从一道数学题谈起

一道数学题引发的思考优秀作文一道数学题引发的思考优秀作文（精选28篇）在我们平凡的日常里，大家都尝试过写作文吧，作文一定要做到主题集中，围绕同一主题作深入阐述，切忌东拉西扯，主题涣散甚至无主题。

那么一般作文是怎么写的呢？以下是店铺帮大家整理的一道数学题引发的思考优秀作文，欢迎阅读与收藏。

一道数学题引发的思考优秀作文篇1在七年级“数学报”第一期上，刊登了这样一道怪题：以前，美国举行了一次“全美数学能力测验”，有83万中学生参加，其中有这样一道题：有个三棱锥和一个正四棱锥，他们的棱长都相得，问他们重叠一个侧面后，还露出几个面？标准答案是七个面，因为两锥分开时有4+5=9（个）面。

当他重叠一个面后，有两个面被遮住了，所以标答案是七个面。

可是一位十七岁的中学生丹尼尔的回答却是五个面，阅卷者当然判他错。

丹尼尔为了证明自己的结论是对的，回家后做了个模型，当他把这个模型交给老师时，老师不得不承认丹尼尔的结论也是对的。

从上面似乎可以得知，有两个标准答案：一是原来的标准答案七个。

二是丹尼尔的答案五个。

我回家也做了两个模型，一推演，发现只要是在三棱锥和四棱锥棱长相等的特殊情况下，三棱准和四棱锥的侧面拼合起来时，不仅有连个面被遮住了，还有两对两个面恰好重合成了一个面的情况。

所以应是9-2-2=5（个）面单新的问题又来了，按照上面的推法，正三棱锥和正四棱锥侧面拼合后就不能是7个面了，也就是原来的标准答案错了。

我又仔细读了读题，发现以下三点构成了一个特例：1·正四棱锥2·它们的棱长相等（即底棱和侧棱都相等，并和上一条构成了特殊的正四棱锥和正三棱锥的形状）3·侧面（限定了贴合方式）只要有以上三点，就一定是5个面，而不能使7个面。

看来还真是“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行“呀！一道数学题引发的思考优秀作文篇2周六晚上，女儿完成了国庆节手抄报后，还意犹未尽，想再干点儿什么。

于是，就自己找了一张第一单元的数学试卷来做。

双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。

一道小学数学题引发的思考废话不多说，直接上图：这就是我们今天题目中所说的小学奥数题。

其实做这种题一点也不费时间，会的话只要一眼，不会的话让你做一天也白搭。

今天我的目的也不是要难为谁，我就告诉你“直线是没有宽度的”，想必答案大家应该都能知道了。

为什么直线没有宽度？我们先来看这样一个问题：我们用的笔有很多种吧，有小伙伴们自己削的铅笔、有圆珠笔、钢笔、水笔（笔芯还有0.38,0.5,0.7等等），还有水彩笔、蜡笔、毛笔等等，用不同的笔画出来的直线是不是宽度都不一样呢？再者说，每个人的力气都不一样，画出来直线的宽度也不尽相同，那么，这些难道不都是直线吗？在引申一下，每个人的笔迹按理说都是不一样的，那么同样一个字经不同的人的笔写出来，还是同一个字吗？我们再进一步，数学中定义f(x)为函数表达式，那么a(x)、b(x)、c(x)等等还是函数表达式吗？答案都是肯定的。

通过这个问题我们可以发现，人们的思维其实是走进了一个误区，那就是题目中所画出来的几条直线就是“直线”，我们对于直线的定义就仅仅局限于图示中的宽度了，但你们想一想，你用笔画出来的直线难道一定和图中的一样粗吗？要是把图中的每条直线都换成不一样的粗细，那这道题还会难吗？其实在这种情况下，我们是将自己置于了一个虚假的两难境地，即在还有其他选项时，却局限于两种极端的选择，就像我们上面那道题目中的这条是直线或者这条不是直线，从而将题目变成了很容易和根本不可能解决两种极端情况。

那下面再让我们来看一个虚假的两难境地的例子：国会议员：今年我们不得不再次削减社会工程方面的支出。

你：为什么？国会议员：因为我们要么削减支出，要么承受巨额赤字，而我们不允许巨额赤字。

该例中，国会议员认为，要么承受巨额赤字，要么削减社会工程开支，而我们不允许出现巨额赤字，所以不得不减少社会工程支出。

但是，只有在“减少社会工程支出”是除了“出现巨额赤字”外的唯一选项时，这个推力才能成立。

当然，事实并非如此（如：增加税收或削减军费开支）。

初中数学题目解析与解题思路分享心得数学作为一门基础学科，对于初中学生来说是一门必修课程，也是很多学生觉得较为困难的科目之一。

当遇到数学题目时，不少学生可能会感到迷茫和无从下手。

本文将通过解析一些典型的初中数学题目，并分享一些解题思路，帮助学生更好地应对数学问题。

一、解析数学题目1. 解析代数题目代数题目在初中数学中占有很大的比重，解析代数题目需要理解常用的代数知识和技巧。

例如，一道典型的代数题目：已知实数x满足|x-1| < 3和|2x-3| ≤ 2，求x的取值范围。

解析：首先，分析|x-1| < 3这个条件。

根据绝对值的定义，这个条件可以转化为-3 < x-1 < 3。

进一步整理得-2 < x < 4。

其次，分析|2x-3| ≤ 2这个条件。

根据绝对值的定义，这个条件可以转化为-2 ≤2x-3 ≤ 2。

进一步整理得1 ≤ x ≤ 2。

综合以上两个条件，得到1 ≤ x < 2。

因此，x的取值范围为1 ≤ x < 2。

2. 解析几何题目几何题目在初中数学中也是常见的题型，解析几何题目需要运用几何知识和推理能力。

例如，一道典型的几何题目：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，切线CD交AO于点D，交⊙O于点E，若AC=5cm，O是⊙O的圆心，求OD的长。

解析：首先，根据半径和切线垂直的性质可知，∠CDE=90°。

其次，根据切线与半径的关系可知，∠CAD=∠CDE。

再次，根据圆上的弧与圆心角相等的性质可知，∠ACB=∠AEB。

综上所述，△DCE与△BDA相似。

由于AB是⊙O的直径，所以△ABO为直角三角形。

根据勾股定理可得，OA=√(OB²+AB²)=√(5²+10²)=√125=5√5。

由于△ABO与△CDO相似，所以OD/CD=OB/AB=1/2。

代入已知条件AC=5cm，可得OD=(1/2)*AC=(1/2)*5=2.5cm。

高中数学经典大题150道[由一道高中数学联赛题谈起]
1.试题（2022年全国高中数学联赛试题）“设f（某）是定义在
R上的奇函数，且当≥0时，f（某）=某2，若对任意的某∈[a，a+2]，
不等式f（某+a）≥2f（某）恒成立，则实数a的取值范围.”2分
析由题意可得f（某）=某2，（某≥0）-某2，（某|f（1）-f （0）|，求实数λ的取值范围. 分析本题的难点在于|f（α）-f（β）|>|f（1）-f（0）|，即不等式的左右两边不是关于“f”记号的单项式，
因而不能像例1和例2一样直接地利用函数的单调性来脱去“f”记号，
但若我们注意到α+β2=1+02，即由α，β所构成的区间与由0，1所构
成的区间有相同的中点，根据函数图像的特征有|f（α）-f（β）|>|f （1）-f（0）||α-β|>|1-0|，进一步又有|λ1|>|λ+1|，从而
λ<0且λ≠-1. 【高考链接】（2005年辽宁卷理）已知y=f（某）是定
义在R上的单调函数，实数某1≠某2，λ≠-1，α=某1+λ某
21+λ，β=某2+λ某11+λ.若|f（某1）-f（某2）|由上面的“分析”、“说明”及“再例”使我们看到，当所求参数含在函数的“f”记号里面时，我们往往可以从函数的性质（主要是函数的单调性）入手，
结合所给函数的图像特征，脱去函数的“f”记号，从而得到关于该参数
的不等式（组）来完成解答.。

【通俗数学】拓扑学介绍——从萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题谈起⼀、萨姆·劳埃德的⼀道数学趣题萨姆·劳埃德是美国最杰出的趣题和智⼒玩具专家。

他死后由他⼉⼦印刷出版的《趣题⼤全》是⼀部包罗万象的开⼭巨作，我们现在所接触的趣题有相当⼀部分都是由⾥⾯的题⽬演化，延伸⽽来。

上⾯这本书就是马丁·加德纳从《⼤全》中精⼼挑选部分数学趣题编辑⽽成的。

我们今天要介绍的是其中的第82个数学趣题:不和睦的邻居们。

上图的三位邻居(他们的房⼦编号是A，B，C)住在同⼀个院⼦中，但他们不太和睦，经常吵架。

为了避免争执，他们决定分别从⾃⼰家门⼝修⼀条路到A，B，C三个⼤门，要求房⼦编号和⼤门编号相对应，且三条路互不相交。

问题1：如何画出这三条路吗？⼆、抽象成点和线的问题我们把院⼦简化成⼀个长⽅形，把三个房⼦和三个⼤门分别简化为A，B，C和A'，B'，C'六个点。

这时问题就变成：问题2：如何⽤三条互不相交的曲线分别连接AA',BB',CC'如果觉得这个问题很难的话，那是难在什么地⽅呢？嗯.....您可能会说A和C点的位置不好！呀，是的，如果A和C点对调⼀下，问题就简单了，三条线轻轻松松就连出来了。

三、慢慢地对调回去但我们还是要回到原先的问题中，所以我们要把A和C点对调回去。

但这次我们要慢慢地对调回去，⽽且始终让这三条线连着这六个点，且保持不相交。

这时，连接BB'的直线慢慢地被弯曲..........慢慢地被弯曲了............⼀直弯曲到A和C点的位置完全对调回去为⽌。

好了，这个时候问题的答案已经揭晓了！四、把院⼦变成⼀块巨⼤的橡⽪刚才，我们是将A和C点的位置对调后，连线，再慢慢对调回去，才找到答案。

现在我们将尝试另⼀种办法，把整个院⼦变成⼀块巨⼤的平⾯橡⽪。

我们假设这块平⾯橡⽪有⾜够好的弹性，可以被任意的形变，⽐如：弯曲，拉伸，收缩，挤压等，我们还假设橡⽪上不同的两个点不能被挤成⼀个点。

一道数学题引发的思考在生活中，时不时会遇到一些看似简单却让人深思的数学问题。

近日我遇到了这么一道题目，让我对数学有了更深层次的认识。

这个问题是这样的：设有3个数a、b、c，已知它们的和是9，而a的平方加上b的平方加上c的平方等于29。

那么请问a、b、c分别是多少？一开始看到这个问题，我想到了直接解方程的方法。

设a=x，b=y，c=z，那么我们可以将问题转化成如下的方程组：x + y + z = 9x^2 + y^2 + z^2 = 29我在解这个方程组的过程中却陷入了困境。

无论是运用消元法还是代入法，都无法求出唯一解。

我开始怀疑是否有哪里出错了，于是我尝试了各种方法，但始终没有进展。

在经过一番思考后，我突然意识到这个问题可能并没有唯一解。

虽然这个问题看起来简单，但由于方程的个数比未知数的个数少，导致可能有多个解存在。

于是，我决定把这个问题从不同的角度去看待。

我发现，题目中并没有限定a、b、c都是实数，它们也可以是虚数。

这样一来，问题就可以进一步推广，不再局限于实数范围。

我重新审视了这个问题，考虑了虚数解的情况。

经过一番计算，我发现当a=1，b=2+√3i，c=2-√3i时，可以满足题目中的条件。

而且，这个答案也符合我们对方程组的解个数的推测。

这个问题给了我很大的启发。

它让我看到了数学中的未知数的多样性和灵活性。

有时候，方程组并没有唯一解，而是存在着多个解，甚至是无数个解。

在解题的时候，我们要善于审视问题，不能仅仅停留在一种思路上，还要考虑到其他可能性。

这个问题还让我思考到数学与现实生活之间的联系。

数学并不仅仅是一种抽象的概念，它贯穿了我们的日常生活。

数学问题的解答思路和方法，有时可以给我们提供解决问题的启示。

这道看似简单的数学题引发了我对数学的思考。

它让我认识到数学中的未知数是可以有多种解的，同时也提醒我在解题中要善用不同的思路和方法。

通过解答这个问题，我对数学的认识得到了一定的深化，也对数学如何联系到现实生活有了更深刻的理解。

从一道新加坡高中数学考试题谈起新加坡来华东各省市招收高中后保送生，曾考过这样一道题目：题对x∈[0，1]，设ax2+bx+c≤1，求|a|+|b|+|c|的最大值.解设函数f（x）=ax2+bx+c，x∈[0，1]，则f0=cf（1）=a+b+cf12=14a+12b+c解这个关于a，b，c的三元线性方程组，即用函数值表达f （x）的系数，得a=2f（1）-4f12+2f0，b=4f12-f（1）-3f0，c=f0.因x∈[0，1]，f（x）≤1，故|a|=2f（1）-4f12+2f0≤2f（1）+-4f12+2f0≤2+4+2=8.同理，|b|≤8，c≤1.故|a|+|b|+c≤17，即所求最大值为17.相传，化学元素周期表的创始者门捷列夫（1834―1907）曾作过下列猜想：设x≤1，若一元n次多项式f（x）=anxn+…+a2x2+a1x+a0满足f（x）≤M，则导数的绝对值f′（x）≤Mn2.下面通过一道例题的两种解法（普通解法与门捷列夫猜想）来说明此类题的解法.例设x≤1时，ax2+bx+c≤1，求证：x≤1时，2ax+b≤4.证法1 设f（x）=ax2+bx+c，则f-1=a-b+cf（1）=a+b+cf0=ca=12f（1）+f-1-2f0，b=12f（1）-f-1.因x≤1时，f（x）≤1，故2ax+b=f（1）+f-1-2f0x+12f（1）-f-1=x+12f（1）+x-12f-1-2xf0≤x+12+x-12+2≤4证法2 利用本文所证结论，设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b.∵已知x≤1时，f（x）=ax2+bx+c≤1，∴当x≤1时，f′（x）=2ax+b≤1×22=4.【。

一道数学题引发的思考曾经有一道著名的数学题引发了无数人的思考和争论，该题目是这样的：小明手中有一根绳子，问如何用这根绳子测量地球的周长？这道题目看似简单，但却蕴含着极大的挑战和深刻的思考。

在探讨这道题目的解决过程中，人们会考虑到不同的数学知识，这就引发了更加深入的思考和探讨。

我们可以考虑地球的形状。

地球是一个近似于椭球形的天体，其周长是无法直接测量得出的。

借助数学知识，我们可以通过测量地球的半径和通过数学模型和计算得出地球的周长。

这就引出了数学中的几何学和三角学知识，如何通过测量地球上的某些点之间的距离来得出地球的周长呢？我们可以思考如何利用绳子来测量地球的周长。

通过思考，我们可以得出，测量地球周长的关键在于如何利用绳子来测量地球表面的长度。

我们可以想到，通过绕地球一周，然后测量绳子的长度，我们就可以得出地球的周长。

这种方法会有很多问题，比如绳子会受到重力的影响而不是处于完全拉直状态，同时在地球表面走一圈也并不是直线距离的测量。

通过这个过程，我们可以引申出对于空间几何和传统几何的思考和讨论，如何利用绳子来测量地球的周长，会激发人们对于几何学和测量学的兴趣和思考。

而在解决这道题目的过程中，还可以引发出更多关于数学知识的思考和探讨。

如何利用数学模型和数据计算来估算地球的周长？如何通过实践和实验来检验数学模型的准确性和可行性？这都是数学知识所涉及到的问题，并且具有很高的研究和实践价值。

更进一步地，这道数学题所引发的思考，还可以延伸到哲学和科学的领域。

人们可以在思考中深入探讨地球的形状和大小对于人类的意义和影响，如何通过科学研究和技术手段来更加深入地了解地球的特性和结构。

这就引发了人们在哲学和科学领域的思考和探讨，使得这道数学题所引发的思考具有了更加深远和广泛的意义。

一道数学题所引发的思考，并不仅仅局限于数学知识的范畴，还能够引发人们在其他领域的深入思考和探讨。

通过解决这道数学题，人们不仅可以锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，还可以在探讨的过程中开拓自己的思维，促进各学科领域的交叉融合和综合应用。

一道数学题引发的思考数学题在平时学习中往往是学生们最头痛的部分之一，尤其是一道难度较大的数学题，更是能够让学生们感到无从下手。

有时候一道数学题却能够引发我们更深层次的思考，不仅仅是从数学知识上的理解，更是让我们从中得到启发和启发。

下面就让我们来看一道数学题引发的思考。

这道数学题是关于概率的。

题目是这样的：有一个有着无限个房间的大屋子，每个房间内都有一盏开着的灯和一个关闭的灯，一个人从第一个房间开始，每经过一个房间就随机地（即用抛硬币的方式）选择一盏灯，然后把它打开。

如果已经打开的，就灭掉它。

求此人不得不回到第一个房间的概率是多少？令人费解的概率问题，看似简单，却蕴含着很多深刻的思考。

首先我们来分析一下这个问题。

一开始，题目中提到了这个屋子有无限个房间，这是个很有意思的设定。

因为从第一个房间开始，一个人可以无限次地向后经过房间。

这就导致了不同情况下的概率是不一样的。

那么我们要分析的重点就是，当人向后走的时候，经过房间的概率是多少，以及该房间的灯是亮灯还是暗灯的时候，接下来人会回到第一个房间的概率是多少。

在这个问题中，首先我们来考虑一下当人经过一个房间的时候，该房间的灯是亮灯还是暗灯的概率。

对于每一个房间来讲，在人经过它的时候，它的灯是亮灯的概率和暗灯的概率是相等的，都是1/2。

这是一个很经典的随机事件，每一次经过房间的时候，该房间的灯都会有50%的概率亮起来，也就是说，这是一个独立的事件。

那么在这个过程中，经过房间的次数是无限的，所以我们可以得出结论，大约有一半的房间的灯是亮灯的状态，另外一半的房间的灯是暗灯的状态。

然后我们来看第二种情况，人向后走的时候，经过的房间暗灯。

这个时候，暗灯的房间的概率同样也是1/2。

那么这个时候，已经暗灯的房间的数量是不会减少的。

也就是说，当人向后走的时候，经过的房间暗灯的状态，不会给人减少回到第一个房间的机会。

因为这个时候，暗灯的房间的数量不会发生变化，只有当暗灯的房间数量为0的时候，人才会回到第一个房间。

一道数学中考题引发的思考与感悟作文《一道数学中考题引发的思考与感悟》
哎呀呀，提起那道数学中考题，可真是让我印象深刻极了呀！那是在我中考的时候，考场上我可紧张啦。

当我看到那道数学题时，我的大脑瞬间就有点懵了。

那道题就像是一个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的解题思路。

我一边咬着笔头，一边在心里嘀咕：“这题咋这么难呢，这出题老师也太狠了吧！”我着急得就像热锅上的蚂蚁，汗水都快冒出来了。

我使劲回想老师讲过的知识点，又在草稿纸上不停地写写画画，可还是没啥头绪。

就在我快要绝望的时候，突然，我好像看到了一点曙光。

我发现这道题好像和我们之前做过的一道练习题有点类似，我赶紧抓住这个线索，一点点地推导。

嘿，你还别说，慢慢地，解题的思路就清晰起来啦。

最后，我终于算出了答案，那一刻，我心里那个高兴呀，就别提了。

这场考试结束后，我就一直在想啊，这道题让我明白了好多。

遇到难题不能慌张，得冷静去思考，要善于发现那些细微的线索，而且呀，平时的学习真得好好下功夫，把知识掌握扎实了，不然在关键时刻就抓瞎啦。

同时呢，
我也体会到了坚持的重要性，要是我当时轻易就放弃了，那可就真答不出来了。

现在回想起来，那道数学中考题就像是我人生路上的一个小挑战，虽然有点难，但也让我收获了好多。

我相信，以后遇到其他的难题，我也一定能像这次一样，勇敢地去面对，去找到解决的办法。

哈哈，这就是那道数学中考题带给我的思考和感悟哟！。

由一道数学题引发的思考新课程强调，教学是教与学的交往、互动，师生双方相互交流、相互沟通、相互启发、相互补充的过程，在这个过程中教师与学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达到共识、共享、共进的目的，实现教学相长和共同发展。

在新课程理念的指导下，一道普普通通的练习题，经教师作了“开放式”引导后，竟变成了刺激学生探究欲望的催化剂，点燃了学生思维的火花，创设了探讨、民主、和谐的学习氛围，鼓励学生大胆说出自己的想法，让学生用自己最自然、最真实的感受去学习数学。

本学期在教学《折扣》这一知识点时，有这样一道题：一个商场打折销售，规定：购买200元以下商品不打折，200元以上500元以下则全部打九折；如果买了500元以上的商品，就把500元以内的打九折，超出的打八折。

一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么他一起买这些商品的话，可节省多少元？首先，我先给了学生们一个独立思考，独立解答的机会，我在巡视指导的过程中发现，大部分同学都是这样解答的：第一次134元的不打折，第二次466元的打9折，那就是两次花了134元+466*0.9=553.4（元）。

现在一起买的话，那就是一共134+466=600（元）的商品，其中500元打9折，剩下100元打8折，那要花的钱就是500×0.9+100×0.8=530（元）.所以553.4-530=23.4（元）就是可以节省的钱。

也有个别学生出现了这样的答案：134+466=600（元），500× 0.9=450（元），100 × 0.8=80(元)，600-（450+80）=70（元），所以可节省70元。

只有极少数的同学是这样解答的：因为200×90%=180（元）；而134元＜180元，说明134元的商品没有打折，其原价就是134元；所以134元的没节省；466元的原价如果按500元以下计算，因为466÷0.9>500,不符合。

由一道数学试题引发的思考作者：王永梅来源：《新课程·小学》2016年第07期有这样一道数学试题：“甲乙两城相距300千米，一辆汽车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，行了3小时。

这时距离甲城多远？”这道题并不难，但错误率很高，近85%。

回想一下平时这种情况就经常有，只是，这种情况的发生常常被我们归结为学生的粗心大意，因而没有引起我们的重视，也没有引发我们的思考和研究。

简单的题目做成那样，真是学生后悔，教师生气。

这到底是为什么呢？难道仅仅是因为学生的粗心大意吗？作为教师，这时绝对不能只知道生气，更不该一味地埋怨学生，我们必须思考错误背后的原因，积极寻找对策。

一、出错的原因我和任课的部分教师也做了交流，经过总结我认为学生出错的原因主要有以下三点：1.惯性思维惯性思维就是习惯性的思维，指人习惯性地因循以前的思路思考问题，仿佛物体运动的惯性。

惯性思维有利于学生处理单纯的机械的学习问题，但对于新的灵活变化的问题，往往表现为处理盲目，思考缺乏广度与深度。

学生做题时往往没把题目看完，就已经有了解题思路，或者虽然把题目读完了，其实在读完之前就已经有了解题思路。

学生一看到题目便以为是平时做过的，如上面所说的学生把问题理解为练过的“还剩多少千米没有行”。

产生这类错误的原因，主要是“惯性思维”的消极作用。

2.审题不实从看到题目到动笔解题之间有一个非常重要的过程，这个过程便是审题。

审题是解决问题的基础和先导。

科学、有效的审题是正确解答问题的根本和保障，如果审题不实，盲目下笔，就容易解答错误。

很多学生解题急于求成，审题时缺乏耐心、细心，不假思索，急于动笔，凭感觉做题。

3.自信缺乏自信心对一个人非常重要，一个人如果缺乏自信，他就会无端的怀疑，包括怀疑自己。

从学生的声音中，我们不难看出有一部分学生信心缺乏，怀疑试卷“不可能那么简单”，怀疑自己“我真以为我错了呢”。

二、防错的策略1.善于变化，突破惯性数学惯性思维的形成原因是某一单项思维的机械强化训练。

由一道数学题引发的思考数学，是一门奇妙的科目.正如一句名言：条条大路通罗马.在数学的世界里，不同人的思维就像是一条条修好的路，有的很短，有的通向死胡同，有的迂回曲折却通往正确的终点.然而，数学的魅力正在于此，因为到达同一目的地的路不同，所以领略的风景不同，在与同伴分享风景的过程中所迸发的思维火花是极其炫彩夺目的.高中数学老师应该引领学生寻找终点，而不是要求他们走同一条路，当有数学题可以多解，且方法巧妙时，便足以可以引发我的思考.高二时，一次周五大课间，有位学生来找我，拿着我今天早上才讲的卷子.顿时，我心生疑惑：一向数学很好的学生难道听不懂我讲的课吗？所以在疑惑中我和他开始交谈.原来，他是为那道我做了很长时间，通过冗长计算得出结果的解析几何题而来的.看着他信心满满的样子，我分析了他的解题过程.∵点P在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为：3x（x-1）+4y（y-1）=0对于数学老师来说，面对很熟悉的解析几何题，要保证全班学生都能接受自己的做法，一般都会采用设点的坐标和直线方程，与椭圆方程联立之后运用韦达定理，再根据题目求解，消除未知数，得到正确答案.而且在大型考试中，过程很重要，按照按步给分原则，联立所设方程与椭圆、双曲线或者抛物线方程，根据韦达定理得出式子就可以得到一半的分数，所以在讲课做题的过程中所采用的方法普遍都是这个通用保险但繁琐的联立韦达法.看了这位同学的方法后，我觉得甚是惭愧.按部就班的方法固然比较安全，但是技术含量低、思维量小而运算量大.诚然，点差法无疑是解决含有中点问题的最好的方法.这道解析几何题涉及弦AB的中点坐标，且弦AB的斜率等于MP的斜率，所以点差法可以大大减少运算量，并且减少计算错误，提高正确率，达到事半功倍的效果.这道数学题让我思考了很多，其中有数学思维方面的，也有教学方面的.在数学思维方面，通过这道题，我认为墨守成规只能坐吃山空.凡事都要试一试，多向几个方向走走，就算碰壁，也会很有收获，至少比照猫画虎强.思维，尤其是数学思维，更多的是练，只有一次又一次地练习才能开阔自己的思维，才能注意到别人注意不到的细节，想到别人想不到的联系，这有可能正是解题的关键.就像刚刚那道解析几何，题目中涉及中点和斜率，在表示形式上很相近，而要表示出坐标差的关系同时用到中点的意义，只有两式相减，运用公式转化成我们所期盼的形式，这就是运用点差法解这道题的思维过程.当这种思维慢慢开始形成，并在一次次尝试中取得成效时，就会变成经验，经过总结，成为方法.同时，在思考过程中，在思维碰撞的过程中，那种数学带来的欢愉、兴奋和满足感也是不可替代的.所以，在看到一道数学题时，多联想，特别是在平时的练习中，时间和精力都是充沛的，也不害怕错误，所以我们要尽可能地发散自己的思维；在考试的时候，碰到不熟悉的题目，可以先尝试用自己的所谓简便方法，若是看不到希望，就果断放弃，为了节省时间再用常规方法试着解题.总而言之，思维的广泛性和灵活性对于数学这门学科是很重要的，而这种东西不是与生俱来的天赋，而是需要反复不断尝试和练习才会拥有的本领.作为高中数学老师，我认为我更应该在学生思维的基础上发散自己的思维，用自己的思考带给学生更美更神奇的数学世界.在教学方面，通过这道题，我认为身为数学老师，引领学生往深处想是我的职责.不要用自己的想法禁锢学生的想法，应该鼓励学生有问题或者有什么好的解题方法多和老师交流.老师在课堂上与同学们一起分享，便于拓展全班同学的数学思维，提高学生对数学的探索兴趣.鼓励一题多解，让老师和同学们在一起分享、一起思考的氛围中学数学.同时，在备课期间对待数学题，也要自己多想想，不要自认为自己的知识足以教学生，一定要准备充足，让班级里不同层次的学生都能获得知识.刚刚提到的那道解析几何题，我的普通方法完全满足不了能力很好的学生的知识需求，如果我多想想，备课再充分一些，在用普通方法解题满足一般学生的知识需求之后，再用点差法等更有技术含量的方法解题，用来满足能力好的学生知识需求，提高普通学生的数学能力，这样的数学教学才是令人满意的.原地踏步不是一个合格的老师应有的态度，人们常说老师是学生的精神领袖，我认为学生也是老师的精神宝藏.那位学生用这道解析几何题的不同解法提醒了我，并由一道数学题引发了我关于数学思维和数学教学的思考.思维是数学的基础，教学是我作为老师的职责和把之前千百年来的数学家和我自己的思维精华传递给下一代的方式.作为高中数学老师，我们应该发散自己的数学思维，提高教学质量和改变教学理念，只有同时做好这三点，才能够真正将知识传输到学生脑袋里，利用一题多解和分层次的方法解答，让数学不再一成不变.。

从一道数学月考题谈起函数问题在高中数学中占有重要的地位，历年高考中都会涉及到数学的函数问题，正因为函数是高考命题的热点问题，也是学生在学习中感到很困惑的问题，特别是有一类函数问题，学生感到能做，但又经常做错，甚至经常会犯思维定式等一系列问题的试题，本人就这类问题，从一道数学月考试题谈起，该试题如下：题目：已知函数该题其实是一道复合函数求定义域的问题。

这类题不少学生认为很简单，其实不然，在月考中有不少学生都认为自己做对了，都一直同仁地认为很简单，他们是这样解这道试题的。

解：，将看作一个整体，从而就有，由于对数中的真数大于零，所以，得所以解得，所以所求函数的定义域为，由于函数的定义域关于原点对称，又因为，所以，所以为奇函数。

该种解法是我们在数学教学中常用的配凑法，从解的过程来看，好像没有什么问题，有部分教师利用“小猿搜题”得到的答案不仅与上述结果一样，而且解法完全相同，那这种解法是否就是正确的解法呢？我们再看另一种解法。

，令，由得，所以，由得，可解得，又因为，所以的定义域为，由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数。

第二种解法是我们在数学教学中的另一种常用的解题方法，称为换元法，两种方法得出的结果截然不同。

是什么原因导致两种结果不同呢?我们看看该题目其实质主要是考查复合函数求定义域的问题，那怎样求复合函数的定义域呢？首先要知道什么是复合函数以及复合函数的求解方法，型如，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

对于有关复合函数定义域问题的求解方法我主要从以下两种类型进行分析。

方法1：配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式，再直接把换成而得。

方法2：换元法就是先设，从中解出（即用表示），再把（关于的式子）直接代入中消去得到，最后把中的直接换成即得，这种代换遵循了同一函数的原则。

该道试题主要就是以配凑法和换元法进行求解的，通过配凑将中的配凑出来，再将整体换成从而得这一过程没有出错，错在求解定义域时，没有认真审题，而已知的函数就是一个对数型复合函数，自身就隐藏着自变量的取值范围问题，学生在解题过程中只考虑到配凑后新函数中的自变量需满足的条件，忽略了原来函数中自变量所受的限制条件，从而导致最终结果出错；第二种是换元法，该题通过配得到式子中含有，便于好换元，令又因为自身为一个非负实数，所以恒成立，即，从而最终将时就隐藏了原来函数中的自变量必须满足这限制条件，这样才能保证换元之后的函数和原函数为同一函数，也是我们在教育教学中利用换元思想时应高度重视的问题，也是我们数学教学中常说的换元也就引进新元，千万不能忘记的问题就是新元的范围，正是这样上述第二种解法遵循了这一原则，最终得出正确的答案，从这道月考数学试题可以看出，求函数的定义域是多么的重要，只有定义域求对了我们才能更好地解决其他与函数有关的相关问题，为了更好地掌握求复合函数的定义域，我将常见的三种求复合函数定义域的题型介绍如下：一、已知的定义域，求复合函数的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。