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《算法设计与分析》实验指导书本书是为配合《算法分析与设计实验教学大纲》而编写的上机指导，其目的是使学生消化理论知识，加深对讲授内容的理解，尤其是一些算法的实现及其应用，培养学生独立编程和调试程序的能力，使学生对算法的分析与设计有更深刻的认识。
上机实验一般应包括以下几个步骤：（1）、准备好上机所需的程序。
手编程序应书写整齐，并经人工检查无误后才能上机。
（2）、上机输入和调试自己所编的程序。
一人一组，独立上机调试，上机时出现的问题，最好独立解决。
（3）、上机结束后，整理出实验报告。
实验报告应包括：题目、程序清单、运行结果、对运行情况所作的分析。
本书共分阶段4个实验，每个实验有基本题和提高题。
基本题必须完成，提高题根据自己实际情况进行取舍。
题目不限定如下题目，可根据自己兴趣爱好做一些与实验内容相关的其他题目，如动态规划法中的图象压缩，回溯法中的人机对弈等。
其具体要求和步骤如下：实验一分治与递归（4学时）一、实验目的与要求1、熟悉C/C++语言的集成开发环境；2、通过本实验加深对递归过程的理解二、实验内容：掌握递归算法的概念和基本思想，分析并掌握“整数划分”问题的递归算法。
三、实验题任意输入一个整数，输出结果能够用递归方法实现整数的划分。
四、实验步骤1．理解算法思想和问题要求；2．编程实现题目要求；3．上机输入和调试自己所编的程序；4．验证分析实验结果；5．整理出实验报告。
一、实验目的与要求1、掌握棋盘覆盖问题的算法；2、初步掌握分治算法二、实验题：盘覆盖问题：在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。
三、实验提示void chessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {if (size == 1) return;int t = tile++, // L型骨牌号s = size/2; // 分割棋盘// 覆盖左上角子棋盘if (dr < tr + s && dc < tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc, dr, dc, s);else {// 此棋盘中无特殊方格// 用t 号L型骨牌覆盖右下角board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);}// 覆盖右上角子棋盘if (dr < tr + s && dc >= tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);else {// 此棋盘中无特殊方格// 用t 号L型骨牌覆盖左下角board[tr + s - 1][tc + s] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);}// 覆盖左下角子棋盘if (dr >= tr + s && dc < tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);else {// 用t 号L型骨牌覆盖右上角board[tr + s][tc + s - 1] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);}// 覆盖右下角子棋盘if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)// 特殊方格在此棋盘中chessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);else {// 用t 号L型骨牌覆盖左上角board[tr + s][tc + s] = t;// 覆盖其余方格chessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);}}一、实验目的与要求1、熟悉二分搜索算法；2、初步掌握分治算法；二、实验题1、设a[0:n-1]是一个已排好序的数组。
O(1)Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。
算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。
如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。
此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n^2)2.1. 交换i和j的内容sum=0；（一次）for(i=1;i<=n;i++) （n次）for(j=1;j<=n;j++) （n^2次）sum++；（n^2次）解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)2.2.for (i=1;i<n;i++){y=y+1; ①for (j=0;j<=(2*n);j++)x++; ②}解：语句1的频度是n-1语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2). O(n)2.3.a=0;b=1; ①for (i=1;i<=n;i++) ②{s=a+b;③b=a;④a=s;⑤}解：语句1的频度：2,语句2的频度：n,语句3的频度：n-1,语句4的频度：n-1,语句5的频度：n-1,T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).O(log2n )2.4.i=1; ①while (i<=n)i=i*2; ②解：语句1的频度是1,设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)<=n;f(n)<=log2n取最大值f(n)= log2n,T(n)=O(log2n )O(n^3)2.5.for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<i;j++){for(k=0;k<j;k++)x=x+2;}}解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/6所以时间复杂度为O(n^3).我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。
黄宇《算法设计与分析》课后习题解析（⼆）第2章：从算法的视⾓重新审视数学的概念2.1：(向下取整)题⽬：请计算满⾜下⾯两个条件的实数的区间解析：根据向下取整的含义，令，讨论a的取值范围即可解答：令，则可得：即：故的取值区间为：2.2: (取整函数)题⽬：证明：对于任意整数,（提⽰：将n划分为）。
解析：根据提⽰将n进⾏划分，根据取整函数的定义⽤k表⽰取整函数，即可证明；证明如下：因为对于任意整数,可划分为，则:① ；② ；综上：对于任意整数,, 得证；2.3: (斐波拉契数列)对于斐波拉契数列，请证明：1）题⽬：是偶数当且仅当n能被3整除解析：由斐波拉契数列的递归定义式，容易联想到数学归纳法；证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 1,2,3时，依次为1，1，2，符合命题；ii)假设当（k>=1）时命题均成⽴，则：① 当n = 3k+1时，是奇数，成⽴；② 当n = 3k+2时，是奇数，成⽴；③ 当 n = 3(k+1)时，是偶数，成⽴；综上：归纳可得为偶数当且仅当，得证;2）题⽬：x x =1+a (0<a <1)x =1+a (0<a <1)⌊x ⌋=1⇒⌊x ⌋=21⌊x ⌋=2⌊1+a +22a ⌋=1a +22a <1⇒0<a <−21⇒1<a +1<⇒21<x <2x (1，)2n ≥1⌈log (n +1)⌉=⌊logn ⌋+12≤k n ≤2−k +11n ≥12≤k n ≤2−k +11k +1=⌈log (2+k 1)⌉≤⌈log (n +1)⌉≤⌈log (2)⌉=k +1k +1=>⌈log (n +1)⌉=k +1k =⌊log (2)⌋≤k ⌊logn ⌋≤⌊log (2−k +11)⌋=k =>⌊logn ⌋=k n ≥1⌈log (n +1)⌉=k +1=⌊logn ⌋+1F n F n n ≤3k F =n F +n −1F =n −2F +3k F =3k −1>F 3k +1F =n F +3k +1F =3k >F 3k +2F =n F +3k +2F =3k +1>F 3k +3F n 3∣n F −n 2F F =n +1n −1(−1)n +1解析：同1）理，容易联想到数学归纳法证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 2时，, 易知成⽴；ii)假设当 n = k 时命题成⽴，① 若k = 2m, 则,当n = k+1 = 2m+1时，要证命题成⽴，即证： => ,代⼊递推式, 得：, 易知是恒等式，故命题成⽴；②当 k=2m+1时，同①理可证命题成⽴；综上：归纳可得，得证；2.4：(完美⼆叉树)给定⼀棵完美⼆叉树，记其节点数为，⾼度为，叶节点数为，内部节点数为1）题⽬：给定上述4个量中的任意⼀个，请推导出其他3个量解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得解答：（仅以已知⾼度h推导其他三个量为例，其余同理）已知⾼度为h，可得：节点数：叶节点数：内部节点数：2）题⽬：请计算完美⼆叉树任意⼀层的节点个数：① 如果任意指定深度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；② 如果任意指定⾼度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得（注意节点深度和节点⾼度是互补的，相加为树⾼）解答：① ; ② ;2.5: (⼆叉树的性质)对于⼀棵⾮空的⼆叉树T，记其中叶节点的个数为，有1个⼦节点的节点个数为，有两个⼦节点的节点个数为1）题⽬：如果T是⼀棵2-tree，请证明。
常用算法设计方法要使计算机能完成人们预定的工作，首先必须为如何完成预定的工作设计一个算法，然后再根据算法编写程序。
计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量用来描述问题的对象，程序结构、函数和语句用来描述问题的算法。
算法数据结构是程序的两个重要方面。
算法是问题求解过程的精确描述，一个算法由有限条可完全机械地执行的、有确定结果的指令组成。
指令正确地描述了要完成的任务和它们被执行的顺序。
计算机按算法指令所描述的顺序执行算法的指令能在有限的步骤内终止，或终止于给出问题的解，或终止于指出问题对此输入数据无解。
通常求解一个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。
其次是算法所需要的存储空间少和执行更快等。
算法设计是一件非常困难的工作，经常采用的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。
另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时又常常采用递归技术，用递归描述算法。
一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，x n-1）设方程组为：x i=g i(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x[i]=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y[i]=x[i];for (i=0;i<n;i++)x[i]=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y[i]-x[i])>delta) delta=fabs(y[i]-x[i])；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x[i])；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
