相似三角形中考题题型类

中考数学专题练习：相似三角形一、选择题1.如图，将图形用放大镜放大，应该属于()A .平移变换B .相似变换C .旋转变换D .对称变换2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC .若BD ＝2AD ，则()A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝123.(2019•雅安)若34a b =∶∶，且14a b +=，则2a b -的值是A ．4B ．2C ．20D ．144.（2020·河南）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为()A.(32，2) B.(2，2) C.(114，2) D.(4，2)5.(2019•重庆)下列命题是真命题的是A ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3B ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9C ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3D ．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶96.(2019•巴中)如图 ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使13DE AD =∶∶，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△=A ．2∶3B ．3∶2C ．9∶4D ．4∶97.（2020·威海）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l 3，l 4，l 2，l 1上．若直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4且间距相等，AB ＝4，BC ＝3，则tan α的值为（）A ．B ．C ．D ．8.（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC 是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE ∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE 只算一个)，这样的格点三角形一共有（）个 D.7个B二、填空题9.（2020·盐城）如图，//,BC DE 且,4,10BCDE AD BC AB DE <==+=，则AEAC的值为．10.（2020·吉林）如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若ADE的面积为12．则四边形DBCE 的面积为_______．11.(2019•大庆)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE相交于点G ，若DG=1，则AD=__________．12.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，D ，E 为边AB 的三等分点，////EF DG AC ，H 为AF 与DG 的交点.若6AC =，则DH =_________.13.(2020·绥化)在平面直角坐标系中，△ABC和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(2，4)，则其对应点A 1的坐标是______．14.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15.(2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO CO ，分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为(86)-，，点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足PBE △∽CBO △，当APC △是等腰三角形时，P 点坐标为__________．16.(2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE △是直角三角形时，则CD 的长为__________．三、解答题17.如图，过☉O 外一点P 作☉O 的切线PA ，切☉O 于点A ，连接PO 并延长，与☉O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC ，CM.(1)求证:CM 2=MN ·MA ;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM 的长.18.如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长．19.（2020·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边上，连接AE ，DAE ∠的平分线AG 与CD 边交于点G ，与BC 的延长线交于点F ．设()0CEEBλλ=>．（1）若2AB =，λ＝1，求线段CF 的长．（2）连接EG ，若EG AF ⊥，①求证：点G 为CD 边的中点．②求λ的值．20.（2020·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心.如图G 是ABC ∆的重心.求证：3AD GD =.21.（2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC ABAB AC=，那么称点B为线段AC的黄金分割点..（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E （AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图①图②图③22.（2020•丽水）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.23.如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．24.在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∵BD ＝2AD ，∴AD AB ＝AEAC＝13，∴AE EC ＝12，故选B .3.【答案】A【解析】由a ∶b =3∶4知34b a =，所以43a b =．所以由14a b +=得到：4143aa +=，解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选A ．4.【答案】B【解析】∵点A ，B 的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，设正方形与x 轴的两个交点分别为G 、F ，∵EF ⊥x 轴，EF=GF=DG=2，∴EF ∥AC ，D ，E 两点的纵坐标均为2，∴EF BF AC BC =，即269BF=，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴D 点的横坐标为2，∴点D 的坐标为(2，2)．5.【答案】B【解析】A 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；B 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；C 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；D 、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，故选B ．6.【答案】D【解析】设DE x =，∵13DE AD =∶∶，∴3AD x =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，3BC AD x ==，∵点F 是BC 的中点，∴1322CF BC x ==，∵AD BC ∥，∴DEG CFG △∽△，∴224()()392DEG CFG S DE x S CF x ===△△，故选D ．7.【答案】：作CF ⊥l 4于点F ，交l 3于点E ，设CB 交l 3于点G ，由已知可得，GE∥BF ，CE ＝EF ，∴△CEG ∽△CFB ，∴，∵，∴，∵BC ＝3，∴GB，∵l 3∥l 4，∴∠α＝∠GAB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，∴∠ABG ＝90°，∴tan ∠BAG ，∴tan α的值为，故选：A．8.【答案】A【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：B因此本题选A ．二、填空题9.【答案】2【解析】∵BC ∥DE ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AE AD DEAC AB BC ==，设DE ＝x ,则AB ＝10－x ∵AD ＝BC ＝4，∴4104AE x AC x ==-，∴x 1＝8,x 2＝2(舍去)，824AE AC ==，此本题答案为2．10.【答案】32【解析】 点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，1//,2DE BC DE BC ∴=ADE ABC∴ 21()4ADE ABC S DE S BC ∴==△△，即4ABC ADES S =△△又12ADE S =，1422ABC S ∴=⨯= 则四边形DBCE 的面积为13222ABC ADE S S -=-= .故答案为：32．11.【答案】3【解析】∵D 、E 分别是BC ，AC 的中点，∴点G 为△ABC 的重心，∴AG=2DG=2，∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为：3．12.【答案】1【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，∴BE=ED=AD=13AB.∵////EF DG AC ，∴123EF AC ==∴112DH EF ==.13.【答案】(－4，－8)或(4，8)【解析】∵△ABC 和△A1B1C1的相似比等于12，∴△A1B1C1和△ABC 的相似比等于2．因此将点A(2，4)的横、纵坐标乘以±2即得点A1的坐标，∴点A1的坐标是(－4，－8)或(4，8)．14.【答案】78【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15.【答案】326()55-，或(43)-，【解析】∵点P 在矩形ABOC 的内部，且APC △是等腰三角形，∴P 点在AC 的垂直平分线上或在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上；①当P 点在AC 的垂直平分线上时，点P 同时在BC 上，AC 的垂直平分线与BO 的交点即是E ，如图1所示，∵PE BO ⊥，CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，，∴点P 横坐标为﹣4，6OC =，8BO =，4BE =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE CO BO =，即468PE =，解得：3PE =，∴点(43)P -，．②P 点在以点C 为圆心AC 为半径的圆弧上，圆弧与BC 的交点为P ，过点P 作PE BO ⊥于E ，如图2所示，∵CO BO ⊥，∴PE CO ∥，∴PBE △∽CBO △，∵四边形ABOC 是矩形，A 点的坐标为(86)-，，∴8AC BO ==，8CP =，6AB OC ==，∴22228610BC BO OC =+=+=，∴2BP =，∵PBE △∽CBO △，∴PE BE BP CO BO BC ==，即：26810PE BE ==，解得：65PE =，85BE =，∴832855OE =-=，∴点326(55P -，，综上所述：点P 的坐标为：326(55-，或(43)-，，故答案为：326()55-，或(43)-，．16.【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠，∴AEF EBD △∽△，∴AF EFED BD=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =，综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17.【答案】解:(1)证明:∵在☉O 中，点M 是半圆CD 的中点，∴∠CAM=∠DCM ，又∵∠CMA 是△CMN 和△AMC 的公共角，∴△CMN ∽△AMC ，∴=，∴CM 2=MN ·M A .(2)连接OA ，DM ，∵PA 是☉O 的切线，∴∠PAO=90°，又∵∠P=30°，∴OA=PO=(PC +CO ).设☉O 的半径为r ，∵PC=2，∴r=(2+r )，解得r=2.又∵CD 是直径，∴∠CMD=90°，∵点M 是半圆CD 的中点，∴CM=DM ，∴△CMD 是等腰直角三角形，∴在Rt △CMD 中，由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2，∴2CM 2=(2r )2=16，∴CM 2=8，∴CM=2.18.【答案】解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等．(写出两对即可)以下证明△AMF ∽△BGM.由题知∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，而∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ，∴△AMF ∽△BGM.(2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ，∵M 为AB 中点，∴AM ＝BM ＝2 2.由△AMF ∽△BGM 得，AF·BG ＝AM·BM ，∴BG ＝83.又AC ＝BC ＝42cos 45°＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1，∴FG ＝（43）2＋12＝53.19.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，∴∠DAF ＝∠F ．∵AG 平分∠DAE ，∴∠DAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠F ，∴EA ＝EF ．∵λ＝1，∴BE ＝EC ＝1．在Rt △ABE 中，由勾股定理得EA ，∴CF ＝EF －EC －1．（2）①∵EA ＝EF ，EG ⊥AF ，∴AG ＝GF ．又∵∠AGD ＝∠FGC ，∠DAG ＝∠F ，所以△DAG ≌△CFG ，∴DG ＝CG ，∴点G 为CD 边的中点．②不妨设CD ＝2，则CG ＝1．由①知CF ＝AD ＝2．∵EG ⊥AF ，∴∠EGF ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠FCG ，∠EGC ＋∠CGF＝90°，∠EGC ＋∠GEC ＝90°，∴∠CGF ＝∠GEC ，∴△EGC ∽△GFC ，∴ECCG ＝CG CF ＝12，∴EC ＝12，∴BE ＝32，∴λ＝13．20.【答案】证明：连接DE ，∵点G 是△ABC 的重心，∴点E 和点D 分别是AB 和BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC 且DE=12AC ，∴△DEG ∽△ACG ，∴2AG AC DG ED ==，∴2AG GD =∴AD=3DG ，即AD=3GD ．21.【答案】解：（1）10-.解：∵ABAC=，AC=20，∴AB=10-.（2）延长CG 交DA 的延长线于点J ，由折叠可知：∠BCG=∠ECG ，∵AD ∥BC ，∴∠J=∠BCG=∠ECG ，∴JE=CE.由折叠可知：E 、F 为AD 、BC 的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：==,∴EJ=AJ=JE-AE=-10，∵AJ ∥BC ，∴△AGJ ∽△BGC，∴AG AJ BG BC ===,∴G 是AB 的黄金分割点.（3）PB=BC ，理由如下：∵E 为AD 的黄金分割点，且AE>DE ，∴AE=12 a.∵CF ⊥BE ，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA 和△CFB 中，∵90ABE FCB AB BCA FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△BEA ≌△CFB ，∴a.∴12AF BF BF AB ==,∵AE ∥BP ，∴△AEF ∽△BPF,∴AE AF BF PB BF AB==,∵AE=BF,∴PB=AB ，∴PB=BC.22.【答案】解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D．在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin45°＝44．（2）①如图2中，∵△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝EP ，∵AE ＝EB ，∴BE ＝EP ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠PEB ＝90°，∴∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC，∵PF ⊥AC ，∴∠PFA ＝90°，∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴AP AF＝2．23.【答案】(1)证明：∵PF切⊙O于点C，CD是⊙O的直径，∴CD⊥PF，又∵AF⊥PC，∴AF∥CD，∴∠OCA＝∠CAF，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC平分∠FAB，CF⊥AF，CE⊥AB，∴CF＝CE，∵CFCP＝34，∴CECP＝34，设CE＝3k，则CP＝4k，∴BC2＝3k·4k＝12k2，∴BC＝23k，在Rt△BEC中，∵sin∠EBC＝CEBC＝3k23k＝32，∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.24.【答案】【思路分析】(1)因为点C 是x 轴上的一动点，且∠ACB ＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C 必在以AB 为直径的圆上，所以以AB 为直径画圆，与x 轴相交于两点，除点C 的另一点就是所求；(2)因为∠ACB ＝90°，∠AOC ＝90°，所以过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m 2－5m ＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A 的横坐标与点B 的横坐标的和的相反数；常数项是点A 的纵坐标与点B 的纵坐标的积，先把方程ax 2＋bx ＋c ＝0，化为x 2＋b a x ＋ca＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P 、Q 两点分别在AD 、BD 上，过P 、Q 分别作x 轴垂线，垂足为M 、N ，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．图①图②(1)解：如解图①，先作出AB 的中点O 1，以O 1为圆心，12AB 为半径画圆．x 轴上另外一个交点即为D 点；(4分)(2)证明：如解图①，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDE ＝90°，∵∠OAD ＋∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝∠BDE ，∵∠AOD ＝∠DEB ＝90°，∴△AOD ∽△DEB ，(6分)∴AO DE ＝OD EB ，即15－m ＝m2，∴m 2－5m ＋2＝0，∴m 是x 2－5x ＋2＝0的一个实根；(8分)(3)解：(0，1)，(－b a，c a )或(0，1a )，(－ba ，c )；(10分)(4)解：在解图②中，P 在AD 上，Q 在BD 上，过P ，Q 分别作x 轴的垂线交x轴于M ，N.由(2)知△PMD ∽△DNQ ，∴n 1m 2－x ＝x －m 1n 2，(12分)∴x 2－(m 1＋m 2)x ＋m 1m 2＋n 1n 2＝0与ax 2＋bx ＋c ＝0同解，∴－b a ＝m 1＋m 2；ca＝m 1m 2＋n 1n 2.(14分)【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB ＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m 的等量关系，从而使问题得以解决．。

选择题在△ABC和△DEF中，若△A = △D，AB/DE = AC/DF，则下列结论正确的是：A. △ABC △ △DEFB. △ABC和△DEF不一定相似C. △ABC和△DEF仅在一种情况下相似D. △ABC △ △DEF（正确答案）已知△PQR中，PQ = 6，QR = 8，RP = 10，且△STU中，ST/PQ = SU/QR = 3/4，则：A. △PQR与△STU的周长比为4:3B. △PQR与△STU的面积比为3:4C. △PQR与△STU是等腰三角形D. △PQR △ △STU且相似比为4:3（正确答案）下列哪组条件不能判定两个三角形相似？A. 两角分别相等B. 三边对应成比例C. 两边对应成比例且夹角相等D. 两边对应成比例且一边的对角相等（正确答案）在△ABC和△A'B'C'中，若AB/A'B' = BC/B'C'且△B = △B'，则：A. △A = △A'且△C = △C'（正确答案）B. △A = △C'且△C = △A'C. △A与△A'、△C与△C'均不相等D. 无法确定△A、△C与△A'、△C'的关系已知△MNO与△XYZ相似，且MN = 2，NO = 3，MO = 4，XY = 6，则YZ的长度为：A. 8B. 9（正确答案）C. 10D. 12下列关于相似三角形的性质，错误的是：A. 相似三角形的对应角相等B. 相似三角形的对应边成比例C. 相似三角形的面积比等于对应边长的平方比D. 相似三角形的周长比等于对应边长的立方比（正确答案）在△GHK和△LMN中，若GH/LM = HK/MN，且△G = △L，△H = △M，则：A. △GHK与△LMN仅面积相等B. △GHK与△LMN仅周长相等C. △GHK与△LMN全等D. △GHK △ △LMN且全等方面也成立（正确答案，但更严谨的表述应为“△GHK △ △LMN”）已知△ABC中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，△DEF中，DE = 10，EF = 12，且△A = △D，则：A. DF = 15且△ABC △ △DEFB. DF = 14且△ABC与△DEF不全等C. DF = 16且△ABC △ △DEFD. DF = 14且△ABC △ △DEF（正确答案）下列哪组条件足以证明△PQR与△STU相似，但不需要额外条件即可直接判定？A. △P = △S，△Q = △TB. PQ/ST = QR/TU，且QR = 2PTC. PQ/ST = QR/TU = RP/SU（正确答案）D. △P = △S，PQ/ST = RP/SU且QR ≠ TU。

专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。

中考数学专题相似形（共40题）1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD 于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．18．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G 在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC 交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24．已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．25．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．26．如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD于E、F，交BD于H、G．（1）求证：AD2=BG•DH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG．27．如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C运动的过程中，∠CFE的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．28．如图，在△ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC于点M，N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN的长为（用含n的代数式表示）．29．如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A、D、G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE交OG于点H．（1）求证：∠DAE=∠DCG．（2）求线段HE的长．30．如图，△ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且∠1=∠2=∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．32．如图，正方形ABCD中，边长为12，DE⊥DC交AB于点E，DF平分∠EDC 交BC于点F，连接EF．（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF的长．33．如图，已知在△ABC中，P为边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求证：AC•MN=BN•AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP的长．34．如图，已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．35．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP △PCD（填“≌”或“～”）；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC的面积是．37．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB 上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q．（1）求AO的长；（2）求PQ的长；（3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．38．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．39．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．40．如图，四边形中ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K．求证：K是线段MN的中点．参考答案与试题解析（共40题）1．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．②当点E在BA延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB=．综上所述，PB的长为或．2．如图，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：①GM=2MC；②AG2=AF•AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE和Rt△DBE中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G作GH∥AD交BC于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过C作CN⊥AC交AD的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．3．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=4．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF ⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG与△DCE中，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE，（2）设CG=1，∵G为CD的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE==，∴GF=，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴=，∴BH=，GH=，∴=5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AE=BF．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．7．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3，∴BC=6．8．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如图，连接DF，∵DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF和△DCF中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；（3）CE=4．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴=，即EF2=AF•GF，∵AF•GF=28，∴EF=2，∴CE=2EF=4．9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图1，过点D作DF⊥BC，交AB于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE和△FDA中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD．10．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD 于点F，过点F作直线FG⊥DE于点G，交AB于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P运动的时间为t，①求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB是等腰三角形时t的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿D→C→B向终点B运动，∴（秒）；②若PR=PB，过点P作PK⊥AB于K，设FA=x，则RK=BR=（2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：=，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t=（秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP=AB=×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒．11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的边长为1；（2）CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO为△AFC的中位线∴EO∥BC∴∴在Rt△AEN中，OA=OC∴EO=OC=AC，∴CM=EM∵CE平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，∴CN=CM，即CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵CE平分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，∴EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，∴，∴CN=2CM．12．将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1中△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多少？（3）将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ=a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2中△A1B1C绕点C顺时针旋转30°到△A2B2C时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．13．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P作PG⊥x轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC ﹣S△PBE﹣S△QCE==∴当（在0≤t≤5内），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC ∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ是等腰三角形．14．△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？【解答】解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；（2）设AD=x，AE=6﹣x，=AD•AE•sinA=3，∵S△ADE即：x（6﹣x）•=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD=；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∴AD=b，AE=c，∴b c=（a+b+c），∴=﹣1．15．已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND为矩形；理由如下：∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，∴∠AMB=22.5°，∴∠BAM=∠AMB，∴AB=BM，同理AD=DN，∵AB=AD，∴BM=DN，∵四边形ABCD是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN+∠DBM=180°，∴BM∥DN∴四边形BMND为平行四边形，∵∠BDN=90°，∴四边形BMND为矩形．16．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．【解答】（1）证明：如图1所示，∴D，E分别为AB，BC中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DM=EF，如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG；（2）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．17．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，即D E•CD=DF•BE；（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，∴，∵D为BC中点，∴BD=CD，∴=，∵∠B=∠EDF，∴△BDE～△DFE，∴∠BED=∠DEF，∴ED平分∠BEF；②∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF=∠DEF，∵∠BED=∠DEF，∴∠AEF=60°，∵AE=AF，∴∠BAC=60°，∵∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BED是等边三角形，∴BE=DE，∵AE=DE，∴AE=AB，∴=．18．如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E，且=，点G 在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，∴=，∵=，∴=，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P是边AC的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形．19．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点F为线段AD的中点，∴AF=DF，在△ABF与△DGF中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE为△ABC的中位线，∴DE=AB，CE=BC=AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG=AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴20．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC与△CEB中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC的中点G，连接GM，GN，∵M，N分别是BE，CD的中点，∴GM，GN是中位线，∴GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．21．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC 交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=1，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴=，=，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．22．如图（1），在△ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形．（2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB．∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，又∵BD=DC，∴AE=DC，又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形．（2）解：∵四边形ADCE是平行四边形，AC=6，∴AG=GC=3，又∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴==，∴AF=2，∴FG=AG﹣AF=1．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．。