二次函数动点问题拔高题-教师版学生版(含答案)

一、填空题第1题答案.12二、应用题第2题答案.解：（1）由题意可知，当x ≤100时，购买一个需5000元，故15000y x =；-------------------1分当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以x≤1035005000-+100=250． ------------------------2分即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x -100)元，故y 1=6000x -10x 2；----------4分 当x >250时，购买一个需3500元，故13500y x =； ----------------5分所以，⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x y 3500106000500021 ).250()250100()1000(>≤<≤≤x x x ，，2500080%4000y x x =⨯=． -------------------------------7分(2) 当0<x ≤100时，y 1=5000x ≤500000<1400000；当100<x ≤250时，y 1=6000x -10x 2=-10(x -300)2+900000<1400000； 所以，由35001400000x =，得400x =； -------------------------------8分 由40001400000x =，得350x =． -------------------------------9分 故选择甲商家，最多能购买400个路灯．-----------------------------10分第3题答案.解：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(10500x -+)21070010000x x =-+-352bx a=-=. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．3分（2）由题意，得：210700100002000x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元. 6分（3）法一：∵10a =-<0，∴抛物线开口向下.∴当30≤x ≤40时，w ≥2000．∵x ≤32，∴当30≤x ≤32时，w ≥2000． 设成本为P （元），由题意，得：20(10500)P x =-+20010000x =-+∵200k =-<0，∴P 随x 的增大而减小.∴当x = 32时，P 最小＝3600.答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．第4题答案.解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC=30 o ，OA =83，∴AC=OA ·sin30o =83×21=34， OC=OA ·cos30o =83×23=12．∴点A 的坐标为（12，34）． …………………………………2分 设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得： 34=12k ，∴k =33， ∴OA 的解析式为y =33x ； …………………… ……………………4分 (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a (x -9)2+12，…………………………………6分 把点O 的坐标代入得：法二：∵10a =-<0， ∴抛物线开口向下. ∴当30≤x ≤40时，w ≥2000． ∵x ≤32， ∴30≤x ≤32时，w ≥2000．∵10500y x =-+，100k =-<， ∴y 随x 的增大而减小. ∴当x = 32时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，∴201803600⨯=（元）.0=a （0-9）2+12，解得a =274- ， ∴抛物线的解析式为y =274- (x -9)2+12 及y =274-x 2+ 38x ； …………………………………………………8分 (3) ∵当x =12时，y =332≠34，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点． …………10分第5题答案.解：（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x 米，根据题意，得：()()2410028025200x x x +--=整理，得：2453500x x -+= 3分解之，得：123510.x x ==， 经检验，123510x x ==，均适合题意.所以，要使铺白色地面砖的面积为5200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或10米. 5分 （2）设铺矩形广场地面的总费用为y 元，广场四角的小正方形的边长为x 米，则，()()()()2304100280220210022802y x x x x x x x ⎡⎤=⨯+--+⨯-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 即：2803600240000y x x =-+ 配方得，()28022.5199500y x =-+ 8分当22.5x =时，y 的值最小，最小值为199500.所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5米时，所铺广场地面的总费用最少，最少费用为199500元. 10分三、猜想、探究题第6题答案.解：（1）因抛物线c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0，0）和点E （4，0） 故可得04c b ==，所以抛物线的解析式为24y x x =-+ 1分由x x y 42+-=()224y x =--+得当2x =时，该抛物线的最大值是4． 2分（2）①点P 不在直线ME 上.已知M 点的坐标为（2，4），E 点的坐标为（4，0）， 设直线ME 的关系式为y kx b =+．于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k 所以直线ME 的关系式为28y x =-+3分由已知条件易得，当411=t 时，OA=AP=411，111144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4分∵P 点的坐标不满足直线ME 的关系式28y x =-+． ∴ 当411=t 时，点P 不在直线ME 上． 5分②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5 ∵点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴OA=AP=t .∴点P ，N 的坐标分别为()t t ，2(4)t t t -+， 6分∴24(03)AN t t t =-+≤≤，∴22(4)3(3)0AN AP t t t t t t t -=-+-=-+=-≥， ∴23PN t t =-+7分（ⅰ）当0PN =，即0t =或3t =时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3.（ⅱ）当0PN ≠时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形 ∵PN CD AD CD ∥，⊥， ∴2211()[3(3)]23322S CD PN AD t t t t =+=+-+⨯=-++ 8分 当2335t t -++=时，解得12t =、9分而1、2都在03t ≤≤范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5综上所述，当12t =、时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5 当1t =时，此时N 点的坐标（1，3） 10分 当2t =时，此时N 点的坐标（2，4）11分说明：（ⅱ）中的关系式，当0t =和3t =时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）四、动态几何第7题答案.解：（1）EFPQ 四边形是矩形，∴EF ∥QP ．∴AEF ∆ ∽ABC ∆． ………………2分AD BC ⊥ 又，∴AH EF ⊥．∴AH EFAD BC=． ………………4分 （2）由（1）得 810AH x =． ∴45AH x =．∴485EQ HD AD AH x ==-=-， ∴()22444(8)8520555EFPQ S EF EQ x x x x x =⋅=-=-+=--+矩形． ……6分∵405-<，∴当5x =时，EFPQ S 矩形有最大值，最大值为20．………………8分（3）如图１，由（2）得，5EF =，4EQ =．∵45C ∠= ∴FPC ∆是等腰直角三角形∴4PC FP EQ ===，9QC QP PC =+=．分三种情况讨论：① 如图２，当04t <≤时，EF PF AC M N 设、分别交于、，则MFN ∆是等腰直角三角形，∴FN MF t ==．∴2211202022Rt MFN EFPQ S S S t t ∆=-=-=-+矩形； 第21题图2 QD BQ P H F ED C B A第21题图1② 如图３，当45t <≤时，则5ME t =-，9QC t =-．()()15944282EMCQ S S t t t ==-+-⨯=-+⎡⎤⎣⎦梯形∴； ③ 如图４，当59t ≤≤时，设EQ AC 交于K ，则9KQ QC t ==-．()()22119922KQC S S t t ∆==-=-∴ ． ………………13分 综上所述：S 与t 的函数关系式为：22120(04)2428(45)1(9)(59).2t t S t t t t ⎧-+<⎪⎪=-+<⎨⎪⎪-⎩≤，≤，≤≤第8题答案.（1）将点(2,2)C 代入直线4y kx =+可得1,k =- 所以直线的解析式为 4.y x =-+当1x =时,3y =，所以B 点的坐标为（1，3），将,,B C O 三点的坐标分别代入抛物线2y ax bx c =++,可得3,422,0.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得2,5,0.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以所求的抛物线为225y x x =-+.4分（2）因ON 的长是以定值，所以当点P 为抛物线的顶点时，PON △的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为525,48⎛⎫⎪⎝⎭，此时255tan 82y x ===54:.8分（3）存在把0x =代入直线4y x =-+得4y =,所以点(0,4)A第21题图4 B把0y =代入抛物线225y x x =-+得0x =或52x =,所以点5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设动点P 坐标为(,)x y ，其中252502y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭则得：1||22OAP S OA x x ==△· 115||222ONP S ON y ==⨯△··225(25)(25)4x x x x -+=-+由8,15OAP ONP S S =△△即282=(25)15x x x -+5·4解得0x =或1x =,舍去0x =得1x =,由此得3y = 所以得点P 存在，其坐标为（1，3）. 12分第9题答案.(1) ∵OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC ，且AB = OC = 4， ∵A ，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， ∴ A ，B 的横坐标分别是2和– 2， 代入y =241x +1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)， ∴M (0，2)，………………………………………… ……….2分 (2) ① 过点Q 作QH ⊥ x 轴，设垂足为H ， 则HQ = y ，HP = x –t ，由△HQP ∽△OMC ，得：42t x y -=, 即： t = x – 2y , ∵ Q(x ,y ) 在y = 241x +1上， ∴ t = –221x + x –2. ……………………………2分当点P 与点C 重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±5, 当Q 与B 或A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2∴x 的取值范围是x ≠ 1±5, 且x ≠± 2的所有实数. ………………………………2分 ② 分两种情况讨论：1）当CM > PQ 时，则点P 在线段OC 上，∵ CM ∥PQ ，CM = 2PQ ，∴点M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即2 = 2(241x +1)，解得x = 0 ， ∴t = –2021+ 0 –2 = –2 . …………………………………………2分 2）当CM < PQ 时，则点P 在OC 的延长线上， ∵CM ∥PQ ，CM =21PQ ， ∴点Q 纵坐标为点M 纵坐标的2倍，即241x +1=2⨯2，解得： x = ±32. ……2分 当x = –32时，得t = –2)32(21–32–2 = –8 –32, 当x =32时， 得t =32–8. ………………………………………… ……….2分第10题答案.解：（1）∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1，0)，C (0，23)两点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=2321b a ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23． （2）作MN ⊥AB ，垂足为N ．由y 1= -21x 2+x +23易得M (1，2)，N (1，0)，A (-1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ∠MBN =45︒．根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2． ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ，又∠MPQ =45︒=∠MBP ，∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… ．由 、 得y 2=21x 2-x +25．∵0≤x ＜3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +25(0≤x ≤3)．、（3）四边形m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2，且m ≠1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为E (m ，-21m 2+m +23)，G (n ，-21n 2+n +23)．同理，点F 、H 坐标 为F (m ，21m 2-m +25)，H (n ，21n 2-n +25)．∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1．∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2-2m +1=n 2-2n +1 ∴(m +n -2)(m -n )=0．由题意知m ≠n ，∴m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是 m +n =2 (0≤m ≤2，且m ≠1)．。

二次函数的动点问题1.如图①,正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，,顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时,点Q 从点()40E ，出发,沿x 轴正方向以相同速度运动.当点P 到达点C 时,P Q ，两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒．(1)求正方形ABCD 的边长.(2)当点P 在AB 边上运动时,OPQ △的面积S (平方单位)与时间t （秒)之间的函数图象为抛物线的一部分(如图②所示）,求P Q ，两点的运动速度．（3)求（2）中面积S (平方单位)与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标.(4)若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时,OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小.当点P 沿着这两边运动时,使90OPQ =∠的点P 有 个．()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．yDA CB O EQxO10t2028s[解］ （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，， 86FB FA ∴==，.10AB ∴=.(2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了1０秒. 又1010101AB =÷=，.P Q ∴，两点的运动速度均为每秒１个单位．(3)方法一:作PG y ⊥轴于G ,则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+,()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++.19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤, ∴当193t =时,S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．8(ﻩ分）方法二:当5t =时,1637922OG OQ S OG OQ ====，，. 设所求函数关系式为220S at bt =++.抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，,1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩， 231920105S t t ∴=-++. 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,且190103≤≤， ∴当193t =时,S 有最大值．此时7631155GP OG ==，, ∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4)2.［点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。

二次函数动点问题压轴题专题汇编（含答案）二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点 A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有个．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．图①图②（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ?∴==+- ??．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=-，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值．此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155??，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，．设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852?，，，，1001020286325520.2a b a b ++=??∴?++=??，31019.5a b ?=-??∴??=??，231920105S t t ∴=-++． 19195323210b a -=-=-，且190103≤≤，∴当193t =时，S 有最大值．此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155??，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

二次函数动点问题压轴题专题汇编(含答案)二次函数的动态问题（动点）正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一象限。

点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。

当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。

1) 求正方形ABCD的边长。

解：作BF⊥y轴于F。

则FB=8，FA=6，AB=10.2) 当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分。

求P，Q两点的运动速度。

解：由图可知，点P从点A运动到点B用了10秒。

又AB=10，故P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位。

3) 求(2)中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标。

解：方法一：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF。

由相似三角形可得：GA/AP=FA/AB，即6/10=t/AP，故GA=3/5t。

又OG=10-3/5t，OQ=4+t。

则S=1/2×OQ×OG=1/2×(t+4)×(10-3/5t)=-3/10t²+19/5t+20.对XXX求导得：S'=(-6/5)t+19/5，令其为0，解得t=19/3.此时S有最大值。

此时GP=76/15，OG=31/5，P的坐标为(76/15,31/5)。

方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9，S=63/2.设所求函数关系式为S=at²+bt+20.抛物线过点(5,63/2)，则a=-3/10，b=19/2.代入可得S=-3/10t²+19/2t+20.同样可得最大值时t=19/3，P的坐标为(76/15,31/5)。

4) 若点P，Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠XXX的大小随着时间t的增大而减小。

2020中考数学 二次函数中动点问题专题练习（含答案）1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24(2)9y x c =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH x ⊥轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，25sin 5MOH ∠=．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使以A 、N 、G 为顶点的三角形与ADM △相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．（1）∵M 为抛物线24(2)9y x c =--+的顶点，∴(2,)M c ．∴2OH =，||MH c = ． ∵0a <，且抛物线与x 轴有交点， ∴0c >，∴MH c =，∵25sin 5MOH ∠=，∴255MH OM =． ∴52OM c =，∵222OM OH MH =+，∴4MH c ==， ∴(2,4)M ，∴22441620(2)49999y x x x =--+=-++； （2）∵(1,0)A -，∴D (1, 0)，∵M (2, 4)，D (1, 0)， ∴直线MD 解析式：44y x =-，∵ON//MH ，∴AON AHM △∽△， ∴13AN ON AO AM MH AH ===， ∴53AN =，43ON =，40,3N ⎛⎫⎪⎝⎭．如图，若ANG AMD △∽△，可得NG//MD ，∴直线QG 解析式：443y x =+，如图，若ANG ADM △∽△，可得AN AGAD AM=∴256AG =，∴19(,0)6G ，∴84:193QG y x =-+，综上所述，符合条件的所有直线QG 的解析式为：443y x =+或84193y x =-+． 2. 如图，已知点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上． （1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，若四边形AA B B ''为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB '的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B '、C 、D 为顶点的三角形与ABC △相似．（1）因为点(2,4)A -和点(1,0)B 都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =．（2）如图，由点(2,4)A -和点(1,0)B ，可得5AB =．因为四边形AA B B ''为菱形，所以5AA B B AB '='==．因为248433y x x =--+2416(1)33x =-++，所以原抛物线的对称轴1x =-向右平移5个单位后，对应的直线为4x =．因此平移后的抛物线的解析式为,2416(4)33y x =--+．（3）由点(2,4)A -和点(6,0)B '，可得AB '=．如图，由//AM CN ，可得B N B CB M B A''=''，即28．解得B C 'AC =．又BAC CB D '∠=∠． ①如图，当AB B C AC B D '='=3B D '=．此时3OD =，点D 的坐标为(3,0)． ②如图，当AB B D AC B C '='时，=，解得53B D '=．此时133OD =，点D 的坐标为13,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．综上所述，1(3,0)D ，213,03D ⎛⎫⎪⎝⎭满足条件．3. 如图，已知抛物线C 1:1(2)()(0)y x x m m m=-+->与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点()2,2M ，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH EH +最小，并求出点H 的坐标；xyABO（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与BCE △相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（1）∵抛物线C 1过点()2,2M ，∴12(22)(2)m m=-+-，解得4m =． （2）由（1）可得1(2)(4)4y x x =-+-的对称轴为1x =．连接CE ，交对称轴于点H ，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH EH +最小．设直线CE 的解析式为+y kx b =，则4+02k b b =⎧⎨=⎩，解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴直线CE 的解析式为1+22y x =-.当1x =时，32y =．∴31,2H ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）存在．分两种情形讨论：①当BEC BCF △∽△时，如图所示. 则BE BC BC BF=，∴2BC BE BF =⋅.由（2）知(2,0)B -，(0,2)E ，即OB OE =， ∴45EBC ∠=︒，∴45CBF ∠=︒.作FT x ⊥轴于点F ，则.BT TF =∴令(,2)F x x --(x ＞0)，又点F 在抛物线上，∴2x --=1(2)()x x m m-+-，∵20x +＞(∵x ＞0)，∴2x m =，2,22)F m m --（.此时22(22)(22)22(1)222BF m m m BE BC m =++--=+==+，， 又2BC BE BF =⋅，∴(m +2)2=2222(1)m ⋅+，解得222m =±.0m >Q ，222m ∴=+.②当BEC FCB △∽△时，如图所示．则BC ECBF BC=，2BC EC BF ∴=⋅．同①，=EBC CFB ∠∠Q ，BTF COE △∽△，2TF OE BT OC m∴==．∴令2,(2)F x x m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)x >，又点F 在抛物线上，21(2)|2|()x x x m m m∴-+=-+-．20(0)x x +>>Q ，2x m ∴=+．2(2,(4)F m m m∴+-+，EC =2BC m =+．又2BC EC BF =⋅，2(2)m ∴+=综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形2m =．4. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线3y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC △相似，求k 的值．（1）83k =；（2）452k =或．5.如图5-1，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过(3,0A ）、(4,4)B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图5-2，若点N 在抛物线上，且NBO ABO ∠=∠，则在（2）的条件下，求出所有满足POD NOB △∽△的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．图5-2（1）∵抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过点(3,0)A 、(4,4)B ． ∴，解得．∴抛物线的解析式是．（2）设直线OB 的解析式为1y k x =，由点(4,4)B ， 得：，解得：．∴直线OB 的解析式是．∴直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：． ∵点D 在抛物线上． ∴可设2(,3)D x x x -．又点D 在直线y x m =-上，∴，即． ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴，解得：． 此时，， ∴D 点坐标为(2,2)-．（3）∵直线OB 的解析式为y x =，且(3,0)A ，点A 关于直线OB 的对称点'A 的坐标是(0, 3)．设直线'A B 的解析式为，过点(4,4)B ，∴，解得：．∴直线'A B 的解析式是．∵，∴点N 在直线上，∴设点，又点N 在抛物线上，图②图①9301644a b a b +=⎧⎨+=⎩13a b =⎧⎨=-⎩23y x x =-144k =11k =y x =y x m =-23y x x =-23x x x m -=-240x x m -+=1640m ∆=-=4m =122x x ==232y x x =-=-23y k x =+2434k +=214k =134y x =+NBO ABO ∠=∠A B '134N n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，23y x x =-∴， 解得：，（不合题意，舍去），∴点N 的坐标为．方法一：如图1，将沿x 轴翻折，得到， 则，，∴O 、D 、都在直线上． ∵， ∴， ∴， 点的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点P 的坐标是或．方法二：如图2，将绕原点顺时针旋转90︒，得到，则，， ∴O 、D 、B 2都在直线y x =-上．∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 将沿直线翻折，可得另一个满足条件的点． 综上所述，点的坐标是或．21334n n n +=-134n =-24n =345416⎛⎫- ⎪⎝⎭，NOB △11N OB △1345416N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()144B -，1B y x =-1POD NOB △∽△111POD N OB △∽△11112OP OD ON OB ==1P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1OPD △y x =-2453328P ⎛⎫⎪⎝⎭，345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，453328⎛⎫ ⎪⎝⎭，NOB △22N OB △2453164N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()244B -，1POD NOB △∽△122POD N OB △∽△12212OP OD ON OB ==1P 453328⎛⎫⎪⎝⎭，1OPD △y x =-2345832P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，P 345832⎛⎫-- ⎪⎝⎭，453328⎛⎫ ⎪⎝⎭，6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 （用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）令0y =，即211(1)0444by x b x =-++=，解得：1x =或b ， ∵b 是实数且2b >，点A 位于点B 的左侧，∴点B 的坐标为(b , 0)，令0x =，解得：4by =，∴点C 的坐标为0,4b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：(b , 0)，0,4b ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）存在，假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且PBC △是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形．设点P 的坐标为(x , y )，连接OP ．则S 四边形112242PCO POB b PCOB S S x b y b =+=⋅⋅=⋅⋅=△△，∴416x y +=．过P 作PD x ⊥轴，PE y ⊥轴，垂足分别为D 、E ， ∴90PEO EOD ODP ∠=∠=∠=︒．∴四边形PEOD 是矩形． ∴90EPD ∠=︒．∴EPC DPB ∠=∠． ∴PEC PDB △≌△， ∴PE PD =，即x y =．由416x y x y =⎧⎨+=⎩解得165165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由PEC PDB △≌△得EC DB =， 即1616545b b -=-， 解得128225b =>符合题意．∴P 的坐标为1616,55⎛⎫⎪⎝⎭；（3）假设存在这样的点Q ，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似．∵QAB AOQ AQO ∠=∠+∠，∴QAB AOQ ∠∠＞，QAB AQO ∠∠＞．∴要使QOA △与QAB △相似，只能90QAO BAQ ∠=∠=︒，即QA x ⊥轴． ∵2b ＞，∴AB OA ＞，∴QOA ABQ ∠∠＞． ∴只能AOQ AQB ∠=∠．此时90OQB ∠=︒， 由QA x ⊥轴知QA ∥y 轴．∴COQ OQA ∠=∠．∴要使QOA △与OQC △相似，只能90QCO ∠=︒或90OQC ∠=︒． （I ）当90OCQ ∠=︒时，CQO QOA △≌△．∴4bAQ CO ==．由2AQ OA AB =⋅得：214b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．解得：843b =±．∵2b >，∴843b =+． ∴点Q 的坐标是(1,23)+．（II ）当90OQC ∠=︒时，OCQ QCA △∽△，∴OQ AQ CO QO =，即2OQ OC AQ =⋅．又2OQ OA OB =⋅，∴OC AQ OA OB ⋅=⋅．即14bAQ b ⋅=⨯．解得：AQ =4，此时b =17＞2符合题意，∴点Q 的坐标是(1, 4)． ∴综上可知，存在点(1,23)Q +或Q (1, 4)，使得QCO △，QOA △和QAB △中的任意两个三角形均相似．7. 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，以AB 所在直线为x 轴，过C 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系．此时，A 点坐标为(1,0)-，B 点坐标为(4, 0)． （1）试求点C 的坐标；（2）若抛物线2y ax bx c =++过ABC △的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点(1,)D m 在抛物线上，过点A 的直线1y x =--交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与ABE △相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．（1）在中，，，由射影定理，得：，即，∴(0,2)C ； （2）∵抛物线经过(1,0)A -，(4,0)B ，(0,2)C ， 可设抛物线的解析式为(1)(4)(0)y a x x a =+-≠，则有：2(01)(04)a =+-，，∴2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++（3）存在符合条件的点，且或．根据抛物线的解析式易知：(1,3)D ，联立直线和抛物线的解析式有：， 解得，，∴(6,7)E -，∴，即， ，即，∴，若以、、为顶点的三角形与相似，则有两种情况：①；②． 易知，，Rt ABC △90ACB ∠=︒OC AB ⊥24OC OA OB =⋅=2OC =12a =-P 1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，AE 2132221y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=--⎩10x y =-⎧⎨=⎩67x y =⎧⎨=-⎩30tan 141DBO -∠==-45DBO ∠=︒()()07tan 161EAB --∠==--45EAB ∠=︒DBA EAB ∠=∠P B D ABE △PBD BAE △∽△PBD EAB △∽△BD =EA =5AB =由①得：，即， 即，，由②得：即，，∴或．PB BD AB AE =5PB =157PB =137OP OB PB =-=BP BD AE AB '==425P B '=225OP OB BP ''=-=-1307P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，8. 已知抛物线(3)(1)(0)y a x x a =+-≠，与x 轴从左至右依次相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A 的直线3y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ．（1）若点D 的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在第三象限内的抛物线上有点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与ABC △相似，求点P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒23个单位的速度运动到点D 后停止，问当点E 的坐标是多少时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少？（1）∵(3)(1)y a x x =+-，∴点A 的坐标为(3,0)-、点B 两的坐标为(1,0)， ∵直线3y x b =-+经过点A ，∴33b =-， ∴333y x =--，当2x =时，53y =-，则点D 的坐标为(2,53)-， ∴(23)(21)53a +-=-，解得，3a =-， 则抛物线的解析式为23(3)(1)32333y x x x x =-+-=--+； （2）如图1中，作PH x ⊥轴于H ，设点P 坐标(,)m n ，当BPA ABC △∽△时，BAC PBA ∠=∠，∴tan tan BAC PBA ∠=∠，即OC PHOA HB=，∴331a nm --=-+，即(1)n a m =--， ∴(1)(3)(1)n a m n m m =--⎧⎨=+-⎩解得4m =-或1（舍弃），当4m =-时，5n a =， ∵BPA ABC △∽△，∴AC ABAB PB=， ∴2AB AC PB =⋅，∴2242992525a a =+⋅+，解得15a =或15-（舍弃），则155n a ==-，∴点P 坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． 当PBA ABC △∽△时，CBA PBA ∠=∠，∴tan tan CBA PBA ∠=∠，即OC PHOB HB=，∴311a nm --=-+，∴3(1)n a m =--，∴3(1)(3)(1)n a m n a m m =--⎧⎨=+-⎩， 解得6m =-或1（舍弃），当6m =-时，21n a =，∵PBA ABC △∽△，∴BC ABBA PB=，即2AB BC PB =⋅， ∴2224242197(21)a a ==+⋅+-，解得7a =-或7（不合题意舍弃），则点P 坐标76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，综上所述，符合条件的点P 的坐标154,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和76,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭． （3）如图2中，作DM//x 轴交抛物线于M ，作DN x ⊥轴于N ，作EF DM ⊥于F ，则53tan 3DN DAN AN ∠===，∴60DAN ∠=︒，∴60EDF ∠=︒，∴23sin EF DE EF EDF ==∠，∴Q 的运动时间123BE t BE EF =+=+，∴当BE 和EF 共线时，t 最小， 则BE DM ⊥，此时点E 坐标(1,43)-．9. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(2,2)-，点B 的坐标为(6,6)，抛物线经过A 、O 、B 三点，连结OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线EF 与抛物线交于M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求BON △面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；（4）连结AN ，当BON △面积最大时，在坐标平面内求使得BOP △与OAN △相似（点B 、O 、P 分别与点O 、A 、N 对应）的点P 的坐标．（1）设 将点(2,2)A -，(6,6)B 代入得 得，．∴ 当时，．∴ （2）设抛物线的函数解析式为， ∴，解得，．∴抛物线的解析式为．（3）过点作轴的垂线NG ，垂足为G ，交OB 于点Q ，过B 作轴于H ，设，则则∴当时，面积最大，最大值为，此时点的坐标为．（4）解：过点作于S∵(2,2)A -，(6,6)B ，∴，，，， 在和中，∴∴ ∴ ∴．∴的延长线上存在一点，使．∵，，在中， y mx n =+2266m n m n -+=⎧⎨+=⎩12m =3n =132y x =+0x =3y =(03)E ，2y ax bx =+4223666a b a b -=⎧⎨+=⎩14a =12b =-21142y x x =-N x BH x ⊥21142N x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()Q x x ，BON QON BQN S S S ∆∆∆=+1122QN OG QN GH =⨯⨯+⨯⨯1()2QN OG GH =⨯⨯+12QN OH =⨯⨯21116242x x x ⎡⎤⎛⎫=--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦23942x x =-+2327(3)44x =--+(06)x <<3x =BON △274N 334⎛⎫ ⎪⎝⎭，A AS GQ ⊥334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 45AOE OAS BOH ∠=∠=∠=︒3OG =34NG =54NS =5AS =Rt SAN △Rt NOG △1tan tan 4SAN NOG ∠=∠=SAN NOG ∠=∠OAS SAN BOG NOG ∠-∠=∠-∠OAN BON ∠=∠ON P BOP OAN △∽△()22A -，334N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Rt ASN △22517AN AS SN =+=当时，得 过点P 作轴于点T ，∴． ∴，设P (4t , t )， ∴ ，（舍）．∴点的坐标为．将沿直线OB 翻折，可得出另一个满足条件的点 由以上推理可知，当点P 的坐标为或时，与相BOP OAN △∽△OB OP OA AN ==OP =PT x ⊥OPT ONG △∽△14PT NG OT OG ==22(4)t t +=2⎝⎭1154t =2154t=-P 15154⎛⎫ ⎪⎝⎭，OPT △15154P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，15154⎛⎫ ⎪⎝⎭，15154⎛⎫⎪⎝⎭，BOP △OAN △。

模式 1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、B、C、P 四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有AP // BC（2）当边AC 是对角线时，那么有AB // CP（3）当边BC 是对角线时，那么有AC // BP例题 1：（ft东省阳谷县育才中学模拟 10）本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB的面积为 S.求S 关于m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；(3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点 P、Q、B、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标.练习：图1，抛物线y =-x 2+ 2x + 3 与x 轴相交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F，设点P 的横坐标为m．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S，求S 与m 的函数关系．模式 2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、 B 、C 、 P 四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1） 当边 AB 是底时，那么有 AB // PC （2） 当边 AC 是底时，那么有 AC // BP （3） 当边 BC 是底时，那么有 BC // AP例题 2：已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 1 所示，点 A 的坐标为(4,0)，点 C 的坐标为(0，- 2) ，直线y = - 2x 与边 BC 相交于点 D ．3(1) 求点 D 的坐标；(2) 抛物线 y = ax 2+ bx + c 经过点 A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3) 在这个抛物线上是否存在点 M ，使 O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：已知二次函数的图象经过 A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线 x ＝4，设顶点为点 P ，与 x 轴的另一交点为点B ．（1） 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；2（2）如图1，在直线y＝2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O、P 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN//x 轴，交PB 于点N．将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M 的运动过程中，设△P1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．模式 3：直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、（1）当∠A 为直角时，AC ⊥AB（2）当∠B 为直角时，BC ⊥BA（3）当∠C 为直角时，CA ⊥CBB、P 三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况例题3：如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F，交抛物线于P、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段PQ =3 AB 时，求tan∠CED 的值；4②当以C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．练习：如图1，直线y =-4 x + 4 和x 轴、y 轴的交点分别为B、C，点A 的坐标是（-2，0）．3（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4 的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．模式 4：等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、（1）当∠A 为顶角时，AC =AB（2）当∠B 为顶角时，BC =BA（3）当∠C 为顶角时，CA =CBB、P 三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况例题 4：已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D，连接DC，过点D 作DE⊥DC，交OA 于点E．（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC 交于点G．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为6，那么EF＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5立，请说明理由；yP ODAB xQC（3） 对于（2）中的点 G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q ，使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C 、G构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．练习：（2012 江汉市中考模拟）已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过点 B (12，0)和 C (0，－6)，对称轴为 x ＝2．(1) 求该抛物线的解析式．(2) 点 D 在线段 AB 上且 AD ＝AC ，若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间 t (秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由．(3) 在(2)的结论下，直线 x ＝1 上是否存在点 M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．模式 5：相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角例题 5：（据荆州资料第 58 页第 2 题改编）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以 BC所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A 在 y 轴上。

函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

二次函数的动态问题—动点21.如图1，已知直线12y x=-与抛物线2164y x=-+交于A B，两点．（1）求A B，两点的坐标；（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．图2图12. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B的坐标为(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求BAO ∠的度数．（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个？请说明理由．（第29题图①）x t （第29题图②）3.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线2b x a =-．。

二次函数的动态问题—动点1二次函数解题思路方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax ²+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax ²+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

1.“ 使90OPQ =∠，使S ΔOPQ 最大时动点的坐标”如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ ∠的点P 有 个．图①图②2.“ 是否存在DE ∥OC ”如图，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .3.“ 使PQB △为等腰三角形”。

1、（2009年湖南长沙）如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于A B 、两点，与y 轴相交于点C ．连结AC BC A C 、，、两点的坐标分别为(30)A -，、(0C ，且当4x =-和2x =时二次函数的函数值y 相等．（1）求实数a b c ，，的值；（2）若点M N 、同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC 、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t 秒时，连结MN ，将BMN △沿MN 翻折，B 点恰好落在AC 边上的P 处，求t 的值及点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以B N Q ，，为项点的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．提示：第（2）问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM 为菱形； 第(3)问注意到△ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与△ABC 相似的△BNQ ，再判断是否在对称轴上。

2、（2009眉山）如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

⑴求该抛物线的解析式；⑵动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P 。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

提示：第（2）问按直角位置分类讨论后画出图形----①P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x 轴交点即为所求点P ，②A 为直角顶点时，过点A 作AE 垂线交x 轴于点P ，③E 为直角顶点时，作法同②；第（3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。