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极坐标系的概念ppt课件

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人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

极坐标系公开课精品PPT课件

极坐标系公开课精品PPT课件

（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可取任意值。
题组一. 如图，写出各点的极坐标：
2
5
4
6
D• Q E•
•C
。 O
•P
B
A
•
7 x
A(4,0)
B(3, )
4
C(2,
2
)
D(5,
5 6
)
E(4.5, )
F
•R
4
G
• 5
F(6, 4) 3
G(7, 5) 3
3 在图中描出点P(3,
9
),
3 Q(5,-
办公
（1）他向东偏北60 °方向 楼E
走120m后到达什么位置？ 120m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
45°
（2）如果有人打听体育馆
和办公楼的位置，他应
50m
60°
如何描述？
A教 60m 学楼
B体 育馆
从这向北 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
7
),
R(6, 10
)
4
6
3
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
一般地，极坐标 (, ) 与
(, 2k )( k Z ) 表示同一个点。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标 M
More You Know, The More Powerful You Will Be

极坐标的知识点总结PPT

极坐标的知识点总结PPT

极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。

在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。

极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。

一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。

2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。

3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。

二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。

- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。

- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。

2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。

- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。

总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。

通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。

在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。

了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。

《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)

《极坐标系的概念》课件(共27张PPT)
Page 14
4、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
M
P (ρ,θ)
[1]给定（,）,就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 如果限定ρ ＞0,0≤θ ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
Page 5
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
请问： 去广州塔怎么走？
Page 6
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
Page 7
从这向东 2000米。
请问： 去广州塔怎么走？
Page 8
请分析这句话，他告诉了问路人什么？ 从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
Page 13

3、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，

4

M
请说出点M的极坐标的表达式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角. 思考：这些极角有何关系？
O X π +2kπ 4， 4
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
Page 23
在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的 还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她 写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦 截下来，公主一直没有收到他的任何消息。在笛卡 尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了 这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊 在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。这最后一封 信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。 国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告 人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没 有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每 天闷闷不乐，便把这封信给了她。

--坐标系ppt(共38张PPT)

--坐标系ppt(共38张PPT)
角.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，

《极坐标系的概念》课件PPT

《极坐标系的概念》课件PPT

四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P
M
(ρ,θ)
一 给定 就可以在极坐标平
面内确定唯一的一点M
O
X
二 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对 应原因在于：极角有无数个
如果限定ρ＞0 0≤θ＜二π
那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
数学运用
例2、在极坐标系中，
（1）已知两点P（5、），Q（1，），求线段PQ的长度。
ra(1sin)
事实上 笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情 不过 笛 卡尔是 一六四九 年 一0 月 四 日应克里斯蒂娜邀请 才来到的瑞典 并且当时克里斯蒂娜已经成为了瑞典 女王 并且 笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学 问题 有资料记载 由于克里斯蒂娜女王时间安排很 紧 笛卡尔只能在早晨五点与他探讨哲学 天气寒冷 加上过度操劳让笛卡尔不幸患上肺炎 这才是笛卡尔 真正的死因 心形线的故事究竟几分是真几分是假 还是留给大家 自己判断吧
在生命进入倒计时的那段日子 它日夜思念的还 是街头偶遇的那张温暖的笑脸 它每天坚持给他写信 盼望着他的回音 然而 这些信都被国王拦截下来 公 主一直没有收到它的任何消息 在笛卡尔给克里斯汀 寄出第十三封信后 它永远地离开了这个世界 此时 被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里 思 念着远方的情人 这最后一封信上没有写一句话 只 有一个方程：r=a 一-sinθ 国王看不懂 以为这个方 程里隐藏着两个人不可告人的秘密 便把全城的数学 家召集到皇宫 但是没有人能解开这个函数式 它不 忍看着心爱的女儿每天闷闷不乐 便把这封信给了他
小结
•
C
3 2
-
•
E
5 3
+
E(3,- )

极坐标系 课件

极坐标系 课件
4
3
(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):
①( 3, 3); ②(−1, −1); ③(−3,0).
= cos,
分析:根据极坐标与直角坐标的互化公式
= sin
2 = 2 + 2 ,
及

进行求解.
tan = ( ≠ 0)

解:(1)设所求点的直角坐标为(x,y).
(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,③正确;点M与
π
5π
4
4
点 N 的极角分别是 θ1= , 2 =
, 二者的终边互为反向延长线,④
错误;由于动点M(5,θ)(θ∈R)的极径ρ=5,极角是任意角,故点M的轨
迹是以极点O为圆心,以5为半径的圆,⑤正确.
答案:①③⑤
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合;②极轴与x轴
的正半轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
= cos,
①极坐标化为直角坐标
= sin;
2 = 2 + 2 ,
②直角坐标化为极坐标

tan = ( ≠ 0).

名师点拨1.极坐标与直角坐标的互化,常用方法有代入法、平方
极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
(2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地,
极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐
标有无数种表示.

极坐标系

极坐标系

极坐标
二 、常见曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标方程的方法和步骤： 和求直角坐标方程类似，就是把曲线 看作适合某种条件的点的集合或轨迹， 将已知条件用曲线上点的极坐标 、 的 关系式 表示出来，就得到曲线 的极坐标方程。
1、直线的极坐标方程 例：求极坐标系下，经过定点 且 关于极轴的倾斜角为 的直线 方程 （其中 为定值）
极坐标
三、极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标 系，同一点可以有极坐标，也可以有直角坐标； 同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角 坐标方程。为了研究问题方便，有时需要把在 一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的 方程。
1、极坐标和直角坐标的互化公式： 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半 轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度 单位。 设M是平面内任一点，它的直角坐标为 极坐标是 ，从点M作 ，由三角函数 定义，可得出 之间的关系。
2、圆的极坐标方程 例：求极坐标系下，以定点 为半径的圆的方程。 解：如图，设所求圆上任一点 在 中，由余弦定理： 即为所求圆方程。
为圆心， ，
当圆心 表示极点时， 代入 则圆方程化为：
O
x
当圆心在极轴上，且圆经过极点时， 则圆方程化为 即：
O
x
3、三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
O
x
3、极坐标系下点与极坐标的对应关系 A、B、C、D、E、F、 π G各点的极坐标。 2 π
5π 6 4
C E
4π F 3
π
D
B
o
A G
5π 3
x
角 也可以取负值，如：
5π 6
π
2

极坐标系 课件

极坐标系 课件

约定：极点的极坐标是ρ＝0，θ可以取任意角．
4．直角坐标与极坐标的互化
以直角坐标系的O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐 标系中取相同的单位长度，平面内的任一点P的直角坐标和极 坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x y
cos sin
，或
2 tan
x2
y2， y. x
5. ① ② ③两种坐标系的单位长度相同.
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
间的距离以及过它们的直线的极坐标方程．
解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 解析：两点的直角坐标为 P( 2， 2)，Q( 2，－ 2)， 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 它们之间的距离|PQ|＝2 2. 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 由于直线 PQ 垂直于极轴，且距离极点的距离为 2， 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2. 所以直线的极坐标方程为 ρcos θ＝ 2.
练习 (1)写出图中各点的极坐标.
点A________；点B________；点C________.
(4,0)
2，π 4
3，π 2
(2)回答下列问题： ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由什么引起的？
答案：(1)不是 (2)无数种表示方法 (3)由极角的多 值性引起
极坐标系
1．极坐标系的建立 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确 定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向)，这样就建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射线Ox 称为极轴)．
2．极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，用θ 表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角， 有序数对(ρ，θ)就叫做M的极坐标．

1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)

1.2 极坐标系 课件(人教A选修4-4)(2)

只需将已知条件代入相关公式即可．
5π (1)∵x＝ρcos θ＝4· cos 3 ＝2. 5π y＝ρsin θ＝4sin 3 ＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)． (2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2 －2 tan θ＝ 2 ＝－1.且点 B 位于第四象限内， 7π 7π ∴θ＝ 4 .∴点 B 的极坐标为(2 2， 4 )． 又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π ∴点 C 的极坐标为(15， 2 )．
[研一题] [例 2] 系． 5π (1)已知点 A 的极坐标(4， 3 )，求它的直角坐标； (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它 们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π) 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标
[精讲详析]
本题考查立意]
本题主要考查点的极坐标的求法以及直角坐标
与极坐标的转化．
[解析]
5π 依题意，点 B 的极坐标为(4，12)，
5π π π π π π π ∵cos 12＝cos (4＋6)＝cos 4cos 6－sin 4sin 6 6－ 2 2 3 21 ＝ 2 ·2 － 2 ·＝ 4 ， 2 5π π π π π π π sin 12＝sin (4＋6)＝sin 4cos 6＋cos 4sin 6
的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，
允许ρ＜0.
[通一类] 1．边长为 a 的正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边， 求正六边形各顶点坐标．
解： 由点的极坐标的定义可知， 正六边形各顶点的极坐标分别 π π π 2 为：(0,0)、(a,0)、( 3a，6)、(2a，3)、( 3a，2)、(a，3π)或(0,0)、 π π π 2 (a,0)、( 3a、－6)、(2a，－3)、( 3a，－2)、(a，－3π).

极坐标系 课件

极坐标系 课件

A322，－322，B(－1，－ 3)，C－ 23，0，D(0，－4)．
(2)根据
ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝yx得
A2
3，116π，
B 35，π2，C4，23π.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．把直角坐标化为极坐标的注意事项 设点 M 的直角坐标为(x，y)，极坐标是(ρ，θ)． (1)由于 ρ≥0，解得 ρ＝ x2＋y2. (2)tan θ＝yx(x≠0)，当 x＝0 时，点 M(x，y)在 y 轴上， 当 y>0 时，点 M 的极角可取π2；当 y＝0 时，点 M 的极角可 取 0；当 y<0 时，点 M 的极角可取32π. 当 x≠0 时，由 tan θ 的值确定 θ，要注意点 M 所在的象限．
极坐标系
1．极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧 度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个 __极__坐__标__系____．设 M 为平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM| 叫做点 M 的_极___径__，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终 边的角 xOM 叫做点 M 的__极__角__，记为 θ.有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ)．
要点一 点的极坐标 1.求点 M 的极坐标的方法 (1)根据图形求点 M 到极点 O 的距离|OM|； (2)根据图形确定∠xOM 的一个值(一般取极轴 Ox 按逆时针 方向旋转到与 OM 重合时转过的角，即在[0,2π)内的一个角； (3)得点 M 的极坐标．
2．由极坐标确定点的位置的方法步骤
问题探究 1：极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联 系？

高中数学极坐标 ppt课件

高中数学极坐标 ppt课件

角，有序数对（，）就
叫做M的极坐标。
O
X
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到
极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即
以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
ppt课件
5
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F
G 5
3
ppt课件
3
6
特别规定： 当M在极点时，它的 极坐标=0，可以取任意值。
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
12 （ 3）2 2 tan 3 3
ppt课件
1
13
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2 x2 y2 , tan y ( x 0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
ppt课件
14
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
对应了.
ppt课件
11
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
ppt课件
12
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
θ
B (2, )
C (1, )
6
2
2
D (3, )
24
E (2, 3 )
4
ppt课件

高中选修极坐标系课件

高中选修极坐标系课件
π 2kπ+ 本题点M的极坐标统一表达式： 4， 4

关于距离问题 1.已知A,B的极坐标分别为 ,13 3, 和 3， 则A,B之间的距离等于 4 12 ___________
一般规律
在极坐标中，任意两点
间的距离
A1 ,1 , B 2 , 2
AB
应用余弦定理直接推得
极坐标和直角坐标的互化 y
在直角坐标系中, 以原点作为 极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的 长度单位 点M的直角坐标为 (1, 3)
M (1, 3)
θ
O
x
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
1 （ 3 ）2
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标系
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位 和角度单位及它的正 方向（通常取逆时针 O 方向）。
X
这样就建立了一个极坐标系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M， 用 表示线段OM的长度， 用 表示从OX到OM 的 角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序 数对（，）就叫做M的 O 极坐标。

高中数学课件《极坐标系》

高中数学课件《极坐标系》
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径，记为 ρ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的 极角 ， 记为 θ.有序数对 (ρ，θ) 叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ，θ) ．一般地，不作 特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数 ．
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标 系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长 度单位相同．
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角 θ 的正弦值 和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
[小组合作型] 将点的极坐标化为直角坐标
写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．
(1)2，43π；(2)2，23π；(3)2，－π3；(4)(2，－2)．
【思路探究】
点的极坐标(ρ，θ)―→xy＝ ＝ρρcsions
θ θ
―→点的直角坐标(x，y)―→
极坐标系
1．理解极坐标系的概念． 2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐 标系中刻画点的位置的区别．(难点) 3．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，能进行极坐标和直角坐标的互 化．(重点、易错点)
[基础·初探] 教材整理 1 极坐标系 阅读教材 P8～P10，完成下列问题． 1．极坐标系的概念
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)．

极坐标系的概念

极坐标系的概念

极坐标系的概念
负极径总结： 极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用
来表示“反向” 特别强调：以后不特别声明， 0 。
因为，负极径只在极少数情况用。
极坐标系的概念
五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
P
M
[1]极径是正的时候：
3， 2k O
X
极径相同，不同的是极角。
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同，也 就是说它们是终边相同的角。
本题点M的极坐标统极坐标一系的概表念 达式： 4 ，2 k π +
π 4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0)
4
D(5, ) 3
G(6, 5 )
3
B(6, 2 ) 5
E(3, ) 6
4
[2]极径用“-3” （3， 2k)
4
极坐标系的概念
五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]首先，给定极坐标M（，）
P
M
在平面上可以确定唯一的一点。
[2]反过来，给定平面上一
点，却有无数正有负；极
M
角有无数个。
但是，有统一表达式两个。 O
X
P
极坐标系的概念
如果限定ρ≥0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就 可以一一对应了.
极坐标系的概念
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 (1, 3)
设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
M (1, 3)
极坐标系的概念
四、4、正、负极径时，点的确定过程比较
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1
与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问 题.
2
如何确定以下两船 的位置关系呢？
15
Ex设点A(2, π )，直线l为过极点且垂直于极轴 6
的直线，分别求点A关于极轴、直线l、极点
的对称点的极坐标（限定 0, π π)
对极坐标平面中任意一点A(, )( 0, π π)
(1)点A关于极轴对称的点为__(__,____)_
(2)点A关于垂直于极轴的直线
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
拯救船
O
20º
x
3
距离40 km
方向：π
4
O
x
4
从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
5
在以上问题中，位置的确定是用
什么方法确定的？ 距离与方向
对称的点为__(__,_π___ ) (3)点A关于极点对称的点为_(__,_____π_)_
16
变式:在极坐标系中,若等边三角形的两顶点
是A(2,
π
)
,B(2, 5π )
,
4
4
那么顶点C的坐标可能是( )
3π A.(4, )
4 C .(2 3, π)
B.(2 3, 3 π)或(2 3, π )
这样建立的坐标系叫做极坐标系. θ
O·
x
7
二、极坐标系内点的极坐标的规定
对于平面内任意一点M，用 表示极点与
点M的距离，叫做点M的极径, 表示以Ox为
始边,OM为终边的角，叫做点M的极角,有序
数对（，）就叫做M的极坐标. .M(ρ,θ）
例如：以上实例中，走

私船、敌机所在点的极

坐标分别是：
(2)给定平面上一点 M ，但却有无数个极坐标与之对应
原因在于：极角有无数个
一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ) 都可以作为它的极坐标.
如果限定ρ＞ 0, 0≤θ＜2π 或－π＜θ≤ π,
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 特别强调：
一般情坐标与直角坐标系在刻画
点的位置时的区别吗？
13
极坐标系下的 点与它的极坐 标的对应情况
探究
① 平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 若不唯一，那有多少种表示方法？ ③ 坐标不唯一是由谁引起的？ ④同一点不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
14
极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况
(1)给定（,）,在极坐标平面内确定可唯一的一点 M
A(O6)00 B 60m
x
标分别为
A(0, 0), B(60, 0),(120, π),(60 3, π),(50, 3π).
3
2
4
12
练习：在同一个极坐标中描出以下各点：
A(4, π ), B(4, π 2 ),C(4, π 4 ), D(4, π 2 )
6
6
6
6
[思考]它们所表示的点有什么关系？
D(1, 5π ) 6
E(3.5, π)
4π F (6, )
3
G(5, 5π ) 3
5π
2π
6
•C 4
π
E.• D•• •B •A
O
x
G
4πF•
• 5π
3
3
10
2.边长为a的正六边形OABCDE在极坐标系中
的位置如图所示，求这个正六边形各顶点
的极坐标。
E
D
解：O(0,
0)，A(a, 5π )
3O
B( 3a, 11π ) C(2a, 0)
4
4
D.(3, π)
17
丰收园: 这节课我们学到了什么？
1.极坐标系的建立
四 要
素
极点 极轴 单位长度 角度的正方向
2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标
平面内确定唯一的一点M. [2]给定平面上一点M，但却有无数个极
坐标与之对应.
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课外练习: 课本P.12 1、2
C
x
6
D(
π 3a, )
E(a, π )
A
B
6
3
11
3.用点A,B,C,D,E分别表示教学楼,体育馆, 图 书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的
极坐标系,写出各点的极坐标.
解:以点A为极点,AB所在 D
C
的射线为极轴(单位长
度为1 m),建立极坐标系.E504m50
120m
则点A,B,C,D,E的极坐
O
x
(1)（5，20º）， (2)(40, )
5
8
三、特别规定：
当 M 在极点时，它的极径=0，极角
可以取任意值.如：极坐标(0,π)，(0,-30º ), (0，0)，…等都是表示极点. (你能再说出几个来吗？)
9
1. 说出下图中各点的极坐标
π
答： A(4, 0)
B(2, π ) 4
C(3, π ) 2
已知极坐系P1(1 ,1 ), P2 (2 ,2 ),
求P1 , P2两点间的距离.
19
20
在生活中人们经常用方向和距离来表 示一点的位置：如台风预报、地震预 报、测量、航空、航海等.
这种用方向和距离表示平面上一点的位 置的思想，就是极坐标的基本思想.
6
一、极坐标系的建立：
(1)在平面内取一个定点O，叫做极点； (2)引一条射线Ox，叫做极轴； (3)选定1个长度单位、1个角度单位（常取弧度）； (4)规定角度的正方向(通常取逆时针方向).