a tt ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1t ea e =⎧⎪⎨=⎪⎩，由图象可知，当1a e=时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有一个公共点，不合乎题意；当114a e≤<时，直线与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有两个公共点，合乎题意；当104a <<时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞有两个公共点，不合乎题意；当0a ≤时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.2.（2022.安徽高三模拟）已知函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，若22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，方程()()2f x k x =-有三个不同的根，则k 的取值范围为（）A．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由()()11f x f x +=-，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，由此可画出函数图像，而直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线，当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【详解】因为()()11f x f x +=-，所以函数()f x 的图像关于直线1x =对称.当21,x e ⎡⎤∈⎣⎦时，()ln f x x =，则当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，()f x 的图像如图所示，直线()2y k x =-为过定点()2,0的一条直线.当直线与当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时的函数()f x 的图像相切时，直线与()f x 在22,1e ⎡⎤-⎣⎦的图像有两个公共点.当22,1x e ⎡⎤∈-⎣⎦时，函数()()()2ln 2f x f x x =-=-，()12x f x '=-，设切点为()()00,ln 2x x -，切线的斜率012k x =-，则切线方程为()()0001ln 22y x x x x --=--，把点()2,0代入得02x e =-，所以1k e=-；当直线过点()22,2e -时，22k e =-，所以k 的取值范围为212,e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦，故选：C.【提升训练】1.（2022山西高三模拟）函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+有公切线,(0)y ax a =>，则实数m 的值为（）A．4B．2C．1D．12【答案】A【分析】设两个切点A ()11x y ，和B ()22x y ，，然后求函数的导函数(),()f x g x ''，由()g x 的导函数()g x '分析求解参数2a =，再由()f x 的导函数和公切线分析得出关于m 的方程组，求解即可得出答案.【详解】设公切线,(0)y ax a =>与两个函数()ln 1mxf x x x =++与2()1g x x =+图象的切点分别为A ()11x y ，和B ()22x y ，，由()21()1m f x x x '=++，()2g x x '=，可得()22222222()21g x x ay ax g x x y⎧==⎪=='⎨⎪+=⎩解得2a =，所以有()1211111111111()21()ln 12m f x a x x mx f x x y x y ax x ⎧=+==⎪+⎪⎪⎪=+'=⎨+⎪⎪==⎪⎪⎩化简得21112ln 10x x x -+-=，令()22ln 1h x x x x =-+-()0x >，则()11304h x x x'+-≥>=恒成立，即得函数()22ln 1h x x x x =-+-()0x >在定义域上为增函数，又因()10h =，则可解得方程21112ln 10x x x -+-=，11x =，则由()21(1)2111mf '=+=+解得4m =.故选：A.2．（2022·广东）若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（）A．3b a <-B．333a b a a-<<-C．33b a a>-D．3b a =-或33b a a=-【答案】B【详解】233y x '=-设切点()3,3P m m m -，切线方程()()()32333y m m m x m --=--，切线过点()(),0a b a >，()()32333b m m m a m -+=--，整理得：322330m am a b -++=，由于可以作三条切线，所以关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，()32233g m m am a b =-++，()266g m m am '=-，令()2660g m m am '=-=，0m =或(),0m a a =>.函数()32233g m m am a b =-++的增区间为()(),0,,a -∞+∞，减区间为()0,a ，所以函数极大值()03g a b =+，极小值()33g m a a b =-++，关于m 的方程322330m am a b -++=有三个不同的实根，所以33030a ab a b ⎧-++<⎨+>⎩，所以33,33b a a b a a >-<<-.故选：B3.（2022·昭通高三月考）已知曲线23ln 14x y x =-+的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．12【答案】A【详解】解：函数23ln 14x y x =-+的定义域为()0,∞+，则32x y x '=-，设斜率为12的切线的切点为0(x ，0)y ，0(0)x >，所以003122x x -=，解得03x =或-2（舍去），所以切点的横坐标为3.故选：A.4.（2022·山东高二期末）已知函数()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 3f x x x =-+，则曲线()y f x =上的点到直线21y x =-+的最小距离为（）A．1C．5D．5【答案】B【分析】首先求0x >的解析式，根据条件求()2f x '=-的点，再求点到直线的距离的最小值.【详解】当0x <时，设点()11,P x y ，()11132f x x '=+=-，解得：115x =-，13ln 55y =--，此时点P 到直线21y x =-+的距离1d ==设0x >，0x -<，因为函数是偶函数，所以()()ln 3f x f x x x =-=-，设点()22,Q x y ，()22132f x x '=-=-，解得：21x =，23y =-，此时点Q 到直线21y x =-+的距离2d ==因为21d d <，所以曲线()y f x =上的点到直线21y x =-+的最小距离为25d =.故选：B5.（2022陕西高考模拟）关于x 的方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，设最大的根是α，则α与tan α的大小关系是A．tan αα>B．tan αα<C．tan αα=D．以上都不对【答案】C由题意作出y kx =与sin y x =在(3,3)ππ-的图象，如图所示：∵方程sin ((0,1))kx x k =∈在(3,3)ππ-内有且仅有5个根，最大的根是α.∴α必是y kx =与sin y x =在(2,3)ππ内相切时切点的横坐标设切点为()00,x y ，052,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0x α=，斜率0cos k x =则000sin cos cos tan y x x ααααα=∴=⋅∴=故选C.6.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（）A．0B．4C．0或-4D．0或4【答案】C【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可．【详解】设切点为000(,)x x x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)x y x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x e x e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =，故选C．7．函数()ln f x x =在点()()00,P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】试题分析:设切点分别为),(11y x P 或),(22y x P ,因x e x g xx f ==)(,1)(//,故211x e x k ==,由此可得k x k x ln ,121==,切线方程分别为)1(1ln kx k k y -=-和)ln (k x k k y -=-.由题设可得k k k k ln 1ln +-=+,即1ln )1(+=-k k k ,也即11ln -+=k k k ,由题意这个方程解的个数就是点P 的个数.在平面直角坐标系中画出函数k y ln =和函数11-+=k k y 的图象,结合图象可以看出两函数的图象有两个不同的正根,故切点的个数有两个,应选C.考点：导数的几何意义及函数的图象和性质的综合运用.8.已知ln 0a b -=，1c d -=，求22()()a c b d -+-的最小值________.【答案】2【详解】依题意得ln a b =，10d c -+=，则(),b a 是曲线ln y x =上的点，(),d c 是直线10x y -+=上的点，所以22()()a c b d -+-可看成曲线ln y x =上的点到直线10x y -+=上的点的距离的平方.直线10x y -+=的斜率为1，'1ln y x y x =⇒=，令'111y x x==⇒=，所以过曲线ln y x =上一点()1,0的切线与直线10x y -+=平行，点()1,0到直线10x y -+==因此22()()a c b d -+-的最小值为22=.故答案为：29.（2022·河北唐山市·高三模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________.【答案】)【详解】设2(,)2a M a ，抛物线的焦点坐标1(0,)2F ，如图，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，∴圆心Q 的纵坐标为14，设1(,)4Q m ，直线MQ 与抛物线C 相切于点M 22x y ∴=导数122y x x '=⋅=，即在M处的切线斜率k a =即MQ 的斜率2124a k a a m-==-，即22124a a am -=-，即2124a am =+，得124a m a =+，即1(24a Q a +，1)4，||||OQ QM = 22221111()()()24422416a a a a a a ∴+-+-=++，即22221111()(()24422416a a a a a -++-=++得2219(4216a -=，得2131244a =+=或21312442a =-=-（舍)解得22a =．0a >，a ∴=，M 1)即M的坐标为，1)故答案为：，1)．10．（2022·广西·高三专题练习）已知函数()222,0()ln 1,0x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】12e a -≤≤【解析】画出函数()f x的图像，如图所示：关于x 的不等式1()2f x ax a ≤+-在R 上恒成立，等价于函数()y f x =的图像恒在直线12y ax a =+-的图像的下方，又直线12y ax a =+-恒过定点11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭当直线与()ln 1,0y x x =+>相切时，设切点()00,ln(1)P x x +，求导11y x '=+，可得0001ln(1)1211x x x ++=++，解得：1201=-x e ，则直线斜率为12e -，即12a e -=当直线与222,0y x x x =---≤相切时，此时由21222ax a x x +-=---整理得：23(2)02x a x a ++++=，令2(2)460a a ∆=+--=，解得a =a =所以由图像可知，实数a的取值范围是12e a -≤≤12e a -≤≤11．（2022·树德中学高三（理））已知函数()()()2221ln 21ln 2f x x x m x x m =++-+++，若存在实数0x ，使得()02f x ≤成立，则实数m 的可能取值为___________.【答案】1【解析】因为22222()(1)ln 2(1ln )2[(1)](ln )f x x x m x x m x m x m =++-+++=--+-，则看成点(),ln x x 到点()1,m m -的距离的平方，其中点(),ln x x 在函数()ln g x x =上，点()1,m m -在直线1y x =+上，由()ln g x x =，得()1g x x'=，令()1g x '=，则1x =，(1)0g =，设()1,0A ，所以函数()ln g x x =在点()1,0A 处的切线与直线1y x =+平行，所以点()1,0A 到直线1y x =+的距离，即点(),ln x x 到点()1,m m -的距离的最小值，点()1,0A 到直线1y x =+的距离为d ==()2f x ≥，过点()1,0A 且垂直直线1y x =+的直线方程为1y x =-+，由11y x y x =-+⎧⎨=+⎩，得01x y =⎧⎨=⎩，当且仅当10m -=，即1x =时，()2f x =，所以1m =.所以实数m 的所有可能取值为1，故答案为：1.12.（2022·沙坪坝·高三期中）已知函数2()2f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 23--=x x __________．【答案】0【分析】设公切线与()ln g x x =切于()22,ln x x ，利用导数的几何意义求出()f x 在()11,x y 处的切线方程21122=-+y x x x ，再把点()22,ln x x 代入化简消去2x ，可得结果【详解】解：设公切线与()ln g x x =切于()22,ln x x ，由()2f x x '=，1()g x x'=，则曲线()f x 在()11 ,x y 处的切线方程为()()2111 22-+=-y x x x x ，即21122=-+y x x x ，曲线()g x 在()22,ln x x 处的切线方程为22ln 1xy x x =+-，12212122ln 1x x x x ⎧=⎪∴⎨⎪-+=-⎩，得()211ln 23-=x x ，()211ln 230∴--=x x ，故答案为：0．13.（2022·陕西西安市·高三模拟（理））曲线()(ln )1f x x x x =++在点(1,(1))f 处的切线方程为__________.【答案】31y x =-【解析】根据求导法得出点(1,(1))f 处切线的斜率，再根据点(1,(1))f 的坐标，由点斜式得到该切线方程.【详解】()(ln )1f x x x x =++ ，()2()ln f x x x x ''∴=+1ln 2x x =++，(1)3f '∴=，又(1)1(ln11)12f =⨯++=，∴所求的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故答案为：31y x =-.14．（2021·浙江高二期末）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则k =______，b =_____．【答案】21ln 2-【分析】求出两条曲线的导数，设出切点，根据斜率相等和切点在曲线上建立关系即可求解.【详解】由ln 2y x =+可得1y x '=，由ln(1)y x =+可得11y x '=+，设直线y kx b =+与ln 2y x =+和ln(1)y x =+的切点分别为()()1122,,,x kx b x kx b ++，则由导数的意义可得12111k x x ==+，得121x x =+，又切点也在两条曲线上，则()1122ln 2,ln 1kx b x kx b x +=++=+，两式相减得()()1212ln 2ln 1k x x x x -=+-+，即11ln 2ln 2k x x =+-=，则1ln 2b =-.故答案为：2；1ln 2-.15.（2022·四川·石室中学模拟预测（理））已知函数()()()ln 1,x f x x a x g x e =--=.（Ⅰ）（ⅰ）求证：()1g x x ≥+；（ⅱ）设()()()1h x f x g x =++，当()0,1x h x ≥≥时，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线12,l l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<.【答案】（Ⅰ）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）(],2-∞；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）（ⅰ）构造函数()()1xu x e x =-+，通过求导分析单调性，利用最值即可证明；（ⅱ）由()11x h x e a x =+-+'，当2a ≤时，利用()11111x h x e a x a x x =+-≥++-++'可得函数单调性从而知成立，当2a >时求导分析单调性找到反例知不成立，从而得解；（Ⅱ）设切线2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则22x y e =，()22222xy k g x e x =='=，可得1l 的的方程为11y k x x e==，设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y ，通过求导列方程可得1111ln 10x x e -+-=，令()11ln 1m x x x e=-+-，求导利用单调性即可证得.【详解】（Ⅰ）（ⅰ）证明：令()()1x u x e x =-+，则()1xu x e '=-，所以0x <时，()0u x '<，0x >时()0u x '>，所以()()00u x u ≥=，即()1g x x ≥+.（ⅱ）()()()()1ln 1xh x f x g x x ax e =++=+-+，()11x h x e a x =+-+'.a.当2a ≤时，由（Ⅰ）知1x e x ≥+，所以()1112011x h x e a x a a x x =+-≥++-≥-+'≥+，所以()h x 在［0，＋）∞上递增，则()()01h x h ≥=恒成立，符合题意．b．当2a >时，令()()t x h x ='，则()()()()222111011x xx e t x e x x +-=-=≥++'，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且()020h a ='-<，则存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=.所以()h x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增；又()()001h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合a，b 可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞．（Ⅱ）证明：设切线2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则22x y e =，()22222xy k g x e x =='=，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==.由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e ==，1l 的的方程为11y k x x e==.设1l 与曲线()y f x =的切点为()11,x y ，。

占＂、，目录题型一切线型1.求在某处的切线方程2.求过某点的切线方程3.已知切线方程求参数题型二单调型1.主导函数需”二次求导”型2.主导函数为＂一次函数”型3.主导函数为“二次函数”型4.已知函数单调性，求参数范围题型三极值最值型1.求函数的极值2.求函数的最值3.已知极值求参数4.已知最值求参数题型四零点型1.零点（交点，根）的个数问题2.零点存在性定理的应用3.极值点偏移问题题型五恒成立与存在性问题1.单变量型恒成立问题2.单变量型存在性问题3.双变量型的恒成立与存在性问题4.等式型恒成立与存在性问题题型六与不等式有关的证明问题1.单变量型不等式证明2. 含有e x与l n x的不等式证明技巧3.多元函数不等式的证明4.数列型不等式证明的构造方法— 题型一切线型 1求 在某处的切线方程3x2例 1. 【201 5 重庆理 20】求函数 f{x ) =e在点(1 , 八1))处的切线方程． 3x 2 6x - 3x2 3 3解 ： 由 八x) = "e x" , 得f '(x)= e X , 切点为(1, -e ) ' 斜 率 为 f ' (l ) =- e3 3 3 3 l ) = - , 得 切点坐标为(1, - ), 由f '( l )= - , 得切线斜率为－； e e e e 切 线 方 程为y —3 3—1), 即 3x —ey = O .例 2 求 瓜 ） 1- = - (x e e 在点(l, 八1))处的切线方程．= x e (- + 2)X解： 由 八x) = e 干1+ 2) , 得f' (x) = x e 1 1 ( — 一 十一十2)由j {l ) = 3e, 得切点坐标为(l ,3e), 由f '( l )= 2e, 得切线斜率为 2e; 切线方程为y - 3e= 2e (x - I), 即 2ex - y + e= O1- x 例 3求 瓜 ）= In — —在点(0, 八0))处的切线方程．l + x1- x 1 1 解： 由 j( x) = f n- = ln( l — x) — ln(l + x ), 得f '(x)= —一一－— 一一－I + x I x I + x由.f(O) = O , 得 切 点坐标为(0, 0), 由f '(0)= - 2, 得切线斜率为- 2;切线方程为y = —2.x, 即 2.x+ y = Ox 2例 4. 【 2 015 全 国新 课标 理 20 (1)】在直角坐标系 x oy 中， 曲 线 C: y =--4与直 线 I : y=kx 十a(a > O)交于M, N 两点，当 k= O 时 ，分别求 C 在点 M 与 N 处的切线方程解 由题意得 a 干 ， 则 x = 士2-Fa , 即 M( - 2嘉 ， a ) , N(2 嘉 ， a ),畛） = , 得f '(x)=宁当 切 点 为M(- 2嘉 ， a )时， 切线斜率为j 、'(- 2嘉）＝－嘉 ，此时切线方程为:ax 十y+ a = O;当 切 点 为N(2嘉 ， a)时， 切线斜率为! '(2-Fa) = 嘉 ， 此时 切 线 方 程为： 寸; x —y - a = O ;由八— 1解 题模板- I 求在某处的切线方程(1) 写出八x) ;(2)求出/ '(x ) ;(3) 写出切点(x 。

高中数学知识点总结导数求切线导数与切线是高中数学中的重要概念，它们在解析几何和微积分中扮演着核心角色。

本篇文章将对高中数学中关于导数求切线的相关知识点进行详细总结。

一、导数的基本概念导数是描述函数在某一点处的瞬时变化率的概念。

对于函数f(x)，其在点x处的导数，记为f'(x)或df/dx，表示当x的增量趋近于0时，函数f(x)增量与x增量之比的极限。

如果这个极限存在，我们就说函数f(x)在点x处可导，并称这个极限为f(x)在点x处的导数。

二、导数的几何意义导数的几何意义是表示函数图像在某一点处的切线斜率。

具体来说，如果函数y=f(x)在点P(x0, f(x0))处可导，那么该点处的导数f'(x0)即为通过点P的切线的斜率。

这意味着，当我们在坐标平面上画出函数y=f(x)的图像时，导数可以帮助我们找到与图像在特定点接触的直线，这条直线就是切线。

三、求导法则在高中数学中，学生需要掌握基本的求导法则，包括：1. 常数法则：对于任何常数c，(c)' = 0。

2. 幂法则：如果n是实数，那么(x^n)' = nx^(n-1)。

3. 和差法则：(u±v)'= u' ± v'。

4. 乘积法则：(uv)' = u'v + uv'。

5. 商法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2，其中v≠0。

6. 链式法则：如果y=f(u)且u=g(x)，那么y关于x的导数(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)。

四、导数的计算在高中数学中，学生需要学会计算常见函数的导数。

例如：1. 对于线性函数y=mx+b，其导数为y'=m。

2. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其导数为y'=2ax。

3. 对于指数函数y=a^x，其导数为y'=a^x * ln(a)。

高考数学高分必做专题分享——导数-曲线的切线题型汇总一
曲线的切线问题，常考两种题型：
1、求曲线的切线方程；
2、求参数的值；
用到的知识点包括：
1、导数的几何意义：曲线在切点处的导数等于切线的斜率；
2、注意：“切点既在曲线上，又在切线上”的应用。

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