分块矩阵的应用论文(谷风软件)

1引言在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组111122223333(1.1)(1.2)(1.3)a xb yc zd a x b y c z d a x b y c z d ++=++=++= 我们可以构成一个矩阵111122223333(1.4)a b c d a b c d a b c d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成.矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主.在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.（2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用.如：设A B M C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ⨯(),r n r ⨯-(),n r r -⨯()n r -⨯()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.（3）通过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题. 如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩()AB ≤秩()A ，且秩()AB ≤秩()B 可证得秩()AB ≤ {}min (),()r A r B .（4）利用分块矩阵求高阶行列式.如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC CD=-.（5）给出利用分块矩阵计算行列式A D H CB=的方法，可分几个方面讨论，当矩阵A 或B 可逆时;当矩阵A =B ，C =D 时;当A 与C 或C 与B 可交换时；当矩阵H 被分成两个特殊矩阵的和时，行列式的计算.（6）分块矩阵有非常广泛的应用，特别利用分块矩阵证明矩阵秩的性质显得非常简洁，而且方法也比较统一，有其独特的优越性.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算与证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题可以带来很大的便利.2 分块矩阵及其性质2.1 分块矩阵2.1.1【5】【6】分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A AA A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.1） 其中每个小矩阵 (1,2,,;1,2,,)ij A i s j t ==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分块矩阵.2.1.2【5】【6】分块矩阵的运算规则1(1)()()()(2)()()(3)()()(),(1,2,,;1,2,,)(4)()()ij st ij st ij ij st T T ij st ji tstij st ij tp ij sp ij ik kj k ij st ij stA B A B A A A B C C A B i s j t k A k A =±=±======∑在用规则（1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质（3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质： （1）若行列式中某行有公因子，则可提到行列式号外面；（2）把行列式中的某行乘上某一个非零数，加到另一行中去，其值不变； （3）把行列式的某两行互换位置，其值变号.利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广. 性质1【2】 设方阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.2） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵123123123A A A B MB MB MB C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.3） 则B M A =.证明：设s E 为s 级单位矩阵，则12312312300000000000s ss s E A A A E B M B B B M A E C C C E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是 0000ssE B M A M A E == 性质2【2】 设矩阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2.4） 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 级方阵，对于矩阵123112233123A A A D B MC B MC B MC C C C ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （2.5）则A D =证明：由123123123000ss s E A A A E M B B B E C C C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦= 123112233123A A A B MCB MC B MC C C C ⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中s E 为s 级单位矩阵，对上式两边同时取行列式得A D =性质3【2】 设方阵A 和B 写成如下的形式：123123123A A A A B B B C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123123123B B B B A A A C C C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则：B =A ，当s 为偶数时；B =-A ，当s 为奇数时.证明：A 可由B 中的123,,,B B B 与123,,A A A 相应的两行对换而得到，而对换行列式得两行，行列式反号，故当s 为偶数时B =A ，当s 为奇数时B =-A可以证明，对于一般分块矩阵也具有类似的性质.同时，这些性质不仅对行成立，对列也同时成立.推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B = （2.6）证明：作2n 阶行列式0AB A C E=由拉普拉斯展开定理得C AB E AB ==. 又由性质2并应用于列的情况，有000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===--推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+- （2.7）证明：根据性质2并应用于列的情况，有A B A B B A B B A B A B BAB A AA B++===+-+-下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. 例 1 计算2n 阶行列式00000000000000000000000a b a b a b D b a b a b a =解：令A=000000000000aa a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B=000000000000b b b⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0000000000000a b a b a b ab A B D A B A B B Ab a b a b a b a--==+-=--()()n n a b a b =+-.推论3 设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD CB C D=- （2.8）证明： 根据性质2.因为A 可逆，并注意到AC CA =，用1CA --乘矩阵A B C D ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的第一行后加到第二行中去得10A B D CA B -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 从而10A B A B CDD CA B-=-111A D CA B AD ACA B AD CAA B AD CB ---=-=--=-例 2 计算行列式4110320143422113=P解：设 A BP C D=其中31121023,,,24340114A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由计算知100A =≠ 且AC CA =，所以61153518P AD CB =-==.把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到三个结论.设A 、B 、C 、D 都是n 阶方阵.则有AB A B = （2.6）A B A B A B BA=+- （2.7）A B AD CB C D=- （2.8）结论(2.6)告诉我们两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵行列式的乘积.结论(2.7)则说明,当一个行列式可以分解成四个级数相等的方阵A 、B 、B 、A 时(即A BB A),那么我们可以转化为求A B A B +-这样我们就把求2n 级的行列式转换成了求n 级的行列式.结论（2.8）同样也说明当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A 、B 、C 、D 时（即A B CD），我们可以转换为求AB CD -，同样将一个2n 级的行列式转换成了n 级的行列式，这样的处理能给我们的计算带来很大的方便.例题1和例题2就是很好的印证.但并不是任何矩阵都能做到这样，因此我们在解行列式计算题时应首先观察其特点.一但发现有以上行列式的特点，即可用之.3 分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用3.1.1分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用定理1【11】【12】【15】秩（AB ）≤秩（A ），且秩（AB ）≤秩（B ）,则秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝证明：令1212,(,,...,),(,,...,)m s m n n s n s C A B A a a a C r r r ⨯⨯⨯===则1112121222121212(,,...,)(,,...,)s s s n n n ns b b b b bb r r r a a a b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11112121212122221122n n n n s s s ns nr b a b a b a r b a b a b a r b a b a b a =+++=+++=+++12,,...,(1)s r r r ∴可由12,,...,n a a a （2）线性表示所以秩（1）≤秩（2），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（A ） 令1122,m n n n C B n βββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以1111211221222212n n m m m mn n n a a a n aa a n a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即11111221221122221122n n n n m m m mn na a a a a a a a a ηβββηβββηβββ=+++=+++=+++12,,...,(3)m ηηη∴可由12,,...,(4)n βββ 线性表示所以秩（3）≤秩（4），即秩（C ）=秩（AB ）≤秩（B ） 也即秩（AB ）≤min ｛秩（A ），秩（B ）｝定理2【11】【12】【15】设A ，B 都是n 阶矩阵，若AB =0则秩（A ）+秩（B ）≤n .证明：对B 分块如下：12()n B B B B =.由于AB =0，即12()0n AB AB AB =.即0(1,2,...,)i AB i n ==.说明B 的各列都是0AX =的解.从而 秩12()n B B B ≤基础解系=n -秩（A ）.即秩（A ）+秩（B ）≤ n .3.1.2 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用例 3 设A ，B 都是n 阶矩阵，求证：秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ） 证明：因为0000A AB A B A AB A A B B B +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以0000E E A AB A B E B E A E B E E B -++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为 ,0E E E B E E E E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 都可逆 . 所以秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦而秩0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥秩[]AB A B ++且秩00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩（A ）+秩（B ）. 所以秩（AB A B ++）≤秩（A ）+秩（B ）.例 4 设A 为n m ⨯矩阵，s A 是从A 中取s 行得到的矩阵，则 秩（s A ）≥秩（A ）+s m -.证明：不妨设s A 是A 的前s 行，而后m s -行构成的矩阵为B ，则00s s A A A B B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又显然有 秩（A B +）≤秩（A ）+秩（B ）.于是秩（A ）≤秩0s A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+秩0B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=秩（s A ）+m s -.利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一是利用已知矩阵作为元素来拼成高级的矩阵来证明，如例题1.另一种方法是将已知矩阵拆成低级数的矩阵来证明，如例题2.这两种方法在证明矩阵的秩的问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题都可以用分块矩阵来证明.3.2 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中有着广泛的应用，欲透彻掌握达到运用自如却非易事.其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境.作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们大家往往容易忽视它重要的一点——矩阵分块的作用，本节就谈谈它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.3.2.1 关于矩阵列（行）向量线性相关性定理1【4】【8】【9】【10】 矩阵A 的列向量线性无关的充分必要条件是0AX =只有零解.证明：令12()k A A A A =，其中(1,2,...,)i A i k =是A 的列向量，且11220(1,2,,)k k a A a A a A i k +++== .即1212()0k k a a A A A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，也即 120k a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若12,,,k A A A 线性无关，则有120,0k a a a AX =====只有零解，反之亦成立.例5 矩阵B 列线性无关，BC A =.求证：C 列线性无关的充要条件是A 列线性无关.证明：充分性：使0,CX =即()0B AX =，记AX Y =，则0BY =，因为B 列无关，须0Y =，即0AX =，又A 列无关，须0X =，从而C 列无关.必要性：要使0AY =，两边左乘B ，则0BAY =，即0CY =，因为C 列无关，所以0Y =，从而A 列无关. 3.2.2 矩阵的分解定理2【4】【8】【9】【10】设(),nk A γγ=（1）,,()()n k M N M N γγγγβγ∃==使A MN =；（2）,,()()nk kk R S R S γγγ∃==使A RS =； （3）,,()()nn nk R S R S γγγ∃==使A RS =.证明：,,0,0,nn kk P Q P Q ≠≠使110000.00nkI PAQ I A P Q γγ--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦（1）将1P -与1Q -作如下分块：11(,),k n N P M L Q H γγ--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ .则0(,)00IN A M L MN H γ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. （2）令10,00nn nn I P P γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因为000000000nk nk kkI I I γγγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 令1000nn nk IP P γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1000kk kkI S Q γ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦即得，A RS =. （3）因为10000,00000000nk kk nn nk II I I S Q γγγγ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即得，A RS =.矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很显然都会涉及到利用矩阵分块，因为矩阵的列（行）都可以看作是矩阵的子块，对于处理矩阵的分解也是一样，在线性代数中还有很多问题都可类似的通过分块矩阵来解决.4 分块矩阵在计算方面的应用4.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用定理1【16】【20】【21】设A B P C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块方阵,其中B 为r 阶方阵,C 为k 阶方阵,当B 与1()C DB A --都是可逆矩阵时,则P 是可逆矩阵,并且11111111111111()()()()C DB A DB C DB A P B B A C DB A DBB AC DB A --------------⎡⎤---=⎢⎥+---⎣⎦特例 (1)当0,0,A D B ==与C 都可逆时,有.11100C P B---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.(2)当0,0,A D B =≠与C 都可逆时,有111110C DB C P B-----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. (3)当0,0,A D B ≠=与C 都可逆时,有111110C P B B AC -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 证明： 设P 可逆,且1XY P Z W -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中Y 为k 阶方阵,Z 为r 阶的方阵.则应有1X Y A B P P E Z W C D -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 即00k r E XA YC XB YD E ZA WC ZB WD ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦. 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k rXA YC E XB YD ZA WC ZB WD E +=+=+=+=因为B 可逆,用1B -右乘(4.2)式可得1X YDB -=-代入(4.1)式得11()Y C DB A --=-，则 111()X C DB A DB ---=--.用B 右乘(4.4)式可得 111()r Z E WD B B WDB ---=-=-. 代入(4.3)式得111()W B A C DB A ---=-.则可得11111()Z B B A C DB A DB -----=+-.所以11111111111111()()()()X Y C DB A DB C DB A P Z W B B A C DB A DBB AC DB A --------------⎡⎤---⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦.定理2【16】【20】【21】设A B Q C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是一个四分块方阵,其中A 为r 阶方阵,D 为k 阶方阵,当A 与1()D CA B --都是可逆矩阵时,则Q 是可逆矩阵,并且111111111111111()()()()A B A A B D CA B CA A B D CA B Q C D D CA B CA D CA B ---------------⎡⎤+---⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦特例(1)当0,0,B C A ==与D 都可逆时,有11100A Q D ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. (2)当0,0,C B A =≠与D 都可逆时,有111110A A BD Q D -----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦. (3)当0,0,C B A ≠=与D 都可逆时,有111110A Q D CAD -----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. 此结论可参考命题1.例6 设3741025901001000004000006M -⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,求1M -.解：令0010037410,,00,0402590100006A B C D -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.则很容易求得1110057,01/4025001/6A D ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦且111005741001/4025901001/6A BD ---⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦435/47/6191/21/2--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 由命题2可得,1111157435/47/623191/21/20010000001/4000001/6A A BD MD -------⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎡⎤-⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 例 7 求矩阵0001200035400000200003400M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵.解：设4000000012,,020,000003503400A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则111/40052,01/203103/81/4B C --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦. 由命题1可得:111001/4100001/2000003/81/405200031000C M B---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 本节主要讲述了欲求一个矩阵的逆矩阵,现将该矩阵分成四小块,,,A B C D 再根据该四小块的具体情况推导出了求这个矩阵的逆矩阵的公式.这里我们重点的区别,,,A B C D 中哪些可逆哪些不可逆，再具体运用.4.2 分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中,分块矩阵是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化.而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.而事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法. 4.2.1 矩阵A 或B 可逆时，行列式H 的计算定理1 ,A B 分别为m 与n 阶行列式.（1）当A 可逆时，有1A D A B CA D CB-=- （4.5）（2）当B 可逆时，有1A D A DB C B CB-=- （4.6）证明：（1）根据分块矩阵的乘法，有1100EA D A D CA E CB B CA D --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由引理知，两边取行列式即得（4.5）.（2） 根据分块矩阵的乘法，有1100A D E DB A DB CC B E C B --⎡⎤⎡⎤--⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦两边取行列式即得（4.6）.此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵的求逆问题，但在利用命题（1）时，要特别注意条件有矩阵A 或B 可逆，否则此命题不适用， 下面给出此命题的应用.推论1【22】设A 、B 、C 、D 分别是,,,m n m n n m ⨯⨯矩阵.证明m E D B CD C B =- （4.7）mA D A DC CE =- （4.8）证明：只需要在命题1的（4.5）中令m A E =，即得（4.7）；在（4.6）中令m B E =即得（4.8）.推论2【22】 ,C D 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵.证明m n m nE D E CD E DC CE =-=- （4.9）证明：在推论1的（4.7）中，令m B E =，在（4.8）中，令m A E =，即得（4.9）.例 8 计算下面2n 阶行列式20(0)0n adNa d H a cb N cb=≠解：令0,0,,a b c d A B C ND Na b cd⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦为n 阶矩阵.由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：11110b ca db ca d B CA D b ca d ----⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦从而由命题1中（1）得：112()()n n n n A D H A B CA D a b ca d ab cd CB--==-=-=-.例9 计算行列式(1) 0121111010,(0,1,2,,)01i na a a a i n a ≠=；(2)123123100001000010001n na a a ab b b b c解：（1）设A D Q CB=，其中120(),,(1,1,,1),(1,1,,1)0T n a a A a B C D a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因为0,1,2,,i a i n ≠= 所以B 是可逆矩阵，又易知：1011/nj i A DB C a a -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑.从而由命题1中的结论（4.2）得112011/nn i i A D A DB C B a a a a a CB-=⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦∑.（2）设nE DQ C B=，其中 1212(),(,,,),(,,,)T n n B c C b b b D a a a ===.由于12121(,,,)(,,,)nTn n i i i CD b b b a a a a b ===∑，从而由推论1知，1nn i i i E D Q B CD c a b CB===-=-∑.4.2.2 矩阵,A B C D ==时行列式H 的计算定理2【10】【22】【23】,A C 是两个n 阶方阵，则A C A C A C CA=+-证明：根据行列式的性质和定理，有A C A C CA CCA C A CCAC AAA C++===+-+-. 例 10 计算行列式0000x y z x z y D y z x zyx=.解：这道题看似简单，但如果方法选择的不好，做起来并不轻松，这里设 0,0x yz A C x z y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由命题2知 2222()()()()()()A C yx z yx zD A C A C y x z y x z C A x zy x zyx y z x y z x y z x y z +--⎡⎤⎡⎤==+-==-+--⎣⎦⎣⎦+--=++-+-+--++ 行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，本节就行列式的计算问题具体就形如A D H CB=（A 、B 、C 、D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯的矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分快成A、B、C、D后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可依据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.5 结束语本文对分块矩阵进行了两方面的应用总结分析，在证明方面,涉及了矩阵秩的相关问题以及矩阵列(行)向量线性相关等问题.在证明线性相关问题上,利用分块矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容.对一些具体的解与矩阵列(行)向量组线性相关性之间的关系给出了结论；在计算方面利用分块矩阵这一工具我们主要解决了求逆矩阵与求高级行列式的问题,再求逆矩阵方面,本文着重论述了将一个高级矩阵进行矩阵分块分成二级矩阵后,通过讨论四子块的各自特点来求原矩阵逆矩阵的快捷方法,并且给出了求解具有特殊性质行列式的方法,通过本文的论述,充分体现了分块矩阵在代数计算与证明方面具有一定的优越性,也给出了分块矩阵和矩阵分块在代数学中所具有的重要地位.当然在对分块矩阵的应用论述上.本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论,所以在应用的完整性上还有待改进,并可以继续进行研究探讨.6 致谢本文是在导师夏丹的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行，在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.参考文献[1]王品超.高等代数新方法[M].山东:山东教育出版社.1989[2]张贤达.矩阵分析与应用[M].北京：清华大学出版社.2004[3]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京:清华大学出版社.1998[4]北京大学数学系，高等代数[M].北京：北京大学出版社.1978[5]王仁发.代数与解析几何[M].长春：东北师范大学出版社.1998[6]谢邦杰，线性代数[M].第1版，人民教育出版社.1978[7]唐盛明.社会科学研究方法新解.上海：上海社会科学院出版社.2003[8]李明斐，卢小君.胜任力与胜任力模型构建方法研究.大连：大连理工大学学报（社会科学版）.2004[9]徐仲、张凯院.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社.2006[10]王萼芳，石生明.高等代数.北京：北京大学出版社.2003[11]钱吉林.高等代数解题精粹[M].北京：科学出版社.2003[12]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007[13]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式中的应用[J].广东广播电视大学学报.2006[14]严坤妹.分块矩阵的应用[J].福建广播电视大学学报.2006[15]俞正光，王飞燕，叶俊，赵衡秀编.大学数学概念、方法与技巧.线性代数与概率统计部分[M].清华大学出版社，施普林格出版社.2002[16]孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院学报.2006[17]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报.2004 [19]陈大新编.矩阵理论[M].上海：上海交通大学出版社.1997[19]潘晏仲，李洪军.高等代数与几何[M].西安交通大学出版社.1999[20]姚慕生，高汝熹.线性代数[M].武汉：武汉大学出版社.2000[21]赵树原.线性代数（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社.1998[22]R.A合恩C.R约翰逊、杨奇译.矩阵分析[M].天津：天津大学出版社.1989[23]G.W.斯图尔特.矩阵计算引论.上海：上海科技出版社.1980。

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，那么有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比方，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的假设干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，那么可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用.本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.1 分块矩阵的定义及相关运算性质1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.定义1设A 是一个m n ⨯矩阵，假设用假设干横线条将它分成r 块，再用假设干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中ij A 表示的是一个矩阵.1.2分块矩阵的相关运算性质 1.2.1加法设()ij m n A a ⨯=()ij m n B b ⨯=，用同样的方法对,A B 进行分块()ij r sA A ⨯=，()ij r sB B ⨯=，其中ij A ，ij B 的级数相同，那么 ()ij ij r s A B A B ⨯+=+. 1.2.2数乘设是任()(),ij ij m n r s A a A k ⨯⨯==为任意数，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=与k 的数乘为()ij r skA kA ⨯=1.2.3乘法设()(),ij ij s n n m A a B b ⨯⨯==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ⨯⨯==，其中ij A 是i j s n ⨯矩阵，ij B 是i j n m ⨯矩阵，定义分块矩阵()ij r l A A ⨯=和()ij l r B B ⨯=的乘积为()1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、1.2.4转置设()ij s n A a ⨯=分块为()ij r s A A ⨯=，定义分块矩阵()ij r s A A ⨯=的转置为()ji s rA A ⨯''=1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的以下三种变换称为初等行变换： (1) 对调A 的两行(用i j r r ↔表示对调i 、j 两行)；(2) 用一个可逆阵K 左乘A 的某一行的所有子矩阵(用i K r ⨯表示用K 左乘第i 行)； (3) 将A 的某一行的所有子矩阵左乘一个矩阵K 再加到另一行的对应子矩阵上去(i j r K r +⨯表示将第j 行左乘K 再加到第i 行).将上述定义中的“行〞换成“列〞,“左乘〞换成“右乘〞, 即得分块矩阵的初等列变换的定义, 分块矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.2 分块矩阵的应用2.1用分块矩阵解决行列式的问题利用矩阵分块的方法求行列式的值是行列式求值的常用方法之一, 但通常所用的?高等代数?教材中对能够用矩阵分块法求值的行列式要求较为严格, 多数为形式较特殊的行列式.下面给出了一个应用范围较为广泛的行列式的分块矩阵求值方法.引理2.1([3])假设A 为k 阶方阵，B 为r 阶方阵，C 为r k ⨯矩阵, 那么有A ABC B= 在上述引理中,要求子块当中有一个为零矩阵, 更一般的有如下的结论. 定理2.2([3])假设n 阶方阵P 可分为A B P CD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中A 为r 阶方阵, B 为()r n r ⨯-矩阵, C 为()n r r -⨯矩阵, D 为()n r -阶方阵, 那么有〔1〕当A 为可逆矩时1P A D CA B -=-； 〔2〕当D 为可逆矩阵时1P D A BD C -=-.在进行行列式的求值运算时, 假设能找到符合本定理条件要求的矩阵分块方法, 就可应用定理的结论进行行列式的计算, 现举例说明如下：例2.3 计算行列式 013c ...0 (00)...0.........0...nb b b ac P ac a c =其中10,123...c i n ≠=.解 设 0()A c =，()...B b b b =，()...TC a a a =130...00...0,0,1,2,,.........00 (i)n c c D c i n c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=≠=⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 那么D 为可逆矩阵，由定理1的结论〔2〕知1A BP D A BD C C D-==- ， 将 1111210...00...0.........00...n c c D c ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦及,A B C D ,,代入得 1111212...((...))n n P c c c a ab c c c ---=-+++.例2.4 矩阵()ij ai j P a bi j =⎧==⎨≠⎩当时当时，求行列式P 的值.解：行列式P 的主对角线元素为a ，其余元素为b ，因此： 〔1〕当a b =时，由行列式的性质知P =0；〔2〕当a b ≠时，从第一行开始，将行列式的前行减去后行得...000 (00).........000......a b b a a b b a P a b b abbbb a ----=--，令...000...000.........,, 000 000...0a b b a a b b a A B a b b a o a b b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()...,,C b b b b D a ==由定理2.2可知 1P A D CA B -=-，而 ()1n A a b -=- ，()011,,,>a b i jA i j --⎧-≤⎪=⎨⎪⎩计算结果得 ()()()()()()111+1n n P a b a n b a b a n b --=---=--.假设定理中的矩阵A 和D 均为可逆矩阵时，定理的两个结论均成立，可以利用公式11D A BD C A D CA B---=-进行转换求行列式的值，举例说明如下.推论2.5 假设,,,A B C D 均为n 阶方阵，且A 可逆，AC CA =，那么 ABT AD CB C D==-. 例2.6 计算行列式 1111122310250121T -=.解 对T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 其中 11111025,,,,12230121A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 显然A 可逆，且AC CA =，所以T AD CB =-，而 4667AD ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1123CB ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 所以， 3510410T ==. 定理2.7 假设,A B 均为n 阶方阵，那么A BA B A B B A =+-.. 例2.8 计算行列式 1234234134124123T =.解 对矩阵T 进行分块A B T C D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 其中 1234,,2341A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由于 4664A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ ，22,22A B --⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦ 所以 (20)(8)160T A B A B =+-=-⨯-=. 2.2 分块矩阵在解线性方程组中的应用例2.9设n 个未知数m 个方程的线性方程组为11112211211222221122...............n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 〔1〕 记()ij m n A a ⨯=,()12X=,,...,Tn x x x 〔其中T 表示矩阵的转置〕, ()12,,...,Tm B b b b = ,那么方程〔1〕的矩阵形式为 AX B =.把方程〔1〕的矩阵形式改写成如下分块矩阵的形式111211212222AA XB A A X B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中 111111........................r r rr a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111121........................r n rr rn a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()11112A A A =，111211........................r r r m mr a a A a a ++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111221........................r r r n mr mn a a A a a ++++⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()22122A A A =，()112...Tr X x x x =，()212...Tr r n X x x x ++=，()112...T r B b b b =，()212...Tr r m B b b b ++=，方程组〔1〕有解时，我们解方程组〔1〕时总是把〔1〕化成简单的同解方程组，从而求出其解.定理2.10. 设方程组〔1〕有解且()()11,r A r n r A r =≤=，那么方程组()1112A A X B =与AX B =同解.例2.11．方程组1112132223243132333441424344212212330x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪--=⎪⎨+++=-⎪⎪+++=⎩ 〔2〕 求此方程组的解并证明此方程组和方程组111213222324212x x x x x x ++=⎧⎨--=⎩ 〔3〕 同解.解：令1210011111212331A ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11121210()0111A A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，其中 111201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011A ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，1210B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，112B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，121011210112101011120111201112112110111200000233100111200000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以此方程组的齐次线性方程组的解为1232111001c c --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又3200-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是方程组的一个特解，所以此方程组的解为 12323112100010c c ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，由上可知()2r A =并且11()2r A =，所以由定理3可证方程组〔2〕和〔3〕同解. 2.3分块矩阵在相似问题中的应用定理2.12.如果方阵~A B ，方阵~C D ，那么00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明 因为方阵~A B ，方阵~C D ，所以 110000000000E A XE X Y C E Y E --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11110000000000A XB X X AXC YD Y Y CY ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ， 而 1110000E XY E ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭1100E Y --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100X E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦0000XE E Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以 00~00A B C D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题定理2.13.设0A M C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,A 为m n ⨯矩阵，B 为k l ⨯矩阵， 那么有()()()r M r A r B ≥+，且0C =时，()()()0A r M r r A r B C B ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦ 证明 设A 在初等变换下的标准形为1000rE D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()r r A =， 又设B 在初等变换下的标准形为 2000sED ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()s r B =， 那么，对M 前m 行前n 列作初等变换，对它的后k 行后l 列也作初等变换可把M 化为11120D C M D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，现在利用1D 左上角的1经列初等变换消去1C 位置中的非零元；再用2D 左上角的1经行初等变换消去它上面1C 处的非零元素，于是把1M 再化作220000000000000r s E C M E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 那么有 ()()()()()()122r M r M r M r s r C r s r A r B ===++≥+=+.利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式.例2.14. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为n l ⨯矩阵，假设0AB =，那么()()r A r B n +≤. 证明 因为()()00000000n n n n A AB A r A r B r r r r r n E B E B E B E B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=≤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以 ()()r A r B n +≤.例2.15. 设A 、B 都是n 阶矩阵，求证：()()()r AB A B r A r B ++≤+.证明：因为 0A AB A B B ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)(1)E -⨯+−−−−→0A AB A B +⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)()(2)B E ⨯--+−−−−−→00A B ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以 0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦00A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 又0E E E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，0E B E E --⎡⎤⎢⎥⎣⎦都可逆， 所以 000A AB A B A r r B B ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而 ()0A AB A B r r AB A B B ++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦ 又 ()()00A r r A r B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 所以 ()()()r AB A B r A r B ++≤+. 2.5 用分块矩阵求逆矩阵的问题分块矩阵是高等代数中的一个重要的工具，在求解高阶矩阵问题中的应用尤为广泛.求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对于级数较高的矩阵运算量较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可起到事半功倍的作用.定理2.16. 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得 AB BA I == 那么矩阵称为可逆矩阵，而B 称为A 的逆矩阵.假设,A B 都可逆，那么 100A B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦1100A B --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A A CB B ----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦,10A C B -⎡⎤⎢⎥⎣⎦11110A B CAB ----⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦, 1111110000kk n k n k E A B E A B A CA E C D E D -------⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中1D 1D CA B -=-.以下举些例子具体说明分块矩阵在矩阵求逆中的具体应用.例2.17. 矩阵1200210000120025A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1A -. 解：可以将矩阵A 分成四块12A 00A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中1A 1221⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2A 1225-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，根据分块矩阵的性质，1A -111200A A --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，而1A ，2A 为二级矩阵，其逆矩阵易求出，分别为 11A -12552155⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦，12A -5221--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦， 所以 1A -12005521005500520021⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ 2.6 分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用在高等代数中，矩阵的特征值问题是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有根本的重要性．而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明.定理2.18. 设A 为n 阶矩阵，λ是一个数，如方程AX X λ=,存在非零解向量，那么称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为与特征值λ对应的特征向量.定理2.19.设A 为n 阶矩阵，含有未知量λ的矩阵I A λ-称为A 的特征矩阵，其行列式I A λ-为λ的n 次多项式，称为A 的特征多项式0I A λ-=称为A 的特征方程，λ是矩阵A 的一个特征值，那么一定是0I A λ-=的根，因此又称为特征根.假设λ是0I A λ-=的i n 重根，那么λ称为A 的i n 重特征值.引理2.20.设A 为n 阶矩阵，那么A 为幂等矩阵的充要条件()()r A E r A n -+=，这里E 为n 阶单位矩阵，()r A 表示A 的秩.引理2.21.幂等矩阵()1112A A X B = 与000rE ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 或000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦相似，其中()r r A =. 例2.22. 设12,,A A A 均为n 阶方阵，且12A A A =+，()()(),1,2i i r A r r A r i ===，求证：假设212,A A r r r ==+，那么12,,A A A 的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等.证明：〔1〕当A 可逆时，即()r A n =，因为2A A =，所以A E =， 又 12r r r =+，12E A A =+， 由得()()()12r A r A r A n =+=，由引理2.20得到211A A =.同理222A A =，所以1A ，2A 是幂等矩阵，由引理2.21得10~00rEA ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，200~0r A E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12,,A A A 和E ，000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦，000r E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有相同的特征根，所以12,,A A A 的特征值为1或0，且特征值1的个数和它们的秩相等.〔2〕当()0r A =时，即0A =，结论显然成立.〔3〕设0r n <<，即A 为非零由布可逆矩阵，又因为2A A =，故存在可逆矩阵P 使11112P AP P A P P A P ---=+，()r r A =，令 000rE⎡⎤⎢⎥⎣⎦1112111221222122A A B B A A B B ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这里 ()1ij P AP A -= ()121111ij r P A P B E A B -=⇒=+， 所以 ()()()()()1111111111=r r A B r A r B r A r B r +≤+≤+=， 从而 ()()()()()1111111112=r r A B r A r B r A r A r +≤+≤+=， 又因为 ()()()11121100r A r A A B -≥-≥， r ， 从而 ()()111r A r A =，()211r A B =，这样1111Er A B =+，且()1111r A B r +=，由定理2.18的证明可知，存在可逆矩阵Q ，使11110Q=00r E Q A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ，211100Q=0r Q B E -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 111112n-n-n-n-00000000000rr r r r E Q QQ Q P A P P A P E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122n-n-n-n-00000000r r r r A A B B Q Q Q Q A A B B E E E E ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111112111221222122Q A Q Q A Q B Q Q B A Q A B QB ----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设 1111122122Q A Q Q A A Q A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦1121111222000r E C C G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 又因为11211111222000r E C r C r G G A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以21120,0G G ==， 设 211111112r 212122*********W Q B QQ B E W B QB Z Z B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 同上可得110Z =，110W = ，故111121120,0,0,0C G W Z ====，又1111112212222000000r E Q A Q Q A A Q A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 从而220A =，同理 211111221220000000r Q B QQ B E B QB --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，100n r Q T P E --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，故有1210000,000rrET AT E-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12111200000000,00000000rrET AT T A T E--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，综上所述,结论成立.小结本文通过例题对分块矩阵在证明和计算中两方面的应用进行了总结分析，在证明方面涉及了矩阵秩的相关问题和矩阵列行向量线性相关性问题，在证明线性相关问题上，利用分块矩阵的解可以很清晰动的描述线性方程组的解和相关内容，对一些具体的解与矩阵行列相关性之间的关系做出了总结；在分块矩阵计算方面我们主要解决了求逆矩阵与高级行列式的问题.通过本文的表达充分表达了分块矩阵在代数计算和证明方面的优越，也给出了分块矩阵在线性代数中所具有的重要地位，当然在分块矩阵的应用的表达中，本文并不是对所有的证明和计算都进行讨论，所以在应用的完整性上有待改进，并可以继续进行探讨和研究.参考文献[1] 蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2007：141-149.[2] 杜之韩,刘丽,吴曦.线性代数[M].成都：西南财经大学出版社，2003：61-68.[3] 郝玉琴.利用矩阵的分块法解线性方程组[J].唐山师专学报，1999(5):37-38.[4] 王萼芳.线性代数学习指导[M].北京：清华大学出版社，2021：104-108.[5] 祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].科技信息，2021：1-4.[6] 孔庆兰.分块矩阵的应用[J].枣庄学院报，2006〔5〕：24-25.[7] 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本科毕业论文题目分块矩阵的应用院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师评阅教师班级姓名学号2011 年 5 月16 日分块矩阵的应用目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)1引言 (1)2分块矩阵及其性质 (1)2.1分块矩阵 (1)2.2分块矩阵的性质及其推论 (1)2.3分块矩阵常见的分块方法 (3)3分块矩阵在证明方面的应用 (4)3.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用 (5)3.3分块矩阵在相似问题中的应用 (6)4分块矩阵在计算方面的应用 (7)4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用 (7)4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (9)4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用 (11)4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用 (12)结束语 (13)参考文献 (14)致谢 (15)内江师范学院本科毕业论文摘要：分块矩阵是线性代数中的一个重要工具，在理论研究和实践计算方面都有广泛的应用．特别是在处理阶数较高的矩阵时，分块之后，可以使矩阵的结构更加清晰明朗，从而使一些矩阵的相关表达和计算简单化，进一步用来解决很多与矩阵相关的问题．在分析和总结分块矩阵的概念和性质的基础上，提出了分块矩阵在计算和证明方面的应用，主要包括矩阵的秩、矩阵的相关性理论、相似问题、以及行列式的计算、逆矩阵的求解、以及矩阵方程等方面．关键词：分块矩阵；矩阵分块；证明；计算Abstract：The partitioned matrix is an important tool of linear algebra, in theoretical study and practical calculation are widely used in processing order number. Especially when high matrix, block after, can make the matrix structure more wide-awake, which makes some matrix expression and calculation related to solve many further simplification, with matrix related problems. In analyzing and summarizing the partitioned matrix of the concepts and properties was put forward on the basis of partitioned matrix in computing and proof applications, including matrix rank, matrix correlation theory, similar problems, and determinants of calculation, inverse matrix of solving, and matrix equation.Keyword：The partitioned matrix; Matrix block, Proof; calculation1 引言在数学名词中，矩阵是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据．矩阵作为数学工具之一有着重要的实用价值，它常见于许多学科中，如线性代数、线性规划、组合数学、统计分析等．在实际生活中，很多问题都是借用矩阵抽象出来进行表述并加以解决的，比如一些电脑的应用如VLSI 芯片设计上都有分块矩阵的思想．矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，但对于矩阵的运算和应用，则有很多问题值得我们去研究，尤其是当矩阵的阶数比较大时矩阵的运算和证明将是一个很繁琐的过程，因此这时我们需要一个新的矩阵处理工具，在这种情况下，分块矩阵的思想就产生了．在高等代数中，对高阶矩阵的处理是矩阵相关内容中重要的一部分，分块矩阵揭示了一个复杂或是特殊的矩阵的内部本质结构，本文即是通过查阅相关的文献资料和学习相关的知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，通过具体的实例的应用来突出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性．2 分块矩阵及其性质2.1分块矩阵定义[1] 用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：111212122212t t s s st A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭， 其中每个小矩阵()1,2,,;1,2,,ij A i s j t ==叫做矩阵A 的一个子矩阵；分成子块的矩阵叫做分块矩阵．运算规则[2]()()()()()()()()()1(1);(2);(3),1,2,;1,2,,.ij ij ij ij stststT Tij ij ststtij ij ij ij ik kj sttpspk A B A B A A A B C C A B i s j p =±=+====,=∑在用规则(1)时，A 与B 的分块方法须完全相同；用规则(3)时A 的列的分法与B 的行的分法须相同．2.2分块矩阵的性质及其推论在行列式的计算中我们经常用到下列三条性质[3]（1）若行列式中某行(列)有公因子，则可提到行列式号外面； （2）把行列式的某两行(列)互换位置，其值变号，（3）把行列式的某行(列)乘上某一个非零数，加到另一行(列)去，其值不变 利用矩阵的分块，我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质1 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123123123A A A H MB MB MB C C C ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭， 则H M H '=⋅．性质2 设H 和H '写成如下形式123123123123123123,A A A B B B H B B B H A A A C CC C C C ⎛⎫⎛⎫⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，则,,H s H H s ⎧⎪'=⎨-⎪⎩当为偶数时当为奇数时.性质3 设H 是由如下的分块矩阵组成123123123A A A H B B B C CC ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ⨯矩阵，又M 是任一s 阶方阵．对于矩阵123112233123A A A H MC B MC B MC B CC C ⎛⎫⎪'=+++ ⎪ ⎪⎝⎭，则H H '=．推论1 设,A B 都是n 阶方阵，则有A B A B A B BA=+⋅-．证明 根据性质3并应用于列的情况，有A B A B B A BABA++=，根据性质1有A B B A E E A B A B A B BABA++=+⋅=+⋅-，则A B A B A B BA=+⋅-．推论2 设,A B 都是n 阶方阵，则有AB A B =⋅． 证明 作2n 阶行列式0AB AC E=， 由拉普拉斯展开定理得：C AB E AB =⋅=． 又根据性质3并应用于列的情况,有：000AB A AB AB A AA B EEBEB E-===⋅--，则AB A B =⋅．推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则有A B AD BC C D=-．证明 根据性质3，由A ≠0知1A -存在，并由AC CA =，用()1CA --乘矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭的第一行后加到第二行去得：10A B D CA B -⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而1110A B A B A D CA B AD ACA B AD CB CD D CA B ---⎛⎫==⋅-=-=- ⎪-⎝⎭． 2.3分块矩阵常见的分块方法[2]矩阵的分块技巧较强，因此要根据不同的问题进行不同的分块，常见的分块方法有四种：(1)列向量分法 ()12,,,n A ααα=，()1,2,,i i n α=为A 的列向量.(2)行向量分法12n A βββ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,()1,2,,i i n β=为A 的行向量．(3)分成两块()12,A A A =其中12,A A 分别为A 的若干列,或12B A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中12,B B 分别为A 若干行.(4)分成四块1234C C A C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭．对分块矩阵还可以进行广义的初等变换,广义的初等变换分为三种: (1)交换分块矩阵的两行(列)；(2)用一可逆阵乘以分块矩阵的某一行（列）； (3)用某一矩阵乘某一行（列）加到另一行（列）. 根据广义初等变换的类型对应三种广义初等阵[4]：（1）00mn E E ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）00,,,00A E A B E B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭均为可逆矩阵； （3）0,0E E B A E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3分块矩阵在证明方面的应用3.1分块矩阵在矩阵的相关的秩的相关证明中的应用定理1[2] ()(),R A R B 分别为矩阵,A B 的秩，则()()()R A B R A R B +≤+． 例１ 设,A B 分别为,s n n m ⨯⨯阶矩阵，则()()()R A R B R AB n +≤+.证明 构造分块矩阵0nEB A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对0nE B A⎛⎫⎪⎝⎭进行广义初等变换，则000n n nE B E B E AA AB AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 根据矩阵初等变换的性质有()()()000n n n E B E R R R E R AB n R AB AAB ⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 而()()0nE B R R A R B A⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，所以()()()R A R B R AB n +≤+． 利用分块矩阵证明矩阵秩的问题，一般采用两种方法，一种是利用已知矩阵作为元素来拼成高阶数的矩阵来证明，另一种方法就是将已知矩阵拆成阶数较低的矩阵来证明．这两种方法在证明问题时都是很有效的，很大一部分相关矩阵秩的问题，都可以用分块矩阵来证明[5]．3.2分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用分块矩阵在线性性及矩阵的分解中有着广泛的应用，但要达到运用自如却非易事，其基础知识抽象，解题方法技巧性强，稍有不慎就会陷入困境．作为线性代数的一个重要内容和工具的矩阵，我们往往容易忽略它重要的一点---矩阵分块的作用．下面就通过一些例子介绍一下它在线性相关性及矩阵的分解证明中的应用.定理2[2] 矩阵A 列线性无关的充要重要条件是0AX =只有零解． 推论4 设0st A ≠，则（1）st A 的列线性相关（即()R A t <）的充要条件是存在0ts B ≠使0AB =； （2）st A 的行线性相关（即()R A s <）的充要条件是存在0ts C ≠使0CA =．证明(1)充分性 设A 的列线性相关,由定理2，存在0b ≠使0Ab =，作(),0,,0B b =，则0B ≠，故0AB =．必要性 设有0ts B ≠，()12,,,s B b b b =，i b 为B 的列向量，1,2,,i m =且0i b ≠，使0AB =，即()12,,,0s Ab Ab Ab ≠，因0i b ≠，由定理2可知，A 的列线性无关．类似可证(2)．例2 矩阵A 列线性无关，AB C =，求证：C 列线性无关的充要条件是B 列线性无关．证明 充分性 要使0CX =，即()0A BX =，记BX Y =，则0AY =．因A 列无关，须0Y =，即0BX =，又B 列无关，须0X =，从而C 列无关．必要性 要使0BY =，两边左乘A ，则0ABY =，即0CY =，又C 列无关，即0Y =，则B 列无关．矩阵的列（行）向量相关与无关性的问题很多都会涉及到利用分块矩阵，因为矩阵的行（列）都可以看作是矩阵的子块，在处理矩阵的分解问题时也是一样，在线性代数中还有很多问题也可以分块矩阵来解决．例3 设()mk R A γ=，则（1）()(),,mj jk M N R M R N γ∃==，使得A MN =； （2）()(),,mk kk H S R H R S γ∃==，使得A HS =． 证明 ,,0,0mm kk P Q P Q ≠≠，使000mkI PAQ γ⎛⎫=⎪⎝⎭， 11000mkIA P Q γ--⎛⎫∴= ⎪⎝⎭． (1)将1P -与1Q -作如下的分块：()11,,jk mj N P M L Q G --⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()0,00jk nj N IA M L MN G γ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因000000000mk mk kk I I I γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令1100,0000mk kk mk kkI I H P S Q γγ--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即得A HS =．3.3分块矩阵在相似问题中的应用众所周知，若,A B 为n 阶矩阵，如果存在一个n 阶非奇异矩阵存在，使得1P AP B -=成立，则称矩阵A 与B 相似．但如果,A B 的阶较高，在证明的过程中找到一个n 阶非奇异矩阵变得非常困难，而分块矩阵通过证明矩阵中小矩阵的相似达到证明大矩阵相似的目的，为相似矩阵的证明提供了一种新的思路[7]．例4 如果方阵~A C ，方阵~B D ，则00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.证明 因方阵~A C ,方阵~B D ，则11110000000000000000E A X E A XX X Y B E Y B Y E Y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11000CX AX D Y BY --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 而1111111000000000000E E XE X X Y Y E Y E E -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 00~00A C B D ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 4分块矩阵在计算方面的应用4.1分块矩阵在行列式计算方面的应用在线性代数中，分块矩阵是一个重要的概念，它可以使矩阵的表示简单明了，使矩阵的运算得以简化，还可以利用分块矩阵来解决行列式的计算问题．事实上，利用分块矩阵来计算行列式时常会使行列式的计算变得简单，并能收到意想不到的效果．本节将给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法．定理3[2] 设矩阵12*s A A H A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭或12*s A A H A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,,s A A A 均为方阵，则12s H A A A =．定理4[2] 设,A B 分别为m 与n 阶方阵．则： (1)当A 可逆时，有1A D A B CA D CB-=⋅-；(2)当B 可逆时，有1A D A DB C B CB-=-⋅．推论5 设,,,A B C D 分别是,,,m n n m m n ⨯⨯矩阵，则 （1）m E D B CD CB=-；（2）nA D A DC C E =-；（3）m m mE D E DC CE =-．证明 只需要在定理4的（1）中令m A E =，即可证得；在(2)令n B E =，即可证得；在(3)中令,m m A E B E ==，即可证得．例5 求2n 阶方阵()0a b a bH a b ab a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式． 解 令,a b A B a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B H B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0a ≠则0,A A ≠可逆，由定理4（1）可知1H A A BA B -=-，而12112a a b A BA B a a b ---⎛⎫-⎪-=⎪ ⎪-⎝⎭，由此可得()()()1121222,nnnnA BAB a a bH a a a bab----=-=-=-．例6 计算下列行列式（1）()012111100100,0,1,2,,1i na a a a i n a ≠=；（2）1231231000010000100001n na a a ab b b b c．解 （1）设A D H C B=，其中()0A a =，12n a a B a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1,,1TC =，()1,1,,1D =，因为0,1,2,,i a i n ≠=，所以B 是可逆矩阵，则1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，从而由定理4中的（2）得112011nn i i A D H A DB C B a a a a CBa -=⎛⎫==-⋅=- ⎪⎝⎭∑． （2）设n E DH C B=，其中()()()1212,,,,,,,,Tn n B c C b b b D a a a ===．由于()()12121,,,,,,nTn n j i i CD b b b a a a a b ===∑，从推论5知1nn j i i E D H B CD c a b CB===-=-∑．行列式的计算是线性代数中的一个重要内容，利用分块矩阵，求解行列式时应具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程，达到快速解决问题的目的． 4.2分块矩阵在求逆矩阵方面的应用求分块矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决，而此类方法对阶数较高的矩阵运算量比较大，对某些矩阵可以适当分块后再进行运算，可以起到事半功倍的作用．定理5[8]设A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中B 为r 阶方阵，当B 与()1C DB A --都是可逆矩阵时，则H 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111C DB A DB C DB A H B B A C DB A DB B A C DB A --------------⎛⎫--- ⎪= ⎪ ⎪+---⎝⎭，特别地 （1）当0,0A D ==，B 与C 都可逆时，有11100C HB---⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）当0,0A D =≠，B 与C 都可逆时，有111110C DB C HB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0A D ≠=，B 与C 都可逆时，有111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 定理6[8] 设A B G CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个四分块矩阵，其中A •为r 阶矩阵，D 为k 阶矩阵，当A 与()1D CA B --都是可逆矩阵时，则G 是可逆矩阵，且()()()()11111111111111A AB D CA B CA A B D CA B G D CA B CA D CA B --------------⎛⎫+--- ⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭，特别地 （1）当0,0B C ==，A •与D 都是可逆时，有11100A G D ---⎛⎫=⎪⎝⎭； （2）当0,0B C ≠=，A •与D 都是可逆时，有111110A A BD G D -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （3）当0,0B C =≠，A •与D 都是可逆时，有111110A G D CAD -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 例7 求矩阵3521214335400000200003400H ⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵．解 令4000035212,,020,001433503400A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则原矩阵A B H C D ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由定理5中(3)知111110C HBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭． 先求出矩阵,B C 的逆矩阵，从而得到111004521,0031231084B C --⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪⎝⎭， 则111111000041000023100084135271435331284C H BB AC -----⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪----- ⎪⎪- ⎪⎝⎭．注：在用分块矩阵求逆矩阵时，常常针对几种特殊的情形，对一般矩阵而言，此种方法并没有多大的实用价值！相比较而言，初等变换更具优势．这启示我们要具体问题具体分析，培养求简的数学精神和实事求是的科学态度． 4.3分块矩阵在求解矩阵方程方面的应用设矩阵方程形如AXB C =，其中,A B 分别为,m n 阶可逆矩阵，求X ．我们容易知道解为：11X A CB --=，对此我们需要先求得11,A B --，再求得11A CB --．有时这样计算比较复杂，对此我们需要一个简便的方法[9]．由于AXB C =，同时取行列式可得AXB C =，即0C AXB -=，对此我们可以用分块矩阵的方法构建一个行列式，可得100000CAX BX -=•，其对应的矩阵为10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭•，经过广义的初等变换可得 111100000m m n nA CB E X E X X E X E X ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11X A CB --= 但此方法仍比较繁琐，对此我们需要对此进行简化，由初等变换我们知道矩阵10000C A X B X -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中的第二行和第二列以及1X -都对初等变换没有作用，可以说是多余的，去掉第二行和第二列，1X -的位置用0代替，这样我们得到了一个新的矩阵0CA B ⎛⎫⎪⎝⎭，在经过一系列初等变换得到110m nA CB E E --⎛⎫⎪⎝⎭，即：0m nX E E ⎛⎫⎪⎝⎭．由此我们就可以通过构造分块矩阵然后通过初等变换求得X ．例8 求解满足条件的X ．1112315110141432115X --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．解 构造分块矩阵得：2311114110153211500014000--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭620100516010********00014000-⎛⎫⎪- ⎪⎪−−−−−→-⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭一系列初等变换−−−−−→一系列初等变换410100490103120011000001000--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故41049312X --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 4.4分块矩阵在求解非齐次线性方程组中的应用定理7 [10] 如果A 是一个n 阶非奇异矩阵()(),,1,2,,ij A a i j n ==，将A 进行分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,A A A A 分别是,,,k k k m m k m m ⨯⨯⨯⨯矩阵，若22A 是非奇异方阵，那么一定存在一个上三角分块矩阵112220km I A A M I -⎛⎫-=⎪⎝⎭，使得21220C MA A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵． 对于该结论用来解决n 个方程的非齐次线性议程组是比较方便的．设非齐次线性方程组为11112211211222221122+++n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩，该方程组可写成矩阵方程AX B =．其中A 为系数矩阵，11,n n x b X B x b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0A ≠，则该方程组有唯一定解．现将矩阵A 分块，11122122AA A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并注意使220A ≠，同时将X 及B 进行分块，令1122,X B X B X B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1B 行数等于1112,A A 行数，2B 行数等于2122,A A 行数，则矩阵的方程可改成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边同时左乘上三角分块矩11222km I A A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有11112222122220C X B A A A A X B -⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中111122221C A A A A -=-，且C 是非奇异阵．从而得到矩阵方程组11112222112222CX B A A A X A X B -⎧=-⎨+=⎩，解方程组可知12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．例9 求解方程组1234512345123451234512345224123428323434222233x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩．解 将方程写成矩阵方程并进行分块，从而得到：111211212222AA XB A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这里，1112,21A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 12241342A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭2131,4311A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22121,422123A --⎛⎫⎪= ⎪⎪--⎝⎭． 首先求出22A 的逆矩阵12211325101112101011022A -⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则11222510225132510A A -⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，在方程AX B =两端同时乘以112220km IA A M I -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到12345610001042684000555311213434222111233x x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----⎝⎭⎝⎭，解矩阵方程可得12414x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，3454713x x x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则所求方程组的解为123454144713x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．结束语本文主要是对分块矩阵在计算和证明中的应用，通过概念的介绍以及实例的说明，让人对分块矩阵这一工具的实用价值有所认识和了解，它既是一种解题的方法又是一种技巧．但它的应用并不仅仅是所举的几个方面，它还有更宽广的应用还有待于我们去深入的研究与探索．参考文献[1]张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版)[M].北京:人民教育出版社,1995:199-208.[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978:91-99,177-181.[3]林谨瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学学报,2006,(02):109-112.[4]王秀芳.分块矩阵的应用讨论[J].连云港师范高等专科学校学报,2008,(09):97-99.[5]杨子胥.用分块矩阵证明秩的一些性质[J].数学通报,1985,(03):74-76.[6]张锦来.分块矩阵及其应用[J].湖州师范学院学报,2008,(02):116-118.[7]祁秋菊.分块矩阵的相关应用[J].高校理科研究,2008,(03):26-27.[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报,2010,(05):106-109.[9]刘红超.分块矩阵在两类矩阵问题中的应用[J].株洲师范高等专科学校学报,2005,(10):37-41.[10]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报,2004,(04):50-53.。

矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。

分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。

分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。

讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。

通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。

关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。

I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。

长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY毕业设计（论文）资料设计（论文）题目：浅谈分块矩阵的应用系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学生姓名：班级：指导教师：最终评定成绩毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。

尽我所知，除文中特别加以标注和致的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。

对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了意。

作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部容。

作者签名：日期：目录第一部分毕业论文一、毕业论文第二部分外文资料翻译一、外文资料原文二、外文资料翻译第三部分过程管理资料一、毕业设计（论文）课题任务书二、本科毕业设计（论文）开题报告三、本科毕业设计（论文）中期报告四、毕业设计（论文）指导教师评阅表五、毕业设计（论文）评阅教师评阅表六、毕业设计（论文）答辩评审表2009届本科生毕业论文资料第一部分毕业论文（2009届）本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系部：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学生姓名：涛班级：一班学号 2005031110 指导教师：兰艳职称副教授最终评定成绩2009年5月学院本科生毕业论文浅谈分块矩阵的应用系（部）：信息与计算科学系专业：数学与应用数学学号：2005031110 学生：涛指导教师：兰艳副教授2009年5月摘要分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗,从而使一些矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 本文重点就分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题，以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上进行了分析，通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解，所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念，我们需要透彻的了解分块矩阵并能很好学会在何时应用矩阵分块，从而研究它的性质及应用是非常必要的。

分块矩阵及其应用【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。

而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。

本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。

【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式目录1引言 (2)2矩阵分块的定义和性质 (2)2.1 矩阵分块的定义 (2)2.2 分块矩阵的运算 (2)2.3 分块矩阵的初等变换 (3)2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3)3分块矩阵在高等代数中的应用 (4)3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4)3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7)3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11)3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16)4总结 (19)参考文献 (20)1 引言矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。

比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。

利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。

本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。

矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。

分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。

分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。

这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。

分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。

1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。

在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。

1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。

在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。

这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。

2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。

2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。

通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。

2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。

2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。

通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。

3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。

本科毕业论文论文题目：分块矩阵的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学指导教师：学院：年月日毕业论文（设计）内容介绍论文（设计）分块矩阵的应用题目选题时间论文（设计）完成时间字数关键词分块矩阵，行列式，矩阵的秩，逆矩阵，特征值论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：题目来源和理论：论文（设计）的主要内容及创新点：主要内容：创新点：附：论文（设计）本人签名：年月日目录摘要 . (1)Abstract. (1)引言 . (2)1. 分块矩阵的定义及相关运算性质 . (3)1.1分块矩阵的定义 . (3)1.2分块矩阵的相关运算性质 . (3)1.2.1加法 (3)1.2.2数乘 (3)1.2.3乘法 (3)1.2.4转置 (3)1.2.5分块矩阵的初等变换 (3)2．分块矩阵的应用 . (4)2.1用分块矩阵解决行列式的问题 . (4)2.2分块矩阵在解线性方程组的应用 (7)2.3分块矩阵在相似问题中的应用 . (9)2.4用分块矩阵证明矩阵秩的问题 . (9)2.5用分块矩阵求逆矩阵的问题 (11)2.6分块矩阵在矩阵的特征值问题中的应用 (13)结论 . (16)参考文献 . (17)分块矩阵的应用摘要：矩阵论是代数学中一个重要组成部分和主要研究对象，在线性代数中占有非常重要的地位。

分块矩阵可以用来降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更清晰明朗，从而使矩阵的相关计算简单化，而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题。

本文将分块矩阵运用于行列式运算、解线性方程组、求逆矩阵的问题以及特征值的问题的求解，还包括有关矩阵秩的证明和矩阵相似问题。

关键词：分块矩阵；行列式；矩阵的秩；逆矩阵；特征值.Applications of Block MatrixAbstract: The matrix theory is not only a significant part of algebra, but also a subject which is worth studying, also it plays an important role in linear algebra. We can use block matrix to reduce the higher matrix to a lower rank so as to make the structure of matrix much clearerand simplify the related calculation, what , it can’besmoreused for proving some problems which are related to matrix. This article will use block matrix as a tool to solve those problems which are about determinant calculation, linear equation, inverse matrix and eigenvalue. Meanwhile ，the author will try to prove the matrix rand and the similarity to matrix.Keywords: block matrix; determinant; inverse matrix ; eigenvalue.引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的预算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生.矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。