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北师大版初三数学知识点总结北师大版初三数学知识点总结1直角三角形的判定方法：判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。
如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
〔勾股定理的逆定理〕。
判定3：假设一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角〔两角相加等于90°〕的三角形是直角三角形。
判定5：假设两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，那么两直线互相垂直。
那么判定6：假设在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
〔与判定3不同，此定理用于斜边的三角形。
〕北师大版初三数学知识点总结2全套教科书包含了课程标准(实验稿)规定的“数与代数〞“空间与图形〞“统计与概率〞“实践与综合应用〞四个领域的内容，在体系结构的设计上力求反映这些内容之间的联系与综合，使它们形成一个有机的整体。
九年级上册包括二次根式、一元二次方程、旋转、圆、概率初步五章内容，学习内容涉及到了《课程标准》的四个领域。
本册书内容分析如下：第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。
解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。
“二次根式〞一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。
在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。
“二次根式的乘除〞一节的内容有两条开展的线索。
一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法那么的合理性，并运用二次根式的乘除法那么进行运算;一条是由二次根式的乘除法那么得到并运用它们进行二次根式的化简。
北师大版《数学》（九年级上册）知识点总结第一章 证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。
（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。
等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A∠-︒ 2、等腰三角形的判定(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
(2)有两条边相等的三角形是等腰三角形. 三、等边三角形性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形 （一）、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+其它性质：1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
九年级上册数学知识点归纳总结北师大版3.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇三1.直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切。
2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。
3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。
4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
5.垂直于半径的直线必为圆的切线。
6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。
7.垂直于半径的直线是圆的切线。
8.圆的切线垂直于过切点的半径。
4.九班级上册数学学问点归纳总结北师大版篇四单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法包括乘方运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式或字母因数的数字系数，简称系数。
当一个单项式的系数是1或—1时，“1”通常省略不写。
一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
假如在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项全部的常数都是同类项。
1、多项式有有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式。
多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。
单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。
在多项式中，所含的不同未知数的个数，称做这个多项式的元数经过合并同类项后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数所含个单项式中次项的次数，就称为这个多项式的次数。
2、多项式的值任何一个多项式，就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。
3、多项式的恒等对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a 时，假如它们所得的值都是相等的，即fa=ga，那么，这两个多项式就称为是恒等的记为fx==gx，或简记为fx=gx。
性质1假如fx==gx，那么，对于任一个数值a，都有fa=ga。
性质2假如fx==gx，那么，这两个多项式的个同类项系数就肯定对应相等。
北师大版九年级上册数学复习知识点及例题数学九年级上册知识点总结第一章特殊的平行四边形复中考考点综述：矩形、菱形、正方形是历年中考的必考内容之一。
这些特殊的平行四边形主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
考试内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算。
学生需要了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标：掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定。
通过定理的证明和应用的教学，使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：1.矩形、菱形性质及判定的应用2.相关知识的综合应用知识点归纳：矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
性质：四个角都是直角；对角线相等，具有平行四边形的所有性质。
判定：1.对角线相等的平行四边形是矩形。
2.四个角都是直角的四边形是矩形。
3.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例题：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60，则该矩形的面积为？菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
性质：对边平行，四边相等；对角相等；互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
判定：四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角；是平行四边形且两条对角线互相垂直。
例题：菱形具有而矩形不具有的性质是？正方形：定义：四边相等且四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。
性质：对边平行，四边相等；四个角都是直角；互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。
判定：四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角；是平行四边形且两条对角线互相垂直。
例题：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证四边形EFGH是矩形。
总结：掌握特殊平行四边形的定义、性质和判定方法，能够灵活运用所学知识解决实际问题，是数学研究的基础。
九年级数学上册第三章知识点总结（北师大版）一、有理数的概念与性质1. 有理数的定义有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零和所有的正负分数。
2. 有理数的比较有理数的比较可以利用数轴进行，较大的数在数轴上对应的点靠右，较小的数在数轴上对应的点靠左。
3. 有理数的运算性质有理数的加法、减法、乘法、除法满足封闭性、结合律、交换律、分配律。
4. 有理数的约分与化简将有理数的分子和分母同时除以它们的最大公约数，可以得到最简形式的有理数。
二、实数的表示1. 实数的性质实数包括有理数和无理数，实数的运算满足封闭性、传递性、对称性等性质。
2. 实数的表示方法实数可以用有理数表示，也可以用无理数表示。
（1）有理数的表示有理数可以用分数的形式表示，也可以用小数表示。
（2）无理数的表示无理数无法用两个整数的比值表示，可以用无限不循环小数或根式表示。
3. 无理数的性质无理数包括无限不循环小数和无限循环小数两种。
4. 实数的区间表示法实数可以用区间表示法表示在数轴上的连续的一段。
三、实数的运算1. 实数的加法与减法实数的加法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的减法即加法的逆运算。
2. 实数的乘法与除法实数的乘法满足交换律、结合律、存在单位元、存在逆元等性质。
实数的除法即乘法的逆运算。
3. 乘方运算实数的乘方运算即将一个实数连乘若干次。
4. 实数的分配律实数的乘法对于加法满足分配律。
四、实数的应用实数广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程技术等。
1. 数学建模实数在数学建模中起到了重要作用，通过实数的运算可以描述和解决实际问题。
2. 统计学与概率论实数在统计学和概率论中被广泛应用，例如描述数据的均值、方差以及概率的计算等。
3. 物理学与工程学实数在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
4. 经济学与金融学实数在经济学和金融学中也有重要作用，例如描述价格、收益率、利率等。
最新新北师大版九年级数学(上册)知识点汇总
第一章特殊平行四边形
第二章一元二次方程
第三章概率的进一步认识
第四章图形的相似
第五章投影与视图
第六章反比例函数
第一章特殊平行四边形
1.1菱形的性质与判定
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
※菱形的性质：具有平行四边形的性质，且四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴.
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
1.2 矩形的性质与判定
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
.矩形是特殊的平行四边形.
．．
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角.（矩形是轴对称
图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).
对角线相等的平行四边形是矩形.
四个角都相等的四边形是矩形.
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1.3 正方形的性质与判定
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质.（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形.
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
※
※
鹏翔教图3。
九年级数学上册知识点归纳（北师大版）第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。
※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。
※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
这个距离称为平行线之间的距离。
第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
新版九年级数学上册知识点归纳北师大版新版九年级数学上册知识点归纳（北师大版）一、整数的运算1. 整数的加法和减法运算a) 同号数相加、相减b) 异号数相加、相减c) 加法的交换律和结合律d) 减法与加法的关系2. 整数的乘法和除法运算a) 同号数相乘、相除b) 异号数相乘、相除c) 乘法的交换律和结合律d) 除法的定义和性质3. 整数运算的综合应用a) 数线和整数运算b) 整数的乘方运算c) 分数与整数的运算d) 整数运算在解决实际问题中的应用二、平方根与立方根1. 平方根的定义和性质a) 平方根的概念b) 完全平方数和非完全平方数c) 求平方根的方法2. 平方根的运算a) 平方根的加法和减法b) 平方根的乘法和除法c) 求平方根的应用3. 立方根的定义和性质a) 立方根的概念b) 立方根的运算三、代数式的定义与运算1. 代数式的概念和基本性质a) 变量、常数和代数式的关系b) 代数式的展开与因式分解2. 代数式的加法和减法a) 同类项与合并同类项b) 代数式的加减运算规则c) 根据题意列代数式3. 代数式的乘法和除法a) 代数式的乘法规则b) 代数式的除法规则c) 根据题意列代数式四、一次函数1. 一次函数的定义和性质a) 一次函数的概念b) 一次函数的图象特点c) 一次函数的斜率和截距2. 一次函数的图象与方程a) 一次函数的图象和方程的关系b) 根据图象写出方程c) 根据方程画出图象3. 一次函数的应用a) 一次函数在实际问题中的应用b) 利润、成本和收入的关系五、二次根式1. 二次根式的定义和性质a) 二次根式的概念b) 二次根式的化简与还原c) 二次根式的近似计算2. 二次根式的加法和减法a) 同类项的概念和加减运算b) 多个二次根式的相加相减3. 二次根式的乘法和除法a) 二次根式的乘法运算b) 二次根式的除法运算4. 二次根式的应用a) 二次根式在图形的计算中的应用b) 二次根式在实际问题中的应用六、三角形的性质1. 三角形的基本概念a) 三角形的定义b) 三角形的分类2. 三角形的角度与边的关系a) 三角形内部角的性质b) 三角形外角的性质3. 三角形的边与边的关系a) 三角形边长的大小关系b) 三角形边长的和差关系4. 三角形的中线与垂直平分线a) 三角形的中线性质b) 三角形的垂直平分线性质七、相似三角形1. 相似三角形的概念和性质a) 相似三角形的定义b) 相似三角形的判定条件c) 相似三角形的性质2. 相似三角形的比例关系a) 相似三角形的边比例b) 相似三角形的角度对应关系3. 相似三角形的应用a) 相似三角形在图形中的应用b) 相似三角形在实际问题中的应用以上是新版九年级数学上册的知识点归纳，包括整数的运算、平方根与立方根、代数式的定义与运算、一次函数、二次根式、三角形的性质以及相似三角形等内容。
北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章特殊平行四边形第二章一元二次方程第三章概率的进一步认识第四章图形的相似第五章投影与视图第六章反比例函数第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
1.2 矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1.3 正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程．．．．．．2.2 ．．．用．配方法求解．．．．．一元二次方程．．．．．． 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟与系数的关系 2.6 应用一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
鹏翔教图3※把02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次项系数；b 为一次项系数；c 为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为0)(2=+m x 的形式>②公式法 aacb b x 242-±-= （注意在找abc 时须先把方程化为一般形式）③分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。
（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的一半的平方；⑤把方程转化成0)(2=+m x 的形式；⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当b 2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac<0时，方程无实数根。
※如果一元二次方程02=++c bx ax 的两根分别为x 1、x 2，则有：ac x x ab x x =⋅-=+2121。
※一元二次方程的根与系数的关系的作用： （1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x 1、x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①2122122212)(x x x x x x -+=+ ②21212111x x x x x x +=+ ③212212214)()(x x x x x x -+=-④21221214)(||x x x x x x -+=- ⑤||22)(|)||(|2121221221x x x x x x x x +-+=+⑥)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ ⑦其他能用21x x +或21x x 表达的代数式。
（3）已知方程的两根x 1、x 2，可以构造一元二次方程：0)(21221=++-x x x x x x （4）已知两数x 1、x 2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程0)(21221=++-x x x x x x 的根※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。
※处理问题的过程可以进一步概括为： 解答检验求解方程抽象分析问题→→ 第三章 概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率3.2 用频率估计概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率==在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。
因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m 个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x 条鱼，则可依照20010100=x 估算出鱼的条数。
（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX ”）※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
概率的求法：（1）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm （2）、列表法用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（3）树状图法通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
）第四章 图形的相似4.1 成正比线段 4.2 平行线段成比例 4.3 形似多边形4.4 探索三角形相似的条件 4.5 相似三角形判定定理的证明 4.6 利用相似三角形测高 4.7 相似三角形的性质 4.8 图形的位似一. 线段的比※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即dc b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※3. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a与ab 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dcb a = 二. 黄金分割※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.0215:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点._图1_ B_ C_ A四. 相似多边形¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.五. 相似三角形※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比. ※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的条件 ※1. 相似三角形的判定方法:基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EFBCDE AB. ※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的_ 图2_F _ E _ D _C _ B _ A _l _l三角形与原三角形相似.八. 相似的多边形的性质※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.九. 图形的放大与缩小※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3. 位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.第五章投影与视图5.1 投影5.2 视图※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。
一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象左视图：基本可认为从物体左面视得的图象※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。
