概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结：一、集合与简易逻辑

第一章 集合与简易逻辑基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。

考点1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，考查元素的互异性。

例1、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（答：8）例2、设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；例3、非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）考点2.遇到A B =∅ 时，注意“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，不能忘记∅=A 的情形；同时注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

例4、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2a =）考点3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n，12-n.22-n 例5、满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。

（答：7）考点4.集合的运算性质： ⑴A B A B A=⇔⊆； ⑵A B B B A=⇔⊆；⑶A B ⊆⇔uuA B ⊇痧； ⑷u uA B A B =∅⇔⊇ 痧； ⑸u A B U A B =⇔⊆ ð；⑹()U C A B U U C A C B = ；⑺()U U U C A B C A C B = .例6、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）考点 5.理解集合的意义――集合的代表元素。

如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，例7设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M=∈，则M N= ___（答：[4,)+∞）；例8设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈ ，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）考点 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

例9、已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。

（答：3(3,)2-）考点7.复合命题真假的判断。

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。

例10在下列说法中： ⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件； ⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件； ⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________（答：⑴⑶）考点8.四种命题及其相互关系。

若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。

提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

例11、“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （答：在A B C ∆中，若90C ∠≠，则,A B ∠∠不都是锐角）；例12、命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p 是（ ） A ．有些三角形不是等腰三角形 B ．所有三角形是等腰三角形C ．所有三角形不是等腰三角形D ．所有三角形是等腰三角形解析：像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题p ：“存在x A ∈使P （x ）成立”，┐p 为：“对任意x A P x ∈，有不成立()”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故的答案为C 。

例13、用反证法证明：已知x 、y ∈R ，x +y ≥2，求 证x 、y 中至少有一个不小于1。

证明：假设x <1且y <1，由不等式同向相加的性质x +y <2与已知x +y ≥2矛盾, ∴ 假设不成立∴ x 、y 中至少有一个不小于1[注]反证法的理论依据是：欲证“若p 则q”为真，先证“若p 则非q”为假，因在条件p 下，q 与非q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p 则非q”为假时，“若p 则q”一定为真。

考点9.充要条件。

关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

例14给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。

其中正确命题的序号是_______（答：①④）；例15设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。

若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2）考点10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为a x b >的形式，若0a >,则b x a>；若0a <,则b x a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

例16已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)31,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）考点11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。

设0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，例17解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a<；当01a <<时，11x a<<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a<<）考点12. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。

首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。

对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，注意同样的情形。

例18、()()222210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______ （答：(1,2]）；例19若在[0,]2π内有两个不等的实根满足等式cos 221x x k +=+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）考点13.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系。

二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。

例2032ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18）；例21若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为________ （答：),1()1,(+∞---∞nm）；例23不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。