弹性中心法

中点法计算需求价格弹性的公式
价格变动为：（10-6)/8=50%,因为中点价格为8，所以平均变动为50，平均单位：（40-20）/30=67%，所以需求弹性为：根据中点法的公式：50%/67%=0.75.所以需求弹性为0.75.
1.点弹性衡量了在需求曲线上某一点上相对应于价格的无穷小的变动率，需求量变动率的反应程度，其计算公式为：这一弹性系数只与需求曲线上的点（P ，Q ）的斜率dQ/dP 有关，故被称为点弹性，它可以精确地反应出需求曲线上每一点的弹性值。

2.（三）其他的需求弹性需求收入弹性的定义和表示需求的收入弹性简称收入弹性，它表示在一定时期内相对于消费者收入的相对变动；
商品需求量的相对变动的反应程度：需求的收入弹性系数= 需求变动百分比/ 收入变动百分比用Em表示需求的收入弹性系数，M 表示收入，DM表示收入增减量。

3.则对正常商品而言Em>0，如果Em1表明需求量增加了幅度超过收入增加幅度，该商品为奢侈品。

00，则二种商品X 、Y 为替代品。

如果Ec<0，则二种商品X 、Y 为互补品。

弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。

材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。

材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。

而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。

在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。

在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。

弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。

所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。

弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。

满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。

在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。

需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。

对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。

可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。

1) 实腹式悬链线拱的拱轴线和拱轴系数如何确定（含拱轴系数公式推导）？答：定拱轴线一般采用无矩法，即认为主拱圈截面仅承受轴向压力而无弯矩。

拱轴系数的确定：拱轴系数：d jg g m =， 拱顶恒载分布集度d g 为 ： d h g d d 21γγ+=（4-20）拱脚恒载分布集度x g 为： h d h g j d j 321cos γϕγγ++=（4-21） 式中： 321,,γγγ─—分别为拱顶填料、拱圈材料及拱腹填料的容重； d h ─—为拱顶填料厚度，一般为300～500mm ； d ─—为主拱圈厚度； j ϕ─—为拱脚处拱轴线的水平倾角；由几何关系有j d d f h ϕcos 22-+=（4-22） 由以上各式可以看出，尽管只有 j ϕ 为未知数，其余均为已知，但仍不能直接算出m 。

所以，在具体计算m 值时可采用试算法确定。

具体做法如下：①先根据拱的跨径和矢高假设m ，再由《拱桥》附录表（Ⅲ）-20查得拱脚处的j ϕcos 值； ②将j ϕcos 值代入式（4-21）计算出j g 后，再与d g 一同代入式（4-11），即可求得m 值。

③再与假设的m 值比较，如两者相符，即假定的m 为真实值；如两者相差较大（差值大于半级，即相邻m 值的差值的一半），则以计算出的m 值作为假设值，重新计算，直到两者接近为止。

2) “五点重合法”如何确定空腹式悬链线拱的拱轴线和拱轴系数？答：五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5点（拱顶、拱脚和1/4点）与其三铰拱恒载压力线重合。

3) 为什么可以用悬链线作为空腹式拱的拱轴线形？其拱轴线与三铰拱的恒载压力线有何偏离情况（结合图说明）？答：由于悬链线的受力情况较好，又有完整的计算表格可供利用，故多采用悬链线作为拱轴线。

用五点重合法计算确定的空腹式无铰拱桥的拱轴线，仅保证了全拱有五点与三铰拱的恒载压力线（图4-44b ）。

计算表明，从拱顶到4l 点，一般压力线在拱轴线之上；而从4l 点到拱脚，压力线却大多在拱轴线之下。

弹性中心法求解超静定拱范坤杰（哈尔滨工业大学（威海）土木工程系，山东 威海 264200）摘 要：对弹性中心法进行了简述与介绍，并详细分析了其简化的原理以及一般运用计算的过程。

关键词：弹性中心法，超静定拱，力法，内力求算，简化过程拱结构在工程中的应用极为泛，桥梁工程方面，有闻名遐迩的赵州石拱桥；建筑工程方面，诸如比萨大教堂，圣彼得大教堂等著名建筑也都在不同程度上采用了拱结构。

时至今日，双曲拱桥，落地式拱顶结构，带拉杆式的拱式屋架等现代拱式结构已被大量运用于土木工程之中。

超静定拱绝大部分是无铰拱或是两铰拱。

两铰拱是一次超静定结构，求解时通常只需解除一水平约束，用力法一般步骤进行计算即可，只是由于拱是曲杆，在计算位移11δ，1P ∆时不能使用图乘法，必须进行积分，从而增大了计算量。

而无铰拱却是三次超静定结构，若采用普通的力法解题方案，解除三个约束，列出三元一次方程组进行求解，则计算量过于繁杂，正确性很难保证。

为此，力学专家们对无铰拱的计算进行了两部分简化，一是利用结构对称性的简化，二是利用刚臂的简化，最终形成了一种相对更简便清晰的方法——弹性中心法。

弹性中心法是力法的一种简化计算方法，它适用于对称无铰拱，对称封闭刚架和封闭环形结构的计算。

其基本思路：对以上适用的三种结构，首先选用对称的基本结构，同时将荷载分解成对称和反对称两组，并建立相应的求解多余未知力的力法联立方程；通过增加刚臂并调整刚臂的长度，使力法方程中的副系数等于0，从而将求解联立方程的问题转化为求解若干个独立方程的问题。

1 简化过程1．1利用结构对称性无铰拱为对称结构，在拱顶将其截开，如图1所示，以拱顶处弯矩1X 、轴力2X 和剪力3X 为多余未知力。

由于1X 与2X 为对称未知力，3X 为反对称未知力，则31δ=13δ=0，23δ=32δ=0。

由此消掉4个位移量，实现了方程组（a ）到方程组（b ）的转换。

（a ）111122133121122223323113223333+++=0+++=0+++=0P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ∆∆∆（b ）111122121122223333++=0++=0+=0P P P X X X X X δδδδδ∆∆∆图1：1．2利用刚臂为使方程组进一步简化，考虑消掉12δ，21δ这两个位移量。

弹性支点法计算原理
弹性支点法是一种计算结构系统内力的方法。

其原理是基于结构系统在静力平衡状态下，内力和外力之间满足一定的相互关系。

在使用弹性支点法进行计算时，结构系统被看作是一个由多个支点连接的刚性体系。

每个支点可以分为弹性支点和刚性支点两种类型。

弹性支点是指在结构中加入一个虚拟的刚性杆件，该杆件的两侧增加弹性支座，可以通过调节弹性支座的刚度来模拟实际的结构体系中的支座的刚度。

弹性支点的作用是将结构中的力传递到该支点，并通过弹性变形传递到其他支点或边界。

弹性支点在实际中可以使用弹簧或橡胶垫等形式来模拟。

刚性支点是指结构系统中的实际支座，其刚度无限大，可以看作是完全刚性的，不发生任何变形。

刚性支点在计算中起到约束和固定结构的作用，使得结构的运动受到限制。

在具体的计算过程中，通过将结构系统分解为简单的小结构单元，并在每个支点上设置合适的弹性支点或刚性支点，可以通过平衡条件和变形条件来求解每个支点处的内力和外力。

通过逐个计算每个支点，最终可以得到整个结构系统的内力分布。

弹性支点法的优点是可以简化结构计算的复杂性，使得计算过程更加易懂和易于实施。

但需要注意选择合适的弹性支点和刚
性支点的位置和刚度，以及合理的结构系统的分割方式，以保证计算结果的准确性和可靠性。