一道数学题的启示

做完数学题都总结什么相信很多同学都有这种感觉，就是为什么我花了很多的时间、很多的精⼒，可是数学成绩就是上不去。

都说做数学题做完之后，要学会总结⼀下,但是可究竟要怎么总结呢?下⾯给⼤家分享⼀些关于做完数学题都总结什么，希望对⼤家有所帮助。

⼀.做完数学题都总结什么1、反思解题本⾝是否正确由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完⼀道题后就很有必要进⾏审查⾃⼰的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替⼀般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题⽬本⾝是否有误等。

这样做是为了保证解题⽆误，这是解题后最基本的要求,真正认实到解题后思考的重要性。

2、反思有⽆其它解题⽅法对于同⼀道题，从不同的⾓度去分析研究，可能会得到不同的启⽰，从⽽引出多种不同的解法，当然，我们的⽬的不在于去凑⼏种解法，⽽是通过不同的观察侧⾯，使我们的思维触⾓伸向不同的⽅向，不同层次，发展学⽣的发散思维能⼒。

例如对函数Y=(X^2-1)/(X^2+1)求值域,那么我们做了判别式法后,想想还有哪些⽅法可以解决此问题呢⽐如反函数法,换元法,分离变量法.把这些⽅法想到了最后⼀步就是拿出你的数学财富本,把这⼏种⽅法总结⼀下,哪种数学模型的求值域可以⽤这种⽅法.3、反思结论或性质在解题中的作⽤有些题⽬本⾝可能很简单，但是它的结论或做完这道题⽬本⾝⽤到的性质却有⼴泛的应⽤，如果仅仅满⾜于解答题⽬的本⾝，⽽忽视对结论或性质应⽤的`思考、探索，那就可能会“拣到⼀粒芝⿇，丢掉⼀个西⽠“。

⼀道题中本⾝必然包含了具体的数学知识和⽅法,你要通过这道题把本题所蕴涵的知识和⽅法提炼出来,总结归纳.像函数,研究的不外乎是定义域,值域,单调性,最值等.每做⼀个题就可以把这些东西复习⼀下,这样才能对的起你做的题.4、反思题⽬能否变换引申改变题⽬的条件，会导出什么新结论;保留题⽬的条件结论能否进⼀步加强;条件作类似的变换，结论能扩⼤到⼀般等等。

五年级一道数学题难倒13亿人今天咱得聊聊一道特别神奇的数学题，这题啊，可是把13亿人都给难倒啦，你说神不神？咱一起来瞅瞅这到底是啥样的一道题哈。

一、这道题的神秘面纱。

你能想象吗？一道五年级的数学题，就那么普普通通地摆在那儿，却让无数人抓耳挠腮。

它就像一个调皮的小精灵，看似简单，可等你真要去解开它的奥秘，就会发现，哎呀妈呀，这哪是简单的数学题啊，简直就是个超级大迷宫！好多人都在这迷宫里转得晕头转向，找不到出口呢。

据说啊，这道题刚一露面，就像一颗炸弹一样，在人群里炸开了锅。

大人们都纷纷感叹，现在的小学生可真不容易啊，这题咱自己都做不出来，还怎么辅导孩子呀？小朋友们呢，也被这题弄得愁眉苦脸的，原本活泼可爱的小脸蛋都变得严肃起来啦。

二、大家的“战斗”过程。

面对这道难题，大家那可是使出了浑身解数啊。

有的人拿着笔在纸上写写画画，那草稿纸都用了一堆，密密麻麻的全是计算过程，可最后还是没找到正确答案，只能无奈地摇摇头，叹口气说：“这题太邪门啦！”还有的人直接上网求助，在各种论坛、社交平台上发帖子，希望能找到解题的高手。

那帖子下面的回复也是五花八门的，有的人说自己也不会，有的人给出了一个答案，可马上就有人反驳说不对。

大家你一言我一语，吵得不可开交，就像一场激烈的辩论赛，可到最后也没个定论。

更有趣的是，有些家长为了帮孩子解开这道题，还专门去请教了那些数学老师。

老师们一开始也信心满满，觉得这题肯定难不倒自己。

可等他们仔细研究了一番后，也不禁皱起了眉头，陷入了沉思。

有的老师甚至还和同事们一起讨论，大家七嘴八舌地分析着，那场面真是热闹极了。

三、这道题的“魔力”在哪。

你可能会好奇，这道题到底有什么魔力，能让这么多人都束手无策呢？其实啊，它的魔力就在于它看似简单的外表下，隐藏着很多复杂的数学知识和巧妙的解题思路。

就好比一个伪装成普通糖果的神秘魔法糖，你看着它觉得就是一颗普通的糖，可等你咬一口，才发现里面藏着各种奇妙的味道。

这道题也是一样，它把那些数学知识巧妙地融合在一起，让你一不小心就掉进它设下的陷阱里。

一道中考题的多视角解法【关键词】中考题多视角解法一道数学题从多视角解答，不仅能让学生掌握多种解题技巧，还可以帮助学生培养全方位观察问题的习惯。

“一题多解”能够让学生多角度、多层次地深入理解数学知识，提高数学解题能力，学生的思维也会变得更灵活，解题思路会更开阔，应变能力也随之增强。

本文将以一道中考题来展现多视角解法的操作。

一、试题呈现∴MO=6∴AM=10或2.二、教学启示1.让学生体会数学思想的“威力”。

2011版新课标变化之一是由传统的“双基”变为“四基”，基本思想是新增内容之一，基本思想主要指基本的、重大的数学思想与方法，是能使学生终身受益的那些思想从中可以凸显。

就数学学习而言，知识是基础，方法是中介，思想才是本源，有了上位思想的统领，其它两者才能结合并上升为学生的数学智慧。

因此在我们的教学中，需要让学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

在本题的解题过程中，如数形结合思想、方程思想、化归思想、割补思想、数学建模思想等得到全面体现，而这些思想为学生解题能力的提高都有着不可小视的作用。

2.让学生体会图形全等变换的“魅力”。

初中阶段图形全等变换有3种，平移、旋转、翻折。

通过图形变换实现“分散”变“集中”，“隐蔽”变“明显”体现割补思想等。

在我们的教学中若能让学生领会这种解题的实质，并能合理使用，将能有效提高学生的思维品质，进一步拓展学生的空间概念，为后继学习打下扎实的基础。

3.让学生掌握解决问题的“通法”。

通法是指解决问题一般的、通用的方法。

在教学过程中，教师应该以“授人以鱼不如授之以渔”为导向，引导学生看见某知识点联想某思路，如本题出现45°的角，联想构造直角三角形这一基本图形；出现角的和，联想割补思想等。

求线段的长，尝试通过全等三角形、相似、三角函数、函数等知识的灵活使用。

让学生明白，思考问题通法优先，让学生掌握通法是解决中考压轴题的基本策略之一。

一、概述现代数学中有一道古老而又充满智慧的数学题目——"美好河山乘以9等于山河美好"，这个看似简单的问题隐藏着深刻的数学内涵，其解题思路值得我们深入探讨。

二、乘法的基本原理1. 乘法的定义乘法是指多个相同或不同的数相乘，根据乘法交换律，乘法的顺序不影响结果。

2. 乘法的分配律乘法分配律是指：a×(b+c)=a×b+a×c，这个性质在解题过程中将会发挥重要作用。

三、美好河山乘以9等于山河美好的解题思路1. 美好河山乘以9的数学表达美好河山可以用一个未知数x代表，那么美好河山乘以9可以表示为9x。

2. 山河美好的数学表达山河美好可以用一个未知数y代表，那么山河美好的数学表达就是y。

3. 方程的建立综合以上两点，我们可以得到一个方程式：9x=y。

4. 求解方程根据方程9x=y，我们可以得出x=y/9。

这就是美好河山和山河美好的关系。

5. 结论经过以上分析，我们可以得出结论：美好河山乘以9等于山河美好，数学上表达为9x=y，其中x=y/9。

四、数学题目的深层含义1. 数学之美数学作为一门美丽的学科，蕴含着丰富的智慧和深刻的内涵，这道题目正是在向我们展现数学之美。

2. 将美好放大乘以9代表将美好放大9倍，这也是我们在生活中所追求的，希望将美好的事物放大，让生活更加精彩。

五、结语通过对"美好河山乘以9等于山河美好"这个数学题目的解题思路分析，我们不仅在数学上得到了解决方案，更体会到了数学的魅力和智慧。

这也启示我们在生活中，要善于发现美好，让美好不断扩大，让我们的生活充满更多的幸福和快乐。

希望我们每个人都能在数学的世界中汲取智慧，让我们的生活更加美好。

六、数学题目的应用1. 实际生活中的类比虽然"美好河山乘以9等于山河美好"这个题目是一个抽象的数学问题，但是它在生活中有着深远的应用。

我们可以将这个数学题目与生活中的情景进行类比，比如在家庭中，父母像美好的河山，孩子代表着山河美好。

ａ １ ， ａ ３ ， ａ ５ ， ｎ ７ 的值 ． 在第二 问中 ， 学 生理解 本 题 的主要 宗 旨是 前提 条
化
种 知识 的教 育 ， 考 查 的是 该 教 的 内容 是 否 教 了 ， 教
累， ３ 个 方 面同等 重要．
在学生 的思 维训 练方 面 ， 数学 主 要有 两大 明显 的
功用 ， 即锻 炼 学 生 的演 绎 推 理 能 力 和 归 纳 推 理 能 力 ． 随着 社会 的进 步 ， 显 而易见 的是 现在 的教 育 本 质 上是
一
查． 如： 在第 一 问 中， 要 求 考生 根 据 ａ 一 ≤／ ２ 。 （ 矗 ：１ ， ２ ， ３ ， …） 这 一信息 ， 通过 分类 讨 论 和演 绎 推 理 ， 计 算 出
（ １ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ２ ＋６ ｋ ） 一ｆ （ ３ ＋６ ｋ ） 一２ ，
＿ 厂 （ ４ ＋６ ｋ ） ＝ ＝ ＝ － 厂 （ ５ ＋６ ｋ ） ＝－ 厂 （ ６ ＋６ ｋ ） 一１
（ 是 一 １， ２， ３ ， …） ．
（ １ ）求 ａ １ ， ａ ３ ， ａ ５ ， ａ ７ ； （ ２ ）求数列 ｛ ｎ ） 的前 ２ ｎ项 和 Ｓ ；
1在数学教学中要注重数学学科本身的思想内涵和学科价值数学教学仅仅遵循传统的数学教学模式是远远不行的传统数学教学比较重视学生基础知识与基本技能的培养在新课标体系Байду номын сангаас数学教学必须改变以往的观念
件， 接 下来 对和式 中前 ７ 项 的偶 数 项 和 奇数 项 进行 分 类组 合 ， 产 生 一个 等 比数 列 与 一 个 等 差 数 列 ， 最 后 分
的放 缩．
■
，
例 已知 数 列 ｛ ａ ｝ 中 的相 邻 两项 ｎ ～ ， ａ 是 关

三体里汪淼女儿数学题启发
摘要：
一、三体简介
二、汪淼女儿的数学题
三、数学题的启示
四、对科学发展的影响
正文：
《三体》是刘慈欣创作的一部科幻小说，讲述了地球文明与三体文明的碰撞，以及人类在这场宇宙较量中所付出的努力。

在这部小说中，汪淼是一个重要的角色，他的女儿在小说中完成了一道数学题，这道题给人们带来了启示。

汪淼的女儿在完成一道数学题时，发现了一个有趣的规律。

这道题是关于费马多边形的，费马多边形是指一个n 边形，它的每个内角都是120 度。

汪淼的女儿通过计算发现，当n 趋近于无穷大时，费马多边形的面积趋近于一个常数。

这个发现让汪淼的女儿感到非常兴奋，她认为这个规律可能对科学发展产生重要影响。

这道数学题的启示在于，它让人们看到了科学发展的无限可能。

在《三体》中，人类通过探索宇宙，发现了许多前所未有的规律和现象，这些发现推动了科学的进步。

汪淼女儿的数学题，实际上是在鼓励人们勇于探索未知领域，不断挖掘科学的价值。

在现实生活中，这道数学题的启示同样重要。

科学家们需要勇于挑战已知规律，敢于探索未知的科学领域。

只有这样，人类才能不断进步，推动科学的
发展。

总的来说，汪淼女儿的数学题在《三体》这部科幻小说中，起到了画龙点睛的作用。

二 二
这样的环境 时就 更容易 出错． ， 如 有些 考生 在第 １问 中通过解方程求 出 ｃ有 ３ 和 两个 解时 ， 竟然不 知道或没有办法 舍去 ； 当在第 Ⅱ问 中用 到 Ｂ Ｃ的 长 时 。 致了错 误 的 进一 步 发展． 如 ， 已知 Ｂ ＝ 导 再 在
１
ＤＣ ＝
造图形 、 举特例等方法 提高 解决 问题 的能 力； 三是要 熟练地进行数学 图形 、 符号 、 文字 三种语言 之间 的相
息， 筛选 出关键 或有 用 的信息 ， 找准解题 的切入点，
一
道 ２０ 年高考数学题 的别解与 启示 ０６
党得 时
（ 肃省兰州市兰飞 中学 甘 ７０７ ） ３ ：０ ０
该 问题 的 常 见 别 解 还 有 ：
Ａ 由正 弦定 理 １／ ＝丽Ｃ 得 ８ １ １１ ８ ｎ廿 ， １ ８ １ｔ １
肌
① 在△Ｂ Ｃ和 ＡＡ Ｃ中可 以分别应用 余弦定理 Ｄ Ｄ
解得 ｃ Ｄ的长． 当然 ， ＡＡ Ｃ中就存在 求解 ｃｓ 在 Ｄ ｏＡ的
问题 ， 使问题有些复 杂化．
维普资讯
３ ８
数 学 教 学 研 究
２０ ０ ６年 第 ８ 期
合情推理判 断． 于用 一些 非常 规 的数 学方法 如构 善
互转换 ， 深刻理解 数学知识 内在 的本质属性 ． 注意观
察 、 析 题 目 的 结 构 特 征 ， 掘 题 目 中 的 每 一 条 信 分 挖
角 函数定义 的试题 ， 作为主观 计算题 的第 一题 。 难易
程度适中 ， 几乎 所有 的学 生 能够不 同程 度 地对该 题 进行作答和思考 ， 而且灵活性强 ， 以按照多种解 法 可
（ ） １问 的参考解 法为 ： ２第 Ｉ

小学数学收获和感受案例在小学数学学习中，我有着许多的收获和感受。

以下是我在小学数学学习中的一些案例。

一、加减法的启蒙在小学一年级的时候，老师教我们学习加减法。

我记得有一次，老师给我们出了一道题目：3+5=？我仔细地用手指数了一遍，得到的结果是8、我觉得自己答对了，可是老师却告诉我答案是8、原来，老师通过一些游戏的方式教我们加法，使我们能够直观地理解加法的概念。

从那时起，我对加减法产生了浓厚的兴趣，开始努力地学习这一知识。

二、乘法除法的掌握在小学二年级的时候，我学习到了乘法和除法。

记得有一次，我遇到了一道关于乘法的题目：3×4=？我陷入了困惑，不知道应该如何计算。

但是，经过老师的引导，我学会了重复加法的方法。

我将4个3相加，得到了结果12、从那时起，我掌握了乘法的计算方法，对乘法产生了浓厚的兴趣。

后来，老师又给我们讲解了除法的概念和方法，我通过做题目掌握了除法的计算方法，对除法也有了更深的了解。

这个过程让我觉得数学学习是一种启发式的过程，通过实际操作来达到理解的目的。

三、几何图形的认识在小学三年级的时候，我学习了几何图形。

记得有一次，老师让我们看一张图纸，上面绘制了不同形状的图形，我们需要将每个图形的名称写在相应位置上。

我看着那些形状，有的是圆形、有的是三角形、有的是矩形，一时间不知道如何下笔。

但是，通过仔细观察每个图形的特征，我终于成功地将每个图形的名称写在了相应的位置上。

这个过程使我理解到了形状命名的规律，并且提高了我的观察力和逻辑思维能力。

四、数学思维的培养在小学四年级的时候，我接触到了一些数学思维题。

记得有一次，老师给我们发了一张题目，让我们在规定的时间内解答。

题目是：“一颗树上结了一些红桃和黑桃，红桃比黑桃多5个，黑桃比红桃少3个，树上一共有几个桃子？”刚开始，我陷入了困惑，不知道如何解答。

经过思考，我用代数的方法列出了方程，通过解方程得到了结果。

这个过程使我懂得了数学思维的重要性，也培养了我解决问题的能力。

解 题 技 巧 与 方 法
．
．
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●
● 释
一 涎 罨 艇鳓 瓣竣豢鳓
◎梁纪娜 （伊春市教师进修 学院 ，黑龙 江 伊春 １５３０００）
二次函数是初 中学 习的重点 与难 点 ，也是 高 中进 一步
学 习的重要基础 ，以二次函数为背 景的题 ，突 出利用 函数思
想进行 科学探究的 “过程 ”考查 ，强 调 了函数 与几 何 的有机
四 、教 学 反 思 中考 二次 函数 的解 答题 ，大都 由简单 到 复杂 ，由浅入 深 ，逐层递进 ，二次 函数是 中考 的重 点 与热 点 ，复 习二 次 函
数 应掌握二次 函数 的基本 概念图像 与性质 的相互联 系与转 化 ，掌握二 次函数 的方 程 、不 等式 等知 识点 的 交汇 与综 合 ， 注重教材的 内涵 ，注重过程与联 系 ，注重 构建二 次 函数的有
１分
·。 ．
点Ｐ是抛物线ｙ＝一÷ ＋÷ ＋ 和直线Ｙ ＝３ｘ
ｆＹ ３ｘ，
的交点’．．．｛【 ５ １ １０
一
了 ，
‘ ．．
Ｐ（１，３）或
尸（一４，一１２）．
四、试题解答情 况
２分
本 题满分 ６分 ，平均 分 １．９１分 ，难度 ０．３１，区分度 ０．６， ０分率 ２４．０５％ ，满分率 １．５１％ ．
年中考数学试题 的 ２３题是 经过命 题 者精 心编 制 的二 次 函
数 的试 题 ，具有典 型性 ，拓展性 ，研究 性．并 有 多种不 同 的解
法 ，只有教师认 真钻研 ，学会拓 展延伸 ，类 比迁移 ，才 能让 自
己从一个单纯 的执行 者转 变为 开发 者 ，从 而 能够 更好 地训

初一wifi密码数学题摘要：1.初一WiFi 密码数学题背景介绍2.题目分析和解答思路3.解题过程和答案4.该题目对初一学生的意义和启示正文：【初一WiFi 密码数学题背景介绍】初一WiFi 密码数学题是指一道以WiFi 密码为背景，运用数学知识进行解答的问题。

这类题目将实际生活与数学知识相结合，既能考察学生的数学应用能力，又能激发学生的学习兴趣。

近日，一道关于初一WiFi 密码的数学题目引起了广泛关注，下面我们来详细分析一下这道题目。

【题目分析和解答思路】这道题目如下：“一个初一班级的WiFi 密码是由8 个字母和数字组成，要求第一个字符必须是大写字母，其他字符可以是大小写字母和数字。

请问，这个WiFi 密码一共有多少种可能的组合？”要解答这道题目，我们需要运用到排列组合的知识。

由于题目要求第一个字符必须是大写字母，因此有26 种选择（即26 个英文字母）。

而剩下的7 个字符可以是大小写字母和数字，共有62 种选择（即26 个小写字母、26 个数字和10 个特殊字符）。

因此，总的组合数为26×62×62×62×62×62×62×62。

【解题过程和答案】根据排列组合的知识，我们可以得出解题公式：组合数= C(n, m) =n!/(m!(n-m)!)，其中“n!”表示n 的阶乘，即1×2×3×...×n。

那么，根据题目要求，我们可以将公式代入计算：第一个字符有26 种选择（大写字母A-Z）；剩下的7 个字符有62 种选择（大小写字母a-z、A-Z 和数字0-9）。

因此，组合数= 26 × (62 × 62 × 62 × 62 × 62 × 62 × 62)。

计算得出的结果即为初一WiFi 密码的可能组合数。

【该题目对初一学生的意义和启示】这道题目对初一学生来说，具有一定的挑战性和趣味性。

二次函数综合题的解法探究与启示以２０２３年南充市中考数学二次函数题型为例相晨晨(合肥师范学院数学与统计学院ꎬ安徽合肥２３００７１)摘㊀要:二次函数综合题一直是各地中考的热点ꎬ也是教学的难点.文章以南充市２０２３年中考数学试题中的一道二次函数压轴题为例ꎬ通过探求多种解法ꎬ立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ培养学生利用数学知识解决问题的能力及提高学生的思维能力.关键词:二次函数ꎻ综合题ꎻ解法探究ꎻ启示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０８－０００２－０４收稿日期:２０２３－１２－１５作者简介:相晨晨(１９９４ )ꎬ女ꎬ安徽省亳州人ꎬ硕士ꎬ从事数学教学论研究.基金项目:合肥师范学院研究生创新基金项目 基于网络画板培养初中生几何直观能力的教学实验研究 (项目编号:２０２３ｙｊｓ０３９).㊀㊀二次函数是初中数学的重要内容ꎬ也是中考数学的重要考点.由于其涉及的知识面广ꎬ思维难度大ꎬ通常以中考压轴题的形式呈现ꎬ对学生而言具有一定的难度.解决这类问题需要学生具备较高的数学素养和思维能力.２０２３年南充市中考数学第２５题是一道以二次函数为背景的压轴题ꎬ具有一定的选拔功能.本文立足核心素养ꎬ明晰思维路径ꎬ探究多种解法ꎬ培养学生利用数学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的数学核心素养.１试题呈现如图１ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ与ｙ轴交于点Ｃ.(１)求抛物线的解析式.(２)点Ｐ在抛物线上ꎬ点Ｑ在ｘ轴上ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ求点Ｐ的坐标.(３)如图２ꎬ抛物线的顶点Ｄꎬ对称轴与ｘ轴交于点Ｅꎬ过点Ｋ(１ꎬ３)的直线(直线ＫＤ除外)与抛物线交于ＧꎬＨ两点ꎬ直线ＤＧꎬＤＨ分别交ｘ轴于点ＭꎬＮꎬ试探究ＥＭ ＥＮ是否为定值ꎬ若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ说明理由.图１㊀抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)㊀㊀图２㊀问题(３)示意图２试题分析不论是从知识的综合性还是思维的层次性来看ꎬ二次函数都当之无愧地占据着初中数学代数领域的 制高点 ꎬ是中考压轴题的命题热点[１].本题是一道二次函数的综合题ꎬ以二次函数为背景并结合图形与几何进行命题ꎬ不仅能考查学生对二次函数和图形与几何相关知识的掌握情况ꎬ还能考查学生综合应用知识的能力及灵活处理问题的心态.问题的难度层层递进ꎬ符合学生的心理特征及由易到难的解题模式.本题以核心素养为导向ꎬ集中体现了数学课程的育人价值ꎬ符合«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»所提出的命题原则ꎬ即实现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查[２].本题主要考查的核心概念有二次函数㊁平行四边形的性质㊁一次函数㊁线段定值等ꎬ蕴含丰富的数学思想和方法ꎬ主要有方程思想㊁函数思想㊁数形结合思想㊁分类讨论思想和模型思想等.综合考查了学生的运算能力㊁几何直观㊁空间观念㊁推理能力和创新意识等核心素养.问题(１)难度较小ꎬ考查二次函数的解析式ꎬ学生只要熟知二次函数相关知识及求解方法ꎬ就能很容易解出正确答案.此问题主要考查学生的运算能力ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界.问题(２)难度上升ꎬ从学生的认知规律来看ꎬ只要学生认真审清题目ꎬ提取有关信息ꎬ采用 爬山法 ꎬ一步一步分析题目ꎬ也能很快解决问题.而本题是从平行四边形的性质出发ꎬ最终落脚到点的坐标ꎬ解题最关键的一点是学生能够考虑到分类讨论的思想ꎬ想到固定点ＢꎬＣ组成的线段ꎬ而点Ｐ在抛物线上ꎬ通过抛物线的图象来看ꎬ点Ｐ有可能在ｘ轴的上方ꎬ也有可能在ｘ轴的下方ꎬ然后采用数形结合的方法解决问题.此问题主要考查学生的运算能力㊁几何直观㊁推理能力等ꎬ培养学生会用数学的眼光观察现实世界和用数学的思维思考现实世界.问题(３)难度要比前两个问题高ꎬ学生要根据题目的信息先提出猜想ꎬ再进行证明ꎬ最后得出结论ꎬ并借助尺规将数学语言转化为实际图形ꎬ促进学生理解和思维的转变.此问题需要学生解出三个一次函数的解析式ꎬ并通过方程思想ꎬ解出两根之间的关系ꎬ再通过射影定理模型得出结论ꎬ对学生运算能力和逻辑思维能力的要求相对较高ꎬ知识的综合性更强ꎬ这不仅考查学生的 四基 和 四能 ꎬ更考查学生是否具有稳定的心态ꎬ培养学生会用数学的语言表达现实世界.３试题解答３.１问题(１)的解法解法１㊀(代入法)将Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点代入抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)当中ꎬ得出ａ－ｂ＋３＝０ꎬ９ａ＋３ｂ＋３＝０ꎬ{解得ａ＝－１ꎬｂ＝２.{所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法２㊀(对称法)因为抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)与ｘ轴交于Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)两点ꎬ从而得出抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３(ａʂ０)的对称轴为ｘ＝１ꎬ所以ｂ＝２ａ.将Ａ(－１ꎬ０)代入抛物线中ａ－ｂ＋３＝０ꎬ从而得出ａ＝－１ꎬｂ＝２ꎬ所以抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３.解法３㊀(两点式)根据题意ꎬ可设抛物线的解析式为ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ａｘ２－２ａｘ－３ａꎬ从而得出－３ａ＝３ꎬ解得ａ＝－１ꎬ进而得出抛物线的解析式为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３(ａʂ０).３.２问题(２)的解法根据已知条件ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ但并没有明确说明Ｐ的位置ꎬ所以要对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ分为两种情况ꎬ第一种是Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ第二种是Ｐ在ｘ轴的下方.第一种情况:Ｐ在ｘ轴的上方.解法１㊀(平行四边形的性质)如图３ꎬ过点Ｃ作ＣＰʊＢＱꎬ过点Ｐ作ＰＮʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ因为四边形ＢＣＰＱ为平行四边形ꎬ所以ＢＣ＝ＰＱꎬＣＰ＝ＢＱ进而得出Ｑ(ｔꎬ０)ꎬＯＱ＝３＋ｔꎬＯＮ＝ｔꎬＮＱ＝３ꎬ所以ＰＱ２＝ＰＮ２＋ＮＱ２ꎬ即(－ｔ２＋２ｔ＋３)２＋９＝１８ꎬ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎻ当－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ因为Ｐ在ｘ轴的上方ꎬ所以－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３舍去ꎬ从而只有ｔ＝２符合题意ꎬ进而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).图３㊀Ｐ在ｘ轴的上方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝３ꎬ解得ｔ＝０(舍去)或ｔ＝２ꎬ只有ｔ＝２是符合题意ꎬ从而求出点Ｐ的坐标为(２ꎬ３).第二种情况:Ｐ在ｘ轴的下方.解法１如图４ꎬ以ＢꎬＣꎬＰꎬＱ为顶点的四边形为平行四边形ꎬ所以四边形ＢＣＱＰ为平行四边形ꎬ即ＢＣ＝ＱＰꎬＢＣʊＱＰꎬøＣＢＯ＝øＢＱＰ＝４５ʎꎬ过点Ｐ作ＰＦʅＯＱꎬ设点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬøＣＯＢ＝øＰＦＱ＝９０ʎꎬøＱＰＦ＝øＯＣＢ＝４５ʎꎬ所以ꎬ因此ＣＯ＝ＰＦꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３＝－３ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ２＝１－７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).图４㊀Ｐ在ｘ轴的下方示意图解法２㊀直线ＣＢ的斜率为ｋＣＢ＝－１ꎬ又因为ＣＢʊＰＱꎬ所以ｋＰＱ＝－１ꎬ点Ｐ的坐标为(ｔꎬ－ｔ２＋２ｔ＋３)ꎬ点Ｑ的坐标为(ｔ－３ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝－ｔ２＋２ｔ＋３３＝－１ꎬ解得ｔ１＝１＋７ꎬｔ１＝１＋７ꎬ点Ｐ的坐标为(１＋７ꎬ－３)和(１－７ꎬ－３).评析㊀分类讨论是二次函数综合题常用的方法之一ꎬ是学生在学习过程中必须掌握的解题思想.解决本题的关键是对点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ从已知条件出发ꎬ可以把点Ｐ分为在ｘ轴的上方和在ｘ轴的下方.３.３问题(３)的解法解法１㊀如图５所示ꎬ因为ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３＝－(ｘ－１)２＋４ꎬ所以Ｄ(１ꎬ４).设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋ.因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)ꎬＨ(ｘ２ꎬ－ｘ２２＋２ｘ２＋３)ꎬ所以ｋ(ｘ－１)＋３＝－ｘ２＋２ｘ＋３ꎬ整理得出ｘ２＋(ｋ－２)ｘ－ｋ＝０ꎬ所以ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋ.设ＤＧ的解析式为ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ１ꎬ将Ｄ(１ꎬ４)ꎬＧ(ｘ１ꎬ－ｘ２１＋２ｘ１＋３)代入解析中ꎬ进而求出解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３.当ｙ＝０时ꎬ解得ｘ＝ｘ１＋３ｘ１－１ꎬ所以点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷.同理可得Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ所以ＥＭ＝１－ｘ１＋３ｘ１－１＝－４ｘ１－１ꎬ同理可求得ＥＮ＝４ｘ２－１ꎬ所以ＥＭ ＥＮ＝－１６ｘ１－１()ｘ２－１()＝－１６ｘ１ｘ２－ｘ１＋ｘ１()＋１＝－１６－ｋ－２＋ｋ＋１＝１６.从而可知ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图５㊀问题(３)解法１示意图评析㊀这类解法思路很明确ꎬ求出点的坐标ꎬ然后根据点的坐标求相关线段的长度ꎬ进而计算ＥＭ ＭＮ的值.虽然运算量较大ꎬ需要明确三条直线的解析式ꎬ但是解题的思路比较清晰.解法２㊀根据解法１ꎬ得出点Ｄ(１ꎬ４)ꎬ点Ｍｘ１＋３ｘ１－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ点Ｎｘ２＋３ｘ２－１ꎬ０æèçöø÷ꎬ由此可知ＭＮ＝ｘ２＋３ｘ２－１－ｘ１＋３ｘ１－１＝４ｘ１－ｘ２()ｘ２－１()ｘ１－１()ꎬ由此可知ＭＮ２＝１６ｘ１＋ｘ２()２－６４ｘ１ｘ２ｘ２－１()２ｘ１－１()２＝１６ｋ２＋６４ｘ２－１()２ｘ１－１()２.由两点间的距离公式可得ＤＭ２＋ＤＮ２＝１６ｘ１－１()２＋１６ｘ２－１()２＋３２＝１６ｋ２＋６４ｘ１－１()２ｘ２－１()２ꎬ所以ＭＮ２＝ＤＭ２＋ＤＮ２ꎬ从而得出øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ又因为ＤＥʅＭＮꎬ所以øＤＥＮ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＥＮꎬ又øＤＥＭ＝øＤＥＮ＝９０ʎꎬ所以әＥＭＤʐәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.评析㊀根据点的坐标ꎬ利用两点间的距离公式可求得相关线段的长度ꎬ然后利用勾股定理的逆定理即可判定әＭＤＮ是直角三角形ꎬ最终利用直角三角形和相似三角形的性质解决问题.解法３㊀如图６所示ꎬ设过点Ｄ的直线解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ将Ｄ(１ꎬ４)代入直线解析式ꎬ得出ｙ＝ｋｘ＋３－ｋꎬ因为ＧꎬＨ在抛物线上ꎬ可设Ｇ(ｘ１ꎬｋｘ１＋３－ｋ)ꎬＨ(ｘ２ꎬｋｘ２＋３－ｋ)ꎬ从上面可知ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ过点Ｇ作ＧＦʅＤＥ于点Ｆꎬ过点Ｈ作ＨＪʅＤＥ于点Ｊꎬ则ＤＦ＝－ｋｘ１＋ｋ＋１ꎬＧＦ＝－ｘ１＋１ꎬＤＪ＝－ｋｘ２＋ｋ＋１ꎬＨＪ＝－ｘ２＋１ꎬ从而得出ＤＦ ＤＪ＝(－ｋｘ１＋ｋ＋１)(－ｋｘ１＋ｋ＋１)＝１ꎬＧＦ ＨＪ＝(－ｘ１＋１)(－ｘ２＋１)＝１ꎬ所以ＤＦ ＤＪ＝ＧＦ ＨＪꎬＤＦＧＦ＝ＨＪＤＪꎬ又因为øＤＦＧ＝øＨＪＤ＝９０ʎꎬ所以әＧＦＤәＤＪＨꎬ所以øＧＤＦ＝øＤＨＪꎬ所以øＧＤＨ＝øＧＤＦ＋øＪＤＨ＝øＤＨＪ＋øＪＤＨ＝９０ʎꎬＤＥʅｘ轴ꎬ所以øＤＥＭ＝øＮＥＤ＝９０ʎꎬ所以øＥＤＮ＋øＥＮＤ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值ꎬ且定值为１６.图６㊀问题(３)解法３示意图评析㊀根据图形特征ꎬ一条线段上有垂直线ꎬ并求ＥＭ ＥＮꎬ要能够想到射影定理ꎬ利用三角形相似ꎬ证明两个三角形相似要从角或者线段成比例角度考虑ꎬ同时解题的关键是要证明出øＭＤＮ＝９０ʎ.解法４㊀在上面的解法中已经求出了直线ＤＧ解析式为ｙ＝－(ｘ１－１)ｘ＋ｘ１＋３ꎬ同理可求出直线ＤＮ的解析式为ｙ＝－(ｘ２－１)ｘ＋ｘ２＋３ꎬ从而可以得出ｋＤＧ＝－(ｘ１－１)ꎬｋＤＮ＝－(ｘ２－１)ꎬ又因为ｘ１＋ｘ２＝２－ｋꎬｘ１ｘ２＝－ｋꎬ所以ｋＤＧ ｋＤＮ＝(ｘ１－１)ˑ(ｘ２－１)＝－１ꎬ则直线ＤＧ与直线ＤＮ互相垂直ꎬ进而øＭＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＋øＥＤＮ＝９０ʎꎬ所以øＭＤＥ＝øＤＮＥꎬ所以әＥＭＤәＥＤＮꎬ从而得出ＥＤ２＝ＥＭ ＥＮ＝１６.因此ꎬＥＭ ＥＮ是定值.评析㊀通过对图形的观察ꎬ发现解题的关键是要证明øＭＤＮ＝９０ʎꎬ两直线的夹角为直角ꎬ说明两直线互相垂直ꎬ则可以通过斜率关系进行证明ꎬ最后能求出ＥＭ ＥＮ的值.４解题反思４.１重视变式训练ꎬ发展思维能力题目不在于多ꎬ而在于精.一道题目不仅是一个知识点ꎬ它还可以是多个知识点的结合.在教学中教师可以围绕着一个问题向多个方向发散ꎬ把一道题变成一类题.就如本题中的二次函数ꎬ在方法上ꎬ对于点Ｐ的位置进行分类讨论ꎬ通过变式的形式可以从ＢꎬＣ所组成的线段是边还是对角线进行分类讨论ꎬ打破学生的常规思维.在内容上ꎬ除了可以考查线段乘积的定值和点的存在性ꎬ还可以与中点问题㊁线段的最值问题㊁面积定值㊁一次函数特殊角等问题进行结合.基于此ꎬ在教学中要不仅要培养学生能够灵活选择数学方法解决问题的习惯ꎬ还要通过 一题多解 培养学生思考问题和灵活变通的意识ꎬ而 一题多解 不仅有利于学生发散思维的培养ꎬ更有利于学生问题解决策略的形成㊁关键问题解决能力的培养[３].所以ꎬ在教学中教师可以通过变式进行教学ꎬ发展学生的思维能力ꎬ培养学生的发散思维ꎬ打破学生的思维定式ꎬ培养学生创新意识和实践能力.４.２构建知识网络ꎬ提高运算能力综合题往往不是一个数学知识点ꎬ而是多个数学知识的结合ꎬ所以在复习的过程中ꎬ要提高学生搭建知识网络的能力ꎬ形成知识框架ꎬ在教学中可以通过主题式学习ꎬ将知识进行整合.知识是解决问题的前提ꎬ而解决问题的成败关键在于学生的运算能力ꎬ它不仅是一种数学的操作能力ꎬ更是一种数学的思维能力[４]ꎬ教师在教学中可以通过日常的运算训练来发展学生的运算能力ꎬ有利于培养学生的思考问题的品质和养成科学的学习态度.参考文献:[１]石树伟.中考二次函数模型试题的源与流[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(５):６０－６３.[２]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０２２年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０２２.[３]高岩.二次函数背景下三角形面积最值问题的解法探究:由一道九年级期末压轴题引发的思考[Ｊ].初中数学教与学ꎬ２０２２(９):２０－２２.[４]金小亚.借助几何直观培养运算能力[Ｊ].教育实践与研究(Ａ)ꎬ２０１９(１):２５－２８.[责任编辑:李㊀璟]。

关于小题大做受到的启示作文450字我以前，听过这样的一个笑话:有一年，大学生考试，这些大学生们大都是尖子生，却被一道题目给难到了。

那一道题目是数学题，而那些考试学生，就是学数学专业的。

按理来说，他们解决过很多数学难题，应该不会错的，可是最后，只有一个学生做对了，其它的都是错误的答案。

这道问题是：一加一等于多少？看到这里，你一定觉得这道题很简单吧，因为在上小学的时候，我们就已经学过了，正确的答案是等于二。

可是，所有学生除了那一个同学的答案是二，其它的都不是。

在我第一次看见这个笑话的时候，也只是觉得很好笑，不觉得其中蕴含着什么道理。

随着年龄长大，我才明白，原来这个笑话里面，揭露了一个问题，那就是——小题大做。

当然，也告诉我们一个道理:很多事情其实很简单，是人们把它搞复杂了。

所以，我们可以明白，有些问题其实很简单，是我们内心的复杂让事情朝着失败的方向走了。

我上小学的时候，就是容易小题大做，喜欢由着自己的性子来，本来一道数学题很简单，我却把它看的很困难，然后不管怎么解都解不开这个问题。

那时候我才明白，原来很多事情没那么难，小题大做反而出错。

其实在生活中，小题大做不只有学习方面，待人处事方面，包括工作方面，也是这样，千万不可以小题大做。

破十法数学题摘要：1.破十法数学题的背景和意义2.破十法数学题的解题思路和方法3.破十法数学题的实际应用案例4.破十法数学题的启示和价值正文：【破十法数学题的背景和意义】破十法数学题，源于古代中国数学家张丘建所著的《算经》一书。

它是一道具有代表性的数学问题，旨在探讨如何将一个两位数的数字相加，使其和等于10。

例如，如何用3 和7 这两个数字相加得到10。

这道题目看似简单，却蕴含了丰富的数学思维和解题技巧。

在今天的数学领域，破十法数学题依然具有重要的研究价值和启示作用。

【破十法数学题的解题思路和方法】破十法数学题的解题思路主要有两种：一种是直接法，另一种是间接法。

直接法是指通过穷举法，列举出所有可能的组合，然后判断哪一组合的和等于10。

这种方法虽然简单，但对于两位数的数字较大时，计算量会变得非常庞大，不具备实际应用价值。

间接法则是通过数学规律和性质，寻找解题的捷径。

例如，可以将两位数的数字拆分为个位数和十位数，然后通过加减乘除等运算，使得十位数与个位数的和等于10。

这种方法更加高效，也更符合数学的实际应用需求。

【破十法数学题的实际应用案例】破十法数学题在实际生活中的应用非常广泛，例如在计算机科学、密码学、经济学等领域都有涉及。

其中，最著名的应用案例当属计算机科学的“八皇后问题”。

该问题要求在8x8 的棋盘上放置八个皇后，使得它们彼此之间不会互相攻击。

这个问题可以通过破十法数学题的解题思路进行求解，从而找到所有可能的解法。

【破十法数学题的启示和价值】破十法数学题不仅具有数学研究的意义，还具有很高的教育价值。

通过解决这类问题，学生可以培养自己的逻辑思维能力、创造力和解决问题的能力。

此外，破十法数学题也为我们提供了一个观察数学规律和性质的窗口，有助于我们更好地理解数学的本质和内涵。

总之，破十法数学题作为一道经典数学问题，无论在理论研究还是实际应用中，都具有重要意义。

２ ． 从“ 道” 到“ 术” 。 体 现 通 性 通 法 与 方 法 技 巧
就像画 函数 图像一样 ， 用“ 列表～ 描点一 连线 ” 是通 性通法 ， 是数 学学 习过 程 中的“ 道” ， 取两 个特殊点 画一
Ａ Ｂ 长 为半 径 的圆与两 条 坐 ５ — ４ ３— ２一 ｆ ｆ 标轴 的交点上 （ 即Ｇ、 、 ｃ ， Ｃ 、 Ｃ ） ， 如 图３ 所示． 如 果 缺乏 整 体 意 识 ， 没 矧 有整 体 架 构 的思 想 方法 ， 解
通性 通法 的基础 上形成 的技 巧．没有 一般性 策 略上 的
“ 道” ， 就不可能有方法技巧上“ 术” ．
例 ５ 在平 面直 角坐 标 系内 ， 、 Ｂ 两 点 的坐标 分 别 是Ａ（ ０ ， ２ ） 、 Ｂ （ 一 １ ， ０ ） ， ０ 为坐标原 点 ， 点ｃ 在 坐标轴 上 ， 若 ＡＡ Ｂ Ｃ 为等腰三角形 ， 求点Ｃ 的坐标．
一
： ｊ 、 ∥ 。
’
、
．
， ．
，
’
、
＿
３
决问题就可能缺少全局 的观念 ， 分 类 讨 论 就 可 能 漏 掉
次 函数 的图像 ， 尽管简捷 ， 只是治学 过程中的“ 术” ， 是在
些情况．
参考文献 ：
１ ． 中 华 人 民 共 和 国教 育 部 制 定． 义 务 教 育 数 学 课 程
颖试 题
蕴 内涵
— —
重能 力
促发展
许 彬
一
道 中考压 轴 题 的 亮 点 赏析 及 教 学 启 示
⑩江 苏 省 邳 州市 运 河 中学 初 中部
一
、
试 题 呈 现
ｙ Ｂ ， ｜