第六章代数系统1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“¸”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是：（）。
5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。
6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。
例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1请列出<N4, +4 >的运算表。
然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。
11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说，0是幺元。
12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算Ç的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算È的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算Å的幺元是（）。
零元是（）。
有逆元的元素是（）。
它们的逆元分别是（）。
15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。
18. 设«是X上的二元运算，如果有左幺元e L∈X，也有右幺元e R∈X，则e L= e R =e ，且幺元e 是唯一的。
19. 设«是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。
20. 设«是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。
且x的逆元是唯一的。
21. 设«是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a«x=a«y 则x=y。
22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。
判N”。
23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，x*y=xy－2x－2y＋61．验证运算* 是否满足交换律和结合律。
2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。
3．对任何实数x ，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。
24.设«是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果"x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。
25. .给定下面4个运算表如下所示。
分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。
如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。
26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？27. 什么叫做同态核？28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。
★ a b c a b ca b c b c a c a b a)★ a b c a b ca b c b a c c c cb)★ a b c a b ca b c a b c a b cc)★ a b c a b ca b c b b c c c bd)29. 给出集合A＝{0,1,2,3}和A上的二元运算“*”。
集合B＝{S,R,A,L}和B上的二元运算“o”。
它们的运算表如下面所示。
验证<A, *>与<B, o>同构。
30令S={<X,*>|X是集合，*是X上的二元运算}，即S是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。
@是S中的代数系统间的同构关系。
求证，@是S中的等价关系。
31. 令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法，问<A,+>和<B,*>是否同构？为什么？32 已知代数系统<S, * >和<P, · >，其中S={a,b,c} P={1,2,3} 二元运算表如下所示：a b ca b c a b cb b cc b c· 1 2 31231 2 11 2 21 2 3*0 1 2 30 0 1 2 31 123 02 23 0 13 3 0 1 2*S R A LS S R A LR R A L SA A L S RL L S R A试证明它们同构。
33给定两个代数系统，<R+ ,×>：R+是正实数，×是R+上的乘法运算；<R, +>：R是实数集合，＋是R上的加法运算。
它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。
34. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可结合，则运算o也可结合。
35. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«可交换，则运算o也可交换。
36. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有幺元e«，则运算o也有幺元e o，且f(e« )= e o。
37. 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果运算«有零元θ«，则运算o也有零元θo ，且f(θ«)=θo 。
38 已知代数系统<X,«>与<Y, o>同构，即X @ Y。
并设f：X®Y是同构映射, 请证明如果<X,«>中每个x∈X可逆，即x-1∈X, 则<Y, o>中每个y∈Y也可逆，即y-1∈Y。
且如果y=f(x) ，则y-1= (f(x))-1 =f(x-1)。
(x映像的逆元=x逆元的映像) 39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.40. 考察代数系统<I,+>,定义I上如下关系R是同余关系？a).<x,y>∈R当且仅当(x<0∧y<0)∨(x≥0∧y≥0)b). <x,y>∈R当且仅当|x-y|<10c). <x,y>∈R当且仅当(x=y=0)∨(x¹0∧y¹0)d). <x,y>∈R当且仅当x≥y41. 填空：«是A上二元运算，代数<A,«>是半群，当且仅当（）。
42. 填空：«是A上二元运算，代数<A,«>是独异点，当且仅当（）。
43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。
44. 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。
45 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。
46. 给定代数系统<R,«> ，«是实数R上二元运算，定义为："a,b∈R,a « b=a+b+a·b求证<R,«> 是独异点。
47. <A,«>是个半群，"a,b∈A，若a≠b则a«b≠b«a，试证：a) "a∈A，有a«a=ab) "a,b∈A，a«b«a=ac) "a,b,c∈A，a«b«c=a«c48. 设<S,*>是个半群，且左右消去律都成立，证明S是交换半群的充要条件是对任何a,b∈S，有(a*b)2=a2*b249. 设<S,«>是半群，如果S是有限集合，则必存在a∈S,使得a«a=a。
50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：任取<a,b>,<c,d>∈A×A <a,b>△<c,d>=<a´c,a´d+b> 其中：´是乘法。
+是加法。
求证<A×A,△>是独异点。
51..设<M,«>是交换独异点，A是M中所有幂等元构成的集合，证明<A,«>是<M,«>的子独异点。
52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。
＋是加法运算，×是乘法运算。
给定代数系统<I,+>,<R,+>, <I,×>,<N,×>,<R,×>,<P(E),Ç >,< P(E), È>,<P(E), Å>。
请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。
又问哪些代数系统是群？并说明理由。
53. X=R－{0,1}, X上定义六个函数，如下所示："x∈X,f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-xf4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6}，o 是F上的复合运算，试证明<F, o >是群。
54. 令R是实数，F={f| f(x)=ax+b，a,b,x∈R,a¹o }，o 是F上的函数左复合运算，试证明<F, o >是群。
