二次函数中动点图形的面积最值

二次函数最大面积例1如图所示，等边△ ABC中，BC=10cm，点R, P?分别从B,A同时岀发，以1cm/s的速度沿线段BA,AC 移动，当移动时间练习1如图，在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=12cm,点P从点A岀发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B岀发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果P,Q同时岀发，分别到达B、C两点就停止移动。

_ ___________________________________________ 2(1 )设运动开始后第t秒，五边形APQCD的面积是Scm ，写岀S与t函数关系式，并指岀t的取值范围。

(2) t为何值时，S最小？并求岀这个最小值。

A开始沿QBB边向点B以A2 如图，在△ ABC 中，/ B=9 0°, AB=22CM,BC=20CM ，点P 从点2cm/S的速度移动，点Q从点B开始沿着BC边向点C以1cm/S的速度移动,P,Q分别从A,B 同时岀发。

2求四边形APQC的面积y ( cm )与PQ移动时间x (s)的函数关系式, 以及自变量x的取值范围。

C3如图正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与B,C重合的任意一点点P作PQ丄AP交DC于点Q,设BP的长为x cm，CQ的长为y cm。

(1)求点P在BC上的运动的过程中y的最大值。

1(2 )当y= cm时，求x的值。

44如图所示，边长为在线段记CD(1)过ADPBB1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，动点点E,连接O BC上移动(不与B,C重合)，连接OD，过点D作DE丄OD, 的长为t o1当t=丄时，求线段DE3如果梯形CDEB的面积为所在直线的函数表达式S,那么S是否以及此时(2) 存在最大值？若存在，请求出最大值，t的值；若不存在，请说明理由。

2 2(3)当OD DE的算术平方根取最小值时,(4)求点E的坐标。

二次函数最大面积交ABD BE能力提高例题如图所示，在梯形ABCD中，AD// BC,AB=AD=DC=2CM,BC=4C在等腰△ PQR中，/ QPR=120 ,底边QR=6CM点B,C,Q，R在同一直线1cm/s的速度沿直线I向左匀速移动，(1)(2) t秒时梯形I上，且C,Q两点重合，如果等腰△ PQR以2 ABCD与等腰△ PQF重合部分的面积记为Scm当t=4时，求S的值。

一、二次函数中的最值问题：例1：在平面直角坐标系中，全等的两个三角形Rt⊿AOB与Rt A’OC’如图放置，点B、C’的坐标分别为（1，3），（0，1），BO 与A’ C’相交于D,若⊿A’OC’绕点O旋转90°至⊿AOC，如图所示（1）若抛物线过C、 A、A’，求此抛物线的解析式及对称轴；∴ y=-x2+2x+3（2）、若点P是第一象限内抛物线线上的一动点，问P在何处时△AP A’的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的点P的坐标。

（3）、设抛物线的顶点为N,在抛物线上是否存在点P,使△ A’AN与△ A’AP的面积相等?,若存在,请求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由。

例 2、（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；OA=AD﹣OD=2，即：A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C（0，4）、D（3，0）；设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣3），得：2×（﹣3）a=4，a=﹣；∴抛物线：y=﹣x2+x+4．（2）由A（﹣2，0）、B（﹣5，4）得直线AB：y1=﹣x﹣；由（1）得：y2=﹣x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1＜y2时，﹣2＜x＜5．（3）∵S△APE=AE•h，∴当P到直线AB的距离最远时，S△ABC最大；若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线L：y=﹣x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时，﹣x+b=﹣x2+x+4，且△=0；求得：b=，即直线L：y=﹣x+；可得点P（，）．由（2）得：E（5，﹣），则直线PE：y=﹣x+9；新课标第一网则点F（，0），AF=OA+OF=；∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=．综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．针对训练：1、（2013宜宾）如图，抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C．（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标；（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）抛物线y1=x2﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1），所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）2﹣1；（2）x=0时，y=﹣1，y=0时，x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，所以，点A（1，0），B（0，﹣1），∴∠OBA=45°，联立，解得，∴点C的坐标为（2，3），∵∠CPA=∠OBA，∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0），在点A的右边时，坐标为（5，0），所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（3）存在．∵点C（2，3），∴直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，联立，消掉y得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值，此时x1=x2=×（﹣）=，此时y=（﹣4）2﹣1=﹣，∴存在第四象限的点Q（，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值，此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，解得b=﹣，∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣，令y=0，则x﹣=0，解得x=，设直线与x轴的交点为E，则E（，0），过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC==，则sin ∠COD==， 解得h 最大=×=．2、如图，抛物线)0(2232≠--=a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4.（1）求抛物线的解析式；（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ∆的面积的最大值，并类型一、最值问题：类型一、最值问题：（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（1，﹣），已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过三点A 、B 、O （O 为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号），﹣可得：解得：x ﹣，解得：，﹣）﹣（﹣AF﹣（+y y）﹣（y+x+（﹣x+x﹣（）时，△，×+=，，）类型二、探索三角形的存在性。

数学篇解题指南几何图形与二次函数的综合题难度一般较大.在解答此类问题时，同学们要认真观察、分析图形的结构特征，充分挖掘几何图形的性质，再利用二次函数的性质求解.下面笔者就以二次函数中线段最值问题与图形面积最值问题的常见解法举例说明.一、二次函数中的线段最值问题常见的二次函数中的线段最值问题有：（1）求某条线段的最值；（2）求几条线段的和的最小值或差的最大值.这类问题侧重于考查二次函数与直线的位置关系、二次函数的性质、平面几何图形的性质.解答此类问题，通常需根据直线与二次函数的位置关系，利用二次函数的对称性转换点或线段的位置，构造出三角形、平行四边形、三点共线的情况等，从而运用三角形、平四边形的性质，以及一些平面几何定理，如“两点间线段最短”“两边之差小于第三边”，求得最值.例1在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A （-2，-4），O （0，0），B（2，0）三点.（1）求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM +OM 的最小值.分析：题目（1）是一个求二次函数解析式的简单问题，只要把三个点代入解析式，组成方程组求解即可；（2）是在（1）求解出的二次函数解析式的基础上，求对称轴上一点到两个固定点的距离和问题，即“求AM +OM 的最小值”.准确画出二次函数的图象，如图1所示，利用二次函数的对称性以及对称轴的相关知识，可以得出OM =BM ，从而将AM +OM 转化为当A 、B 、M 三点共线时，两线段和最小.解：（1）把A （-2，-4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c 中，得方程组的解为，a =-12，b =1，c =0，所以抛物线的解析式为y =-12x 2+x ；（2）由y =-12x 2+x =-12（x -1）2+12，可得抛物线的对称轴为x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∵点M 是抛物线对称轴上的一点，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ，连接AB 交直线x =1于M 点，此时OM +AM 最小.过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB =AB 2+BN 2=42+42=42，因此OM +AM 的最小值为42.评注：二次函数的图象具有对称性，点M 是对称轴上的一点，利用此性质可以得到OM =BM ，这样便将“OM +AM ”转化为“BM +AM ”，进一步转化为求AM +BM 最小值问题，然后利用“两点之间线段最短”的原理求解即可.二、二次函数中图形面积的最值问题二次函数中图形面积的最值问题往往是二次函数线段最值问题的升华.求解此类问题时往往需要将不规则或复杂的图形通过“分割法”或“补形法”转化为规则的图形，然后利用规则图形的面积公式来求解.一般地，怎样求解二次函数中的几何最值问题南京师范大学盐城实验学校程梦书x y 图119数学篇解题指南二次函数中图形面积的最值问题往往通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题.此外，经过割补后所求区域的面积，可通过不同区域的面积相加或相减来求得.例2已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点M 是线段BC 上的点（不与B ，C 重合），过M 作MN //y 轴交抛物线于N ，若点M 的横坐标为m ，请用m 的代数式表示MN 的长；（3）在（2）的条件下，连接NB 、NC ，是否存在m ，使△BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由.分析：（1）求二次函数解析式比较容易，直接将三点坐标代入组成方程组即可.（2）中点M 虽是动点，但坐标可以用二次函数的解析式表示出来，随后表示出点N 的坐标，即可表示MN 的长.（3）△BNC 面积直接求解比较困难，利用转化思想化为S △MNC +S △MNB .利用面积公式，将“面积”最值问题转化为“线段”最值问题来求解.（如图2所示）.解：（1）∵抛物线过点A （-1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3)，又∵抛物线过点C （0，3），∴a (0+1)(0-3)=3，解得a =-1，所以，抛物线的解析式为：y =-(x +1)(x -3)=-x 2+2x +3；（2）设直线BC 的解析式为y =kx +b ，则有：故直线BC 的解析式为：y =-x +3，已知点M 的横坐标为m ，则M (m ,-m +3)、N （m ，-m 2+2m +3），∴MN =|（-m 2+2m +3）-（-m +3）|=|-m 2+3m |，∵点M 在B 、C 之间，∴点N 高于点M ，∴0<m <3，∴MN =|-m 2+3m |=-m 2+3m 即MN =-m 2+3m （0<m <3）；（3）存在，S △BNC =S △MNC +S △MNB ,∵MN //y 轴，∴延长NM 交x 轴于点D ，∴点C 到MN 的距离为OD ，∴S △MNC =12MN ×OD ，S △MNB =12MN ×DB ，S △BNC =S △MNC +S △MNB =12MN (OD +DB )=12MN ×OB ，∴当|MN |最大时，△BNC 的面积最大，MN =-m 2+3m =-(m -32)2+94，当m =32时，MN 有最大值为94，所以当m =32时，S △BNC 的面积最大，故△BNC 的面积最大值为12×94×3=278.评注：求解二次函数的最值问题时，一定要准确绘制出函数的图象，特别是开口方向、与x 轴的交点、与y 轴的交点、对称轴.否则，可能得到错解或无解.利用二次函数求最值需要注意：当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值.二次函数中的几何最值问题往往涉及“线段和最小”或“图形面积最大”等问题.同学们应掌握二次函数的图象和性质，将最值图2。

教学过程一、课堂导入在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B（5，0），C（3，3），D（2，4），问题：这是在平面直角坐标系那章我们经常遇到的求四边形面积的题目，这类问题相信大家都有不同的解题方法，在二次函数这一章，我们依然要研究四边形的面积，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线(直线、坐标轴等)上求作一点，使得四边形面积最大并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习（一）二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质：（二）相似三角形的性质：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

（三）相似三角形模型探究与解题技巧：1、课堂导入题解如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为_________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似（至少找出两个满足条件的点的坐标）．解：∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且当∠BOC=90°时，由点B、O、C组成的三角形与△AOB 相似，即∠BOC应该与∠BOA=90°对应，①当△AOB∽△COB，即OC与OA相对应时，则OC=OA=4，C（-4，0）；②当△AOB∽△BOC，即OC与OB对应，则OC=1，C（-1，0）或者（1，0）．故答案可以是：（-1，0）；（1，0）．解析：分类讨论：①当△AOB∽△COB时，求点C的坐标；②当△AOB∽△BOC时，求点C的坐标；如果非直角三角形也要分类讨论，对应边不一样就得到不同的结果。

2、几种常见的相似三角形模型①直角三角形相似的几种常见模型②非直角三角形相似的几种常见模型3、解题技巧函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径。

二次函数双动点面积最值一、问题描述在平面直角坐标系内，给定二次函数 $y=ax^2+bx+c$，且 $a<0$。

定义该二次函数的双动点为其图像上两个不同的点 $(x_1,y_1)$ 和$(x_2,y_2)$，满足 $y=ax^2+bx+c$ 在区间 $(x_1,x_2)$ 内单调递减或单调递增。

现在要求求出所有可能的双动点，并计算出其对应的面积最大值。

二、解题思路本题需要分别考虑二次函数的凸性和双动点的性质。

具体来说，我们可以通过求导数来判断二次函数的凸性，并通过判别式来计算二次方程的根以确定双动点。

然后，我们可以利用双动点的性质，结合微积分知识求出面积最大值。

三、解题步骤1. 求解二次函数的凸性由于$a<0$，因此该二次函数开口向下。

此时，当且仅当$a>0$ 时，该二次函数在整个定义域内为凸函数；当且仅当 $a<0$ 时，该二次函数在整个定义域内为下凸函数。

因此，在本题中，我们可以通过判断 $a$ 的符号来确定该二次函数的凸性。

2. 计算二次方程的根由于$a<0$，因此该二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

此时，该二次函数的双动点必然是两个不同的零点，即 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根。

根据二次方程求根公式可得：$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$由于 $a<0$，因此 $\sqrt{b^2-4ac}$ 为实数。

因此，当 $b^2-4ac>0$ 时，该二次方程有两个不同的实根；当 $b^2-4ac=0$ 时，该二次方程有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，该二次方程无实数解。

在本题中，我们需要计算出所有可能的双动点。

因此，在计算完根之后，我们需要对其进行判断：若两个根均在定义域内，则它们为一个双动点；若其中一个根在定义域内而另一个不在，则不存在双动点；若两个根均不在定义域内，则也不存在双动点。

二次函数面积最大值问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a!=0。

它是数学中的一种基本函数类型，也是一种常见的函数类型。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，它在平面上呈现出对称的形状。

而二次函数的面积最大值问题即是要找到这个二次函数上的某个区间，使得该区间所对应的面积达到最大值。

要解决这个问题，我们首先需要找到二次函数的顶点，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对应着面积最大值或最小值。

二次函数的顶点坐标的x值可以通过求导函数的根来得到，也可以通过使用二次函数的对称轴公式来得到。

一般来说，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的对称轴公式为x = -b/(2a)。

对于开口朝上的抛物线，顶点位于对称轴上方；对于开口朝下的抛物线，顶点位于对称轴下方。

有了二次函数的顶点坐标后，我们可以进一步求得面积最大值对应的区间。

对于开口朝上的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间内；对于开口朝下的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间外。

接下来，我们需要定义面积的计算方法。

对于开口朝上的抛物线，面积为两个顶点x值之间的曲线下方所围成的面积；对于开口朝下的抛物线，面积为整个函数曲线下方所围成的面积。

对于面积的计算，可以使用微积分的方法。

我们可以先求出二次函数的原函数F(x)，然后通过计算F(x)在区间内的两个端点的函数值之差来得到面积。

具体来说，对于开口朝上的抛物线，面积可以表示为S = F(x2) - F(x1)，其中x1和x2是顶点的两个x值；对于开口朝下的抛物线，面积可以表示为S = |-F(x2) + F(x1)|。

要计算S的数值，我们需要根据二次函数的具体形式来计算对应的原函数F(x)。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的原函数F(x) = (a/3)x^3 + (b/2)x^2 + cx。

2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)y x k =-+与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点(0,3)C -．P 为抛物线上一点，横坐标为m ，且0m >．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP ∆面积的最大值；（3）设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点)P 最高点与最低点的纵坐标之差为h ．①求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，直接写出BCP ∆的面积．【变式训练】如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,4)C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N ，在x 轴上找一点K ，使CK KN +最小，并求出点K 的坐标；（3）点Q 是线段AB 上的动点，过点Q 作//QE AC ，交BC 于点E ，连接CQ ．当CQE ∆的面积最大时，求点Q 的坐标；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(5,0)B 两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合）．过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF ∆的面积为5时，求点P 的坐标；（3）当PCF ∆为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【变式训练】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为____，抛物线的顶点坐标为____；（2）如图1，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；（3）如图2，点E 的坐标为(0,1)-，点G 为x 轴负半轴上的一点，15OGE ∠=︒，连接PE ，若2PEG OGE ∠=∠，请求出点P 的坐标；（4）如图3，是否存在点P ，使四边形BOCP 的面积为8？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23y x bx =-++的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上．（1）b =______；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM MN NH ==？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【变式训练】如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及PAC ∆的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得PAM PAC S S ∆∆=？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，D 为顶点，其中点B 的坐标为(5,0)，点D 的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）点E 是线段BD 上的一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为F ，且ED EF =，求点E 的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点G ，使得ADG ∆的面积是BDG ∆的面积的35？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D 、E 在直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【达标检测】1．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，交y 轴于点C ，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线(30)y m m =-<<与线段AD 、BD 分别交于G 、H 两点，过G 点作EG x ⊥轴于点E ，过点H 作HF x ⊥轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；（3）若直线1y kx =+将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为1S ，2S ，且12:4:5S S =，求k 的值．2．如图，抛物线2(0)y ax bx a =+<过点(10,0)E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左边），点C ，D 在抛物线上．设(,0)A t ，当2t =时，4AD =．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．3．已知：如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，该抛物线的顶点为M ．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）求直线BM 的函数解析式．（3）试说明：90CBM CMB ∠+∠=︒．（4）在抛物线上是否存在点P ，使直线CP 把BCM ∆分成面积相等的两部分？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线21:C y x ax =+与22:C y x bx =-+相交于点O 、C ，1C 与2C 分别交x 轴于点B 、A ，且B 为线段AO 的中点．（1）求a b的值；（2）若OC AC ⊥，求OAC ∆的面积；（3）抛物线2C 的对称轴为l ，顶点为M ，在（2）的条件下：①点P 为抛物线2C 对称轴l 上一动点，当PAC ∆的周长最小时，求点P 的坐标；②如图2，点E 在抛物线2C 上点O 与点M 之间运动，四边形OBCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线232y x bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线y x n =-+与该抛物线在第四象限内交于点D ，与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，且4BE EC =．①求n 的值；②连接AC ，CD ，线段AC 与线段DF 交于点G ，AGF ∆与CGD ∆是否全等？请说明理由；（3）直线(0)y m m =>与该抛物线的交点为M ，N （点M 在点N 的左侧），点M 关于y 轴的对称点为点M '，点H 的坐标为(1,0)．若四边形OM NH '的面积为53．求点H 到OM '的距离d 的值．6．如图，已知二次函数23(2)34y ax a x =--+的图象经过点(4,0)A ，与y 轴交于点B ．在x 轴上有一动点(C m ，0)(04)m <<，过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D ．（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F ，设ACE ∆，DEF ∆的面积分别为1S ，2S ，若124S S =，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且DEGH 周长取最大值时，求点G 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -、(3,0)B 两点，且与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ ．（Ⅰ）若点P 的横坐标为12-，求DPQ ∆面积的最大值，并求此时点D 的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，DPQ ∆面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．8．已知抛物线2(1)y a x =-过点(3,1)，D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点1(0,)4B ，且90BDC ∠=︒，求点C 的坐标；（3）如图，直线4y kx k =+-与抛物线交于P 、Q 两点．①求证：90PDQ ∠=︒；②求PDQ ∆面积的最小值．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线3x =，且与x 轴相交于A ，B 两点(B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2）若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使PBC ∆的面积最大．若存在，请求出PBC ∆的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当3MN =时，求M 点的坐标．。

二次函数动点问题中面积最值的解法策略摘要：我国正在实施新的基础教育课程改革，《义务教育数学课程标准（２０22年版）》指出要培养学生的数学核心素养，而二次函数和几何图形的综合应用题，能充分的考查学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算以及数学建模等综合能力。

这种类型的综合题，通常出现在中考的压轴题中，综合性强，计算强度大，具有较大的难度，在二次函数与几何图形的综合题中，求二次函数面积的最值问题比较常见，本文就此问题解法进行探讨。

关键词：二次函数与几何图形；函数动点问题；二次函数面积最值二次函数动点问题就是通过点的运动生成一种函数关系及函数图象，抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题，就是将几何图形与函数图象有机地融合在一起，解决的关键是结合图形通过点坐标衔接函数、方程找到函数关系。

本文就求解二次函数面积最值的问题，浅谈几种解决此类问题的方法策略。

一、割补法在解决二次函数面积最值问题时，不规则多边形的面积往往可以通过割补法把多边形分为几个三角形或者是规则的四边形的面积来求解，当三角形中有一边是在坐标轴上，或者在以坐标轴平行的直线上，那么就可以把这一条边当作三角形的底边，第三个点到这一条边的距离，作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解，或者过图形的各端点作两坐标轴的平行线，构造与轴平行的最小矩形对所要求面积的图形进行覆盖，然后所求图形的面积即为矩形面积减去多余的几个直角三角形的面积。

最终把多边形面积的最值问题，转化为求三角形面积的最值问题，这也体现了一种“化归”的思想方法。

题目1、(2019枣庄)已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.[思路分析]（1）由抛物线的对称轴是直线x=3，解出a的值，即可求得抛物线的表达式，再令其y值为0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标。

二次函数的最值之与动点有关的面积最小值问题1. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF 并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．2. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．3. 如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q（1）【探究一】在旋转过程中，①如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.________ ②如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.________③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式为________,其中的取值范围是________(直接写出结论，不必证明)（2）【探究二】若且AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：①S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.②随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．（1）若BM=BN，求t的值；（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．5. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C 重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.（1）填空：点B的坐标为________；（2）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值6. 已知二次函数图象的顶点坐标为（0，1），且过点（﹣1，），直线y=kx+2与y轴相交于点P，与二次函数图象交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（注：在解题过程中，你也可以阅读后面的材料）附：阅读材料任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则：x1+x2=﹣，x1•x2=能灵活运用这种关系，有时可以使解题更为简单．例：不解方程，求方程x2﹣3x=15两根的和与积．解：原方程变为：x2﹣3x﹣15=0∵一元二次方程的根与系数有关系：x1+x2=﹣，x1•x2=∴原方程两根之和=﹣=3，两根之积= =﹣15．（1）求该二次函数的解析式．（2）对（1）中的二次函数，当自变量x取值范围在﹣1＜x＜3时，请写出其函数值y的取值范围；（不必说明理由）（3）求证：在此二次函数图象下方的y轴上，必存在定点G，使△ABG的内切圆的圆心落在y轴上，并求△GAB面积的最小值．7. 如图所示，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A，C分别在x，y轴的正半轴上，已知点B（4，2），将矩形OABC翻折，使得点C的对应点P恰好落在线段OA（包括端点O，A）上，折痕所在直线分别交BC、OA于点D、E；若点P在线段OA上运动时，过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q．（1）求证：CQ=QP（2）设点Q的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）如图2，连结OQ，OB，当点P在线段OA上运动时，设三角形OBQ的面积为S，当x取何值时，S取得最小值，并求出最小值；8. 如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A 出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；9. 如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10. 如图1，正方形ABCD的顶点A在原点O处，点B在x轴上，点C的坐标为（6，6），点D在y轴上，动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度．（1）探索AQ与BP有什么样的关系？并说明理由；（2）如图2，当点P运动到线段AD的中点处时，AQ与BP交于点E，求线段CE的长．（3）如图3，设运动t秒后，点P仍在线段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ 的面积为S，试求S的最小值，及当S取最小值时∠DPF的正切值．11. 已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2（1）求抛物线的解析式;（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．12. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）．（1）如图1，若BC=4m，则S=________m2．（2）如图2，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m．13. 如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M 是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；14. 已知正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，点B坐标为（10，10），点P从O出发沿O→C→B运动，速度为1个单位每秒，连接AP．设运动时间为t．（1）若抛物线y=﹣（x﹣h）2+k经过A，B两点，求抛物线函数关系式；（2）当0≤t≤10时，如图1，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交边BC于点D，连接AD，PD，设△APD的面积为S，求S的最小值；15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q从C点出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH．（1）求tanA的值；（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；16. 已知：在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P（0，t）是y轴上的一个动点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．（2）如图1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值．17. 如图，平行四边形ABCD中，D点在抛物线y= x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB= ，M是抛物线与y轴的交点．（1）求直线AC和抛物线的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动．问：当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？（3）在（2）中当P运动到某处时，四边形PDCQ的面积最小，求此时△CMQ 的面积．18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P 从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S 的最小值；若不存在，请说明理由．2019中考数学狙击重难点系列专题19. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t 之间的函数关系式，并求S的最小值．20. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD 的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′= BC=2，AB=4 ，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2 （点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．【解析】【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC 于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2 ，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．2.【答案】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH（2）△PHD的周长不变为定值8．证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，在△ABP和△QBP中，∴△ABP≌△QBP（AAS）．∴AP=QP，AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM≌△PBA（ASA）．∴EM=AP=x．∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．解得，．∴．又∵折叠的性质得出四边形EFGP与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，进而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可．3.【答案】（1）解：当时，PE=QE.即E为AC中点，理由如下：连接BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=CE，∠PBE=∠C=45°，又∵∠PEB+∠BEQ=90°，∠CEQ+∠BEQ=90°，∴∠PEB=∠CEQ，在△PEB和△QEC中，∵,∴△PEB≌△QEC（ASA），∴PE=QE.；EP：EQ=EA:EC=1:2；理由如下：作EM⊥AB，EN⊥BC，∴∠EMP=∠ENQ=90°，又∵∠PEN+∠MEP=∠PEN+∠NEQ=90°，∴∠MEP=∠NEQ,∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=ME:NE,又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，∴△MEA∽△NEC，∴ME:NE=EA:EC，∵,∴EP：EQ=EA:EC=1:2.；EP：EQ=1:m；0<m≤2+（2）解：①存在.由【探究一】中（2）知当时，EP：EQ=EA：EC=1：2；设EQ=x，则EP= x，∴S= ·EP·EQ= ·x·x= x2，当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小，∵AC=30，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC=15 ，∵，AC=30，∴AE=10，CE=20，在等腰Rt△CNE中，∴NE=10 ，∴当x=10 时，S min=50（cm2）；当EQ=EF时，S取得最大，∵AC=DE=30，∠DEF=90°，∠EDF=30°，在Rt△DEF中，∴tan30°= ,∴EF=30× =10 ，此时△EPQ面积最大，∴S max=75（cm2）；②由（1）知CN=NE=5 ,BC=15 ,∴BN=10 ，在Rt△BNE中，∴BE=5 ，∴当x=BE=5 时，S=62.5cm2，∴当50<S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5<S≤75时，这样的三角形有1个.【解析】【解答】（1）③作EM⊥AB，EN⊥BC，∵∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠EPM=180°，∴∠EQB=∠EPM,∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=ME:NE,又∵∠EMA=∠ENC=90°，∠A=∠C，∴△MEA∽△NEC，∴ME:NE=EA:EC，∵,∴EP:EQ=EA:EC=1:m，∴EP与EQ满足的数量关系式为EP：EQ=1:m，∴0<m≤2+ （当m>2+ 时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】①根据已知条件得E为AC中点，连接BE，根据等腰直角三角形的性质可BE=CE，∠PBE=∠C=45°，由同角的余角相等得∠PEB=∠CEQ，由全等三角形的判定ASA可得△PEB≌△QEC，再由全等三角形的性质得PE=QE.②作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案. ③作EM⊥AB，EN⊥BC，由相似三角形的判定分别证△MEP∽△NEQ，△MEA∽△NEC，再由相似三角形的性质得EP：EQ=ME:NE=EA:EC，从而求得答案.【探究二】①设EQ=x，根据【探究一】（2）中的结论可知则EP= x，根据三角形面积公式得出S的函数关系式，再根据当EQ⊥BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.②根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，△EPQ的面积，再来分情况讨论即可.4.【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，∴∠B=30°，∴AB=2AC=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，∴BN=5 - t，∵BM=BN，∴2t=5 - t解得：．（2）解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴，即，解得：MD=t．设四边形ACNM的面积为y，∴y= = =．∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．此时，．【解析】【分析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ．由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．5.【答案】（1）（2）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

二次函数中的最值及面积问题一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。

当点CC在何处时SS△AAAAAA有最大值?1.铅垂高法做CCCC⊥ xx轴且交直线AABB于点D,设点CC坐标为(mm, aamm2+ bbmm+ cc),直线AB的解析式为gg(xx) = kkxx + qq,∴点D坐标为(mm, kkmm + qq),∴CC CC的长度为f(m) − g(m) = aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq, ∴SS△AA AAAA= SS△AAAAAA+ SS△AA AAAA= AAAA×(xx BB−xx AA),将CC CC为aamm2 + bbmm + cc−kkmm−qq代入，令(xx−xx) = ss,可2 AA AA得SS= (aamm2+bbmm+cc−kk mm−qq)×ss= aa ss mm2+(bb−kk)ss mm+ss(cc−qq),当aassmm2+ (bb−△AAAAAA 2 2kk)ssmm + ss(cc−qq)有最大值时，SS△AA AAAA有最大值.当m = −bb= −(bb−kk)ss= −bb−kk时, aassmm2 + (bb−kk)ssmm + ss(cc−qq)有最2aa2aass2aa大值, SS△AAAAAA有最大值.A A � A A A � A作直线l l 平行于直线AABB 且与f(x)只有一个交点C （即直线l 与ff (xx ) = aaxx 2 + bbxx + cc 相切）,此时SS △AAAAAA 为最大值.∴ ff ′(xx ) =ff (xx AA ) − ff (xx A A ) = 2aaxx + bb xx AA − xx AA (aaxx 2 + bbxx AA + cc ) − (aaxx 2 + bbxx A A + cc ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx 2 − xx 2) + bb (xx AA − xx A A ) ⇒= 2aaxx + bb xx AA − xx AA aa (xx AA + xx A A )(xx AA − xx A A ) + bb (xx AA − xx A A )⇒ xx AA − xx AA= 2aaxx + bb ⇒ aa (xx AA + x x AA ) + bb = 2aaxx + bb ⇒ xx = xx AA + xx AA 2 ∴当xx = xx BB +xx AA时, SS 有最大值. 2 △AAAAAA。