第六章 代数系统__习题课

习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。

(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。

（2）否。

运算不封闭（3）否。

运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。

(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。

(2)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。

(3)封闭。

*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。

(4)不封闭。

3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。

（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。

0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。

4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。

(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。

(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。

解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。

(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。

•关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称
•y为x的逆元（Inverse）. 如果 x 的逆元存在， 就称 x 是可逆的（Invertible）.
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实例
集合 运算
Z,Q,R 普通加法+ 普通乘法
单位元
0 1
零元 无 0
Mn(R) P(B)
矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 对称差
• 对于x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr, 则 有 yl = yr= y, 且 y
• 是 x 的惟一的逆元.
• 证：由 yl◦x = e 和 x◦yr = e 得
•
yl = yl◦e = yl◦(x◦yr) = (yl◦x)◦yr = e◦yr =
yr
• 令yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元.
•(4) 在幂集P(S)上规定全集为S，则求绝对补运 算~是P(S)上的一元运算.
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二元与一元运算的表示
• 1．算符
• 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运 算，称为算符.
• 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z
•2．而表二示二元元运或算一元符运习算惯的方于法前: 解置析、公中式和置运或算后表 置，如： 公式+x表y，示 x+y，xy+ •例 对设一R为元实运数集算合，, 如x的下运定义算R结上的果二记元作运算x∗：.
• 假若 yS 也是 x 的逆元, 则
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可约性
定义：设*是集合X中的二元运算，且a X和 x, y X 。 如果对于每一个x和y都有：
(a x a y) (x a y a) (x y)

第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。

2。

判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。

3. 判断正误,并说明原因：实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。

4.填空题：代数系统的定义是:( ）。

5。

填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性,则它的运算表的特征是( ）。

6.填空题：＊是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。

7。

简答题：*是X上的二元运算，＊具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：＊是X上的二元运算，＊具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4=｛0,1，2,3},N4上定义运算+4：任何x,y∈N4 , x+4 y=（x+y)(mod 4) 。

例如2+43=(2+3)（mod 4）=5（mod 4)＝1请列出<N4, +4〉的运算表.然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么.11。

判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元.12. 填空题：E是全集,E=｛a,b}，E的幂集P（E）上的交运算⋂的幺元是( ）。

零元是（）.有逆元的元素是( ），它们的逆元分别是（)。

13. 填空题：E是全集,E={a，b}，E的幂集P（E)上的并运算⋃的幺元是（）。

零元是( ）。

有逆元的元素是（)，它们的逆元分别是（）.14. 填空题：E是全集，E=｛a,b}，E的幂集P（E)上的对称差运算⊕的幺元是（）。

零元是( )。

有逆元的元素是( ）.它们的逆元分别是（)。

15。

填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。

16。

填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。

17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有( ），其零元是( ）。

代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。

2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。

2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。