高中数学《不等式》章末复习

【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结新人A 教版必修5一、选择题1．(2015·四川理，1)设集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A ，再按并集的意义求解．[答案] A[解析] A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A ．2．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C ．另解：可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C ．3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－1，或x ≥92B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤92C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－92或x ≥1 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－92≤x ≤1 [答案] D[解析] 解法1：取x ＝1检验，满足排除A ；取x ＝4检验，不满足排除B ，C ；∴选D ． 解法2：化为：2x 2＋7x －9≤0， 即(x －1)(2x ＋9)≤0，∴－92≤x ≤1.4．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][答案] D[解析] ∵2x＋2y≥22x ＋y，∴22x ＋y≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ． 5．(2014·安徽理，5)x , y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1[答案] D[解析] 本题考查线性规划问题．如图，z ＝y －ax 的最大值的最优解不唯一，即直线y ＝ax ＋z 与直线2x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0重合，∴a ＝2或－1.画出可行域，平移直线是线性规划问题的根本解法．6．当x ∈R 时，不等式kx 2－kx ＋1>0恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．[0,4) D ．(0,4)[答案] C[解析] k ＝0时满足排除A 、D ；k ＝4时，不等为4x 2－4x ＋1>0，即(2x －1)2>0，显然当x ＝12时不成立．排除B ，选C ．二、填空题7．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [答案] 36[解析] 由基本不等式可得4x ＋a x≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时等号成立．故a2＝3，a ＝36.8．已知：a 、b 、x 、y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系是________．[答案] ab ≥xy[解析] ab ＝ab ·(1a ＋1b)＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≥4，等号在a ＝2，b ＝2时成立，xy ≤x 2＋y 22＝4，等号在x ＝y ＝2时成立，∴ab ≥xy .三、解答题9．(1)设a 、b 、c 为△ABC 的三条边，求证：a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )； (2)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围．[分析] (1)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，各边长均为正数．再结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加．(2)由ab ＝a ＋b ＋3出发，求ab 的范围，关键是寻找ab 与a ＋b 之间的联系，由此联想到基本不等式a ＋b ≥2ab .[解析] (1)∵a 、b 、c 是△ABC 的三边， 不妨设a ≥b ≥c >0则a >b －c ≥0，b >a －c ≥0，c >a －b ≥0.平方得：a 2>b 2＋c 2－2bc ，b 2>a 2＋c 2－2ac ，c 2>a 2＋b 2－2ab ，三式相加得：0>a 2＋b 2＋c 2－2bc －2ac －2ab . ∴2ab ＋2bc ＋2ac >a 2＋b 2＋c 2. (2)令ab ＝t (t >0)． ∵a ，b 均为正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3或t ≤－1(舍去)， ∴ab ≥3， 故ab ≥9，∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．10．m 为何值时，关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0的两根： (1)都大于1；(2)一根大于2，一根小于2. [解析] 设方程的两根分别为x 1、x 2. (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x 1＋x 2>2x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －18>2m －78－m －18＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤9或m ≥25m >17m ∈R，∴m ≥25.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0x 1－x 2－，即⎩⎪⎨⎪⎧m －2－m －m －78－m －8＋4<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <9或m >25m >27，∴m >27.一、选择题11．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1}[答案] B[解析] 因为集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，选B ． 12．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab <b 2<1 B ．log 12b <log 12a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1[答案] C[解析] 取a ＝12，b ＝13验证可知选C ．13．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2[答案] A[解析] 设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 又v －a ＝2ab a ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a2a ＋b＝0，∴v >a .14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( ) A ．[－1，13]B ．[－12，13]C ．[－12，＋∞)D ．[－12，1)[答案] D[解析] 作出可行域如右图所示，由于ω＝y －1x ＋1可理解为经过点P (－1,1)与点(x ，y )的直线的斜率，而k PA ＝0－11－－＝－12，另一直线斜率趋向1，因此ω的取值范围为[－12，1)．二、填空题15．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．[答案] 20[解析] 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立．故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．16．(2014·苏州调研)若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－12)[解析] 依题意，对任意的x ∈[4，＋∞)，有f (x )＝(mx ＋1)(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．三、解答题17．已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．[解析] 11－a －(1＋a )＝a21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a . 18．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .。

高中数学第三章不等式章末知识总结新人教A版必修5一、本章概述不等关系是中学数学中最基本、最广泛、最普遍的关系．不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系、简单不等式、不等式的基本性质，如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、基本不等式等．不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题．解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法．不等式证明则是推理性问题或探索性问题．推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、分析法；探索性问题大多是与自然数n有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜想—证明的思路，以数学归纳法完成证明．另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等．不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程．不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，以及三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，这些问题无一不与不等式有着密切的联系．不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题，许多问题最终归结为不等式的求解或证明．解决这类综合问题的一般思维方法是：引参，建立不等关系，解某一主元的不等式(实为分离变元)，适时活用基本不等式．其中建立不等关系的常用途径是：①根据题设条件；②判别式法；③基本不等式法；④依据某些变量(如sin x ，cos x )的有界性等．二、主干知识1．不等式与不等关系．不等式的性质刻画了在一定条件下两个量的不等关系．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”．单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础．因为解不等式要求的是同解变形．要正确理解不等式的性质，必须先弄清每一性质的条件和结论、注意条件和结论的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系．双向性主要有：(1)不等式的基本性质：⎩⎨⎧a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，这是比较两个实数的大小的依据；(2)a >b ⇔b <a ；(3)a >b ⇔a ＋c >b ＋c .单向性主要有：(1)a>b，b>c⇒a>c；(2)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(3)a>b，c>0(c<0)⇒ac>bc(ac<bc)；(4)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(5)a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；(6)a>b>0，m∈N*⇒a m>b m；(7)a>b>0，n∈N*，n>1⇒na>nb.特别提醒：(1)同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．即：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d.但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．(2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘．即：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；若a＞b＞0，0＜c＜d，则ac＞bd.(3)左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方．即：若a＞b＞0，n∈N*，n>1，则a n＞b n或na＞nb.(4)若ab＞0，a＞b，则1a＜1b；若ab＜0，a＞b，则1a＞1b.如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论．2．一元二次不等式及其解法．解一元二次不等式常用数形结合法，基本步骤如下：①将一元二次不等式化成ax2＋bx＋c＞0的形式；②计算判别式并求出相应的一元二次方程的实数解；③画出相应的二次函数的图象；④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集．设相应二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”．要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：(1)在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析Δ)，比较两个根的大小，设根为x，x2，要分x1＞x2、x1＝x2、x1＜x2讨论．1(2)不等式两端乘或除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正负．(3)求解过程中，需用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论．注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”．若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；若按未知数讨论，最后应求并集．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：特别提醒：(1)解题中要充分利用一元二次不等式的解集是实数集R 和空集∅的几何意义，准确把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的内在联系．(2)解不等式的关键在于保证变形转化的等价性．简单分式不等式可化为整式不等式求解：先通过移项、通分等变形手段将原不等式化为右边为0的形式，然后通过符号法则转化为整式不等式求解．转化为求不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及最后几个不等式的解集是“交”，还是“并”．注意：不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．(3)在解决实际问题时，先要从实际问题中抽象出数学模型，并寻找出该数学模型中已知量与未知量，再建立数学关系式，然后用适当的方法解决问题．(4)解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要的题型，解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分类．分类相当于增加了题设条件，便于将问题分而治之．在解题过程中，经常会出现分类难以入手或者分类不完全的现象．强化分类意识，选择恰当的解题切入点，掌握一些基本的分类方法，善于借助直观图形找出分类的界值是解决此类问题的关键．3．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题．(1)确定二元一次不等式表示的区域的步骤：①在平面直角坐标系中作出直线Ax＋By＋C＝0.②在直线的一侧任取一点P(x0，y0)，当C≠0时，常把原点作为特殊点．③将P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，则包含点P的半平面为不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为不等式Ax ＋By＋C＜0所表示的平面区域．也可把二元一次不等式改写成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域．(2)线性规划的有关概念：①满足关于x，y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件；②关于变量x，y的解析式叫目标函数，关于变量x，y一次式的目标函数叫线性目标函数；③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题；④满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域；⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解．特别提醒：(1)画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，区域包括边界线，因此，将边界直线画成实线；无等号时区域不包括边界线，用虚线表示不包含直线l.(2)Ax＋By＋C＞0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax＋By＋C＜0表示在直线Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方．(3)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧．(4)在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范．4．基本不等式ab≤a＋b 2.(1)基本不等式：设a，b是任意两个正数，那么ab≤a＋b2.当且仅当a＝b时，等号成立．①基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②如果把a＋b2看做是正数a，b的等差中项，ab看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．③基本不等式ab≤a＋b2几何意义是“半径不小于半弦”．(2)对基本不等式的理解：①基本不等式的左式为和结构，右式为积的形式，该不等式表明两正数a，b的和与两正数a，b的积之间的大小关系，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．②“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义：a．当a＝b时等号成立的含意是：a＝b⇒a＋b2＝ab；b．仅当a＝b时等号成立的含意是：a＋b2＝ab⇒a＝b；综合起来，其含意是：a＋b2＝ab⇔a＝b.(3)设a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab⇔ab≤a2＋b22⇔ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22.(4)基本不等式的几种变式：设a＞0，b＞0，则a＋1a≥2，ba＋ab≥2，a2b≥2a－b.(5)常用的几个不等式：①a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(根据目标不等式左右的运算结构选用)；②设a，b，c∈R，则a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c时，取等号)；③真分数的性质：若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m(糖水的浓度问题)．特别提醒：(1)用基本不等式求函数的最值时，要特别注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针．常用的方法为：拆、凑、平方．(2)用基本不等式证明不等式时，应重视对所证不等式的分析和化归，应观察不等式左右两边的结构，注意识别轮换对称式，此时可先证一部分，其他同理可证，然后再累加或累乘．(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min ＞A ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max ＜B. 例 1 设函数f(x)＝x ，g(x) ＝x ＋a(a>0)，若x ∈[1，4]时不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1恒成立，求a 的取值范围． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1⇔－1≤f （x ）－ag （x ）f （x ）≤1，得0≤ag （x ）f （x ）≤2， 即ax ＋a 2x≤2在x ∈[1，4]上恒成立，也就是ax ＋a 2≤2x 在x ∈[1，4]上恒成立．令t ＝x ，则t ≥0，且x ＝t 2，由此可得 at 2－2t ＋a 2≤0在t ∈[1，2]上恒成立，设g(t) ＝ at 2－2t ＋a 2，则只需⎩⎨⎧g （1）≤0，g （2）≤0⇒⎩⎨⎧a －2＋a 2≤0，4a －4＋a 2≤0，解得 0<a ≤22－2，即满足题意的a 的取值范围是(0，22－2]．题型2 能成立问题(1)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＞A 成立，则等价于在区间D 上的f(x)max ＞A ；(2)若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)＜B 成立，则等价于在区间D 上的f(x)min ＜B.例2 若存在x ∈R ，使不等式|x －4|＋|x －3|＜a 成立，求实数a 的取值范围．解析：设f (x )＝|x －4|＋|x －3|，依题意f (x )的最小值小于a .又f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1(等号成立的条件是3≤x ≤4)．故f (x )的最小值为1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．(1)若不等式f(x)＞A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＞A 的解集为D ；(2)若不等式f(x)＜B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)＜B 的解集为D.例4 已知函数y ＝2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6的最小值为1，求实数a 的取值集合． 解析：由y ≥1即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6≥1⇒x 2－(a ＋4)x ＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a ＋4)2－16≤0，解得－8≤a ≤0(必要条件)．再由y ＝1有解，即2x 2－ax ＋10x 2＋4x ＋6＝1有解，即x 2－(a ＋4)x ＋4＝0有解，∴Δ＝(a ＋4)2－16≥0，解得a ≤－8或a ≥0.综上即知a ＝－8或a ＝0时，y min ＝1，故所求实数a 的取值集合是{－8，0}． 题型4 利用基本不等式求最值基本不等式通常用来求最值问题：一般用a ＋b ≥2ab(a ＞0，b ＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22求“定和求积，积最大”问题，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”，特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证．若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．例5 已知0＜x ＜2，求函数y ＝x(8－3x)的最大值．解析：∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞0，∴y ＝x(8－3x)＝13·3x ·(8－3x) ≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋8－3x 22＝163，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号， ∴当x ＝43时，y ＝x(8－3x)有最大值为163. 设函数f(x)＝x ＋2x ＋1，x ∈[0，＋∞)． 求函数f(x)的最小值．解析：f(x)＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)，∴x ＋1＞0，2x ＋1＞0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥2 2.当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f(x)取最小值．此时f(x)min ＝22－1.题型5 简单线性规划问题求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解，特别注意目标函数z ＝ax ＋by ＋c 在直线ax ＋by ＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率关系．简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛应用也是高考的热点．例6 若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A .73B .37C .43D .34解析：不等式组表示的平面区域如图所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. 答案：A题型6 三个二次(二次函数、二次不等式、二次方程)问题一元二次方程、一元二次不等式与二次函数三者之间形成一个关系密切、互为关联、互为利用的知识体系．将二次函数看作主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象揭示解(集)的几何特征．例7 当m 为何值时，方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根？解析：方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（4m ）2－4×2×（3m －1）≥0，－b a ＝－4m 2＝－2m ＜0，c a ＝3m －12＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12或m ≥1，m ＞0，m ＞13. ∴当m ∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m|13＜m ≤12或m ≥1时，原方程有两个负根．题型7 不等式与函数的综合问题例8 定义在(－1，1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，且f(1－a)＋f(1－a 2)＜0，求实数 a 的取值范围．解析：∵f(x)的定义域为(－1，1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜1－a 2＜1，∴⎩⎨⎧0＜a ＜2，－2＜a ＜2且a ≠0，∴0＜a ＜2，①原不等式变形为f(1－a)＜－f(1－a 2)．由于f(x)为奇函数，有－f(1－a 2)＝f(a 2－1)，∴f(1－a)＜f(a 2－1)．又f(x)在(－1，1)上是减函数，∴1－a ＞a 2－1，解得－2＜a ＜1.②由①②可得0＜a ＜1，∴a 的取值范围是(0，1)．题型8 求分式函数的最值例9 求函数y ＝x 4＋3x 2＋3x 2＋1的最小值． 解析：y ＝（x 4＋2x 2＋1）＋（x 2＋1）＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1＋1≥2（x 2＋1）·1x 2＋1＋1＝3，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x 2＋1＝1，即x ＝0时等号成立．题型9 数轴标根法(1)将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积．(2)求出各因式为0的实数根，并在数轴上标出．(3)自最右端上方起，用曲线自右至左，依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)．(4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．例10 解不等式(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0.分析：本题考查高次不等式的解法，应用等价转化的方法显得较繁琐，可利用数轴标根法来解．解析：设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)，则y ＝0的根分别是－2，－1，1，2，将其分别标在数轴上，并画出示意图如下：∴不等式的解集是{x|－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}．点评：利用数轴标根法解不等式，需注意：(1)要注意所标出的区间是否是方程根的取值范围，可取特殊值检验，以防不慎造成失误．(2)有些点是否要舍掉，要仔细检验．题型10 变换主元法例11 设f(x)＝mx 2－mx －6＋m.(1)若对于m ∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求实数m 的取值范围；分析：根据题意，f(x)可看作是m 的一次函数，也可以看作是x 的二次函数来解．解析：(1)依题意，设g(m)＝(x 2－x ＋1)m －6，则g(m)是关于m 的一次函数且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，∴g(m)在[－2，2]上递增．∴欲使f(x)＜0恒成立．需g(m)max ＝g(2)＝2(x 2－x ＋1)－6＜0，解得－1＜x ＜2.∴实数x 取值范围是(－1，2)．(2)方法一 ∵f(x)＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0， 在x ∈[1，3]上恒成立．∴⎩⎨⎧m ＞0，f （x ）max ＝f （3）＝7m －6＜0或⎩⎨⎧m ＝0，f （x ）＝－6＜0或 ⎩⎨⎧m ＜0，f （x ）max ＝f （1）＝m －6＜0.解得m ＜67. 方法二 要使f(x)＝m(x 2－x ＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，则有m ＜6x 2－x ＋1在x ∈[1，3]上恒成立． 而当x ∈[1，3]时，6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67. ∴6x 2－x ＋1的最小值为67. ∴m ＜67. 点评：若给出m 的取值范围，则看作是m 的一次函数，若给出x 的取值范围，则看作是x 的二次函数．。

不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆不等式的解的各种情况如下表：>∆=∆<∆ 二次函数cbx ax y ++=2（）的图象0>a cbx ax y ++=2c bx ax y++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()A x f >D D ()min f x A >若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()B x f <D D ()max f x B<二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax +By +C ，所得到实y x ,y x ,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥；ab ≤,当且仅当a=b 时取等号.ab 222⎪⎭⎫⎝⎛+b a 3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值;P 2如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值.42S 注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。

第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用[自我校对]①向量 ②代数可证明一些简单不等式．【例1】 已知a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. [精彩点拨] 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，利用柯西不等式的向量形式证明，或把式子左边补上系数1，直接利用柯西不等式求解．[规范解答] 法一：因为a ，b ，c 是实数，且a ＋b ＋c ＝1，令m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)．则|m ·n |2＝(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2， |m |2·|n |2＝3[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)] ＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48. ∵|m ·n |2≤|m |2·|n |2，∴(13a ＋1)＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤48， ∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.法二：由柯西不等式得(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)2≤(12＋12＋12)[(13a ＋1)＋(13b ＋1)＋(13c ＋1)]＝3[13(a ＋b ＋c )＋3]＝48，∴13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3.1．设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立的条件．[证明] 由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac )⎝⎛⎭⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2，所以ab ＋4bc ＋9ac ≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立.应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组．【例2】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.[精彩点拨] 不妨设a ≥b ≥c ＞0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a，根据不等式的特点，利用排序不等式证明．[规范解答] 由于不等式关于a ，b ，c 对称， 可设a ≥b ≥c >0.于是a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a.由排序不等式，得反序和≤乱序和，即a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a，及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原不等式．2．在△ABC 中，h a ，h b ，h c 为边长a ，b ，c 的高， 求证：a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c . [证明] 不妨设a ＞b ＞c ，则对应的角A ＞B ＞C ，A ，B ，C ∈(0，π)，∴sin A ＞sin B ＞sin C . 由排序原理得a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥a sin B ＋b sin C ＋c sin A .在△ABC 中，a sin B ＝h c ，b sin C ＝h a ，c sin A ＝h b ， ∴a sin A ＋b sin B ＋c sin C ≥h a ＋h b ＋h c .们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否满足．【例3】 已知实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是7，求a 的值．[精彩点拨] 由x 2＋4y 2＋9z 2＝x 2＋(2y )2＋(3z )2，x ＋y ＋z ＝x ＋12·2y ＋13·3z ，联想到柯西不等式求解．[规范解答] 由柯西不等式： [x 2＋(2y )2＋(3z )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12×2y ＋13×3z 2.因为x 2＋4y 2＋9z 2＝a (a >0)，所以4936a ≥(x ＋y ＋z )2，即－7a 6≤x ＋y ＋z ≤7a 6.因为x ＋y ＋z 的最大值是7， 所以7a 6＝7，得a ＝36.当x ＝367，y ＝97，z ＝47时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝36.3．求实数x ，y 的值，使得(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值． [解] 由柯西不等式，得(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(3－x －y )2＋(2x ＋y －6)2] ≥[1×(y －1)＋2×(3－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝1， 即(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2≥16，当且仅当y －11＝3－x －y 2＝2x ＋y －61，即x ＝52，y ＝56时，上式取等号．故x ＝52，y ＝56时，(y －1)2＋(x ＋y －3)2＋(2x ＋y －6)2达到最小值．【例4】 已知正实数x 1，x 2，…，x n 满足x 1＋x 2＋…＋x n ＝P ，P 为定值，求F ＝x 21x 2＋x 22x 3＋…＋x 2n －1x n ＋x 2n x 1的最小值． [精彩点拨] 不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，利用排序不等式求解． [规范解答] 不妨设0<x 1≤x 2≤…≤x n ， 则1x 1≥1x 2≥…≥1x n>0，且0<x 21≤x 22≤…≤x 2n .∵1x 2，1x 3，…，1x n ，1x 1为序列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x i (i ＝1,2,3，…，n )的一个排列，根据排序不等式，得F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x21·1x1＋x22·1x2＋…＋x2n·1x n＝x1＋x2＋…＋x n＝P(定值)，当且仅当x1＝x2＝…＝x n时等号成立，∴F＝x21x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1的最小值为P.4．设x1，x2，…，x n取不同的正整数，则m＝x112＋x222＋…＋x nn2的最小值是( ) A．1B．2C．1＋12＋13＋…＋1nD．1＋122＋132＋…＋1n2[解析]设a1，a2，…，a n是x1，x2，…，x n的一个排列，且满足a1<a2<…<a n，故a1≥1，a2≥2，…，a n≥n.又因为1>122>132>…>1n2，所以x11＋x222＋x332＋…＋x nn2≥a1＋a222＋a332＋…＋a nn2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n×1n2＝1＋12＋13＋…＋1n.[答案] C在利用平均值不等式求函数最值时．一定要满足下列三个条件：(1)各项均为正数．(2)“和”或“积”为定值．(3)等号一定能取到，这三个条件缺一不可．2．解决实际问题由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出和的形式，若积为定值则可用平均值不等式求解．【例5】某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．[精彩点拨] (1)设每件定价为t 元，表示总收入，根据题意列不等式求解．(2)利用销售收入≥原收入＋总投入，列出不等式，由题意x ＞25，此时不等式求解．[规范解答] (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －25t ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ×16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 当该商品明年的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．5．若a ＞b ＞0，则a 2＋1b (a －b )的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [解析] 依题意得a －b ＞0，所以a 2＋1b (a －b )≥a 2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 2＋4a2≥2a 2·4a2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0，a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b (a －b )的最小值是4，选C.[答案] C思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题．本章常把要证明的不等式通过换元或配凑等整体应用，把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决．【例6】 已知a ，b ，c 为正数，求证：a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b ≥32.[精彩点拨] 将不等式的左边进行变形，再利用柯西不等式证明． [规范解答] 左端变形ab ＋c＋1＋bc ＋a＋1＋ca ＋b＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，∴只需证此式≥92即可．∵ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b＝12[(b ＋c )＋(c ＋a )＋(a ＋b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b≥12(1＋1＋1)2＝92， ∴ab ＋c ＋ba ＋c＋ca ＋b ≥92－3＝32.6．已知a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． [证明] 不妨设0≤a ≤b ≤c ，则a 2≤b 2≤c 2， 由排序不等式，得a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 2a ＋b 2b ＋c 2c ≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b .以上两式相加，得2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，∴a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.[答案] D2．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________． [解析] 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.[答案]53．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy .[证明] 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. (2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立，故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值是87.。

【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第二章教案教学设计2.1《等式性质与不等式性质》教案教材分析：等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫.教学目标与核心素养：课程目标1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。

数学学科素养1.数学抽象：不等式的基本性质；2.逻辑推理：不等式的证明；3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用；4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）；5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。

教学重难点：重点：掌握不等式性质及其应用．难点：不等式性质的应用．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系.要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是？2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些？3.重要不等式是？4.等式的基本性质？5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、 两个实数比较大小的方法 作差法 {a −b >0⟺a >ba −b =0⟺a =b a −b <0⟺a <b作商法{ ab >1⟺a >b ab =1⟺a =b ab <1⟺a <b2.不等式的基本性质3.重要不等式四、典例分析、举一反三 题型一 不等式性质应用 例1 判断下列命题是否正确:(1)c a b c b a >⇒>>,( ) (2)22bc ac b a >⇒> ( ) (3)bd ac d c b a >⇒>>,( ) (4)b a cb c a >⇒>22 ( ) (5) 22b a b a >⇒> ( ) (6)22b a b a >⇒> ( ) (7) dbc ad c b a >⇒>>>>0,0 ( ) 【答案】（1）× （2） × （3）× （4）√ （5）× （6） √ （7 ）×解题技巧：（不等式性质应用）可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证. 跟踪训练一1、用不等号“>”或“<”填空：（1）如果a>b ，c<d ，那么a-c ______ b-d ； （2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac______bd ； （3）如果a>b>0，那么1a 2 ______1b 2 （4）如果a>b>c>0，那么ca _______ cb【答案】（1） > （2） < （3） < （4） < 题型二 比较大小例2 (1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 (2).已知a >b >0,c >0,求ca >cb 。

高中数学《不等式》复习不 等 式 不等式的概念 不等关系 不等关系文字语言与符号语言的转换：大于、小于、不等于，不超过等 与不等式比较实数的大小 依据、比较方法 不等式不等式的性质：解证不等式问题的依据一元二次不等式：含有一个未知数，未知数的最高次数是2的不等式 一元二次 不等式及 其解法三个“二次”的关系：方程，函数，不等式 一元二次不等式的解法 三个二次之间的关系、含参数 求不等式的解集一元二次不等式问题 分式不等式及高次不等式的解法：转化法，穿根法二元一次 不等式 组 与简单的线性规划问题二元一次不等式 二元一次不等式 组 ：解集，几何意义 组 与平面区域平面区域：以线定界，以点定域简单的线性 相关概念：约束条件，目标函数，可行解，可行域，最优解规划问题解法 图解法 应用种类：效益最大，利润最大，耗材最少基本不等式及其应用基本不等式：常见的变形，重要不等式链 应用：最值问题，比较实数的大小，不等式的证明专题一 ⇨不等关系与不等式的性质 (1)不等式的性质是比较数的大小，求代数式的取值范围，证明不等式等的主要依据．尤 其注意“同向不等式”才可加，运用可乘性(乘除、乘方)时一定要注意符号． (2)比较数的大小是主要题型之一，常见方法有作差法、作商法、介值法(a>b，b>c⇒ a>c)， 注意解题过程中，配方、乘方、因式分解、配凑、放缩等技巧的运用． (3)证明不等式是常见题型，对于简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的 性质，通过对不等式变形得证． 对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式 的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最 终的符号，完成证明． (4)求代数式的取值范围也是常见题型．解题时可借助性质、基本不等式、函数值域等 知识综合考虑，特别注意限制条件．例题 1 已知 a、b 为正实数，试比较 a ＋ b 与 a＋ b的大小． ba[分析] 利用作商法或作差法进行比较．[解析]ab 解法一：( ＋ )－(a＋b)baa ＝( －b)＋( b －a)＝a－b＋b－ababa＝ a－ba－ b ＝ aba＋ ba－ b 2ab∵a、b 为正实数，∴ a＋ b>0， ab>0，( a－ b)2≥0，∴ a＋ ba－b2≥0，当且仅当 a＝b 时，等号成立，abab ∴＋≥a＋b．baab＋bab 3＋ a 3解法二：＝a＋ b ab a＋ ba＋ b a＋b－ ab ＝ab a＋ b＝a＋b－ab ＝aba－ b 2＋ ab ＝1＋aba－ b 2 ≥1．ab当且仅当 a＝b 时，等号成立．ab 又∵ ＋ >0，a＋b>0，∴ a ＋ b ≥a＋b．baba『规律总结』 作差法是比较两式大小最常用的方法，作商法是必要的补充，无论是作差还是作商，都要进行合理地变形，以利于比较．专题二 ⇨一元二次不等式的应用(1)直接求解一元二次不等式常与集合运算相结合．(2)抓住三个二次之间的关系是解决一元二次不等式问题的关键．(3)含参数的一元二次不等与恒成立问题是常见题型，关键是等价转化与合理分类．构造函数法与判别式、根与系数的关系是常见思考方向．(4)高次不等式、分式不等式要等价转化． 例题 2 已知函数 y＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]的定义域是 R，求实数 a 的取值范围．[分析] 本题考查一元二次不等式与二次函数的关系，以及对数函数的性质．解题的关 键是由题意得出(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R，从而转化为解决一元二次不等式问题．[解析] 由对数函数定义及题设条件，知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 的解集是 R． 当 a2－1＝0 时，a＝±1． 若 a＝1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 2x＋1>0，解得 x>－12，与已知矛 盾． 若 a＝－1，则不等式(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0 可化简为 1>0，此式恒成立，符合题意． 当 a2－1≠0 时，根据题意，有a2－1>0 Δ＝ a＋12－4a2－1<0，即a32a－2－1>20a－5>0a>1或a<－1 ，解得a>53或a<－1，即 a<－1，或 a>53．综上，a5 的取值范围是(－∞，－1]∪(3，＋∞)．『规律总结』 对有关复合函数的问题，我们往往采用“化复合函数为基本函数”的办法，使之一步步转化为我们熟知的题型．此题就是把一个复合函数求范围的问题转化为不等式恒成立的问题．专题三 ⇨简单的线性规划问题(1)求平面区域的面积通过“直线定界，特殊点定域”准确确定平面区域形状及分界点是解题关键，割补计算是主要方法．(2)线性规划问题求解方法是图解法．关键环节是：图形尽量准确，注意目标函数对应直线与图形边界线斜率大小关系，弄清所求最值与“目标函数”直线纵截距关系．(3)非线性目标函数最值，关键搞清“目标函数”表达式的几何意义．(4)整点问题，特别注意最优解不是边界点的找法．(5)含参数的问题．若约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．若目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．(6)实际应用问题，解答时关键是读懂题意，准确设出变量，抓住体现不等关系的词语列出不等式组与目标函数．确定最优解时，注意实际意义． x＋y≤4 例题 3 ：若变量 x、y 满足约束条件x－y≤23x－y≥0，则 3x＋y 的最大值是__10__．[解析] 首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图 象可得：目标函数 z＝3x＋y 过点 B(3,1)时 z 取得最大值，即 zmax＝3×3＋1＝10，故应填 10．『规律总结』 求目标函数的最值一般采用图解法：①求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数 z＝ax＋by 转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．一般地，当b>0时，截距z b取最大值时，z 取最大值；截距zb取最小值时，z 也取最小值；当 b<0 时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.②目标函数 z＝ax＋by＋c 的最值的求解，可先求 ax＋by 的最值，再求 z＝ax＋by＋c的最值．专题四 ⇨基本不等式基本不等式的常见应用有：求最值、证明不等式、比较数的大小，解题关键是注意“一正、二定、三相等”的条件和合理变形、配凑、等价转化．例题 4 已知 x、y 都是正实数，且 x＋y－3xy＋5＝0，求 xy 的最小值．[分析] 合理变形，但应注意等号成立的条件．[解析] ∵x＋y－3xy＋5＝0∴3xy＝x＋y＋5≥2 xy＋5，∴3xy－2 xy－5≥0，∴( xy＋1)(3 xy－5)≥0，∴ xy≥53，即 xy≥295，等号成立的条件是 x＝y＝53， 故 xy 的最小值是295． 专题五 ⇨不等式与函数、方程的问题 例题 5 设 a∈R，关于 x 的一元二次方程 7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0 有两个实根 x1、 x2，且 0<x1<1<x2<2，求 a 的取值范围． [分析] 令 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，它的图象是开口向上的抛物线，它在(0,1) 和(1,2)区间内与 x 轴相交，则有 f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，所以只需解关于 a 的不等式组f 0 >0 f 1 <0 f 2 >0，即可求得 a 的取值范围．[解析] 设 f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2，图象如图．∵x1、x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 且 0<x1<1,1<x2<2．f 0 >0 ∴f 1 <0f 2 >0 a2－a－2>0 ⇒ 7－ a＋13 ＋a2－a－2<028－2 a＋13 ＋a2－a－2>0 a2－a－2>0 ⇒ a2－2a－8<0a2－3a>0 a<－1，或a>2 ⇒ －2<a<4a<0，或a>3⇒ －2<a<－1，或 3<a<4． ∴a 的取值范围是{a|－2<a<－1，或 3<a<4}． 『规律总结』 设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)．结合图象可得：Δ>0 (1)方程 f(x)＝0 在区间(－∞，k)内有两个不等的实根，则有 －2ba<k f k >0k 为常数，Δ＝b2－4ac，以下同)．(其中Δ>0 (2)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个不等的实根，则有 －2ba>k．f k >0(3)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k，则有 f(k)<0． (4)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)内有且只有一根(不包括重根)，则有 f(k1)·f(k2)<0(k1、 k2 为常数，以下同)． (5) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 不 等 的 实 根 ， 则 有Δ>0k1<－2ba<k2．f k1 >0，且f k2 >0 Δ>0 (6)方程 f(x)＝0 在区间(k1，k2)外有两个不等的实根，则有f k1 <0 ．f k2 <0专题六 ⇨数学思想方法的应用 例题 6 解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)． [分析] 先将不等式左边分解因式，然后对两根的大小比较，分类求解不等式． [解析] 原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0． 对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a． (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解； (3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，当 a>0 时，原不等式的解集为{x|－a<x<2a}， 当 a＝0 时，原不等式的解集为∅， 当 a<0 时，原不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 『规律总结』 解含参数不等式需分类的情况：(1)二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于 0、等于 0、小于 0 三类讨论． (2)利用单调性解题时，抓住使单调性变化的参数值，进行讨论． (3)对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论． (4)若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ>0、Δ＝0、Δ<0 三种情况进行讨论． 例题 7 若不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒成立，求实数 a的取值范围． [分析] 因为(x－1)的符号不确定，所以参变量 a 不能分离，只好研究二次函数 y＝x2＋ax＋3－a． [解析] 设 f(x)＝x2＋ax＋3－a，其函数图象为开口向上的抛物线，要使得对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x 恒有 f(x)>0，只需满足： (1)Δ＝a2－4(3－a)<0；Δ＝a2－4 3－af 2 ＝7＋a>0(2)－a2>2≥0Δ＝a2－4 3－a ≥0f －2 ＝7－3a>0，或－a2<－2，解(1)(2)得，当－7<a<2 时，不等式 x2＋ax＋3－a>0 对于满足－2≤x≤2 的一切实数 x恒成立．『规律总结』 一元二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足不等式组，也可利用函数最值进行转化，即转化为求函数的最值问题．第三章 学业质量标准检测一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设 M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有( A )A．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤N[解析] M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34＞0，∴M＞N.故选 A．2．设集合 A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合 B＝{x|1<x<3}，则 A∪B＝( A )A．{x|－1<x<3}B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2}D．{x|2<x<3}[解析] A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，∴A∪B＝{x|－1<x<3}，选 A．3．若 a＞b＞c，则下列不等式成立的是( B )A．a－1 c＞b－1 cB．a－1 c＜b－1 cC．ac＞bcD．ac＜bc[解析] ∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c>0，11 ∴a－c＜b－c，故选 B．4．不等式1x<12的解集是( D )A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(0,2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析] 因1x<12，得1x－12＝22－xx<0，即 x(x－2)>0，解得 x<0 或 x>2，故选 D．5．不等式(x＋5)(3－2x)≥6 的解集是( D )A．x|x≤－1，或x≥92B．x|－1≤x≤29C．x|x≤－92或x≥1D.x|－92≤x≤1[解析] 解法一：取 x＝1 检验，满足排除 A；取 x＝4 检验，不满足排除 B、C；∴选 D．解法二：原不等式化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1)(2x＋9)≤0，∴－92≤x≤1，选 D．6．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)已知关于 x 的不等式 x2－ax＋2a＞0 在 R 上恒成立，则实数 a 的取值范围是( A )A．(0,8)B．(1,8)C．(0,10) [解析] 由题意得 a2－8a＜0，D．(1,10)∴0＜a＜8，故选 A． 7．若关于 x 的不等式 2x2－8x－4－a≥0 在 1≤x≤4 内有解，则实数 a 的取值范围是(A)A．a≤－4B．a≥－4C．a≥－12D．a≤－12[解析] ∵y＝2x2－8x－4(1≤x≤4)在 x＝4 时，取最大值－4，当 a≤－4 时，2x2－8x－4≥a 存在解．故选 A．8．(2018－2019 学年度江西戈阳一中高二月考)设 f(x)＝ex,0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝f(a＋2 b)，r＝ f a f b ，则下列关系正确的是( C )A．q＝r＜pB．p＝r＜qC．q＝r＞p [解析] f(x)＝ex 是增函数，D．p＝r＞q∵0＜a＜b，∴ ab＜a＋2 b，∴f( ab)＜f(a＋2 b)∴p＜q又 f(a＋2 b)＝ea＋2 b＝ eab，f a f b ＝ ea·eb＝ ea＋b，∴r＝q，故选 C．9．不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)<0 的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则 a 的值为( D )A．－4B．－2C．4D．2[解析] 当 2a＝4 时，用穿针引线法易知不等式的解集满足题意，∴a＝2．10．下列函数中，最小值是 4 的函数是( C )A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋si4nx(0<x<π) C．y＝ex＋4e－x(其中 e 为自然对数的底数)D．y＝log3x＋logx81 [解析] 当 x＜0 时，y＝x＋4x≤－4，排除 A；∵0＜x＜π，∴0＜sinx＜1.y＝sinx＋si4nx≥4.但 sinx＝si4nx无解，排除 B；ex＞0，y＝ex＋4e－x≥4.等号在 ex＝e4x即 ex＝2 时成立．∴x＝ln2，D 中，x＞0 且 x≠1，若 0＜x＜1，则 log3x＜0，logx81＜0，∴排除 D．11．(2016·全国卷Ⅰ理，8)若 a>b>1,0<c<1，则( C )A．ac<bcB．abc<bacC．alogbc<blogacD．logac<logbc[解析] 对于选项 A，考虑幂函数 y＝xc，因为 c>0，所以 y＝xc 为增函数，又 a>b>1，所以 ac>bc，A 错．对于选项 B，abc<bac⇔(ba)c<ba，又 y＝(ba)x 是减函数，所以 B 错．对于选项 D，由对数函数的性质可知 D 错，故选 C． 12．(2018－2019 学年度吉林省德惠市实验中学高二月考)函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值是( A )A．2 3＋2B．2 3－2C．2 3D．2[解析]y＝xx2－＋12＝x－12＋2 x－1 x－1＋3＝(x－1)＋x－3 1＋2，∵x＞1，∴(x－1)＋x－3 1＋2≥2x－1·3 x－1＋2＝2 3＋2，当且仅当 x－1＝x－3 1，即(x－1)2＝3，x－1＝ 3，x＝ 3＋1 时，等号成立．二、填空题(本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分，将正确答案填在题中横线上)13．不等式 2x2＋2x－4≤12的解集为__[－3,1]__．[解析] 不等式 2x2＋2x－4≤12化为 2x2＋2x－4≤2－1，∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．函数 y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(m、n>0)上，则1m＋1n的最小值为__4__．[解析] 由题意知 A(1,1)，∴m＋n＝1，∵m>0，n>0，∴1m＋1n＝(1m＋1n)·1＝(1m＋1n)·(m＋n)＝nm＋mn＋2≥4．等号在nm＝mn时成立，由mnm＋ ＝mnn＝1，得 m＝n＝12．∴1m＋1n的最小值为 4．15．若mm2xx＋－11＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m1 的取值范围是__(－∞，－2)__．[解析] 依题意，对任意的 x∈[4，＋∞)，有 f(x)＝(mx＋1)(m2x－1)＜0 恒成立，结合图象分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0－1m＜41m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是(－∞，－12)．16．某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a 、b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5a －b ≤2a <7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝__13__．[解析] 由题意得x ＝a ＋b ，如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x 取最大值，∴x ＝a ＋b ＝13．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2)的定义域为M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为N ，求集合M 、N 、M ∩N ．[解析] 由8＋2x －x 2>0，即x 2－2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2<x <4． ∴M ＝{x |－2<x <4}． 由1－2x －1≥0，得x －3x －1≥0， ∴x <1或x ≥3． ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}．∴M ∩N ＝{x |－2<x <1或3≤x <4}．18．(本题满分12分)不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 由m 2－2m －3＝0，得m ＝－1或m ＝3． 当m ＝3时，原不等式化为－1<0恒成立； 当m ＝－1时，原不等式化为4x －1<0，∴x <14，故m ＝－1不满足题意．当m 2－2m －3≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0Δ＝[－m －3]2＋4m 2－2m －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－15<m <3，∴－15<m <3．综上可知，实数m 的取值范围是－15<m ≤3．19．(本题满分12分)(2018－2019学年度福建莆田一中高二月考)解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(m ∈R )．[解析] 当m ＝0时，原不等式化为－3＜0，∴x ∈R ． 当m ≠0时，原不等式化为(mx －1)(mx ＋3)＜0， ∵m 2＞0，∴(x －1m )(x ＋3m)＜0．当m ＞0时，－3m ＜x ＜1m ，当m ＜0时，1m＜x ＜－3m．综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为(－3m ，1m )；当m ＜0时，原不等式的解集为(1m，－3m)．20．(本题满分12分)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解析] (1)依题意得y ＝[1.2×(1＋0.75x )－1×(1＋x )]×1 000×(1＋0.6x )(0<x <1)． 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)． ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y － 1.2－1×1 000>00<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >00<x <1，解得：0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0<x <13．21．(本题满分12分)若a ＜1，解关于x 的不等式axx －2>1 ．[解析] a ＝0时，不等式的解集为∅，ax x －2>1⇔a －1x ＋2x －2＞0 ⇔[(a －1)x ＋2](x －2)＞0． ∵a ＜1，∴a －1＜0． ∴化为(x －21－a)(x －2)＜0， 当0<a <1时，21－a >2，∴不等式的解为2<x <21－a ；当a <0时，1－a >1， ∴21－a<2， ∴不等式解为21－a<x <2，∴当0＜a ＜1时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜21－a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |21－a ＜x ＜2；当a ＝0时，解集为∅． 22．(本题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为x 1、x 2，若x 1<1<x 2<3，求实数m 的取值范围．[解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0． (1)当m ＋1>0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>0f 1<0f 3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >－1m <－2m >－89，不等式组无解．(2)当m ＋1<0时，可画简图：则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0f 1>0f 3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <－1m >－2m <－89.得－2<m <－1．由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)．。

第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。

章末复习一、不等式性质的应用1．不等式的性质常用来比较大小和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．2．掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例1 下列结论正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a 2>b 2，则a >bC ．若a >b ，c <0，则a ＋c <b ＋cD ．若a <b ，则a <b 答案 D解析 选项A 中，当c ＝0时不符，所以A 项错；选项B 中，当a ＝－2，b ＝－1时，符合a 2>b 2，不满足a >b ，B 项错； 选项C 中，a ＋c >b ＋c ，所以C 项错；选项D 中，因为0≤a <b ，由不等式的可乘方性，(a )2<(b )2，即a <b .故选D. 反思感悟 利用特殊值进行排除更直接，有利于提高解题速度． 跟踪训练1 设a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋1a ≥2B ．a 2＋b 2≥2abC ．a ＋b ＋1a ＋b ≥2D.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b答案 D解析 可采用排除法或特殊值法．(特殊值法)令a ＝b ＝1， 则1a ＋1b ＝2,2＋2a ＋b＝3，故D 不正确．二、解不等式1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}；综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}．反思感悟 对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．跟踪训练2 若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， (1)求a 的值；(2)求不等式1－axx ＋1>a ＋5的解集．解 (1)依题意，可得ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧12×2＝－2a，12＋2＝－5a ，解得a ＝－2.(2)将a ＝－2代入不等式，得1＋2x x ＋1>3，即1＋2xx ＋1－3>0， 整理得－(x ＋2)x ＋1>0，即(x ＋1)(x ＋2)<0，解得－2<x <－1，则不等式的解集为{x |－2<x <－1}．三、基本不等式的应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(a >0，b >0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3 (1)已知2a ＋b ＝1，a >0，b >0，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 2B ．3－2 2C ．3＋2 2D ．3＋ 2答案 C解析 1a ＋1b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ·2ab＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋1b的最小值是3＋2 2. (2)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．6－4 2D ．6＋4 2答案 D解析 1a ＋1b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c (a ＋2b ＋c ) ＝4＋2b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋2bc≥4＋22b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·2b c＝6＋42，当且仅当2b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝2bc ，即a ＝c ＝1－22，b ＝2－12时，等号成立． 反思感悟 (1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的代换．跟踪训练3 已知正常数a ，b 和正变数x ，y 满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．解 因为x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当ay x ＝bx y ，即yx＝ba时，等号成立， 所以x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，所以ab ＝16.所以a ，b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， 所以a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2. 四、不等式在实际问题中的应用不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．例4 某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是50⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，求x 的取值范围；(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解 (1)根据题意， 有100⎝⎛⎭⎫5x －3x ＋1≥1 500， 即5x 2－14x －3≥0，得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，所以3≤x ≤10.(2)设生产480千克该产品获得的利润为u 元， 则u ＝24 000⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2，1≤x ≤10， 记y ＝－3x 2＋1x ＋5(1≤x ≤10)，则y ＝－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋112＋5(1≤x ≤10)， 当x ＝6时，y 取得最大值6112，此时u ＝24 000×6112＝122 000，故该厂以6千克/时的速度生产480千克该产品可获得最大利润122 000元．反思感悟 认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一．跟踪训练4 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x >1)，写出公园ABCD 所占面积S 与x 的关系式； (2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？解 (1)设休闲区的宽B 1C 1为a 米，则长A 1B 1为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S ＝(a ＋8)(ax ＋20) ＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．1．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >－1}答案 B解析 方法一 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根．由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋bx ＋a <0的解集即为2x 2＋x －1<0的解集，是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 方法二 由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根． 分别把x ＝－1,2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1<0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12. 2．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 B ．a 3＋b 3>2ab 2 C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b答案 B解析 当a ＝b 时，a 3＋b 3＝2ab 2， 故a 3＋b 3>2ab 2不恒成立，故选B.3．若不等式x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52 D ．－3答案 B解析 ∵x 2＋ax ＋1≥0在0<x ≤2上恒成立， ∴ax ≥－x 2－1在0<x ≤2上恒成立．∴a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ，0<x ≤2， ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，当且仅当x ＝1时取“＝”， ∴a ≥－2，故选B.4．已知y ＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.答案 36解析 y ＝4x ＋ax≥24x ·ax＝4a (x >0，a >0)， 当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时y min ＝4a .又由已知x ＝3时，y min ＝4a .∴a2＝3，即a ＝36. 5．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为{x |x 1<x <x 2}，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是________． 答案433解析 由题意，可知x 1，x 2是方程x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根，则x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥433，当且仅当a ＝36时，等号成立．。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。