第二篇函数、导数及其应用第1讲函数的概念及其表示[最新考纲]1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．(3)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(4)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf x ，n ∈N *f (x )≥0 1f x与[f (x )]0f (x )≠0 log a f (x ) f (x )＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集 实际问题使实际问题有意义3．函数值域的求法 方法 示例示例答案配方法 y ＝x 2＋x －2 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞性质法 y ＝e x y ∈(0，＋∞) 单调性法 y ＝x ＋x －2 y ∈[2，＋∞)换元法y ＝sin 2 x ＋sin x ＋1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3分离常数法y ＝xx ＋1y ∈(－∞，1)∪(1，＋∞)辨 析 感 悟1．对函数概念的理解． (1)(教材习题改编)如图：以x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一函数．(×) 2．函数的定义域、值域的求法(3)(2013·江西卷改编)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为(0,1)．(×) (4)(2014·杭州月考改编)函数f (x )＝11＋x 2的值域为(0,1]．(√)3．分段函数求值(5)(2013·济南模拟改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝139.(√)学生用书第10页(6)(2014·浙江部分重点中学调研改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋34，x ≥0，2x ＋1，x ＜0若f (a )＝12，则实数a 的值为12或－2.(√)4．函数解析式的求法(7)已知f (x )＝2x 2＋x －1，则f (x ＋1)＝2x 2＋5x ＋2.(√) (8)已知f (x －1)＝x ，则f (x )＝(x ＋1)2.(×) [感悟·提升]1．一个方法 判断两个函数是否为相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简)，如(2)．2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义，如(3)；二是分段函数求值时，一定要分段讨论，注意验证结果是否在自变量的取值范围内，如(6)； 三是用换元法求函数解析式时，一定要注意换元后的范围，如(8).考点一 求函数的定义域与值域【例1】 (1)(2013·山东卷)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )．A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________． 解析 (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得－3＜x ≤0.(2)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1，因为4x ＋1≠0， 所以1－4x ＋1≠1.即函数的值域是{y |y ≠1}． 答案 (1)A (2){y |y ≠1}规律方法 (1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．【训练1】 (1)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________．解析(1)根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x ＞0，－1≤x ≤1⇒0＜x ≤1，故定义域为(0,1]．(2)当x ≥1时，log 12x ≤0；当x ＜1时，0＜2x＜2，故值域为(0,2)∪(－∞，0]＝(－∞，2)．答案 (1)(0,1] (2)(－∞，2)考点二 分段函数及其应用【例2】 (1)(2014·东北三校联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－x ，x ≤0f x －1－f x －2，x ＞0，则f (3)的值为( )．A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析 (1)依题意，3＞0，得f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)；所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. (2)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)B (2)－34规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【训练2】 (2014·烟台诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos πx 3，x ≤2 000，2x －2 008，x ＞2 000，则f [f (2 013)]＝( )．A. 3 B ．－ 3 C ．1 D ．－1 解析 f (2 013)＝22 013－2 008＝25＝32，所以f [f (2 013)]＝f (32)＝2cos 32π3＝2cos 2π3＝－1. 答案 D学生用书第11页 考点三 求函数的解析式【例3】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式．(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式． 解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．规律方法 求函数解析式常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【训练3】 (1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 解析 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， 所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3. 所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x x ＋12.答案 (1)2x 2－4x ＋3 (2)－x x ＋121．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．2．函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有凑配法、换元法、待定系数法和方程法等，特别要注意将实际问题转化为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域．教你审题1——分段函数中求参数范围问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0.❶若|f (x )|≥ax ❷，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0](1)[审题]一审条件❶：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x ＞0，转化为一元二次函数与对数函数的图象问题．如图(1)．二审条件❷：|f (x )|≥ax ，由f (x )的图象得到|f (x )|的图象如图(2)．(2)三审图形：观察y ＝ax 的图象总在y ＝|f (x )|的下方，则当a ＞0时，不合题意；当a ＝0时，符合题意；当a ＜0时，若x ≤0，f (x )＝－x 2＋2x ≤0， 所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2. 综上－2≤a ≤0. 答案 D[反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【自主体验】(2014·德州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋3，x ≤0，则f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1解析 因为f (1)＝lg 1＝0，所以由f (a )＋f (1)＝0得f (a )＝0.当a ＞0时，f (a )＝lg a ＝0，所以a ＝1.当a ≤0时，f (a )＝a ＋3＝0，解得a ＝－3.所以实数a 的值为a ＝1或a ＝－3，选D. 答案 D对应学生用书P227基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同； B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数． 答案 C2．(2013·临沂一模)函数f (x )＝ln xx －1＋x21的定义域为( )．A ．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，xx －1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x x －1＞0，解得x ＞1.答案 B3．(2013·昆明调研)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )．解析 A 项定义域为[－2,0]，D 项值域不是[0,2]，C 项对定义域中除2以外的任一x 都有两个y 与之对应，都不符合条件，故选B. 答案 B4．(2014·江西师大附中、鹰潭一中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜1，f x －1，x ≥1，则f (log 27)＝( )．A.716B.78C.74D.72解析 因为log 27＞1，log 272＞1,0＜log 274＜1，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f (log 272)＝f (log 272－1)＝f (log 274)＝2log 274＝74.答案 C 5．函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )． A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－3解析 f (f (x ))＝c ⎝⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3.答案 B 二、填空题6．(2014·杭州质检)函数f (x )＝ln x －2x ＋1的定义域是________． 解析 由题意知x －2x ＋1＞0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＞2或x ＜－1. 答案 {x |x ＞2，或x ＜－1}7．(2014·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析 f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，解得a ＝2. 答案 28．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，由此得x ＝1－t1＋t(t ≠－1)，所以f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2，从而f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2(x ≠－1)． 答案 f (x )＝2x1＋x 2(x ≠－1)三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式． 解 ∵f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ，∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－16a，∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离s (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 由题意知：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.其图象如图所示．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( )． A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B. 答案 B2．已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )＝1x，则当x ∈(－∞，－2)时，f (x ) 的解析式为( )．A ．f (x )＝－1xB ．f (x )＝－1x －2C ．f (x )＝1x ＋2 D ．f (x )＝－1x ＋2解析 当x ∈(－∞，－2)时，则－2－x ∈(0，＋∞)， ∴f (x )＝－1x ＋2. 答案 D 二、填空题3．(2013·潍坊模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1]，log 81x ，x ∈1，＋∞，则满足f (x )＝14的x 值为________．解析 当x ∈(－∞，1]时，2－x ＝14＝2－2，∴x ＝2(舍去)；当x ∈(1，＋∞)时，log 81x ＝14，即x ＝8141＝1443⨯＝3.答案 3 三、解答题4．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即函数f (x )在[1，b ]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b ，②又b >1，由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3，∴a ，b 的值分别为32，3.学生用书第12页第2讲 函数的单调性与最值[最新考纲]1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.知 识 梳 理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数续表图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值辨析感悟1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．(√)(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．(√)(3)(教材改编)函数f(x)＝1x在其定义域上是减函数．(×)(4)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．(√) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(6)(教材改编)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(7)(2013·汕头模拟)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．(×) (8)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的最小值为0.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．2．两个防范 一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).学生用书第13页考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)(2013·沙市中学月考)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x2＝(x 1－x 2)＋k x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x2＜0， 解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．【训练1】 试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．解 法一 (定义法)任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1，∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数在(－1,1)为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数在(－1,1)为增函数． 法二 (导数法)f ′(x )＝a x 2－1－2ax 2x 2－12＝－a x 2＋1x 2－12当a ＞0时，f ′(x )＜0； 当a ＜0时，f ′(x )＞0.∴当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数； 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数．考点二 利用单调性求参数【例2】 已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1x ＋12，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1x ＋12≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．规律方法 利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题． 【训练2】 (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)(2014·日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1] 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，解得a ≤－3.(2)f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1. 答案 (1)C (2)D学生用书第14页考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 规律方法 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【训练3】 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1，x 1≥x 2，x 2，x 1＜x 2，若f (x )＝x 2－2，g (x )＝－x ，则max(f (x )，g (x ))的最小值为________．解析 f (x )－g (x )＝x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2，当x 2－2－(－x )＝x 2＋x －2≥0时，x ≥1或x ≤－2；当－2＜x ＜1时，x 2＋x －2＜0，即f (x )＜g (x )，所以max(f (x )，g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－2＜x ＜1，x 2－2，x ≥1或x ≤－2，作出图象如图所示，由图象可知函数的最小值在A 处取得，所以最小值为f (1)＝－1. 答案 －11．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．易错辨析1——分段函数单调性的判定【典例】 (2013·金华模拟)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)[错解] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，解得1＜a ＜8.[答案] D[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．[正解] f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋2≤a ，解得：4≤a ＜8. [答案] B[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法． 【自主体验】(2013·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1，是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析 当x ＝1时，log a 1＝0，若f (x )为R 上的减函数，则(3a －1)x ＋4a ≥0在x ＜1时恒成立．令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，g 1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，3a －1＋4a ≥0⇒17≤a ＜13. 答案 C对应学生用书P229基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )． A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析 函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y ＝－x ＋1在[－1，＋∞)上是减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数；函数y ＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y ＝ln(x ＋2)，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4a －34a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， 得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0.∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c . 答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析 由f (x )＝min{2x，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ≥0，x 2－3x ，x ＜0，由图可知其递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4.答案 48．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意知，当x ＝1时，f (x )min ＝2，故－1＋a ≥2， ∴a ≥3. 答案 [3，＋∞) 三、解答题9．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝ax 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2， 又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋a x－2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D2．(2014·厦门外国语学校质检)已知函数f (x )＝|e x＋ae x |(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )． A ．[0,1] B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2]∪[e 2，＋∞)解析 取a ＝1，则f (x )＝e x＋1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x－1e x ＝e 2x－1ex ≥0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除B ，D ；取a ＝－1，则f (x )＝|e x －1e x |＝e x－1e x ，当x ∈[0,1]时，f ′(x )＝e x＋1e x ＞0，所以f (x )在区间[0,1]上单调递增，排除A.故选C.答案 C 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋ax ，f ′(x )＝1－a x2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－fx ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a ＋12－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －12≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).学生用书第15页 第3讲 函数的奇偶性与周期性[最新考纲]1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．辨析感悟1．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√)(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√)(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝－2.(√)(6)(2014·菏泽模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．(×) 2．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (8)(2014·枣庄一模改编)若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是奇函数．(×) [感悟·提升]1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数，如(1)；二是若函数f (x )是奇函数，则f (0)不一定存在；若函数f (x )的定义域包含0，则必有f (0)＝0，如(2)．2．三个结论 一是若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称，如(4)；二是若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是以2a 为周期的函数；若对任意x ∈D 都有f (x ＋a )＝±1f x(f (x )≠0)，则f (x )也是以2a 为周期的函数，如(7)；三是若函数f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )既是周期函数又是偶函数，如(8)中因为y ＝f (x )是周期函数，设其周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，两边求导，得f ′(x ＋T )(x ＋T )′＝f ′(x )，即f ′(x ＋T )＝f ′(x )，所以导函数是周期函数，又因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，两边求导，得f ′(－x )(－x )′＝－f ′(－x )＝－f ′(x )，即－f ′(－x )＝－f ′(x )，所以f ′(－x )＝f ′(x )，所以导函数是偶函数.学生用书第16页考点一 函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x 1＋x.(2)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2(1)解 ①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0得x ＝±1.∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．②由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x1＋x 的定义域为(－1,1)，又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数． (2)解析 设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )， 则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln 11＋9x 2－3x＝－ln(1＋9x 2－3x )＝－g (x )． ∴g (x )为奇函数．∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝f (lg 2)＋f (－lg 2) ＝g (lg 2)＋1＋g (－lg 2)＋1＝g (lg 2)－g (lg 2)＋2＝2. 答案 D规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 【训练1】 (1)(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝( )．A ．2 B.154C.174D ．a 2(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )．A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 (1)∵g (x )为偶函数，f (x )为奇函数， ∴g (2)＝g (－2)＝a ，f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①f (－2)＋g (－2)＝－f (2)＋g (2)＝a －2－a 2＋2，②联立①②解得g (2)＝2＝a ，f (2)＝a 2－a －2＝22－2－2＝154.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)B (2)A考点二 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－xC ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·辽宁五校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) 解析 (1)f (x )＝1x在定义域上是奇函数，但不单调；f (x )＝－x 为非奇非偶函数；f (x )＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调．(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (log 18x )＞0等价于f (|log 18x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|log 18x |＞13，即log 18x ＞13或log 18x ＜－13，解得0＜x ＜12或x ＞2，故选C.答案 (1)C (2)C规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．【训练2】 (2014·北京101中学模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝e x＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是( )． A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝e x＋a 在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，则e 0＋a ＝1＋a ≥0，解得a ≥－1，所以a 的最小值是－1，故选B. 答案 B考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A ．f (－25)＜f (11)＜f (80) B ．f (80)＜f (11)＜f (－25) C ．f (11)＜f (80)＜f (－25) D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)审题路线 f (x －4)＝－f (x )――――→令x ＝x －4f (x －8)＝f (x )→结合f (x )奇偶性、周期性把－。
