北师大版八年级下册第一章第一节等腰三角形 PPT

D
60°
A120°BCDE
拓展提升
如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。
（1）分别在AB,AD中点E,F处拉两根彩线
A
EC,FC,证明：这两根彩线长度相等。
E
F
（2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
根彩线长度相等吗？
B
D
如果AE= AB,AF= AD.那么这两根彩线长 度相等吗？
1．等腰三角形的顶角为40°，则两个 底角为 70°70°．
2.已知等腰三角形腰长为5，底边长为6，
则底边上的中线长等于 4
．
定理: 等腰三角形的两个底角相等.
推论: 等腰三角形顶角的平分线、底 边上的中线、底边上的高互相重合.
等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分 线（底边上的中线、底边上的高）所在 的直线是它的对称轴。
例1 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
E
BD、CE是△ABC的角平分线．
求证：BD=CE．
1
B
证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)
∵∠1= 1∠ABC，∠2= ∠1ACB，
2
2
∴∠1=∠2
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
3 3 如图，在风筝ABCD中，AB=AD,BC=DC。 1 等边三角形两条中线相交所成锐角的度数 AD= AC，AE= 1 AB呢?由此你得到什么结论? （2）如果AE= AB,AF= AD ,那 么这两
4 4 在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上

等腰三角形的对称轴。
1. 根据等腰三角形性质2填空, 在△ABC中， AB=AC，
(1) ∵AD⊥BC，∴∠_B_A__D_ = ∠__C_A__D，_B_D__=C__D__.
(2) ∵AD是中线，∴_A_D__⊥_B__C_ ，∠__B_A_D_ =∠__C_A__D.
(3) ∵AD是角平分线，∴_A__D_ ⊥__B_C_ ，__B_D__ =__C_D__.
2、有哪些相等的角？
∠ABC=∠ACB=∠BDC ∠ A=∠ABD 3、这两组相等的角之间还有什 么关系？
∠BDC=2∠ A
∠ABC+∠ACB+∠ A=180 °
已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 º, 过屋顶A的立柱
AD BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、
∠CAD的度数.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/232021/7/232021/7/232021/7/237/23/2021
❖ 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月23日星期五2021/7/232021/7/232021/7/23
让我们一起 走进美丽的数学世界
细心观察 积极探索 在观察中发现特点 在探索中提高能力
活动（一）：细心观察
活动（一）：细心观察
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共 同 特 点
❖
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/232021/7/23Friday, July 23, 2021

新课讲授
典例分析
例 如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形． 求证：AE＝CD.
分析：要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角 形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从 等边三角形中去寻找．
新课讲授
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°. AB＝CB， 在△ABE与△CBD中， ABE＝CBD， BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD(SAS)． ∴AE＝CD.
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
学习目标
等腰三角形中相等的线段 等边三角形的性质.（重点、难点）
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角. 2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
新课讲授
典例分析
例 求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写 出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和 三角形全等的知识证明．
新课讲授
解：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线， 求证：CE＝BD.
证明：∵AB＝AC，CE和BD分别是AB 和AC上的中线，
新课讲授
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？ 2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角 形的内角有什么特征呢?
新课讲授
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角 都等于60°.
新课讲授
典例分析
例 已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC. 求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°. ∵AB = AC， ∴∠ B = ∠ C (等边对等角). 又∵AC = BC， ∴∠A= ∠ B (等边对等角). ∴∠A= ∠ B = ∠ C. 在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°. ∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.

证明：有一个角等于600的等腰三角形是等
边三角形.
已知：如图，在 ABC中，AB AC，A 60 .
o
你 行 吗 ？
求证：ABC是等边三角形 .
情况二
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A 60o B C 120o (三角形内角和为 180o ) AB AC C B 60o (等边对等角 ) A B (等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形(等边三角形的定义 ).
C B 60o (等边对等角 ) A 60o (三角形内角和为 180o ) A B(等量代换) BC AC(等角对等边) AB BC AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
定理
在直角三角形中， 300角
所对的直角边等于斜边的一半.
如图，在RtABC中， A 30o 1 BC AB.(在直角三角形中， 2 30o 角所对的直角边等于斜 边的 一半)
2014年3月14日星期五 22:59:40
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
证明： A B BC AC(等角对等边) A C BC AB(等角对等边) BC AB AC(等量代换) ABC是等边三角形 (等边三角形的定义 ).
你 行 吗 ？
2014年3月14日星期五 22:59:40
2014年3月14日星期五 22:59:40

6.【例3】用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.
证明:①假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是直角, 则∠B＋∠C＝180°,则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. ②假设等腰三角形的底角∠B,∠C都是钝角, 则∠B＋∠C＞180°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°, 这与三角形内角和等于180°矛盾. 综上所述,假设①②错误, 所以∠B,∠C只能为锐角. 故等腰三角形两底角必为锐角.
对点训练
1.(北师8下P8、人教8上P77)如图,在△ABC中,∠B＝∠C,求 证:AB＝AC. (提示:添加辅助线,构造全等三角形)
证法一:如图1,作∠BAC的平分线,交BC于点D.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠B＝∠C,AD＝AD,
∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB＝AC.
解:(1)∵∠ABC＝∠ACB, ∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形. ∵BE＝BD＝BC, ∴△BCD,△BED是等腰三角形. ∴图中所有的等腰三角形有:△ABC,△BCD,△BED.
(2)∵∠AED＝114°,∴∠BED＝180°－∠AED＝66°. ∵BD＝BE,∴∠BDE＝∠BED＝66°. ∴∠ABD＝180°－66°×2＝48°. 设∠ACB＝x°,∴∠ABC＝∠ACB＝x°. ∴∠A＝180°－2x°. ∵BC＝BD,∴∠BDC＝∠ACB＝x°. 又∵∠BDC为△ABD的外角, ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD. ∴x＝180－2x＋48,解得x＝76.∴∠ACB＝76°.
等腰 三角形.
9.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,EF∥AD,交 AC于点E,交BA的延长线于点F,求证:△AEF是等腰三角形.

课堂小结
等边三角形的性质: 名 称 等 边 三 角 形 图 形 性 三条边都相等 质
A
B
三个角都相等，且都为 60° C 三线合一
轴对称图形，有三条对称轴
布置作业
1.从教材习题中选取 2.完成练习册本课时的习题
第2课时 等边三角形的性质
北师大版 八年级下册
复习旧知
名 称 等 腰 三 角 形 图 形
A
性
质
两腰相等
C
B

等边对等角 三线合一
轴对称图形
情景导入
一.情景导入，初步认知
问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角
平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等
的线段吗？
获取新知
二.思考探究，获取新知
探究 1.在等腰三角形中自主作出一些线段(如
E D
探究新知
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就 是底边与腰相等，这时，三角形三边相等。 等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
探究2.求证：等边三角形三个内角都相等并且每 个内角都等于60°. 已知：在△ABC中，AB=BC=AC． 求证：∠A=∠B=∠C=60°. 证明：在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C(等边对等角)． 同理：∠C=∠A， ∴∠A=∠B=∠C（等量代换）． 又∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A=∠B=∠C＝60°
【归纳结论】
等边三角形三个内角都相等并且每个内 角都等于60°.
等边三角形有“三线合一”的性质吗?为 什么? A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和 所对角的平分线都三线合一。
等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?

导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角 为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角 为40°或70°.
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线 互相重合. 2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是 证明角相等、边相等的重要方法.
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB ＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰 AC于点E，则下列结论一定正确的是( C ) A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D 为 BC的 中 点 ， ∠ BAD ＝ 35° ， 则 ∠ C 的 度 数 为 () A．35° B．45° C．55° D．60°
易错点拨
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为( D )
A．40°
B．55°
C．70°
D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和 底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况 而漏解．
课堂小结
1．知识方面： （1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
EF⊥AB，垂足为F.

2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
证明： AB AC ACB ABC (等边对等角) 1 1 ABD ABC，ACE ACB 4 4 ABD ACE(等量代换) 在ABD和ACE中
你 能 吗 ？
你能得到什么结论？
ABD ACE AB AC A A ABD ACE( ASA) BD CE (全等三角形的对应边相等)
公理.
两边及其夹角 对应相等的两个
三角形全等（SAS）.
知 识 回 顾
公理. 两角及其夹边 对应相等的两个
三角形全等（ASA）.
公理.
三边
对应相等的两个
三角形全等（SSS）. 定理 两角及其中一角的对边 对应相等 的两个三角形全等（AAS）.
2014年3月10日星期一 00:27:50
全等三角形的 对应角 相等.
2014年3月10日星期一 00:27:50
请作出等腰三角形各角的平分线，
你发现了什么？
探 索 新 等腰三角形两底角的平分线相等 . 知
你能证明这个结论吗？
2014年3月10日星期一 00:27:50
证明：等腰三角形两底角的平分线相 等.
已知：如图，在ABC中，AB AC， BD、CE是ABC的角平分线. 求证：BD CE.
2014年3月10日星期一 00:27:50
你 能 吗 ？
1 1 证明： AD AC，AE AB 2 2 AD AE (等量代换) 在ADB和AEC中 AD AE A A AB AC ADB AEC ( SAS ) BD CE (全等三角形的对应边相等)
你 行 吗 ？
2014年3月10日星期么？试证明你的结论.

1.等腰三角形
第3课时
既是性质又
1、等腰三角形是怎样定义的？ 是判定
A
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形.
②等腰三角形的两个底角相等(简写成
B DC
“等边对等角”) . ③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称为“三线合一”).
例2 如图，在△ABC 中， P 是BC 边上一点，过点P 作BC 的 垂线，交AB 于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQ＝ AR，则△ABC 是等腰三角形吗？请说明理由．
导引：要说明△ABC 为等腰三角形，由图 可知即要说明∠B＝∠C，而∠B， ∠C 分别在两个直角三角形中，因 此只要说明∠B，∠C 的余角 ∠BQP，∠R 相等即可．
故△BDE 为等腰三角形．
B
C
2 在△ABC 中，∠A 和∠B 的度数如下，能判定△ABC 是等腰三角
形的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40° C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
3 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等 腰三角形有( D ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
知识点 1 等腰三角形的判定
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的
角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对 的边有什么关系？
如图，在△ABC 中，∠B=∠C.
作△ABC 的角平分线AD.
在△BAD 和△CAD 中，
∠1 = ∠2，
∠B
=
∠C
，
AD = AD，

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若AB＝13，AD ＝12，则BC的长为( B )
• A．5 B．10 C．20 D．24
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则 ∠EDC等于( C )
• A．10° B．12.5° C．15° D．20°
• (2)分以下两种情况：
• ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；
• ②当0＜x＜90时，
• 若∠A为顶角，则∠B＝
；
• 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；
• 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.
•当
≠180－2x且180－2x≠x且
≠x，
• 即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
• 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD＝CB，若∠ACD＝42°，则∠BAC＝ __3_2_°___.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，过点C作CE∥AB交AD 的延长线于点E，求证：CE＝AB.
9．(2018·临沂)如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分
• A3. 2
• B．2 • C．22
• D.
别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE的长是( B )
10
10．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上 分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，……按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则
∠A10B10O＝( B )
• 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，
• ∠B有三个不同的度数．
4．推论：等腰三角形顶角的_平__分__线_、底边上的_中__线__及底边上的_高__线____互相重合．

由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD

A
D C
想一想, 做一做
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中 比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还 有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什 么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线 段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想, 做一做
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= 1∠ABC，∠ACE= ∠1ACB，那么BD=CE
证法2：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和 CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． 又∵∠3=∠4． 在△ABC和△ACE中， ∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A． ∴△ABD≌△ACE(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
在等腰三角形中作出一些线段(如 角平分线、中线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗?你能证明你的结 论吗?
探究相等线段
（一）证明“等腰三角形两底角的平分线相等”
证法1：已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分 线． 求证：BD=CE． 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)． ∵∠1=∠ABC，∠2=∠ABC， ∴∠1=∠2． 在△BDC和△CEB中， ∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2． ∴△BDC≌△CEB(ASA)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
（三）证明“等腰三角形两腰上的高线相等”
方法二： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD 和CE是△ABC两腰上的高线． 求证：BD=CE． 证明：∵BD和CE是△ABC两腰上的高线 ∴∠AEC=∠ADB=90°（垂直的定 E
义）． 在△AEC和△ADB中， ∠A=∠A，AB=AC，∠AEC=∠ADB．B ∴△AEC≌△ADB (AAS)． ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

A
证明: 作△ABC 的中线AD
∴ BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC （已知）
BD＝CD （已证） B
D
C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SSS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A
证明: 作△ABC 的高线AD
∴ ∠ADB＝∠ADC ＝90º
在Rt△ABD和Rt△ACD中
在△ABC，∠A=36º，∠ABC=∠C=72º.
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
1、必做题： 教科书 P143 练习第1~3题 教科书 P149 习题14.3第1~3题
2、选做题： 教科书P151 第13题
3、预习作业： 等腰三角形的判定定理是什么？
形还能用全等的知识来证明吗?刚才的折纸给我们 什么启发?
想办法构造两个全等的三角形
如何构造两个全等的三角形?
A
证明: 作顶角的平分线AD
∴ ∠1＝∠2
12
在△ABD和△ACD中
AB＝AC （已知）
∠1＝∠2 （已证） B
D
C
AD＝AD （公共边）
∴ △ABD≌ △ACD （SAS）
∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）
A①
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角)
36º
由三角形内角和定理得:
∠B=∠C= 1(18 0A )1(18 3 0)672
B
C
2
2
②
A
36º
解:如图,在三角形ABC中,AB=AC, ∴∠B=∠C =36º(等边对等角) 由三角形内角和定理得:

【公理】 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 .
(SSS) (SAS) (ASA)
【推论】 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 .(AAS)
【公理】 全等三角形的确对应边、对应角相等.
运用上述公理和已经证明的定理及其推论， 我们还可以证明有关三角形的一些其它的结论。
学好几I何m 的N 标a 志o 是g 会“e 证明”
北师大 • 八年级《数学 (下) 》
1、等腰三角形（第1课时）
本节课学些什么？
1、回顾与巩固上学期证明的有关内容; 2、了解作为证明基础的几条公理的内容，
掌握证明的基本步骤和书写格式。 3、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。 能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理和判定定理。
重点: 了解作为证明基础的几条公理的内容， 掌握证明的基本步骤和书写格式。
议一议
A
(1) 你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
(2) 你能动手来证明这些结论吗吗？
(3) 你能利用已有的公理和定理 来证明“等边对等角”这一结论吗 ？
把折好的纸打开 不难发现折痕两旁的的两个三角形全等。
B
C
A
由此实验得到启发——折痕就是 我们用于证明时要添加的辅助线。
做一做
你现在能证明“等边对等角”这一结论吗？
的 推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合。
B
D
C
随堂随堂P练4练习习Im 学N 好a 数学o g 的诀e 窍 做题
1、证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60˚。
2、如图，△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD。
AC=BC=CD。
ALeabharlann (1) 求证： △ABD是等腰三角形;