组合数学：1-2 排列组合的生成

排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现知识储备排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。

只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。

组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号 C(n,m) 表示。

计算公式：注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。

只要组合里面数不同即可组合算法本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。

value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。

?首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。

?然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。

一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。

组合的个数为：例如求5中选3的组合：1 1 1 0 0 --1,2,3?1 1 0 1 0 --1,2,4?1 0 1 1 0 --1,3,4?0 1 1 1 0 --2,3,4?1 1 0 0 1 --1,2,5?1 0 1 0 1 --1,3,5?0 1 1 0 1 --2,3,5?1 0 0 1 1 --1,4,5?0 1 0 1 1 --2,4,5?0 0 1 1 1 --3,4,5代码如下：#include iostreamusing namespace std;void Show(int ,int index[],int value[]);bool judge(int,int ,int index[]);void change(int ,int ,int index[],int value[]);int main()int i,n,m;cout"请输入元素个数：";cout"请输入选多少元素:";int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假for(i=0;in;i++)value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以change(n,m,index,value);return 0;void Show(int n,int index[],int value[])for(i=0;in;i++)if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";coutendl;bool judge(int n,int m,int index[])for(i=n-1;i=n-m;i--)if(!index[i]) ?return false;return true;void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数int i,j,num=0;for(i=0;im;i++)index[i]=1;Show(n,index,value); --第一个组合while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01if(index[i]==1index[i+1]==0)index[i]=0;index[i+1]=1;--将01组合左边的1全部放在数组最左边int count=0;for(j=0;ji;j++)if(index[j])index[j]=0;index[count++]=1;Show(n,index,value); ?--输出cout"共有"num"种"endl;quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；--- param name="n"Int32类型的正整数-paramx = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。

123排列组合公式算法
排列和组合是组合数学中常用的概念，用于计算从给定集合中选择元素的不同方式。

下面是排列和组合的公式和算法示例：
1.排列公式：
-公式：P(n, r) = n! / (n - r)!
-算法示例（Python）：
import math
def permutation(n, r):
return math.factorial(n) / math.factorial(n - r)
2.组合公式：
-公式：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
-算法示例（Python）：
import math
def combination(n, r):
return math.factorial(n) / (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))
在上述算法示例中，使用了 Python 的 math 模块中的 factorial 函数来计算阶乘。

可以根据需要将这些算法适应到其他编程语言中。

需要注意的是，排列和组合的计算可能会面临组合爆炸的问题，当 n 和 r 很大时，计算阶乘可能会导致计算复杂度增加。

在实际应用中，可能需要考虑使用递推算法、动态规划等方法来优化计算过程。

另外，还可以使用递归等方法实现排列和组合的计算，但需要注意处理边界条件和重复计算的问题。

正整数n可以被分为不同的正整数序列1和2的组合方式。

这是一个经典问题，它可以用来讲解递归函数的应用，也可以用来解释动态规划的思想。

现在，我们就来探讨一下如何把正整数n分为1和2的组合方式。

一、递归函数的应用1.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。

1.2 解决思路我们可以定义一个递归函数f(n)，它表示把正整数n分解为1和2的组合方式的个数。

那么，当n大于2时，可以根据最后一个数是1还是2来递归求解。

如果最后一个数是1，则剩下的n-1的组合方式就是f(n-1)；如果最后一个数是2，则剩下的n-2的组合方式就是f(n-2)。

可以得出递归关系式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

1.3 代码实现根据上述递归关系式，可以很容易地写出代码实现：```pythondef f(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return f(n-1) + f(n-2)```1.4 时间复杂度分析通过递归函数的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。

但是，递归函数的时间复杂度较高，为O(2^n)，因此在n较大时，算法的效率会变得很低。

二、动态规划的思想2.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。

2.2 解决思路我们可以利用动态规划的思想来解决这个问题。

定义一个数组dp，其中dp[i]表示把正整数i分解为1和2的组合方式的个数。

那么，对于任意的i大于2，dp[i]的值可以根据dp[i-1]和dp[i-2]来计算得出。

2.3 代码实现根据上述定义，可以写出动态规划的代码实现：```pythondef partition(n):dp = [0] * (n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```2.4 时间复杂度分析通过动态规划的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。

排列组合公式的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合公式的推导过程，这可有意思啦！你想想看啊，排列组合就像是给一堆东西排排队、分分堆儿。

比如说，有几个不同的数字，咱要看看能有多少种不同的排列方式。

咱先从简单的开始。

就拿三个数字 1、2、3 来说吧，那它们能排出多少种不同的顺序呢？123、132、213、231、312、321，六种对吧！这就是排列。

那怎么来推导这个公式呢？咱可以这么想，第一个位置可以有三种选择，选了一个之后，第二个位置就只剩下两种选择了，到了第三个位置就只有一种选择啦。

这不就像走楼梯，第一步有好多路可以走，第二步就少了一些，第三步就没得选啦。

那这样一来，总共的排列数不就是 3×2×1 嘛。

再复杂一点呢？假如有 n 个不同的元素，那第一个位置就有 n 种选择，第二个位置就有 n-1 种选择，第三个位置就有 n-2 种选择，一直这么下去，到最后一个位置就只有 1 种选择啦。

这不就推导出排列公式A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×……×1 嘛。

那组合呢，又有点不一样啦。

还是那几个数字 1、2、3，咱现在不是要排顺序，而是要选几个出来组成一组。

比如选两个数字组成一组，那有 12、13、23 这几种组合。

组合公式的推导就像是在一堆排列里，把重复的给去掉。

比如说三个数字选两个的排列有 12、21、13、31、23、32 六种，但组合就只有三种，因为 12 和 21 其实是一样的组合呀。

咱可以这么想，先算出排列的数量，然后再除以那些重复的部分。

那组合公式 C(n,m)=A(n,m)/m! 不就出来啦。

你说这是不是挺神奇的？就这么几个简单的道理，就能推导出这么有用的公式。

以后咱遇到什么选东西、排顺序的事儿，都能用得上。

你再想想，生活里不也到处都是排列组合嘛。

比如你今天出门穿哪件衣服，那也是一种排列组合呀。

总之呢，排列组合公式的推导过程就像是一个小小的魔术，把看似复杂的问题变得有条有理。

排列组合的计算方法及过程排列组合是数学中常用的计算方法，用于确定从一组元素中选择若干个元素的方式。

下面是排列组合的计算方法及过程：1. 排列 (Permutation)：排列是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。

对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，排列数记为P(n, r)或nPr，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

2. 组合 (Combination)：组合是从一组元素中选取若干个元素进行无序组合的方式。

对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，组合数记为C(n, r)或nCr，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)下面通过一个具体的例子来说明排列组合的计算过程：例：从A、B、C、D四个元素中选取3个元素进行排列和组合。

1. 排列：a. 计算排列数：P(4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 = 24b. 列出所有排列方式：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC,BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC,CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB,DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB2. 组合：a. 计算组合数：C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4b. 列出所有组合方式：ABC, ABD, ACD, BCD通过以上例子，可以看到排列和组合的计算方法和过程。

在实际应用中，排列组合常用于统计学、概率论、组合优化等领域，能够帮助解决很多问题。

12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。

先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。

再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。

就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。

我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。

当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。

这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。

我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。

”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。

然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。

那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。

经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。

咱们继续说排列组合公式。

还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。

还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。

在实际生活中，排列组合的应用可多啦。

比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。

再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。

排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。

咱先来说说排列组合公式。

比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。

那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。

再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。

我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。

我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。

这时候，我就在心里默默算了起来。

按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。

但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。

咱们来具体讲讲排列组合算法。

在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。

比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。

还有一种常见的算法是利用递推关系。

比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。

排列组合的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合的推导过程哈！你说这排列组合，就像是个神奇的魔法盒子，打开它就能发现好多奇妙的东西。

咱先想想，啥是排列呀？比如说，从三个不同的数字 1、2、3 中选两个数字组成两位数，那能有几种情况呢？这就是排列问题啦！那咱就一个一个来试试，12、13、21、23、31、32，嘿，六种呢！这就是简单的排列。

那组合又是啥呢？还是这三个数字 1、2、3，咱这次不考虑顺序，就看能选出几个不同的组合，那就是 1 和 2、1 和 3、2 和 3，就三种。

这组合就像是把东西随意地抓在一起，不管先后顺序。

那这排列组合的推导过程是咋来的呢？咱就拿选东西来类比吧。

比如说有 n 个不同的东西，要从中选 m 个。

那第一步，第一个位置有 n 种选法吧；第二步，第二个位置就只有 n1 种选法了，因为第一个位置已经选走一个了呀；第三步，第三个位置就 n2 种选法……这样一直到第 m 个位置。

那总的选法不就是把这些选法都乘起来嘛，这就是排列的推导过程啦！是不是挺有意思的？再想想，要是有重复的情况咋办呢？比如说从 1、1、2 这三个数字中选两个数字组成两位数，那可就不能简单地用刚才的方法啦。

这时候就得考虑重复的情况，把重复的情况去掉，才能得到正确的结果。

哎呀，这排列组合就像个神秘的迷宫，得慢慢探索才能找到出路。

有时候觉得挺难的，可一旦弄明白了，就会特别有成就感！你想想，生活中好多地方都用到排列组合呢。

比如说买彩票，那可不就是个排列组合的问题嘛！还有分东西、安排座位啥的，都和这有关系。

总之呢，排列组合这玩意儿，看似复杂，其实只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，就一定能搞懂它。

别害怕困难，就大胆地去探索吧！相信你也能在这排列组合的世界里发现属于自己的精彩！这就是我对排列组合推导过程的理解啦，你觉得咋样呢？。

数学中的排列组合在数学中，排列组合是一种常见的数学概念，它涉及到对对象进行选择、排列和组合的方法。

排列组合在许多领域中都有重要的应用，包括概率论、统计学、组合数学等。

本文将介绍排列组合的基本概念和常见应用。

一、排列的概念和计算方法排列是从给定对象中选择一部分进行排列组成新的序列。

在排列中，对象的顺序是重要的，即不同的顺序会得到不同的结果。

例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行排列，可能得到的结果有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共6种。

计算排列的数量可以使用阶乘的方法。

假设有n个对象，从中选取r个进行排列，排列的数量可以表示为P(n,r)。

计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。

使用这个公式，可以很方便地计算出排列的数量。

二、组合的概念和计算方法组合是从给定对象中选择一部分进行组合，顺序不重要。

与排列不同，组合中不考虑对象的顺序，即相同的对象组合在一起被视为同一种情况。

例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行组合，可能得到的结果有{1,2}、{1,3}、{2,3}共3种。

计算组合的数量可以使用组合数的方法。

假设有n个对象，从中选取r个进行组合，组合的数量可以表示为C(n,r)。

计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。

使用这个公式，可以很方便地计算出组合的数量。

三、排列组合的应用排列组合在概率论、统计学、组合数学等领域有广泛的应用。

下面介绍一些常见的应用场景。

1. 概率计算：在概率计算中，排列组合用于计算事件发生的可能性。

例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，计算得到一个指定的牌型的概率，就可以使用排列组合的方法。

2. 组合优化：在组合优化问题中，排列组合用于寻找最佳的组合方式。

例如，在物流配送问题中，通过计算不同城市之间的配送路线的排列组合，可以找到最短路径或最优路径。

排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。

N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。

即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。

计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。

即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )种种种种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

排列组合公式排列组合计算公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况，比如抽奖的中奖概率、体育比赛的对阵安排等等。

这时候，排列组合公式和计算公式就派上用场了。

首先，咱们来聊聊什么是排列。

排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。

比如说，从数字 1、2、3中选取两个数字进行排列，那么可能的情况有 12、21、13、31、23、32 这六种。

排列的计算公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。

在这个公式中，n 表示总元素的数量，m 表示选取的元素数量。

举个例子，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列的数量就是 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种。

接下来，咱们再说说组合。

组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素，不考虑它们的顺序。

比如说，从数字 1、2、3 中选取两个数字的组合，就只有 12、13、23 这三种情况。

组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！同样，n 表示总元素的数量，m 表示选取的元素数量。

比如说，从 6 个不同的元素中选取 4 个元素的组合数量，就是 C(6, 4) ＝ 6! ／（4! ×（6 4)！）＝ 15 种。

为了更好地理解排列组合的概念和公式，咱们来做几道实际的题目。

假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。

如果是排列，那么这 3 名学生的出场顺序是有讲究的，可能的排列数就是 A(10, 3) ＝ 10! ／（10 3)！＝ 720 种。

但如果只是组合，也就是不考虑这 3 名学生的出场顺序，那么组合数就是 C(10, 3) ＝ 10! ／ 3! ×（10 3)！＝ 120 种。

第四章生成排列和组合4.1 生成排列算法一: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)基本思想是递归地对集合{1,2,…,n-1}的(n-1)!个排列的每一个排列, 通过把n插入到首、尾和任两个数的中间共n个位置，产生集合{1,2,…,n}的n个排列，从而产生n (n-1)!=n!个集合{1,2,…,n}的排列。

算例：排列n=1: 1n=2: 1 22 1n=3: 1 2 31 3 23 1 23 2 12 3 12 1 3n=4:1 2 3 41 2 4 31 42 34 1 2 34 1 3 21 4 3 21 3 4 21 32 43 1 2 43 14 23 4 1 24 3 1 24 3 2 13 4 2 13 24 13 2 1 42 3 1 42 3 4 12 43 14 2 3 14 2 1 32 4 1 32 1 4 32 13 4n=5:、、、算法结束，生成全部排列。

算法二: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)定义:对任一给定整数k, 其上加一个箭头表示移动方向,k 或k . 对于集合{1,2,…,n}的任一个排列,其中每一个整数都有一个箭头指出其移动方向, 若整数k 的箭头指向与其相邻但比它小的整数, 称k 是活动的.算法:从1 2 3 …n 开始, 当不存在活动的整数时,算法结束.(1) 求出最大的活动整数m;(2) 交换m 和它箭头所指的相邻数;(3) 改变所有满足p>m 的整数p 的方向.算例: (n=4)4.2 排列中的逆序定义：令i 1 i 2 …i n 是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果 0≤ k < L ≤n, 且i k >i L , 称数对（i k ，i L ）是排列的一个逆序。

例：31524的逆序定义：令a j表示排列i1 i2…i n中数j的逆序数，称a1, a2,…, a n为排列i1 i2…i n的逆序列。

例：排列31524的逆序列逆序列的性质：(1) 0≤a1≤n-1, 0≤a2≤n-2, …, 0≤a n-1≤1, a n =0。