初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题17 不等式(组)的应用[精品]

不等式（组）的应用数学能集中，强化人们的注意力，能给人以发明创造的精细和谨慎的谦虚精神，更能锻炼和发挥人们独立工作精神。

狄尔曼知识纵横在客观世界中，相等的关系是相对的，局部的，不等的关系是绝对的，普遍的，因此，我们常常需要比较一些量的大小或者对某个量进行估计，列出不等式（组），运用不等式（组） 的相关知识予以求解不等式，不等式（组）的应用主要表现在：作差或作商比较数的大小，求代数式的取值范围，求代数式的最值，列不等式（组）解应用题。

列不等式（组）解应用题与列方程解应用题的步骤相仿，一般步骤是： 1、弄清题意和题中的数量关系，用字母表示未知数； 2、找出能够表示题目全部含义的一个或几个不等关系； 3、列出不等式；4、解这个不等式（组），求出解集并解答.例题求解例1、关于y x ,的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+p y x y x 2335的解是正整数，则整数p 的值为________（2011年湖北省十堰市中考题） 思路点拨：由⎩⎨⎧>>00y x 先确定p 的取值范围.例2 、若2-=+b a ，且b a 2≥，则（ ）A.a b 有最小值21B.a b有最大值1 C.b a 有最小值2 D.b a 有最小值98- （2011年杭州市中考题）思路点拨：代入消元，解关于a 或b 的不等式，进而判断a b 、ba的最值.例3、已知7654321,,,,,,a a a a a a a 是彼此互不相等的正整数，他们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值.（北京市竞赛题） 思路点拨：设7654321a a a a a a a <<<<<<，则1597321=+⋅⋅⋅⋅+++a a a a ，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式，这里要用到整数的如下性质：设b a ,为整数，若b a <，则b a ≤+1.例4、为了美化青岛，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配B A ,两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配两个造型所需花卉情况如右表所示：结合以上信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种造型的成本为1200元，试说明选用（1）中哪种方案成本最低？（青岛市中考题） 思路点拨：设需搭配x 个A 种造型，则需要搭配)50(x -个B 种造型，在甲，乙两种花卉数量一定的条件下，建立x 的不等式组，通过求正整数x 的值，确定方案并寻求最低成本。

不等式及不等式组的应用整数解问题☞“最多”、“最少”问题【例1】在一次爆破中，用1米的导火索来引爆炸药，导火索的燃烧速度为0.5cm/s，引爆员点着导火索后，至少以每秒_____米的速度才能跑到600m或600m以外的安全区域？【例2】一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了道题．【例3】现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆【例4】初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交0.70元，一张彩色底片0.68元，扩印一张照片0.50元，每人分一张，将收来的钱尽量用掉的前提下，这张照片上的同学最少有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【例5】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？【例6】小华家距离学校2.4千米．某一天小华从家中去上学恰好行走到一半的路程时，发现离到校时间只有12分钟了．如果小华能按时赶到学校，那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少？【例7】若干名学生合影留念，需交照像费20元(有两张照片)，如果另外加洗一张照片，又需收费1.5元，要使每人平均出钱不超过4元钱，并都分到一张照片，至少应有几名同学参加照像？【例8】某工人9月份计划生产零件180个，前10天每天平均生产6个，后经改进生产技术，提前2天并且超额完成任务，这个工人改进技术后平均每天至少生产零件多少个？【例9】八戒去水果店买水果，八戒有45元，买了5斤香蕉，若香蕉每斤3元，西瓜每个8元，请问八戒至多能买几个西瓜？【例10】在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初三⑴班同学去栽种．如果每人分2棵，还剩42棵；如果前面每人分3棵，那么最后一人得到的树苗少于5棵(但至少分得一棵)．⑴设初三⑴班有x名同学，则这批树苗有多少棵？(用含x的代数式表示)．⑵初三⑴班至少有多少名同学？最多有多少名【例11】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装20吨，B型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完，问：在已确定调用5辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？【例12】商业大厦购进某种商品l000件，售价定为进价的125％．现计划节日期间按原售价让利l0％，至多售出l00件商品；而在销售淡季按原定价的60％大甩卖．为使全部商品售完后赢利，在节日和淡季之外要按原定价销售出至少多少件商品？☞求范围以及具体数目问题【例13】一堆有红、白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，但白球个数的2倍比红球多．若把每一个白球都记作“2”，每一个红球都记作“3”，则总数为60，那么，白球与红球各有多少个？【例14】“六一”儿童节前夕，某消防队官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意买了一些，送给这个小学的小朋友做为节日礼物．如果每班分10套，那么欲5套;如果前面的每个班级分13套，那么最后一个班级虽然分有福娃，但不足4套．问：该小学有多少个班级？奥运福娃共有多少套？【例15】某企业人事招聘工作中，共安排了五个测试项目，规定每通过一项测试得1分，未通过不得分，此次前来应聘的26人平均得分不低于4.8分，其中最低分3分，而且至少有3人得4分，则得5分的共有多少人？【例16】暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程．如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间．求这辆汽车原来每天计划的行程范围(单位：公里)．【例17】有人问一位老师他所教的班有多少学生，老师说：“一半的学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”。

初中数学竞赛辅导2021届人教版初中数学第17章《几何不等式与极值2021年初中数学竞赛辅导专题讲义第17章几何不等式与极值问题17.1.1★一个凸行边形的内角中，恰好有4个钝角，求n的最大值．解析考虑这个凸行边缘的n个外角，n？四角≥ 90?, 为什么？N4.90?? 360? （严格）小于是由于4个钝角的外角和大于0?），因此n?8，n的最大值是7．易构造这样的例子。

如果恰好有k个钝角，则n的最大值是k?3.17.1.2 ★ 在里面△ ABC，AB？AC，P是BC侧的高ad点。

验证：ab？交流电？PB个人计算机apcbd分析易知ab?ac?pb?pc，又是AB2？ac2？bd2？cd2？pb2？pc2故有ab?ac?pb?pc．评论的读者可能希望考虑AD是角平分线和中线的情况。

17.1.3已知四边形abcd，ac、bd交于o，△ado和△bco的面积分别为3、12，求四边形abcd面积的最小值．adobc解析易懂s△abobos△bco??，故s△abo?s△cdo?s△ado?s△bco?36.s△adodos△dco从而s△abo?s△cdo≥2s△abo?s△cdo?12，什么时候△ 阿布？当s时，等号成立△ CDO（此时，四边形ABCD为梯形），因此四边形ABCD面积达到最小值2717.1.4★已知：直角三角形abc中，斜边bc上的高h?6．（1）求证：bc?h?ab?ac；（2）求?bc?h?-?ab?ac?.解析22? 卑诗省？H2.ab？交流电？2?bc2?h2?2bc?h?ab2?ac2?2ab?ac，一2021年初中数学竞赛辅导专题讲义从情况来看，知道2BC吗？H4s△abc？2ab？AC和AB2？ac2？BC2，那么？卑诗省？Hab？交流电？？h2？36注意：这同时解决了（1）和（2）.17.1.5 ★ 设置矩形ABCD，BC=10，CD？7.移动点F和E分别位于BC和CD上，BF？预计起飞时间？4.找出△ AFE区域ade22bfc分析设置BF？十、de?y??4?x?，则11秒△abf？s△艾德？s△ecf？？7x？10岁？？10? 十、7.Y70? xy？？22 by XY≤ 12? 十、Y4.因此△ AEF≥ 70 ℃ 70? 4.332当bf?ed?2时达到最小值．17.1.6 ★ 将P设置为固定角度？在a中的某一点，通过P的驱动直线与M和n中的两侧相交△ amn最小，P是Mn的中点mpαaβn解析如图所示，连接AP并设置？地图打盹从…起s△amp?s△anp?s△man，得是美联社？罪一美联社？罪是安辛又左式≥2ap?am?an≥sin??sin?，故s△amn当达到最小值时，s△ 放大器？s△ 所以p是Mn的中点n、ca、ab上，bm?cn?ap?1，17.1.7★正三角形abc的边长为1，p分别在bc、m、二12ap2sin?sin?。

专题16 不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）A 、2116-<<-tB 、2116-<≤-tC 、2116-≤<-tD 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值. （天津市竞赛试题）解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大 值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解，y 都是正数，则m 的取值范围 是（河南省中考试题）5、关于的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31 B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a ，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+ky x y x 3962有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax b x a x 的解集11、已知关于的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ）A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x （山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知，y ，是三个非负有理数，且满足3＋2y ＋＝5，＋y －＝2，若s ＝2＋y －，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.。