浙江省杭州地区七校2014届高三上学期期中联考数学理试题 Word版含答案

浙江省2014届理科数学复习试题选编24：不等式的性质与均值不等式一、选择题1 ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）若实数a ,b ,c 满足log 2log 2log 2a b c <<,则下列关系中不可能成立．．．．．的是 （ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A2 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）设实数y x ，满足10<<xy 且xy y x +<+<10,那么y x ，的取值范围是（ ）A ．1>x 且1>yB ．10<<x 且1<yC ．10<<x 且10<<yD ．1>x 且10<<y【答案】C 解:00,001>012,10xy x x y y x x y xy x y y >>⎧⎧⇒⎨⎨+>>⎩⎩>⎧+<+<⎨>>⎩又且地位等同，故必有3 ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）下列命题中的真命题是 （ ）A ．若,a b c d >>,则ac bd >B ．若||a b >则22a b >C ．若a b >则22a b >D ．若||a b >则22a b >【答案】D4 ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】D5 ．（浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学（理）试题）已知1,0b at >>>, 若x a a t =+,则x b 与b t +的大小关系为（ ）A ．x b >b t +B ．x b =b t +C ．x b <b t +D ．不能确定【答案】A6 ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知a ,b 为实数,且0≠⋅b a ,则下列命题错误．．的是 （ ）A ．若0>a ,0>b ,则ab ba ≥+2B ．若ab ba ≥+2,则0>a ,0>b C ．若b a ≠,则ab ba >+2D ．若ab ba >+2,则b a ≠ 【答案】C7 ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）设a .,,,(0,)b R a b x y +∈≠∈+∞,则222()a b a b x y x y++≥+,当且仅当a b x y =时,上式取等号,利用以上结论,可以得到函数291()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值为 （ ）A ．169B ．121C ．25D ．16【答案】C8 ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知,1,=>ab b a 则ba b a -+22的最小值是（ ）A ．22B ．2C ．2D ．1【答案】A9 ．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）已知0<<x 的是（ ）A xsin 1<则.x x sin 1>B xsin 1<,则x x sin 1<C ．若x <x sin 1> D 若x <x sin 1<【答案】D二、填空题10．（2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）若正数,x y 满足230x y +-=,则2x yxy+的最小值为________. 【答案】3解:由题意:2230133x yx y +-=⇒+=, 221212252523333333x y x y yx xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅+=++≥⋅+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）已知函数|12|)(2-+=x x x f ,若1-<<b a ,且)()(b f a f =,则b a ab ++的取值范围是____________ .【答案】(1,1)-12．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）若不等式ac c b b a -+-+-λ11>0对于满足条件a >b >c 的实数a 、b 、c 恒成立,则实数λ的 取值范围是_______. 【答案】(-∞,4)13．（浙江省金丽衢十二校2013届高三第二次联合考试理科数学试卷）已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为______【答案】1-14．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）若正数a b ，满足12=+b a ,则ab b a ++224的最大值为__________.【答案】161715．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）已知函数32)(2--=x x x f ,若1<<b a ,且)()(b f a f =,则b a u +=2的取值范围为____.【答案】)243,1023[--16．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知,1,=>ab b a 则______.17．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知0>M ,且对于任意),(,,+∞∈M c b a ,若c b a ,,是直角三角形的三条边长,且c b a ln ,ln ,ln 也能成为三角形的三条边长,那么M 的最小值为______.18．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word 版） ）定义区间(,)[,)(,][,]c d c d c d c d 、、、的长度均为().d c d c ->已知实数0,a > 则满足不等式111x a x+≥-的x 构成的区间长度之和为______________. 【答案】219．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.20．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）设t R ∈,若*n N ∈时,不等式(20)ln()0ntn t-≥恒成立,则t 的取值范围是______.【答案】答案[4,5] 解法一:等价于2020101tn tn n nt t ≥≤⎧⎧⎪⎪⎨⎨≥<≤⎪⎪⎩⎩或,所以2020(1)(2)t t n n t n t n ⎧⎧≥≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪≤≥⎩⎩ 或.对于(1)即20n n ≤,即 5.n ≥因为对于n 恒成立,所以max min 20()4 5.t t n n≥=≤=且所以[4,5]t ∈.同理由(2)也得[4,5]t ∈.综合得:[4,5]t ∈.解法二:原式有意义所以0t >,设()20,()ln()n f n tn g n t=-=,均为增函数.欲使*n N ∈时,(),()f n g n 同号,只需两函数图像和x 轴交点间的距离不超过1,即20||1t t-≤解得[4,5]t ∈,检验4,5t =两个端点符合题意,所以[4,5]t ∈.。

数学学科试题(理)考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定的区域内填写班级、准考证号、姓名和座位号，并进行正确的填涂.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的1.给出下列命题：⑴若b a //，c b //，则c a //；⑵有向线段就是向量，向量就是有向线段；⑶零向量的方向是任意的，零向量与任何一向量都共线；⑷2a =.其中正确的命题个数A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知函数123,0()log ,0+⎧≤⎪=⎨>⎪⎩x x f x x x ，若0()3,>f x 则0x 的取值范围是A.08>xB.0008<>x x 或C.008<<xD. 00008<<<x x 或3.下列命题正确的是A.α、β都是第二象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>B.α、β都是第三象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ>C.α、β都是第四象限角，若sin sin αβ>，则tan tan αβ>D.α、β都是第一象限角，若cos cos αβ>，则sin sin αβ> 4.已知正项等差数列n a 的前n 项和为n S ，且1545S ，M 是5a ，11a 的等比中项，则M 的最大值为A.3B.6C.9D.365.△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于A.32B.43C.1D.236.若函数)(log )(b x x f a +=的图象如右图1，其中b a ,为常数．则函数b a x g x+=)(的大致图象是A ．B ．C ．D ． 7.在∆ABC ，已知1=•=•CB AB AC AB ，则|AB |的值为A .1 B.2 C.3 D. 28.对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈)，选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A.1和2B.1和3C.2和4D.4和6 9. 已知1,0b a t >>>, 若x a a t =+，则xb 与b t +的大小关系为A.xb >b t + B.xb =b t + C.xb <b t + D.不能确定10.如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A.11260 B.1840 C.1504 D.1360二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.请将答案填写在答题卷中的横线上 11.若“2280xx ”是“x m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为 ▲ .12.已知函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在区间为(,1),()k k k Z +∈，则k = ▲ . 13.已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3121n n a n b n -=+，则88S T = ▲ . 1-11-1y ox1-11-1yox1-11-1yox1-11-1yox图11-11-1yo x14.已知3(0,),cos()245ππαα∈+=，则cos cos2αα＝ ▲ . 15.已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如图3所示．则函数()f x 的解析式为 ▲ .16.在四边形ABCD 中，)1,1(==DC AB ，BD BDBC BCBA BA3=+，则四边形ABCD 的面积为 ▲ . 17.若函数f (x )=||xx a e e +在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上增函数,则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.（本题12分）设函数)21)(32lg()(--=x x x f 的定义域为集合A ，函数2234)(a ax x x g -+-=（0>a ）的定义域为集合B . （1）当1=a 时，求集合B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围.19.(本题14分) 已知ABC ∆中，(3sin ,sin ),(sin ,cos )AB x x AC x x =-= ⑴设()f x AB AC =⋅，若()0f A =，求角A 的值；⑵若对任意的实数t ，恒有||||AB t AC BC -≥，求ABC ∆面积的最大值.20.(本题14分)设函数1(12)()1(23)x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩,()()g x f x ax =-,[]1,3x ∈, 其中0a ≥.记函数g(x )的最大值与最小值的差为()h a ，求()h a 的表达式并求()h a 的最小值.图321.(本题16分)已知数列{}n a 中，11a ，且点),(1+n n a a P (*∈N n )在直线01=+-y x 上.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵若函数N n a n a n a n a n n f n∈++++++++=(1111)(321 且)2≥n ，求函数()f n 的最小值； ⑶设1nnb a ，n S 表示数列n b 的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式()g n , 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出()g n 的解析式,并加以证明；若不存在,说明理由.22. 已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数. ⑴当1-=a 时，求)(x f 的最大值；⑵若)(x f 在区间（0，e ］上的最大值为3-，求a 的值； ⑶当1-=a 时，试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解.高三理科数学期中联考答案CACAB DBAAB 11.2- 12.1k = 13.5414.4815.2sin()44y x ππ=+11,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦18. 解：（1）由函数)21)(32lg()(--=x x x f 有意义，得：0)21)(32(>--x x ，即21<x 或23>x ，所以),23()21,(+∞-∞= A ， 3分 当1=a 时，函数34)(2-+-=x x x g 有意义，得：0342≥-+-x x ，即0342≤+-x x ，31≤≤∴x ，{}31≤≤=∴x x B ，⎥⎦⎤ ⎝⎛=∴3,23B A 6分（2）由函数2234)(a x x x g -+-=（0>a ）有意义得03422≥-+-a x x ，即0)3)((≤--a x a x ，0>a ，a x a 3≤≤∴，∴[]a a B 3,=， 8分 若B B A = ，则A B ⊆， 10分∴⎪⎩⎪⎨⎧<>2130a a 或23>a ，得610<<a 或23>a ，即),23()61,0(+∞∈ a 12分19.解：2()3sin cos f x ABAC x x x =⋅=-+sin 22x=+sin(2)3x π=+-sin(2)32A π+=且⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+32,332ππππA 6A π=7分(2) ||||AB t AC BC -≥BC AC ∴⊥2||4sin 2,||1AB x AC =≤=2S ∴≤14分 20.解：1(12)()(1)1(23)axx g x a x x -≤≤⎧=⎨--<≤⎩当12x ≤≤时，max min ()1,()12g x a g x a =-=- 2分 当23x ≤≤时，若01a ≤≤，则[]()2,3g x 在上递增，max min ()23,()12g x a g x a =-=- 4分若1a >，则[]()2,3g x 在上递减，max min ()12,()23g x a g x a =-=- 6分max min 10()23,()122a g x a g x a ∴≤≤=-=-时，max min 11()1,()122a g x a g x a ≤≤=-=-时， max min 1()1,()23a g x a g x a ≥=-=-时， 9分11021()12211a a h a a a a a ⎧-≤≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩12分()h a 的最小值为1214分21．解：（1）把P 点代入直线01=+-y x 得：11=-+n n a a ， 1分∴{}n a 是公差为1的等差数列，又11=a ，因此可得：n a n = )(*∈N n 4分（2）由（1）)2(,21312111)(≥+++++++=n n n n n n f 6分 ∵0)22)(12(111221121)()1(>++=+-+++=-+n n n n n n f n f ∴{})(n f 是递增数列 8分因此1274131)2()(=+=≥f n f ，即127)(min =n f 10分 （3）∵n b n 1=，∴nS n 1312111 +++=. 11分有[]11)1(31)3(21)2(11)1(321-⋅--+⋅-+⋅-+⋅-=++++n n n n n n S S S S n1)1111()11312111(个-1n ++++--++++⋅=n n1)11312111(+--++++⋅=n n n)1()1111312111(-⋅=+--+++⋅=n S n nn n 15分当2≥n 时,)(n g 存在,且n n g =)(. 16分22. 解：(1) 当a =-1时，f （x ）=-x +ln x ，f ′(x )=－1+1x x=1分 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数max ()f x =f （1）=-1 4分 (2) ∵f ′(x )=a +1x ，x ∈(0,e ］，1x ∈1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭5分 ① 若a ≥1e-，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0,e ］上增函数∴max ()f x =f （e ）=ae +1≥0.不合题意 7分 ② 若a <1e -，则由f ′(x )>01a x ⇒+>0，即0<x <1a- 由f (x )<01a x ⇒+<0，即1a -<x ≤e . 从而f (x )在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上增函数,在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数∴max ()f x =f 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-1+ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 9分令-1+ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-3，则ln 1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-2∴1a -=2e -，即a=2e --. ∵2e --<1e-,∴a=2e -为所求 10分(3) 由（1）知当a =-1时max ()f x =f （1）=-1，∴|f （x ）|≥1 11分 又令g （x ）=ln 12x x +,g ′（x ）=21ln xx-,令g ′(x )=0，得x =e , 当0<x <e 时，g ′(x )>0,g (x ) 在 (0,e )单调递增；当x >e 时,g ′(x )<0，g (x ) 在(e ,+∞)单调递减∴max ()g x =g （e ）= 112e +<1, ∴g(x)<1 14分 ∴|f （x ）|>g (x ),即|f (x )|> ln 12x x +∴方程|f （x ）|=ln 12x x +没有实数解. 16分。

浙江省杭州学军中学2014届高三第一学期期中考试理科数学试题一、选择题（大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集=⋃≤=≤==)(},12|{},0lg |{,B A C x B x x A R U U x则集合（ ）A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞2．已知b a ,是实数，则“||a b a b -≥+”是“0<ab ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数()ϕ+=x y 2cos 3的图像向右平移3π后关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称，那么ϕ的最小值为( ) A ．65π B ．2πC ．3π D ． 6π4.正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A.245 B. 285C. 5D. 6 5.若1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(]1,1-内，()()g x f x mx m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦6.定义在R 上的函数对称关于为奇函数，且1)()(=x x f x f ,且(1,0)x ∈-时，1()2,5x f x =+则2(log 20)f =（ ）A ．B ．45C ．1-D ．45-7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,02524<>S S ,记n n a b = ， 则n b 最小时，n 的值为 （ ）A. 11B.12C.13D.148.若函数(1)4a xy ex -=+（x ∈R ）有大于零的极值点，则实数a 范围是 （ ）A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-9．将2个相同的a 和2个相同的b 共4个字母填在33⨯的方格内，每个小方格内至多填1 个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数为 （ ） A ．196 B ．197 C ．198 D ．19910．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=u u u r u u u r，P 为线段AB 上的点，且 ,||||CA CB CP x y xy CA CB =⋅+⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（大题共7小题，每小题4分，共28分） 11.已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是13．数列111{},{}1nn n n na a a a a a ++==-满足则的前10项的和等于 14. 若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ,71)6tan(=+πα求=+)32sin(πα15．已知1,0(),()0[0,5)(1)1,0x e x f x f x x f x x ⎧-≤=-=⎨-+>⎩则方程在区间上所有实根和为 16.设*{1,2,3}()n X n n N =∈L ，对n X 的任意非空子集A ，定义()f A 为A 中的最大元素，当A 取遍n X 的所有非空子集时，对应的()f A 的和为n S ，则=5S17.对任意实数0x >，0y >．若不等式(2)x a x y ≤+恒成立，则实数a 的最小值为三、解答题（大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）已知向量 = (1,2) ，= (cos α,sin α)，设 =t +（为实数）.（1-的最大值（2）若a ⊥b ，问：是否存在实数，使得向量 a –b 和向量m 的夹角为4π，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.19．（本题满分14分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5sin 13B =，且,,a b c 成等比数列。

2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣93．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．86．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．14．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，则（∁R M）∩N=（）A．{x|0≤x≤3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【解答】解：∵全集为R，M=（﹣∞，0）∪[3，+∞），N={0，1，2，3}，∴∁R M=[0，3），则（∁R M）∩N={0，1，2}，故选：C．2．（5分）等比数列{a n}中，若，则a2a8=（）A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9【解答】解：由等比数列的性质得，，解得a5=，所以a2a8==3，故选：A．3．（5分）下列说法错误的是（）A．若命题“p∧q”为真命题，则“p∨q”为真命题B．若命题“￢p∨q”为假命题，则“p∧￢q”为真命题C．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为真命题D．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题【解答】解：A．正确，若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，∴“p∨q”为真命题；B．正确，若￢p∨q为假命题，则￢p，q都是假命题，∴p是真命题，￢q是真命题，∴p∧￢q为真命题；C．正确，“若a＞b，则ac2＞bc2”的否命题为，“若a≤b，则ac2≤bc2”；∵c2≥0，∴由a≤b能得到ac2≤bc2；D．错误，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为“若方程x2+x﹣m=0有实数根，则m＞0”，方程x2+x﹣m=0有实数根只要△=1+4m≥0，即m，所以不一定得到m＞0．所以错误的是D．故选：D．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）△ABC中，b=7，c=3，B=60°，则a=（）A．5 B．6 C．4 D．8【解答】解：△ABC中，若c=3，b=7，∠B=60°，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB得：a2﹣3a﹣40=0，解得：a=8或a=﹣5（舍去）．故选：D．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a4＜0，a5＞|a4|，得a 5＞0，a5+a4＞0，，．∴使S n＞0成立的最小正整数n为8．故选：C．7．（5分）将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），可得函数y=sin（2x﹣）图象；再将它的图象向左平移φ个单位（φ＞0），可得函数y=sin[2（x+φ）﹣]=sin （2x+2φ﹣）的图象，再根据y=sin（2x+2φ﹣）为偶函数，可得2φ﹣=kπ+，k∈z，即φ=+，则φ的最小值为，故选：C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．9．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=﹣a（x≠0）有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．[，]∪[，]B．（，]∪[，） C．（，]∪[，） D．[，]∪[，]【解答】解：因为f（x）=﹣a=0，故=a；分x＞0和x＜0的情况讨论，显然有a≥0．若x＞0，此时[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，故＜≤1，即＜a≤1．且随着[x]的增大而增大．若x＜0，此时[x]＜0；若﹣1≤x＜0，则≥1；若x＜﹣1，因为[x]≤x＜﹣1；[x]≤x＜[x]+1，故1≤＜，即1≤a＜，且随着[x]的减小而增大．又因为[x]一定是不同的x对应不同的a值．所以为使函数f（x）=﹣a有且仅有3个零点，只能使[x]=1，2，3；或[x]=﹣1，﹣2，﹣3．若[x]=1，有＜a≤1；若[x]=2，有＜a≤1；若[x]=3，有＜a≤1；若[x]=4，有＜a≤1；若[x]=﹣1，有a＞1；若[x]=﹣2，有1≤a＜2；若[x]=﹣3，有1≤a＜；若[x]=﹣4，有1≤a＜综上所述，＜a≤或≤a＜，故选：B．10．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）已知函数f（x）=，则f（f（））的值是=﹣2．【解答】解：∵函数，∴f（）=2+=4．=f（4）==﹣2．故答案为：﹣2．12．（4分）若函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，] ．【解答】解：由函数f（2x）的定义域是[﹣1，1]，得﹣1≤x≤1．∴﹣2≤2x≤2，即函数f（x）的定义域是[﹣2，2]，再由，解得，∴函数f（2x﹣1）+f（2x+1）的定义域是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．13．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足条件，则|y|﹣x的最小值为﹣1．【解答】解：由题意作出其平面区域，由图可知，|y|﹣x的最小值为0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．15．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2=，则该数列的通项公式a n=．=，【解答】解：∵a n+2∴=∴﹣=1，∴数列{}是以==2为首项，以1为公差的等差数列，∴=2+n﹣1=n+1，∴==2，=3，…，=n+1，利用累乘法得∴•…=2×3×4×…×n=n!∴a n=16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点P（，cos2θ）在角α的终边上，点Q （sin2θ，﹣1）在角β 的终边上，且=﹣．则sin（α+β）=﹣．【解答】解：∵=﹣，∴=﹣∴cos2θ=，sin2θ=∴P（，），Q（，﹣1），∴sinα=，cosα=，sinβ=，cosβ=，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==﹣．故答案为：﹣．17．（4分）实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则（a﹣c）2+（b+d）2的最小值是．【解答】解：实数a，b，c，d满足（b+a2﹣3a）2+（c+d+2）2=0，则有b+a2﹣3a=0，且c+d+2=0，由于（a﹣c）2+（b+d）2的几何意义：两点A（a，b）、B（c，﹣d）的距离的平方，则为求抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值，由于联立方程x﹣y+2=0和y=3x﹣x2上，消去y，得到x2﹣2x+2=0，方程无实数解，故直线和抛物线相离，可设直线y=x+t与抛物线相切，则联立抛物线方程，消去y，得，x2﹣2x+t=0，由判别式为0，即有4﹣4t=0，即t=1，则切线为：y=x+1，由于两直线y=x+2与直线y=x+1的距离为d==，即有抛物线y=3x﹣x2上点A和直线x﹣y+2=0上点B的距离的最小值为，则有（a﹣c）2+（b+d）2的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x+9≥0}．（Ⅰ）当a=10时，求A和B；（Ⅱ）若A⊆B．求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，当a=10时，B={x∈R|4x﹣10•2x+9≥0}={x|x≤0，或x≥log29}，（Ⅱ）A={x|1≤x≤2}，A⊆B，则有当1≤x≤2时，2≤2x ≤4，又4x﹣a•2x+9≥0，令2x=t，（2≤t≤4）不等式化为t2﹣at+9≥0对2≤t≤4成立，a≤t+而t+≥2=6，（当且仅当t=3时成立），所以a的取值范围a≤6．19．（14分）已知单位向量与的夹角是钝角，当t∈R时，||的最小值为．（Ⅰ）若，其中λ∈R，求||的最小值；（Ⅱ）若满足（）（）=，求||的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设单位向量与的夹角是α，则||==，∵当t∈R时，||的最小值为，∴|sinα|=，∵单位向量与的夹角是钝角，∴α=，∵，∴||==，∴λ=时，||的最小值为；（Ⅱ）设=（x，y），=（1，0），=（﹣，），∴（）•（）=，∴，∴||的最大值为+=2．20．（15分）已知△ABC的三内角A，B，C与所对的边a，b，c满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）如果用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，试求实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC中，∴根据正弦定理，得，即cosA（2sinB﹣sinC）=sinAcosC，化简得2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C），∵在△ABC中，sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，∴2sinBcosA=sinB，可得cosA=，∵A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵用psinA，sinB，sinC为长度的线段能围成以psinA为斜边的直角三角形，∴p2sin2A=sin2B+sin2C，∵A=，得sinA=，∴p2=sin2B+sin2C，可得p2=（sin2B+sin2C），∵sin2B=（1﹣cos2B），sin2C=（1﹣cos2C），C=﹣B，∴p2=[（1﹣cos2B）+（1﹣cos2C）]=（1﹣cos2B）+[1﹣cos（﹣2B）]=sin（2B﹣）+．∵B∈（0，），可得2B﹣∈（﹣，），∴sin（2B﹣），得p2=sin（2B﹣）+∈（1，2]因此，实数p的取值范围是（1，]．21．（15分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）若i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能的乘积a i b j的和．【解答】解：（I）∵各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足2S n=a n2+a n（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=1．当n≥2时，2a n=2（S n﹣S n﹣1）=a n2+a n﹣，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∵等比数列{b n}满足b1=，b n+1+b n=（n∈N*）．设公比为q，则+=，解得q=．∴．（II）∵i，j为正整数，且1≤i≤j≤n，所有可能的乘积a i b j的和=++…++a n b n=++…++．=1﹣+++…+（n﹣1）+=﹣，令S n=1+++…+，S n=++…+，∴=1++++…+﹣=1++++…+﹣=﹣=．∴S n=4﹣．∴所有可能的乘积a i b j的和=4﹣﹣=4﹣．22．（14分）已知函数f（x）=x2+ax+b．（Ⅰ）设b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：存在x0∈[﹣1，1]，使|f（x0）|≥|a|．【解答】解：数f（x）=x2+ax+b，（1）∵b=a，∴f（x）=x2+ax+a，△=a2﹣4a，x=为对称轴，①当a=0时，f（x）=x2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=0符合题意，②当a=4时，f（x）=（x+2）2，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a=4符合题意，③当a＞0，a≠4时f（0）=a＞0，x=＜0，∴|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，∴a＞0，a≠4，符合题意，④当a＜0时，△=a2﹣4a＞0，f（0）=a＜0，x0为f（x）=0，的左边的一个零点，x0＜0，∴|f（x）|在x∈[x0，]上单调递增，即只需满足1≤a≤﹣2∴a≤﹣2，符合题意，综上a≥0或a≤﹣2，（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2+ax+b，|f （1）|=|1+a +b |，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |， ∵当1+b ≥0，a ≥0时，f （1）=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＞0，a ＜0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＜0时，|f （1）|=|1+a +b |≥|a |， 当1+b ＜0，a ＞0时，|f （﹣1）|=|1﹣a +b |≥|a |， ∴存在x 0∈[﹣1，1]，使|f （x 0）|≥|a |．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。