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长沙市长郡中学2020初三数学九年级上册期末试题和答案

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长沙市长郡中学2020初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()213y x =-++上，则下列结论正确的是（ ）A ．213y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<2．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A ．13B ．512C ．12D ．14．方程 x 2＝4的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝2B ．x 1＝x 2＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－45．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36° 6．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－17．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据： 组 别 1 2 3 4 5 6 7 分 值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是 A ．88，90 B ．90，90 C ．88，95 D ．90，95 8．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤9．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点M 是AB 上的一点，点N 是CB 上的一点，43=BM CN ，当∠CAN 与△CMB 中的一个角相等时，则BM 的值为（ ）A ．3或4B ．83或4C ．83或6D ．4或610．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）A ．12AE EC = B ．2ECAC= C ．12DE BC = D ．2ACAE= 11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．80°12．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ） A ．23x y = B ．32=y xC ．23x y = D ．23=y x13．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移1个单位14．将二次函数22y x =的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( ) A ．()2241y x =-- B ．()2241y x =+- C ．()2241y x =-+D ．()2241y x =++15．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323 D ．3二、填空题16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是_____．17．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．18．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.19．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）20．如图，已知D 是等边△ABC 边AB 上的一点，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上．如果AD ：DB=1：2，则CE ：CF 的值为____________．21．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.22．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF 的长为_____．23．某一时刻，测得身高1.6m 的同学在阳光下的影长为2.8m ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2m ，则教学楼的高为__________m . 24．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______.25．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．26．如图，E 是▱ABCD 的BC 边的中点，BD 与AE 相交于F ，则△ABF 与四边形ECDF 的面积之比等于_____．27．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则1212x x x x +-•=__________．28．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．29．用配方法解一元二次方程2430x x +-=，配方后的方程为2(2)x n +=，则n 的值为______.30．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A ⇒B ⇒A 方向运动，设运动时间为t （s ）（0≤t ＜3），连接EF ，当t 为_____s 时，△BEF 是直角三角形．三、解答题31．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为⊙O 的直径，D 为AC 的中点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CE ＝163，AB ＝6，求⊙O 的半径．32．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ，连接BD ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若BD ＝3，AD ＝4，则DE ＝ ．33．甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标． （1）用适当的方法写出点A （x ，y ）的所有情况． （2）求点A 落在第三象限的概率．34．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为A （6,4），B （4,0），C （2,0）.（1）在y 轴左侧，以O 为位似中心，画出111A B C ∆，使它与ABC ∆的相似比为1:2； （2）根据（1）的作图，111tan A B C ∠= .35．如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.四、压轴题36．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．37．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．38．如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ． （1）若DQ 3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．39．MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数； （2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.40．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【解析】 【分析】将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.2．C解析：C 【解析】 【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解. 【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°, ∵AB 是直径， ∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C. 【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.3．C解析：C【解析】【分析】根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用红灯亮的时间除以以上三种灯亮的总时间，即可得出答案.【详解】解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，∴红灯的概率是：301 302552=++.故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是简单事件的概率问题，熟记概率公式是解题的关键.4．C解析：C【解析】【分析】两边开方得到x=±2．【详解】解：∵x2=4，∴x=±2，∴x1=2，x2=-2．故选：C．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax2+c=0（a≠0）的方程可变形为2=cxa-，当a、c异号时，可利用直接开平方法求解．5．C解析：C【解析】【分析】【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．6．C解析：C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．7．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．8．B解析：B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.【详解】解：∵直线l与半径为5的O相离，d .∴圆心O与直线l的距离d满足：5故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交.9．D解析：D【解析】【分析】分两种情形：当CAN B ∠=∠时，CAN CBA ∆∆∽，设3CN k =，4BM k =，可得CN AC AC CB =，解出k 值即可；当CAN MCB ∠=∠时，过点M 作MH CB ⊥，可得CAN BAC ∆∆∽，得出125MH k =，165BH k =，则1685CH k =-，证明ACN CHM ∆∆∽，得出方程求解即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴CMB CAB CAN ∠>∠>∠，AB=10，CAN CAB ∴∠≠∠，设3CN k =，4BM k =，①当CAN B ∠=∠时，可得CAN CBA ∆∆∽，∴CN AC AC CB=， ∴3668k =， 32k ∴=， 6BM ∴=．②当CAN MCB ∠=∠时，如图2中，过点M 作MH CB ⊥，可得BMH BAC ∆∆∽，∴BM MH BH BA AC BC ==， ∴41068k MH BH ==， 125MH k ∴=，165BH k =， 1685CH k ∴=-， MCB CAN ∠=∠，90CHM ACN ∠=∠=︒，ACN CHM ∴∆∆∽， ∴CN MH AC CH=， ∴123516685k k k =-， 1k ∴=，4BM ∴=．综上所述，4BM =或6．故选：D ．【点睛】本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．10．D解析：D【解析】【分析】 只要证明AC AB AE AD =，即可解决问题． 【详解】解:A.12AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD =不成比例，故不能判定 B. 2EC AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB AD =，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定；12DE BC = D. 2AC AB AE AD==，可得DE//BC ， 故选D.【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．D解析：D【解析】【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．12．D解析：D【解析】【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32x y =，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即32x y =，故该选项不符合题意， D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23=y x，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．13．D解析：D【解析】A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意；故选D.14．B解析：B【解析】【分析】根据题意直接利用二次函数平移规律进而判断得出选项．解：22y x =的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：()2241y x =+-．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 15．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO 和△BPO 中，OAP OBP APO BPO OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO ≌△BPO （AAS ），∴AP=12AB=3， ∴tan ∠OAP=tan30°=OP AP∴.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.二、填空题16．14【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0解析：14【解析】【分析】先求出方程的两根，然后根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：x2﹣6x+8＝0，(x﹣2)(x﹣4)＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，x1＝2，x2＝4，当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，故答案为：13．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，熟练掌握一元二次方程的解法是解法本题的关键．17．红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】解析：红【解析】【分析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大．18．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三长，sin DEC角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=15 2AB= ,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=15 2MN,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=13 2BC=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=14 2AC,∴由勾股定理得，DE=25，∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴DN=EN=5 ,∴由勾股定理得，CN=25,∴sin∠DEC=255 CNCE.25.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.19．【解析】【分析】根据黄金比值为计算即可.【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）∴故答案为：.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.解析：2【解析】【分析】根据黄金比值为12计算即可. 【详解】解：∵点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ）∴1AP 22AB =⨯=故答案为：2.【点睛】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.20．【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF ，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接D 解析：45【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED ∽△BDF ，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.【详解】解：如图，连接DE,DF,∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,∴∠BDF+60°=∠AED+60°,∴∠BDF=∠AED,∵∠A=∠B,∴△AED ∽△BDF, ∴AD AE DE BF BD DF, 设AD=x ，∵AD ：DB=1：2,则BD=2x,∴AC=BC=3x, ∵AD AE DE BF BD DF , ∴AD AE DE DE BF BD DF DF ∴323x x DE x x DF∴45DE DF , ∴45CECF .故答案为：45. 【点睛】 本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.21．【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x解析：15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.22．【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的解析：410 3【解析】分析：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=2x，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．详解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴2x，AN=4﹣x，∵AB=2，∴AM=BM=1，∵5AB=2，∴BE=1，∴222BM BE+=∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF，∴△AME∽△FNA，∴AM ME FN AN=，242xx=-，解得：x=4 3∴22410AD DF+=故答案为3．点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，23．4【解析】【分析】根据题意可知，，代入数据可得出答案．【详解】解：由题意得出：，即，解得，教学楼高=14.4．故答案为：14.4．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平解析：4【解析】【分析】根据题意可知，1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，代入数据可得出答案．【详解】解：由题意得出：1.62.8=身高教学楼高影长教学楼影长，即，1.62.825.2=教学楼高解得，教学楼高=14.4．故答案为：14.4．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的应用以及平行投影，熟记同一时刻物高与影长成正比是解此题的关键．24．－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x 是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x 是最小值，解析：－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x 可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x 是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x 是最小值，则4-x=5，所以x=－1；故答案为－1或6．【点睛】本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．25．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．26．【解析】【分析】△ABF 和△ABE 等高，先判断出，进而算出，△ABF 和△ AFD 等高，得，由，即可解出．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，AD ＝BC ，又∵E 是▱ 解析：25【解析】【分析】△ABF 和△ABE 等高，先判断出23ABF ABE S AF S AE ∆∆==，进而算出6ABCD ABF S S ∆=，△ABF 和 △ AFD 等高，得2ADF ABF S DF S BF∆∆==，由5=2ABE ADF ABF ECDF S S S S S ∆∆∆=--四边形平行四边形ABCD ，即可解出． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，又∵E 是▱ABCD 的BC 边的中点， ∴12BE EF BF BE AD AF DF BC ====， ∵△ABE 和△ABF 同高， ∴23ABF ABE S AF S AE ∆==，∴S △ABE ＝32S △ABF ， 设▱ABCD 中，BC 边上的高为h ， ∵S △ABE ＝12×BE ×h ，S ▱ABCD ＝BC ×h ＝2×BE ×h ， ∴S ▱ABCD ＝4S △ABE ＝4×32S △ABF ＝6S △ABF ， ∵△ABF 与△ADF 等高， ∴2ADF ABF S DF S BF∆∆==， ∴S △ADF ＝2S △ABF ，∴S 四边形ECDF ＝S ▱ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ＝52S △ABF ， ∴25ABFECDF S S ∆=四边形， 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了相似三角的面积类题型，运用了线段成比例求面积之间的比值，灵活运用线段比是解决本题的关键．27．2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．【详解】解：∵∴=-3, =-5∴-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠解析：2【解析】【分析】根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．【详解】解：∵2350x x +-=∴12x x +=-3, 12x x •=-5∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2故答案为2．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a•=是解答本题的关键． 28．【解析】【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：9π 【解析】【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2，∴P （飞镖落在圆内）=100==9009S S ππ半圆正方形，故答案为：9π. 【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键． 29．7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟解析：7【解析】【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n 的值.【详解】解：∵2430x x +-=，∴243x x +=，∴2447x x ++=，∴2(2)7x +=，∴7n =；故答案为：7.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤. 30．1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm ．则当0≤t ＜3时,即点E 从A 到B 再到解析：1或1.75或2.25s【解析】试题分析：∵AB 是⊙O 的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm ．则当0≤t ＜3时,即点E 从A 到B 再到O （此时和O 不重合）．若△BEF 是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E 与点O 重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=34,此时点E走过的路程是214或274,则运动时间是74s或94s．故答案是t=1或74或94．考点：圆周角定理．三、解答题31．（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）连接OD，由D为AC的中点，得到AD CD=，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由AD CD=得到∠DAC＝∠DCA ＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）解：DE与⊙O相切证：连接OD，在⊙O中∵D为AC的中点∴AD CD=∴AD＝DC∵AD＝DC，点O是AC的中点∴OD⊥AC∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵DE∥AC∴∠DOA＝∠ODE＝90°∵∠ODE＝90°∴OD⊥DE∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D∴DE与⊙O相切.（2）解：连接BD∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠DAB＋∠DCB＝180°又∵∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,∴∠ADC＝∠ABC＝90°∵AD CD=,∴∠ABD＝∠CBD＝45°∵AD＝DC，∠ADC＝90°∴∠DAC＝∠DCA＝45°∵DE∥AC∴∠DCA＝∠CDE＝45°在△ABD和△CDE中∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°∴△ABD∽△CDE∴ABCD＝ADCE∴6CD＝163AD∴AD＝DC＝42, CE＝163，AB＝6，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝42，∴AC＝22AD DC+＝8∴⊙O的半径为4.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．32．（1）见解析；（2）125【解析】【分析】 （1）连接OD ，如图，先证明OD ∥AE ，再利用DE ⊥AE 得到OD ⊥DE ，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）证明△ABD ∽△ADE ，通过线段比例关系求出DE 的长.【详解】（1）证明：连接OD∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠DAC ∵OA ＝OD∴∠BAD ＝∠ODA∴∠ODA ＝∠DAC∴OD ∥AE∴∠ODE ＋∠E ＝180°∵DE ⊥AE∴∠E ＝90°∴∠ODE ＝180°－∠E ＝180°－90°＝90°，即OD ⊥DE∵点D 在⊙O 上∴DE 是⊙O 的切线.（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAE ，在△ABD 和△ADE 中，==BDA DEA BAD DAE ∠∠⎧⎨∠∠⎩， ∴△ABD ∽△ADE ，∴AB BD AD DE=, ∵BD ＝3，AD ＝4，22BD AD +∴DE=345⨯=125. 【点睛】 本题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，适当画出正确的辅助线是解题的关键.33．（1）（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣7，1），（﹣1，1），（3，1），（﹣7，6），（﹣1，6），（3，6）；（2）29. 【解析】【分析】列表法或树状图法，平面直角坐标系中各象限点的特征，概率．（1）直接利用表格或树状图列举即可解答．（2）利用（1）中的表格，根据第三象限点（－，－）的特征求出点A 落在第三象限共有两种情况，再除以点A 的所有情况即可．【详解】解：（1）列表如下：（2）∵点A 落在第三象限共有（﹣7，﹣2），（﹣1，﹣2）两种情况，∴点A 落在第三象限的概率是29． 34．（1）见解析；（2）-2【解析】【分析】（1）连接AO 并延长至1A ，使1AO 2AO =，同理作出点B ，C 的对应点，再顺次连接即可；（2）先根据图象找出三点的坐标，再利用正切函数的定义求解即可．【详解】（1）如图；。

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2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)期末数学试卷及参考答案

2020-2021学年长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期末数学试卷一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣1B．2C．0D．﹣32．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）2020年11月24日22时06分，嫦娥五号探测器3000N发动机工作约2秒钟，顺利完成第一次轨道修正，继续飞向月球．截至第一次轨道修正前，嫦娥五号探测器各系统状态良好，已在轨飞行约17个小时，距离地球约16万千米，16万千米用科学记数法表示为（）A．1.6×104km B．1.6×105km C．16×104km D．0.16×105km 4．（3分）下列运算正确的是（）A．x3•x3＝x9B．x8÷x4＝x2C．（ab3）2＝ab6D．（2x）3＝8x3 5．（3分）下列说法正确的是（）A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生6．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°7．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≠5B．x＞2且x≠5C．x≥2D．x≥2且x≠58．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AB＝4，则△ABD的周长为（）A．8B．10C．12D．99．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（）A．B．C．D．10．（3分）“垃圾分类做得好，明天生活会更好”，学校需要购买分类垃圾桶10个，放在校园的公共区域，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶350元/个，B型分类垃圾桶400元/个，总费用不超过3650元，则不同的购买方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种11．（3分）已知a、b、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（）A．7B．7或6C．6或﹣7D．612．（3分）如图，点A，B的坐标分别为A（，0），B（0，），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM最大时，M点的坐标为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）如果样本方差S2＝，那么这个样本的平均数是，样本容量是．14．（3分）从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是．15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，把这个三角形在平面内绕点C顺时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是．16．（3分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点E是边AB的中点，点P 是边BC上一动点，设PC＝x，PA+PE＝y．图②是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点．那么a+b的值为．三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，笫22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。

2019-2020学年湖南省长沙九年级上册期末数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙九年级上册期末数学试卷

2019-2020学年湖南省长沙九年级上册期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.一元二次方程x2+4x=2配方后化为()A. (x+2)2=6B. (x−2)2=6C. (x+2)2=−6D. (x+2)2=−22.如图所示，△ABC中，DE//BC，AD=5，AB=10，DE=6，则BC的值为()A. 6B. 12C. 18D. 243.抛物线y=2(x−3)2的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°5.如图，已知∠ACP=∠ABC，AC=4，AP=2，则AB的长为()A. 8B. 3√2C. 16D. 4=()6.在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于D.则AB−BCADA. sin BB. cos BC. tan BD. cot B7.若抛物线y=x2−3x+c与x轴的一个交点的坐标为(−1,0)，则该抛物线与x轴的另一个交点的坐标为()A. (−4,0)B. (−1,0)C. (1,0)D. (4,0)8.如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是()A. 12B. 34C. 38D. 7169.已知函数y=kx−b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k−b=0根的情况是()A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 不确定10.如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为()(x>0)A. y=1x(x>0)B. y=−1x(x<0)C. y=1x(x<0)D. y=−1x11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=2，沿对角线AC剪开(如图①)；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移(如图②)，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′为①②A. 1B. 1.5C. 2D. 0.8或1.212.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4,4)，B(2,m)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0<d≤1，则实数m的取值范围是()A. m≤2或m≥3B. m≤3或m≥4C. 2<m<3D. 3<m<4二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2−9x+18=0的两个根，则这个等腰三角形的周长是___________．14.某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续一分钟，某人到达该车站时显示屏上正好显示火车班次信息的概率是______．15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=______．16.如图，在直角坐标系中有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交(x>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且OB⋅AC=160，于点D，双曲线y=kx则点E的坐标为____．17.如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分）)−2−(π−√7)0+|√3−2|+6tan30°．18.计算：(1319.如图，正方形ABCD中，E为AD的中点，FG⊥BE于点E，交BC的延长线于点G．(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求△BEG的面积．20.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球．用画树状图(或列表)的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率；21.某商店将每件进价为80元的某种商品按每件110元出售，每天可售出100件．该商店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．经市场调查，发现这种商品每件每降价5元，每天的销售量可增加50件．设商品降价x元，每天销售该商品获得的利润为y元．(1)求y(元)关于x(元)的函数关系式，并标出x的取值范围；(2)求当x取何值时y有最大值？并求出y的最大值；(3)若要使每天销售利润为3750元，且尽可能最大的向顾客让利，应将该商品降价多少元？22.如图，在一滑梯侧面示意图中，BD//AF，BC⊥AF于点C，DE⊥AF于点E.BC=1.8cm，BD=0.5m，∠A=45°，∠F=29°．(1)求滑道DF的长(结果精确到0.1m)．(2)求踏梯AB底端A与滑道DF底端F的距离AF(结果精确到0.1m)．参考数据：sin29°=0.48，cos29°=0.87，tan29°=0.55．x+2分别与x，y轴交于点B、A两点，与23.如图在平面直角坐标系中，直线y=−12反比例函数的图象分别交于点C、D两点，CE⊥x轴于点E，点E坐标为(−2,0)。

长沙市天心区长郡教育集团19-20学年九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

长沙市天心区长郡教育集团19-20学年九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

长沙市天心区长郡教育集团19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.2019的相反数是()A. 12019B. −12019C. |2019|D. −20192.中国的陆地面积和领水面积共约9970000km2，9970000这个数用科学记数法可表示为()A. 9.97×105B. 99.7×105C. 9.97×106D. 0.997×1073.若代数式x2−x有意义，则实数x的取值范围是()A. x=0B. x=2C. x≠0D. x≠24.下列运算正确的是()A. (x+y)2=x2+y2B. x3+x4=x7C. x3⋅x2=x6D. (−3x)2=9x25.如图，AB//CD，AD=CD，∠1=50°，则∠2的度数是()A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°6.下列说法正确的是()A. 经过三个点一定可以作圆B. 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C. 相等的圆心角所对的弧相等D. 90°的角所对的弦是直径7.下列说法中，错误的是()A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 有一组邻边相等的菱形是正方形8.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是()A. B. C. D.9.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数)0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是()A. 0.90B. 0.82C. 0.85D. 0.8410.通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟．设通讯员到达某地的路程是x千米，原定的时间为y小时，则可列方程组为()A. {x15−15=yx12+12=yB. {x15+15=yx12−12=yC. {x15−2460=yx 12−1560=yD. {x15+2460=yx12−1560=y11.如图，点A在反比例函数y=kx(x>0,k>0)的图象上，轴于点B，点C在x轴的负半轴上，且BO=2CO，若的面积为18，则k的值为()A. 12B. 18C. 20D. 2412.如图，抛物线y=−12x2 +32x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是()A. (2,3)B. (32,258) C. (1,3) D. (3,2)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.关于x的分式方程7xx−1+5=2m−1x−1的解为正数，则m的值为______．14.如图，在平面直角坐标系中，点P1的坐标为(√22,√22)，将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45°，长度伸长为OP2的2倍，得到线段OP3；如此下去，得到线段OP4，OP5，…，OP n(n为正整数)，则点P2020的坐标是______．15.如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为______米．16.因式分解：2ax2−4axy+2ay2=______．17.计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y=x2(x−3)和y=x−3的图象如图所示．根据图象可知方程x2(x−3)=x−3的解的个数为；若m，n分别满足方程x2(x−3)=1和x−3=1，则m，n的大小关系是．18.如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF.下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③BECE=sin∠ACBsin∠ABC；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC.其中一定正确的是______(把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算：|√2−2|−2cos45°+(−1)−2+√8．20.先化简，再求值：(a+4a+1−a+1a)÷4a−2a2−1然后从−2<a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．21.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩(单位：米)和一分钟仰卧起坐成绩(单位：个)的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.实心球成绩的频数分布如表所示：分组6.2≤x<6.66.6≤x<7.07.0≤x<7.47.4≤x<7.87.8≤x<8.28.2≤x<8.6频数2m10621b.实心球成绩在7.0≤x<7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c.一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：(1)①表中m的值为______；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为______；(2)若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.06.5一分钟仰卧起坐∗4247∗4752∗49其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．22.如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；(2)若AD=4，AB=2，且MN⊥AC，求DM的长．23.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．(1)求A、B两种粽子的单价各是多少？(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？24.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE．(1)求证：EH=EC；(2)若BC=4，sinA=2，求AD的长．325.将抛物线C：y=(x−2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．(1)直接写出抛物线C1，C2的解析式；(2)如图(1)，点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；(3)如图(2)，直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．线y=−4k26.如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交A，B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2，(1)求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式。

2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级(上)期末数学试卷-解析版

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2019-2020学年湖南省长沙市天心区长郡教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. −12的绝对值为( )A. −2B. −12C. 12D. 12. PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A. 0.25×10−5B. 0.25×10−6C. 2.5×10−5D. 2.5×10−63. 使分式13−x 有意义的x 的取值范是( )A. x ≠3B. x =3C. x ≠0D. x =4. 在下列各式中，运算结果正确的是( )A. x 2+x 2=x 4B. x −2x =−xC. x 2⋅x 3=x 6D. (x −1)2=x 2−15. 如图，已知AB//CD ，AD =CD ，∠1=40°，则∠2的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠AOB =110°，则∠ACB 的度数为( )A. 35°B. 55°C. 60°D. 70°7. 如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 于E ，∠DAE =20°，则∠BAC 的度数为( )A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°8. 下面哪个图形不是正方体的平面展开图( )A.B.C. D.9. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球( ) A. 12个 B. 16个 C. 20个 D. 25个10. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡x 只，兔y 只，可列方程组为( )A. {x +y =352x +2y =94 B. {x +y =354x +2y =94 C. {x +y =354x +4y =94D. {x +y =352x +4y =9411.如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0)，y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1−k2的值为()A. 12B. −12C. 6D. −612.已知抛物线y=x2+(2a+1)x+a2−a，则抛物线的顶点不可能在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.不等式x−42>4−x的解集为______．14.已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标为______．15.高为8米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为______米．16.分解因式：x2y−4y=______．17.如图，直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(−3,0)，则方程ax+b=0的解是______ ．18.如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF.下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③BECE =sin∠ACBsin∠ABC；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是ABsin∠BAC.其中一定正确的是______(把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）19.计算√12−|4sin30°−2√3|+(−112)−1．20.先化简，再求值：(a2+1a −2)÷(a+2)(a−1)a2+2a，其中−2≤a≤2，从中选一个你喜欢的整数代入求值．21.为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩(单位：m)绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．学生立定跳远测试成绩的频数分布表分组频数1.2≤x<1.6a1.6≤x<2.0122.0≤x<2.4b2.4≤x<2.810请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：(1)表中a=______，b=______，样本成绩的中位数落在______范围内；(2)请把频数分布直方图补充完整；(3)该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x<2.8范围内的学生有多少人？22.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点E，点E是BD的中点，延长CD到点F，使DF=CD，连接AF，(1)求证：AE=CE；(2)求证：四边形ABDF是平行四边形；(3)若AB=2，AF=4，∠F=30°，则四边形ABCF的面积为______．23.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米．乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地．求甲从A地到B地步行所用的时间．24.如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E=∠DBC．(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若CD=9，tan∠ABE=1，求⊙O的半径．225.如图1，抛物线W：y=ax2−2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为(1,0)．(1)求直线AB的解析式；(2)过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；(3)若a=1，将抛物线W向下平移m(m>0)个单位得到抛物线W1，如图2，记抛2物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1.问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．26.在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．x−1的距离为多少？(1)如图1，取点M(1,0)，则点M到直线l：y=12(2)如图2，点P是反比例函数y=4在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥xx？若轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0=2√105存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如图3，若直线y=kx+m与抛物线y=x2−4x相交于x轴上方两点A、B(A在B的左边).且∠AOB=90°，求点P(2,0)到直线y=kx+m的距离最大时，直线y= kx+m的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵|−12|=12，∴−12的绝对值为12．故选：C．计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．2.【答案】D【解析】解：0.0000025=2.5×10−6；故选：D．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.【答案】A【解析】解：分式13−x有意义，则3−x≠0，解得：x≠3．故选：A．直接利用分式有意义的条件进而得出答案．此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A、x2+x2=2x2，故本选项错误；B、x−2x=−x，故本选项正确；C、x2⋅x3=x5，故本选项错误；D、(x−1)2=x2−2x+1，故本选项错误．故选：B．根据合并同类项、完全平方公式及同底数幂的乘法法则进行各选项的判断即可．本题考查了合并同类项、完全平方公式及积的乘方运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．5.【答案】C【解析】解：∵AD=CD，∠1=40°，∴∠ACD=70°，∵AB//CD，∴∠2=∠ACD=70°，故选：C．由等腰三角形的性质可求∠ACD=70°，由平行线的性质可求解．本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．6.【答案】B【解析】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，∠AOB=55°．∴∠ACB=12故选：B．直接根据圆周角定理进行解答即可．本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】D【解析】解：∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，同理∠C=∠EAC，∵∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+∠DAE=180°，∴∠DAB+∠EAC=80°，∴∠BAC=100°，故选：D．根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，得到∠B=∠DAB和∠C=∠EAC，根据三角形内角和定理计算得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是具体点关键．8.【答案】A【解析】解：A、不是正方体展开图，符合题意；B、是正方体展开图，不符合题意；C、是正方体展开图，不符合题意；D、是正方体展开图，不符合题意．故选：A．根据正方体展开图的11种形式，对各选项分析判断即可得解．本题主要考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．9.【答案】B=0.2，【解析】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：4x+4解得：x=16，故选：B．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， {x +y =352x +4y =94， 故选：D ． 11.【答案】A【解析】解：设：A 、B 点的坐标分别是A(k 1m,m)、B(k2m ,m)， 则：△ABC 的面积=12⋅AB ⋅y A =12⋅(k 1m−k2m)⋅m =6， 则k 1−k 2=12． 故选：A ．△ABC 的面积=12⋅AB ⋅y A ，先设A 、B 两点坐标(其y 坐标相同)，然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解．此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，以及图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设A 、B 两点坐标，表示出相应线段长度即可求解问题． 12.【答案】D【解析】解：抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2−a 的顶点的横坐标为：x =−2a+12=−a −12，纵坐标为：y =4(a 2−a)−(2a+1)24=−2a −14，∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y =2a +34，∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D ．求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键． 13.【答案】x >4【解析】解：去分母得：x −4>8−2x ， 移项合并得：3x >12， 解得：x >4， 故答案为：x >4不等式去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解集． 此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14.【答案】(−4,3)【解析】解：∵点P 在第二象限，且到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4， ∴点P 的横坐标为−4，纵坐标为3，∴点P的坐标为(−4,3)．故答案为：(−4,3)．根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．15.【答案】40【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．设此建筑物的高度为h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出h的值．【解答】解：设此建筑物的高度为h，∵同一时刻物高与影长成正比，∴86=ℎ30，解得ℎ=40m．故答案为：40．16.【答案】y(x+2)(x−2)【解析】解：x2y−4y，=y(x2−4)，=y(x+2)(x−2)．故答案为：y(x+2)(x−2)．先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．17.【答案】x=−3【解析】解：方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y=ax+b过B(−3,0)，∴方程ax+b=0的解是x=−3，故答案为：x=−3．所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可．此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．18.【答案】①②③④【解析】解：如图1，连接OF，CF，∵FH是⊙O的切线，∴OF⊥FH，∵FH//BC，∴OF⊥BC，且OF为半径，∴OF垂直平分BC，∴BF⏜=CF⏜∴∠1=∠2，BF=CF，∴AF平分∠BAC，故①正确，∵∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∴∠1+∠4=∠5+∠3，∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，∴∠BDF=∠FBD，∴BF=FD，且BF=CF，∴BF=DF=CF，∴点F为△BDC的外心，故②正确；如图2，过点C作CG//AB，交AF的延长线于点G，∵CG//AB，∴∠BAE=∠EGC，且∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠CGE，∴AC=CG，∵CG//AB，∴△BAE∽△CGE，∴ABCG =BEEC，∴ BEEC =AB×1ANAC×1AN=1sin∠ABC1sin∠ACB=sin∠ACBsin∠ABC，故③正确；如图3，作点M关于AF的对称点M′，∵点M与点M′关于AF对称，∴MN=M′N，∴BN+MN=BN+M′N，∴当点N在线段BM′上，且BM′⊥AC时，BN+MN有最小值为BM′，且sin∠BAC=BM′AB，∴BN+MN最小值为ABsin∠BAC，故④正确，故答案为：①②③④．如图1，连接OF，CF，通过切线的性质证OF⊥FH，进而由FH//BC，得OF⊥BC，即可由垂径定理得到F是弧BC的中点，根据圆周角定理可得∠BAF=∠CAF，可得AF平分∠BAC；由三角形外角性质和同弧所对的圆周角相等可得∠BDF=∠FBD，可得BF= DF=CF，可得点F为△BDC的外心；如图2，过点C作CG//AB，交AF的延长线于点G，通过证明△BAE∽△CGE，可得ABCG =BEEC，即可判断③；如图3，作点M关于AF的对称点M′，当点N在线段BM′上，且BM′⊥AC时，BN+MN有最小值为BM′，即可判断④．本题是相似形综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．19.【答案】解：原式=2√3−(2√3−2)−12=2√3−2√3+2−12=−10．【解析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=a2+1−2aa ⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=(a−1)2a⋅a(a+2)(a+2)(a−1)=a−1，∵−2≤a≤2，且a为整数，∴a=0，1，−2时没有意义，a=−1或2，当a=−1时，原式=−2；当a=2时，原式=1．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：(1)820 2.0≤x<2.4(2)由(1)知，b=20，补全的频数分布直方图如右图所示；(3)1000×1050=200(人)，答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x <2.8范围内的学生有200人．【解析】解：(1)由统计图可得，a =8，b =50−8−12−10=20，样本成绩的中位数落在：2.0≤x <2.4范围内，故答案为：8，20，2.0≤x <2.4；(2)(3)见答案【分析】(1)根据题意和统计图可以求得a 、b 的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；(2)根据b 的值可以将频数分布直方图补充完整；(3)根据统计图中的数据可以求得该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x <2.8范围内的学生有多少人．本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】6【解析】(1)证明：∵点E 是BD 的中点，∴BE =DE ，∵AD//BC ，∴∠ADE =∠CBE ，在△ADE 和△CBE 中{∠ADE =∠CBE DE =BE ∠AED =∠CEB∴△ADE≌△CBE(ASA)，∴AE =CE ；(2)证明：∵AE =CE ，BE =DE ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB//CD ，AB =CD ，∵DF =CD ，∴DF =AB ，即DF =AB ，DF//AB ，∴四边形ABDF 是平行四边形；(3)解：过C作CH⊥BD于H，过D作DQ⊥AF于Q，∵四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB=2，AF=4，∠F=30°，∴DF=AB=2，CD=AB=2，BD=AF=4，BD//AF，∴∠BDC=∠F=30°，∴DQ=12DF=12×2=1，CH=12DC=12×2=1，∴四边形ABCF的面积S=S平行四边形BDFA +S△BDC=AF×DQ+12×BD×CH=4×1+12×4×1=6，故答案为：6．(1)根据平行线的性质得出∠ADE=∠CBE，根据全等三角形的判定得出△ADE≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可；(2)根据平行四边形的判定推出即可；(3)求出高DQ和CH，再根据面积公式求出即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．23.【答案】解：设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得：30x−1=15x+10，化简得：2x2−5x−3=0，解得：x1=3，x2=−12，经检验x1=3，x2=−12都是原分式方程的解，但x=−12不符合题意，舍去．故x=3，答：甲从A地到B地步行所用时间为3小时．【解析】首先设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得等量关系：乙所走路程÷乙所用时间=甲所走路程÷甲所用时间+10，根据等量关系，列出方程再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．24.【答案】(1)证明：连接OB，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBE=90°，∴∠ABE+∠OBA=90°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠ABE+∠OAB=90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠OAB+∠ADB=90°，∴∠ABE=∠ADB，∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，∴∠EAB=∠C，∵∠E=∠DBC，∴∠ABE=∠BDC，∴∠ADB=∠BDC，即DB平分∠ADC；(2)解：∵tan∠ABE=12，∴设AB=x，则BD=2x，AD=√AB2+BD2=√5x，∵∠E=∠E，∠ABE=∠BDE，∴△AEB∽△BED，∴BE2=AE⋅DE，且AEBE =ABBD=12，设AE=a，则BE=2a，∴4a2=a(a+√5x)，∴a=√53x，∵∠BAE=∠C，∠ABE=∠BDC，∴△AEB∽△CBD，∴BEBD =ABCD，∴23√5x2x=x9，解得=3√5，∴AD=√5x=15，∴OA=152．【解析】(1)连接OB ，证明∠ABE =∠ADB ，可得∠ABE =∠BDC ，则∠ADB =∠BDC ；(2)证明△AEB∽△CBD ，AB =x ，则BD =2x ，可求出AB ，则答案可求出．本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．25.【答案】解：(1)∵抛物线W ：y =ax 2−2的顶点为点A ，∴点A(0,−2)设直线AB 解析式为y =kx +b ，∴{b =−2k +b =0解得{k =2b =−2∴抛物线解析式为：y =2x −2；(2)如图1，过点B 作BN ⊥CD 于N ，∵AC 平分∠DCE ，BN ⊥CD ，BE ⊥CE ，∴BN =BE ，∵∠BND =∠CED =90°，∠BDN =∠CDE ，∴△BND∽△CED ，∴BN CE=DB CD ， ∴BE CE =DB CD ，∵AO//CE ，∴BO AO =BE CE =12=DB CD∴CE =2BE ，CD =2DB ，设BE =x ，BD =y ，则CE =2x ，CD =2y ，∵CD 2=DE 2+CE 2，∴4y 2=(x +y)2+4x 2，∴(x +y)(5x −3y)=0，∴y =53x ，∴点C(x +1,2x)，点D(1−53x,0)∵点C ，点D 是抛物线W ：y =ax 2−2上的点，∴{2x =a(x +1)2−20=a(1−53x)2−2 ∴x +1=(1−53x)2，∴x 1=0(舍去)，x 2=3925，∴0=a(1−53×3925)2−2，∴a =2532，∴抛物线解析式为：y =2532x 2−2；(3)tan∠D 1C 1B 恒为定值，理由如下：由题意可得抛物线W 1的解析式为：y =12x 2−2−m ，设点D 1的坐标为(t,0)(t <0)，∴0=12t 2−2−m ，∴2+m =12t 2，∴抛物线W 1的解析式为：y =12x 2−12t 2，∵抛物线W 1与射线BC 的交点为C 1，∴{y =2x −2y =12x 2−12t 2 解得：{x 1=2−t y 1=2−2t ，{x 2=2+t y 2=2+2t(不合题意舍去)， ∴点C 1的坐标(2−t,2−2t)，如图2，过点C 1作C 1H ⊥x 轴，过点C 作CG ⊥x 轴，∴C 1H =2−2t ，OH =2−t ，∴D 1H =D 1O +OH =2−t +(−t)=2−2t ，∴C 1H =D 1H ，且C 1H ⊥x 轴，∴∠C 1D 1H =45°，∵y=12x2−2与x轴交于点D，∴点D(−2,0)∵y=2x−2与y=12x2−2交于点C，点A∴点C(4,6)∴GC=6，DG=OD+OG=2+4=6，∴DG=CG，且CG⊥x轴，∴∠GDC=45°=∠C1D1H，∴C1D1//CD，∴∠D1C1B=∠DCB，∴tan∠D1C1B=tan∠DCB，如图3，过点B作BF⊥CD于点F，∵∠CDB=45°，BF⊥CD，BD=OD+OB=2+1=3，∴∠FDB=∠FBD=45°，∴DF=BF，DB=√2DF=3，∴DF=BF=3√2 2∵点D(−2,0)，点C(4,6)，∴CD=√(−2−4)2+(0−6)2=6√2，∴CF=CD−DF=9√22，∴tan∠D1C1B=tan∠DCB=BFCF =13，∴tan∠D1C1B恒为定值．【解析】(1)由待定系数法可求解析式；(2)如图1，过点B作BN⊥CD于N，通过证明△BND∽△CED，可得BNCE =DBCD，由平行线分线段成比例可求BOAO =BECE=12=DBCD，可得CE=2BE，CD=2DB，设BE=x，BD=y，则CE=2x，CD=2y，由勾股定理可求y=53x，可求点C，点D坐标，代入解析式可求x的值，即可求抛物线W的解析式；(3)先求出点C1的坐标(2−t,2−2t)，如图2，过点C1作C1H⊥x轴，过点C作CG⊥x轴，可证C1D1//CD，可得∠D1C1B=∠DCB，如图3，过点B作BF⊥CD于点F，由勾股定理和直角三角形的性质可求BF，DF，CF的长，即可求tan∠D1C1B=tan∠DCB=BFCF =13．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质和应用，一次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．26.【答案】解：(1)如图1，设直线l：y=12x−1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，∵直线l：y=12x−1与x轴，y轴的交点为点A，点B，∴点A(2,0)，点B(0,−1)，且点M(1,0)，∴AO=2，BO=1，AM=OM=1，∴AB=√AO2+BO2=√1+4=√5，∵tan∠OAB=tan∠MAE=OBAB =MEAM，∴√5=ME1，∴ME=√55，∴点M到直线l：y=12x−1的距离为√55；(2)设点P(a,4a)，(a>0)∴OM=a，ON=4a，∴MN=√OM2+ON2=√a2+16a2，∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∠MON=90°，∴四边形PMON是矩形，∴S△PMN=12S矩形PMON=2，∴12×MN×d0=2，∴√a2+16a2×2√105=4，∴a4−10a2+16=0，∴a1=2，a2=−2(舍去)，a3=2√2，a4=−2√2(舍去)，∴点P(√2,2√2)或(2√2,√2)，(3)如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，设点A(a,a2−4a)，点B(b,b2−4b)，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，且∠AOC+∠CAO=90°，∴∠BOD=∠CAO，且∠ACO=∠BDO，∴△AOC∽△BOD，∴ACCO =ODBD，∴a2−4a−a=bb2−4b∴ab−4(a+b)+17=0，∵直线y=kx+m与抛物线y=x2−4x相交于x轴上方两点A、B，∴a，b是方程kx+m=x2−4x的两根，∴a+b=k+4，ab=−m，∴−m−4(k+4)+17=0，∴m=1−4k，∴y=kx+1−4k=k(x−4)+1，∴直线y=k(x−4)+1过定点N(4,1)，∴当PN⊥直线y=kx+m时，点P到直线y=kx+m的距离最大，设直线PN的解析式为y=cx+d，∴{1=4c+d0=2c+d解得{c=12b=−1∴直线PN的解析式为y=12x−1，∴k=−2，∴m=1−4×(−2)=9，∴直线y=kx+m的解析式为y=−2x+9．【解析】(1)如图1，设直线l：y=12x−1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，先求出点A，点B坐标，可得OA=2，OB=1，AM=1，由勾股定理可求AB长，由锐角三角函数可求解；(2)设点P(a,4a)，用参数a表示MN的长，由面积关系可求a的值，即可求点P坐标；(3)如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，设点A(a,a2−4a)，点B(b,b2−4b)，通过证明△AOC∽△BOD，可得ab−4(a+b)+17=0，由根与系数关系可求a+b=k+4，ab=−m，可得y=kx+1−4k=k(x−4)+1，可得直线y= k(x−4)+1过定点N(4,1)，则当PN⊥直线y=kx+m时，点P到直线y=kx+m的距离最大，由待定系数法可求直线PN的解析式，可求k，m的值，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，根与系数关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，利用参数列出方程是本题的关键．。