高一数学必修4试题 (2)

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）。

A、-9B、-6C、9D、62．已知=(2,3), b=(-4,7)，则在b上的投影为（）。

A、B、C、D、3．设点A（1，2），B（3，5），将向量按向量=（-1，-1）平移后得向量为（）。

A、（2，3）B、（1，2）C、（3，4）D、（4，7）4．若(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ΔABC是（）。

A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（）。

A、B、C、D、6．已知O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，则（）。

A、B、C、D、7．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。

A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，则下列4个命题：(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b|(3)| +b|2=( +b)2(4)(b) -(a)b与不一定垂直。

其中真命题的个数是（）。

A、1B、2C、3D、49．在ΔABC中，A=60°，b=1，，则等于（）。

A、B、C、D、10．设、b不共线，则关于x的方程x2+b x+ =0的解的情况是（）。

A、至少有一个实数解B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解D、可能有无数个实数解二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）.2，则 =_________ 11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=212．已知ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，则用a，b表示AB为______.13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。

§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法,)1．问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2．例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题．试一试：教材P81习题2－2 B组T1，T2，T3你会吗？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A 作法作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论对角线OC→就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的运算律运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线． 答案：(1)√ (2)× (3)×2．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析：选B.因为a 与b 方向相反，|a |<|b |，所以a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.答案：(1)AC → (2)PM →4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：01．对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点． (3)方法与步骤：第一步，将b (或a )平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连； 第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点； ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a 与b 的起点平移到同一点； 第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a 与b 的和．(4)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .(教材P 81习题2－2 A 组T 3)[解] 法一：如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .法二：如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和．(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和．1．(1)如图所示，已知向量a 和b ，求作a ＋b .(2)如图，已知a ，b ，c 三个向量，试求作和向量a ＋b ＋c .解：(1)法一：(三角形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ；②连接OB ，则OB →＝a ＋b .法二：(平行四边形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b .(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →即为所求．向量的加法运算(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.(教材P 81习题2－2A 组T 5(1)(2))[解] (1)选B.由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．(1)在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → (2)化简下列各式： ①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝________． ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．解析：(1)因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.(2)①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →＋0＝AD →. ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(DF →＋FA →)＋CD →＝AC →＋DA →＋CD →＝(AC →＋CD →)＋DA →＝AD →＋DA →＝0.答案：(1)C (2)①AD →②0向量加法的应用(1)已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A 经过B 再走回到A 最少需几步？(教材P 77例1，例2，P 78例3) [解](1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123， 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为A →B →C →D →A ，即AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，所以最少需四步．本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A 经过B 再走回A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A 经过B 再走回A 时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步．方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3．(1)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.故填82和北偏东45°.(2)设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2 ＝8002＋8002＝8002(km)．易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 20[错因与防X] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接某某际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．4．(1)一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h ，该船的实际航程为________km.(2)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：(1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．因为|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，则∠CBO ＝60°， 又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°，所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度为2 3 km/h ，则实际航程为23×3＝63(km)．故填6 3. (2)作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中， |CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，所以cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．1．已知下面的说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a 或b 的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.①当a ＋b ＝0时，不成立；②说法正确；③当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，故此说法不正确；④当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；若a ，b 反向，则|a ＋b |＝||a |－|b ||；当a ，b 不共线时，|a ＋b |<|a |＋|b |，故此说法不正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A.FD →＋DA →＝FA →B.FD →＋DE →＋FE →＝0C.DE →＋DA →＝EB →D.DA →＋DE →＝FD →解析：选A.如题图，可知FD →＋DA →＝FA →， FD →＋DE →＋FE →＝FE →＋FE →≠0， DE →＋DA →＝DF →，故A 正确．3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B ．DB → C.BC →D ．CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG →C.FO →D ．EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C.因为(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝a ＝0. 所以a∥b ，a ＋b ＝b ，即①③正确，②错误，而a ＝0时，|a ＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，故④错误，⑤正确． 6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角． 解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角． 答案：|a |＝|b |7．矩形ABCD 中，|AB |＝3，|BC →|＝1，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于________． 解析：因为ABCD 为矩形，所以AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →＝AC →＋AC →，如图，过点C 作CE →＝AC →，则AC →＋AC →＝AE →，所以|AB →＋AD →＋AC →|＝|AE →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝4. 答案：48．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →， 又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形． 答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0， 故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B.能力提升] 1．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( )A.3B ．3C ．23D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.3．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________．解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0.答案：04．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值X 围是________．解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →，所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3. 在等腰△ACD 中，AC ＝CD ＝2， 所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°， 所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km.6．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，所以OA →＝CO →，OB →＝DO →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形．因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， 所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形， 所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3.|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。

2.1.4 数乘向量课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1.13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(2a ＋8b )－(4a －2b )等于( ) A ．2a －b B.2b －a C ．b －aD.a －b解析：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(6b －3a )＝2b －a .答案：B2．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD →C.BC →D.12BC → 解析：EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB → ＝12AC →＋12AB →＝AD →，故选A. 答案：A3．设x 是未知向量，a ，b 是已知向量，且满足3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，则x 等于( )A.14a －14bB.a ＋bC.12a －b D.0解析：∵3(x ＋a )＋3(b －a )＋x －a －2b ＝0，∴4x ＋3a －3a －a ＋3b －2b ＝0，∴4x ＝a －b ，∴x ＝14a －14b ，故选A.答案：A4.下列四个命题：①对于实数m 和向量a ，b ，恒有m (a －b )＝ma －mb ； ②对于实数m ，n 和向量a ，恒有(m －n )a ＝ma －na ； ③若ma ＝mb (m ∈R)，则a ＝b ； ④若ma ＝na (m ，n ∈R ，a ≠0)，则m ＝n . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B.2 C ．3D.4解析：由向量的运算律知①②④正确，故选C. 答案：C5．如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →＝( )A.23AD →－AB →B.12AD →－23AB →C.12AB →＋13AD → D.12AB →－23AD → 解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC →＝AD →，DC →＝AB →.∵点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴EC →＝12DC →，CF →＝23CB →，∴EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋23CB →＝12DC →－23BC →＝12AB →－23AD →.答案：D6．若点C 在线段AB 上，AC CB ＝52，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.解析：由题可知AC →＝52CB →，∴AC →＝57AB →，BC →＝－27AB →.答案：57 －277．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(b －3x ＋c )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量x ＝________.解析：原式变形为2x －23a －12b ＋32x －12c ＋b ＝0，∴72x ＝23a －12b ＋12c ，∴x ＝421a －17b ＋17c . 答案：421a －17b ＋17c8．化简：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解：(1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. [B 组 技能提升]1．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面ABC 内一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点解析：∵AB →＝PB →－PA →，∴PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，即2PA →＋PC →＝0，故AP →＝12PC →，∴P 是AC边的一个三等分点．答案：D2．点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定过△ABC 的( ) A ．内心 B.外心 C ．垂心D.重心解析：∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|.设AD →＝AB →|AB →|，AE →＝AC →|AC →|， 如图所示，则AD →与AB →共线且同向，AE →与AC →共线且同向，AD →和AE →均是单位向量．设AD →＋AE →＝AG →，则四边形ADGE 是菱形， ∴点G 在∠BAC 的平分线上.AP →＝λAG →， 又∵λ∈[0，＋∞)，∴点P 在射线AG 上．∴点P 的轨迹是∠BAC 的平分线，一定过△ABC 的内心，故选A. 答案：A3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，AD →＝3DB →，CD →＝14CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：AD →＝3DB →， ∴CD →－CA →＝3(CB →－CD →)， ∴CD →＝14CA →＋34CB →，∴λ＝34.答案：344．已知四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF →＝________.解析：如图所示，EF →＝EC →＋CD →＋DF →＝12AC →＋CD →＋12DB →＝12(AB →＋BC →)＋CD →＋12(DC →＋CB →)＝12(AB→＋DC →)＋CD →＝12(AB →＋CD →)＝12(a －2c ＋5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .答案：3a ＋3b －5c5.如图，已知△OAB 中，点C 是以点A 为对称中心的点B 的对称点，OD ＝2DB ，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .用a ，b 表示向量OC →，DC →.解：由题意知A 是BC 的中点，则OA →＝12(OB →＋OC →)，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，又OD ＝2DB ，所以OD →＝23OB →＝23b .DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .6. 如图，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，延长PA ，与CM 的延长线交于点Q ，若AP →＝QA →，MQ →＝λCM →，试确定λ的值．解：AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC →.∴λ＝12.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第二、三章 平面向量 三角恒等变换综合测试题 新人教B 版必修4本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，其中有且仅有一个是正确的．)1．有下列四个命题：①存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；②存在x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； ③x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ； ④若sin x ＝cos y ，则x ＋y ＝π2. 其中不正确的是( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③[答案] A[解析] ∵对任意x ∈R ，均有sin 2x2＋cos 2x2＝1，故①不正确，排除B 、D ；又x ∈[0，π]，1－cos2x 2＝sin 2x ＝sin x ，故③正确，排除C ，故选A.2．(2014·山东潍坊重点中学高一期末测试)若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A ．22 B ．－22C ．±22D ．－12[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴2cos α·tan α＝－2，即sin α＝－22. 3．(2014·陕西咸阳市三原县北城中学高一月考)函数y ＝2cos 2x －1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数[答案] C[解析] y ＝2cos 2x －1＝cos2x ，故函数y ＝2cos2x 是最小正周期为π的偶函数． 4．在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．12[答案] D[解析] 由条件，得(4sin A ＋2cos B )2＝1，(2sin B ＋4cos A )2＝27， ∴20＋16sin A cos B ＋16sin B cos A ＝28. ∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝12.即sin(A ＋B )＝12.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝12.5．函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋1的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π[答案] B[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2＋1 ＝1＋2sin x cos x ＋1＝2＋sin2x . ∴最小正周期T ＝π.6．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值等于( )A ．－1＋a2 B ．－1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4<0，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2.7．(2014·山东济宁梁山一中高一月考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10[答案] B[解析] ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x －4＝0，∴x ＝2. 又∵b ∥c ，∴－4＝2y ，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴|a ＋b |＝32＋－2＝10.8．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12[答案] B[解析] ∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2，|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a·b ＋4b 2，∵a·b ＝|a|·|b |cos60°＝1， ∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.9．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值为( ) A ．62B ．32C ．54D ．1＋34[答案] C[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15° ＝1＋12sin30°＝54.10．设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，∴3sin(A ＋B )－cos(A ＋B )＝1，∴3sin C ＋cos C ＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，∴C ＋π6＝5π6，∴C ＝2π3.11．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由已知，得1－cos2A 2＋1－cos2B 2＋sin 2C ＝2，∴1－12(cos2A ＋cos2B )＋sin 2C ＝2，∴cos2A ＋cos2B ＋2cos 2C ＝0， ∴cos(A ＋B )·cos(A －B )＋cos 2C ＝0， ∴cos C [－cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝0， ∴cos A ·cos B ·cos C ＝0， ∴cos A ＝0或cos B ＝0或cos C ＝0. ∴△ABC 为直角三角形．12．若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x[答案] C[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝3－(1－2sin 2x )＝2＋2sin 2x ， ∴f (x )＝2＋2x 2 ∴f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝2＋1＋cos2x ＝3＋cos2x .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13.2tan150°1－tan 2150°的值为________． [答案] － 3[解析] 原式＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－331－⎝⎛⎭⎪⎫－332＝－233·32＝－ 3.14．已知向量a 、b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝45°，|2a －b |＝10，∴4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝10，∴4－4×1×|b |cos45°＋|b |2＝10，∴|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝3 2.15．若1＋tan α1－tan α＝2 014，则1cos2α＋tan2α＝________.[答案] 2 014[解析] 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝1＋sin2αcos2α＝α＋sin α2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 014.16．在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513，则cos2A 的值为________．[答案]120169[解析] 在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝513>0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1213.∴cos2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2A ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2×1213×513＝120169.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求值(tan5°－cot5°)·cos70°1＋sin70°.[解析] 解法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan5°－1tan5°·cos70°1＋sin70° ＝tan 25°－1tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2·1－tan 25°2tan5°·sin20°1＋cos20°＝－2cot10°·tan10°＝－2. 解法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin5°cos5°－cos5°sin5°·sin20°1＋cos20°＝sin 25°－cos 25°sin5°·cos5°·sin20°1＋cos20° ＝－cos10°12sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 解法三：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－cos10°sin10°－1sin10°1＋cos10°·sin20°1＋cos20°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos10°sin10°－1＋cos10°sin10°·sin20°1＋cos20°＝－2cos10°sin10°·2sin10°·cos10°2cos 210°＝－2. 18．(本小题满分12分)(2014·山东烟台高一期末测试)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝1，且a 与b 的夹角为2π3，求：(1)a 在b 方向上的投影； (2)(a －2b )·b .[解析] (1)a 在b 方向上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝2×cos 2π3＝2×(－12)＝－1.(2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝2×1×cos 2π3－2×1＝－1－2＝－3.19．(本小题满分12分)(2014·山东济宁梁山一中高一月考)已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tan α的值；(2)求2α＋π4α－sin αcos2α的值．[解析] (1)tan(π4＋α)＝1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13.(2)∵α为锐角，tan α＝13，∴sin α＝1010，cos α＝31010. ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×110＝45.∴2α＋π4α－sin αcos2α＝n2α＋cos2αα－sin αcos2α＝35＋4531010－101045＝2105. 20．(本小题满分12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求tan α＋β2的值．[解析] ∵π2<α<π，0<β<π2，∴π4<α－β2<π.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459. 又∵π4<α2<π2，∴－π4<α2－β<π2.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53.故sin α＋β2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝459×53－⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×23＝2227， cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴tan α＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝22277527＝22535.21．(本小题满分12分)设平面内两向量a⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，k 、t 是两个不同时为零的实数．(1)若x ＝a ＋(t －3)b 与y ＝－ka ＋tb 垂直，求k 关于t 的函数关系式k ＝f (t )； (2)求函数k ＝f (x )的最小值． [解析] (1)∵x⊥y ，∴x·y ＝0， 即[a ＋(t －3)b ]·(－ka ＋tb )＝0，∴－ka 2＋t (t －3)b 2－k (t －3)a·b ＋ta·b ＝0.由|a |＝2，|b |＝1，a·b ＝0，可得－4k ＋t (t －3)＝0.∵k 、t 不同时为0，则t ≠0，∴k ＝t t －4，即f (t )＝t t －4(t ≠0)．(2)f (t )＝t 2－3t 4＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫t －322－94.故当t ＝32时，f (t )min ＝－916.22．(本小题满分14分)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)∵a ∥b ，∴2sin θ＝cos θ－2sin θ， ∴4sin θ＝cos θ，∴tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |，得sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，∴1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5. ∴－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4， 即sin2θ＋cos2θ＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又∵0<θ<π，∴π4<2θ＋π4<9π4，∴2θ＋π4＝5π4或7π4.∴θ＝π2或θ＝3π4.。