高三理科数学4月份高考模拟卷及答案

2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.，则( )A. B. C. D.3.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.地球的表面积为亿平方千米，而陆地面积为亿平方千米．如图所示扇形统计图，关于地球七大洲的说法中，正确的是( )A. 非洲陆地面积最大B. 大洋洲的面积占地球表面积的C. 大洋洲的陆地面积大钓为亿平方千米D. 亚洲的陆地面积超过亿平方千米5.设为等差数列的前n项和，若，则( )A. B. C. 12 D. 46.在展开式中，常数项为( )A. B. C. 60 D. 2407.2021年7月20日河南省遭受特大暴雨表击，因灾死亡失踪398人．郑州日降雨量，其中最大小时降雨量达201mm，通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度．其中小雨日降雨量在10mm以下；中雨日降雨量为；大雨日降雨量为；基雨日降雨量为；大暴雨日降雨量为；特大暴雨日降雨量在250mm以上，为研究宜春某天降雨量，某同学自制一个高为120mm的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块，如图1所示，接了24小时的雨水不考虑水的损耗，水面刚好没过四棱锥顶点P，然后盖上盖子密封，将容器倒置，如图2所示，水面还恰好没过点P，则当天的降雨的级别为( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨8.已知直线l过点，则“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆C：有公共点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D.10.设、分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，且，，该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.设整数数列，，...，满足，，且，，2， (8)这样的数列的个数为( )A. 20B. 40C. 60D. 8012.若定义在区间D上的函数满足对任意的，，且，，，则称为“低调函数”，给出下列命题：①函数是“低调函数”；②若奇函数是区间上的“低调函数”，则；③若是区间上的“低调函数”，且，则对任意的，，其中正确的命题个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高三4月高考模拟数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知为虚数单位，则复数虚部为A． B． C． D．2、设集合，则下列结论正确的是A． B． C． D．3、要从编号为的50名学生中用系统方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是A． B． C． D．4、已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象大致是5、下列命题中，真命题的是A． B．C．若，则 D．是的充分不必要条件6、已知的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边在第二象限，是其终边上一点，向量，若，则A．7 B． C． D．7、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B．C． D．8、《九章算术》是我国古代书序而成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式所得弧田面积约为A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米9、已知抛物线的交点为F，直线，点A是上一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若，则A．20 B．16 C．10 D．510、已知函数图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在函数的图象上，则实数的取值范围为A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

.11、如图所示的程序框图中，，则能输出的概率为12、在平行四边形中，AC与BD交于点的延长线与AD交于点F，若（），则13、已知奇函数满足对任意都有成立，且，则14、的展开式中，的系数为15、双曲线两条渐近线与抛物线的准线围成区域（包含边界），对于区域内任一点，若的最大值小于0，则双曲线C的离心率e的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示。

惠州市高三模拟考试 数 学(理科).04第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则AB =（ ）（A ）10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （B ）[]0,1 （C ）1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ （D ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若复数131iz i-=+（i 为虚数单位），则1z +=（ ） （A ）3 （B ）2 （C ）2 （D ）5 （3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为（ ） （A ）19（B ）1-或1 （C ）1 （D ）1- （4）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，双曲线上一点P 满足2PF x ⊥轴．若12212,5F F PF ==，则该双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）32 （C ）125 （D ）1312（5）下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )（A ）y ＝1－x 2 （B ）y ＝log 2|x | （C ）y ＝－1x（D ）y ＝x 3－1（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）（A ）136π （B ）34π （C ）25π （D ）18π （7）()()512x x +-的展开式中2x 的系数为（ ）（A ）25 （B ）5 （C ）-15 （D ）-20（8）设42x yz =⋅，变量x ，y 满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最小值为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（9）已知()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期是π，将()f x 图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则()sin()f x x ωϕ=+（ ） （A ）在区间[,]63ππ-上单调递减 （B ）在区间[,]63ππ-上单调递增（C ）在区间[,]36ππ-上单调递减 （D ）在区间[,]36ππ-上单调递增（10）已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ） （A ）2 （B ）12（C 3（D 3 （11）三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，11===AC AB AA ，AC AB ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11B A 上，且满足111B A P A λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ） （A ）21（B ）22 （C ）23 （D ）552（12）设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）[]1,2-（B ）()3,+∞（C ）21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2021-2022年高三下学期4月份高考模拟训练（二）数学（理）试题含答案本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分。

共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}512,,1,1S x x x R T xx Z x ⎧⎫=-≤∈=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则等于 A. B.C. D.2.已知复数，则z 的共轭复数的虚部等于A.2iB.C.2D. 3.已知11001,cos 1M dx N xdx x ==+⎰⎰，由图示程序框图输出的S 为 A.1 B.ln2 C. D.04.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为，传输信息为，其中001102,,h a a h h a =⊕=⊕⊕运算规则为0,011,101,110⊕=⊕=⊕=.例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是A.11010B.01100C.10111D.000115.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象A.向右平移个单位B. 向右平移个单位C.向左平移个单位D. 向左平移个单位6.函数的图象的大致形状是7.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，它飞入几何体内的概率为A. B. C. D.8.已知双曲线()22122:10,0y x C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是2，则抛物线的方程是A. B. C. D.9.设中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，3,2,AB AC BAC ==∠=60°，则A. B. C. D.10.定义在R 上的函数满足()()()04f x f x f '+>1,=，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为A.B.C. D. 第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.将一批工件的尺寸（在40~100mm 之间）分成六段，即[)[)[)40,50,50,60,,90,100⋅⋅⋅，得到如图的频率分布直方图.图中实数a 的值为________.12.若()5234501234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则__________.13.已知直线是圆=0的对称轴，过点作圆C 的一条切线，切点为B ，则__________. 14.已知实数满足1,21,.y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数的最小值为，则实数m 等于_________.15.已知，若关于x 的方程有实根，则a 的取值范围________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）在中，角A,B,C 的对边分别为，且满足()2cos cos 0c a B b A --=.（I ）求角B 的大小；（II ）求的取值范围.17. （本小题满分12分）在三棱柱中，已知在底面ABC 的射影是线段BC 的中点O.（I ）证明在侧棱上存在一点E ，使得平面,并求出AE 的长；（II ）求二面角的余弦值.18. （本小题满分12分）在集合的所有非空真子集中等可能地取出一个.（I ）求所取的子集中元素从小到大排列成等比数列的概率；（II ）记所取出的子集的元素个数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列的前n 项和为，数列的前n 项和为，且有，点在直线上.（I ）求数列的通项公式；（II ）试比较的大小，并加以证明.20. （本小题满分13分）已知函数，对任意的，满足，其中为常数.（I ）若的图象在处的切线经过点，求a 的值；（II ）已知，求证：；（III ）当存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.21. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆1，设是椭圆C 上的任一点，从原点O向圆作两条切线，分别交椭圆于P,Q. （I）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；（II）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为，求证：；（III）是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由./29571 7383 玃39840 9BA0 鮠38862 97CE 韎28762 705A 灚28316 6E9C 溜:QY32611 7F63 罣29655 73D7 珗H39478 9A36 騶31357 7A7D 穽35013 88C5 装。

山东省邹城市第一中学高三4月高考模拟数学（理）试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、设a 是实数，且11aiR i+∈+，则实数=a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2-2、若k∈R，则“k>3”是“方程x2k －3－y2k ＋3＝1表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,,a b a b +成等差数列，,,a b ab 成等比数列，且0log 1m ab <<，则m 的取值范围是A ．8m >B ．1m >C ．18m <<D ．01m <<或8m >4．设平面α的一个法向量为()11,2,2n =-，平面β的一个法向量为()22,4,n k =--，若βα//，则k ＝ （ ）A ．2B ．4C ．－2D ．－45．已知函数f （x ）的导函数的图像如左图所示，那么函数f （x ）的图像最有可能的是（ ）6．用数学归纳法证明不等式11113(2)12224n n n n +++>>++时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边。

（ ）A ．增加了一项12(1)k +B ．增加了两项11212(1)k k +++C．增加了两项11212(1)k k+++，又减少了一项11k+D．增加了一项12(1)k+，又减少了一项11k+7．已知椭圆()2211xy mm+=>和双曲线()2210xy nn-=>有相同的焦点12,,F F P是它们的一个交点，则12F PF∆的形状是…………．（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随,m n的变化而变化8．两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有……………．（）A．30种B．20种C．15种D．10种9．n个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（）A．↓→B．→↓C．↑→D．→↑10．若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数f（x）的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对（P,Q）是函数f（x）的一个“友好点对”（点对（P,Q）与点对（Q,P）为同一个“友好点对”）．已知函数f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧≥<++,2,1422xexxxx则f（x）的“友好点对”有（）个．A．0 B．1 C．2 D．4二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应的位置上）11．设2,[0,1],()2,(1,2].x xf xx x⎧∈=⎨-∈⎩则2()f x dx⎰等于 ____________________________．12．椭圆中有如下结论：椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上斜率为1的弦的中点在直线22x ya b+=上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线22221(,0)x ya ba b-=>上斜率为1的弦的中点在直线______ 上。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ． 9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是[答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．A B CD C 1 D 1 A 1B 1三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。

高三理数4月模拟联考试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.2.设复数z满足〔其中i为虚数单位〕，那么复数z在复平面内对应的点所在的象限为〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设x，y满足约束条件那么的最小值为〔〕A. -1B. -2C. -6D. -44.假设圆与圆相交，那么正实数a的取值范围为〔〕A. B. C. D.5.根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如下表，那么以下说法错误的选项是〔〕A. 降雨天数逐年递增B. 五年内三个月份平均降雨天数为41天C. 从第二年开始，每一年降雨天数比照前一年的增加量越来越小D. 五年内降雨天数的方差为226.设抛物线与直线交于点M〔点M在第一象限〕，且M到焦点F的距离为10，那么抛物线C的标准方程为〔〕A. B. C. D.7.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为，且当窄口容器的容器口是半径为的圆时，漏斗顶点处伸入容器局部的高为，那么制造该漏斗所需材料面积的大小约为〔〕〔假设材料没有浪费〕A. B. C. D.8.在的展开式中，含项的系数是〔〕A. 25B. 30C. 35D. 409.如图是函数的局部图象，那么该函数图象与直线的交点个数为〔〕A. 8083B. 8084C. 8085D. 808610.定义在R上的偶函数满足在上单调递增，，那么关于x的不等式的解集为〔〕A. B. C. D.11.设双曲线的左、右焦点分别为，点P〔异于顶点〕在双曲线C的右支上，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 可能是正三角形B. P到两渐近线的距离之积是定值C. 假设，那么的面积为8D. 在中，12.等比数列的前n项和为，记，假设数列也为等比数列，那么〔〕A. 12B. 32C. -16D. -8二、填空题13. ，那么________．14.向量满足，那么________．15.数列的前项和为，，当且时，那么________.16.三棱锥中，平面，直线与平面所成角的大小为，，，那么三棱锥的外接球的外表积为________．三、解答题17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．〔1〕求B；〔2〕假设的面积是，，求b．18.如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是棱长为2的菱形，O是的中点，与全等．〔1〕证明：平面平面；〔2〕求二面角的正弦值．19.为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工会按性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的职工分别对工会工作进行评分，总分值为100分，调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，企业工会将男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男职工评分结果的频数分布表为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况〞，二者的对应关系如下：〔1〕求m的值；〔2〕为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在的男职工中随机抽取2人进行座谈，记这2人中对工会工作满意度“一般〞的人数为X，求X的分布列与数学期望；〔3〕以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意〞的概率．20.椭圆：过点，短轴长为．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕过点的直线〔直线不与轴垂直〕与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点．求的面积的最大值．21.函数．〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕当时，假设，求实数的取值范围．22.在极坐标系中，三点，，.〔1〕假设A，B，C三点共线，求的值；〔2〕求过O，A，B三点的圆的极坐标方程.〔O为极点〕23.函数.〔1〕假设，求的最小值；〔2〕假设不等式有解，求实数的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为全集，，所以．故答案为：D【分析】先求解全集U，再利用补集的定义求解即可。

2021-2022年高三4月模拟检测数学理试题 含答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、．设（i 为虚数单位），则（ ）A ．B ．C ．D ．2、设全集，(2){|21},{|ln(1)}x x A x B x y x -=<==-，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列判断错误的是（ ） A ．“”是“a < b ”的充分不必要条件 B ．命题“”的否定是“”C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．若为假命题，则p ，q 均为假命题4、函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线对称，它的最小正周期为，则函数图像的一个对称中心是A ．B ．C ．D ．5、已知向量a ，若向量与垂直，则的值为 （ ） A ． B ．7 C ． D ．6．若右边的程序框图输出的是，则条件①可为（ ） A ． B ． C ． D ．7、展开式中不含．．项的系数的和为（）A.-1B. 1C. 0D.28、设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的图像为（）9、已知函数21(0)(),()(1)(0)x xf x f x x af x x-⎧-≤==+⎨->⎩若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为A．B．C．D．10、关于x的不等式在上恒成立, 则实数k的取值范围为A．B． C．D．11、设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）12．定义域为[a，b]的函数图像的两个端点为A、B，M（x，y）是图象上任意一点，其中,已知向量，若不等式恒成立，则称函数上“k阶线性近似”。

若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为A．B．C．D．第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13、从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 ；14、某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是15、设实数满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则的取值范围是16、已知为锐角△的外心，若=+,且，则的值是三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)已知函数213()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈． （1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值． （3）已知中，角的对边分别为若求边的最小值.18、(本小题满分12分)现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．（Ⅰ）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；（Ⅱ）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列； ②令，，求实数的取值范围．19、(本小题满分12分)在如图的多面体中，⊥平面，,，，，，，是的中点． (Ⅰ) 求证：平面； (Ⅱ) 求证：；(Ⅲ) 求二面角的余弦值.A DFEB G C20、(本小题满分12分)设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且132(2,)n n S S n n N -=+≥∈；，（Ⅰ）求数列,的通项公式；（Ⅱ）若，为数列的前项和. <m,求m 的最小值.21、(本小题满分13分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、 三点. （1）求椭圆的方程：（2）若点D 为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。

2021年高三4月模拟数学试题（理）含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z1=3+i，z2=1﹣i则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】：复数代数形式的乘除运算．【分析】：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，化简为a+bi的形式，即可得到结果．【解析】：解：把复数z1=3+i，z2=1﹣i代入复数，得复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．【点评】：本题考查复数代数形式的除法运算，是容易题．2．（5分）集合M={0，1，2，3，4，5}，N={0，2，3}，则∁M N=（）A．{0，2，3} B．{0，1，4} C．{1，2，3} D．{1，4，5}【考点】：补集及其运算．【专题】：集合．【分析】：根据全集M，求出N的补集即可．【解析】：解：∵M={0，1，2，3，4，5}，N={0，2，3}，∴∁M N={1，4，5}，故选：D．【点评】：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（5分）函数的定义域为（）A．（，1）B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【考点】：函数的定义域及其求法；对数函数的单调性与特殊点．【专题】：计算题．【分析】：由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，【解析】：解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0，由此可解得，故选A．【点评】：本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用．4．（5分）“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：若x=满足sinx=，但x=不成立，即充分性不成立，若x=，则sinx=成立，即必要性成立，故“sinx=”是“x=”的必要不充分条件，故选：C【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决本题的关键．5．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2 B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．【解析】：解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．【点评】：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．6．（5分）把函数y=sin3x的图象适当变化就可以得y=（sin3x﹣cos3x）的图象，这个变化可以是（）A．沿x轴方向向右平移B．沿x轴方向向右平移C．沿x轴方向向左平移D．沿x轴方向向左平移【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】：解：y=（sin3x﹣cos3x）=sin（3x﹣）=sin3（x﹣），故把函数y=sin3x的图象沿x轴方向向右平移个单位，即可得到y=（sin3x﹣cos3x）的图象，故选：B．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．【考点】：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．【专题】：计算题．【分析】：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值【解析】：解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．【点评】：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．8．（5分）函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由于函数y=为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如x→0+，y→+∞）可排除B，C，从而得到答案D．【解析】：解：令y=f（x）=，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数y=为奇函数，∴其图象关于原点对称，可排除A；又当x→0+，y→+∞，故可排除B；当x→+∞，y→0，故可排除C；而D均满足以上分析．故选D．【点评】：本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题．9．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S20＞0，S21＜0，则中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等差数列的性质和求和公式易得a10+a11＞0且a11＜0，可得n≤10时，S10最大，而a10最小，故最大．【解析】：解：由题意显然公差d＜0，∵S20==10（a1+a20）＞0，∴a1+a20＞0，则a10+a11＞0；同理由S21＜0可得a1+a21＜0，∴a11＜0，结合a10+a11＞0可得a10＞0，∴n≤10时，S10最大，而a10最小，∴最大．故选：B．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，属中档题．10．（5分）给出如下性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在（﹣，）上是增函数．则同时具有上述性质的一个函数是（）A．y=sin（+）B．y=cos（﹣）C．y=sin（2x﹣）D．y=cos（2x+）【考点】：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用函数的最小正周期为π可排除A，B，利用图象的单调递增区间进一步排除D，即可得答案．【解析】：解：A，y=sin（+）的最小正周期T==4π，故不满足；B，y=cos（﹣）的最小正周期T==4π，故不满足；C，令y=f（x）=sin（2x﹣），则f（）=sin（﹣）=sin=1，为最大值，∴f（x）=sin（2x﹣）的图象关于直线x=对称，且其周期T==π，同时具有性质①、②，符号题意；由2k≤2x﹣≤2k，k∈Z解得：x∈，k∈Z，从而当k=1时，有函数f（x）=sin（2x﹣）在（﹣，）上是增函数．D，y=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z可解得其单调递减区间为，k∈Z，故不符合③；故选：C．【点评】：本题考查三角函数的周期性与对称性及其求法，以及单调递增区间的求法，突出排除法在解选择题中的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题纸上）11．（5分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=+1，则a xx=．【考点】：数列递推式．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：由题意可知{a n﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，即可求出答案【解析】：解：∵，∴{a n﹣1}为周期数列且周期为2，a1﹣1=2，∴a xx﹣1=a2﹣1=，∴．故答案为：．【点评】：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是（，+∞）．【考点】：简单线性规划的应用．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k=﹣a＜0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时﹣a≤k AB=﹣，即a＞，故答案为：（，+∞）【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．13．（5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b 的值，进而可得a+b=55．【考点】：类比推理．【专题】：计算题；推理和证明．【分析】：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．【解析】：解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55【点评】：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是﹣4＜m＜2．【考点】：函数恒成立问题．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先把x+2y转化为（x+2y）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y ＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解析】：解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．15．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．【解析】：解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）=，求f（x）的最小值．【考点】：基本不等式；一元二次不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（1）由三个二次的关系可得，解方程组可得；（2）由（1）知f（x）=+（+）=5++，由基本不等式可得．【解析】：解：（1）由题意可得，解得，∴实数a，b的值分别为1，4；（2）由（1）知f（x）=+∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，＞0，∴f（x）=+=（+）=5++≥5+2=9当且仅当=即x=时，等号成立．∴f（x）的最小值为9．【点评】：本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．17．（12分）已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•loga n，S n=b1+b2+…+b n，求使S n+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）设出等比数列{a n}的公比为q，根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件，得到一个方程组，化简后即可求出a1和q的值，写出数列a n的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的数列a n的通项公式代入，利用对数函数的性质化简，确定出b n的通项公式，列举出数列{b n}各项的和的相反数设为T n，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，①﹣②即可求出﹣T n，即为S n，把求出的S n代入已知的不等式中化简，即可求出满足题意的最小的正整数n的值．【解析】：解：（Ⅰ）设a n的公比为q，由已知，得⇒⇒⇒，∴a n=a1q n﹣1=2n；（5分）（Ⅱ），设T n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①则2T n=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1，②①﹣②得：﹣T n=（2+22+…+2n）﹣n×2n+1=﹣（n﹣1）×2n+1﹣2，∴S n=﹣T n=﹣（n﹣1）×2n+1﹣2（10分）故S n+n•2n+1＞50⇔﹣（n﹣1）×2n+1﹣2+n×2n+1＞50，⇒2n＞26，∴满足不等式的最小的正整数n为5．（12分）【点评】：此题考查学生掌握用错项相减的方法求数列前n项的和，以及灵活运用等比数列的通项公式来解决问题．学生做第二问时注意不是直接求S n，而是利用错位相减的方法先求出S n的相反数T n．18．（12分）已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．【考点】：余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题．【分析】：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．【解析】：解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，即tanx=﹣，则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====；（2）f（x）=2（+）•=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵a=，b=2，sinB=，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=，∴原式=sin（2x+）﹣，∵x∈，∴2x+∈，∴1≤sin（2x+）≤，则≤sin（2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为．【点评】：此题考查了余弦定理，数量积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）为迎接xx年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解析】：解：（Ⅰ）由题意知，y=，将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）===﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13 万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．20．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，通项公式为，．（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．【考点】：数列递推式；用数学归纳法证明不等式．【专题】：计算题．【分析】：（1）此问根据通项公式计算出前n项的和．当n=1时，f（1）=s2；当n=2时，f （2）=s4﹣s1=a2+a3；当n=3时，f（3）=s6﹣s2．（2）当n=1时，≥1．当n≥2时，f（n）中没有a1，因此都小于1．【解析】：解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）下面用数学归纳法证明：（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即，那么===，所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）【点评】：此题主要考查数列递推式及相关计算．21．（14分）已知函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x（1）若函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线3x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）当x∈时，f（x）≥e﹣4恒成立，求实数a的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即可得到a；（2）当x∈时，f（x）≥e﹣4恒成立，即有当x∈时，f（x）min≥e﹣4．求出导数，讨论①当a≥0时，②当a＜0时，当a≤﹣1，当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜a＜0时，运用单调性，求出f（x）最小值即可得到．【解析】：解：（1）函数f（x）=（ax2+x+a）e﹣x导数f′（x）=（2ax+1）e﹣x+（ax2+x+a）e﹣x=e﹣x（1+a+x+2ax+ax2），则在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=1+a，f（0）=a，由于切线与直线3x﹣y+1=0平行，则有1+a=3，a=2；（2）当x∈时，f（x）≥e﹣4恒成立，即有当x∈时，f（x）min≥e﹣4．由于f′（x）=（2ax+1）e﹣x+（ax2+x+a）e﹣x=e﹣x（1+a+x+2ax+ax2）=（x+1）（ax+1+a）e﹣x，①当a≥0时，x∈，f′（x）＞0恒成立，f（x）在递增，f（x）min=f（0）=a≥e﹣4；②当a＜0时，f′（x）=a（x+1）（x+1+）•e﹣x，当a≤﹣1，﹣1≤＜0，0≤1+＜1，﹣1＜﹣（1+）≤0，x∈，f′（x）≤0恒成立，f（x）递减，f（x）min=f（4）=（17a+4）•e﹣4≥e﹣4，17a+4≥1，a≥﹣，与a≤﹣1矛盾，当﹣1＜a＜0时，＜﹣1，1+＜0，﹣（1+）＞0，f（x）在递增，或存在极大值，f（x）min在f（0）和f（4）中产生，则需f（0）=a≥e﹣4，且f（4）=（17a+4）•e﹣4≥e﹣4，且﹣1＜a＜0，推出a∈∅，综上，a≥e﹣4．【点评】：本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题．*22206 56BE 嚾}Z_34177 8581 薁24077 5E0D 帍23630 5C4E 屎f21760 5500 唀27926 6D16 洖24970 618A 憊。

2022年高考模拟训练试题理科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 留意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请依据题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}=12357=21,M N x x k k M =-∈，，，，，，则M N ⋂=A. {}1,2,3B. {}1,3,5C. {}2,3,5D. {}1,3,5,7 2.i为虚数单位，()21i =A. 144i +B. 122+C. 122--D. 144-- 3.点A （1，0），B （0，1），点C 在其次象限内，已知5,2,6AOC OC OC OA πλ∠===+且OB μ，则λμ，的值分别是A. 1-B.C. 1D. 1-4.设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,,//a M a b b M ⊥⊥则.其中正确命题的个数为A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 值为A.22022B. 22021C. 22022D. 201312 7.若变量,x y 满足0,21,43,y x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =+的取值范围是A. (],3-∞B. [)3,+∞C. []0,3D. []1,38.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为A.0B.1C.2D.39.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足()()()3110f x f x x f x x -=--≥=，且时，，则()()2710f x f x +->的解集为A.∅B.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.3,32⎛⎫⎪⎝⎭10.抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A,B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MNAB 的最大值为A.3B. 23C.1D. 3 第II 卷（非选择题 共100分） 留意事项： 将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.设()[)[]()260,0,2,6,2,6,x x f x f x dx x x ⎧∈⎪==⎨-∈⎪⎩⎰则_________. 12.艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A,B,C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场馆至少派一人，若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有_______种. 13.若直线y kx =与圆22680x y x +-+=相切，且切点在第四象限，则k=_________. 14.已知函数()214f x x ax b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b +的最小值为________. 15.对任意的,a b R ∈，定义{}()():min ,a a b a b b a b <⎧⎪=⎨≥⎪⎩；{}()()max ,a a b a b b a b ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩有下列各式； ①{}{}min ,max ,a b a b a b +=+ ②{}{}min ,max ,a b a b a b -=- ③{}(){}()min ,max ,a b a b a b ⋅=⋅ ④{}(){}()min ,max ,a b a b a b ÷=÷ 其中恒成立的是________.（填上全部正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知向量()()22cos ,3,1,sin 2a x b x ==，函数()2f x a b =⋅-. （I ）求函数()63f x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在，上的最小值. （II ）在,,ABC a b c ∆中，分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,23f C c ab ===，且a b >，求边,a b 的值. 17. （本小题满分12分） 如图所示的几何体中，111ABC A B C -为正三棱柱，点D 在底面ABC 中，且DA=DC=AC=2,AA 1=3,E 棱11A C 的中点. （I ）证明：平面11A C D ⊥平面BDE ； （II ）求二面角1C DE C --的余弦值. 18. （本小题满分12分） 为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A 市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为1142、，一小时以上且不超过两小时的还车的概率分别为1124、，两人租车时间都不会超过三小时.（I）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（II）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ.19. （本小题满分12分）下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知1123321,14,16a a a===.（I）求数列{}n a的通项公式；（II）设11,,nn nnab n N Ta*=∈为数列{}n b的前n项和，若n T<27m m-对一切n N*∈都成立，求最小的正整数m的值.20. （本小题满分13分）设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的一个顶点与抛物线242x y=的焦点重合，12,F F分别是椭圆的左、右焦点，离心率33e=，过椭圆右焦点2F的直线l与椭圆C交于M,N两点.（I）求椭圆C的方程.（II）是否存在直线l，使得1?OM ON⋅=-若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.（III）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN//AB，是否存在λ，使AB MNλ=？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()1lnk xf xx-+=.（I）求函数()f x的极值；（II）若()[]212112120,,1,2lnx x x x x ax x∃∈+∞∃∈>-使成立，求a的取值范围；（III）已知12120,0,x x x x e>>+<且，证明：()()12121212x x x xx x x x++>⋅.。

高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 满分60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n, 若S1=1, S2=3, 则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．103．已知向量, , t∈R, 则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．24．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π, , 则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减5．如图, 某几何体的正视图和侧视图都是正三角形, 俯视图是圆, 若该几何体的表面积S=π, 则它的体积V=（）A．πB．C．D．6．某地市高三理科学生有15000名, 在一次调研测试中, 数学成绩ξ服从正态分布N, 已知P（80＜ξ≤100）=0.40, 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析, 则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份7．执行如图所示的程序框图, 输出S的值是（）A．0 B．C．D．8．若的展开式中常数项为1, 则实数a=（）A．B．C．D．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7, 每次射击的结果相互独立, 那么他在15次射击中, 最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．1210．在平面直角坐标系xOy中, P是由不等式组所确定的平面区域内的动点, Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点, 则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x）, 若xf′（x）+f（x）=e x, 且f（1）=e, 则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为12．过双曲线=1（a＞0, b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点, 若|AB|=2a, 则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1, ）B．（, ）C．（, 2） D．（2, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3, q：（x+1）（2x﹣1）≥0, 若￢p是q的充分不必充要条件, 则实数a的取值范围是．14．△ABC三边的长分别为AC=3, BC=4, AB=5, 若, ,则=．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5, 33=7+9+11,43=13+15+17+19, …, 根据上述规律, 103的分解式中, 最大的数是．16．已知平面区域D={（x, y）|0≤x≤1, |y|≤1}, ∀（x, y）∈D, ≥|x+|的概率P=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列, ∀n∈N*, 数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2, n∈N*, 求数列{b n}的前n项和T n．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛, 文科班推荐了3名男生、4名女生, 理科班推荐了3名男生、2名女生, 他们各有所长, 总体水平相当, 学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生, 每次随机抽取1人, 设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数, 求X的分布列和均值（数学期望）．19．如图, ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱, 侧棱AA1⊥底面ABCD, 底面ABCD 是梯形, AB=BC=CD=1, AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点, DE与平面C1BD夹角的正弦值为,试判断动点E在什么样的曲线上．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4, 且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点, 线段AB的垂直平分线l经过M（0, 1）, 求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数, a是常数, 且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：, n∈N*．请考生在第22、23、24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, ⊙O的弦AB、CD相交于E, 过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6, AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）, 以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点, 求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足, 求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1, 2], x﹣|x﹣a|≤1恒成立, 求常数a的取值范围．高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 满分60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简, 然后利用共轭复数的概念求得答案．【解答】解：∵=,∴复数的共轭复数是2+i．故选：B．2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n, 若S1=1, S2=3, 则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a2, 可得q, 进而可得a3, 前3项相加可得S3．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n, S1=1, S2=3,∴a1=S1=1, a2=S2﹣S1=3﹣1=2,故公比q==2, 故a3=a2q=4,∴S3=1+2+4=7,故选：A．3．已知向量, , t∈R, 则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可求出向量的坐标, 从而得出, 显然可看出t=3时, 可取到最小值2．【解答】解：；∴, 当t=3时取“=”；∴的最小值为2．故选：D．4．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π, , 则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω, 由f（0）=求出φ的值, 可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π, 可得ω=2．再根据=sin（ϕ+）, 可得sin（ϕ+）=1, ϕ+=2kπ+, k∈Z,故可取ϕ=, y=sin（2x+）=cos2x．在上, 2x∈（﹣, ）, 函数f（x）=cos2x 没有单调性,故排除A、B；在上, 2x∈（0, π）, 函数f（x）=cos2x 单调递减, 故排出C,故选：D．5．如图, 某几何体的正视图和侧视图都是正三角形, 俯视图是圆, 若该几何体的表面积S=π, 则它的体积V=（）A．πB．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥, 设底面圆的半径为r, 由正视图可得母线长是2r, 由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出r, 由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥,设底面圆的半径为r, 由正视图可得母线长是2r,∵该几何体的表面积S=π, ∴πr2+πr•（2r）=π,解得r=,则圆锥的高h===1,∴几何体的体积V===,故选：C．6．某地市高三理科学生有15000名, 在一次调研测试中, 数学成绩ξ服从正态分布N, 已知P（80＜ξ≤100）=0.40, 若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析, 则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据在一次调研测试中, 数学成绩ξ服从正态分布N, 得到数学成绩ξ关于ξ=100对称, 根据P（80＜ξ≤100）=0.40, 得到P（ξ＞120）=0.1, 根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：由题意, 在一次调研测试中, 数学成绩ξ服从正态分布N,∴数学成绩ξ关于ξ=100对称,∵P（80＜ξ≤100）=0.40,∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1,∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10．故选：B．7．执行如图所示的程序框图, 输出S的值是（）A．0 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序, 可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan +…+tan+tan的值, 利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序, 可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值,由于：tan+tan+tan=0, k∈Z,且：2016=3×672,所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．8．若的展开式中常数项为1, 则实数a=（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项, 令x的指数为0得常数项列出方程解方程求出a的值．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=C8r•（）8﹣r•（）r=（）8﹣r C8r•x8﹣\frac{4}{3}r,令8﹣r=0,解得r=6；所以展开式的常数项为（）2C86=1,解得a=±2．故选：C．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7, 每次射击的结果相互独立, 那么他在15次射击中, 最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．12【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】假设最可能击中目标的次数为k, 由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式可得, 求得k的范围, 可得k的最大值．【解答】解：假设最可能击中目标的次数为k,根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7, 每次射击的结果相互独立,则他击中k次的概率为•0.7k•0.315﹣k,再由, 求得0.2≤k≤11.2,再根据击中目标次数为正整数, 可得击中目标次数为11,故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中, P是由不等式组所确定的平面区域内的动点, Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点, 则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域, 利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2,则圆心坐标为C（4, 4）, 半径R=,作出不等式组对应的平面区域如图：则C到直线x+y﹣4=0的距离最小,此时d==2,则|PQ|的最小值为d﹣R=2﹣=,故选：B．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x）, 若xf′（x）+f（x）=e x, 且f（1）=e, 则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=xf（x）, 求导, 得到f（x）=, 再根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：设g（x）=xf（x）,∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e x,∴g（x）=e x,∴xf（x）=e x,∴f（x）=,∴f′（x）=,令f′（x）=0, 解得x=1,当f′（x）＞0, 时, 解得x＞1, 函数f（x）在（1, +∞）单调递增,当f′（x）＜0, 时, 解得0＜x＜1, 函数f（x）在（1, +∞）单调递减,∴f（x）min=f（1）=e,故选：A．12．过双曲线=1（a＞0, b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点, 若|AB|=2a, 则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1, ）B．（, ）C．（, 2） D．（2, ）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程, 由两直线平行的条件可得平行直线的方程, 联立解得交点A, B的坐标, 可得AB的长, 结合a, b, c的关系和离心率公式, 可得e的方程, 运用零点存在定理, 进而得到离心率的范围．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x,设焦点F（c, 0）, 由y=（x﹣c）和双曲线=1, 解得交点A（, ）,同理可得B（, ﹣）,即有|AB|==2a,由b2=c2﹣a2, 由e=, 可得4e2=（e2﹣1）3,由f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2, 可得f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0, x＞1, f（x）递增．又f（2）＞0, f（）＜0,可得＜e＜2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3, q：（x+1）（2x﹣1）≥0, 若￢p是q的充分不必充要条件, 则实数a的取值范围是（﹣∞, ﹣4]∪[, +∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出关于p, q的不等式的解集, 结合￢p是q的充分必要条件得到关于a的不等式, 解出即可．【解答】解：p：|x﹣a|＞3,解得：x＞a+3或x＜a﹣3；￢p：a﹣3≤x≤a+3,q：（x+1）（2x﹣1）≥0,解得：x≥或x≤﹣1,若￢p是q的充分不必充要条件,则a﹣3≥或a+3≤﹣1,解得：a≥或a≤﹣4,故答案为：（﹣∞, ﹣4]∪[, +∞）．14．△ABC三边的长分别为AC=3, BC=4, AB=5, 若, ,则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形, 然后根据已知条件把用向量表示, 则的值可求．【解答】解：在△ABC中, 由AC=3, BC=4, AB=5, 得AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形, 如图,∵, ∴,又, ∴=,∴==．故答案为：．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5, 33=7+9+11,43=13+15+17+19, …, 根据上述规律, 103的分解式中, 最大的数是109．【考点】归纳推理．【分析】注意观察各个数分解时的特点, 不难发现：当底数是2时, 可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时, 可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时, 可分解成4个连续的奇数之和, 进而求出23～103的分解式用的奇数个数, 进而求出答案．【解答】解：由题意, 从23到103, 正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个,故103的分解式中, 最大的数是2×54+1=109,故答案为：10916．已知平面区域D={（x, y）|0≤x≤1, |y|≤1}, ∀（x, y）∈D, ≥|x+|的概率P=．【考点】几何概型．【分析】由题意画出图形, 利用区域的面积比求概率．【解答】解：∵≥|x+|,∴y2≥x,=1×平面区域D={（x, y）|0≤x≤1, |y|≤1}, 所围成图形为矩形, S矩形2=2,∀（x, y）∈D, y2≥x, 其面积为阴影部分的面积, 其S=y2dy=阴影y3|=,故∀（x, y）∈D, ≥|x+|的概率P==,故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列, ∀n∈N*, 数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2, n∈N*, 求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等差数列{a n}的公差为d, 由=．利用“裂项求和”可得：数列{}的前n项和S n==．分别取n=1, 2即可得出．+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2, 可得：b2k﹣1n=2k（k∈N*）时, 数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k+b2k）, 即﹣1可得出．当n=2k﹣1（k∈N*）时, 数列{b n}的前n项和T n=T n+a n, 即可得出．﹣1【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d,∵=．∴数列{}的前n项和S n=++…+==．n=1时, =n=2时, ==,化简解得：a1=2, d=1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2,∴b2k+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．﹣1+b2k）当n=2k（k∈N*）时, 数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1=（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3）=+3k=k2+4k=+2n．+a n当n=2k﹣1（k∈N*）时, 数列{b n}的前n项和T n=T n﹣1=﹣（n+1）2=．∴T n=．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛, 文科班推荐了3名男生、4名女生, 理科班推荐了3名男生、2名女生, 他们各有所长, 总体水平相当, 学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生, 每次随机抽取1人, 设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数, 求X的分布列和均值（数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率, 由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．（Ⅱ）由题意X=0, 1, 2, 分别求出相应的概率, 由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为…理科班有1名学生入选集训队的概率为…∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为…（Ⅱ）由题意X=0, 1, 2…P（X=0）==…,P（X=1）=…P（X=2）==…∴X的分布列为：X 0 1 2P…X的均值（数学期望）EX==…19．如图, ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱, 侧棱AA1⊥底面ABCD, 底面ABCD 是梯形, AB=BC=CD=1, AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点, DE与平面C1BD夹角的正弦值为, 试判断动点E在什么样的曲线上．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AD的中点F, 连接BF, 根据各线段长度可得四边形BCDF是菱形, △ABF是正三角形, 利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°, 即AB⊥BD, 从而BD⊥平面ABB1A1, 于是平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（II）以B为原点, 建立空间直角坐标系, 设E（x, y, 2）, 求出和平面C1BD的法向量为, 令|cos＜＞|=得出E点的轨迹方程．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F, 连接BF, 则AB=BC=CD=AF=DF=1,∴四边形BCDF是菱形, △ABF是正三角形,∴∠ABF=∠AFB=60°, ∠FBD=∠FDB,∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°,∴∠FBD=∠FDB=30°,∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°, ∴AB⊥BD．∵AA1⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD,∴AA1⊥BD, 又AA1⊂平面ABB1A1, AB⊂平面ABB1A1, AA1∩AB=A,∴BD⊥平面ABB1A1, ∵BD⊂平面BDD1B1,∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）以B为原点, BD, BA, BB1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则B（0, 0, 0）, D（, 0, 0）, C1（, ﹣, 2）,设E（x, y, 2）,∴=（, 0, 0）, =（, ﹣, 2）, =（x﹣, y,z）．设平面C1BD的一个法向量为=（x, y, z）, 则,∴, 取z=1得=（0, 4, 1）,∴=4y+2．∴cos＜＞==．∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为,∴|cos＜＞|=, 即||=．化简整理得, ,∴动点E的轨迹是一条抛物线．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4, 且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点, 线段AB的垂直平分线l经过M（0, 1）, 求△OAB面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2, 求得焦点坐标, 运用椭圆的定义可得2a=4,即a=2, 运用a, b, c的关系, 可得b, 进而得到椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的对称性, 直线AB与x轴不垂直, 设直线AB：y=kx+m, 代入椭圆方程, 运用韦达定理和弦长公式, 求得O到直线AB的距离, 依题意, |AM|=|BM|, 运用两点的距离公式, 化简可得k, m的等式, 讨论k=0, k≠0, 运用基本不等式和二次函数的最值求法, 即可得到所求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意, 2c=4, 椭圆Σ的焦点为F1（﹣2, 0）, F2（2, 0）,由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=3+=4,即有a=2, 则b2=a2﹣c2=4,则椭圆Σ的方程为+=1；（Ⅱ）根据椭圆的对称性, 直线AB与x轴不垂直, 设直线AB：y=kx+m,由得, （2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0,设A（x1, y1）, B（x2, y2）,则, ,,O到直线AB的距离,△OAB的面积,依题意, |AM|=|BM|, 即,即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0,,即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0, 代入整理得, k（2k2+m+1）=0,若k=0, 则, 等号当且仅当时成立；若k≠0, 则2k2+m+1=0, ,等号当且仅当m=﹣2, 时成立．综上所述, △OAB面积的最大值为．21．已知函数, a是常数, 且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：, n∈N*．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值, 通过对a分类讨论求得函数零点的个数,（Ⅱ）取a=2或a=, 由（1）知函数单调性, 即可证明．【解答】证明：（Ⅰ）,解f′（x）=0得x=0, 或x=a2﹣2a①a=1时, , 若x∈（﹣1, 0）, f′（x）＜0, f（x）＞f（0）=0, 若x∈（0, +∞）, f′（x）＞0, f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点,②1＜a＜2时, ﹣1＜a2﹣2a＜0,x （﹣1, a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a, 0）0 （0, +∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知, f（x）在区间（a2﹣2a, +∞）有一个零点x=0,f（a2﹣2a）＞f（0）=0, 又,任取, ,f（x）在区间（t, a2﹣2a）有一个零点, 从而f（x）有两个零点,③a=2时, , f（x）在（﹣1, +∞）上单调递增,有一个零点x=0,④a＞2时, a2﹣2a＞0,x （﹣1, 0）0 （0, a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a, +∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知, f（x）在区间（﹣1, a2﹣2a）有一个零点x=0, 在区间（a2﹣2a, +∞）有一个零点, 从而f（x）有两个零点,（Ⅱ）证明：取a=2, 由（1）知在（﹣1, +∞）上单调递增,取（n∈N*）, 则, 化简得,取, 由（1）知在区间上单调递减,取（n∈N*）, 由f（x）＞f（0）得, 即（n∈N*）,综上, , n∈N*请考生在第22、23、24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, ⊙O的弦AB、CD相交于E, 过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6, AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理, 可得PC=3, 再由圆的相交弦定理, 即可得到EB的长；（Ⅱ）作OM⊥AB, PN⊥AB, 分别交AB于M, N, 设AN=x, 运用勾股定理, 解方程可得AN=2, 求得PN, AM的长, 运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO, 由性质定理, 即可得到所求值．【解答】解：（I）PA2=PC•PD, PA=6, CD=9,即36=PC（PC+9）,得PC=3（﹣12舍去）,所以PD=PC+CD=12,又EP=9, 所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3, CE=EP﹣PC=9﹣3=6,又AE•EB=CE•ED,则EB===2；（II）作OM⊥AB, PN⊥AB, 分别交AB于M, N,设AN=x, 则AP2﹣AN2+NE2=EP2,由AP=6, EP=9, NE=9﹣x,即有36﹣x2+（9﹣x）2=81,得x=2即AN=2, PN==,AB=AE+EB=9+2=11, AM=AB=,在直角三角形PNA和直角三角形AMO,∠APN=∠OAM, ∠PAN=∠AOM,可得△PNA∽△AMO,得：,即有OA===．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足, 求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1, 2], x﹣|x﹣a|≤1恒成立, 求常数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）求出ab=1, 问题转化为|﹣2x+1|≥1, 解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0, 通过讨论a的范围求出不等式的解集, 从而求出a的范围即可．【解答】解：（I）由已知,∵a、b不为0, ∴ab=1,原不等式相当于|﹣2x+1|≥1,所以, ﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1,解得：{x|x≤0或x≥1}；（Ⅱ）由已知得, |x﹣a|≥x﹣1≥0,（x﹣a）2≥（x﹣1）2, （a﹣1）（a﹣2x+1）≥0,a=1时, （a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立,a＞1时, 由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得, a≥2x﹣1, 从而a≥3,a＜1时, 由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得, a≤2x﹣1, 从而a≤1,综上所述, a的取值范围为（﹣∞, 1]∪[3, +∞）．23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）, 以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点, 求P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程, 由ρ2﹣4ρcosθ+1=0,ρ2=x2+y2, ρcosθ=x, 能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的圆心为（2, 0）, 半径为, 求出圆心到直线的距离, 由此能求出P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得,直线l的直角坐标方程为．…∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0, ρ2=x2+y2, ρcosθ=x,∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0,∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…, 圆心为（2, 0）, 半径为…圆心到直线的距离…∴P到直线l的距离的最大值…[选修4-5：不等式选讲]。

2024年青海省部分校高三数学（理）4月模拟联考试卷2024.4考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．13i 2i 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．6i +B ．6i -C ．6i -+D ．6i--2．已知集合{}1,0,1A =-，{}22xB x x =<，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-3．已知向量()(),3a m n m =≠ ，()3,2b =- ，()1,1c = ，且()a b c -⊥，则（）A ．1m n +=-B ．1m n +=C ．5m n -=D ．5-=-m n 4．已知函数()x f x e ex =-的极值点为a ，则()f a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．25．设x ，y 满足约束条件22021020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最大值为（）A ．11B ．7C ．－1D ．－46．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，122F F c =，点P 在C 的右支上，且12PF F △的周长为6c ，则1PF =（）A ．3c a-B ．3c a+C ．2-c aD ．2c a+7．若3log 5a =，56b =，则3log 2ab -=（）A ．1B ．－1C ．2D ．－28．已知F 是抛物线C ：()220x py p =>的焦点，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且A ，B 到直线5y =-的距离之和等于2AB -，则p =（）A ．6B ．8C ．12D ．149．记数列{}n a 的前n 项积为n T ，设甲：{}n a 为等比数列，乙：2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件10．已知函数()πsin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致如图所示，则()2f x 的最小正周期为（）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π911．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，M ，N ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，AD ，CD ，11A B ，11C D 的中点，P 为DH 的中点，连接EH ，FG ．对于空间任意两点I ，J ，若线段IJ 上不存在也在线段EH ，FG 上的点，则称I ，J 两点“可视”，则与点1B “可视”的点为（）A ．DB ．PC ．MD ．N12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()226f x y f x f y f x f y +=--+，()14f =，则()()()1299f f f ++⋅⋅⋅+=（）A ．992198+B ．992196+C ．1002198+D ．1002196+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在等差数列{}n a 中，312=a a ，则51aa =．14．已知点()3,4P 在圆心为()1,1的圆M 外，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则过P 与直线AB 平行的直线方程为．15．为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有种．16．在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱锥-P ABC 中，AC ⊥平面PAB ，E ，F 分别为BC ，PC 的中点，且2PA AC ==，1AB =，EF(1)证明：AB ⊥平面PAC ．(2)求二面角F AE C --的余弦值．18．为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].整理得到如下频率分布直方图.(1)求a 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)从成绩在[)[)30,40,80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在[)80,90内的村民人数为X ，求X 的分布列与期望.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2cos cos a B b A B c +=．(1)求B ；(2)若4b =，ABC 的面积为S ．周长为L ，求SL的最大值．20．已知椭圆C ：()222122x y a a +=>的离心率为3．(1)求C 的方程；(2)过C 的右焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，与直线4x =交于点D ，且2AB =，求l 的斜率．21．已知质数()2e xf x m x mx m =-+-，且曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为224e 4e 0x y --=．(1)求m 的值；(2)证明：对一切0x ≥，都有()22e f x x ≥．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为54x y αα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()cos 2sin 2ρθθ-=．(1)求C 与l 的直角坐标方程；(2)若P 是C 上的一个动点，求P 到l 的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||2|f x x x a =-++的最小值为8．(1)求a ；(2)若()f x 在1(,2-∞上单调递减，求不等式()14f x ≥的解集．1．A【分析】化简式子即可得出结论【详解】由题意，213i 2i i-6i 6i3⎛⎫-==+ ⎪⎝⎭故选：A.2．C【分析】通过将A 集合中的元素代入B 集合，看是否符合不等式，即可得出结论.【详解】由题意，{}1,0,1A =-，当1x =时，2221x x ==<，当0x =时，2120x x ==<，当=1x -时，22211xx >==，∴1x =和0x =满足B 集合的要求，∴{}0,1A B = ，故选：C.3．B【分析】根据坐标运算的加减法进行运算，再结合向量垂直·0a b a b ⊥⇔=即可得出结果.【详解】由题()()3,23b a m n m -=---≠，因为()a b c -⊥，所以()()()111032m a b c m n n -=⨯+⨯=--+=--- ，1m n ⇒+=.故选：B.4．B【分析】利用导数求出函数()f x 的极值点，再代入求出函数值.【详解】函数()x f x e ex =-，求导得()x f x e e '=-，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因此1x =是()f x 的极小值点，且是唯一极值点，所以1a =，()(1)0f a f ==.故选：B 5．A【分析】画出可行域和目标函数，根据z 的几何意义得到当2y x z =-过点()3,5A -时，z 取得最大值，求出答案.【详解】由约束条件作出可行域和目标函数，2z x y =-变形为2y x z =-，由于z -为2y x z =-在y 轴上的截距，要想得到z 的最大值，只需得到2y x z =-在y 轴上的截距的最小值，显然当2y x z =-过点A 时，z 取得最大值，联立21020x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得35x y =⎧⎨=-⎩，将()3,5A -代入，26511z x y =-=+=，当直线l ：2z x y =-经过点()3,5-时，z 取得最大值11．故选：A 6．D【分析】借助双曲线定义计算即可得.【详解】由双曲线定义可知：122PF PF a -=，则三角形12PF F 的周长为121211226F F PF PF c PF PF a c ++=++-=，故12PF c a =+.故选：D.7．A【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.【详解】由56b =⇒5log 6b =，所以3log 2ab -353log 5log 6log 2=⋅-3333log 6log 5log 2log 5=⋅-33log 6log 2=-36log 2=3log 31==故选：A 8．C【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出||AB ，列出方程求解即得.【详解】依题意，设点(,),(,)A A B B A x y B x y ，而抛物线C ：22x py =的准线方程为2px =-，则||22A B A B p pAB y y y y p =+++=++，点,A B 到直线5y =-的距离和为10A B y y ++，因此210A B A B y y p y y ++-=++，所以12p =.故选：C9．D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则11n n a a q -=，(1)12(1)211n n n n n n T a q a q-+++-== ，于是(1)12()22n n n n n T a q -=，(1)111211(1)12()222()22n n n n n n n n n n nT a qa q T a q ++++-==⋅，当1q ≠时，12n a q ⋅不是常数，此时数列2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，令首项为1b ，公比为p ，则112n n n T b p -=，112(2)n n T b p -=⋅，于是当2n ≥时，112112(2)22(2)n n n n n T b p a p T b p ---⋅===⋅，而1112a T b ==，当1b p ≠时，{}n a 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选：D 10．B【分析】根据图象确定周期的范围，得出24ω<<，再由特殊点求出336k ω=--即可得解.【详解】由图可知，π2ππ2ω<<，则24ω<<．πππ2π1832k ω-+=+，Z k ∈．解得336k ω=--，Z k ∈，故3ω=-，则()πsin 33f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()π2sin 63f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故()2f x 的最小正周期为2ππ63=-．故选：B 11．D【分析】连接1B D 、1B P 、1B E 、MF 、1B M 、1B N ，借助平行线的性质可得四点共面，即可得线段1B D 与EH 相交，线段1B P 与EH 相交，线段1B M 与FG 相交，从而排除A 、B 、C.【详解】如图，连接1B D ，1B P ，1B E ，由正方体的性质及E 、H 分别为棱AB 、11C D 的中点，易得1//B E HD ，所以线段1B D 与EH 相交，1B P 与EH 相交，故A 、B 错误；连接MF ，1B M ，有//AB MF ，1//AB B G ，故1//B G MF ，所以线段1B M 与FG 相交，C 错误；连接1B N ，直线1B N 与EH ，直线1B N 与FG 均为异面直线，D 正确.故选：D.12．D【分析】依次求出234(2)22,(3)22,(4)22,f f f =+=+=+猜想99(99)22f =+,再用等比数列求和.【详解】(1)422f ==+ ,(2)(11)(1)(1)2(1)2(1)6f f f f f f ∴=+=--+,24424246622=⨯-⨯-⨯+==+,(3)(21)(2)(1)2(2)2(1)6f f f f f f ∴=+=--+364262461022=⨯-⨯-⨯+==+,4(4)(22)36121261822f f ∴=+=--+==+,5(5)(32)60201263422f f ∴=+=--+==+,⋅⋅⋅99(99)22f ∴=+,(1)(2)(99)f f f ∴+++ ()()299(22)2222=++++++ ()299222299=++++⨯ ()9921219812-=+-100100221982196=-+=+故选：D【点睛】关键点点睛:本题关键是通过计算()f n 观察得到()22nf n =+,进而转化为等比数列求和.13．3【分析】根据给定条件，利用首项1a 表示公差d ，再借助等差数列通项计算即得.【详解】令等差数列{}n a 的公差为d ，由312=a a ，得3112d a a a =-=，因此51143a a d a =+=，所以513a a =.故答案为：314．23180x y +-=【分析】利用所求直线与直线AB 平行，就是与直线PM 垂直，可直接写出所求直线方程.【详解】由题意：直线PM 的方程为：114131y x --=--⇒3210x y --=，所求直线过点()3,4P 且与直线PM 垂直，所以所求直线方程为：()()23340x y -+-=，即23180x y +-=.故答案为：23180x y +-=15．216【分析】先分组后排列计算即可得.【详解】若这6名教师的分组为3，1，1，1，则甲、乙必在三人组中，丙、丁分开，不同的安排方法有1444C A 96=种；若这6名教师的分组为2，2，1，1，则甲、乙必在二人组中，丙、丁分开，不同的安排方法有11442244C C A A 120+=种．故不同的安排方法共有216种．故答案为：216.16．400081π##400081π【分析】利用球的截面小圆性质，用圆锥的高表示出圆锥的底面圆半径，再求出圆锥体积的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】过圆锥的轴的平面截球面得大圆，截圆锥得轴截面等腰三角形，是球的截面大圆的内接三角形，如图，设圆锥的高为(010)h h <<，圆锥底面圆半径为r ，球心O 到圆锥底面距离|5|d h =-，则2225r d +=，即2210r h h =-，圆锥体积22311()ππ(10)33V h r h h h ==-，求导得21()π(203)3V h h h '=-，当2003h <<时，()0V h '>，当20103h <<时，()0V h '<，因此函数()V h 在20(0,)3上单调递增，在20(,10)3上单调递减，max 204000π()()381V h V ==，所以圆锥体积的最大值为4000π81.故答案为：4000π81【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.17．(1)证明见解析.6【分析】（1）利用线面垂直的性质结合勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明另一组线面垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，先求出平面AEF 的法向量，再求出面AEC 的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.【详解】（1）,E F 分别为,BC PC 的中点,2 5.PB EF ∴==222,.AB PA PB AB PA AC +=∴⊥⊥ 平面PAB ，.,,AB AC AC PA A AC PA ∴⊥⋂=⊂ 面PAC ，AB ∴⊥平面PAC（2）以A 为原点，,,AB AC AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()110,0,0,,1,0,0,1,1,(0,0,2),(,1,0),(0,1,1).22A E F P AE AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭设平面AEF 的法向量为(,,),n x y z = 可得0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，故10,20,x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1,y =则解得2x =-，1z =-，得到平面AEF 的一个法向量为(2,1,1).n =--易得平面AEC 的一个法向量为(0,0,2).AP =由图可知二面角F AE C --为锐角，所以二面角F AE C --的余弦值为6AP n AP n⋅=⨯ .18．(1)0.005；64.5(2)分布列见详解；()2E X =【分析】（1）由频率和为1，可求a 的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定X 的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【详解】（1）由图可知，10(30.010.0150.032)1a +⨯++=，解得0.005a =，该村村民成绩的平均数约为(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+；（2）从成绩在[)[)30,40,80,90内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在[)30,40的村民有0.05620.050.1⨯=+人，成绩在[)80,90的村民有4人，从中任选3人，X 的取值可能为1,2,3，()212436C C 11C 5P X ===，()122436C C 32C 5P X ===，()632436C C 13C 5P X ===，则X 的分布列为X123P153515故()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=19．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理统一为角，再由三角恒等变换化简即可得解；（2）由余弦定理及三角形的面积公式得)4S a c L =+-，再由基本不等式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理可得，22sin cos 2sin cos cos sin A B B A B C +=，所以22sin cos 2sin cos cos sin cos cos sin A B B A B A B A B +=+,所以sin cos (2cos 1)cos sin (2cos 1)0A B B A B B -+-=，即(2cos 1)sin()0B A B -+=，由0πA B <+<，可知sin()0A B +≠，所以2cos 10B -=，即1cos 2B =，由0πB <<，知π3B =.（2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2216a c ac =+-，所以()2163a c ac =+-，即()21163ac ac ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 2S ac B ==，L a b c =++，所以()()()216344124a c S ac L a c a c ⎤+-⎣⎦==++++，所以)3412S a c L =+-，又()24a c ac +≤（当且仅当a c =时取等号），所以()()221634a c a c ac +=+-≥（当且仅当4a c ==时取等号），所以8ac +≤（当且仅当4a c ==时取等号），所以)()48412123S a c L =+-≤⨯-=（当且仅当4a c ==时取等号），即S L20．(1)22162x y +=(2)1±【分析】（1）由离心率公式求出2a 即可；（2）首先计算直线l 的斜率为0时不符合题意，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出AB ，再求出D 点坐标，即可得到DF ，从而得到方程，求出k 即可.【详解】（1）因为椭圆C ：()222122x y a a +=>，所以3ce a====，解得26a =，所以椭圆方程为22162x y +=.（2）由（1）可得()2,0F ，当直线l 的斜率为0时，则)A，()B ，()4,0D ，所以AB =2DF =，显然不满足2AB =，故舍去；依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由()222162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()222213121260k x k x k +-+-=，显然0∆>，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+，所以12AB x =-==)22113k k +=+，又()24y k x x ⎧=-⎨=⎩解得24y k x =⎧⎨=⎩，所以()4,2D k ，所以DF ==因为2AB =，所以)22113k k+=+1k =±，综上可得l 的斜率为1±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)4(2)证明见解析【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）将()22e f x x≥转化()22e 1444exx x +-+≤，从而可构造函数()()22e144exx x g x +-+=，借助导数研究其在[)0,∞+上的最大值即可得.【详解】（1）()e 2x f x m x m =-+'，()22e 4f m m ='-+，()22e 4f m m =-+，则有224e e 4m m =-+，()2224e 2e 44e 0m m ⨯--+-=，解得4m =；（2）由4m =，故()24e 44x f x x x =-+-，要证对一切0x ≥，都有()22e f x x ≥，即证()224e e 144x x x ≥+-+对一切0x ≥恒成立，即证()22e 1444e xx x +-+≤对一切0x ≥恒成立，令()()22e144exx x g x +-+=，()()()()()2222222e 14e 144e 12e 38e e xxx x x x x g x +--++--+++-='=()()2e 142exx x ⎡⎤+--⎣⎦=-，则当()240,2,e 1x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪+⎝⎭时，()0g x '<，则当24,2e 1x ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0g x '>，即()g x 在240,e 1⎛⎫ +⎝⎭、()2,∞+上单调递减，在24,2e 1⎛⎫⎪+⎝⎭上单调递增，又()0404e g ==，()()22224e 14244e 48424e eg +-⨯++-+===，故()4g x ≤对一切0x ≥恒成立，即得证.【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于将需证明的：对一切0x ≥，都有()22e f x x ≥转化为证明：()()22e1444exx x g x +-+=≤对一切0x ≥恒成立.22．(1)22(5)(4)5x y ++-=，220x y --=；(2).【分析】（1）消去参数求出曲线C 的普通方程；利用极坐标与直角坐标的互化公式求出l 的直角坐标方程.（2）利用点到直线的距离公式，结合图形的几何性质求出取值范围.【详解】（1）消去曲线C 的参数方程54x y αα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩中的参数得：22(5)(4)5x y ++-=，把cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程(cos 2sin )2ρθθ-=得：220x y --=，所以C 与l 的直角坐标方程分别为22(5)(4)5x y ++-=，220x y --=.（2）显然曲线C 是以点(5,4)C -为圆心，r =为半径的圆，点(5,4)C -到直线:220l x y --=的距离d ==显然直线l 与圆C 相离，于是圆C 上动点P 到直线l的最小值为=，最大值为+=所以P 到l的距离的取值范围是.23．(1)9a =-或7a =.(2)(,1][6,)-∞-⋃+∞.【分析】（1）利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值，结合已知即可求出a .（2）由（1）的结论结合单调性，确定()f x 的解析式，再解含绝对值符号的不等式.【详解】（1）依题意，|21||2||(21)(2)||1|x x a x x a a -++≥--+=+，当且仅当(21)(2)0x x a -+≤时取等号，即函数()f x 的最小值为|1|a +，因此|1|8a +=，解得9a =-或7a =，所以9a =-或7a =.（2）由（1）知，当7a =时，()|21||27|f x x x =-++，当71[,]22x ∈-时，()8f x =，显然函数()f x 在1(,)2-∞上不递减，当9a =-时，1410,219()21298,229410,2x x f x x x x x x ⎧-+<⎪⎪⎪=-+-=≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()f x 在1(,2-∞上单调递减，由()14f x ≥，得1241014x x ⎧<⎪⎨⎪-+≥⎩或1922814x ⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩或9241014x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得1x ≤-或6x ≥，所以不等式()14f x ≥的解集是(,1][6,)-∞-⋃+∞.。