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线段与角的计算课件

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人教版四年级数学上册3 角的度量第1课时 线段、直线、射线和角课件

人教版四年级数学上册3 角的度量第1课时 线段、直线、射线和角课件

围绕一点画线
画射线
画直线
无数条
无数条
围绕两点画直线
经过两个点可以画多少条直线呢？ 过两个点只能画一条直线， 两个点可以确定一条直线。
达标检测
下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？ 哪些是线段？
直线 线段 射线 线段 射线 线段 直线
三、巩固提高
1.数一数有几条线段。
答案：一条。
2.图中共有几条射线？ 答案：四条。
延伸 不能 一端 两端
直线 顶点
射线 线段 边
边
五、课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
六、教学反思
教学中给予了学生想象的时间和空间，发 展学生的空间感。直线、射线都是能够无限延 长的，让学生闭上眼，让脑海中的射线向一端 延长、延长、再延长，让脑海中的直线也向两 端无限延长，使学生对射线和直线的理解并不 仅仅停留在自己看到的表象上，而是向更加广 阔的二维空间发展，进一步感知射线和直线， 加深对它们的理解。
线段是直的， 有两个端点。
线段有一定的长度。
如何用字母表示线段？
为了表述方便，线段可以用字母来表述。 如线段AB。
A
B
认识射线保持左端不动，将来自端无限延长。 这是一条什么线呢？有什么特征？
这是一条射线，它有一个端点，一 端可以无限延伸。
你会画射线吗？
如何用字母表示射线？
射线可以用端点和射线上的另一点来表述， 如射线AB。
（边）
（顶点） （边）
这个点叫做角的顶点，这两条射线分 别叫做角的两条边。
1
角通常用符号“∠”来表示，上图 的角可以记作“∠1”。
线段、射线和直线之间的关系
说说线段、射线和直线之间的关系。

第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

第6节 第1课时 线线角与线面角--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)

异面直线所成角只能是锐角或直角,所以加“绝对值”
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.
如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的
方向向量为u,平面α的法向量为n,则 sin θ=|cos<u,n>|=
u·
|u|||
离就是在直线 l 上的投影向量的长度.因此 PQ=

·
||
=
·
||
=
| ·|
.
||
常用结论
最小角定理:cos θ=cos θ1cos θ2.
如图,若OA为平面α的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面α内的射影,OC为
平面α内的一条直线,其中θ为直线OA与OC所成的角,θ1为直线OA与OB所
题组三 连线高考
7.(1992·全国,理14)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别
为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为( D )
√3
A.
2
√10
B.
10
3
C.
5
2
D.
5
解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空
是向量a,b的夹角.( × )
3.设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于向量a,b
的夹角的大小.( × )
4.利用||2= ·可以求空间中有向线段的长度.( √ )
题组二 回源教材
5.(人教A版选择性必修第一册1.4.2节练习2(1)(2)改编)如图,在棱长为1的正
解析 由题得,B(1,0,0),B1(1,0,2),C(0,1,0),

2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)

2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)
在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，且第一 互逆命题
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质 垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线， 该点与垂足之间的线段

复习提分拔尖特训(与线段、角有关的计算与综合)课件+2024-2025学年北师大版数学七年级上册

复习提分拔尖特训(与线段、角有关的计算与综合)课件+2024-2025学年北师大版数学七年级上册

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(3)请求出点 P 出发多少秒后追上点 Q ？
【解】当点 P 追上点 Q 时，依题
意有3 t ＝ t ＋40，
解得 t ＝20.
因此，点 P 出发20 s后追上点 Q .
返回
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(4)请计算出点 P 出发多少秒后，与点 Q 的距离是20 cm？
【解】当点 P 在点 Q 的左侧时，

所以∠ BOD ＝ ∠ BOC ＝ x ＝24°.

所以∠ DOE ＝∠ DOB ＋∠ BOE ＝24°＋12°＝36°.
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8. 已知∠ AOB ＝37°，∠ AOC ＝2∠ AOB ，求∠ BOC
的度数.
【解】因为∠ AOB ＝37°，∠ AOC ＝2∠ AOB ，
所以∠ AOC ＝2∠ AOB ＝2×37°＝74°.
北师版 七年级上
复习提分拔尖特训
与线段、角有关的计算与综合
类型1 与线段有关的计算与综合
(1)与线段和差有关的计算
1. 如图， AB ＝2， AC ＝6，延长 BC 到点 D ，使 BD ＝4
BC ，求 AD 的长.
【解】因为 AB ＝2， AC ＝6，所以 BC ＝ AC － AB ＝4.
因为 BD ＝4 BC ，所以 BD ＝16.
所以∠ BOD ＝2∠ BOC .
因为 OE 平分∠ AOC ，所以∠ AOE ＝∠ EOC .
返回
1
2

4.6 用尺规作线段与角-课件

4.6 用尺规作线段与角-课件
OP长为半径画弧交EG于点D ；
⑶以点D为圆心，PQ长为半
F
径画弧交第⑵步中的弧于点F;
⑷作射线EF（图4.6-5）,
则∠DEF就是所求作的角.
E
DG
图4.6-5
小练习二
如图4.6-6,已知∠1 、∠2，且∠1 ＞ ∠2，用直尺和圆规作∠AOB等于
⑴ ∠1 + ∠2； ⑵ ∠1 - ∠2．
1
2
图4.6-6
课堂总结： 通过这节课学习，你有什么收获？
4.6 用尺规作线段与角
做一条线段等于 已知线段
Hale Waihona Puke 作一个角等于已 知角A
B
A
O
B
作业布置
1.练习 第2、3题 2.习题4.6 第1、2题
a
b
2a - b
b
a
a
做一条线段等于 已知线段
A
B
作一个角等于已 知角
A
O
B
作一个角等于已知角。
已知：∠AOB 求作：∠DEF，使∠DEF= ∠AOB．
A
O
B
作法：
A
Q
⑴在∠AOB上，以点O为圆
心，任意长为半径画弧，分别交
OA,OB与点P,Q[图4.6-4]；
O
PB
⑵作射线EG,并以点E为圆心， 图4.6-4
a
图4.6-1
求作：线段AB，使AB= a .
作法： ⑴作一条直线 l ；
A
B
图4.6-2
l
⑵在l上任取一点A，以点A为圆心，以线段a的
长度为半径画弧，交直线l于点B[图4.6-2] .
线段AB就是所求作的线段.
小练习一

新人教版四年级数学上册教学课件 线段、直线、射线和角及角的度量

新人教版四年级数学上册教学课件 线段、直线、射线和角及角的度量

预设：∠2大 。
绿色圃中小学教育网 绿色圃中小学教育网
3. 追问：∠2比∠1大多少呢？要想解决这个问题你有什么好办法吗？ 预设：可以用量角器分别量出两个角的大小，再求出它们的差。
一、认识量角器，掌握用量角器 度量角的步骤和方法
预设：两个角一样大。
4. 追问：你是怎么想的？你怎么证明它们一样大？ 预设：重叠、量。
5. 问题：通过刚才的研究，你有什么发现吗？ 预设：角的大小与边的长短无关。
四、围绕直线距离拓展学生解决问题的策略
小雯
我家距离书 店400米。
我家距离书 店600米。
小雯家 小雯家
小伟
小雯家和小伟家相距多少米？
书店 小伟家
预设：直线、射线。 3. 追问：日常生活中你见过类似的直线和射线事物吗？你能举个例子吗？
预设：手电筒、汽车大灯、探照灯、太阳的光芒…… 监控：同学们所说的这些都是近似的射线。
一、创设情境，学习直线和射线
（二）引出直线和射线，探究其特征
4. 提问：你能用自己的话说一说直线、射线是什么样子吗？ 预设：直线和射线都是直的，直线没有端点，射线只有一个端点。
“0°刻度线”，想一想它能量哪些度数的角。
一、认识量角器，掌握用量角器 度量角的步骤和方法
（六）练习量角，总结量角步骤和方法
量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。
1. 问题：请你量出刚才这个∠1的度数。然后再和同学们说一说你是怎样 用量角器量∠1的。
2. 问题：谁来说一说∠1多少度？你是怎么量的？ 预设：量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合， 另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。
30
2. 问题：量一量这时角的度数是多少。 预设：① 120度；② 60度。

统编教材小学四年级数学上册《线段、直线、射线和角》名师课件

统编教材小学四年级数学上册《线段、直线、射线和角》名师课件

说一说图中的直线、射线和线段。
A
B
C
直线1条： 直线AC
射线6条：
射线BA、射线BC。 以点A为端点的2条射线 以点C为端点的2条射线。
线段3条： 线段AB、线段AC、线段BC。
你认识下面的图形吗？ 这些图形都是角。
顶点 A
边
1 边
从一点引出两条 射线，所组成的 图形叫做角。
角通常用符号“∠”来表示，这个角 可以 记作“∠1”， 读作：角一。
线段 射线 直线
射线、 线段都 是直线 的一 部分。
2个 1个 没有
不能延伸 向一端延伸 向两端延伸
能 不能 不能
下面的图形，哪些是直线？哪些是射线？哪些是线段？
（1）ห้องสมุดไป่ตู้（2） （3） （4）
（5） （6）
（7）
射线：（3）（6） 线段：（2）（4）（5） 直线：（1）（7）
过一点可以画多少条直线？过两点呢？ 过一点可以画无数条直线。 过两点可以画一条直线。
线段、直线、射线和角
人教版四年级上册第三单元第一课时
一只虫子从一个山洞到另一个山洞寻找食物，一共有五条路， 走哪条路最近？
走第三条路最近， 因为这条路是直的。
手中拉紧的线和弓上绷紧的弦都可以看作线段。
线段有什么特点？ 线段有两个端点，有限长。
同桌比一比：谁的小手最巧。 画一条长3厘米的线段。 3厘米
下面两个角哪个角大？ 角的大小与什么有关系？
1
2
（1）角的大小与两条边的长短无关。
（2）角的大小与两边叉开的大小有关，叉开的大， 角就大；叉开的小，角就小。
数一数，图 中有几个角？
（ 3 ）个
（ 8 ）个
火眼金睛辩对错

线段的计算 完整版PPT课件

线段的计算 完整版PPT课件

a
b
如下图，点C、D在直线AB上，那么以下
关系错误的选项是 C
A、AB – AC = BD CD
B、AB – CB = AD - CD C、AC CD = AB - CB A C
DB
D、AD – AC = BC - BD
口答：1AB=5 BC=2 AACB=C 2AC=8 AB=5 BC= ABBC=52=7 3BC=2 AC=9 AB= AC-AB=8-5=3
——线段的有关计算
合作学习：
怎样比较两根细木条的长短?
生活中线段的长短的比较
怎样比较两个同学的高矮
叠合法
度量法
看下面这三幅图片谁高谁矮？你是 依据什么判断的 ？
观察以下三组图形，你能看出每组图 形中线段a与b的长短吗
b
a
b
1
a 2
a
b
3
比较线段长短的两种方法
度量法——从“数值〞的角度比较 叠合法——从“形〞的角度比较
∵M、N为线段AB的三等分点
∴AM=MN=NB= A13B； AB=3AM=3MN=3NB
ABCD • 1、如图，点B、C在线段AD上 • 那么AB BC =_A_C__; AD – CD =A_C___； • BC＝ _A__C - _A__B= __B_D_ - _C_D__ • 2、假设AB=BC=CD，你能找出哪些等量
的长。A
CB
例： 点A、B、C 、 D是 直线上顺次四个点，且
AB:BC:CD=2:3:4, 如果AC=10cm,求线段 BC的长
线段AC = 1，BC = 3那么线段AB的长度 是〔 〕D A 4 B2 C 2或4 D 以上答案都不对
变式：A、B、C是同一条直线上的三点，且 线段AC = 1，BC = 3，那么线段AB的长度 是〔 〕 C

(新)小升初数学总复习- 第一课时 线与角_人教新课标PPT课件(32张)

(新)小升初数学总复习- 第一课时 线与角_人教新课标PPT课件(32张)

AB的平行线和垂线。 两条直线相交成直角时，这两条直线就( )。
三点半时，时针和分针成直角。 ③点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长，叫做这个点到直线的距离。
略
4. 路线设计。 (1)请你画一条从实验室到教学楼最近的路。 (2)请你画一条从实验室到操场最近的路。
略
题型二 【例2】直线a、b、c在同一平面内，a与b互相垂直，b
差错类型及归纳
类型1 对角的含义理解不正确。 【例1】判断：两条射线可以组成一个角。( ) 错解：√ 分析：角是由两条有公共端点的射线组成的。本题 容易出错的主要原因是对角的概念没有正确理解。 还有一个原因是审题不仔细，没有深入思考，看到 有两条射线就以为可以组成一个角，而没有考虑到 顶点。 正解：×
(2)过P点作AB的平行线。
(3)画出下面各图AB边上的高。
精析：画垂线、平行线和作图形的高都是必须掌握 的技能。(1)用一把三角尺就可以画已知直线的垂线。 方法：使三角尺的直角边与已知直线重合，沿重合的直 线平移三角尺，使三角尺的另一条直角边和N点重合， 过N点沿直角边向已知直线画直线即可。(2)用三角尺平
因此应该选择答案B。 答案：B
举一反三 5. 长方形相邻的两条边互相(垂直)，相对的两条边互 相(平行)。 6. 两条直线相交成直角时，这两条直线就(垂直)。 7. 判断：不相交的两条直线一定是平行线。(× ) 8. 下面有两条平行线，请你照着图中的样子再画3条 垂线段，并量一量它们的长度。
我发现两条平行线之间的距离处处相等 。
(1)角的意义：从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
角长的方2大 形.小与在D两.边同的长一短无关个，与平两边面叉开的内大小画有关已。 知直线的垂线，可以画（无数）

四年级上册数学课件-4.1线和角：线-线段.射线和直线 ▎冀教版(2014秋)(共19张PPT)

四年级上册数学课件-4.1线和角：线-线段.射线和直线 ▎冀教版(2014秋)(共19张PPT)

否
（2）总结线段、直线和射线的特点。
（课件出示歌谣：直线、射线和线段，为人正直腰不弯。直 线本领大，身体无限长；射线向一方，也是无限长；线段最 乖巧，只在两点之间跑。）
（3）火眼金睛：完成33页“试一试”。
（这一环节，先让学生讨论交流，总结线段、直线和射线有 什么共同点和不同点，整理成形象直观的表格，再用充满童 趣的歌谣进行深化，既再次激起学生的兴趣，又强化了学生
3、认识射线。
（1）启发想象：把线段的一端无限延伸会怎么样？（学生 想象交流）教师画图展示，说明：这样的线我们就叫做射线。
（2）看看射线长得什么样？（直直的，只有一个端点，向 一方延伸，不能度量）
（3）你能说说生活中还有哪些可以近似地看作射线吗？ （学生举例，教师用课件展示，如：太阳照射的光线，手电 筒射出的光线，枪的弹道，探照灯光，等等）
学习指南一
直观认识线段有两个端点；在认识线段 的基础上再认识直线和射线。教学直线 时，采用的是想象、描述相结合的方式 （即先想象把一条线段向两端无限延伸 会怎么样？再描述“把一条线段向两端 无限延伸就得到一条直线” ）
学习指南二
教学射线时，采用的是想象、描述、举 例相结合的方式进行（即先想象把一条 线段向一端无限延伸会怎么样？再描述 “把一条线段向一个方向无限延伸就得 到一条射线” 最后举出探照灯射出的光 线、太阳射出的光线，帮助学生强化对 射线的认识。）
总之，整节课始终坚持以学生为课堂活动的主体，密 切结合学生的生活实际，时时处处注意激发学生的学 习兴趣，相信，能够比较圆满地完成了教学任务。
在深入学习新课标精神，透彻理 解教材编写意图的基础上，结合 四年级学生的认知特点，我确定 本节课的教学目标如下：

中考数学复习 第四单元 三角形 第16课时 线段 角 相交线与平行线课件

中考数学复习 第四单元 三角形 第16课时 线段 角 相交线与平行线课件

D.两点确定一条直线
图16-7
2.如图16-8,AM为∠BAC的平分线,下列等式错误的是
A.∠BAC=∠BAM
B.∠BAM=∠CAM
C.∠BAM=2∠CAM
D.2∠CAM=∠BAC
(C )
图16-8
3. [2018·德州]如图16-9,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中∠α
与∠β互余的是 ( A )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× [解析](1)射线AB与射线BA不是同一条射线,故(1)错误; (2)两点确定一条直线,故(2)正确; (3)两条端点重合的射线组成的图形叫做角,故(3)错误; (4)两点之间线段最短,故(4)错误; (5)若AB=BC,则点B不一定是AC的中点,故(5)错误; (6)道理为两点之间线段最短,故(6)错误; (7)如果三点共线,过其中两点画直线,共可以画1条,如果三点不共线,过其中两 点画直线,共可以画3条,故(7)错误.
| 考向精练 |
1. [2019·吉林]曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走
的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图16-7,A,B两地间修建曲桥与修建直的
桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 ( A )
A.两点之间,线段最短
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短
角的直角三角板ABC按如图16-12方式放置 [解析]∵直线m∥n,
(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线 ∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC=180°.
m,n上,若∠1=40°,则∠2的度数为( ) ∵∠ABC=30°,∠BAC=90°,

《角的计量单位》课件(省一等奖)

《角的计量单位》课件(省一等奖)

B
90°
1 一条射线绕它的端点旋转 周，所 4 形成的角叫做直角。
O B
A
O
A
B
90°
1 一条射线绕它的端点旋转 周，所形 4 成的角叫做直角。
O B 180°
B O 360° A
A 一条射线绕它的端点旋转半周，所形
成的角叫做平角。
一条射线绕它的端点旋转一周，所形 A B） （ 成的角叫做周角。
B
O
1平角=2直角
1周角=2平角
1周角=4直角
直角
锐角
直角
钝角 平角 锐角
78°
①
360° O A(B)
②
20°
③
④
⑤⑥Βιβλιοθήκη 锐角（ 平角（ ））
直角（ 周角（ ）
）
钝角（
）
360°÷12=30°
为什么一个圆周要被分成360等份？
沿用了古埃及人和古代巴
比伦人度量角的单位，他们之 所以这么做，地球绕太阳一周 大约360天是主要原因。
九年义务教育 四年级 第一学期
角的计量单位
青浦区华新小学 林源
比一比谁更大？
1
2
比一比谁更大？
1
2
∠2比∠1大多少？
3cm
1cm 1cm
长方形1：
线段1： 线段2：
4cm
长方形2：
1cm
1cm
线段2比线段1长多少？ 长方形1比长方形2大多少？
4 5 6 7 8
3 2
o
10 9
1
每相邻的两条半径之间就有一个夹角， 你能找到这些夹角在哪里吗？
o
用半径将一个圆周平均分成360份， 每相邻 两条半径之间所夹的角就是1°。
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15．如图，线段AB＝8 cm，M为线AB的中点，点C为线段MB上的 一点，且MC＝2 cm，点N为线段AC的中点，求线段MN的长．
解：因为 M 为 AB 的中点，所以 AM＝12AB＝12×8＝4，所以 AC ＝AM＋MC＝4＋2＝6.因为 N 为 AC 的中点，所以 AN＝12AC＝12 ×6＝3，所以 MN＝AM－AN＝4－3＝1(cm)
∠COE
，
所
以
∠3
＝
1 2
∠COE
＝
1 2
×46
°
＝
23°
(2) 因 为 ∠AOD ＝
∠AOC＋∠3＝40°＋23°＝63°，OA 为正东方向，所以有 90°－63° ＝27°，所以 OD 在北偏东 27°的位置 (3)设此时为 3 点过 x 分钟，
依题意，得21x＋90－6x＝63，解得 x＝41110，即此时为 3 点过 41110分
A．10
B．9
C．6
D．5
3．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠COD ＝25°，则∠AOB等于( B ) A．120° B．100° C．75° D．50°
4．已知，O是直线AB上的一点，∠AOC＝40°，∠COD是直角，
OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为( B ) A．10° B．20° C．25° D．30°
综合训练 线段与角的计算
1．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，若AB＝ 10 cm，则线段CD的长为( B )
A．1.5 cm C．3 cm
B．2.5 cm D．5 cm
2．如图，点 C 是线段 AB 上的一点，AC＝15AB，点 D 是线段 BC 的 中点，若 AB＝15，则 AD 的长为( B )
5．如图，C，D是线段AB的三等分点，E是线段CD的中点，则下列 结论错误的是( D )
A．AC＝CD＝BD B．AE＝BE C．AD＝4DE D．CE＝15AB
6．一轮船A观测灯塔B在其北偏西50°，灯塔C在其南偏西40°，试问 此时∠BAC＝( B ) A．80° B．90° C．40° D．不能确定 7．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠AOD＝84°， ∠MON＝68°，则∠BOC的度数为( C ) A．48° B．50° C．52° D．54°
19．如图，已知∠1＝20°，∠AOE＝86°，OB平分∠AOC，OD 平分∠COE. (1)求∠3的度数； (2)若以O为观察中心，OA为正东方向，射线OD在什么位置？ (3)若以OA为钟面上的时针，OD为分针，且OA正好在“3”的下方 不远，你知道此时的时刻吗？
解：(1)因为 OB 平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠1＝2×20°＝40°， 所以∠COE＝∠AOE－∠AOC＝86°－40°＝46°，因为 OD 平分
16．如图，E是线段AB的一个三等分点，F是线段AB的中点，若 EF＝1，求线段BF的长．
解：设线段 AB 的长为 x，因为 E 为线段 AB 的一个三等分点，所 以 AE＝31AB＝13x，因为 F 为线段 AB 的中点，所以 AF＝12AB＝12x， 所以 EF＝AF－AE＝12x－13x＝61x＝1，所以 x＝6，即 AB＝6，所以 BF＝12AB＝12×6＝3
8．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线AB上，若∠1＝ 40°，则∠2＝_5_0__°. 9．如图，点C是线段AB上的一点，点D是AC的中点，若AB＝8 cm， BC＝2 cm，则AC＝__6__cm，BD＝___5_cm.
10．延长线段 AB 到 C，使 BC＝21AB，点 D 是 AC 的中点，点 E 是
解：因为∠COF＋∠BOE＝∠EOF－∠BOC＝60°－20°＝40°， 因为OE平分∠AOB，所以∠AOB＝2∠BOE，因为OF平分∠COD， 所以∠COD＝2∠COF，所以∠COD＋∠AOB＝2(∠COF＋∠BOE) ＝2×40°＝80°，所以∠AOD＝∠COD＋∠AOB＋∠BOC＝80° ＋20°＝100°
是 CD 的中点，若 CD＝15AB，则 CE＝__1__cm，AD＝__5__cm.
14．如图，点 M 是线段 AB 的中点，点 N 在线段 BM 上，MN＝35AM， 若 MN＝3 cm，求线段 AB，BN 的长．
解：因为 MN＝35AM，且 MN＝3，所以35AM＝3，则 AM＝5.因为 M 为线段 AB 的中点，所以 AB＝2AM＝2×5＝10，BM＝AM＝5，所 以 BN＝BM－MN＝5－3＝2.即 AB 的长为 10 cm，BN 的长为 2 cm
BC 的中点，若 CE＝2 cm，则 DE＝_4___cm. 11．如图，∠AOC＝15°，∠BOC＝45°，OD 平分∠AOB，则∠COD ＝__1_5_°___．
12．如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，OE 平分∠DOB，∠AOC＝ 40°，则∠DOE＝_2_0__度． 13．如图，点 C，D 是线段 AB 上的两点，AC＝7 cm，BD＝5 cm，E
17．如图，点 O 在直线 AB 上，OC 是∠AOD 的平分线，OE 在∠BOD 内，∠DOE＝31∠BOD，∠COE＝72°，求∠EOB 的度数．
解：设∠DOE＝x，因为∠DOE＝13∠BOD，所以∠BOD＝3∠DOE ＝3x，所以∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－3x，因为 OC 是∠AOD 的平分线，所以∠COD＝12∠AOD＝12(180°－3x)＝90°－32x，所以
∠COE＝∠COD＋∠DOE＝90°－32x＋x＝72°，解得 x＝36°，即 ∠DOE＝36°，所以∠BOD＝3∠DOE＝108°，所以∠EOB＝∠BOD －∠DOE＝108°－36°＝72°
18．如图，OE平分∠AOB，OF平分∠COD，若∠EOF＝60°， ∠BOC＝20°，求∠AOD的度数．