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排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现知识储备排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。
只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。
只要组合里面数不同即可组合算法本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。
value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。
?首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。
?然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。
组合的个数为：例如求5中选3的组合：1 1 1 0 0 --1,2,3?1 1 0 1 0 --1,2,4?1 0 1 1 0 --1,3,4?0 1 1 1 0 --2,3,4?1 1 0 0 1 --1,2,5?1 0 1 0 1 --1,3,5?0 1 1 0 1 --2,3,5?1 0 0 1 1 --1,4,5?0 1 0 1 1 --2,4,5?0 0 1 1 1 --3,4,5代码如下：#include iostreamusing namespace std;void Show(int ,int index[],int value[]);bool judge(int,int ,int index[]);void change(int ,int ,int index[],int value[]);int main()int i,n,m;cout"请输入元素个数：";cout"请输入选多少元素:";int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假for(i=0;in;i++)value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以change(n,m,index,value);return 0;void Show(int n,int index[],int value[])for(i=0;in;i++)if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";coutendl;bool judge(int n,int m,int index[])for(i=n-1;i=n-m;i--)if(!index[i]) ?return false;return true;void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数int i,j,num=0;for(i=0;im;i++)index[i]=1;Show(n,index,value); --第一个组合while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01if(index[i]==1index[i+1]==0)index[i]=0;index[i+1]=1;--将01组合左边的1全部放在数组最左边int count=0;for(j=0;ji;j++)if(index[j])index[j]=0;index[count++]=1;Show(n,index,value); ?--输出cout"共有"num"种"endl;quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；--- param name="n"Int32类型的正整数-paramx = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。
123排列组合公式算法
排列和组合是组合数学中常用的概念，用于计算从给定集合中选择元素的不同方式。
下面是排列和组合的公式和算法示例：
1.排列公式：
-公式：P(n, r) = n! / (n - r)!
-算法示例（Python）：
import math
def permutation(n, r):
return math.factorial(n) / math.factorial(n - r)
2.组合公式：
-公式：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
-算法示例（Python）：
import math
def combination(n, r):
return math.factorial(n) / (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))
在上述算法示例中，使用了 Python 的 math 模块中的 factorial 函数来计算阶乘。
可以根据需要将这些算法适应到其他编程语言中。
需要注意的是，排列和组合的计算可能会面临组合爆炸的问题，当 n 和 r 很大时，计算阶乘可能会导致计算复杂度增加。
在实际应用中，可能需要考虑使用递推算法、动态规划等方法来优化计算过程。
另外，还可以使用递归等方法实现排列和组合的计算，但需要注意处理边界条件和重复计算的问题。
正整数n可以被分为不同的正整数序列1和2的组合方式。
这是一个经典问题，它可以用来讲解递归函数的应用，也可以用来解释动态规划的思想。
现在，我们就来探讨一下如何把正整数n分为1和2的组合方式。
一、递归函数的应用1.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
1.2 解决思路我们可以定义一个递归函数f(n)，它表示把正整数n分解为1和2的组合方式的个数。
那么，当n大于2时，可以根据最后一个数是1还是2来递归求解。
如果最后一个数是1，则剩下的n-1的组合方式就是f(n-1)；如果最后一个数是2，则剩下的n-2的组合方式就是f(n-2)。
可以得出递归关系式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
1.3 代码实现根据上述递归关系式，可以很容易地写出代码实现：```pythondef f(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return f(n-1) + f(n-2)```1.4 时间复杂度分析通过递归函数的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
但是，递归函数的时间复杂度较高，为O(2^n)，因此在n较大时，算法的效率会变得很低。
二、动态规划的思想2.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
2.2 解决思路我们可以利用动态规划的思想来解决这个问题。
定义一个数组dp，其中dp[i]表示把正整数i分解为1和2的组合方式的个数。
那么，对于任意的i大于2，dp[i]的值可以根据dp[i-1]和dp[i-2]来计算得出。
2.3 代码实现根据上述定义，可以写出动态规划的代码实现：```pythondef partition(n):dp = [0] * (n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```2.4 时间复杂度分析通过动态规划的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
排列组合公式的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合公式的推导过程，这可有意思啦！你想想看啊，排列组合就像是给一堆东西排排队、分分堆儿。
比如说，有几个不同的数字，咱要看看能有多少种不同的排列方式。
咱先从简单的开始。
就拿三个数字 1、2、3 来说吧，那它们能排出多少种不同的顺序呢？123、132、213、231、312、321，六种对吧！这就是排列。
那怎么来推导这个公式呢？咱可以这么想，第一个位置可以有三种选择，选了一个之后，第二个位置就只剩下两种选择了，到了第三个位置就只有一种选择啦。
这不就像走楼梯，第一步有好多路可以走，第二步就少了一些，第三步就没得选啦。
那这样一来，总共的排列数不就是 3×2×1 嘛。
再复杂一点呢？假如有 n 个不同的元素，那第一个位置就有 n 种选择，第二个位置就有 n-1 种选择，第三个位置就有 n-2 种选择，一直这么下去，到最后一个位置就只有 1 种选择啦。
这不就推导出排列公式A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×……×1 嘛。
那组合呢，又有点不一样啦。
还是那几个数字 1、2、3，咱现在不是要排顺序，而是要选几个出来组成一组。
比如选两个数字组成一组，那有 12、13、23 这几种组合。
组合公式的推导就像是在一堆排列里，把重复的给去掉。
比如说三个数字选两个的排列有 12、21、13、31、23、32 六种，但组合就只有三种，因为 12 和 21 其实是一样的组合呀。
咱可以这么想，先算出排列的数量，然后再除以那些重复的部分。
那组合公式 C(n,m)=A(n,m)/m! 不就出来啦。
你说这是不是挺神奇的？就这么几个简单的道理，就能推导出这么有用的公式。
以后咱遇到什么选东西、排顺序的事儿，都能用得上。
你再想想，生活里不也到处都是排列组合嘛。
比如你今天出门穿哪件衣服，那也是一种排列组合呀。
总之呢，排列组合公式的推导过程就像是一个小小的魔术，把看似复杂的问题变得有条有理。
排列组合的计算方法及过程排列组合是数学中常用的计算方法，用于确定从一组元素中选择若干个元素的方式。
下面是排列组合的计算方法及过程：1. 排列 (Permutation)：排列是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，排列数记为P(n, r)或nPr，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
2. 组合 (Combination)：组合是从一组元素中选取若干个元素进行无序组合的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，组合数记为C(n, r)或nCr，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)下面通过一个具体的例子来说明排列组合的计算过程：例：从A、B、C、D四个元素中选取3个元素进行排列和组合。
1. 排列：a. 计算排列数：P(4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 = 24b. 列出所有排列方式：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC,BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC,CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB,DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB2. 组合：a. 计算组合数：C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4b. 列出所有组合方式：ABC, ABD, ACD, BCD通过以上例子，可以看到排列和组合的计算方法和过程。
在实际应用中，排列组合常用于统计学、概率论、组合优化等领域，能够帮助解决很多问题。
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。
咱先来说说排列组合公式。
比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。
再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。
我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。
这时候，我就在心里默默算了起来。
按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。
但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。
咱们来具体讲讲排列组合算法。
在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。
比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。
还有一种常见的算法是利用递推关系。
比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。
