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《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题 １①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（ ）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ； 四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 四、1、 29；。
第1页/共8页第一章 函数、极限与连续1.1 映射与函数1. (1)）（x f 与 ）（x h 相同; ）（x g 与）（），（x h x f 不同. (2)）（x f 与 ）（x ψ相同相同）（x ϕ与）（），（x x f ψ不同. (3) ）（x f 与 ）（x g 相同. 2. (1) [ππ）（12,2+n n ],,2,1,0 =n (2) 21≤a 时[]a a −1，;21>a 为空集. 3. (1)3arctan 213arctan 21xy y x ==；(2)xx y y y x −=−=1ln 1ln； 5.（2）,224,216==−）（）（πϕπϕ02=）（ϕ. 6. (1)奇 , (2)奇 , (3) 偶. 7..22332+∞<<−h r r h h hr ，）（π1.2 数列的极限1.（1）3⎯⎯→⎯∞→n n x .（2）.0⎯⎯→⎯∞→n n x(3)无极限. (4) 无极限. 1.3 函数的极限2. (1) 极限不存在. (2) 极限不存在. (3)，2arctan π−⎯⎯→⎯−∞→x x∞→x 时,x arctan 的极限不存在. (4)，11⎯⎯→⎯++∞→−x x e ∞→x 时,x e −+1的极限不存在. (5) 极限不存在. 1.4 无穷小与无穷大3.无界,非无穷大. 1.5 极限运算法则1. 2; 2. 0; 3. -1/5; 4. -1; 5. 2x ;6. 2; 7. 0; 1.6 极限存在准则 两个重要极限1.(1) e1; (2) a ; (3) 0 ; (4) x ; (5) 1; (6)2−e ; (7) 1−e ; (8) 3; (9) e . 2. 2 ; 3. 0 1.7 无穷小的比较1. (1)x x ~arctan . (2)e a =时等价; e a ≠时同阶. (3) 同阶. (4) 同阶. 2 (1)6=n ; (2) 1=n ; (3) 8=n . 1.8 函数的连续性与间断点1.(1)2=x ,第一类可去,补充定义-4; 3=x ,第二类无穷. (2)，，20ππ+==k x x 第一类可去, 分别补充定义1,0; ）（0≠=k k x π为第二类无穷. (3) 0x =第一类跳跃第一类跳跃 （4）0x =第二类无穷第二类无穷2. ），），（，），（，（∞+−−∞−1122.3112∞⎯⎯→⎯−⎯⎯→⎯→−→x x x f x f ）（，）（3.）（）（，）（0100100f f f =−=+=−, ，0=x 第一类跳跃.4.1±=x ,第一类跳跃.1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性1..34==b a ，2. (1)112ln ++e ; (2) 0 ; (3) 1/2 ; (4)-1/56 ; (5) 1/2 ;(6) 0 ; (7) 2−e ; (8) 0 ; (9) ；x sin − (10) 1−e . 第二章 导数与微分 2.1 导数概念1、（1）-20 （2）12、（1）(0)f ′ （2）0()f x ′−（3）02()f x ′3、2，-14、1,1y x y x −=−=−2.2 函数的求导法则1、（1）′=++y x xln ln 2222 （2）′=−+⋅y x x x x x 332155222cos sin sec () (3)2-1(1)y x x =+(4)2cos sin x x x y x −= (5)(2)(3)(1)(3)y x x x x =−−+−−(1)(2)x x +−−(6)21cos sin (1cos )x xy x ++=+ （7）()22224sin1cos (1)x x x y x x ⎡⎤++⎣⎦=+(8)x x chx shx e y x tan sec )(3−+=′ 2、（1）-2 （2）2(1)42π+ 3.(1)38(25)y x =+(2)3sin(43)y x =− (3)22xy a x−=− (4)2sin 4y x =(5)2sec (12)y x x =−−(6)()arctan 21x e y x x =+ (7)211y x=+(8)12(1)y x x =− (9)sec y x =(10)csc y x =(11)()11sin cos sin sin cos n n n n y n x x x x x x −−=+(12)211y x =−− (13)()1ln ln ln y x x x =(14)′=++−y x x x xx xx 3222212123ln ()ln cos4．22()()()()()()f x f xg x g x f x g x ′′++5．445(3),5x x −6．(1)()-241xy exx =−++(2)-24()t ty e e =+或21(ch) (3)24arctan 24xy x =+ (4)arcsin 2x y =(5)4218x x x x y x x x x x x+++=+++ 7.122.3 高阶导数1. (1)214-x (2)()23222aa x −− (3)232(1)x y x −=+2．(1)!n (2) ().xx n e +(3)-1-12sin(2).2n n y x π=+3. (1)4cos xe x −(2)21225(sin 250cos 2sin 2)2x x x x x −++5022.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1 (1)22.ay x y ax −− (2)′=++−+y y x x y x x y sin cos()cos cos()2.(1)222.y x y −(2)22.e3.sin 11cot 2(1)x xx x x e e x x e ⎡⎤−+−⎢⎥−⎣⎦24.(1)cos sin 1sin cos θθθθθθ−−− (2)sin cos cos sin t t t t +−5.(1)231t t +− (2)1()f t ′′2.5函数的微分1 (1)22)sin 2).xxx e x e dx ++（（(2)231(1)dx x + (3)2ln 1)1x dx x −−−（(4)42.1xdx x −+2．dx3.提示：利用()(0)(0)f x f f x ′≈+第三章 微分中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理1.提示：首先验证函数满足Lagrange 定理的条件，并可求得63(1,2)3ξ−=∈, 使(2)(1)()21f f f ξ−′=−.2.11ln()xe x x θ−=3.方程()0f x ′=有且仅有三个实根,它们分别在区间(0,1),(1,2),(2,3)内.4.提示：利用反证法.5.提示：作辅助函数()x ϕ=(1)10xx e −+>,利用Lagrange 中值定理.3.2 洛必达法则1.32 2. 12 3. 3. 11 4. 12 5. 5. 1 6. 1 6. 0 0 7. 528. 8. 1 1 9. ∞ 10. 13.3 泰勒公式 1.21()ln 2()()244f x x x ππ=−−−−− 232sec tan ()34x πξξ−− ,ξ在,4x π之间.2.2311()2!(1)!xn n xe x x x x o x n =+++++− 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性2. 1(,),(1,)2−∞+∞单调增加,1(,1)2上单调减少.3.2(,),(,)3a a −∞+∞单调增,2(,)3a a 上单调减.4.22[,]33−单调增, 2(,]3−∞−,2[,)3+∞单调减.7. 凸区间(,1]−∞,凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9−3.5 函数的极值与最大值最小值1.2[1,]e 单调增,(0,1],2[,)e +∞单调减,极小值(1)0f =,极大值224()f e e=2.2,05x x ==3. 极大值213xy ==,极小值312.5x y ==.4. 3,0,1a b c =−==5. 0()f x 是极小值是极小值6.最大值为2,最小值为 -2.7.最小值212x y =−=8.0163x =, max 16()151.73S =9.422,33h R r R == 3.7 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.高等数学期中自测试题一、DDCDD二、1、[1,2] 2、1/2 3、-14、(1)(1)(0)(0)f f f f ′′>−>5、1t =三、1、(22)n n πππ+，(012)n =±± ，，，2lim ln sin 0x x π→=2、1/43、04、36、(]0−∞，单调减，[)0+∞，单调增单调增五、提示：利用反证法，由零点定理推出矛盾。
1 研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[0 1)和(1 2]内是连续的在x1处因为f(1)1 并且所以从而函数f(x)在x1处是连续的综上所述，函数f(x)在[0 2]上是连续函数(2)解只需考察函数在x1和x1处的连续性在x1处因为f(1)1 并且所以函数在x1处间断但右连续在x1处因为f(1)1 并且f(1) f(1)所以函数在x1处连续综合上述讨论函数在( 1)和(1 )内连续在x1处间断但右连续2 下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1) x1 x2解因为函数在x2和x1处无定义所以x2和x1是函数的间断点因为所以x2是函数的第二类间断点因为所以x1是函数的第一类间断点并且是可去间断点在x1处令y2 则函数在x1处成为连续的(2) xk (k0 1 2 )解函数在点xk(k Z)和(k Z)处无定义因而这些点都是函数的间断点因(k0) 故xk(k0)是第二类间断点因为 (k Z) 所以x0和(k Z) 是第一类间断点且是可去间断点令y|x01 则函数在x0处成为连续的令时y0 则函数在处成为连续的(3) x0解因为函数在x0处无定义所以x0是函数的间断点又因为不存在所以x0是函数的第二类间断点解因为所以x1是函数的第一类不可去间断点3 讨论函数的连续性若有间断点判别其类型解在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点在分段点x1处因为所以x1为函数的第一类不可去间断点4 证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0 则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)0证明不妨设f(x0)>0 因为f(x)在x0连续所以由极限的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域使当x时f(x)>0 从而当xU(x0)时f(x)>0 这就是说则存在x0的某一邻域U(x0) 当xU(x0)时f(x)05 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x0 1 2 n是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数在点x0 1 2 n处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续解函数在R上处处不连续但|f(x)|1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续解函数在R上处处有定义它只在x0处连续。
成考（全套高等数学作业(1、2、3、4、5、6、7、8)）-如果定义了单选项问题[102070]，则()。
答案:D单选题[102060]定义。
然后(美国广播公司回答:b选择题[65056)功能(..答案:b多项选择题[102073]下列各组字母在数字中，相同的函数用()表示。
回答:b填空，选择一个选项[44003]，然后()。
答:单选题[43992]在下列函数对中，相同的函数由()表示。
答:c选择题[102071]集，如果曲线相对于直线是对称的，那么表达式是()。
答:b选择题[65043]功能是()。
偶数函数奇数函数有界函数周期函数答案:多项选择问题[44001]集，然后()。
答:c .[98433]函数的图形和c .[98433]函数的图形是关于一条直线对称的，那么_ _ _ _ _。
答:单选题[65052]下列函数中，倒数函数是()。
函数是(a .偶函数b .奇函数c .有界函数d .周期函数答案:a .多项选择题[43992)下列函数对中，代表相同函数的是(a，b，和...))c，d，答案:c选择题的域[65058]函数是(a.b.c.d .答案:c选择题[65051]下列函数组是(a和b，c和d，答案:b)。
(单选项[43992)在下列函数对中，相同的函数由()表示。
答:c填充问题[102089]的函数的单调缩减间隔是_ _ _ _ _。
答:单项选择问题[102061的反函数是(公元前)年。
答:单选题[44 006]如果有定义，下面函数中的奇数函数是()。
在下列函数组中，相同的函数由()表示。
工商及科技局局长答:B选择题[44006]是在定义中设定的。
然后()。
在下列函数中回答奇数函数:d多选[44001]，然后()。
在下面的函数中，函数图关于原点是对称的。
答案:b选择题[65051]下面的函数组显示相同的函数()。
答案:[在下列函数对中，同一个函数由()表示。
答案:c，单答案:b单选择[44001]集，然后()。
高等数学作业答案（高起专）第一章函数作业（练习一）参考答案一、填空题1．函数x x x f -+-=5)2ln(1)(的定义域是]5,3()3,2(2.函数392--=x x y 的定义域为),3(]3,(+∞⋃--∞。
3．已知1)1(2+=-x e f x ，则)(x f 的定义域为()+∞-,1 4．函数1142-+-=x x y 的定义域是),2[]2,(∞+--∞ 。
5．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x 二、单项选择题1. 若函数)(x f y =的定义域是[0，1]，则)(ln x f 的定义域是( C ) .A . ),0(∞+B . ),1[∞+C . ]e ,1[D . ]1,0[ 2. 函数x y πsin ln =的值域是( D ).A . ]1,1[-B . ]1,0[C . )0,(-∞D . ]0,(-∞ 3．设函数f x ()的定义域是全体实数，则函数)()(x f x f -⋅是（C ）． A.单调减函数； B.有界函数；C.偶函数；D.周期函数4．函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f xx （ B ） A.是奇函数； B. 是偶函数；C.既奇函数又是偶函数；D.是非奇非偶函数。
5．若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （B ） A.2x ； B. 22-x ； C.2)1(-x ； D. 12-x 。
6．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．A ． xB ．x + 1C ．x + 2D ．x + 37． 下列函数中，（B ）不是基本初等函数．A ． xy )e1(= B ． 2ln x y = C ． xxy cos sin =D ． 35x y = 8．设函数⎩⎨⎧>≤=0,00,cos )(x x x x f ，则)4(π-f =（C）．A ．)4(π-f =)4(πf B ．)2()0(πf f =C ．)2()0(π-=f fD ．)4(πf =229. 若函数1)e (+=x f x ，则)(x f = ( C ) .A . 1e +xB . 1+xC . 1ln +xD . )1ln(+x10. 下列函数中=y （B ）是偶函数.A . )(x fB . )(x fC . )(2x fD . )()(x f x f --第二章极限与连续作业（练习二）参考答案一、填空题1．________________sin lim=-∞→xxx x 答案：12.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a 2, =b -8。
高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。
A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。
A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算x f x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。
6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。
第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。
（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。
（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。
（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。
（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y (10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。
A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。
《高等数学教程》第一章 习题答案习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2Λ±±=+≠k k x ππ (5)),2,1,0()352,32(Λ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++ 3.0,22,22,21 5.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T (3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)a cx b dx y -+-=(2)2arcsin 31xy = (3)21-=-x e y (4)xxy -=1log 2(5)2xx e e y --=8.(1)2,x a u u y -== (2)2,x u e y u == (3)cos ,lg ==u u y (4)x v tgv u u y 6,,2=== (5)21,,cos ,xw e v v u arctgu y w -==== (6)22,ln ,ln ,x w w v v u u y ====9.(1)]1,1[- (2)Y zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a ，则=D Ф. 10.4)]([x x =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ. 11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h r h V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=r V 15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h h r V π16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx x x f x x f 3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123x x ++ 8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0 (3)2+n n,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n Λ,21(6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim 00==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x1)(lim 0-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim习题1-4 (B)3.x x y cos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大. 5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量； 当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103; (5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-. 2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)n m; (4)0; (5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a(5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ； (6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x . 2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0; (5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+. 习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34x x -比32x x +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α 4.m =α6.(1)23; (2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<nm n m nm ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)b a ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e ; (3)21; (4)0; (5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1. 5.x x x x p 32)(23++=. 6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x 为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点 (4)0=x 为第二类间断点.4.(1)1=x 为可去间断点，补充32)1(=f ;(2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点. (5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x 为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a 4. ),2,1,0(22Λ±±=-=n n a ππ5. 0,=-=b a π6. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x .习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞ 21)(lim 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1; (9) ab ; (10) 5e ; (11) -1; (12) 2. 4. 1=a 5. 1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点; (5)无间断点.2. 1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0;(5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f2. ]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7.21 8. b a = 9.56 10. 第二类，第一类 三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα 3. 1lim =∞→n n x 4. 4 5. 4e 6. －50 7.a ln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续； 当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续. 9. 82-部分习题选解 习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim 时>=∞→a a nn证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a n nn n n n n nh h h n n nh h a >++-++=+=∴Λ22)1(1)1( εεan na h n ><<<∴0∴取1][+=εaN ，当N n >时，有ε<<=-nah a n n 1，即1lim =∞→n n a (ⅱ)当1=a 时，显然成立. (ⅲ)当10<<a 时，令11>=ab ∴11lim lim ==∞→∞→n n nn ab∴1lim =∞→nn a 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a 时，有1lim =∞→nn a . 习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim证明：2nn n n y x y x +≤Θ ),2,1,0(011Λ=≤≤∴++n y x n nnnn n n n nn n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0(Λ=n 由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少， 又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++ΛΛ ∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛. 设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21n n n y x y +=+，2lim lim n n n n n y x y +=∴∞→∞→ b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim . 习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ， 试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=. 证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F )(x f Θ在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续， )(x F ∴在]1,0[l -上连续.又Θ0)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f Θ 0)1()0(≤-⋅∴l F F(ⅰ)若0)0(=F ，取00=x ，即)()0(l f f = (ⅱ)若0)1(=-l F ，取l x -=10，即)1()1(f l f =- (ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ， 即)()(00l x f x f +=. 综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法) 假设)(x f 在],[b a 变号， 即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f Θ)(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续. 由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。
《高等数学》习题册参考答案说明 本参考答案与现在的习题册中的题目有个别的不同，使用时请认真比对，以防弄错.第一册参考答案第一章 §1.11.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤≤--<≤<≤+=--. ),(2, , ,0 , 211010101T t T T t a v T t v t at v v a va vv a v v 图形为：2.B.3.)]()([)]()([)(2121x f x f x f x f x f --+-+=， 其中)]()([)(21x f x f x F -+=为偶函数，而)]()([)(21x f x f x G --=为奇函数. 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<≤-<≤-<≤=.6 ,0,64 ,)4(,42 ,)2(,20 ,)(222x x x x x x x x f 5.⎩⎨⎧.)]([,)2()]([,)1(单调减单调性相反，则单调增；单调性相同，则x g f g f x g f g f6.无界.7.（1）否，定义域不同；（2）否，对应法则不同；（3）否，定义域不同.§1.21.（1）)1 ,0()0 ,1(⋃-=D ；（2）} , ,{2Z ∈+≠=k k k x x D πππ；（3）)1 ,0(=D . 2.1 ,4-==b a . 3.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=,0 ,1,0 ,0 ,0 ,1 )]([x x x x g f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-.1 ,,1 ,1 ,1 , )]([1x e x x e x f g4.（1）]2 ,0[,)1arcsin(2=-=D x y ； （2）Y ∞=+=+=022),( , )(tan log 1k a k k Dx y πππ. 5.（1）xx x f f 1)]([-=； （2）xx f f 1)(1][=. 6.+∞<<=-h r V rh hr 2 ,23122π.7.（1）a x =)(ϕ； （2）h x x +=2)(ϕ； （3）ha a h x x )1()(-=ϕ.§1.91.1-=e a .2.（1）1=x 和2=x 都是无穷间断点（属第Ⅱ类）；（2）1 ,0==x x 和1-=x 是间断点，其中：1是可去间断点（极限为21）（属第Ⅰ类）； 0是跳跃间断点（左极限1-，右极限1）（属第Ⅰ类）；-1 是无穷间断点（属第Ⅱ类）； （3）0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类），1=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）（注意：+∞==∞+-→-ee xx x 11lim ，而0lim 11==∞--→+e e xx x ）；（4）)( 2Z ∈+=k k x ππ为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （5）⎩⎨⎧=≠=+=∞→,0 ,0,0 ,1lim )(12x x nx nx x f xn ∴ 0=x 为无穷间断点（属第Ⅱ类）； （6）∵ )(lim , 0)(lim 11+∞==+-→→x f x f x x ， ∴ 1=x 为第Ⅱ类间断点，（注意：这类间断点既不叫无穷间断点，也不叫跳跃间断点，不要乱叫）； ∵ 1)(lim , 0)(lim -→→==+-e x f x f x x ， ∴ 0=x 为跳跃间断点（属第Ⅰ类）.3.（1）1 ,0≠=b a ； （2）1 ,≠=a e b .4.（1）21)0(=f ； （2）0)0(=f .5.证：由)()0()0(22x f f x f +=+，得0)0(=f ，于是，再由0)0()(lim )]()()([lim )]()([lim 0==∆=-∆+=-∆+→∆→∆→∆f x f x f x f x f x f x x f x x x ，∴ )(x f 在x 点连续.§1.101.)(x f 在),(+∞-∞内连续，则0≥a ；又0)(lim =-∞→x f x ，则0<b ，故选D.2.) ,2()2 ,3()3 ,(∞+⋃-⋃--∞； 210)0()(lim ==→f x f x （0是连续点）， 5858213)2)(3()3()3(3322limlim)(lim -====----→-++-+-→-→x x x x x x x x x x x f （-3是可去间断点）， ∞==-++-+→→)2)(3()3()3(222lim )(lim x x x x x x x x f （2是无穷间断点）.3.（1）a1； （2）0； （3）2e （提示：原极限x e x xe x x x x x e e )ln(lim)ln(00lim ++→→==，而=+→110 )ln(lim 加分子减x e x x x 2)1(lim )]1(1ln[lim 00==-+-++→→拆分分子等价无穷小代换x e x x e x x x x x ）； （4）21-e（提示：原极限xxx e 2sin cos ln 0lim→=，而21cos 11cos 11cos 0cos 1)]1(cos 1ln[0sin cos ln 0lim lim lim lim222-====+-→--→--+→→x x xx x x x x xxx ）； 注意：（3）和（4）都用到了等价无穷小代换：□0→时，ln (1+□)～□. （5）1； （6）不存在（左极限2-，右极限2）.4.（1）0=a ，e b =； （2）a 任意，1=b .§1.111.令)sin ()(b x a x x f +-=，则)(x f 在] ,0[b a +上连续，且0)0(<-=b f ，=+)(b a f 0)]sin(1[)sin(≥+-=-+-+b a a b b a a b a .若0)(=+b a f ，则b a +就是一个正根；若0)(>+b a f ，则由零点定理，)(x f 在) ,0(b a +内有一正根.总之，)(x f 在],0[b a +内有一正根.2.作辅助函数x x f x F -=)()(，则)(x F 在] ,[b a 上连续，且0)()(<-=a a f a F ，)(b F0)(>-=b b f ，由零点定理，) ,(b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即ξξ=)(f .3.由题设：)(x f 在] ,[1n x x 上连续，设m M 、分别为)(x f 在] ,[1n x x 上的最大值和最小值，则M x f x f x f c m n n≤+++=≤)]()()([211Λ，于是，由介值定理可知：) ,() ,(1b a x x n ⊂∈∃ξ，使得c f =)(ξ，即)]()()([)(211n nx f x f x f f +++=Λξ. 4.令)()()(a x f x f x F +-=，则)(x F 在] ,0[a 上连续.若)()0()0(a f a f f =+=，则取 00=x ，命题成立；设)()0(a f f ≠，则由)()0()0(a f f F -=，而)2()()(a f a f a F -= )]()0([)0()(a f f f a f --=-=，所以，)0(F 与)(a F 异号，于是，由零点定理可知：) ,0(a ∈∃ξ，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξ，命题成立.第一章 总复习题1.⎪⎩⎪⎨⎧>≤=+.0,1 ,0 ,)]([211x x x f x ϕ 2.22sin 2x. 3.) ,(∞+e .4.证：∵A x f x x =→)(lim 0，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε，都存在正数δ，只要δ<-<00x x ，就必有ε<-A x f )(成立①（这就是函数极限的“δε-定义”）； 又∵)( lim 00x x x x n n n ≠=∞→，∴对①中的正数δ（因这样的正数是任意的），必存在自然数N ，只要N n >，就必有δ<-0x x n 成立（这就是数列极限的“N -ε定义”）.但对任何n ，0x x n ≠，所以这时也就有δ<-<00x x n 成立②.把①②两步结合起来就是(从②推回到①)：对于事先给定的无论多么小的正数ε，（由①，0>∃δ，从而由②）必存在自然数N ，只要N n >，（①②同时成立）就必有 ε<-A x f n )( 成立. 故由极限的定义可知：A x f n n =∞→)(lim .附注：本题是函数极限与数列极限相结合的题目，抽象且有点难，但提供了一个重要的求极限的方法，即数列极限可作为函数极限的特殊情况来处理，比如下面：∵a xa x x e x a x a x x x x ln ln lim 1lim 1lim0ln 00==-=-→→→（用到了□→0时，e □-1～□）, ∴a xa naa n x x nn nn ln 1lim 11lim)1(lim 01=-=-=-+→∞→∞→. 5.（1）23-； （2）2011 ,20111； （3）5，531. 6.提示：因)(x f 在],[b a 上连续，而 )(m ax )(m in ],[2)()(2],[x f M m x f b a x d f c f kb a x ∈+∈=≤=≤=，对)(x f 在],[b a 上用介值定理.7.（1）21（提示：每个括号通分，分子因式分解，并与分母约分，再整理得n n 21+）； （2）a-11（提示：给极限式子乘)1(a -，打开括号得)1(4na -，并利用一个重要结果)1( 0lim <=∞→q q n n ）；（3）ab--11（提示：分子、分母都利用等比数列前n 项和公式：1减公比分之首项减去末项乘公比，再利用（2）中的重要结果）；（4）21（提示：有理化，分子、分母再同除以n 或利用重要结果：当0 ,000≠≠b a 时，⎪⎩⎪⎨⎧>>∞>=<<==++++++++∞→----∞→.0 ,,0 ,,0 ,0 lim lim 00002211022110m k m k m k n b na b n b n b n b a n a n a n a b a mkn m m m m n k k kn ΛΛ ）； （5）t （提示：利用重要极限）；（6）2-（提示：分母就是x 2sin -～2x -，再拆分）；（7）2b a +（提示：有理化，再利用（4）中重要结果）； （8）4（提示：分子减1加1并拆分，再利用等价无穷小代换：□→0时，cos 1-□～21□2）； （9）e （提示：原极限e e e x x x x x x ==→+→=22220tan )1ln(0lim lim 等价无穷小代换）； （10）2)1(+n n （提示：分子因式分解，先分出个因式)1(-x 并与分母约简，再分出个因式)1(-x 仍可与分母约简，聪明的人一下子就可分出因式2)1(-x ）； （11）π2（提示：令x t -=1，则原极限]2 cos sin [lim 20t t t t ππ→=，再利用重要极限）. 8.提示：把根号进行放缩得不等式：n n n n n n n n n A nA a a a A ⋅=<+++<Λ21，并注意：1lim=∞→nn n （会推证吗？），再用夹逼定理（或叫夹挤准则，俗称“两头夹”）.第二章 §2.61.（1）)cos(21sin )cos(2xy x x xy y --； （2）)1(2xy e e e e y xyy xxy +-+； （3）y x y x -+； （4）22ln ln xx xy y y xy --（两端取对数）；（5）]111[ln )1(x x x x x x ++++（两端取对数或利用一个重要公式：若)()]([x g x f y =，则])()(ln )([)]([)()()(x f x f x g x g x f x g x f y '⋅+'⋅='）；（6）])1)(1(2)2()1(2[111222x x x x x x x x x x x x x ++++-+--+++-（利用对数求导法）. 2.（1）3222)1(])1()1[(--+--y x x y y ； （2）])1()1(213[2322422+-++y y x y y x . 3.])(arctan )()(arctan )([2222x y x y f y x f y x x y '-+'++-（提示：令xyv v u == ,arctan 而，则原方程变为 y x u f =)(，两端对x 求导得 y x y u f x y x y v '+=⋅⋅'⋅-⋅'+22111)(，再解出y '）.4.提示：求出一、二、三阶导数，代入左端化简.5.切线方程：)1(152-=-x y ； 法线方程：)1(125--=-x y . 6.（1）2t； （2）23-. 7.（1）21)1(cos ----t a ； （2）1)]([-'t f .8.)2)(1(1e e t t-+（提示：第二个方程两端对t 求导，得0d d =+t y e e y t ，解出y t e e t y -=d dee e e e e t t t t 22-=--=，并代入 t x t y x y d d d d d d = 之中再约简）.9.在时刻t ，甲船所走路程t t s 40)(1=，乙船所走路程t t s 30)(2=，两船间的距离为 t t t t d 50)30()40()(22=+=，两船间的距离增加的速度为50)(='t d .10.设y OP x ON == ,，则由木杆匀速前移知：c tx=d d （为常数）， 由题图知：OA MN y x y =-，即 x MN OA OA y -=，从而 txMN OA OA t y d d d d -=. 可见tyd d 为常量，即P 点前移的速度是匀速的.§2.71.（1）增量为-0.09，微分为-0.1；（2）增量为-0.0099，微分为-0.01.评注：①结果表明：x ∆愈小，则y y d 与∆愈接近，这就是微分的数量特征；②微分的几何特征是“以直代曲”.2.（1）C x x ++3； （2）C x +-2cos 21； （3）C e x +--； （4）C x +2arctan 21. 3.（1）x d 2； （2）x a d ； （3）x d 42； （4）x d .4.（1）x x x d 13)]13ln(2sin[3++； （2）t t t t e t t d )52(2)23(332)52ln(323+--⋅+-；（3）x x x x d )21(sec )21tan(8222++. 5.150110+. 第二章 总复习题1.A 、E .2.)(x f 在0=x 处可导必连续.由连续有：)0()2sin (lim lim 0f x b e x ax x =+=+-→→，求极限得：1=b ；由可导有：⎪⎩⎪⎨⎧=='=--=''='--+→+→-+-+-,2lim )0(,01lim )0( , )0()0(01)2sin 1(00x x x ax x f a x e f f f 而 所以，2=a . 3.由)0(f '存在，则)0()0(+-''f f 、存在且相等. 而x f x f x x f x f x f )0()(00)0()(0lim lim )0(-→--→+++=='， )0(lim lim lim )0()0()(0)0()(0)0()(0+-→----→--→-'-=-==='++-f f xf x f x x f x f x x f x f x ， 要使)0()0(+-'='f f ，只有0)0()0()0(='='='+-f f f . 4.（1）222211))((x a x ax axa +++-+； （2）]ln [ln 12xx x x x x x x ++（提示：===xx x x xexy lnxexx e ln ln ⋅，再利用指数复合函数求导；或者利用取对数求导法）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥<=--,1 ,,1 ,)(11x e x e x f x x 则 1<x 时，x e x f --='1)(； 1>x 时，1)(-='x e x f ；1=x 时，)1(lim 11lim )1(11111111+--→--→-'==≠-=='-+--f f x e x x e x x x ，则在1=x 处不可导.（4）4 ,1--； （5）tet t t t t t t t 22222)2sin cos 2()2cos 2(sin 4 , 2sin cos 22sin sin 2-+-+； （6）])6(1)5(1[!100101101+-+x x （提示：分母因式分解，并拆分，再求导）. 5.1)0(=g ，11)sin 1(lim 0)0()(lim)0(1200=-++=--='→→xx x x g x g g x x x ， 0≠x 时，x x x x x x x g 1112cos sin 21)sin 1()(-+='++='. 6.)0(lim 1lim )0( ,0)0(00)11(000)1ln(0+----+→--+→-'===='=+-f f f x x x x x x x ， 所以，函数)(x f 在点0=x 处可导，且1)0(='f ，从而必在0=x 处连续.评注：2、3、4（3）、5、6都涉及函数在一点处的导数，特别是分段函数在分界点处的导数，导数的定义以及左右导数的概念起到关键的作用，务必要高度注意.7.（1）由xy y f x f y x f 2)()()(++=+，得0)0(=f .当0≠y 时，x y y f y x f y x f 2)()()(+=-+. 由已知并由导数定义，得 y y f y y f y f y f k )(0)0()(0lim lim )0(→-→=='=， k x x f y x f y x f y +=='-+→2lim )()()(0.故对一切) ,(∞+-∞∈x ，)(x f 皆可导，且 k x x f +='2)(.（2）由k x x f +='2)(，知C kx x x f ++=2)(，再由0)0(=f ，得kx x x f +=2)(.第三章 §3.31.)0( !2)(32之间与介于x x e x x x f ξξ++=. 2.) 1( )1()1(])1()()(1[)(1212之间与介于x x x x x x f n n n n-+-++++++++-=+++ξξΛ.3.2)1(2)1(76)(-+-+=x x x f .4.（1）61-（提示：分母的x sin ～x ，从而只需把分子的x sin 展开到3x 阶）； （2）121-（提示：把分子的x cos 和22xe-都展开到4x 阶）.§3.41.（1）) ,0(21∈x 单减，),(21+∞∈x 单增；（2）),(4 3a x -∞∈单增，),(4 3+∞∈a x 单减. 2.（1）证①：利用拉格朗日中值定理.令xe xf =)(，则x x e x f e e f x f x >⋅=-'=-=-ξξ)0)(()0()(0.证②：利用单调性.令1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf .当0<x 时，0)(<'x f ，从而)(x f 单调减；而当0>x 时，0)(>'x f ，从而)(x f 单调增.故对一切0≠x ，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立.评注：①虽抽象，但更简洁；②虽通俗，但稍显麻烦.（2）令)1sec 2(sin )( ,2sec cos )( ,2tan sin )(22-=''-+='-+=x x x f x x x f x x x x f .当20π<<x 时，)(0)(x f x f '⇒>''单调增0)0()(='>'⇒f x f )(x f ⇒单调增， 故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f ，即要证的不等式成立（好好体会推理过程）. 评注：本题与（1）和下面的（3）的不同之处在于：需两次利用单调性.（3）参考上题方法或用泰勒公式：①利用单调性方法：令331tan )(x x x x f --=，则 ))(tan (tan tan 1sec )(2222x x x x x x x x x f -+=-=--='， 当20π<<x 时，0)(>'x f ，所以，)(x f 单调增，故当20π<<x 时，0)0()(=>f x f . ②利用泰勒公式：令x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，x x x x f tan sec sec 2)(=''， )1tan 4tan 3(2)sec sec tan 3(2)(24222++=+='''x x x x x x f ，x x x x x x x x f23223)4(sec )tan 2tan 3(8)sec tan 8sec tan 12(2)(+=+=（很麻烦），，之间与介于其中) 0 ( )( !4)(!3)0(!2)0()0()0()(tan 43314)4(32x x R x x x f x f x f x f f x f x ξξ++=+'''+''+'+== 当20π<<x 时，0)(4!4)(4)4(>=x x R f ξ，故 331tan x x x +> 成立. 评注：对本题而言，①似乎简单一些，但对②而言，得到泰勒公式（实际上是麦克劳林公式）后，其结果却更显而易见.擅长泰勒公式（或麦克劳林公式）的同学建议用②，其它几个题目也有类似的情况.总之，此类方法要好好掌握.（4）参考（1）题方法或用泰勒公式：4)1(14132432)1ln(x x x x x ξ+⋅-+-=+，而 0)(4)1(14134>⋅=+x x R ξ（ξ介于0与x 之间），故 3232)1ln(x x x x +-<+. 3.原不等式化为a a x a x a ln )ln(<++，设x xx f ln )(=，则2ln 1)(xx x f -='.所以，当e x >时， 0)(<'x f ，从而)(x f 单调减，故aax a x a ln )ln(<++，即原不等式成立. 评注：把要证的不等式先等价转化再利用单调性的方法会大大简化.4.不一定，例如，x x x f sin )(+=在) ,(∞+-∞内单增，但x x f cos 1)(+='在) ,(∞+-∞内不单调.5.) ,(512-∞∈x 单增，),(512+∞∈x 单减；10205205241m ax 512)(===f f ，无极小. 6.函数)(x f y =处处连续，322232a x x y -⋅='，有一个驻点0=x 和两个不可导点a x ±=；0)(=±a f 为极小值，也是最小值；34)0(a f = 为极大值，但无最大值.7.在]1 ,0[上函数单减，故4)0(π=f 最大，0)1(=f 最小. 8.令x bx x a x f ++=2ln )(，则应有 012)1(=++='b a f ，014)2(2=++='b f a ， 求得 32-=a ，61-=b ；而)1(f 极小，)2(f 极大. 9.提示：因函数处处可导，而可导的极值点必为驻点. 但 c bx ax x f ++='23)(2 当0)3(434)2(22<-=⋅⋅-≡∆ac b c a b ，即 032<-ac b 时无零点.§3.51.)1 ,0(∈x 时，凸；) ,1(∞+∈x 时，凹；拐点)7 ,1(-.2.82±=k ，各有两个拐点) ,1(22±±. 3.3 ,0 ,1-===c b a .4.tt y 1143)1(2⋅-=''，0=''y 的点 1±=t ，y '' 不存在的点 0=t ；有三个拐点：)2 ,1(11-↔-=t ，)0 ,0(02↔=t ，)4 ,1(13↔=t .§3.61.其图形如下所示：2.点) ,(22ln 22-处曲率半径有最小值233. 4.（1）铅锤渐近线两条：2=x 和3 -=x ；水平渐近线一条：1=y ；（2）铅锤渐近线：ex 1-=；斜渐近线：x y =.第四章 §4.11.（1）x e x 2cos 233+--； （2）C x x x +--33222 ,22； （3）C x x ++441221； （4）1ln +=x y .2.（1）C x x x x ++++22123232；（2）C x x ++-4147474；（3）C x x x ++-arctan 331； （4）C x +7272ln 121； （5）C x x +-arcsin 2arctan 3； （6）C e xxe ++1)5ln(1)5(； （7）C x +-cot 21；（8）C x x +-sec tan ；（9）C x x ++cos sin ；（10）C x x +-cot tan . §4.21.（1）C x x ++++])1[ln(411441； （2）C b ax nn n a n++++1)(2)1(2；（3）C x +)arcsin(tan ； （4）C x x +-ln 1； （5）C x+-10ln 1arccos 22110；（6）C x +2)(arctan； （7）C x+2sin 2212arctan ； （8）C x xe e ++1ln . 2.（1）C x x ++21； （2）C x x+--32arccos 39； （3）C xx +-442；（4）C x x x +++-)21ln()2()2(32323433132； （5）C x x x x +---)1(4arcsin 2222122； （6）提示：令 sin t x =（只需 20π<<t 即可），则 原式]d [d d cos sin )sin (cos d 21cos sin cos sin sin cos 21cos sin cos ⎰⎰⎰⎰++++-+++===t t t t tt tt t t tt tt t t （很巧妙）C x x x Ct t t t +-+++++==]1ln [arcsin ]cos sin ln [22121回代把.第五章 §5.11.提示：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间),,2,1( ],[1n i n in i Λ=-都取右端点，则a a a n a a an a a ax a nn n n n n n n ni ninn x ln 1)ln (]1[lim )1(])(1[limlimd 11111111-=--=--==∞→∞→=∞→∑⎰. 附注：其中①利用了分解式 )1)(1(112-++++-=-n n b b b b b Λ（上式中n ab 1=）；②利用了等价无穷小代换：□→0时，1-a □～-□ln a .2.（1）极限中的和式相当于：把区间n ]1 ,0[等份，每份长都是n1，每个小区间 ],[1n in i - ),,2,1( n i Λ=都取右端点，函数x x f +=1)(在所取点处的值再乘以小区间的长度并把它们加起来的结果（这种和有个名称，叫“积分和”），于是，按定义：原极限=⎰+1d 1x x ；（2）同理，极限中的和式是函数x x f πsin )(=在区间]1 ,0[上的积分和，于是，按定义： 原极限=⎰1d sin x x π.另外，该极限式子又可变为 ∑=∞→ni n ni n11sinlimπππ，暂不管π1，而这极限中的和式是函数 x x f sin )(= 在区间] ,0[π上的积分和，所以，仍按定义：又有 原极限⎰=ππ 01d sin x x .（同一式子导致两种不同的表示说明：“会看看门道”的道理）3.（1）不可积，无界；（2）可积，连续.4.（1）⎰πd sin x x ； （2）⎰-112d x x .§5.21.（1）2110 152d 2≤≤⎰+x xx （提示：在]1 ,0[上，211522≤≤+x x ，再利用定积分的估值不等式性质）； （2）412222d 2---≤≤-⎰e x e e xx（提示：在]2 ,0[上，2241e e e x x ≤≤--，再利用定积分的估值不等式性质，注意：下限大，而上限小）.2.（1）反证法：若存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0≠x f ，则由题设可知，必有0)(0>x f ，又因)(x f 连续，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00>⎰+-δδx x x x f ；但另一方面，又由题设可知0d )(d )( 00=≤⎰⎰+-bax x x x f x x f δδ，矛盾. 故对一切] ,[b a x ∈，都有0)(=x f ，即在] ,[b a 上，0)(≡x f .（2）证：由题设可知：存在一点] ,[0b a x ∈，使0)(0>x f ，从而存在0x 的一个邻域) ,(00δδ+-x x ，在这邻域内0)(>x f .于是，就有0d )(00 >⎰+-δδx x x x f ，故0d )(d )(00 >≥⎰⎰+-δδx x bax x f x x f .（3）这是（1）的直接推论. 3.提示：①先对定积分用“积分中值定理”再取极限.②也可以“两头夹”：01sin d sin 01sin sin 01−−→−≤≤⇒≤≤∞→⎰n n n nnx x x .§5.31.（1）0； （2）⎰-xt t e 0 d 2； （3）)0()(f x f -； （4）0 ,0 ,0 ,2x xe -； （5）x e ycos --.2.（1）81221213x x x x ++-； （2）x x x x cos )sin cos()sin ()cos cos(22⋅--⋅ππ.3.（1）2（连续用两次洛必达法则，还可先把分母等价无穷小代换后再用洛必达法则）；（2）提示：0→x 时，2sin x ～2x ，12-x e ～x 21，x arctan ～x ，所以，原极限=01)1ln(lim 22lim d lim2201)1ln(0221 01)1ln(022002=++⋅→++→++→==⎰x x xx x tx x x x x t t x 约简型洛； （3）原极限21lim 2]1d [lim 2d 2lim202222200 02 0=⋅⋅→→→=⎰=⎰=xx x x t x xx x t x e e xte xe et e 型洛约简型洛； 注意：在极限的运算过程中，极限为1的变量式子21xe 直接“抹掉了”（想想合法吗 ？）.（4）原极限)(lim 1)(d )(1 0a f a x f x t t f ax xa=⎰⋅+⋅→=型洛.4.（1）原式4d sin 42 0==⎰πx x ； （2）原式1d )1(210 =-=⎰x x ；（3）原式⎰-++=+=0141121d )3(2πx x x ； （4）原式3821 2211 0d d )1(=++=⎰⎰x x x x . 5.当)1 ,0[∈x 时，231 02d )(x t t x x==Φ⎰； 当]2 ,1[∈x 时，=+=Φ⎰⎰xt t t t x 11 02d d )(61221-x （这一步是关键）. 故 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=Φ,21,,10 , )(61221331x x x x x 显然，)(x Φ在]2 ,0[内连续（显然吗?）.6.当)0 ,(-∞∈x 时，0d 0 d )()(00 =-==Φ⎰⎰xx t t t f x ；当] ,0[π∈x 时，=Φ)(x )cos 1(d sin 2121x t t x-=⎰； 当) ,(∞+∈πx 时，⎰⎰⎰+==Φxx t t t t t f x 0 210 d 0d sin d )()(ππ1=.故 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<=Φ. , 1 , 0 , )cos 1(,0 , 0 )(21ππx x x x x 7.先用一次洛必达法则得 xb xa x x cos lim120-=+→，因分子极限为0，所以分母极限也一定是0（想想为什么？），从而 1=b ；这时分母 x cos 1-～221x ，再一次取极限得 4=a . 8.提示：当) ,(b a x ∈时，2)(d )())(()(a x tt f a x x f xax F ---⎰='，只需证分子 0≤ 即可.于是，若令⎰--=x at t f x f a x x g d )()()()(，则)()()()()()()(x f a x x f x f a x x f x g '-=-'-+='，因在),(b a 内0)(≤'x f ，所以，在),(b a 内0)(≤'x g ，从而在),(b a 内0)()(=<a g x g .§5.71.（1）22ωω+p （连续两次分部积分，并注意会出现循环现象，再移项求解）； （2）2π. 2.1>k 收敛；1≤k 发散； 当1>k 时，11)2(ln 1112)(ln 1112)(ln 1d --⋅=⋅=-∞+-∞+⎰k k kk x k x x x ，而函数 )0( )()2(ln 1>=x x f xx 当 2ln ln 1-=x 时取得它在) ,0(∞+内的最小值=m in f 12ln ln 1)2ln (ln +-，所以，当2ln ln 11-=-=k x ，即 2ln ln 11-=k 时广义积分的值最小.3.左c x cx c x e 22)1(lim =+=-∞→， 右⎰⎰∞-∞-∞--==ct ctct t e te e t 221221 221d )(dc c c tc c e e e 241224122)(-=-=∞-， 应有 1412=-c ，所以 25=c . 第五章 总复习题1.（1）A ； （2）C ；（3）提示：0=M 是奇函数在对称区间上的积分；P 的第一部分积分为0，第二部分积分为负，所以，0<P ；而N 的第一部分积分为0，第二部分积分为正（很容易算出，等于几呢？），所以，0>N ，故选D ；（4）提示：⎰⎰-=x xt t f t t t f xx F 02 02d )(d )()(，则⎰='xt t f x x F 0d )(2)(，而极限10 0 00d )(2lim d )(2lim )(lim -→→→⎰⎰=='k xx k x x k x x t t f x t t f x x x F 2000)1()(2lim-→-=k x x k x f 型洛0)0()(lim0 3 ≠'=→==f x x f x k 时当才会存在，故选C ；（5）提示：如图所示，由题设可知：)(x f 的图形在x 轴的上方单调下降且是凹的，2S 是下边小矩形的面积，最小；3S 是梯形的面积，最大；而1S 是阴影的面积，介于其间，故选B ；（6）提示：利用周期函数的积分性质：若)()(t f T t f =+，则对任意的常数a ，积分⎰⎰=+TTa at t f t t f 0 d )(d )( 与a 无关，现在t e t f t sin )(sin = 的 π2=T ，可知：⎰⎰⎰⎰+===πππππ2 sin 0sin 2 0sin 2 0d sin d sin d sin d )()(t te t t et t et t f x F t tt，对第二个积分令 π+=u t 换元而化为 ⎰⎰-=--ππsin 0sin d sin d )sin (t etu u e t u ， 故可知：0d sin ]1[)( 0sin sin >-=⎰πt t ee x F tt 为正常数，故选A ；（7）提示：先通过换元把被积函数符号)(22t x f -中的x “拿出来”，再求导.=⎰=⎰-=-⋅---换凑22)()(d )( d )( 21 02222 0 22t x u xxtx t x f t t xf t⎰⎰=-=2221021d )(d )(x x u u f u u f ，故选A. （评注：本题的关键是换元）2.（1）0； （2）a 2sec ； （3）0； （4）0； （5）0；（6）x x f 3sin )3(cos 3-； （7）2sin x ； （8）8π； （9）3ln ； （10）π1231+. 3.（1）证①：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f （积分中值定理）)10( 0)]()()[1()1)(()()1(≤≤≤≤≥--=--⋅-=ηλξηξλλληλλξλf f f f .证②：⎰⎰⎰⎰--=-11 0d )(d )()1(d )(d )(λλλλλλx x f x x f x x f x x f0)()1()()1(=---≥λλλλλλf f .评注：两种证法仅是考虑问题出发点不同：①的核心是积分中值定理与单调性的结合；②的核心是积分的不等式性质与单调性的结合.（2）提示：分部积分，得原式⎰⎰----+=⋅-=πππππππππ 0)( 0sin 0d sin )( d )(x x f x x x xf xx x x2)( d sin )( d d sin )( 00 sin 0=-+=-+=⎰⎰⎰-πππππππππππf x x f x x x f xx ；评注：本题的特点是含有“积不出”的积分 ⎰-xt tt 0 sin d π，但并不影响要求的定积分. （3）)32ln(23++-（提示：令xet 21--=，则原积分⎰-=231d 22t t t ，再拆分）； （4）)()](2)([42222t f t f t t f ''+'（特点是参数方程，但含有变限积分）；（5）令xt u =，则u t xd d 1=，xu t 010↔，⎰=x x u u f x 01d )()(ϕ，由A xx f x =→)(0lim及)(x f连续知：0)0(=f ，A f =')0(；由 ===→⎰→→=)0(limlim)(lim 1)(0d )(00 0f x x f x xt t f x x x型洛ϕ0)0(d )0(1==⎰ϕt f ，知)(x ϕ在点0=x 处连续；==='→--→xx x x x x )(00)0()(0lim lim )0(ϕϕϕϕ 22)(0d )(0lim lim 02 0 Ax x f x x tt f x x=→⎰→=型洛； 0≠x 时，20 d )()()(x tt f x f x x x ⎰-='ϕ，且因)0(][lim lim)(lim 22d )()(0d )()(02 0 2ϕϕ'==-=⎰-⎰='→-→→=A A x tt f x x f x x t t f x f x x x A x xx拆分，故可知)(x ϕ'在点0=x 处连续，从而处处连续.评注：本题是属于对变限积分所定义的函数的可导性的研究的题目.核心是导数的定义.（6）π2（提示：先放缩分母得不等式 ∑∑∑===+<+<ni n n i i n i ni n ni n n i 1111111sinsin sin πππ， 而左端的极限（利用定积分）πππππ2111 0 111111d sin sin lim ]sin [lim sin lim ===⋅=∑∑⎰∑==∞→+∞→=+∞→n i n i n n n n n n ni n n x x n i n i n i ， 右端的极限（利用定积分）πππ21 0 11d sin sin lim ==⎰∑=∞→x x n i ni nn ，再利用夹逼定理）； 评注：本题是利用夹逼准则和定积分相结合的方法而求和式极限的题目，加大了难度. （7）首先，因分子极限为0，所以，分母极限也一定是0，于是得0=b ；由洛必达法则得 20)1ln(0cos limcos lim 3x x a xa c x x x x --=→+→=分母等价无穷小代换，可知 1=a ；进而知21=c ； （8）原式⎰⎰--+=23 1)1(1121 )1(1d d x x x x x x ，第一个积分令2x x t -=，则012121t x ↔， )411(221t x -+=，所以，221)2(110214121 21)1(1)d(2d d 22π===⎰⎰⎰----t t x t tx x ；而对第二个积分令x x t -=2，则2323tx ↔，)411(221t x ++=，所以， ⎰⎰+-=23412231)1(1d d 2t x t x x 2320223)2(11))2(12ln()d(2t t t t ++==⎰+)32ln(+=， 故原式)32ln(2++=π.评注：本题中所作的两个换元虽有相似，但却本质不同，因此，相当于两个不同的积分. （9）提示：⎰∑⎰⎰∑--=-=-+-=-=nn n k n nnk n x x f n f x x f k f x x f k f a 1111111d )()(]d )()([d )()()](d )([ 11n f x x f a nn n --=⎰--，因)(x f 单调减，则)1(d )()( 1-≤≤⎰-n f x x f n f n n ，从而 0)](d )([1 ≥-⎰-n f x x f nn ，所以 1-≤n n a a ，即n a 单调减；另一方面，对一切n ，)(]d )()([d )()(11111n f x x f k f x x f k f a n k k knnk n +-=-=∑⎰⎰∑-=+=0)()()]()([11>=+-≥∑-=n f n f k f k f n k ，即n a 有下界. 综上：n a 单调递减有下界，故由单调有界准则（或原理）可知：A a n n =∞→lim 存在. 评注：上述分析推到过程中，积分的不等式性质起到关键作用. （10）] )( )([ )( )(22222222d 1d 21 12d 1d 2⎰⎰⎰=⎰+++=++=a auuu a auuu a a uuu a u x axxx a u f u f u f x f 令 而上式右端第二个积分⎰=⎰-⋅++=1d )d ()( )(2222222a t a a t ta u a au u ua t t f u f ta 令⎰⎰+=+=au u u a a t t t a u f t f 1d 1 d )( )(22（恰与第一个积分相等）. ∴ ⎰+a x x x ax f 1 d 2 )(22⎰+=a u uu a u f 1 d )(2⎰+=a x x x a x f 1d )(2. 评注：通过两次不同的换元才最终达到目的是本题的特点.第六章 §6.51.由虎克定律：kx x F =)(（x 为弹簧伸长厘米数），由5=x 时，100=F ，即k 5100=，得 20=k ，于是，x x F 20)(=，故 2250d 20d )(150 15===⎰⎰x x x x F W （克厘米）.2.如图所示，沙堆母线AB 的方程为 1=+hyr x ，即)1(h yr x -=.沙的比重2000=ρ公斤/米3.对应于薄层]d ,[y y y +，则y yr y x y V y W h y d )1( d d d 222-===πρρπρ，故 22350022 d )1( h r y yr W hh y ππρ=-=⎰. 3.（1）660d )8(10 ,d )8(10d 6=+=+=⎰x x F x x F （吨）；（2）设应升h 米，则 )11(60d )8(10 2 ,d )8(10d 60 +=++=++=⎰h x h x F x h x F ，于是，应有 )11(606602+=⋅h ，故 11=h （米）.4.（1）AB 的线密度为l M，)(d )( 0 2a l a kmM x a x l kmM F l +=+=⎰（k 为引力常数）； （2）引力分解为两个分力，由对称性，x x a l kmMF F x d )(d ,022+==，x x a l kmMax x a l kmM F y d )(cos d )(d 232222+=⋅+=ϕ， 222 2 232242d )(la a kmMx x a l kmMa F l l y +=+=⎰-. §6.61.232211d 2 e x x xe y -==⎰-. 2.12d )23( 3231=+=⎰t t t v （m/s ）.3.mT T I t t i 21 021d )(I ==⎰. 第六章 总复习题1.23+-=x y ； )3 ,( , )1 ,(2921-； 31613 22123d ])[(=--=⎰-y y y A . 2.) , 2(4πa ；⎰⎰+2 42214 0221d )cos 2( d )sin 2( πππθθθθa a ； 22)1(a -π. 3.4ln 141+-=x y （提示：曲线]6 ,2[ ln ∈=t x y 在处的切线 方程为)(ln 1t x t y t -=-，即1ln 1-+=t x y t.题设中所指的 面积为⎰--+=-=62 8d ln )2ln 2(2)(x x t S S t S t曲边梯形梯形6ln 62ln 2ln 416-++=t t. 令0)(4162=+-='ttt S ，求得唯一驻点为]6 ,2[4∈=t ，从而曲线上的点为)4ln ,4(）.4.)32ln(6++（提示：抛物线221x y =与圆322=+y x 的右交点为)1 ,2(A ，如图：由对称性，所求的弧长为⎰⎰⎰+='+==2220 2 d 12d 12d 2x x x y s l OA）.5.222342 , ab ab ππ（提示：椭圆绕直线b y =旋转所得的 立体与把椭圆向上平移b 个单位再绕x 轴旋转所得的立体一样大小.如图所示：所求的体积为⎰--=aax y y V 2221d ])()[(π⎰-----+=aaa x a x xb b b b 22d ])1()1[(2222π⎰⎰-⋅⋅=-=-aabaa a x x x a xb 022 2d 42d 14222ππ 2 8 222412ab a a b πππ=⋅⋅=）. 6.0 , 2 , 35==-=c b a （提示：因抛物线过原点，∴0=c .如图：由题意，得图中阴影的面积为231 0294d )(ba x bx ax +=+=⎰ ①；此阴影绕x 轴旋转所得的立体的体积为)(d )(23121251122b ab a x bx ax V ++=+=⎰ππ.由①得)(2394a b -=，并代入V 的表达式而转化为求)(a V 的最小值问题，令0)(='a V ，可得唯一驻点35-=a ，从而2=b ）. 7.提示：与曲线221-+=x x y 关于点)2 ,(p p 对称的曲线方程，是从21211-+=x x y 以及p x x =+)(121 和p y y 2)( 121=+中消去1y 和1x 而得到的，即 224)14(222++-++-=p p x p x y .设1y 与2y 的交点横坐标为)( βαβα<、，则所围面积为33112)(d )()(αββα-=-=⎰x y y p S .令21y y 、右端相等，得022222=--+-p p px x ，解之得βα、，并令判别式大于0解得 21<<-p ，23231])12(9[)(--=p p S ，21=p 时，)(p S 取最大值9.8.如图所示，设球的比重1≡ρ，半径为r ，则对应于 薄层]d ,[x x x +上的体积微元V d 上的功的微元为,d ])([1d d d 222x r x r gx x g x y x g V W --=⋅⋅⋅=⋅⋅=ππρ∴=-=⎰r x x rx x g W 2 02d )2(π)s /m 8.9( 2434=g g r π. 9.如图所示，水深x 处宽为x d 的面积微元x y A d 2d =上所受的压力微元为 x x gxA gx F d 2d d 22ρρ==，∴ ===⎰g x x x g F ρρ5162 0d 2N 31360； 设压力加倍时闸门下降m h , 则⎰+=2d )(22x x h x g F ρh g F ρ38+=，即 51638=h ，∴ =h m 2.1.其中ρ为水的比重. 定积分应用总评住：对所有专业而言，面积、体积和弧长应是最基本的；力学、物理方面的应用因专业而异；限于篇幅，未涉及经济和其它方面的应用.第二册参考答案第一章 §1.31.（1）B ；（2）C ；（3）C ；（4）A .2.（1）证：∵a x n n =∞→lim ，∴对于事先给定的无论多么小的正数ε（简记为0>∀ε），都存在自然数N （记为N ∃），只要N n >，就必有不等式ε<-a x n 成立，从而对任一自然数k ，当N k n >+（即k N n ->）时，不等式ε<-+a x k n 仍成立，故由数列极限的定义可知：a x k n n =+∞→lim .（2）证：∵a a n n =∞→lim ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-a a n ，这时也必有ε<-≤-a a a a n n ，故a a n n =∞→lim .反例：n n a )1(-=，则1)1(lim lim =-=∞→∞→n n n n a 存在，但nn n n a )1(lim lim -=∞→∞→不存在（即n n a )1(-=发散）.（3）证：∵0lim =∞→n n x ，∴N n N >∃>∀ , , 0ε时，ε<-0n x ε<-⇔0n x 成立，故0lim =∞→n n x .（4）证：∵)2( 112)12(232231232223222>=<==--+-+-+n nn n nn n n n nn ，∴][ , 01εε=∃>∀N （取整）只要N n > （从而ε1>n ），必有ε<><--+)2( 12312322n n n nn 成立，故2312322lim =-+∞→n n n n . 3.证：∵数列}{n x 有界，∴0>∃M ，使得对一切N ∈n ，都有M x n ≤成立①；又∵0lim =∞→n n y ，∴N n N >∃>∀ , ,0ε时，Mn n y y ε<=-0②. 于是，0>∀ε，对②中的N ，当N n >时，①②同时成立，所以这时εε=⋅<⋅<=-M n n n n n n M y x y x y x 0，故 0lim =∞→n n n y x .§1.41.（1）分析：因为22)2)(2(42-+=-+=-x x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，252242-<-+=-x x x x ，对于给定的0>ε，为了ε<-42x ，则只要δε=<-52x 即可，于是有如下的证明： 证：对于事先给定的无论多么小的正数ε，取5εδ=，只要δ<-<20x ，就必有 ε<-42x 成立，所以，4lim 22=→x x .（2）分析：因为)4)(2(2)106(2--=-+-x x x x ，而2→x ，所以可设31<<x ，于是，234)2(2)106(2-<--=-+-x x x x x ，对0>∀ε，为了ε<-+-2)106(2x x ，只要δε=<-32x 即可，从而证明如下：证：0>∀ε，03>=∃εδ，只要δ<-<20x ，就必有ε<-+-2)106(2x x成立，故 2)106(lim 22=+-→x x x .评注：以上的证法就是函数极限的“δε-论证法”，虽然抽象，但很严密，望认真体会.2.（1）证：∵21211212222x xxx x ≤=-++-，∴0>∀ε，取2εδ=，只要δ<-<00x ，就必有ε<≤=-++-21211212222x xxx x 成立，故 1lim 22110=+-→x x x . （2）证：∵34312221++-=-x x x ，∴0>∀ε，取34-=εX （10<<ε），则当X x >时，必有ε<=-++-34312221x x x 成立，故 1lim 3122=+-∞→x x x . 当01.0=ε时，397=X .评注：（2）的证法就是函数∞→x x f )(当时极限的“X -ε论证法”，望认真体会.3.（1）1)00( ,1)00(=+-=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在；（2）0)00( ,1)00(=+=-f f ，所以，)(lim 0x f x →不存在； 而 1)(lim 1=→x f x .4.⎪⎩⎪⎨⎧>-><-=. 0 ,1, 0 ,1 ,0 ,1)(为无理数且为有理数且x x x x x x f。
第一学期高等数学(一)作业（九） 三、计算下列各题班级： 姓名： 学号： 1、计算由x y =2及2-=x y 围成图形的面积.一、填空题1、曲线x y e =，x y -=e 与直线1=x 所围图形的面积为 .2、曲线424x x y -=与x 轴的正半轴所围图形的面积为 .3、由抛物线 22x x y -= 与x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为 .4、由曲线2x y =与1=x ，3=x 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周，所形成的旋转体的体积为 .5、曲线⎰++=x t t t y 02d 34在10≤≤x 之间的曲线段的长度为 .二、单项选择题1、摆线)sin (t t a x-=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）及0=y 所围成图形的面积为 .（A ）2πa ； （B ）22πa ； （C ）23πa ； （D ）24πa . 2、曲线 λθe a r=（0>a ，0>λ） 上，从0=θ到αθ=的一段曲线的弧长为 .（A ）⎰+αλθθλ02d 1e a ； （B ）()⎰+αλθθλ02d e 1a ；（C ）()⎰+αλθθ02d e 1a ； （D ）⎰+αλθθλ02d 1e a .3、由曲线x y 42=，0=x ，4=y 围成的图形绕y 轴旋转一周，则所成的旋转体的体积为 .（A ）π564； （B ）π532； （C ）π316； （D ）π332. 4、一块高为a ，底为b 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，则薄板每面所受的水压力是 .（水密度为ρ，重力加速度为g ）（A ）g abρ2； （B ）g b a ρ62； （C ）g b a ρ32； （D ）g b a ρ322. 5、曲线x y =， 0=+y x 及2=x 围成图形的面积为 .（A ）32； （B ）34； （C ）38； （D ）314.三、解答下列各题2、抛物线22y x =分割圆822≤+y x 成两部分，求各部分的面积.3、计算心形线)cos 1(θ-=a r （0>a ）的全长.4、计算圆的渐伸线)sin (cos t t t a x +=，)cos (sin t t t a y -=（π0≤≤t ）的弧长.5、设()t t x f x d 1)(1⎰--=（1-≥x ），求曲线)(x f y =与x 轴所围图形的面积.6、求由曲线2x y =，x y =2所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.7、由曲线12+=x y ，0=x ，1=x 及x 轴围成的图形绕直线2=x 旋转一周，求所成旋转体的体积.8、计算由曲线θ2e =r 及0=θ，4π=θ围成图形的面积.参考答案一、 1、2ee 1-+-； 2、1564； 3、π38； 4、π5124； 5、23. 二、 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（A ）； 4、（B ）； 5、（D ）. 三、 1、29； 2、34π2+或34π6-； 3、a 8； 4、2π2a ；5、2321+； 6、π103； 7、π623； 8、)1e (81π-.。
高等数学练习册及答案### 高等数学练习册及答案#### 第一章：极限与连续练习题1：计算下列极限：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)2. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)3. \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1)\)答案：1. 根据洛必达法则，我们首先对分子分母同时求导，得到 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1\)。
2. 由于 \(\sin x\) 的周期为 \(2\pi\)，当 \(x\) 趋向无穷大时，\(\frac{\sin x}{x}\) 趋向于0。
3. 直接代入 \(x = 1\)，得到 \(\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0\)。
练习题2：判断函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) 在 \(x =1\) 处是否连续。
答案：函数 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处的极限为2，但 \(f(1)\) 未定义，因此 \(f(x)\) 在 \(x = 1\) 处不连续。
#### 第二章：导数与微分练习题1：求下列函数的导数：1. \(f(x) = x^3 - 2x\)2. \(g(x) = \sin x + e^x\)答案：1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\)2. \(g'(x) = \cos x + e^x\)练习题2：利用导数求函数 \(h(x) = x^2\) 在 \(x = 2\) 处的切线方程。
答案：首先求 \(h'(x) = 2x\)，然后计算 \(h'(2) = 4\)，切点坐标为\((2, 4)\)。
切线方程为 \(y - 4 = 4(x - 2)\)，简化得 \(y = 4x - 4\)。
#### 第三章：积分学练习题1：计算下列不定积分：1. \(\int x^2 dx\)2. \(\int \frac{1}{x} dx\)答案：1. \(\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C\)2. \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C\)练习题2：计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。
(完整word 版)高等数学上册作业1-8有答案一、填空题1、定积分=+⎰x xx d 4120.2、设)(x f 连续，且⎰-+=x at t x f x F d )()(,则=')(x F .3、设0>b ，且⎰=b x x x 01d e ，则常数=b . 4、设ax x m =⎰d cos 2π0(m为正整数），则=+⎰x x x m d )(sin 2π02 .5、=+⎰-x x xd e 1112.（提示:利用[]x x f x f x x f a a a d )()(d )(0⎰⎰-+=-）. 二、单项选择题1、设⎩⎨⎧<≥=1,01,ln )(x x x x f ，且⎰-=x t t f x F 1d )()(，则=)2(F 。
（A) 12ln 2+； (B ） 12ln 2-; （C) 21-; （D) 21.2、定积分()=++⎰-11223d 1cos x x x x x 。
（A)0； (B ）31; （C ）32; （D ）1。
3、设xx f e )13(=+,则定积分=⎰-72d )(x x f 。
(A))e e (312--； （B) )e e (12--；(C) )e e (3112--； （D ） )e e (27--. 4、设⎰=1022d )(x x f ，且1d )()(1='⎰x x f x f x ，则=)1(f 。
（A ）3； （B)2； （C ）2或2-； （D ）3或3-.5、反常积分=⎰∞+-0d e x x xn，其中n 为正整数。
（A ）n ; (B ） !n ； (C ） 1; (D ） ∞+.2、x x x d )ln 2(1e 12⎰+。
3、⎰--2ππ3d cos cos x x x 。
4、{}x x d ,1max 222⎰-.5、x xxx d cos 2sin ππ2⎰-+.(完整word 版)高等数学上册作业1-8有答案6、x xx d ln 41⎰.四、解答下列各题1、设⎩⎨⎧<≥+=0,20,1)(2x x x x x f ,计算积分⎰-+42d )1(x x f .2、设)(x f 为连续，证明：[]x x f x f x x f a a ad )()(d )(0⎰⎰-+=-，并计算下列积分：（1）⎰-+4π4πd sin 11x x ； （2）⎰-+11d cos 211x x x。
