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数值分析实验3

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实验三 解线性方程组的迭代法实验目的1.深入理解Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法2.通过对两种迭代法的程序设计，提高程序设计能力3.应用编写的程序解决具体问题，掌握两种基本迭代法的使用，通过结果的分析了解每一种迭代法的特点实验要求(1) 认识迭代法收敛的含义以及迭代初值和方程组系数矩阵性质对收敛速度的影响。

(2) 迭代法收敛速度试验、病态的线性方程组的求解实验题目3.1 用迭代法求解方程组b Ax =，其中2020⨯∈R A ，它的每条对角钱元素是常数，为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------------=32/14/12/132/14/14/12/132/14/14/12/132/14/12/13 A（1）选取不同的初始向量)0(x 和不同的方程组右端项向量b ，给定迭代误差要求，用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？若收敛；记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论；（2）取定右端向量b 和初始向量)0(x ，将A 的主对角线元素成倍增长若干次，非主对角线元素不变，每次用Jacobi 迭代法计算，要求迭代误差满足5)()1(10||||-∞+<-k k x x 。

比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。

（1） 1.选取初始向量为)0(x =zeros(20,1)，右端向量b=ones(20,1),eps=1.0e-5；①实验程序（Jacobi 迭代法）function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,M)%A 为方程组得系数矩阵%b为方程组得右端项%x0为初始向量%eps为精度要求%M为最大迭代次数%x为方程组的解%n为迭代次数eps=1.0e-5;%精度要求M=200;%最大迭代次数A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==2A(i,j)=-1/4;endendendb=ones(20,1);x0=zeros(20,1);D=diag(diag(A));%取A的对角阵L=-tril(A,-1);%取A的下三角阵U=-triu(A,1);%取A的上三角阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1;disp(['第',num2str(n),'步求解结果为：']);disp(x);while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;disp(['第',num2str(n),'步求解结果为：']); disp(x);if(n>=M)disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!');return;endenddisp('最终结果为：');disp('x=');disp(x);disp(['n=',num2str(n)]);实验结果最终结果为：x=0.48160.57340.63280.65210.66090.66430.66570.66630.66650.66660.66660.66650.66630.66570.66430.66090.65210.63280.57340.4816n=18②实验程序（Gauss-Seidel迭代法）function[x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M)%A为方程组得系数矩阵%b为方程组得右端项%x0为迭代初始向量%eps为精度要求%M为最大迭代次数%x为方程组的解%n为迭代次数eps=1.0e-5;%精度要求M=200;%最大迭代次数A=zeros(20,20);for i=1:1:20A(i,i)=3;endfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==1A(i,j)=-1/2;endendendfor i=1:1:20for j=1:1:20if abs(i-j)==2A(i,j)=-1/4;endendendb=ones(20,1);x0=zeros(20,1);D=diag(diag(A));%取A的对角阵L=-tril(A,-1);%取A的下三角阵U=-triu(A,1);%取A的上三角阵B=D\(L+U);f=D\b;x=B*x0+f;n=1;disp(['第',num2str(n),'步求解结果为：']);disp(x);while norm(x-x0)>=epsx0=x;x=B*x0+f;n=n+1;disp(['第',num2str(n),'步求解结果为：']);disp(x);if(n>=M)disp('Warning:迭代次数太多,可能不收敛!');return;endenddisp('最终结果为：');disp('x=');disp(x);disp(['n=',num2str(n)]);实验结果最终结果为：x=0.48160.57340.63280.65210.66090.66430.66570.66630.66650.66660.66660.66650.66630.66570.66430.66090.65210.63280.57340.4816n=182.选取初始向量为)0(x=zeros(20,1)，右端向量b=1.001*ones(20,1),eps=1.0e-5；①实验程序（Jacobi迭代法）修改：b=1.001*ones(20,1)，其余同上实验结果最终结果为：x=0.48210.57400.63340.65280.66160.66500.66640.66690.66720.66720.66720.66720.66690.66640.66500.66160.65280.63340.57400.4821n=18②实验程序（Gauss-Seidel迭代法）同上实验结果最终结果为：x=0.48210.57400.63340.65280.66160.66500.66640.66690.66720.66720.66720.66720.66690.66640.66500.66160.65280.63340.57400.4821n=183.选取初始向量为)0(x=ones(20,1)，右端向量b=ones(20,1),eps=1.0e-5；①实验程序（Jacobi迭代法）修改：)0(x=ones(20,1)，b=ones(20,1)，其余同1 实验结果最终结果为：x=0.48160.57340.63280.65210.66090.66430.66570.66630.66650.66660.66660.66650.66630.66570.66430.66090.65210.63280.57340.4816n=17②实验程序（Gauss-Seidel迭代法）同上实验结果最终结果为：x=0.48160.63280.65210.66090.66430.66570.66630.66650.66660.66660.66650.66630.66570.66430.66090.65210.63280.57340.4816n=17结果分析：不管用哪种迭代法，改变初始向量，右端向量，用有限的迭代次数，都能得到收敛结果且满足误差要求。

（2）取定初始向量为)0(x=zeros(20,1)，右端向量b=ones(20,1),eps=1.0e-5；1.A的主对角元素增长为6，用雅克比迭代法：实验程序将（1）1的程序中改为A(i,i)=6;实验结果最终结果为：x=0.19340.21030.22000.22150.22210.22220.22220.22220.22220.22220.22220.22220.22220.22220.22210.22150.22000.21030.1934n=102.A的主对角元素增长为12，用雅克比迭代法：实验结果最终结果为：x=0.08920.09300.09500.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09520.09500.09300.0892n=83.A的主对角元素增长为21，用雅克比迭代法：实验结果最终结果为：x=0.04940.05060.05120.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05130.05120.05060.0494n=64.A的主对角元素增长为45，用雅克比迭代法：实验结果最终结果为：x=0.02260.02290.02300.02300.02300.02300.02300.02300.0230班级：自动化1201 姓名：董鸣丹学号：20123072014310.02300.02300.02300.02300.02300.02300.02300.02300.02300.02290.0226n=5结果分析：增大倍数越多，收敛速度越快，但收敛加速度越小。

且最终的解趋向于0.心得体会：通过本次实验，是我加深了对Jacobi迭代法和Gauss—Seidel迭代法的原理及内在含义的认识、了解和掌握，同时也使我体会到了一些数值计算理论的研究规律，由浅入深，由表及里，由特殊到一般。

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数值分析上机实验报告3

数值分析上机实验报告3

实验报告三题目：函数逼近——曲线拟合目的：掌握曲线拟合基本使用方法数学原理：[P,S]=polyfit(x,y,3)其中x，y为取样值，3为得出的结果的最高次数。

P为对应次数的系数，S为误差值向量，其中x,y是等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。

结果分析和讨论：23.观察物体的运动，得出时间t与距离s的关系如表，求运动方程。

t=[0,0.9,1.9,3.0,3.9,5.0];s=[0,10,30,50,80,110];[P,S]=polyfit(t,s,5)P =-0.5432 6.4647 -26.5609 46.1436 -13.2601 -0.0000S =R: [6x6 double]df: 0normr: 1.2579e-012所以得到方程为：-13.2601x46.1436x-26.5609x6.4647x-0.5432x2345++24.在某化学反应堆里，根据实验所得分解物的质量分数y与时间t的关系，用最小拟合求y=F（t）；>> x=0:5:55;y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.62,4.64];>> [P,S]=polyfit(x,y,5)P =0.0000 -0.0000 0.0002 -0.0084 0.2851 0.0082S =R: [6x6 double]df: 6normr: 0.0487所以得到方程为：0082.02851.00084.00002.023++-xxx结论：在23题中计算的结果误差为4.5769，而在24中计算的结果误差为0.0487，说明对于曲线拟合来说，总会有误差，因为取样点并不是都过拟合的曲线的。

数值分析实验三 线性方程组的直接接法2

数值分析实验三 线性方程组的直接接法2

数值分析实验三 线性方程的直接解法组号 班级 学号 姓名 分数一：实验目的1、掌握求解线性方程组的不同方法。

二：实验内容及基本知识介绍本实验中利用高斯消去法和矩阵的直接三角分解法求解线性方程组。

用消去法解方程组的基本思想：是用逐次消去未知数的方法把原方程组Ax=b 化为与其等价的三角形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法求解。

即上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化为简单形式（上三角矩阵），从而将求解原方程组的问题转化为求解简单方程组问题。

或者说对系数矩阵A 施行一些做变换将其约化为上三角矩阵。

直接三角分解法的原理：在高斯消去法的基础上，高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，即矩阵的LU 分解——设A 为n 阶矩阵，如果A 的顺序主子式i D ≠0（i=1,2,…n-1）,则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。

将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A 的元素得到计算L,U 元素的递推公式，而不需要任何中间步骤，这就是直接三角分解法。

一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那求解Ax=b 的问题就等价于求解两个三角形方程组 ① Ly=b,求y;② Ux=y,求x.其中用直接三角分解法解Ax=b 的分解矩阵A 的计算公式：①111111(1,2,...),/(2,3,...),i i i i i n i n u a l a u ====计算U 的第r 行，L 的第r 列元素（r=2,3,…n ）.②11r ri ri rk ki k ua l u -==-∑ (i=r,r+1,…n); ③11)/(r ir ik kr rr ir k a l l u u -==-∑ (i=r+1,…,n;且r ≠n) 三：实验问题及方法、步骤分别用直接三角分解法和高斯消元法解方程组Ax=b,其中 2111339,23353A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

数值分析积分实验报告(3篇)

数值分析积分实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。

通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。

二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。

实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。

实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。

3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。

实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。

4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。

它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。

实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。

三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。

2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。

3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。

4. 分析不同方法的精度和效率。

四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。

2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。

3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。

4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。

数值分析实验报告心得(3篇)

数值分析实验报告心得(3篇)

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。