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选修4-5 基本不等式

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选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)

选修4-5 基本不等式(三元均值不等式)

a b c 3abc,
3 3 3
当且仅当a b c时，等号成立．
问题探讨
abc 3 怎么证明不等式 abc (a, b, c R )？ 3
证： a b c
3 3
a3 b3 c3 3abc(a, b, c R )
3 3 3 3
( a) ( b) ( c) 3 abc ，
3
3
x
a
例3. 已知a, b, c R ,求证： abc 3 ab 3( abc ) 2( ab ). 3 2
1 1. 求函数 y x (1 5 x) (0 x ) 的最大值． 5 2 4 答案:当 x 时, ymax . 15 675
2
课堂练习：
a1 a2 , an R , 则 n
an
≥ n a1a2
an .
小 结
2.基本不等式的变形： ab 2 ①若a, b R , 则ab （ ）. 2
③若a1 , a2 , , an R , 则a1a2
abc 3 ②若a, b, c R , 则abc （ ）. 3a a a 1 2 n
an （ n
）.
n
作业: P10 11-15
12 1.求函数y = 3x + 2 x > 0 的最小值. x 12 3 3 12 3 3 12 3 解 :∵ y = 3x + 2 = x + x + 2 3 x× x× 2 = 9 x 2 2 x 2 2 x 3 12 ∴当且仅当 x = 2 , 即x = 2 时,y min = 9. 2 x
三个正数的算术-几何 平均不等式
2017年4月22日星期六

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1.1.2 基本不等式
栏 目 链 接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．定理 1. 如果 a， b∈R， 那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)． 思考 1
2 2
栏 目 链 接
3 2 也即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏 目 链 接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变 式 训 练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋ ＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝ ， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝ ，即 x＝ ，y＝ 时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏 目 链 接
方法二 则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏 目 链 接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)． 思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且

高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式

高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式
答案：≤
7．函数 y＝x4x＋2 9(x≠0)有最大值________，此时 x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝x4x＋2 9＝x2＋1 x92≤2
1x2·x92＝16，
当且仅当 x2＝x92，即 x4＝9，x＝± 3时取等号，
即当 x＝± 3时，ymax＝16.
答案：16 ± 3
围是
()
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞)
D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤x＋3y＋z3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)． 答案：B
4．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为
()
A．0，18 C．[1,8)
1－a a·1－b b·1－c c＝b＋c·ca＋bca·a＋b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab＝8，
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1 求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋ a 分别使用基本不等式，再把它们相乘． [精解详析] ∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______． 解析：因为 x＞0，y＞0，

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即

课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt

课件 选修4-5不等式的基本性质-经典公开课(优秀公开课件).ppt

用数学式子表示为:
a b a-b0 a b a-b0 a b a-b0
基本理论
a b a - b 0； a b a - b 0； a b a-b 0.
上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序，而 右边部分则是实数的运算性质，合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小，而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.
4.（1）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b，c<0⇒ac<bc. （2）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
5.乘、开方法则：a>b>0⇒an>bn，n a n b (n∈N，n≥2)． 6.倒数性质：a>b，且ab>0⇒
1 1 ． a b
n 特别地，当 n为奇数时， 条件可放宽为： a > b， 也有a n > bn， a n b (n∈N， n ≥2)．
x 3 x - 3 0, x 1 0, x -1 0
A- B 0
故A B
作差比较法常见的变形手段是: 通分、因式分 解或配方等；变形的结果是常数、若干个因式 的积或完全平方式等.
b, 试比较a abb与abba的大小。
注意： 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明；
3.要会用自然语言描述上述基本性质；
1.注意公式成立的条件，要特别注意“符号问题”；
4.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问题 的理论基础.
不等式的基本性质
【例2】 判断下列命题是否正确，并说明理由。
(1)若a > b， 则ac > bc ； a b ( 2)若 2 2 ，则 a b; c c 1 1 (3)若a b，ab 0, 则 ; a b (4)若a b，c d , 则ac bd； 1 1 (5)若a b 0， ,则 ; a b (6)若 | a | b， , 则a 2 b2 ;

人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时

人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲一2.基本不等式第一课时

即：a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2.
(2)∵当 a>0，b>0 时 a＋b≥2 ab， bc ac ∴ ＋ ≥2 a b bc ac · ＝2c. a b bc ab · ＝2b. a c
bc ab 同理： ＋ ≥2 a c ac ab ＋ ≥2 b c
ac ab · ＝2a. b c
2．基本不等式
第一课时
学习目标
第 一 课 时
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条
件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；
2．利用基本不等式比较大小，证明不等式．
课前自主学案
1．对于任意实数a都有a2≥ __0；当且仅当a＝ __时等号成立； 0
2．对于任意实数a，b都有a2＋b2__2ab，当 ≥ 且仅当____时等号成立； a＝b
2
2
3 3
【错因】 审题出错，a，b，c不全相等与a， b，c各不相等混淆．三式相乘的条件不充 分．
【自我校正】 ∵a，b，c 是不全相等 的三个正数， ∴a2b＋b2a≥2 a3b3>0； a2c＋c2a≥2 a3c3>0； b2c＋c2b≥2 b3c3>0. 在以上三个不等式中至少有一个不取等 号． ∴将以上三个不等式相乘可得 (a2b＋b2a)(a2c＋c2a)(b2c＋c2b)>8a3b3c3.
课堂互动讲练
考点突破 利用基本不等式比较大小
例1 若 0<a<1,0<b<1，且 a≠b，则 a＋
b，2 ab，2ab，a ＋b 中最大的是( A．a2＋b2 C．2ab B．2 ab D．a＋b
2

选修4-5基本不等式


以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
12
Q 1 (lg a lg b), R lg( a b) ，则（ B ）
2
2
A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
题型二：解决最大（小）值问题
结论：利用 a b 2 ab (a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 积定，和最小 两个正数和为定值，积有最大值。 和定，积最大
1.若a1, a2 , a3,an R ,
则a1 a2 a3 an nn a1 a2 an
当且仅当a1 a2 a3 an时取 号
4.若பைடு நூலகம், b R , 则
1
2
1
ab a b 2
ab
a2 b2 2
几何平均数 算术平均数 平方平均数 调和平均数
（当且仅当a=b时，取“=”号）
ab叫做a,b的 几何平均数
这样，基本不等式可以表述为：
算术平均数
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
注意：
1、重要不等式与基本不等式有什么区别与联系？ 基本不等式可以看作是重要不等式的变形，但它们
的前提条件不同。重要不等式中a,b属于全体实数，
而基本不等式中a,b均为大于0的实数。 2、重要不等式与基本不等式的几个推广公式：
B、6 3 C、4 6 D、18 3
题型三：构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数 y 1 x(x 3)的最小值
x3
例5、求函数 y x2 5 的最小值
x2 4
例6、已知正数x、y满足2x+y=1，求

选修4-5基本不等式

应用
幂平均不等式在经济学、统计学和信息理论中有广泛应用， 特别是在估计期望值和方差时。
贝努利不等式
定义
对于任意实数$x_1, x_2, ..., x_n$，
有$(x_1 + x_2 + ... +
x_n)(frac{1}{n} + frac{1}{n} + ...
&eq
(sqrt[n]{x_1x_2...x_n})^2$。
证明
利用数学归纳法和平方差公式。
切比雪夫不等式
定义
对于任意的非负随机变量 $X$ 和正实数 $t$，有 $P(|X| geq t) leq frac{mathbb{E}(X^2)}{t^2}$。
证明
利用数学归纳法和期望的性质。
赫尔德不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$，有 $left(frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}right)^n geq left(frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n}{n}right)$。
证明
利用数学归纳法和二项式定理。
柯西不等式
定义
对于任意的正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$ 和 $b_1, b_2, ..., b_n$，有 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$。
应用
贝努利不等式在概率论、统计学 和决策理论中有广泛应用，特别 是在处理期望值和方差时。

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质


探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

高考数学选修4-5复习《不等关系与基本不等式》


D．(12)a＜(12)b
【解析】 结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较 大小，或用特殊值法判断．
a＞b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成 立．又 a＞b⇒a－b＞0，但不能保证 a－b＞1，从而不能保证 C 成立．
显然只有 D 成立．事实上，指数函数 y＝(12)x 是减函数， 所以 a＞b⇔(12)a＜(12)b 成立． 【答案】 D
依题意bbaan＋n 1＝q3q＋3＋n－nd1－d1－1q＝641d＝26d， ③
由②知，q 为正有理数，
∴d 为 6 的因子 1,2,3,6 中之一，
因此由②③知 d＝2，q＝8，
故 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
≥100×2
2n－1·2n4－1＝400(n≥1)，
当且仅当 2n－1＝2n4－1，即 n＝2 时，ymin＝400(万元)，
由 5 000－400＝4 600(万元)， 所以第 2 年该县从这两个企业获得利润最少，还得另外 筹集 4 600 万元才能解决温饱问题．
(2)到 2017 年，即第 10 年，该县从这两个企业获利润：y ＝100×210－1＋400×(12)9
因 ab＝10，故 lg a＋lg b＝1，
只要证明lg
1 alg
b≥4(*)，
由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，
所以
0＜lg
alg
b≤(lg
a＋lg 2
b)2＝(12)2＝14.
即(*)式成立．
原不等式 loga c＋logb c≥4lg c 得证．
本题证明把分析法、综合法融于一体，不仅证明不等式 经常遇到，在解决其他数学问题时也常常需要这样思考．
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(2)该企业2019年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
解 y＝－t22＋t＋981t＋ 35＝50－t＋2 1＋t＋321 ≤50－2 t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42， 当且仅当t＋2 1＝t＋321， 即当t＝7时，等号成立，ymax＝42， ∴当促销费用定在7万元时，年利润最大.
当且仅当a＝b＝c时取等号.
反思 感悟
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变 形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明.
三、利用基本不等式解决实际应用问题
例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2019年大型展 销会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量 x(万件)与年促销费用t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不 搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2019年生产化妆品的设备 折旧、维修等固定费用为3万元，每生产 1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生 产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能 销完. (1)将2019年的利润y(万元)表示为促销费用t(万元)的函数；
证明 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又a，b，c∈R＋，
a＋b 2≤
a2＋b2 2 (பைடு நூலகம்，b∈R＋).
∴ a2＋b2≥ 22|a＋b|＝ 22(a＋b). 同理， b2＋c2≥ 22(b＋c)， c2＋a2≥ 22(a＋c).
三式相加，得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)＝ 2，
二. 不等式证明
证明 方法一 ∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.
二. 不等式证明
方法二 ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. ∴1a＋1b＋1c≥9.
引申探究 1.若本例条件不变，求证：ab2＋bc2＋ca2≥1.
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值 3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
4.其他方法求最值
一.利用基本不等式求最值 4.其他方法求最值
反思 感悟
在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要 的定值. (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提 取－1变为同正. (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足， 则可通过函数的单调性或导数解决.
证明 ∵a2＋b2≥2ab， ∴ab2≥2a－b. 同理，bc2≥2b－c，ca2≥2c－a. ∴ab2＋bc2＋ca2≥(2a－b)＋(2b－c)＋(2c－a)＝a＋b＋c＝1， ∴ab2＋bc2＋ca2≥1. 当且仅当a＝b＝c时，取等号.
2.若本例条件不变，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2.
反思 感悟
利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际 问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y的函数 表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识 解题.求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约.
思考题
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
2.常数代换法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
3.消元法换元法求最值
一.利用基本不等式求最值
第一讲 一 不等式
知识点 基本不等式
1.重要不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
2.基本不等式
a＋b
(1)定理2：如果a，b＞0，那么 2 ≥ ab ，当且仅a当＝b
时，等号成立.
(2)定理2的应用：对两个正实数x，y， ①如果它们的和S是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的积P取得最 大 值； ②如果它们的积P是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的和S取得最 小 值.
和定积最大，积定和最小
于基本不等式的应用，如果能熟练掌握一些常见结论，可使应用更加灵活快捷.
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值
1.配凑法求最值
一.利用基本不等式求最值