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极坐标系知识点关键信息项：1、极坐标系的定义2、极坐标的表示方法3、极坐标与直角坐标的转换公式4、极坐标系中的曲线方程5、极坐标系下的面积计算6、极坐标系在物理学和工程学中的应用11 极坐标系的定义极坐标系是一个二维坐标系，在平面内取一个定点 O，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对（ρ,θ) 就叫点 M 的极坐标。
111 极坐标系的特点极坐标系中的点与极径和极角一一对应。
但极角的取值范围一般规定在0, 2π) 内。
112 极坐标系与直角坐标系的区别直角坐标系通过横坐标和纵坐标确定点的位置，而极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。
12 极坐标的表示方法点 M 的极坐标可以表示为（ρ,θ)，其中ρ 为正数时，表示点 M 在极轴的逆时针方向上与极点 O 的距离为ρ；ρ 为负数时，表示点 M 在极轴的顺时针方向上与极点 O 的距离为｜ρ|。
121 极坐标的多值性由于极角的周期性，同一个点在极坐标系中的表示不唯一。
13 极坐标与直角坐标的转换公式设点 M 的直角坐标为（x, y)，极坐标为（ρ,θ)，则有：x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθρ² ＝ x²＋ y²tanθ ＝ y ／ x （x ≠ 0）131 转换公式的应用通过这些公式，可以在极坐标和直角坐标之间进行相互转换，便于解决不同类型的问题。
14 极坐标系中的曲线方程常见的极坐标曲线方程有：圆：ρ ＝ a （以极点为圆心，a 为半径的圆）直线：θ ＝α （过极点且与极轴夹角为α 的直线）141 特殊曲线的极坐标方程推导例如，对于圆心在（a, 0) 且半径为 a 的圆，其极坐标方程为ρ ＝2a cosθ。
15 极坐标系下的面积计算对于由极坐标曲线围成的区域，其面积可以通过积分来计算。
极坐标系：
1、概念：取平面内一定点O 引一射线Ox ，选定长度单位、角度单位及计 算角度的正方向，便建立了一个极坐标系。
2、相关概念：定点O 称为极点；射线Ox 称为极轴；平面内某点P 与极 点距离OP 称为P 点的极径，以ρ表示；以极轴为始边、射线OP 为终边的xOP ∠称为P 点的极角，以θ表示；有序数对(,)ρθ称为P 点的极坐标。
3
4、极坐标系示意图：
5、极坐标系与直角坐标系互化： （1）互化前提：极点与原点重合；极轴与x 轴正半轴重合；两种坐标系长
度单位相同。
极坐标中(,)P ρθ，直角坐标系中(,)P x y 。
（2）极化直坐标公式：cos x ρθ=；sin y ρθ=；
（3）直化极坐标公式：222x y ρ=+，tan (0)y x x
θ=≠；
注1：通常取ρ>0；
注2：θ由tan y x θ=及点(,)x y 所在象限取最小正角； 注3：当0x =时：(0,0)(0,)()R θθ⇒∈；(0,)(0,)(2y y π⇒>0)；3(0,)(0,)(2
y y π⇒<0)； 注4：极点与原点不重合但极轴与x 轴正半轴平行，设极点为'O ，其在直角坐标系中
坐标为：00(,)x y 。
则极化直坐标公式：0cos x x ρθ=+；0sin y y ρθ=+；
直化极：22200()()x x y y ρ=-+-；000
t a n ()y y x x x x θ-=≠-。
极坐标系怎么理解什么是极坐标系？极坐标系也称为极坐标系统，是一种用于描述平面上点的系统。
与常用的直角坐标系不同，极坐标系使用距离和角度两个参数来确定点的位置。
在极坐标系中，每个点都可以通过一个距离值（r）和一个角度值（θ）来表示。
在直角坐标系中，我们使用x轴和y轴来定位一个点，其中x轴水平向右延伸，y轴垂直向上延伸。
而在极坐标系中，我们选择一个原点作为参考点，从该点出发，使用一个长度为r的射线来表示距离，射线的方向则由与正x轴之间的夹角θ来决定。
极坐标系的转换公式要从直角坐标系转换为极坐标系，我们可以利用一组简单的公式：•r = sqrt(x^2 + y^2)•θ = arctan(y / x)其中，sqrt表示开平方根的操作，arctan表示反正切函数。
这组公式可以根据给定的x和y坐标计算得出对应的r和θ值。
通过这样的转换，我们可以将直角坐标系中的点转换为极坐标系中的点。
极坐标系的特点和优势极坐标系相比直角坐标系具有一些独特的特点和优势。
首先，极坐标系更加直观和直观。
通过使用距离和角度这两个可视化参数，我们可以更容易地理解和描述点之间的相对位置和方向。
例如，在极坐标系中，我们可以直接通过角度的大小判断两个点之间的方向关系。
其次，极坐标系在某些情况下更加简洁和方便。
对于一些对称图形和周期性运动的描述，极坐标系常常可以提供更加简洁的表达方式。
例如，描述一个圆形可以仅通过一个参数r来实现，而不需要在直角坐标系中同时指定x和y的值。
此外，极坐标系也有一些特殊的应用场景。
在物理学、工程学和极坐标应用模型中，极坐标系常常被用于描述旋转运动、波动现象和电场分布等问题。
在这些领域中，极坐标系的使用可以简化问题的描述和计算过程。
极坐标系的局限性和注意事项尽管极坐标系具有一些独特的优势和应用场景，但也存在一些局限性和注意事项。
首先，极坐标系并不适用于所有场景。
在某些情况下，直角坐标系仍然是更为合适的选择。
例如，在需要精确描述点的位置和方向的情况下，直角坐标系的数学计算更加简单并且易于理解。
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它以点到原点的距离和点与正半轴的夹角来表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系更适用于描述圆形或球形的几何问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念及其在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系用两个数表示点的位置，分别是极径和极角。
极径表示点到原点的距离，用正实数表示；极角表示点与正半轴的夹角，以弧度为单位。
在极坐标系中，原点表示极径为0的点，也是极角为任意值的点。
在直角坐标系中，一个点的位置由X坐标和Y坐标确定，即(x,y)。
而在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ确定，即(r,θ)。
二、极坐标系与直角坐标系的转换公式在极坐标系和直角坐标系之间，可以通过一些公式进行坐标的转换。
1. 从直角坐标系到极坐标系的转换：极径r可以通过以下公式计算：r = √(x² + y²)极角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数。
2. 从极坐标系到直角坐标系的转换：X坐标可以通过以下公式计算：x = r * cos(θ)，其中cos为余弦函数。
Y坐标可以通过以下公式计算：y = r * sin(θ)，其中sin为正弦函数。
三、极坐标系的应用极坐标系在数学和物理中有着广泛的应用。
1. 极坐标方程一些图形在直角坐标系中难以描述，而在极坐标系中可以用较简单的方程表示。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为 r = a，其中a为圆的半径。
其他曲线如椭圆、双曲线等也可以用极坐标方程表示。
2. 极坐标系中的积分在计算一些特殊曲线的弧长、曲面积分和体积等问题时，极坐标系更加方便。
利用极坐标系进行积分计算可以简化问题并提高计算效率。
3. 物理中的应用极坐标系在力学、电磁学、流体力学等领域都有广泛应用。
例如，在描述质点的运动轨迹时，如果运动轨迹呈现出旋转或对称性，极坐标系更适用于描述和分析。
结语极坐标系作为一种描述平面上点位置的坐标系，具有简洁、直观的特点，被广泛应用于数学和物理学科中。
极坐标系
1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等． 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的．
图1。
§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。
在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。
当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。
事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。
根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。
三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。
指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。
如图点A 与极点O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0），同样可求得B ，C 的极坐标分别为（4，2π），（5，34π）指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ρ，θ）后，再写出其通式（ρ，πθn 2+）或（πθρ)12(,++-n ）例3、已知点Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1）M 是点Q 关于极点的对称点：（2）N 是点Q 关于直线2πθ=的对称点解：（1）由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ，极角角相差π)12(+n ，所以点M 的极坐标为（ρ，πθ)12(++n ）或（πθρn 2,+-）（Z n ∈）（2）由于点Q 、N 关于直线2πθ=的对称，得它们的极径OQ=ON ，点N 的极角满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为（ρ，πθπn 2+-） 或（θπρ--n 2,）（Z n ∈） 例4、已知两点的极坐标A （3，2π），B （3，6π）， 求AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。
解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=3π，即△AOB 为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=65π法二：∵A 、B 两点的极坐标分别为（3，2π），（3，6π），∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=2π，∠BOC=6π了 ∴∠AOB=3π，在△AOB 中，由余弦定理可得AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22=3cos3323322π⋅⋅⋅-+=3即△AOB 为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB=65π四、巩固练习：1、已知两点的极坐标P （5，45π），Q （1，4π），求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标（6，35π）分别写出给定条件下点A 的极坐标①若πθπρ≤<->,0；则A ②若πθρ20,0<≤<，则A ③若02,0≤<-<θπρ，则A 五、小结，，则1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x ，y）是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（ρ，θ）不是一一对应，只有在规定[)πθρ2,0,0∈>的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。
2、一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，πθn 2+）表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为（0，θ）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。
一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。
当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。
3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。
二、讲解新课：在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。
所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。
但在极坐标中，我们取O x 的正方向为极轴，则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=）如果我们充许极径取负值，约定M （ρ，θ）关于极点对称点N 的极坐标写成N （θρ,-），于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为:l 0θθ=如与x 轴夹角为4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4π2、圆心在极点的圆的极坐标方程 ρ=0r方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ，是个常数；而方程ρ=0r 无极角θ，表示θ可以任意变化，当极径ρ是常数，极角任意时，即动保持与O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。
3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为0r 设此圆上任取一点M 的极坐标为（ρ，θ），由于OA 是直径，所以∠OMA=2π，于是θcos =OA OM ，即θρcos 20=r 从而得ρ与θ满足的方程为：ρ=20r θcos 4、阿基米德螺线一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O 点越来越远，它远离O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把O 点定为极坐标的极点，M 与O 点的直线距离就是向径ρ，转角就是极角θ，由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t 为ωθυρ==t （0,≠ωυ）θωυρ=一般地，将该式写成)0(≠=ααθρ)0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。
三、范例讲解例1、（1）求过点A （2，4π）且平行于极轴的直线的极坐标方程； （2）过点A （3，3π）且和极轴成43π角的直线的极坐标方程思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。
按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。
解法一：如图，在直线l 上任取一点M （ρ，θ） 在△OAM 中 |OA|=2 |OM|=ρ∠OAM=-π4π（或4π） ∠OMA=θ（或-πθ） 在△OAM 中由正弦定理得：)4sin(sin 2ππρθ-=∴2sin =θρ解法二：如图在直线l 上任取一点M （ρ，θ）过M 作MH ⊥极轴于H 点， |MH|=24sinπ=2 在RT △OHM ，|HM|=|OM|θsin 即2sin =θρ（2）∠MBx=43π，∠OAB=43π3π-=125π∴∠OMA=θπθππ+=--4)43( 在△MOA 中，根据正弦定理125sin)4sin(3πρθπ=+ ∴化简得直线l 的极坐标方程为：2333)cos (sin +=+θθρ 本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。
例2、在极坐标系中，求以Q （r ，α）为圆心，以r 为半径的极坐标方程 解：由已知条件可知，此圆过极点。
设点M （ρ，θ）为圆上任意一点，连结OQ交圆于点N ，则ON 为圆的直径，连结MN ，则△OMN∠NOM=θα- |ON|=2r∴|OM|=|OM|)cos(αθ- 即ρ=2r )cos(αθ- 这就是所求的圆的极坐标方程。
四、巩固练习：1、设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α（如图所示）求已知直线l 的极坐标方程2、判断两圆θθρsin 3cos +=和θρcos 2=的位置关系五、小结几类特殊曲线的极坐标方程1、过极点直线的极坐标方程:l 0θθ=2、过已知点A （0ρ，α）且平行于极轴的直线的极坐标方程：αρθρsin sin 0=3、过已知点A （0ρ，α）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：αρθρcos cos 0=4、过点A （0ρ，α）且和极轴成β角的直线的极坐标方程：)sin()sin(0βαρβθρ-=- 5、极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α的直线l 的极坐标方程：d =-)cos(αθρ 6、圆心在极点的圆的极坐标方程：ρ=0r7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程ρ=20r θcos8、以（r ，α）为圆心，以r 为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程ρ=2r )cos(αθ- 9、阿基米德螺线)0(≠=ααθρ§1.4极坐标与平面直角坐标的互化 一、新课引入：1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。
