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1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】64是8的平方，问题相当于证明22389n n +--是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形221139(81)n n n +++==+，将其展开后各项含有8k ，与28的倍数联系起来．∵22389n n +--11989(81)89n n n n ++=--=+--11121118C 8C 8C 8189n nn nn n n n +-+++=+⋅++⋅+⋅+-- 1112118C 8C 88(1)189n n n n n n n +-++=+⋅++⋅+++--1112118C 8C 8n nn n n +-++=+⋅++⋅112111(8C 8C )64n n n n n +--++=+⋅++⋅是64的倍数．【例2】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除． 【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】考虑先将233n +拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．2332437n n +-+22332437n n +=⋅-+1392437n n +=⋅-+ 13(81)2437n n +=⋅+-+011211111113[8888]2437n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=⋅⋅+⋅+⋅++⋅+-+1121113[888(1)81]2437n n n n n C C n n +-++=⋅+⋅+⋅+++⋅+-+1121121113[8888(89)]2437n n n n n n n C C C n n +--+++=⋅+⋅+⋅++⋅++-+211223111138[888]3(89)2437n n n n n n n C C C n n ----+++=⋅+⋅+⋅+++⋅+-+1122311364[888]64n n n n n C C ---++=⋅+⋅+⋅++，∵18n -，1218n n C -+⋅，2318n n C -+⋅，…均为自然数， ∴上式各项均为64的整数倍． ∴原式能被64整除．点评：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．【例3】 证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】∵22(1(1(4(42[(2(2]n n n n n n n ++=++-=++，∴只需证(2(2n n ++能被2整除．而222444(2(22[222]C C n n n n n n n --+-=+⋅⋅+⋅⋅+能被2整除，因此22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例4】 证明：2121(1(1(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】21212222(1(1(1(1(1]n n n n n n ++++-=+-++--．22(1]n n +--也能被12n +整除． 一样的道理，该式子可化为：22(1]2(2]n n n n +-=-，所以也只需证(2]n n +-能被2整除即可．331234(2]]2[(3)(3)]C C C C n n n n n -=+=++综上可知原命题结论成立．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．3023-310(2)3=-10(8)3=-10(71)3=+-01019910101010107773C C C C =++++- 091891010107[77]2C C C =⨯+++-又∵余数不能为负数，需转化为正数 ∴3023-除以7的余数为5 ∴应填：5⑵将5555写成55(561)-，然后利用二项式定理展开． 555515+55(561)15=-+05515454555555555556565615C C C C =-++-+容易看出该式只有55551514C -+=不能被8整除，因此555515+除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．⑶200020001991(20009)=-，用二项式定理展开后，易知除了最后一项，其它都能被310整除．因此只需考虑20009除以310的余数．200020002000119991997319982199920002000200020009(101)10(10)(10)(10)(10)1-C C C C =-=+-+-+只需考虑最后3项，不难算出余数为1【例6】 100111-的末尾连续零的个数是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【考点】证明整除或求余数 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】10010011(101)=+0100199973982991001001001001001001001010...101010C C C C C C =++++++上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以100111-的末尾连续零的个数是3．故选C ．【答案】C。
二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数1.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.2.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．3．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是解：r r r r x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和1、若2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a 。
(用数字作答)解析：在2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，令1=x ，则1)1(201320043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++=20130a +201320133210=+++++a a a a a 。
点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．三、利用二项式定理求幂指数n1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．四．求展开式1．求4)13(x x -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：教学内容1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。
用1r n r rr nT C a b -+=表示。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()nb a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。
4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【例2】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例3】 证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例4】 证明：2121(1(1(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例6】100的末尾连续零的个数是（）111A．7 B．5 C．3 D．2。
高中数学-二项式定理精讲精练1．二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .（2）二项展开式的通项 二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第__________项：1C k n k k k n T a b -+=.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()na b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为_________.K 知识参考答案：1．（1）n +1C ({0,1,2,,})kn k n ∈L （2）1k +2．（1）和（2）①相等②2C nn 1122C,Cn n nn-+③2nK —重点 二项式定理及二项展开式的通项公式K —难点 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rr r -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Z Z ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，即22456345,,48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *∈N ，所以6n =，故选C ．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为.（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.值一般取1三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.∈N)能被25整除.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若28()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】28()a x x-的展开式中各项系数之和为012888888C C C C 2++++=L .【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】28()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r rr T x a x a x---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故2882()()a x x x x-=-，令x =1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.1．10(1)x +的二项展开式中的一项是A ．45B ．290xC．3120x D．4252x2．二项式102xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为A．1B．1-C．102D．03．化简得A．B．C．D．4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7C．8D．95．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为A．6B．9C．12D．186．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝A．0B．1C．11D．127．()73x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）8．已知,则．9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.（1）求的值;（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+,求的值.10．设，求下列各式的值：（1）a 0.（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.11．若()332d a x x x -=+⎰，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有A ．13项B ． 14项C ．15项D ． 16项12．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13．设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.（1）求的值;（2）求展开式中含项的系数.16．（四川）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）18．（山东）若ax 25x的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．C 【解析】展开式的二项式系数和为012101010101010C C C C 2++++=L .故选C.3．B 【解析】根据题意，可知，故选4．B 【解析】展开式的通项为=,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即为有理数,即为3的倍数,为2的倍数.若,则的可能取值为7.选B.5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则，又各项的二项式系数之和为，所以，解得.所以该二项式展开式的通项为.令，得该二项式展开式的常数项为.故选B.6．D 【解析】201220120201212011201112012201220122012201251(521)C 52C 52C 52C a a a =-=-+-++++L ， 由于020121201120111201220122012C 52C 52C 52-+-L 含有公因数52，故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.7．-189 【解析】由二项式定理得()71713C rrr rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．8．-5 【解析】,由二项式定理得,故,所以．9．【解析】（1）由题意得,解得.（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则.（3）=,令,得.10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.（2）令x＝1，可得(*)，所以.（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)].（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.11． C 【解析】，由得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.12．【解析】26()baxx+展开式的通项为266123166C()()Cr r r r r r rrbT ax a b xx---+==，令1233,r-=得3r=，所以，由63336C20a b-=得1ab=，从而2222a b ab+≥=，当且仅当a b=时，22a b+的最小值为.13．【解析】由图易知0121,3,4a a a===，则1221211C3,C()4n na aa a====，即23(1)42nan na⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a=．14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求0121010101010C C C C++++L的和，易知012101010101010C C C C21024++++==L．15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,设含的项为第项,则,故,即,则,解得,,.（2）由（1）知,故含项的系数为.16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r rr T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.17．10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2))2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 18．2-【解析】因为5102552155C ()(C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=-。
项 式 定 理 的 练 习 及 答 案基础知识训练(一)选择题1(x 2x ) 6展开式中常数项是()A.第 4 项B. 24C ：C. C ：D.22. (x - 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 i2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74•若C 仃与C n 同时有最大值，则 m 等于( )A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55•设(2x-3) 4=a o a 1X a ?x 2 a a x 3 a q X 4，贝y a o +a 1+a 2+a 3的值为(A.1B.16C.-15D.1531 116. (x 3 一)展开式中的中间两项为( )x(二)填空题17•在(2x y)7展开式中，x 5y 2的系数是310. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 ______________ .23 1011. ___________________________________________________ (1 3x 3x x )展开式中系数最大的项是 、512. ___________________________________ 0.991精确到0.01的近似值是 • (三)解答题13 .求 (1+x+x 2)(1-x) 10展开式中 x 4 的系数.14 .求 (1+x)+(1+x) 2+…+(1+x) 10展开式中 x 3 的系数 +15•已知(1-2x) 5展开式中第2项大于第1项而不小于第 3,求x 的取值范围•16•若f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N)展开式中，x 的系数为21,问m n 为何值时, 17.自然数n 为偶数时，求证:A. CkXcb 12B. C 61X 9, C ；110x C.C^x 13D.C 1X 17138. C 03C n 2 2 3 C n 3n c n9. (3.520)的展开式中的有理项是展开式的第_________ 项*x 2的系数最小?18 •求8011被9除的余数+19•已知(..x-2r)n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x2520 •在(x +3X+2)的展开式中，求 x 的系数+ 21 •求(2x+1) 12展开式中系数最大的项 +参考解答： 11. (1+3x+3x 2+x 3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是 T 16=C30X 15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C 0 C ；0.009 0.9613. (1 x x 2)(1x)10 (1 x 3)(1 x)9,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C ：( x)4作积，第一个因式中的一x 3与(1-x) 9展开式中的项C9( x)作积，故x 4的系数是C ；C ；135.10 1114. (1 x) (1 x)2 (1 x )10°—x)[1 ° ―1 -------- __°，原式中 x 3实为这分子中 1 (1 x) x的x 4,则所求系数为C 7V18. 8011(81 1)11 C 1018111 C ；811014; 3，求展开式的常数项.1 •通项T r 1C 6x 6r 《)r C 6x3 r22r , 由6 -r24，常数项是T s 4 4C 6 2，选(B )2.设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1) f( 1)(22)11 /21024，选(C ).3.通项 T r 1rC 7( -2)r C ；22,当r=0 ，2, 4, 6 时, 均为有理项，故有理项的项数为 4个，选(A ) 4•要使 C ：7最大，因为17为奇数，则m=8=4,2若n=9,要使C m 最大，则m17 1 或2 1——或m 2匕」 n 8或n=9,若n=8,要使C ；最大，则m 4或m=5综上知，m=4或m=5故选(A )5.C 10. 224 ;8.43(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+6.C7.9.3,9,15,2115•由C 5( 2x)1C 5( 2x)C ； c ；( 2x)21 x101 1 x41016•由条件得 m+n=21, x 2的项为 C ；x 2 C ：x 2，则 C ； C ： (n -21)22时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x 的系数最小.399 4.因n € N ,故当n=10或1117 •原式=(C 0 c l. C 2c n 1C：) (C ： 35 CnCnC：1) 2n 2n1 3.2nC ；081 1 81k 1(k Z),••• k € Z,二9k-1 € Z,「. 8111被9 除余&19•依题意C：: C：14:3 3C：14C：••• 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2! n=10*10 5r 设第叶1 项为常数项，又T r 1C；0(..x)10r( -22)r( 2)r C；0xhx10 5r令0 r 2, T2 1 C10( 2) 180.此所求常数项为180+22 5 5 520• (x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C；5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32，含x的项为1 4C52 x 80x•••展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) 240x，此展开式中x的系数为240+21 •设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r与T r+2的系数，即有•••展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2X4 7920X4三.拓展性例题分析- 1n例1在二项式,x ——的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.2如分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为:前三项的r 0,1,2.得系数为: t11 1^1^2 C n n,t32 2C n；-n(n 1),8由已知：2t21t1t3n 1 n(n1 3 81),• n 8通项公式为/ 16 3rr 1 —T r 1C8〒x 4 r 0,1,2 8,T r 1为有理项，故16 3r是4的倍数, 2• r 0,4,8.1 35 依次得到有理项为「x4,T5 C；—— x,T92 8 c8*x 1 2---- x256说明：本题通过抓特定项满足的条件, 利用通项公式求岀了r的取值，得到了有理项. 100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.例2 ( 1)求(1 x)3(1 X)10展开式中X5的系数；(2)求(X - 2)6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1 )可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3 10 5 55 3用(1 X)展开式中的常数项乘以(1 X)展开式中的X项，可以得到C10X ;用(1 X)展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X4项可得到(3x)(G；x4) 3C：o X5；用(1 x)3中的X2乘以(1 X)10展开式3 5 3 Q 10 Q3C w x ；用(1 x)中的X3项乘以(1 X)展开式中的X2项可得到C 3 2 23x C10X C10X 5，合并同类项得X项为:(C10 C10 3C；。
1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n nn n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =．②二项式()na b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n rrr nTC ab -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）代入二项式定理）这与这与1r n rrr nTC ab -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是rnC ，但项的系数一个是()1rrn C -，一个是rn C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nrrnn n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T+=rn rrnC ab-()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx +的近似值．的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rnC 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图：的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mn mn n C C -=得到．得到．②增减性与最大值②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n nC C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，，．．．， ()()()()112...2123....1k nn n n n k Ck ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...2112 3...1k n n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，，．．．， 1nnC =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r nC 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nn C C -+=．③二项式系数的和为2n，即012......2r n nnnnnnC C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 (2)n nnnnnnC C C C C C -+++=+++=．常见题型有：常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数 【例1】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【例2】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例3】 证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例4】 证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例6】100111的末尾连续零的个数是（）A．7 B．5 C．3 D．2 。
二项式定理1. 求展开式的：()x x2912-（1）第6项的二项式系数；（2）第3项的系数；（3）的系数。
x 9分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为；C 95126=（2），故第3项的系数为9；T C x xx 39227212129=⋅⋅-=()()（3），令，故r ＝3，所T C x x C x r rrr r r r +--=⋅⋅-=-⋅192991831212()((1839-=r 求系数是(-=-12212393C 2. 求证：能被7整除。
51151-分析：，5114921494924922151515105151150515150515151-=+-=+⋅++⋅+-()C C C C 除以外各项都能被7整除。
C 51515121-又C C C C C 5151513171717017171161716171721217117771⋅-=-=+-=++++-()() 显然能被7整除，所以能被7整除。
51151-3. 求除以100的余数。
9192分析：919019090909292920929219192919292=+=++++()C C C C 由此可见，除后两项外均能被100整除，而C C 929192929082818210081+==⨯+故除以100的余数为81。
91924.（2009北京卷文）若4(1,a a b +=+为有理数），则a b +=A ．33B ．29C ．23D ．19【答案】B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(4123401234444441C C C C C +=++++112417=+++=+，由已知，得17a +=+，∴171229a b +=+=.故选B .5.（2009北京卷理）若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．45 B ．55 C ．70 D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵(512345123455555551C C C C C C +=+++++1202041=+++=+由已知，得41a +=+，∴412970a b +=+=.故选C .6. 已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。
专题41 利用二项式定理证明整除问题一、单选题1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a ，b ，m （0m >）为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m =.若012220202022a C C C =+⋅+⋅+2020202C +⋅，()mod8a b =，则b 的值可以是（ ）A ．2020B ．2021C ．2024D ．2025【答案】D 【分析】根据已知中a 和b 对模m 同余的定义，结合二项式定理，可以求出()1020103981a ===+，结合()mod8a b =，对照四个选项中的数字，可得出答案. 【详解】 由题意可得：()()20102010123981a =+===+，由二项式定理可得：01019911010108881a C C C =⨯+⨯+⨯+，即a 除以8的余数为1， 因为()mod8a b =，所以b 的值除以8的余数也为1， 只有2025除以8的余数为1， 则b 的值可以是2025. 故选：D 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，需熟记定理的展开式，属于中档题. 2．已知0m >，且202015m +恰能被14整除，则m 的取值可以是（ ） A ．1- B ．1C ．7D ．13【答案】D【分析】化简可得()2020202015141+=，再根据二项式定理的展开式，可知0202012019201912020202020201414...14C C C +++能被14整除，由此即可求结果. 【详解】因为()0202012019201912020202020202020202014141514...1411C C C =+++=++其中02020120192019120202*********14...14C C C +++能被14整除，所以要使0m >，且202015m +恰能被14整除， 所以m 的取值可以是13. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题. 3．1180被9除的余数为（ ） A ．1- B ．1 C ．8 D ．8-【答案】C 【分析】将1180转化为()11811-，利用二项式定理，即可得解. 【详解】()111180811=-()()()()210111210111110911111111111818118118111C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-1210111110911111111181818181C C C C =-⋅+⋅++⋅- 1211109111181818111811C C =-⋅+⋅++⨯- 121110911118181811081811C C =-⋅+⋅++⨯+- 12111091111818181108180C C =-⋅+⋅++⨯+ 121110911118181811081728C C =-⋅+⋅++⨯++12111091111818181108172C C -⋅+⋅++⨯+可以被9整除，所以1180被9除的余数为8. 故选：C. 【点睛】本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为()11811-是本题的解题关键，属于中档题. 4．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512020+a 能被13整除，则a ＝（ ） A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D 【分析】由51＝52﹣1，然后将512020展开，求其余数，然后令余数与a 的和能被13整除即可. 【详解】解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）20200122202020202020202020202020525252C C C C =-+-+.因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，所以上式被13除，余数为020201C =，所以要使512020+a 能被13整除，因为a ∈Z ，且0≤a ＜13，只需a +1＝13即可， 故a ＝12. 故选：D. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理解决整除问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键．5．若n 是正奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---++++被9除的余数为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．8【答案】C 【分析】根据二项式定理化简01122177777(71)1n n n n n n n n C C C C ---++++=+-，再根据题意对化简的式子进行变形得到(91)1n--，再次展开进行求解即可.【详解】解：由题可知：原式=01122177777n n n n n n n C C C C ---++++()00112221100717171717171n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C ----=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅-⋅(71)1n =+- 81n =-(91)1n =--()0011222110919(1)9(1)9(1)9(1)1n n n n n n n n n n n n C C C C C ----⎡⎤=⋅-+⋅-+⋅-++⋅-+⋅--⎣⎦，因为n 为正奇数，所以上式可化简为：0112221199(1)9(1)9(1)2n n n n n n n n n C C C C ----+⋅-+⋅-++⋅-- 0112221199(1)9(1)9(1)97n n n n n n n n n C C C C ----=+⋅-+⋅-++⋅--+所以该式除以9，余数为：7. 故选：C. 【点睛】本题考查运用二项式定理解决余数问题，考查代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力. 6．若254()a a R +∈能被9整除，则||a 的最小值为（ ）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【分析】将25254(31)a a +=++利用二项式定理展开，根据题意得到242531253176C a a a ++=⨯++=+能被9整除，从而得到满足题意的||a 的最小值. 【详解】由二项式定理可得25254(31)a a +=++251242322425252533331C C C a =++++++…， 其中251242322525333C C +++…能被9整除，所以要使254()a a R +∈能被9整除，则242531253176C a a a ++=⨯++=+能被9整除， 则当4a =-时，||a 最小，且能被9整除. 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理解决整除问题，属于中档题.7．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡，则b 的值可能是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】D 【分析】根据二项展开式可知203a =,再分析203a =的个位数即可. 【详解】由题,()20122332020202020202012222123a C C C C =+⨯+⨯+⨯++⨯=+=,又(mod10)b a ≡,故,a b 的个位数字相同.又201053981a ===个位数字明显为1.故选：D 【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开式的运用,需要观察题中所给的形式判断出展开式的原式,再利用指数函数的计算分析末尾数即可.属于中档题. 8．已知n 为满足1232727272727CC C CS a =+++++（3a ≥）能被9整除的正数a 的最小值，则1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ） A ．第6项 B ．第7项C ．第11项D ．第6项和第7项【答案】B 【分析】利用二项式定理的展开式，可得S 能被9整除的正数a 的最小值是29a -=，11a =， 即11n =，111()x x-的展开式中的通项公式：11112111111()(1)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，只考虑r 为偶数的情况，1232727272727S a C C C C =++++⋯+ 27027(11)a C =++-9(91)1a =-+-8178999(99)2C C a =-+⋯++-3a ，S ∴能被9整除的正数a 的最小值是29a -=，11a ∴=．11n ∴=，∴111()x x -的展开式中的通项公式：11112111111()(1)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-，只考虑r 为偶数的情况，43511T C x =，61711T C x -=，85911T C x -=，可知：系数最大的项为第7项． 故选：B ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用、整除的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9．设a,b 是两个整数,若存在整数d,使得b=ad,称“a 整除b”,记作a|b.给出命题:∈2|(n 2+n+1);∈100|(9910-1);∈5|(24n -1)(n∈N +),其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【分析】利用新定义，结合整数的性质及二项式定理可得结果. 【详解】对于①,①n 2+n=n (n+1)必为偶数, ①n 2+n+1必为奇数,故①不正确.对于①,9910-1=(100-1)10-1=C 100·10010-C 101·1009+…-C 109·100,故①正确. 对于①,24n -1=(15+1)n -1=C n 0·15n +C n 1·15n -1+…+C n n -1·15,故①正确.故选C本题以新定义为背景，考查二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题. 10．5555除以8，所得余数是( ) A ．7 B ．1C ．0D ．1-【答案】A 【解析】()555555561=-，展开式的通项为()5555C 561rrr -⋅⋅-，不能被8整除即55r =时，余数为()5511-=-，由于余数要为正数，故加8，得187-+=.【点睛】本题主要考查利用二项式定理解有关整除问题，关键在于将原式转化为8的倍数来展开. 二项式的应用：（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,∈求数的末位；∈数的整除性及求系数；∈简单多项式的整除问题；（4）近似计算.11．设a ，b ，m 为整数（m>0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b(modm)．若，，则b 的值可以是（ ）A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018 【答案】B 【解析】试题分析：a =220=(5−1)10=510−C 10159⋯C 10852−C 1095+1，所以a 除以5的余数为1，2016除以5的余数为1，所以B 正确 考点：二项式定理12．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012+a 能被13整除，则a =( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先利用二项式定理将512012展开，然后结合题意得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】 由于2012201202012120112011120122012201251(521)5252521a a C C C a ⨯+=-+=-+⨯⨯-++,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a <13,所以a =12.【点睛】本题主要考查二项式定理研究整除问题的方法，属于基础题. 二、解答题13．设*n N ∈，k ∈N ，nk .（1）化简：11112··k k n n k k n n C C C C +++++；（2）已知2220122(1)nnn x a a x a x a x -=+++⋯+.记21()(1)nk kkF n n a ==+∑.证明：()F n 能被21n 整除. 【答案】（1）12n n ++；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用组合排列数的计算公式即可得出.（2）由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+.由122121(1)21(1)(1)[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==⋅++，可得22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k kn n k n k k F n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，求和即可得出. 【详解】（1）解：11112(1)!(1)!(1)!(1)!1!(1)!(1)!()!!(2)!!(2)(1)!2!()!(1)!(1)!k k n n k k n n n n C C n n n n k n k k n k n n C C n n n n k n k k n k +++++++⋅+⋅⋅+++-+-===++⋅+⋅+⋅-++-⋅.（2）证明：由（1）得，11211111111111111111()222k k k n n n k k k k k k k n n n n n n n C C C n n n C n C C n C C n C C ++++++++++++++++++=⋅=⋅=⋅+++⋅⋅+. 因为122121(1)21(1)(1)·[]22k k k k k k k n n n k k n k k a C n C C +++-+--==++， 所以22111212121(1)(1)()(1)[]2k k nn k k k k k n n k n k kF n n a C C +==+++--=+=⋅+∑∑，因为21122232112121212121212121(1)(1)122122[]()()k k nkk n n k n n n n n n n n k k n nC C C C C C C C ++=++++++++----+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+∑ 12222212121212121211212212()()2n n n n n n n n n n n nn C C C C C C +++++++---+=+++⋅⋅⋅+++= 12322121212111112nn n n n n C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅++ 设1232212121211111nn n n n A C C C C ++++--=+++⋅⋅⋅+， 则122213222121212121212121211111111120n n n n n n n n n n n n A C C C C C C C C --++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=++++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0A =.所以2121()(1)2(21)2nk kk n F n n n n n a =+=+=⋅=+∑能被21n 整除.【点睛】本题考查了组合排列数的计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 14．（1）求证：14659n n +⨯+-能被20整除；（2）已知2235n n n a +⋅+-能被25整除，求a 的最小正数值． 【答案】（1）证明见解析;（2）4 【分析】(1) 14659n n +⋅+-=4(51)5(41)9n n ⋅++⋅+-，结合二项式定理可整理出20()M N +，从而可证明. (2) 22354(51)5n n n n a n a +⋅+-=⋅++-，结合二项式定理可得100254M n a ++-，从而可求出a 的最小正数值. 【详解】解：（1）14659n n +⋅+-=4(51)5(41)9n n⋅++⋅+-=()11145551n n n n n C C --⋅+⋅++⋅++()11154441n n n n n C C --⋅+⋅++⋅+9-=4(51)5(41)920()M N M N ⋅++⋅+-=+（此处M ，N 表示整多项式），即14659n n +⨯+-能被20整除. （2）22354(51)5n n n n a n a +⋅+-=⋅++-=112214(55551)n n n n nn n C C C ---+⋅++⋅+⋅+5n a +-=4(2551)5M n n a +++-100254M n a =++-（M 为整多项式），∈a 的最小正数值为4. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了整除问题. 15．求103x -除以2(1)x -所得的余式． 【答案】1012x - 【分析】103x -可变形为10[(1)1]3x -+-，再利用二项式定理展开求余数.【详解】因为10103[(1)1]3x x -=-+-1019829101010(1)(1)(1)(1)13x C x C x C x =-+⋅-++⋅-+⋅-+-，所以103x -除以2(1)x -的余式为1012x -. 【点睛】本题考查运用二项式定理求余数，属于基础题.16．已知()()()()2111ng x x x x =++++⋅⋅⋅++2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+.（1）若121253n a a a n -++⋅⋅⋅+=-，求3x 的系数. （2）当1x =，29n =时，求()g x 除以7所得的余数. 【答案】（1）70（2）6 【分析】（1）令1x =，根据等式的特点，结合等比数列前n 项和公式求出0a 、n a 的值，进而求出n 的值，结合二项式的通项公式、组合数的性质进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式，结合二项式定理进行求解即可. 【详解】（1）令1x =，()210122(12)12222212n nn n g a a a a +⋅-=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==--，又0a n =，1n a =，所以1121122n n n a a a +-+++⋅⋅⋅++=-， 故1121221253n n a a a n n +-++⋅⋅⋅+=---=-，∈7n =，因为()1nx +的通项公式为：1r n r r r rn n C x C x -⋅⋅=⋅所以3x 的系数是33343343334334343474475567667778++=+=+==70C C C C C C C C C C C C C C C C ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=++；（2）当1x =，29n =时，()292293010212)1222228212g -=++⋅⋅⋅+==-=--（，而()10101019282919101010182(71)2771717112g C C C =-=+-=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-化简得：()1019282822101010177171716g C C C =+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+，因此()1g 除以7所得的余数6.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了等比数列前n 项和公式，考查了数学运算能力.17．已知11*121()(N )r nn r n n n F n a a C a C a C n -+=+++++∈.（1）若21n a n =-，求(5)F ；（2）若17n n a -=，求(20)F 除以9的余数； （3）若2(1)n a n =-，求()F n .【答案】（1）192；（2）1；（3）()222n n n -+⋅.【分析】（1）利用倒序相加以及组合数公式的性质，即可求得答案；（2）将(20)F 构造为()2071+，进而表示为()2091-，对其展开发现1222020202020999C C C -⋅+⋅-⋅⋅⋅+⋅都能被9整除，所以1除以9的余数就是(20)F 除以9的余数，即可得到答案； （3）由已知可表示通项211kk n n T k C nkC --==，进而由倒序相加求出答案. 【详解】（1）因为21n a n =-，所以125555(5)51311F C C C =+++……∈同时，543555119(5)71F C C C =+++……∈，∈∈两式相加得：25555152(5)12121212122F C C C ==++⨯+所以4121259)2(F =⨯=（2）因为17n n a -=，所以22020002011192020020202020220120(20)1777171771F C C C C C C =+++=⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅()()2020201222020202020718911999C C C =+==-=-⋅+⋅-⋅⋅⋅+⋅因为1222020202020999C C C -⋅+⋅-⋅⋅⋅+⋅都能被9整除，所以1除以9的余数就是(20)F 除以9的余数， 故(20)F 除以9的余数为1.（3）因为2(1)n a n =-，所以通项()()()()22111!!!!1!!kk nn n n T k C k k n nkC k n k k n k ---==⋅=⋅⋅=⋅--⋅-所以()21222011111()1212nn n n n n n n F n C C n C n C C nC ----=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ 同时()111111()11n n n n F n n nC n C C ----⎡⎤=+-+⋅⋅⋅+⎣⎦上述两式相加有()()()()()0210211111112()1111n n n n n n n n F n n n C n C n C n n C C C --------⎡⎤=++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+⎣⎦ ()()121122n n n n n n --=+⋅=+⋅所以()22()2n F n n n -=+⋅【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，主要涉及构造法的体现，属于难题.18．已知()112225113mm mma CAm N ---=-∈，777714-除以19的余数为b ，求1bx ⎫⎪⎭展开式的常数项.【答案】常数项为240. 【分析】由组合数和排列数的定义可列出不等式组01125022113m mm m ≤-≤⎧⎨≤-≤-⎩，求出m 的值，进而求出a 的值.再利用二项式定理，由77777714(1941)14-=⨯+-求出余数b .将a 和b 代入1)b x，在其通项公式中令x 的幂指数等于零，求出常数项. 【详解】解：由题意得01125022113m m m m≤-≤⎧⎨≤-≤-⎩，解得111375m ≤≤， ∈m N ∈，∈2m =，∈72105100a C A =-=，∈()77777714194114-=⨯+-()()()77760176777777194194...194114C C C =⨯+⨯++⨯+-，∈6b =，∈611b x x ⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭，通项公式(()63662166112rrrr rr r r T C C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令6302r-=，2r ，故常数项为240. 【点睛】本题考查了排列数和组合数的定义，利用二项式定理解决整除问题，求二项式展开式的指定项问题.属于中档题.19．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除． 【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【分析】（1）由二项式定理得21ii n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可． 【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n kn n C +=+，所以()()()1212100212121nnnn k n k n n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn n n nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+， ()()()()122121212121221n n n nn n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除. 【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题． 20．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数． 【答案】（1）1678732x ；（2）2. 【分析】（1）由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，再根据通项公式可得展开式中第1r +项的系数，从而求得展开式中系数最大的项． （2）二项式即2020(282)+，按照二项式定理展开，问题化为20202被7除的余数．再根据20206736732282(71)=⋅=⋅+，按照二项式定理展开，可得它被7除的余数．【详解】 （1）二项式2(3)nx x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r rr r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =，220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．【点睛】本题考查二项式定理的应用、整除的余数问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意连续两次使用二项展开式求余数.21．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，00(x ,y )n nn P ，n∈N*．记直线AP n 的斜率为k n ． （1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 【答案】（1）(1，1)（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）由两点间斜率公式得20000112y x x x ++==，解方程得P 1的坐标（2）先求出k n ＝2000000111n nnn n ny x x x x x ++==+，再利用k 1为偶数表示x 0，设k 1＝2p(p ∈N*)，则x 0＝项式展开定理证明k n 为偶数试题解析：解：（1）因为k 1＝2，所以20000112y x x x ++==， 解得x 0＝1，y 0＝1，所以P 1的坐标为(1，1)．（2）设k 1＝2p(p ∈N*)，即20000112y x p x x ++==， 所以20x －2px 0＋1＝0，所以x 0＝因为y 0＝x 02，所以k n ＝200000111n n n n n ny x x x x x ++==+ 所以当x 0＝pk n ＝(pn＋)n ＝(pn ＋(pn ．同理，当 x 0＝pk n ＝(pn ＋(pn ．∈当n ＝2m(m ∈N *)时， k n ＝22220(1)mkn k k nk Cp p -=-∑，所以k n 为偶数．∈当n ＝2m ＋1(m ∈N)时，k n ＝22220(1)mk n k k nk Cp p -=-∑，所以k n 为偶数．综上， k n 为偶数． 考点：二项式展开定理应用 22．若()201022010012201024x a a x a x a x +=++++，则0242010a a a a +++被3除的余数是多少?【答案】2 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相加，得到0242010a a a a +++的值，整理出可以看出能不能被3除的结果，得到余数． 【详解】 解：在已知等式中 取1x =得201001220106a a a a ++++= 取1x =-得201001220102a a a a -+-+= 两式相加得2010201002420102()62a a a a +++=+即2010200902420101622a a a a +++=⨯+注意到2010162⨯能被3整除； ()()()10041004200921004100322223123331C C =⨯=⨯+=⨯+⋅++⋅+所以被3除的余数是2，因此0242010a a a a +++被3除的余数是2．【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用二项式定理利用赋值的方法得到式子的结果，属于中等题． 略 23．已知展开式的二项式系数和为512，且（1）求的值；（2）求的值；（3）求被6整除的余数.【答案】(1)144,(2)2,(3)5 【详解】解：（1）由二项式系数和为512知，所以（2）令令得所以（3）因为能被6整除，所以-19被6整除后余数为5.三、填空题24．已知202074a +能够被15整除，其中(0,15)a ∈，则a =__________. 【答案】14 【分析】202020202200202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，可得答案.【详解】 解：由题可知，()0202020275714=-()()()()120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+-0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =. 【点睛】本题考查二项式展开式的应用，以及二项式定理的整除问题，考查学生的化简运算能力. 25．2020503+被7除后的余数为________________________． 【答案】4 【分析】 先化简20202020503(491)3+=++，再利用二项式定理求出余数.【详解】 由题得2020202002020120192019202002020202020202020503(491)3494949493C C C C +=++=+++++020201201920192020202020204949494C C C =++++因为02020120192019202020202020494949C C C +++能被7整除，所以2020503+被7除后的余数为4. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查二项式定理求余数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．已知202074a +能够被15整除，则a =________. 【答案】14 【分析】202020202200202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可，即可求出a 的值.【详解】 解：由题可知，()0202020275714=-()()()()120192020020201201920191202002020202020202020751751751751C C C C =-+-++-+-0202012019201912020202020207575751C C C =-+-+所以0202012019201912020202022020200775754751C C C a a =-++-++，而75能被15整除，要使202074a +能够被15整除，只需1a +能被15整除即可， 所以115a +=，解得：14a =. 故答案为：14. 【点睛】本题考查二项展开式的应用，以及二项式定理的整除问题，考查化简运算能力.27．若等差数列{}n a 的首项为112225113nn nnCA----，公差为52mx ⎛- ⎝展开式中的常数项，其中m 是777715-除以19的余数，则此等差数列的通项n a =________.【答案】1044n - 【分析】 由题意可得01125022113n nn n≤-≤⎧⎨≤-≤-⎩，解不等式可得n 的值，进而可以求得1a ；由二项式展开式可得m 的值，再由二项式展开通式可得r 的值，进而可以求得公差d ，最后表示出等差数列的通项公式即可. 【详解】 解：由112225113n n nnCA----得，01125022113n n n n ≤-≤⎧⎨≤-≤-⎩，解得111375n ≤≤，又n 为自然数，所以2n =. 故1122272151********nn nn a C A C A ---=-=-=.77770771762757677777777777717715(761)157677676615C C C C C -=+-=+++++-… 07717627576777777777676761647C C C C =++++-…，上式的前77项均有因式76，故可以被19整除， 故余数为14195-+=，即5m =.5525x ⎛- ⎪⎝⎭的通项公式为55553155552225r r r r r r r r T C C x x ---+⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭， 令5503r-=，解得3r =. 故公差233552425d C ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则100(4)(1)1044n a n n =+--=-. 故答案为：1044n - 【点睛】本题主要考查二项式定理和等差数列的通项公式，考查学生计算能力，属于中档题.28．记[x ]为不超过实数x 的最大整数.若27788A ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦201920207788⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A 除以50的余数为____________ . 【答案】40 【分析】根据21277,88k k -均不是整数，利用放缩法分析出21221217772788k k k k ---⎡⎤⎡⎤-<+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，结合二项式定理得A除以50的余数. 【详解】注意到21277,88k k-均不是整数. 按定义212212212212177777772117888888k k k k k kk k -----⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-+-<+<+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以对任意正整数k 均有21221777188k k k --⎡⎤⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22771k -=⋅-17(49)1k -=⋅- ()()()1101111117(501)175050111r k k k r k r k k k k C C C ---------=⋅--=⋅⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯--17(1)1(mod 50)k -=⋅--.从而71010(11)101040(mod50)A ≡⋅⋅--≡. 故答案为：40 【点睛】此题考查数论相关知识点，涉及同余问题结合二项式定理处理，需要熟练掌握初等数论相关知识. 29．7271除以100的余数是________ 【答案】41 【分析】利用二项式定理化简()727271701=+，求出展开式的后2项，即可得到7271除以100的余数； 【详解】解：()727217172727270727127270170177070C C C C +==++++21072701()m m N =+⨯+∈ 2105041m =+即7271除以100的余数为41． 故答案为：41． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的展开式的后2项，属于基础题． 30．2020502+被7除后的余数为__________． 【答案】3 【分析】先由()202020205024912+=++，再按照二项式定理展开即可得出结果.【详解】()202020205024912+=++012019202020202019120202020202020204949492C C C C =⋅+⋅++⋅++显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除， 故2020502+除以7的余数为2020202023C+=，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查的是二项式定理的应用，熟记二项展开式是解题的关键，属于基础题. 31．设()()()()201922019012201912888x a a x a x a x +=+-+-++-，则()20191kk k a =-∑除以8所得的余数为________. 【答案】7 【分析】令7x =可得()201901kk k a =-=∑201915，再将2019201915(161)=-展开分析即可.【详解】由已知，令7x =，得2019012201915a a a a =-+--=()20191kk k a =-∑，又2019201920191201820182019201915(161)1616161C C =-=-++-201812017201916(16162019)1C =-++- 20181201720198[2(16162019)1]7C =-++-+.所以()20191kk k a =-∑除以8所得的余数为7.故答案为：7 【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及到余数问题，做此类题一定要合理构造二项式，并展开进行分析判断，是一道中档题.32．设()1223310101010101010190909019090kk k n C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，则n 除以88的余数是______. 【答案】1【分析】利用二项式定理得到1089n =，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可. 【详解】101010(190)89(188)n =-==+12233101010101010188888888C C C C =⋅++++⋅⋅+，因展开式中后面10项均有88这个因式，所以n 除以88的余数为1. 故答案为：1 【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.33．记122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-（n 为正奇数），则X 除以88的余数为______ 【答案】87 【分析】由组合数的性质知：()1223318888888888k k n nn n n n n X C C C C C =-++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+，由此能求出结果. 【详解】解:由组合数的性质知：122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-()()()()1230012390909090(90)90nk k nn n n n n nC C C C C C =+-+-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- ()()()1223319018818888888888nnk k n nn n n n n C C C C C =-=-+=-++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+则X 除以88的余数为18887-+=. 故答案为：87. 【点睛】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用.34．当n 为正奇数时，01122177777n n n n n n n C C C C ---++++除以9的余数是__________.【答案】7 【分析】根据二项式定理化简01122177777n n n n n n n C C C C ---++++，再根据题意对化简的式子进行变形，再展开进行求解即可. 【详解】01122177777n n n n n n n C C C C ---++++01122211771717111n n n n n n n nn n n n n n n C C C C C C ----=+⋅+⋅++⋅+⋅-⋅(71)1n =+- 81n =-(91)1n =--0112221199(1)9(1)9(1)(1)1n n n n n nn n n n n n C C C C C ----=+⋅-+⋅-++⋅-+⋅--，因为n 为正奇数，所以上式可化简为：0112221199(1)9(1)9(1)97n n n n n n n n n C C C C ----+⋅-+⋅-++⋅--+该式除以9，余数为：7. 故答案为：7 【点睛】本题考查了应用二项式定理应用解决余数问题，考查了代数式的恒等变形能力，考查了数学运算能力. 35．设a ，b ，m 为整数（m >0），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是_______.【答案】2011（答案不唯一，101()k k Z +∈都可以） 【分析】应用二项式定理求出a ，再由二项式定理求出a 除以10所得余数，然后写出b ． 【详解】0122202020201020202020222(12)39a C C C C =+⋅+⋅++⋅=+==100100991010101010(101)10(1)10(1)(1)C C C =-=-++-+-，展开式中只有最后一项不是10的整数倍，所以a 除以10的余数为1，∈(mod10)a b ≡，∈2011b =. 故答案为：2011（答案不唯一，101()k k Z +∈都可以） 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查整除问题．掌握二项式定理是解题关键． 36．设a Z ∈，且013a <<，若201953a +能被13整除，则a =____________． 【答案】12 【分析】由534131=⨯+，可将201953a +表示为()2019201953521a a +=++，可知1a +能被13整除，再结合a 的取值范围可求得整数a 的值. 【详解】535214131=+=⨯+，()20192019201912018201820192019535215252521a a C C a ∴+=++=+⋅++⋅++，由于201912018201820192019525252C C +⋅++⋅能被13整除，则1a +也能被13整除，013a <<，1114a ∴<+<且a Z ∈，113a ∴+=，解得12a =.故答案为：12. 【点睛】本题考查利用二项式定理处理数的整除问题，考查二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题. 37．3321-除以9的余数为______.【答案】7 【分析】把3321-化为11(91)1--，根据二项式定理，即可求得答案.【详解】由于3311112181(91)1-=-=--01101101292101101101111111111119(1)9(1)9(1)9(1)9(1)1C C C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋯+⋅⋅-+⋅⋅--由于前11项都有因数9，故所给的式子故除以9的余数即为11011119(1)12C ⋅⋅--=-除以9的余数，故所给的式子除以9的余数为7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，把所给的式子化为11(91)1--，是解题的关键，体现了转化的数学而思想，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
专题04二项式定理知识点1二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．知识点2二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.知识点3二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性与最增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当大值k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12Cn n+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1考点1二项式定理的正用、逆用的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．考点2二项式系数与项的系数问题数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C r n．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是C37＝35，而第四项的系数是C3723＝280．考点3求二项展开式中的特定项(1)求第r 项，T r ＝C r －1n an －r ＋1b r －1；(2)求含x r 的项(或x p y q 的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）6()(2)x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（）A ．－80B ．－100C ．100D ．80考点4二项式系数和问题(赋值法)【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，则1234a a a a +++=_________.【答案】34【审题】令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=，即可得到答案.【解析】依题意()()432340123412x x a a x a x a x a x +++=++++，令0x =，得09a =，令1x =，得43012342343a a a a a ++++=+=.故123434a a a a +++=.【解后感悟】二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可；(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若()47270127(1)2(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则2a =（）A ．45B ．27C ．15D ．3【答案】D【解析】因为()4772701274(1)(2)1]2([(2)2]2)(2)[x x x x a a x a x a x +++-=+++++=++++- ，所以2225247(2)(1)3a C C =⨯-+⨯-=，故选：D ．【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则43a a -=__________．【答案】9【解析】404013122231340444444(2)C (2)C (2)C (2)C (2)C (2)x x x x x x -=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-4328243216x x x x =-+-+故41a =，38a =-，所以431(8)9a a -=--=，故答案为9.【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：8290129(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x -=+-+-++- ，则6a =______.【答案】28-【解析】令1t x =-，则8290129(1)(1)t t a a t a t a t +-=++++ ，故3322688C (1)C (1)28a =-+-=-，故答案为：28-.考点5二项式系数性质的应用【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若(nx的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A ．8n =B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大【答案】BC【解析】由题意，nx⎛⎝的二项展开式共有8项，可得7n =，所以A 错误；根据二项式展开式二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为72128=，所以B 正确；根据展开式中二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，所以C 正确；由7(x展开式的第4项为534327(35C x x =-，第5项为4347(35C x x =，所以展开式中第4项与第5项系数不相等，所以D 错误.故选：BC.【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论：(1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；(2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数最大的项的求法求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展得出系数最大的项．考点6二项式定理的实际应用【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．【解析】(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C110·109＋C210·108＋…＋C910·10＋1)－1＝1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C092·10092－C192·10091·9＋C292·10090·92－…＋C9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C092·1092－C192·1091＋…＋C9092·102－C9192·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过20212天后是（）A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六【答案】D【解析】2021201967367306731672672673673673673673242484(71)4(777)C C C C =⨯=⨯=⨯+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为67367344C =，故经过20212天后是是星期六，故选：D ．【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）20232023的个位数字为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】因为()20232023202332020+=0202301202212202122023020232023202320232023C 32020C 32020C 32020C 32020=⨯+⨯+⨯++⨯ ，而1220232020,2020,,2020 个位数均为0，所以20232023的个位数字与02023020232023C 320203⨯=相同，而()1011202320221011333393101=⨯=⨯=⨯-()()()()1101010110101111010101011011010111011101110113C 1013C 1013C 1013C 101=⨯⨯-+⨯⨯-++⨯⨯-+⨯⨯- 因为22101110,10,,10 个位数均为0，所以20233的个位数字与()()101010111010110110101110113C 1013C 1013101110330327⨯⨯-+⨯⨯-=⨯⨯-=相同，故20232023的个位数字为7.故选：B考点7几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是()A．25B．30C．35D．40【答案】C【解析】法一：(1＋x)n的通项公式T r＋1＝C r n x r中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C33＋C34＋C35＋C36＝C45＋C35＋C36＝C46＋C36＝C47＝35．法二：多项式可化为1－1＋x71－1＋x＝x＋17－1x，二项式(x＋1)7的通项公式为T r＋1＝C r7x7－r,7－r＝4⇒r＝3，含x3项的系数为C37＝35．故选C．【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．考点8几个多项式积展开式中特定项（系数）问题【例8】1．已知()()5234560123456211x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++，则3a 的值为（）A ．10B ．10-C ．30D ．30-【答案】B【审题】根据()()()()555211211x x x x x +=+---，结合二项式定理求解即可.【解析】因为()()()()555211211x x x x x +=+---，()51x -展开式第1r +项()()55155C 1C 1rrr rrr r T x x --+=-=-，当3r =时，()332352C 120x x x ⋅-=-，当2r =时，()22335C 110x x -=，故33333201010a x x x x -+==-，即310a =-.故选：B【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．【变式8-1】在()()253x y x y -+的展开式中，34x y 的系数是（）考点9三项式展开式中特定项（系数）问题则()821x y +-的展开式中含2xy 项的系数为7181C C 56-=-.故答案为：56-【变式9-3】()521x y ++展开式中24x y 的系数为________（用数字作答）.【答案】30【解析】()521⎡⎤++⎣⎦x y 展开式通项为()55211C -+=+rr r r T x y ，{}0,1,2,3,4,5r Î，当2r =时()32425C 1=+T x y ，由()301223333331C +C +C +C +=x x x x 得2x 的系数为3，故24x y 的系数为25C 330⨯=.故答案为：30.1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若()()()()()()55432151101101511x a x x x x x +=+-+++-+++-，则=a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】()()()()()5432151101101511+-+++-+++-x x x x x ()()()()()()()()()()54322345012340555555C 1C 11C 11C 11C 511C 1=+++-++-++-++-+-x x x x x ()55=11=+-⎡⎤⎣⎦x x则=+x a x ，即0a =.故选：B2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【解析】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.。
二项式定理高考题型归类及求解二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。
本文就近年来的高考试题中二项式定理题型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。
一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。
1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。
2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。
解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。
故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。
4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。
解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。
例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。
解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。
要求层次重难点二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题B二项式定理①能用计数原理证明二项式定理．②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C*n n n r n r r n nn n n na b a a b a b b n--+=+++++∈N，．2．通项公式：展开式的第1r+项1C0r n r rr nT a b r n-+=，≤≤．3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12nk+<时，二项式系数C kn是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n是偶数时，中间项最大；n是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C2n nn n n+++=．（二）典例分析【例1】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例2】64(1)(1)x x-+的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例3】610341(1)(1)xx++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例4】在25(42)x x++的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例5】在25(42)x x++的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．例题精讲高考要求二项式定理板块一：二项式展开的通项与系数【例6】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例7】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例8】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例9】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例10】 若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_______（用数字作答）．【例11】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例12】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例13】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例14】 若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例15】 在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例16】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例17】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例18】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例19】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例20】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例21】 已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例22】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）【例23】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例24】 已知5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等cos θ= ．【例25】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例26】 设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例27】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k = ．【例28】 已知10()n n ∈N ≤，若nxx )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例29】 求26(1)x x +-展开式中5x 的系数．【例30】1003(23)+的展开式中共有_______项是有理项．【例31】 64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_______（用数字作答）．【例32】 610341(1)(1)x x++展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例33】 在25(42)x x ++的展开式中，x 的系数为_______（用数字作答）． 【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，2x 的系数为_______（用数字作答）．【变式】 在25(42)x x ++的展开式中，3x 的系数为_______（用数字作答）．【例34】 求294(31)(21)x x x +-+展开式中含2x 项系数．【例35】 51(2)2x x++的展开式中整理后的常数项为 （用数字作答）．【例36】 281(12)()x x x+-的展开式中常数项为 （用数字作答）【例38】 在26(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，2x 项的系数是 ．（用数字作答）【例39】 2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数等于________．（用数字作答）【例40】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求ab的取值范围．【例41】 若31(2)n x x+的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于 ．【例42】 在2()n x x+的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于 （用数字作答）【例43】 21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n = ．【例44】 已知231(1)()n x x x x+++的展开式中没有常数项，n ∈*N ，且28n ≤≤，则n =______．【例45】 291()2x x -展开式中9x 的系数是_______（用数字作答）．【例46】 1231()x x-展开式中的常数项为_______（用数字作答）．【例47】 在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（ ）．A ．−14B ．14C ．−28D ．28【例48】 已知2()n i x x-的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （用数字作答）【例49】 在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）（A ）15- （B ）85 （C ）120- （D ）274【例50】 在56789(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x -+-+-+-+-的展开式中，含3x 项的系数是 （用数字作答）【例51】 若261()x ax +的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________．（用数字作答）【例52】 设常数0a >，241()ax x+展开式中3x 的系数为32，则a ＝_____．【例54】 已知10()n n ∈N ≤，若nx x )1(23-的展开式中含有常数项，则这样的n 有（ ） A ．3个 B ．2 C ．1 D ．0【例55】 （2009浙江4）在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例56】 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为______；各项系数之和为______．（用数字作答）【例57】34(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是______，2x 的系数为______． 【例58】 关于二项式2005(1)x -有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是1：②该二项展开式中第六项为619992005C x； ③该二项展开式中系数最大的项是第1003项与第1004项； ④当2006x =时，2005(1)x -除以2006的余数是2005．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例59】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_____，其展开式中的常数项为______．（用数字作答）其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【例60】 411(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开中含2x 的项的系数为（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【例61】 求二项式1532x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）； ⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【例62】 1231x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）【例63】 若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_________，其展开式中的常数项为___________．（用数字作答）【例64】 已知()π0sin cos a x x dx =+⎰，则二项式61a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 展开式中含2x 项的系数是 ．【例65】 设()5nx x-的展开式的各项系数之和为M ， 二项式系数之和为N ，若240M N -=， 则展开式中3x 的系数为（ ）A ．150-B ．150C ．500-D ．500【例66】 ()()6411xx -+的展开式中x 的系数是（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ． 4【例67】 若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = （用数字作答）．【例68】6260126(1)x a a x a x a x -=++++，则0a +126a a a +++=______．【例69】 若在二项式10(1)x +的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是_____．【例70】 在261(2)x x-的展开式中常数项是______，中间项是________．【例71】 在7(1)ax +的展开式中，3x 的系数是2x 的系数与4x 的系数的等差中项，若实数1a >，那么_______a =．【例72】 令n a 为1()(1)n n f x x +=+的展开式中含1n x -项的系数，则数列1{}na 的前2009项和为______．【例73】 已知lg lg 2(21)x n x ++展开式中最后三项的系数的和是方程2lg(7272)0y y --=的正数解，它的中间项是42lg 210+，求x 的值．【例74】 二项式1532()x x-的展开式中：⑴求常数项；⑵有几个有理项； ⑶有几个整式项．【例75】 在()11332x x⋅-⋅的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p ，则1p x dx =⎰A ．1B ．67 C ．76 D ．1113【例76】 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【例77】 已知26(1)kx +（k 是正整数）的展开式中，8x 的系数小于120，则k =______．【例78】 若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x 项的系数为_______．【例79】 在二项式412nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．【例80】 求()()31011x x -+展开式中5x 的系数；【例81】 求612x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项．【例82】 在312nx x ⎛⎫⎪⎝⎭+的展开式，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．（用数字作答）【例83】 在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5【例84】 6122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是 （用数字作答）【例85】6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ） A ．20B ．40C ．80D ．160【例86】4()x y y x -的展开式中33x y 的系数为 ．【例87】 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的第二项与第三项的系数比是1:2，则n =________．【例88】 若n x )2(+展开式的二项式系数之和等于64，则第三项是 ．【例89】 522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是________；其展开式中各项系数之和为_______．（用数字作答）【例90】 在2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．6 Ｃ．9 Ｄ．12【例91】 已知a 为实数，10()x a +展开式中7x 的系数是15-，则a =_______．【例92】 求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中含3x 的项的二项式系数与系数．【例93】 1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的第5项为常数项，那么正整数n 的值是 ．【例94】 二项式41nx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例95】10()x y -的展开式中，73x y 的系数与37x y 的系数之和等于__________．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．板块二：二项式系数与最值（二）典例分析展开式【例1】 求51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式．【例2】 若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ） A ．45B ．55C ．70D ．80二项式系数的和【例3】 若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例4】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例5】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为_____（用数字作答）．【例6】 若52345012345(2)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则12345a a a a a ++++=_____．【例7】 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求017||||||a a a +++．【例8】 若()72345670123456712x a a a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求0246a a a a +++的值．【例9】 若423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）．【例10】 设5432()5101051f x x x x x x =-+-++，则1()f x -等于（ ）A ．51x +B ．512x --C ．512x +-D ．51x -【例11】 若1002100012100(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则13599a a a a ++++=（ ）A ．1001(31)2-B ．1001(31)2+C ．1001(51)2-D ．1001(51)2+【例12】 已知()77012712x a a x a x a x -=++++，求：⑴ 1237a a a a ++++；⑵ 1357a a a a +++； ⑶ 0246a a a a +++．【例13】 若()10023100012310023xa a x a x a x a x -=+++++，求()()22024********a a a a a a a a ++++-++++的值．【例14】 若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=________．（用数字作答）【例15】 若201(1)(1)(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x ++++++=+-+-，则01n a a a ++= ．【例16】 若()2009200901200912x a a x a x -=+++，则20091222009222a a a +++的值为（ ） A ．0B ．2C ．1-D ．2-最值问题【例17】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例18】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例19】 12()m n ax bx +中，a b ，为正实数，且200m n mn +=≠，，它的展开式中系数最大的项是常数项，求a的取值范围．【例20】 如果232(3)nx x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_______（用数字作答）．【例21】20(23)x +展开式中系数最大的项是第几项？【例22】 二项式(1sin )n x +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为52，则x 在(0,2π)内的值为___________．【例23】 已知1()2n x x+的展开式中前三项的系数成等差数列．⑴求n 的值；⑵求展开式中系数最大的项．【例24】 已知(13)n x +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【例25】 在132nx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是____．A ．7-B ．7C ．28-D ．28【例26】 (12)n x +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【例27】 已知lg 8(2)x x x +的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x ．【例28】 求10312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．【例29】 已知3241nx x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭展开式中的倒数第三项的系数为45，求： ⑴含3x 的项； ⑵系数最大的项．【例30】 设m n +∈N ，，1m n ，≥，()(1)(1)m n f x x x =+++的展开式中，x 的系数为19．⑴求()f x 展开式中2x 的系数的最大、最小值；⑵对于使()f x 中2x 的系数取最小值时的m 、n 的值，求7x 的系数．（一）知识内容1．二项式定理：011()C C C C *n n n r n r rn nn n n n a b a ab a b b n --+=+++++∈N ，． 2．通项公式：展开式的第1r +项1C 0r n r rr n T ab r n -+=，≤≤． 3．杨辉三角．4．二项式系数的性质：⑴在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等；⑵当12n k +<时，二项式系数C k n 是逐渐递增的，它的后半部分是逐渐递减的．n 是偶数时，中间项最大；n 是奇数时，中间两项相等且最大．⑶二项式系数之和：01C C C 2nn n n n +++=．（二）典例分析【例1】 计算()50.997的近似值（精确到0.001）．()()550.99710.003=-2150.003100.003=-⨯+⨯-【例2】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．【例3】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例4】 证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例5】 证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．板块三：二项式定理的应用【例6】 求证：021222()()()C C C C n nn n n n +++=【例7】 证明：mm k 0C C 2C n m k mn k n n --==∑【例8】 求证：121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅【例9】 证明：n nkn k n k k n n +=--=++++∑20123C (1)(2)(1)(2)．【例10】 证明：220C (1)2nk n n k k nn -==+∑．【例11】 n ∈N 且3n ≥，求证：()323238.n n n n ->++【例12】 求证：()()()21sin 1sin *nnn n θθ++-∈N ≥【例13】 求证：()()()()21221*nnnn n n n ++-∈N ≥【例14】 已知：1x y x y +=∈R ，，，求证：112n n n x y -+≥，(*)n ∈N【例15】 0*a b a b n ∈+∈R N 、，，≥，求证：()22n n na b a b ++≥11n n n n na ab ab b a b --++⋯+++【例17】 设数列{}n a 是等比数列，311232C mm m a +-=Α，公比q 是421()4x x +的展开式的第二项． ⑴用n x ，表示通项n a 与前n 项和n S ；⑵若1212C C C nn n n n n A S S S =+++用n x ，表示n A【例18】 已知数列0123a a a a ，，，，（00≠a ）满足：112(123)i i i a a a i -++==，，， 求证：对于任意正整数n ，【例19】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是 ．【例20】 求证：()2223n n n n +∈N ，≥≥【例21】 对于*n ∈N ，111(1)(1)1n n n n ++<++．【例22】 求证：12(1)3*n n n+<∈N ，≤【例23】 若()5122a b +=+（a ，b 为有理数），则a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【例24】 若0()C ni i n i f m m ==∑，则22log (3)log (1)f f 等于（ ）1【例25】 请先阅读：在等式2cos 22cos 1()x x x =-∈R 的两边求导得2(cos 2)(2cos 1)x x ''=-，由求导法则得(sin 2)24cos (sin )x x x -⋅=⋅-，化简得sin22sin cos x x x =．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式012211(1)C C C C C n n n n nn n n n n x x x xx --+=+++⋅⋅⋅++（x ∈R ，整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑； ⑵对于整数3n ≥，求证：1(1)C 0nk k n k k =-=∑．⑶对于整数3n ≥，求证①21(1)C 0nkknk k =-=∑；②10121C 11n nkn k k n +=-=++∑．【例26】 已知23*0123(1)(1)(1)(1)(1)(2,)n n n x a a x a x a x a x n n +=+-+-+-++-∈N ≥．⑴当5n =时，求012345a a a a a a +++++的值； ⑵设22343,2n n n n a b T b b b b -==++++．试用数学归纳法证明：当2n ≥时，(1)(1)3n n n n T +-=．【例27】 已知函数()f x 满足()()ax f x b f x ⋅=+（0ab ≠），(1)2f =，并且使()2f x x =成立的实数x 有且只有一个．⑴求()f x 的解析式；⑵若数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 满足132a =，当2n ≥时，2()n nS n f a -=，求数列{}n a 的通项公式．⑶在⑵的条件下，令112log (1)n n d a +=-（d ∈N ），求证：当3n ≥时，有1210121C C C C 3C 41n n nn n n n n n d d d d n --+++++>-+．【例28】 已知,,i m n 是正整数，且1i m n <<≤，⑴证明A A i i i i n m m n >；⑵证明(1)(1)n m m n +>+．【例29】 在二项式()1nx +的展开式中，存在着系数之比为57∶的相邻两项，则指数()*n n ∈N 的最小值为 ．【例30】 100111-的末尾连续零的个数是 （ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【例31】 设2a i =+，求11212121212121A C a C a C a =-+-+【例32】 设()()21*174n n ++∈N 的整数部分和小数部分分别为nM与n m ，则()n n n m M m +的值为 ．。
高中数学二项式定理的应用-证明整除货求余数练
习题
1．二项式定理
⑴二项式定理
()()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N
这个公式表示的定理叫做二项式定理．
⑵二项式系数、二项式的通项
011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n
a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．
⑶二项式展开式的各项幂指数
二项式()n
a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是
①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．
②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．
⑷几点注意
①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n
b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．
知识内容
③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可
为负．
④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11r
r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n
T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r
r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．
⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，
只要知道其中四个即可求第五个元素．
⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．
2．二项式系数的性质
⑴杨辉三角形：
对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．
杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．
当6n =时，()f r 的图象为下图：
这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．
②增减性与最大值
如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112
n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123
n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()
()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1k n n n n n k n k C k k ---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，
1n n C =．
其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首
末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．
当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n n C ．
当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．
这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1
122n n n n C C -+=．
③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n n
n n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即
0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．
常见题型有：
求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．
二项式定理的应用1证明整除或者求余数
【例1】 利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．
典例分析
【例2】 若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．
【例3】 证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．
【例4】 证明：2121(1(1(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．
【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；
⑵555515+除以8的余数是__________；
⑶20001991除以310的余数是 ．
【例6】 100111-的末尾连续零的个数是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2。
