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历年高考数学真题精选31 立体几何中的垂直关系

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（学生版）1．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若60ABC ∠=︒，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得//CF 平面PAE ？说明理由．2．（2015•重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D 、E在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．3．（2015•福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论．5．（2014•福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．6．（2014•广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ． （1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．8．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．9．（2013•安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒．已知2PB PD ==，6PA = （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积．10．（2013•重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒ （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．13．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧¶CD所在平面垂直，M 是¶CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题31 垂直关系（教师版）1．（2019•北京）如图，在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E 为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若60∠=︒，求证：平面PAB⊥平面PAE；ABC（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得//CF平面PAE？说明理由．证明：（Ⅰ）Q四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴⊥，BD ACBD PA⊥，∴⊥平面PAC．Q I，BD=PA AC A（Ⅱ）Q在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，60∠=︒，ABCAB AE∴⊥，PA AE⊥，∴⊥平面PAB，Q I，AE=PA AB AQ平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．AE⊂解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//CF平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，Q在四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴，//FG PA，CG AE//I，Q I，AE PA A==CG FG GCFG平面PAE，∴平面//CF ⊂Q 平面CFG ，//CF ∴平面PAE ．2．（2015•重庆）如图，三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，2ABC π∠=，点D 、E在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且//EF BC ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面PFE ．（Ⅱ）若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长．解：（Ⅰ）如图，由DE EC =，PD PC =知，E 为等腰PDC ∆中DC 边的中点，故PE AC ⊥， 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，PE ⊂平面PAC ，PE AC ⊥， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE AB ⊥． 因为2ABC π∠=，//EF BC ，故AB EF ⊥，从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直， 所以AB ⊥平面PEF ．（Ⅱ）设BC x =，则在直角ABC ∆中，22236AB AC BC x -=-， 从而2113622ABC S AB BC x x ∆==-g 由//EF BC 知23AF AE AB AC ==，得AFE ABC ∆∆∽， 故224()39AFEABCS S ∆∆==，即49AFE ABC S S ∆∆=，由12AD AE =，2114213622999AFD AFE ABC ABC S S S S x x ∆∆∆∆====-g ， 从而四边形DFBC 的面积为：2221173636362918DFBC ABC AFD S S S x x x x x x ∆=-=---=-．由（Ⅰ）知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P DFBC -的高． 在直角PEC ∆中，22224223PE PC EC =-=-=， 故体积2117362373318P DFBC DFBC V S PE x x -==-=g g g g ，故得42362430x x -+=，解得29x =或227x =，由于0x >，可得3x =或33x =． 所以：3BC =或33BC =．3．（2015•福建）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证；AC ⊥平面PDO ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．解：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点， 所以AC DO ⊥，又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以PO AC ⊥， 因为DO PO O =I ， 所以AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1， 又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=，又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为：111133⨯⨯=．（Ⅲ）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒， 所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值， 又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点． 从而2626OC OE EC +'=+'=+=． 亦即CE OE +的最小值为：26+．4．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形 （Ⅰ）若AC BC ⊥，证明：直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）设D 、E 分别是线段BC 、1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE平面1A MC ？请证明你的结论．（Ⅰ）证明：Q 四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形， 1AA AB ∴⊥，1AA AC ⊥， AB AC A =Q I ，1AA ∴⊥平面ABC ，BC ⊂Q 平面ABC ， 1AA BC ∴⊥，AC BC ⊥Q ，1AA AC A =I ，∴直线BC ⊥平面11ACC A ；（Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接1A M ，MC ，1A C ，1AC ，设O 为1A C ，1AC 的交点，则O 为1AC 的中点．连接MD ，OE ，则//MD AC ，12MD AC =，//OE AC ，12OE AC =， //MD OE ∴，MD OE =，连接OM ，则四边形MDEO 为平行四边形， //DE MO ∴，DE ⊂/Q 平面1A MC ，MO ⊂平面1A MC ，//DE ∴平面1A MC ，∴线段AB 上存在一点M （线段AB 的中点），使直线//DE 平面1A MC ．5．（2014•福建）如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD BD ⊥． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．（Ⅰ）证明：AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， AB CD ∴⊥，CD BD ⊥Q ，AB BD B =I ，CD ∴⊥平面ABD ；（Ⅱ）解：AB ⊥Q 平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，AB BD ∴⊥． 1AB BD ==Q ，12ABD S ∆∴=， M Q 为AD 中点，1124ABM ABD S S ∆∆∴==，CD ⊥Q 平面ABD ，11312A MBC C ABM ABM V V S CD --∆∴===g ．6．（2014•广东）如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1AB =，2BC PC ==作如图2折叠；折痕//EF DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF CF ⊥．（1）证明：CF ⊥平面MDF ； （2）求三棱锥M CDE -的体积．解：（1）证明：PD ⊥Q 平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ；又平面PCD ⋂平面ABCD CD =，MD ⊂平面ABCD ，MD CD ⊥，MD ∴⊥平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，CF MD ∴⊥；又CF MF ⊥，MD 、MF ⊂平面MDF ，MD M F M =I ， CF ∴⊥平面MDF ；（2）CF ⊥Q 平面MDF ，CF DF ∴⊥， 又Rt PCD ∆Q 中，1DC =，2PC =， 30P ∴∠=︒，60PCD ∠=︒， 30CDF ∴∠=︒，1122CF CD ==；//EF DC Q ，∴DE CFDP CP =1223=， 3DE ∴=33PE ∴=132CDE S CD DE ∆∴=g ； 22223336()()44MD ME DE =--=， 1136233M CDE CDE V S MD -∆∴==g 7．（2014•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．（1）证明：连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点， Q 侧面11BB C C 为菱形， 11BC B C ∴⊥，AO ⊥Q 平面11BB C C ， 1AO B C ∴⊥， 1AO BC O =Q I ，1B C ∴⊥平面ABO ，AB ⊂Q 平面ABO ，1B C AB ∴⊥；（2）解：作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ， BC AO ⊥Q ，BC OD ⊥，AO OD O =I ，BC ∴⊥平面AOD ， OH BC ∴⊥，OH AD ⊥Q ，BC AD D =I ，OH ∴⊥平面ABC ， 160CBB ∠=︒Q ， 1CBB ∴∆为等边三角形，1BC =Q ，3OD ∴=1AC AB ⊥Q ，11122OA B C ∴==，由OH AD OD OA =g g ，可得2274AD OD OA =+=，2114OH ∴=， O Q 为1B C 的中点， 1B ∴到平面ABC 的距离为217， ∴三棱柱111ABC A B C -的高217．8．（2014•山东）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：//AP 平面BEF ； （Ⅱ）求证：BE ⊥平面PAC ．证明：（Ⅰ）连接CE ，则 //AD BC Q ，12BC AD =，E 为线段AD 的中点， ∴四边形ABCE 是平行四边形，BCDE 是平行四边形，设AC BE O =I ，连接OF ，则O 是AC 的中点，F Q 为线段PC 的中点，//PA OF ∴，PA ⊂/Q 平面BEF ，OF ⊂平面BEF ，//AP ∴平面BEF ；（Ⅱ）BCDE Q 是平行四边形， //BE CD ∴，AP ⊥Q 平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，AP CD ∴⊥，BE AP ∴⊥，AB BC =Q ，四边形ABCE 是平行四边形，∴四边形ABCE 是菱形，BE AC ∴⊥， AP AC A =Q I ，BE ∴⊥平面PAC ．9．（2013•安徽）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒．已知2PB PD ==，6PA =． （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC（Ⅱ）若E 为PA 的中点，求三菱锥P BCE -的体积．（Ⅰ）证明：连接BD ，AC 交于O 点，PB PD =Q ，PO BD ∴⊥，又ABCD 是菱形， BD AC ∴⊥，PO ⊂Q 平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，AC PO O =I ，BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）则23AC =，ABD ∆Q 和PBD ∆的三边长均为2， ABD PBD ∴∆≅∆，3AO PO ∴==，222AO PO PA ∴+=， AC PO ∴⊥， 132PAC S AC PO ∆==g g ，11111131223232P BCE B PEC B PAC PAC V V V S BO ---∆====⨯⨯⨯=g g g ．10．（2013•重庆）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，23PA =，2BC CD ==，3ACB ACD π∠=∠=．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，求三棱锥P BDF -的体积．解：（Ⅰ）2BC CD ==Q ，BCD ∴∆为等腰三角形，再由3ACB ACD π∠=∠=，BD AC ∴⊥．再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA BD ⊥． 而PA AC A =I ，故BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）Q 侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =，∴三棱锥F BCD -的高是三棱锥P BCD -的高的18．BCD ∆的面积112sin 22sin 3223BCD S BC CD BCD π∆=∠=⨯⨯⨯=g g ．∴三棱锥P BDF -的体积1117133883P BCD F BCD BCD BCD BCD V V V S PA S PA S PA --∆∆∆=-=-=⨯g g g g g g g 77323244=⨯⨯=． 11．（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒ （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥； （Ⅱ）若2AB CB ==，16A C =，求三棱柱111ABC A B C -的体积．（Ⅰ）证明：如图，取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ． 因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故△1AA B 为等边三角形， 所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O =I ，所以AB ⊥平面1OAC ． 又1A C ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥； （Ⅱ）解：由题设知ABC ∆与△1AA B 都是边长为2的等边三角形， 所以13OC OA ==又16A C =22211AC OC OA =+，故1OA OC ⊥． 因为OC AB O =I ，所以1OA ⊥平面ABC ，1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高．又ABC ∆的面积3ABC S ∆=，故三棱柱111ABC A B C -的体积1333ABC V S OA ∆=⨯=⨯=．12．（2019•新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1AB =，2BE BF ==，60FBC ∠=︒．将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．（1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积．解：（1）证明：由已知可得//AD BE ，//CG BE ，即有//AD CG ， 则AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面； 由四边形ABED 为矩形，可得AB BE ⊥， 由ABC ∆为直角三角形，可得AB BC ⊥， 又BC BE B =I ，可得AB ⊥平面BCGE ，AB ⊂平面ABC ，可得平面ABC ⊥平面BCGE ；（2）连接BG ，AG ，由AB ⊥平面BCGE ，可得AB BG ⊥，在BCG ∆中，2BC CG ==，120BCG ∠=︒，可得2sin 6023BG BC =︒= 可得2213AG AB BG =+在ACG ∆中，5AC 2CG =，13AG ，可得cos 2255ACG ∠==-⨯⨯，即有sin 5ACG ∠=，则平行四边形ACGD 的面积为2545⨯⨯=．13．（2018•江苏）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．证明：（1）平行六面体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，11//AB A B ，AB ⊂/平面11A B C ，11//A B ⊂平面11//A B C AB ⇒平面11A B C ；（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，⇒四边形11ABB A 是菱形，11AB A B ⊥⊥．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，1111AB B C AB BC ⊥⇒⊥． ∴1111111,,AB A B AB BC A B BC B A B A BC BC A BC⊥⊥⎧⎪=⎨⎪⊂⊂⎩n 面面 1AB ⇒⊥面1A BC ，且1AB ⊂平面11ABB A ⇒平面11ABB A ⊥平面1A BC ．14．（2018•新课标Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧¶CD所在平面垂直，M 是¶CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得//MC 平面PBD ？说明理由．（1）证明：矩形ABCD 所在平面与半圆弦¶CD所在平面垂直，所以AD ⊥半圆弦¶CD 所在平面，CM ⊂半圆弦¶CD所在平面， CM AD ∴⊥，M 是¶CD 上异于C ，D 的点．CM DM ∴⊥，DM AD D =I，CM ∴⊥平面AMD ，CM ⊂平面CMB ，∴平面AMD ⊥平面BMC ；（2）解：存在P 是AM 的中点，理由：连接BD 交AC 于O ，取AM 的中点P ，连接OP ，可得//MC OP ，MC ⊂/平面BDP ，OP ⊂平面BDP ，所以//MC 平面PBD ．15．（2018•新课标Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将ACM ∆折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．解：（1）证明：Q 在平行四边形ABCM 中，90ACM ∠=︒，AB AC ∴⊥， 又AB DA ⊥．且AD AC A =I ，AB ∴⊥面ADC ，AB ⊂Q 面ABC ，∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）3AB AC ==Q ，90ACM ∠=︒，32AD AM ∴==， 2223BP DQ DA ∴===， 由（1）得DC AB ⊥，又DC CA ⊥，DC ∴⊥面ABC ， ∴三棱锥Q ABP -的体积1133ABP V S DC ∆=⨯ 121121133313333323ABC S DC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 16．（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．证明：（1）Q 在四棱锥P ABCD -中，90BAP CDP ∠=∠=︒， AB PA ∴⊥，CD PD ⊥，又//AB CD ，AB PD ∴⊥，PA PD P =Q I ，AB ∴⊥平面PAD ，AB ⊂Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：（2）设PA PD AB DC a ====，取AD 中点O ，连结PO ， PA PD AB DC ===Q ，90APD ∠=︒，平面PAB ⊥平面PAD ， PO ∴⊥底面ABCD ，且222AD a a a =+=，2PO a =， Q 四棱锥P ABCD -的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB AD ⊥，13P ABCD ABCD V S PO -∴=⨯⨯四边形 31121823333AB AD PO a a a a =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯==， 解得2a =，2PA PD AB DC ∴====，22AD BC ==，2PO =， 4422PB PC ∴==+=，∴该四棱锥的侧面积：PAD PAB PDC PBC S S S S S ∆∆∆∆=+++侧221111()22222BC PA PD PA AB PD DC BC PB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯- 111122222222822222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯- 623=+．。

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高中数学立体几何正交与垂直关系分析

高中数学立体几何正交与垂直关系分析

高中数学立体几何正交与垂直关系分析在高中数学的立体几何中，正交与垂直是两个非常重要的概念。

它们在几何图形的性质、计算问题中起着至关重要的作用。

本文将通过具体的题目举例，分析正交与垂直的概念、性质以及应用，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这些知识点。

一、正交的概念和性质正交是指两条直线、两个平面或者一条直线和一个平面相互垂直的关系。

在几何图形中，正交的性质十分重要，常常用于求解问题。

例如，考虑以下题目：已知直线l1：x-2y+z=0和直线l2：2x+y-3z=0，求证直线l1与直线l2正交。

解析：要证明直线l1与直线l2正交，需要证明直线l1的法向量与直线l2的方向向量的点积为零。

首先，求出直线l1的法向量和直线l2的方向向量：直线l1的法向量为(1,-2,1)；直线l2的方向向量为(2,1,-3)。

然后，计算两个向量的点积：(1,-2,1)·(2,1,-3) = 2-2-3 = -3由于点积结果为-3，不等于零，所以直线l1与直线l2不正交。

通过这个例子可以看出，正交的性质可以通过向量的点积来判断。

如果两个向量的点积为零，则它们正交；如果不为零，则它们不正交。

二、垂直的概念和性质垂直是指两条直线、两个平面或者一条直线和一个平面相互成直角的关系。

垂直在立体几何中也是一个非常重要的概念，常常用于计算问题。

例如，考虑以下题目：已知平面α：2x-y+z=1和平面β：x+2y-3z=4，求证平面α与平面β垂直。

解析：要证明平面α与平面β垂直，需要证明平面α的法向量与平面β的法向量的点积为零。

首先，求出平面α和平面β的法向量：平面α的法向量为(2,-1,1)；平面β的法向量为(1,2,-3)。

然后，计算两个向量的点积：(2,-1,1)·(1,2,-3) = 2-2-3 = -3由于点积结果为-3，不等于零，所以平面α与平面β不垂直。

通过这个例子可以看出，垂直的性质也可以通过向量的点积来判断。

立体几何中的平行与垂直问题

立体几何中的平行与垂直问题

立体几何中的平行与垂直问题在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，例题如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，且AB＝2BC，E，F分别为棱AB，PC 的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若点P在平面ABCD内的射影O在直线AC上，求证：平面PAC⊥平面PDE.变式1(2018·苏州一模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．(1)求证：EF∥平面ABHG；(2)求证：平面ABHG⊥平面CFED.变式2(2018·苏锡常镇一模)如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ； (2)AD ⊥平面A 1BN.串讲1如图，在三棱锥PABC 中，BC ⊥平面PAB.已知PA ＝AB ，D ，E 分别为PB ，BC 的中点．(1)求证：AD ⊥平面PBC ；(2)若点F 在线段AC 上，且满足AD ∥平面PEF ，求AFFC 的值．串讲2如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．(2018·南京、盐城二模)如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点．(1)求证：MN∥平面BEC；(2)求证：AH⊥CE.(2018·江苏卷)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明：(1)在平行六面体ABCD－A 1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A 1B1C，4分所以AB∥平面A1B1C.6分(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.8分又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.10分又因为A 1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.12分因为AB 1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.14分例题1证法1如图1，在四棱锥PABCD 中，取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM.因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD.因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD.所以FM ∥EA ，且FM ＝EA.所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM. 又AM 平面PAD ，EF 平面PAD ，所以EF ∥平面PAD. 证法2如图2，在四棱锥PABCD 中，连接CE 并延长交DA 的延长线于点N ，连接PN.因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC.所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE.又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA.所以CE ＝NE. 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP.又NP 平面PAD ，EF 平面PAD ，所以EF ∥平面PAD.证法3如图3，在四棱锥PABCD 中，取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ.在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ.所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD. 又AD 平面PAD ，EQ 平面PAD,所以EQ ∥平面PAD.因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点， 所以FQ ∥PD.又PD 平面PAD ，FQ平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD.又FQ ，EQ 平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD.因为EF 平面EQF ，所以EF ∥平面PAD.(2)在四棱锥PABCD 中，设AC ，DE 相交于点G(如图4)．在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点． 所以DA AE ＝CDDA＝2，又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA.又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC.因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上， 所以PO ⊥平面ABCD.因为DE 平面ABCD ，所以PO ⊥DE. 因为PO ∩AC ＝O ，PO ，AC 平面PAC ， 所以DE ⊥平面PAC ，又DE 平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE.变式联想变式1证明：(1)因为E ，F 分别是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ∥A 1B 1， 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ， 所以EF ∥AB.又EF 平面ABHG ，AB平面ABHG ，所以EF ∥平面ABHG.(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ， 又BH 平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.①设BH ∩CF ＝P ，△BCH ≌△CC 1F ，所以∠HBC ＝∠FCC 1，因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°，所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.②由①②，又DC ∩CF ＝C ，DC ，CF 平面CFED ，所以BH ⊥平面CFED. 又BH 平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED.变式2证明：(1)如图，连接MN ，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1∥CC 1且AA 1＝CC 1，则四边形AA 1C 1C 是平行四边形，因为点M ，N 分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN∥AA1且MN＝AA1，又正三棱柱ABCA1B1C1中AA1∥BB1且AA1＝BB1，所以MN∥BB1且MN＝BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B 1M∥BN，又B1M平面A1BN，BN平面A1BN，所以B1M∥平面A1BN.(2)正三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN平面ABC，所以BN⊥AA 1，在正△ABC中，N是AB的中点，所以BN⊥AC，又AA 1，AC平面AA1C1C，AA1∩AC＝A，所以BN⊥平面AA 1C1C，又AD平面AA1C1C，所以AD⊥BN，由题意得，AA1＝6，AC＝2，AN＝1，CD＝63，所以AA1AC＝ANCD＝32，又∠A1AN＝∠ACD＝π2，所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N＝∠CAD，所以∠ANA1＋∠CAD＝∠ANA1＋∠AA1N＝π2，则AD⊥A1N，又BN∩A1N＝N，BN，A 1N平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN.说明：变式1和2都通过“计算”来证明垂直，复习时应注意长度，角度等量的“计算”的运用来实现位置关系的求证．串讲激活串讲1解析：(1)因为BC⊥平面PAB，AD平面PAB，所以BC⊥AD.因为PA＝AB，D为PB的中点，所以AD⊥PB.因为PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC.(2)连接DC，交PE于点G，连接FG.因为AD∥平面PEF，AD平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG.因为D为PB的中点，E为BC的中点，连接DE，则DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG.所以DGGC＝DEPC＝12.所以AFFC＝DGGC＝12.串讲2解析：(1)在三棱台ABCDEF中，AC∥DF，又AC平面ACE，DF平面ACE，所以DF∥平面ACE，又DF平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，所以DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG ＝13BE ，使得平面DFG ⊥平面CDE.证明如下：如图所示，取CE 的中点O ，连接FO 并延长交BE 于点G ，连接GD ，因为CF ＝EF ，所以GF ⊥CE.在三棱台ABCDEF 中，因为AB ⊥BC ，所以DE ⊥EF ，因为CF ⊥平面DEF ，DE平面DEF ，所以CF ⊥DE ，又CF ∩EF ＝F ，所以DE ⊥平面CBEF ，GF 平面CBEF ，所以DE ⊥GF.因为GF ⊥CE ，DE ⊥GF ，CE ∩DE ＝E ，CE 平面CDE ，DE 平面CDE ，所以GF ⊥平面CDE ，又GF 平面DFG ，所以平面DFG ⊥平面CDE ，此时，侧面BCFE 的平面图如图所示，延长FG ，交CB 的延长线于点H ，因为O 是CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识可证得△HOC ≌△FOE ，所以HB ＝BC ＝12EF ，由△HGB ∽△FGE ，可知BG GE ＝12，即BG ＝13BE.新题在线(1)证法1取CE 中点F ，连接FB ，MF.因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点， 所以MF ∥CD 且MF ＝12CD.又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形，所以MN ∥BF. 又MN 平面BEC ，BF 平面BEC ，所以MN ∥平面BEC.证法2取AE 中点G ，连接MG ，GN.因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD. 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC. 又因为MG 平面BEC ，BC 平面BEC ，所以MG∥平面BEC.因为G为AE的中点，N为AB的中点，所以GN∥BE.又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN∥平面BEC.又因为MG∩GN＝G，MG，GN平面GMN，所以平面GMN∥平面BEC.又因为MN平面GMN，所以MN∥平面BEC.(2)因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，BC平面ABCD，且BC⊥AB，所以BC⊥平面ABE.因为AH平面ABE，所以BC⊥AH.因为AB＝AE，H为BE的中点，所以BE⊥AH.因为BC∩BE＝B，BC平面BEC，BE平面BEC，所以AH⊥平面BEC.又因为CE平面BEC，所以AH⊥CE.。

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

高中数学立体几何平行、垂直位置关系证明题专项练习(带答案)

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)

高考数学复习—立体几何：(二)空间直线平面关系判断与证明—平行与垂直关系证明(试题版)

【考点2:空间直线、平面的平行与垂直关系证明】题型1：直线、平面平行的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四面体P ABC中,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.求证：DE∥平面BCP .►(2)(2013福建改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥DC, AB＝6,DC＝3,若M为P A的中点,求证：DM∥平面PBC . ►(3)如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC 的中点,G为DE的中点.证明：直线HG∥平面CEF .[例2]►(1)如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：①B,C,H,G四点共面；②平面EF A1∥平面BCHG .►(2)如图E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点.求证：①EG∥平面BB1D1D；②平面BDF∥平面B1D1H .【变式训练】1.(2014·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为______.2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH .3.如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,E,H分别为棱A1B1,D1C1上的点,且EH∥A1D1,过EH的平面与棱BB1,CC1相交,交点分别为F,G,求证：FG∥平面ADD1A1.4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E 在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE＝FC1＝B1G＝1,H是B1C1的中点.(1)求证：E,B,F,D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F .题型2：直线、平面垂直的判断及性质【典型例题】[例1]►(1)如图,在四棱锥P-ABCD中, P A⊥底面ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A＝AB＝BC,E是PC中点. 证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE .►(2)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面P AD,AB∥CD,PD＝AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF＝12AB,PH为△P AD中AD边上的高.①证明：PH⊥平面ABCD；②证明：EF⊥平面P AB.[例2]►(1)[2014·辽宁文]如图所示,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB＝BC＝BD＝2,∠ABC＝∠DBC＝120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(I)求证：EF⊥平面BCG；(II)求三棱锥D -BCG的体积.►(2)(2012·课标全国)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB＝90°,AC＝BC＝12AA1,D是棱AA1的中点.(I)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(II)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.►(3)(2015·大庆质检) 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD＝DC＝BC＝1,AB＝2,AB∥DC,∠BCD＝90°.①求证：PC⊥BC；②求点A到平面PBC的距离.【变式训练】1.如图,四棱锥P—ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E 在线段AD上,且CE∥AB. (1)求证：CE⊥平面P AD；(2)若P A=AB=1,AD=3,CD=2,∠CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.2.[2014·福建文]如图所示,三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A -MBC的体积.3.(2015·唐山统考)如图,在三棱锥P-ABC中,P A＝PB＝AB ＝BC,∠PBC＝90°,D为AC的中点,AB⊥PD.(1)求证：平面P AB⊥平面ABC；(2)如果三棱锥P-BCD的体积为3,求P A.4.[2014·课标Ⅰ文]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,BC＝1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.☆题型3：直线、平面平行与垂直关系的综合【典型例题】[例1]►(1)已知l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中真命题是(写出序号).①若l⊂α,m⊂α,l∥β,m∥β,则α∥β；②若l⊂α,l∥β,α∩β＝m,则l∥m；③若α∥β,l∥α,则l∥β；④若l⊥α,m∥l,α∥β,则m⊥β.►(2)(2014·辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α►(3)(2015·江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β＝l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是()A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面►(4)(2013·课标Ⅱ)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则()A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l►(5)(2016·课标Ⅱ)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号) [例2]►(1)(2014·北京)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1＝AC＝2,BC＝1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(I)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(II)求证：C1F∥平面ABE；(III)求三棱锥E-ABC的体积.►(2)[2014江苏文]如图,三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知P A⊥AC,P A＝6,BC＝8,DF＝5. 求证：(I)直线P A∥平面DEF；(II)平面BDE⊥平面ABC.[例3]►(1)[2014·陕西文]四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(I)求四面体ABCD的体积；(II)证明：四边形EFGH是矩形.►(2)(2012·北京)如图1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.(I)求证：DE∥平面A1CB；(II)求证：A1F⊥BE；(III)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ？说明理由.【变式训练】1.(2016·浙江联考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β是空间两个平面,且a⊂α,b⊂β,α∩β＝c.给出下列命题：①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c,则a与b一定不垂直；③若a∥b,则必有a∥c；④若a⊥b,a⊥c,则必有α⊥β. 其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.32.(2012·四川)下列命题正确的是()A.若两直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线平行B.若一平面内有三点到另一平面的距离相等,则这两平面平行C.若一直线平行于两相交平面,则这条直线与这两平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3.(2015·福建)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2016·山东济南一模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.()A.若m⊥n,n∥α,则m⊥αB.若m∥β,β⊥α,则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α5.(2016·浙江温州联考)关于直线a,b,l及平面α,β,下列命题中正确的是()A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a∥α,b⊥a,则b⊥αC.若a ⊂α,b ⊂α,且l ⊥a ,l ⊥b ,则l ⊥αD.若a ⊥α,a ∥β,则α⊥β 6.(2015·山东二模)设m ,n 是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中不正确的是( ) A.当n ⊥α时,“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件B.当m ⊂α时,“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m ⊂α时,“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件D.当m ⊂α时,“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件 7.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l ,若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 8.(2013北京)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD ＝2AB ,平面P AD ⊥底面ABCD ,P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD .9.[2014·山东文]如图,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD , AD ∥BC ,AB ＝BC＝12AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点. (1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .10.(2013全国Ⅱ文)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB 1的中点.(Ⅰ)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)设AA 1=AC =CB =2,AB =22,求三棱锥C -A 1DE 的体积.11.(2013·辽宁)如图,AB 是圆O 的直径,P A 垂直圆O 所在的平面,C 是圆O 上的点. (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证：QG ∥平面PBC .12.[2014·课标Ⅱ文]如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1,AD ＝3,三棱锥P - ABD 的体积V ＝34,求A到平面PBC 的距离.13.(2015江苏)如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E . 求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.14.(2015广东文)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD =PC ＝4,AB ＝6,BC ＝3. (1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离.15.(2015课标Ⅱ)如图,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB ＝16, BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．16.(2015陕西)如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥B C,∠BAD =π2, AB =BC =12AD =a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1﹣BCDE ． (Ⅰ)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(Ⅱ)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为362,求a 的值．17.(2016·课标Ⅱ文)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E ,F 分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ,EF 交BD 于点H ,将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置． (1)证明：AC ⊥HD ′(2)若AB =5,AC =6,AE =54,OD ′=22,求五棱锥D ′­ABCFE 的体积．18.(2016·课标Ⅲ文)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点． (1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．19.[2017全国I 文]如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ； (2)若PA =PD =AB =DC ,∠ADP ＝90°,且四棱锥P-ABCD 的体积为83,求该四棱锥的侧面积.20.[2017全国II 文]如图,四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ,AB =BC =12AD , ∠BAD =∠ABC =90°.(1)证明：直线BC ∥平面PAD ;(2)若△PCD 面积为27,求四棱锥P-ABCD 的体积.21.[2017全国III 文]在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( )A.A 1E ⊥DC 1B.A 1E ⊥BDC.A 1E ⊥BC 1D.A 1E ⊥AC22.[2017全国III 文]如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比.。