高中数学第三章不等式(三)教学设计新人教A版必修5

（新课标）2015-2016学年高中数学第三章不等式（三）教学设计新人教A版必修5从容说课通过投影仪展示实际情景，回忆基本不等式：2ba ab +≤的推导与证明过程，以及应用的条件：一正、二定、三等.复习对基本不等式展开的一些简单应用，通过数与形的结合，让学生进一步领悟到基本不等式成立的条件是a＞0、b＞0.在应用的过程中，让学生对基本不等式2ba ab +≤的结构特征达到充分认识，并能够灵活把握，为本节课基本不等式的实际应用，打下坚实的基础.在本节课的教学过程中，仍强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值.本节课设置的具体例题会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理，重点是解决实际问题.对具体例题的分析和求解过程中，设置思考项，让学生探究，层层铺设，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在本节课的研究过程中，要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，进而构建他们更完善的知识网络，培养与锻炼他们的数学建模能力根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助依据学生平时的学习兴趣、习惯、方法、能力等，通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱是本节课的重点之一，构建基本不等式解决函数的值域、最值问题教学重点1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题2.让学生探究用基本不等式解决实际问题3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教学难点1.学生探究用基本不等式解决实际问题2.基本不等式应用时等号成立条件的考察3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱教具准备实物投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题2.让学生探究用基本不等式解决实际问题3.通过富有现实意义的实际问题的解决，去培养学生对数学这门学科的热爱二、过程与方法1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘，数学的简洁美，数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣教学过程导入新课师前两节课我们已经复习了解不等式及简单不等式的证明.复习了简单线性规划问题的解法与一元二次不等式表示的区域和二元一次不等式（组）与平面区域的联系.进而巩固简单线性规划问题的解法的步骤和过程，并展开一些应用.本节课我们将复习构建基本不等式解决函数的值域、最值问题及继续探究用基本不等式解决实际问题.请同学们回忆下，用基本不等式时的注意点是什么？生（齐声）应用时要注意条件：一正、二定、三等很好.看出同学们对基本不等式掌握的非常好，下面我们就来研究基本不等式的应用(此时，老师用投影仪陆续给出问题推进新课【例1】当0＜x ＜2时，求函数y =x （2-x ）的最大值师 函数y =x （2-x ）是积的形式，求最大值实质是要做什么样的转化？生 可以使用平均值定理把积的形式转化成和的形式师 平均值定理是对正数而言的，由于x ，2-x 都是正数，所以y =x (2-x )≤(22x x -+)2在什么条件下“≤”取“=”？ 生 当且仅当x =2-x ，即x =1时，取等号.此时，y 的最大值为师 把积的形式化为和的形式，这个和应该为定值才行.通过这个例题，请同学们回忆下如何用基本不等式求最值？（教师板演）生 运用平均值定理求函数的最值时，必须要有和的定值或积的定值出现，即当a ,b ∈R +,a +b =k(定值)时，ab ≤(2b a +)2=42k (定值当且仅当a =b 时,取“=”.不等式①可以在求函数的最大值时使用当a ,b ∈R +,ab =m(定值)时，a +b ≥2ab =2m(定值当且仅当a =b 时，取“=”.不等式②可以在求函数的最小值时使用师 这位同学讲得非常好，讲得很全面.请继续思考下面的问题［合作交流］【例2】若正数x ，y 满足6x +5y =36，求xy 的最大值（教师可以先让学生进行讨论，然后再请一位同学上黑板板演）师 已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值，该如何转化用基本不等式呢？ 生 已知是两正数和的等式.要求两数积的最大值，可以由y x y x 56256∙≥+,得到23630≤xy ,即可解出xy 的最大值（板演）解：因为x ，y 为正数，则6x ，5y 也是正数，所以xy y x yx 3056256=∙≥+当且仅当6x =5y 时，取因为6x +5y =36，则23630≤xy ，即554≤xy .所以xy 的最大值为554（教师结合学生的板演，作及时点拨）师 函数式中含有根式，不容易看出定积是否存在，用什么方法解决这个问题？ 生 可以先用换元法把根式去掉，再把函数式进行转化师 很好.大家不妨用换元法来尝试下设32+=x u ,则2x =u 2-3，所以y =u 2+u 16 -3=u 2+u 8 +u 8 -3≥33288uu u ∙∙ -当且仅当u u 82=，即u = 2时，取“=”.当u = 2时，232=+x .所以当21=x 时，y 有最小值师 换元法是常用的数学思想方法，能帮助我们把复杂问题简单化（教师结合学生的板书有漏洞或错误，可以边纠正，边点拨，边总结应用平均值定理求函数最值的步骤.这样能真正突出学生学习的主体地位）师 应用平均值定理求函数的最值，要注意的问题有：（１）函数式中诸元素是否为正数；（２）诸元素的和或积是否为定值；（３）判断“=”是否成立师 请同学们继续思考下面的问题［例题剖析］【例3】为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为200 m 2的长方体二级净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米400元,中间一条隔墙建造单价为每平方米100元,池底建造单价为每平方米60元.一般情形下,净水处理池的长设计为多少米时,可使总造价最底师 为了求出此例中的最值我们可以先建目标函数，再求解生 设净水池长为x m,则宽为x200m,高为h m,则总造价f(x )=400(2x +2·x 200)·h+100·x200=800h(x +x 225)+12 000(x ＞ 当且仅当xx 225= (x ＞0),即x =15时上述不等式取到等号.故当净水池的长设计为15 m 时总造价最低师 这位同学解得非常好.对应用问题的处理，关键是把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求最值的基本保证.用基本不等式创设不等量关系也是经常采用的方式方法，请同学们以后在解决有关最值问题是要注意这条解题思路的灵活应用课堂小结师 本节课我们复习了哪些知识、方法？同学们用这些知识、方法解决了什么问题？通过本节课的复习，同学们又有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，由具体问题，构建基本不等式来解决有关函数的值域、最值问题.探究用基本不等式解决实际问题.掌握了解决实际应用题的一般程序，即审题、建模、研究模，再回到实际问题验证作答师 同学们总结得很好.通过本节课的复习，我们进一步感受到，数学这门学科，它是来源于生活，又作用于生活，也是一门基础科学，同学们应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用，应当正视数学的地位和作用，并且能够认真地去学习数学布置作业 复习参考题115，Ｂ组1、板书设计 本章复习（三）复习引入 题组 基本不等式例 方法归纳2ba ab +≤方法引导 小结 实例剖析（知识方法应用） 示范解题 习题详解（课本第115页复习参考题）Ａ组1.723151125＋＜＋2.化简得A ={x ｜-2＜x ＜3},B ={x ｜x ＜-4或x ＞2},所以A ∩B ={x ｜2＜x ＜3.当k ＜0时，一元二次不等式2k x 2+k x -83－＜0对一切实数x 都成立，即二次函数y =2k x 2+k x 83－在x 轴下方，Δ＝k 2-4(2k)( 83－)＜0,解之，得 -3＜k ＜当k ＞0时，二次函数y =2k x 2+k x 83－开口朝上，一元二次不等式2k x 2+k x 83－＜0不可能对一切实数x 都成立.所以-3＜k ＜4.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++0,0,0834＜＜＞y x y x 表示的平面区域内的整点坐标是(-1,-5.设每天派出Ａ型车x 辆，Ｂ型车y 辆，成本为z ，所以题目中包含的限制条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤.2606048,40,70y x y x 目标函数为z=160x +252y ,把z=160x +252y 变形为z x y 25216340+-=,得到斜率为6340-,在y 轴上的截距为z 2521.随z 变化的一族平行线，在满足可行域的整点中，点Ｍ(7,1)使得x 取得最小值.所以每天派出Ａ型车７辆，Ｂ型车１辆，成本最小答：电视台每周应播映连续剧甲２次，播映连续剧乙４次，才能获得最高收视率6.设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为xy S 21=xy ，扇形的周长为Z=2x +y ≥2xy 2=4S .当2x =y ，即x =S ,y =2S 时， Z 可以取到最小值，最小值为4S7.设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为P=2x +y ，扇形的面积为16)22(41)2(21212122p y x y x xy Z =+≤⨯==.当2x =y ,即4p x =,2p y =时，可以取到Z 的最大值，半径为4p 时扇形面积最大值为162p8.设汽车的运输成本为y ,y =(b v 2+a )×v sa sbv v s +=,当 s b v=v sa ，即v=bab a 且≤c 时，y 有最小值.y =s b v+v sa sbv v sa ⨯≥2 =2s ab ，最小值为2S ab .当ba＞c 时，由函数y =s b v+v sa 的单调性可知v=c 时y 有最小值，最小值为s b v+csa组2.(1){x ｜x ＜-2或-2＜x ＜43或x ＞6}； (2){x ≤-1或32≤x ＜43或x ＞4.设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z.则目标函数为z=20x +40y所以约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,6,102,10y x y x y x y x5.因为x 2+y 2是区域内的点到原点的距离的平方，所以，当⎩⎨⎧=--=+-,033.042y x y x 即x a =2,y a =3时，(x 2+y 2)的最大值为１当⎩⎨⎧=--=-+,033,022y x y x 即x c =1,y c =0时，(x 2+y 2)的最小值为6.按第一种策略购物.设第一次购物时的价格为P 1，购物n kg ，第二次购物时的价格为P 2，仍购按这种策略购物时两次购物的平均价格为222121p p n n p n p +=+.若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1p m kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2p mkg 物品，两次购物的平均价格为21212122p p p m p m m +=+.比较两次购物的平均价格：.0)(2)()(24)(2211222122121212212121212121≥++=++=+-+=+-+p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.一般地.如果是n次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济备课资料备用例题 【例1】 已知0＜x ＜31，求函数y =x （1-3x）的最大值分析一：原函数式可化为y =-3x 2+x ，利用二次函数求某一区间的最值解法一：（利用二次函数法可获得求解）（解略）分析二：挖掘隐含条件，∵3x +1-3x =1为定值，且0＜x ＜31，则1-3x ＞0；可用均值不等式. 解法二：∵0＜x ＜31，∴1-3x ＞0.∴y =x （1-3x ）=31·3x （1-3x ）≤31（2313x x -+）2=121.当且仅当 3x =1-3x ,即61=x 时,121max =y【例2】求y =sin x +xsin 5的最小值，x ∈（0，π）错解:∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.∴y =sin x +xsin 5≥25.∴y mix错因：y =25的充要条件是sin x =xsin 5,即sin 2x =5，这是不存在的正解：∵x ∈（0，π）,∴sin x ＞0.又y =sin x +xx x x x sin 42sin 4sin 1sin sin 5+≥++＝,当且仅当x x sin 1sin =,即sin x =1时，取“=”，而此时xsin 4也有最小值4，∴当sin x =1时，y min =6.【例3】已知正数x 、y 满足2x +y =1，求yx 11+的最小值错解:∵1=2x +y ≥2xy 2，∴221≤xy ,即221≥xy .∴242221211=∙≥≥+xyy x ,即y x 11+的最小值为24错因：过程中两次运用了均值不等式中取“=”过渡，而这两次取“=”的条件是不同的，故结果错正解一：∵2x +y =1，∴.223122)11)(2(11+≥+++++-=+xyy x y x y x y x 当且仅当yxy x 2=，即y =2x时，取而⇒⎩⎨⎧=+=122y x x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,222,221y x ,即此时y min =3+22正解二：∵yx x y y y x x y x y x 232211++=+++=+ (以下同一小结：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取“=”成立的诸条件是否相容【例4】 已知正数x 、y 满足xy =x +y +3，试求xy 、x +y 的范围解法一：由x ＞0,y ＞0,则xy =x +y +3⇒xy -3=x +y ≥2xy ,即（xy ）2-2xy解得xy y ≤-1(舍)或xy ≥3，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［又x +y +3=xy ≤(2y x +)2⇒(x +y )2-4(x +y )-12≥0⇒x +y ≤-2(舍)或x +y ≥6，当且仅当x =y 且xy =x +y +3,即x =y =3时取“=”，故x +y 的取值范围是［解法二：由x ＞0,y ＞0,xy =x +y x -1)y =x +3知x ≠1,则13-+=x x y ,由y ＞0⇒13-+x x ＞0x ＞1,则9514)1(2514)1(14)1(5)1(131322=+-∙-≥+-+-=-+-+-=-+=-+∙=x x x x x x x x x x x x x xy ,当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［9,+∞). 6214)1(2214)1(11414113=+-∙-≥+-+-=+-+=-+-+=-++=+x x x x x x x x x x x x y x当且仅当x -1=14-x (x ＞0),即x =3,并求得y =3时取“=”，故xy 的取值范围是［点评：解法一具有普遍性，而且简洁实用，易于掌握，解法二要求掌握构造的技巧总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，要掌握常见的变形技巧，掌握常见题型的求解方法，加强训练、多多体会，才能达到举一反三的目的【例5】 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)，设容器高为h 米，盖子边长为a 米，(1)求a 关于h 的解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度)．命题意图：本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值.知识依托：本题求得体积V 的关系式后，应用均值定理可求得最值错解分析：在求得a 的函数关系式时易漏h ＞技巧与方法：本题在求最值时应用均值定理解：（１）设h′是正四棱锥的斜高，由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+='∙+2222412214h a a a h a 消去h′,解得112+=h a (a ＞(2)由)1(33122+=h h h a V ＝(h＞得2121,)1(31=∙=++=hh h h hh V 而.所以V≤61,当且仅当h h 1=,即h=1时取等号，故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为61立方米。