11零点极点分布对系统的影响

极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。

通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。

连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。

系统的数学模型一般由系统传递函数表达。

传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。

记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。

特征方程的根称为极点。

如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。

二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。

下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。

每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。

稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。

只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。

因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。

通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。

如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。

系统的零极点在探讨系统的特性和行为时，零极点是一个重要的概念。

零极点是指系统的传递函数中使得分子或分母为零的点，它们直接影响系统的稳定性、响应速度和频率特性等方面。

本文将详细介绍系统的零极点及其对系统行为的影响。

一、什么是零极点？在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。

传递函数通常写成分子和分母多项式的比值形式。

其中，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。

零极点的个数和位置直接决定了系统的特性。

零点是使得系统传递函数的分子为零的点。

当输入信号通过系统时，零点能够消除或减弱某些频率成分，从而改变系统的频率响应特性。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=s+1/s+2，其中s为复变量。

该系统有一个零点为-1，当输入信号中包含频率为1的成分时，系统的输出将为零。

极点是使得系统传递函数的分母为零的点。

极点的位置可以决定系统的稳定性和响应速度。

例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=1/s+2，该系统有一个极点为-2。

当输入信号经过该系统时，极点的位置将决定系统的阻尼特性和响应速度。

二、零极点对系统行为的影响1. 系统的稳定性系统的稳定性是指系统在受到扰动后是否能够回到稳定的状态。

在控制系统中，极点的位置直接影响系统的稳定性。

当所有极点的实部为负时，系统是稳定的；当存在极点的实部为正时，系统是不稳定的。

2. 响应速度零极点的位置也会影响系统的响应速度。

当零点和极点的实部越大，系统的响应速度越快。

如果极点的实部接近于零点的实部，系统的阻尼特性将减弱，导致系统的超调和振荡现象。

3. 频率特性零点和极点的位置还决定了系统的频率特性。

零点和极点的位置决定了系统的增益和相位响应。

当零点和极点靠近虚轴时，系统的频率响应会出现共振现象；当零点和极点离虚轴越远，系统的频率响应越平坦。

三、如何设计系统的零极点设计系统的零极点是控制系统设计的重要任务之一。

通过合理布置零极点的位置，可以实现所需的系统特性。

实验六 开环增益与零极点对系统性能的影响一．实验目的1．研究闭环、开环零极点对系统性能的影响； 2．研究开环增益对系统性能的影响。

二．实验内容1．搭建原始系统模拟电路，观测系统响应波形，记录超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts ；2．分别给原始系统在闭环和开环两种情况下加入不同零极点，观测加入后的系统响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts ；3．改变开环增益K ，取值1，2，4，5，10，20等，观测系统在不同开环增益下的响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts 。

三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。

如果选用虚拟示波器，只要运行ACES 程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。

具体用法参见用户手册中的示波器部分。

1．原始二阶系统实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。

原始二阶系统模拟电路如图1-6-1所示，系统开环传递函数为：0.1(0.21)Ks s ，图1-6-1原始二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V ”；B ．将阶跃信号区的“0～5V ”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V ”端子产生阶跃信号。

（2） 搭建原始二阶系统模拟电路：A ．将A3的“OUT3”与A1的“IN11”、“IN13”同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，将A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-6-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5＝64K、R6=200K、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8、S13拨至开的位置；（3）连接虚拟示波器：将实验电路A2的“OUT2”与示波器通道CH1相连接。

MATLAB各种图形结论1对稳定性影响错误!增加零点不改变系统的稳定性；错误!增加极点改变系统的稳定性，不同的阻尼比下即使增加的是平面左侧的零点系统也有可能不稳定。

2对暂态性能的影响错误!增加的零点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。

分析表1可以发现,增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响,且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。

当a增加到100时,系统的各项暂态参数均接近于原系统的参数。

增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小.同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。

具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。

错误!增加的极点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远,对系统的影响越小。

①增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大,带宽增加。

②增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小,带宽减小.③增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。

3 对稳态性能的影响①当增加的零极点在s的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。

②当增加的零点在s的虚轴上时,系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。

③当增加的极点在s的虚轴上时,系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。

1、绘制G1（s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿１．ｍ)%画G1（s)的根轨迹曲线n=［1,0］; ％分子d=［1，1,2］; %分母figure1 = figure（’Color’，［1 1 1］）；％将图形背景改为白色rlocus(n，d); %画G1（s）根轨迹曲线title（'G1（s)的根轨迹’）； %标题说明2、绘制G1（s）的奈奎斯特曲线(Ｍ２＿２．ｍ）％画G1(s）的奈奎斯特曲线figure1 = figure（’Color'，［1 1 1］); ％将图形背景改为白色for a=1：10 ％a取1,2,3……10，时，画出对应的奈奎斯特曲线G=tf（［1/a，1],[1，1,1］)；nyquist（G）；hold onendtitle('G1（s）的奈奎斯特曲线’)；％标题说明3、绘制G2(s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿３．ｍ)％画G2(s）的根轨迹曲线n=[1,1，1,0］ ; %分子d=［1,1，2] ; %分母figure1 = figure（'Color'，[1 1 1］）；％将图形背景改为白色g2=tf(n,d） %求G2(s）的传递函数rlocus(g2）； %画G2(s）根轨迹曲线title(’G2(s)的根轨迹')； %标题说明4、绘制ξ=0.1，0.3,1，1。

广西大学实验报告纸姓名：指导老师：成绩：学院：电气工程学院专业：自动化班级：实验内容：零、极点对控制系统的影响年月日其他组员及各自发挥的作用：【实验时间】【实验地点】【实验目的】1.学会判断最小相位和非最小相位；2. 学会使用根轨迹分析系统的特性；3. 学会分析系统的响应特性；4. 学会分析最小相位和非最小相位系统的幅频特性和相频特性。

【实验设备与软件】1．MATLAB/SIMULINK软件2．计算机一台【实验原理】1、最小相位与非最小相位系统传递函数中所有极点和零点的实部均为负值时的一类线性定常系统，称为最小相位系统。

反之，传递函数中至少有一个极点或零点的实部值为正值的，称为非最小相位系统。

在具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围为最小。

最小相位和非最小相位之名即出于此。

最小相位系统特点有：（1）如果两个系统有相同的幅频特性，那么对于大于零的任何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统；（2）最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也就是说，一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，一个相频特性只能有一个幅频特性与之对应。

对于最小相位系统，只根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。

2、180°根轨迹的画法根据教材的180°根轨迹的九条规则，画根轨迹，注意理解各条规则的正确性。

3、系统响应的求取给定的线性系统的传递函数和输入信号，其输出的复频域表示很容易得到，再对其进行反Laplace变换得到系统响应。

从系统可以看出系统的稳定性、快速性和准确性的各项指标。

4、幅频和相频特性及其判稳幅频特性表现的是各种频率信号在通过系统时的幅值增益程度；相频特性表现的是各种频率信号在通过系统时的相角滞后/超前程度。

其表现形式是Bode图。

从Bode图可以基于图判据判定相应闭环系统的稳定性。

【实验内容、方法、过程与分析】实验内容1、已知二阶系统 )15.0)(1(+++-s s c c s ，分析c 的取值对系统单位阶跃响应的影响（各种情况都要考虑周全），要求有理论分析与仿真验证。

基于Matlab仿真的系统零、极点分布对系统响应影响对于高阶系统，若直接对其分析和控制比较困难，要对其进行降阶处理，就要考虑系统的零点、极点对系统的影响。

一般的系统，可以分为最小系统和非最小系统，首先要判断出系统的最小相位或非最小相位，在使用根轨迹或Bode图分析系统的特性，从而，分析零点、极点不同分布对系统稳定性的影响。

标签：零点；极点；最小相位；非最小相位；Bode图；稳定性1 实验原理1.1 最小相位与非最小相位最小相位系统的传递函数在S域右半平面没有极点和零点。

有以下特点：①在幅频特性相同的情况下，对于任何大于零的频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统。

②最小相位系统的幅频特性与相频特性一一对应，即由对数幅频特性曲线就可得到系统传递函数。

非最小相位系统：传递函数至少有一个极点或零点在S域右半平面的系统。

1.2 系统响应的求取根据系统的传递函数可以求出系统输出的复频域表示，再进行反拉式变换即可得到系统的响应，从系统响应曲线可以看出系统的稳定性、准确性和快速性等各项指标。

1.3 幅频、相频特性幅频、相频特性分别表现的是系统对不同频率的输入信号给出的输出信号与其输入信号之间的幅值增益和相位超前/落后情况，其表现形式是Bode图。

2 Matlab中仿真及分析2.1 已知二阶系统，分析c的取值对系统阶跃响应的影响。

理论分析：当输入单位阶跃信号时，其响应表达式为y（t）=1-2（1+）e-t+（1+）e-2t。

初值为0，而中间过渡过程随c选取不同而不同，终值为1。

当c 离各极点越近，其响应表达式中模态所占权值越小。

当c0时，系统为非最小相位系统。

分别c=1、2、10。

在Matlab中对二阶系统进行仿真，仿真程序如下：clear all% c= 1 3 10 -0.3 -1 -10 时各个系统单位阶跃响应a1=[-1 1]；b1=[0.5 1.5 1]；ss1=tf（a1，b1）；a2=[-1 2]；b2=[1 3 2]；ss2=tf（a2，b2）；a3=[-1 10]；b3=[5 15 10]；ss3=tf（a3，b3）；a4=[1 0.3]；b4=[0.15 0.75 0.3]；ss4=tf（a4，b4）；a5=[1 1]；b5=[0.5 1.5 1]；ss5=tf（a5，b5）；a6=[1 10]；b6=[5 15 10]；ss6=tf（a6，b6）；step（ss1，’k-’，ss2，’k--’，ss3，’k：’，ss4，’k--’，ss5，’k：’，ss6，’k-’）运行即可得出二阶系统单位阶跃响应曲线如图1所示。

增加零极点以及零极点分布对系统的影响一般说来，系统的极点决定系统的固有特性，而零点对于系统的暂态响应和频率响应会造成很大影响。

以下对于零极点的分布研究均是对于开环传递函数。

零点一般是使得稳定性增加，但是会使调节时间变长，极点会使调节时间变短，是系统反应更快，但是也会使系统的稳定性变差。

在波特图上反应为，增加一个零点会在幅频特性曲线上增加一个+20db/10倍频的曲线，幅频曲线上移，增加一个极点，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，幅频曲线下移。

在s左半平面增加零点时，会增加系统响应的超调量，带宽增大，能够减小系统的调节时间，增快反应速度，当零点离虚轴越近，对系统影响越大，当零点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加零点对系统的影响减小，所以当零点远离虚轴时，可以忽略零点对系统的影响。

从波特图上来看，增加一个零点相当于增加一个+20db/10倍频的斜率，可以使的系统的相角裕度变大，增强系统的稳定性。

在s右半平面增加零点，也就是非最小相位系统，非最小相位系统的相位变化范围较大，其过大的相位滞后使得输出响应变得缓慢。

因此，若控制对象是非最小相位系统，其控制效果特别是快速性一般比较差，而且校正也困难。

对于非最小相位系统而言，当频率从零变化到无穷大时，相位角的便变化范围总是大于最小相位系统的相角范围，当ω等于无穷大时，其相位角不等于-（n-m）×90º。

非最小相位系统存在着过大的相位滞后，影响系统的稳定性和响应的快速性。

在s左半平面增加极点时，系统超调量%pσ减小，调整时间st(s)增大，从波特图上看，s左半平面增加一个极点时，会在幅频特性曲线上增加一个-20db/10倍频的曲线，也就意味着幅频特性曲线会整体下移，导致相角域度减小，从而使得稳定性下降。

当极点离原点越近，就会增大系统的过渡时间，使得调节时间增加，稳定性下降，当系统影响越大当极点实部远大于原二阶系统阻尼系数ξ时，附加极点对系统的影响减小，所以当极点远离虚轴时可以忽略极点对系统的影响。

1 实验三 零极点分布对系统频率响应的影响
一. 实验目的
学习用分析零极点分布的几何方法分析研究信号和系统频率响应.
二. 实验原理
1. 对(序列)信号x(n)进行ZT, 得X(z), 从而得到它的零极点分布.
2. 对(离散)系统, 求出它的系统函数H(z) , 也可得到它的零极点分布.
3. 按教材(, 信号或系统的幅度特性由零点至单位圆周上的矢量长度和极点至单位圆周上的矢量长度之比.
4. 极点影响频率特性的峰值, 零点影响频率特性的谷值. 零极逾靠近单位圆, 这些特征越明显. 如有极点410.9j z e π
=, 则频率特性曲线在4π
ω=处出现峰值.
5. 本实验借助于计算机分析信号或系统的频率响应, 目的是掌握用极、零点分布的几何分析法分析频率响应, 实验时需并j z e ω=代入相应的X(z) 或H(z) 中, 再在0~2π中等
间隔的取点. 如100等分:w=[0:2*pi/100:2*pi], 再用plot 等函数作出|()|j H e ωω图形.
三. 实验内容
1. 设系统为 ()()(1)y n x n ay n =+-, 试就0.7,0.8,0.9a =, 分别在三种情况下分析系统的频率特性, 并作出幅度特性曲线., 并作出高, 低通等判断.
2. 假设系统为:
试分析它的频率特性, 作出它的幅-频曲线, 估计其峰值频率和谷值频率.
四. 实验报告要求
1. 总结零、极点分布对频率响应的影响;
2. 总结零、极点分布对系统的高通、低通的影响.。

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零点、极点和偶极子对系统性能的影响我们知道在系统之中，适当的加入零点，极点还有偶极子，可以在某些方面提升系统的性能。

但是加入某项时候，到底是如何提升的呢？为此，我们用matlab 软件来帮助我们分析，以方便我们进行比较。

为了方便我们的比较，我们还将零点，极点还有偶极子对系统性能的影响分开来进行一个一个的讨论。

这样我们可以更加直观的感受到他们的影响。

（在分析的时候选择稳定的原始系统）在分析的时候我们选择的原系统的闭环传递函数为：通过matlab 编程和绘图我们可以得到()s G的单位阶跃响应曲线如下图：现在我们开始分析加入零点，极点和偶极子对系统性能的影响！一、零点为了在方程之中添加一个零点，我们将系统的闭环传递函数变为:我们可以通过matlab 编程，绘出()1s G 和()s G的响应曲线，通过分析相应的响应曲线，我们就可以得出相应的结论！matlab 的编程为： n=4; d=[4,1,4]; t1=0:0.1:15; y1=step(n,d,t1); n1=[3,4]; y2=step(n1,d,t1);plot(t1,y1,'-r',t1,y2,'-g'),grid xlabel('t'),ylabel('c(t)'); title('单位阶跃响应')两者的响应曲线为：通过对两条响应曲线的分析我们不难得出以下的结论： （1）系统的稳定性没变，还是稳定系统； （2）系统的上升时间r t减小； （3）系统的超调时间pt 减小； （4）系统的超调量%p 变长；（5）系统的调节时间s t 变长；但是在某些情况下，我们增加零点，会带来某些我们所不希望带来的结线和原始闭环函数的响应曲线的异同点。

通过matlab绘制的响应曲线如下：可以看出如果添加的零点正好与原点重合的时候，系统虽然最后还是稳态系统，但是系统最后的稳态值为0，这显然不合实际的要求。