第六单元 反比例函数(能力提升)(解析版)

一、选择题1．关于反比例函数y =4x，下列说法不正确的是（ ） A ．图象关于原点成中心对称 B ．当x >0时，y 随x 的增大而减小C ．图象与坐标轴无交点D ．图象位于第二、四象限 【答案】D【分析】 根据反比例函数图象的性质判断即可．【详解】解：根据反比例函数的性质可知，图象关于原点成中心对称，图象与坐标轴无交点，所以A 、C 不符合题意；因为比例系数是4，大于0，所以当x >0时，y 随x 的增大而减小，故B 不符合题意； 因为比例系数是4，大于0，所以图象位于第一、三象限，故D 错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的顶点O 在坐标原点，另外两个顶点A 、B 均在反比例函数(0)k y k x=≠的图像上，分别过点A 、点B 作y 轴、x 轴的平行线交于点C ，连接OC 并延长OC 交AB 于点D ，已知C （1，2），△BDC 的面积为3，则k 的值为（ ）A ．3B ．3C ．6+2D ．8【答案】C【分析】 过B 、C 分别做BE ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，设BC=a ，由点C 的坐标即可表示点B 、C 的坐标，即可得出AC 与BC 的比值，由相似三角形的判定易证得△COF ∽△DCG ，得出DG 与DH 的比值，得出22ABC BCD ACD SS S ==，由三角形面积公式列出关于a 的等式，求得a 的值得出B 点坐标，即可求得k 值．【详解】解：过B 、C 分别做BE ⊥x 轴垂足为E ，延长AC 交x 轴于F ，过D 作DG ⊥BC ，DH ⊥AB ，垂足为G 、H ．∵ C （1，2）∴ OF=1，CF=2=BE ，则点A 的横坐标为1，点B 的纵坐标为2，设BC=a ，则B （a+1，2）∵B 在反比例函数k y x=的图像上， ∴()21k a =+， ∵A 在反比例函数k y x=的图像上，且点A 的横坐标为1， ∴A 点的纵坐标为：22y a =+，即点A （1，2a+2）， ∴ AC=AF-CF=2a+2-2=2a ，∴ 12AC BC =， ∵ BC//x 轴，CF ⊥x 轴，DG ⊥BC ，∠COF=∠DCG ，∠CFO=∠DGC=90°，∴ △COF ∽△DCG ，∴ 21CF D CG OF G ==，即21DG DH =， ∴ 3BCD ACD SS ==， ∴6ABC S =， ∴162AC BC ⋅⋅=，即1262a a ⨯⨯=， ∴ 6a =∴ B （62），∴ k=226+故选：C【点睛】本题考查了反比函数图像上点的坐标特征，相似三角形的性质和判定，注意准确作出辅助线，求得点B 的坐标是关键．3．已知点()11,x y ，()22,x y 是反比例函数1y x =图象上的两点，若120x x >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．120y y >>B ．210y y >>C ．120y y >>D ．120y y >> 【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中哪个是一定成立的，从而可以解答本题．【详解】解：∵y=1x中，k=1＞0 ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=1x 图象上的点，x 1＞0＞x 2， ∴y 1＞0＞y 2，故选：D ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．如图，A 、B 分别是反比例函数()40y x x=>图象上的两点，连结OA 、OB ，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、E ，且AC 交OB 于点D ，若43OAD S ∆=，则CD BE的值为（ ）A ．13B ．33C ．12D ．22【答案】B【分析】先利用反比例函数系数k 的几何意义得到S △AOC =S △BOE =2，则23OCD S ∆=，再证明△OCD ∽△OEB ，然后根据相似三角形的性质求解．【详解】解：∵AC ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，∴S △AOC =S △BOE =12×4=2， ∴S △OCD =2-43=23， ∵CD ∥BE ，∴△OCD ∽△OEB ，∴2213()332OCDOEB S CD S EB∆∆===， ∴3CD BE =． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义：在反比例函数y=k x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．5．某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ ）A ．4月份的利润为45万元B ．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C ．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元D ．9月份该企业利润达到205万元【答案】D【分析】先根据图象求出反比例函数的解析式，将横坐标为4代入求得利润即可判断A ，根据图象求出一次函数的解析式，即可判断B ，将135代入两个函数求对应的x 的值即可；将x=9代入求利润即可；【详解】A 、由图象得反比例函数经过点(1，180)，∴ 反比例函数的解析式为：180y x= ， 将x=4代入得：y=45，故该选项不符合题意；B 、将(4，45)，(5，75)代入一次函数解析式，45=4755k b k b +⎧⎨=+⎩， 解得3075k b =⎧⎨=-⎩， 求得一次函数解析式为：3075y x =- ，故该选项不符合题意； C 、将y=135代入180y x =和3075y x =-中， 180135x = 解得：x=43； 135=3075x - 解得：x=7，故该选项不符合题意；D 、将x=9代入3075y x =-，求得y=270-75=195≠205，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键；6．若反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点()2,1-，则该函数图象一定经过（ ） A ．()1,1-B ．14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2--D ．1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】D【分析】将（2，-1）代入(0)k y k x =≠即可求出k 的值，再根据k=xy 解答即可． 【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点（2，-1）， ∴2×（-1）=-2，A 选项中，-1×1=-1≠-2，故不符合题意；B 选项中，14=222⨯≠-，故不符合题意； C 选项中，1(2)=22-⨯-≠-，故不符合题意； D 选项中142-⨯=-2，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．7．下式中表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．4y x =--B ．2y xC ．21y x =D ．53y x = 【答案】D【分析】根据反比例函数的概念：形如y=k x （k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数进行分析即可．【详解】解：A 、4y x =--是一次函数，错误；B 、2y x 是二次函数，错误；C 、21y x =中，y 是x 2的反比例函数，错误； D 、53y x=表示y 是x 的反比例函数，故此选项正确． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．8．若点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x <<【答案】B【分析】不论k 取何值，2k +1恒为正数，图像分布在一、三象限，根据反比例函数图像性质求解即可.【详解】∵不论k 取何值，2k +1恒为正数，∴反比例函数21k y x+=的图象分布在第一、第三象限， ∵点()()()123,1,,2,,3A x B x C x --在反比例函数21k y x+=的图象上， ∴1x ＞0，∴230x x <<，∴231x x x <<，故选B.【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，解答时，熟记性质是解题的关键.9．若双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．5m <B ．5m ≥C ．5m >D ．5m ≠ 【答案】C【分析】根据反比例函数的性质可解．【详解】解：∵双曲线5m y x -=在每一个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴50m ->，解得5m >，故选：C ．【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数k y x=，当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．10．如图，双曲线k y x=经过点(2,4)A 与点(4,)B m ，则AOB 的面积为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，把点A（2，4）代入双曲线kyx=确定k的值，再把点B（4，m）代入双曲线kyx=，确定点B的坐标，根据S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC−S△BOD和三角形的面积公式与梯形的面积公式进行计算即可．【详解】过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图，∵双曲线kyx=经过点A（2，4），∴k＝2×4＝8，而点B（4，m）在8yx=上，∴4m＝8，解得m＝2，即B点坐标为（4，2），∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC－S△BOD＝12OC•AC＋12×（AC＋BD）×CD−12OD×BD＝12×2×4＋1 2×（4＋2）×（4−2）−12×4×2＝4＋6－4＝6．故选：D．【点睛】本题考查了点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了利用坐标表示线段的长以及利用规则的几何图形的面积的和差计算不规则的图形面积．11．已知反比例函数6yx=-，下列说法中正确的是（）A．该函数的图象分布在第一、三象限B．点()2,3在该函数图象上C．y随x的增大而增大D．该图象关于原点成中心对称【答案】D【分析】根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y 随x的增大而增大，再逐个判断即可．【详解】解：A．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；B．把（2，3）代入6yx=-得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；C．∵反比例函数6yx=-中-6＜0，∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D．反比例函数6yx=-的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．12．函数1yx=与函数1yx=-的图像可以通过图形变换得到，给出下列变换：①平移，②旋转，③轴对称，④相似（相似比不为1），则可行的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【分析】由于反比例函数的图象是一个中心对称图形，也是轴对称图形，即函数1yx=的图象可以经过旋转得到1yx=-的图象，而不能经过平移，由于两函数表达式相同，故两函数的图象相似，且相似比为1．【详解】 解：已知函数1y x =与函数1y x=-， 且反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，故函数图象不可以通过平移来完成，故①错误；②正确；③正确；又因为两函数图象完全相同，即两函数图象相似，且相似比为1，故④错误； 综上所述，可行的是②③．故选：B ．【点睛】本题通过反比例函数图象的性质和图象的旋转问题，要求学生具有一定的猜想和探究能力．二、填空题13．如图，点A 在双曲线2(0)y x x=-<上，连接OA ，作OB OA ⊥，交双曲线(0)k y k x=>于点B ，若2OB OA =，则k 的值为_________．14．反比例函数3y x =和1y x =在第一象限的图象如图所示．点,A B 分别在3y x =和1y x =的图象上，//AB y 轴，点C 是y 轴上的一个动点，则ABC ∆的面积为_____．15．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()P kpa 是气球体积V 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kpa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积V 的范围是__________．16．如图，点A B 、分别在反比例函数()110k y k x =>和()220ky k x=<的图象上，连接AB 交y 轴于点P ，且点A 与点B 关于P 成中心对称．若AOB ∆的面积为S ，则12k k -=_____．17．如图，反比例函数(0)ky k x=≠在第二象限内的图象上有一点P ，过点P 作PA y ⊥轴于点A ，点B 是x 轴上任一点，若3ABPS =，则k 的值是_______．18．如图，矩形ABCD 的顶点()1,6A 和对称中心都在反比例函数6y x=上，则矩形的面积为___________．19．如图，已知等边11OA B ，顶点1A 在双曲线()30y x x=>上，点1B 的坐标为（2，0）．过1B 作121//B A OA ，交双曲线于点2A ，过2A 作2211//A B A B 交x 轴于2B ，得到第二个等边122B A B ．过2B 作2312//B A B A 交双曲线于点3A ，过3A 作3322//A B A B 交x 轴于点3B 得到第三个等边233B A B ；以此类推，…，则点2B 的坐标为______，n B 的坐标为______．20．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 的边AB 平行于y 轴，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为6，则k ＝_____．三、解答题21．如图，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x（x ＜0）的图象相交于点A （﹣1，2）、点B （﹣4，n ）．（1）求此一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB 的面积； （3）若点H （﹣12，h ）也在双曲线上，那么在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH |的差最大，求出点P 的坐标． 22．已知反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A （3，4），B （2m ，6-），C （6-，2m ）B ，C 在第三象限，顺次连接A ，B ，C ． （1）求B ，C 的坐标； （2）求ABC 的面积；（3）若直线AB 的解析式为y mx n =+，则关于x 的不等式kmx n x+>的解集为______．23．已知一次函数223y x =+的图象分别与坐标轴相交于A 、B 两点（如图所示），与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于C 点．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）作CD x ⊥轴，垂足为D ，如果OB 是ACD △的中位线，求反比例函数()0ky k x=>的关系式． （3）请根据图象直接写出在第一象限内，反比例函数值大于一次函数值时自变量x 的取值范围．24．已知反比例函数1ky x-=的图象经过点(2,4)A -，点(,6)B m - （1）求k 及m 的值．（2）点()11,M x y ，()22,N x y 均在反比例函数1ky x-=的图象上，若12x x <，比较1y ，2y 的大小关系．25．如图，点A 在反比例函数ky x=的图象位于第一象限的分支上，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，S △AOB =2．（1）求该反比例函数的表达式，（2）若P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)是反比例函数ky x=图象上的两点，且x 1<x 2，y 1<y 2，指出点P 、Q 各位于哪个象限，并简要说明理由．26．如图，已知点A 在反比例函数()0ky k x=<的图象上，点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，AB x ⊥轴，且92OAB S ∆=()1求k的值；()2点P在y轴上，AOP是等腰三角形，求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无 12．无二、填空题13．8【分析】过点A 作轴过点B 作轴利用相似三角形的性质求解即可；【详解】过点A 作轴过点B 作轴∵∴∴∵∴∴∵A 在上设∴∵∴∴∴B 的坐标为将点B 的坐标代入则；故答案是8【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用 解析：8 【分析】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A 作AE x ⊥轴，过点B 作BF x ⊥轴，∵OB OA ⊥， ∴90AOB ∠=︒， ∴2390∠+∠=︒， ∵1290∠+∠=︒， ∴13∠=∠，∴AEOOFB ， ∵A 在2(0)y x x=-<上，设()1112,＜0A x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴1OE x =，12AE x -=，∵2OB OA =， ∴12EO AE AO FB OF OB ===， ∴11222FB EO x x ===-，112422OFAE x x -===-，∴B 的坐标为114,2x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入(0)ky k x=>， 则()11428k x x =-⨯-=；故答案是8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确计算是解题的关键．14．【分析】连结OAOB 延长AB 交x 轴于D 如图利用三角形面积公式得到S △OAB=S △ABC 再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △OAD=S △OBD=即可求得S △OAB=S △OAD-S △OBD=1解析：1． 【分析】连结OA 、OB ，延长AB ，交x 轴于D ，如图，利用三角形面积公式得到S △OAB =S △ABC ，再根据反比例函数的比例系数k 的几何意义得到S △OAD =32，S △OBD =12，即可求得S △OAB =S △OAD -S △OBD =1． 【详解】解：连结OA 、OB ，延长AB ，交x 轴于D ，如图，∵AB//y 轴， ∴AD ⊥x 轴，OC//AB ， ∴S △OAB =S △ABC ， 而S △OAD =12×3=32，S △OBD =12×1=12， ∴S △OAB =S △OAD -S △OBD =1， ∴S △ABC =1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数ky x=（k 为常数，k ≠0）图象上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k ． 15．【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1564）可求得反比例函数的解析式再根据题意即可求出当时V 的范围【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m3）的关系式为∵图象过点（15 解析：0.6V ≥【分析】利用待定系数法结合反比例函数图象上的点（1.5，64）可求得反比例函数的解析式，再根据题意即可求出当160P ≤时V 的范围． 【详解】解：设球内气体的气压P （kPa ）和气体体积V （m 3）的关系式为k P V=， ∵图象过点（1.5，64）， ∴ 1.56496k =⨯=， ∴96P V=． ∵在第一象限内，P 随V 的增大而减小， ∴当160P ≤时，96160V≤， ∴0.6V ≥． 故答案为：0.6V ≥． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据图象上的已知点的坐标求出函数解析式是解题关键．16．【分析】作AC ⊥y 轴于CBD ⊥y 轴于D 如图先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP=S △BDP 利用等量代换和k 的几何意义得到S △AOB=S △AOC+S △BOD=×|k1|+|k2|=S 然后利用k1＞0 解析：2S【分析】作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，先证明△ACP ≌△BDP 得到S △ACP =S △BDP ，利用等量代换和k 的几何意义得到S △AOB =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|= S ，然后利用k 1＞0，k 2＜0可得到k 1-k 2的值． 【详解】解：作AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，如图，∵点A 与点B 关于P 成中心对称， ∴AP=BP ，在△ACP 和△BDP 中，ACP BDP APC BPD AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BDP （AAS ）， ∴S △ACP =S △BDP ，∴S △AOB =S △APO +S △BPO =S △AOC +S △BOD =12×|k 1|+12|k 2|=S ， ∵k 1＞0，k 2＜0， ∴k 1-k 2=2S ． 故答案为：2S ． 【点睛】本题考查了比例系数k 的几何意义：在反比例函数ky x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1k 2，且保持不变．也考查了反比例函数的性质．17．-6【分析】根据题意设点P 为（xy ）则PA=结合即可求出k 的值【详解】解：∵点P 在反比例函数的图像上设点P 为（xy ）则∵轴点P 在第二象限则∴∴∵∴∴；故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的性质反比解析：-6 【分析】根据题意，设点P 为（x ，y ），则PA=x ，OA y =，结合132ABPS PA OA =•=，即可求出k 的值． 【详解】解：∵点P 在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，设点P 为（x ，y ），则=k xy ，∵PA y ⊥轴，点P 在第二象限，则0,0x y <>， ∴PA x x ==-，OA y =， ∴11()322ABPSPA OA x y =•=•-•=， ∵=k xy ， ∴132k -=， ∴6k =-； 故答案为：6-．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题．18．12【分析】设点C 的坐标为从而可得对称中心的坐标再将其代入反比例函数的解析式可得a 的值然后根据点AC 的坐标可得ABBC 的长最后利用矩形的面积公式即可得【详解】设点C 的坐标为则矩形的对称中心为AC 的中解析：12 【分析】设点C 的坐标为(,0)(0)C a a >，从而可得对称中心的坐标，再将其代入反比例函数的解析式可得a 的值，然后根据点A 、C 的坐标可得AB 、BC 的长，最后利用矩形的面积公式即可得． 【详解】设点C 的坐标为(,0)(0)C a a >，则OC a =， 矩形ABCD 的对称中心为AC 的中点，且()1,6A ，∴对称中心的坐标为106(,)22a ++，即1(,3)2a +， 由题意，将1(,3)2a +代入6y x =得：1362a +⨯=，解得3a =， 3OC ∴=，又()1,6A ，1,6OB AB ∴==，2BC OC OB ∴=-=，则矩形ABCD 的面积为6212AB BC ⋅=⨯=， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识点，正确求出矩形的对称中心的坐标是解题关键．19．（20）（20）【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2B3B4的坐标得出规律进而求出点Bn 的坐标【详解】解：如图作A2C ⊥x 轴于点C 设B1C=a 则A2C=aOC=O解析：（22，0）， （2n ，0）． 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B 2、B 3、B 4的坐标，得出规律，进而求出点B n 的坐标． 【详解】解：如图，作A 2C ⊥x 轴于点C ，设B 1C=a ，则A 2C=3a ， OC=OB 1+B 1C=2+a ，A 2（2+a ，3a ）． ∵点A 2在双曲线()30y x =>上， ∴（2+a ）•3a=3，解得a=2-1，或a=-2-1（舍去）， ∴OB 2=OB 1+2B 1C=2+22-2=22， ∴点B 2的坐标为（22，0）；作A 3D ⊥x 轴于点D ，设B 2D=b ，则A 3D=3b ， OD=OB 2+B 2D=22+b ，A 2（22+b ，3b ）． ∵点A 3在双曲线y=3（x ＞0）上， ∴（22+b ）•3b=3，解得b=-2+3，或b=-2-3（舍去）， ∴OB 3=OB 2+2B 2D=22-22+23=23， ∴点B 3的坐标为（23，0）；同理可得点B 4的坐标为（24，0）即（4，0）； 以此类推…，∴点B n 的坐标为（2n ，0）， 故答案为（22，0），（2n ，0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B 2、B 3、B 4的坐标进而得出点B n 的规律是解题的关键．20．4【分析】如图延长AB 交x 轴于D 根据反比例函数y ＝（x ＞0）的图象经过点B 设B （x ）则OD ＝x 根据△OAB 的面积为6列等式可表示AB 的长表示点A 的坐标根据线段中点坐标公式可得C 的坐标从而得出结论【详解析：4 【分析】如图，延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点B ，设B （x ，kx），则OD ＝x ，根据△OAB 的面积为6，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论． 【详解】解：如图，延长AB 交x 轴于D ，∵AB ∥y 轴， ∴AD ⊥x 轴， ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过OA 中点C 和点B ， ∴设B （x ，kx），则OD ＝x ， ∵△OAB 的面积为6，∴162AB OD ⋅⋅=，即162AB x ⋅=， ∴AB ＝12x， ∴A （x ，12kx+）， ∵C 是OA 的中点，∴C （12x ，122k x +），∴k ＝11222k x x +⋅， ∴k ＝4，故答案为：4． 【点题】此题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．三、解答题21．（1）y ＝12x +52， y ＝﹣2x ；（2）S △AOB ＝154；（3）P （0，92）． 【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式求出m 的值，然后再把点B 的坐标代入反比例函数求出n 的值，从而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；（2）求得直线AB 与x 轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据题意，P 点是直线BH 与y 轴的交点； 【详解】（1）∵点A(﹣1，2)在反比例函数图象上， ∴21k -＝2， 解得k 2＝﹣2，∴反比例函数的解析式是y ＝﹣2x， ∵点B(﹣4，n)在反比例函数图象上， ∴n ＝21=42-- ， ∴点B 的坐标是(﹣4，12)， ∵一次函数1y k x b =+的图象经过点A(﹣1，2)、点B(﹣4，12)． ∴112142k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ．∴一次函数解析式是1522y x =+ ； （2）设直线AB 与x 轴的交点为C ，1522y x =+中，令y ＝0，则x ＝﹣5， ∴直线与x 轴的交点C 为(﹣5，0)， ∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC 11115=525=2224⨯⨯-⨯⨯ ； （3）∵点H(﹣12，h)也在双曲线上， ∴2=412h =--， ∴H(﹣12，4)， ∵在y 轴上存在一点P ，使得|PB ﹣PH|最大， ∴P 点是直线BH 与y 轴的交点， 设直线BH 的解析式为y ＝kx+m ，∴142142k m k m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，解得192k m =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴直线BH 的解析式为y ＝x+92， 令x ＝0，则y ＝92， ∴P(0，92)．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积，会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解题的关键；22．（1）B （2-，6-），C （6-，2-）；（2）30；（3）20x -<<或3x >【分析】（1）将点A 坐标（3，4代入反比例函数()0ky k x=≠求得k 的值，根据反比例函数的析式即可求得B ，C 的坐标；（2）过点A 作AD ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥y 轴，AD ，BD 交于点D ，过点C 作CE ⊥BD 交DB 延长线于点E ，由A ，B ，C 的坐标可求出AD ，BD ，BE ，CE 的长，根据ABC ABD BC S S S S =--△△△E 梯形ADEC 即可求解；（3）观察图象，即可求得一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围，即不等式kmx n x+>的解集． 【详解】解：（1）将点A 坐标（3，4）比例函数()0ky k x=≠，得 43k=，解得12k =， ∴反比例函数的析式为12y x=， ∵反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点B （2m ，6-），C （6-，2m ）， ∴1m =-，∴B （2-，6-），C （6-，2-）；（2）过点A 作AD ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥y 轴，AD ，BD 交与点D ，过点C 作CE ⊥BD 交DB 延长线于点E ，∵A （3，4），B （2-，6-），C （6-，2-）， ∴AD=10，BD=5，BE=4，CE=4，DE=9， ∴ABC ABD BC S S S S =--△△△E 梯形ADEC =()111410910544222⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯=6325830--=；（3）直线AB 与反比例函数()0ky k x=≠的图象交于A （3，4），B （2-，6-），由图可得关于x 的不等式kmx n x+>的解集为：20x -<<或3x >． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．23．（1）()30A -,，()0,2B ；（2）()120y x x=>；（3）03x << 【分析】（1）分别令一次函数解析式中y=0、x=0求出x 、y 的值，从而得出点A 、B 的坐标； （2）由A 、B 点的坐标结合中位线的性质，找出线段OD 、DC 的长度，从而找出点C 的坐标，再由点C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的系数k ，从而得出结论；（3）观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：（1）令一次函数223y x =+中y=0，则23x+2=0， 解得：x=-3，∴点A 的坐标为（-3，0）；令一次函数223y x =+中x=0，则y=2， ∴点B 的坐标为（0，2）；（2）∵OB 是ACD △的中位线，∴2224CD BO ==⨯=，3==OD OA ， ∴C 点坐标()3,4，∴3412k =⨯=， ∴反比例函数的关系式()120y x x=>． （3）由图象可知，当03x <<时，反比例函数值大于一次函数值． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形中位线的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例系数k 是关键． 24．（1）9k =，43m =；（2）当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1． 【分析】（1）把点A 的坐标代入函数解析式，利用待定系数法确定函数关系式；根据反比例函数图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，把B 点代入函数求解即可； （2）分类讨论：当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0，则y 1＜y 2；当x 1＜0＜x 2，则y 2＜y 1．解：（1）依题意得：1﹣k ＝2×（﹣4）＝﹣8，所以k ＝9； ∵点B （m ，﹣6）在这个反比例函数的图象上， ∴﹣6m ＝﹣8， ∴m ＝43； （2）∵点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）都在反比例函数y ＝﹣8x的图象上， ∴函数在每个象限内，y 随x 的增大而增大， 当0＜x 1＜x 2或x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2； 当x 1＜0＜x 2时，y 2＜y 1． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、其中涉及反比例函数解析式的求法、反比例函数图象的增减性、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 25．（1）4y x=；（2）P 点在第三象限，Q 在第一象限，理由见解析 【分析】（1）利用反比例函数k 的几何意义即可求解； （2）根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）设点A 的坐标为（x ，y ）， 由图可知x 、y 均为正数， 即OB=x ，AB=y ， ∵△AOB 的面积为2， ∴AB•OB=4，即x•y=4， 可得k=4，∴该反比例函数的表达式为4y x=； （2）∵反比例函数4y x=位于一、三象限， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，若两点位于同一象限，则当x 1>x 2，y 1<y 2， 所以P 、Q 两点一定位于不同的象限， 因x 1<x 2，y 1<y 2，所以点Q 在第一象限，P 在第三象限． 【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义、反比例函数的性质，解答本题关键是求出k 的值，得出反比例函数解析式．26．（1）-12；（2）点P 的坐标为()()()12340,5, 0,5,0,8,250,8P P P P ⎛⎫-- ⎝-⎪⎭()1可先求得B 点坐标，再结合△OAB 的面积可求得AB 的长，则可求得A 点坐标，把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 的值；()2分三种情况: ①OP=OA ；②AP=OA ；③AP=OP 三种情况进行讨论【详解】 解：()1点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，41,x ∴-=- 3,x ∴= 3,(1).B ∴-设点A 的坐标为(3,)t ， 则1,1t AB t <-=--．92OAB S ∆= ()191322t ∴--⨯=， 解得4,t =-∴点A 的坐标为(3,4)-．4,123kk -=-∴=12y x∴=-()2分三种情况：①点O 为顶点时：如图1，12OP OP OA ==．∵点A 的坐标为(3,4)-，∴5OA =； ∴125==OP OP()()120,5,0,5P P ∴-．②点A 为顶点时：如图2．35,AP OA ==作AH y ⊥轴于H ，则34==HP HO ；()30,8P ∴-③点P 为顶点时：如图3．44AP OP =作OA 的垂直平分线PQ ，交y 轴于点4P ， ∵点A 的坐标为(3,4)-， ∴OA 的表达式为43y x =-；∴OA 的中点坐标为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设PQ 的表达式为34y x b =+，将3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得，258b =- 4P Q ∴的表达式为32548y x =-． 4250,8P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭综上得出，点P 的坐标为()()()1234250,5,0,5,0,8,0,8P P P P ⎛⎫--- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查反比例函数和几何、反比例函数和一次函数相结合等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的数学思想，属于中考常考题型．。

2019-2020学年浙教版数学八年级下册培优冲关好卷第六章《反比例函数》一．选择题1．（2020春•思明区校级月考）已知压强的计算公式是P=，我们知道，刀具在使用一段时间后，就好变钝，如果刀刃磨薄，刀具就会变得锋利．下列说法中，能正确解释刀具变得锋利这一现象的是（）A．当压力一定时，压强随受力面积的减小而减小B．当压力一定时，压强随受力面积的减小而增大C．当受力面积一定时，压强随压力的增大而增大D．当受力面积一定时，压强随压力的增大面减小【解析】根据压强的计算公式是P=可知：当压力一定时，S越小，P的值越大，则压强随受力面积的减小而增大，故选：B．2．（2020•蜀山区校级模拟）若将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位长度与双曲线y=恰好只有一个公共点，则m的值为（）A．2B．18C．﹣2或18D．2或18【解析】将直线y=﹣4x+10向下平移m个单位长度得直线解析式为y=﹣4x+10﹣m，根据题意方程组只有一组解，消去y得=﹣4x+10﹣m，整理得4x2﹣（m﹣10）x+4=0，△=（m﹣10）2﹣4×4×4=0，解得m=2或m=18，故选：D．3．（2020春•江汉区校级月考）对于反比例函数y=，下列说法正确的个数是（）①函数图象位于第一、三象限；①函数值y随x的增大而减小①若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2；①P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积是定值．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】反比例函数y=，因为k2+1＞0，根据反比例函数的性质它的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①说法正确，②的说法错误．若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（1，y3）是图象上三个点，则y1＜0＜y2＜y3；故说法③错误；P为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积为（k2+1），故④说法正确；故选：B．4．（2020•河西区一模）下列关于反比例函数y=的说法正确的是（）A．y随x的增大而增大B．x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．x＞0时，y随x的增大而减小【解析】∵k=6＞0，∴图象位于一三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小，故选：D．5．（2020•江岸区校级模拟）若点A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）在反比例函数y=﹣的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x3＜x1＜x2D．x2＜x1＜x3【解析】∵反比例函数为y=y=﹣中的﹣（k2+1）＜0，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵A（x1，1）、B（x2，﹣2）、C（x3，﹣3）∴x1＜0，点B、C位于第四象限，∴x2＞x3＞0．∴x1＜x3＜x2故选：B．6．（2019秋•南岸区校级期末）如图，已知菱形OABC，OC在x轴上，AB交y轴于点D，点A在反比例函数y1=上，点B在反比例函数y2=﹣上，且OD=2，则k的值为（）A．3B．C．D．【解析】∵四边形ABCO是菱形，∴AB∥OC，∴AB⊥y轴，∵OD=2，∴A（，2），B（﹣，2），∴AB=，AD=，∵AB=OA，∴OA=，∵AD2+OD2=OA2，∴（）2+（2）2=（）2，∴k=2，故选：B．7．（2020•黄石模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的面积为10，反比例函数y=（x＞0）与AB、BC分别交于点D、E，若AD=2BD，则k的值为（）A．B．C．D．【解析】设OA=a，矩形OABC的面积为10，所以AB=，∵AD=2BD，∴AD=AB=，因此点D（，a），代入反比例函数关系式得，k=，故选：C．8．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A是第一象限内一点，过A作AC∥y轴交反比例函数y=（x＞0）的图象于B点，E是y轴上一点，AE交反比例函数的图象于点D，若B是AC 的中点，DE：AD=3：2，且△BDE的面积为，则k的值为（）A．7B．C．8D．【解析】∵DE：AD=3：2，∴S△BDE：S△ADB=3：2∵△BDE的面积为，∴△ABD的面积为，∴S△ABE=+=，设OC=m，AB=n=BC，∴S△ABE=+==AB•OC=mn，即：mn=∵点B（m，n）在反比例函数y=图象上，∴k=mn=，故选：B．9．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y=（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（﹣，3），点C的横坐标为4，则k的值为（）A．5B．6C．7D．8【解析】连接AC，BD交于点J．设C（4，m）．∵四边形ABCD是正方形，∴AJ=JC，∵A（﹣，3），C（4，m），∴J（，），∵点D是由点A绕点J顺时针旋转90°得到D，可得D（，），∵C，D都在y=的图象上，∴4m=•，解得m=或﹣，∴C（4，），∴k=6，补充方法：（可以利用构造全等三角形的方法求出C，D坐标，再利用待定系数法解决问题）故选：B．二．填空题10．（2020•武侯区校级模拟）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE∥AF，交直线y=kx（k＜0）于点E，F，若OE=OF，BG=GA，则四边形ADEF的面积为．【解析】延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于设G（a，），则OA=a，AG=，∵BG=GA，∴BG=，∴DH=AB=AG+BG=，∵DE∥AF，∴∠EKO=∠F AO，在△OEK和△OF A中，，∴△OEK≌△OF A（AAS），∴OK=OA=a，∴AE=2a，∴S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK=．故答案为：．11．（2020•蜀山区校级模拟）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D，连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为18．【解析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF=OD，BF=OE，∴AB=DE，∵点A在双曲线y=上，∴S矩形AFOD=6，同理S矩形OEBF=k，∵AB∥OD，∴==，∴AB=2OD，∴DE=2OD，∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=18，∴k=18，故答案是：18．12．（2020•烟台一模）如图，反比例函数y=的图象经过点A，点B与点A关于x轴对称，点C是y轴上一点，若△ABC的面积为2，则该反比例函数的解析式为y=﹣．【解析】设AB与x轴交于点D，连接OA，∵点B与点A关于x轴对称，∴AB∥y轴，∵△OAB的面积为2，∴△OAD的面积为1，∴|k|=1，∵在第二象限，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣，故答案为y=﹣．13．（2020春•莆田月考）如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过△ABD的顶点A，B，交BD于点C，AB经过原点，点D在y轴上，若BD=4CD，△OBD的面积为15，则k的值为﹣6．【解析】连接OC．作CE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F．根据题意设C（m，），则B（4m，），∵S△OBC=S四边形OCBF﹣S△OBF=S四边形OCBF﹣S△OEC=S梯形CEFB，∴S△OBC=（﹣﹣）•（4m﹣m）=﹣k，∵BD=4CD，△OBD的面积为15，∴，∴，∴k=﹣6．故答案为：﹣6．14．（2020•福建模拟）已知点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120°，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲k线y=上，则k的值为1．【解析】连接OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图所示，∵等腰△ABC中，∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，∴∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴===tan60°=，则=3，∵点A是双曲线y=﹣在第二象限分支上的一个动点，∴S△AOD=|xy|=AD•DO=，∴S△OCE=k=EC•EO=1=，∴EC•EO=1，∴k=1．故答案为：1．15．（2020春•鼓楼区校级月考）如图，已知双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=交于点C，S△=6，BP：CP=2：1，则k的值为﹣3．ABC【解析】如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥y轴于F．∵OA∥BC，∴S△OBC=S△ABC=6，∵PB：PC=1：2，∴S△OPB=4，S△OPC=2，∵S△OBE=12=6，∴S△PBE=2，∵△BEP∽△CFP，∴S△CFP=2×=，∴S△OCF=，∴k=﹣3．故答案为：﹣3．16．（2020•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为20，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若CE=ED，则k的值为4．【解析】∵正方形ABCD的面积为20，∴AB=BC=CD=DA==2，∴CE=DE=，∵∠COE=∠ADE=90°，∠CEO=∠AED，∴△COE∽ADE，∴==，即，==，∴=，∵CE=，∴OE=1，OC=2，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，∵CE=DE，∴OF=OC=2，DF=2OE=2，∴D（2，2）代入反比例函数关系式得，k=2×2=4，故答案为：4．17．（2019秋•宝安区期末）如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN 的面积为，则点N的坐标为（，）．【解析】连接ON，∵点A（1，3）为双曲线上，∴k=3，即：y=；由双曲线的对称性可知：OA=OB，∴S△MBO=S△MAO，S△NBO=S△NAO，∴S△MON=S△BMN=，设点M（0，m），N（n，），∴mn=，即，mn=，①设直线AM的关系式为y=kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，b=m，k=3﹣m，∴直线AM的关系式为y=（3﹣m）x+m，把N（n，）代入得，=（3﹣m）×n+m，②由①和②解得，n=，当n=时，=，∴N（，），故答案为：（，）．18．（2019秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是或．【解析】联立y=kx、y=并解得：点A（，2），同理点B（，3），点C（，），∴AB≠AC，①当AB=BC时，（）2+（3﹣2）2=（3﹣）2，解得：k=±（舍去负值）；②当AC=BC时，同理可得：（﹣）2+（3﹣2）2=（3﹣）2，解得：k=（舍去负值）；故答案为：或．三．解答题19．（2020•江岸区校级模拟）如图，直线AB：y=﹣x+m与双曲线y=交于A（1，6）和B点．（1）求B点坐标．（2）根据图象，直接写出＜﹣x+m的解集1＜x＜6．【解析】（1）因为点A（1，6）在两函数图象上，则6=﹣1+m，6=，解得：m=7，k=6，∴一次函数的解析式为y=﹣x+7，反比例函数的解析式y=；联立：，解得：x=1或x=6，又∵点A的坐标为（1，6），故点B的坐标为（6，1）；（2）由函数图象得，＜﹣x+m的解集为：1＜x＜6，故答案为：1＜x＜6．20．（2020•九江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线BC与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点D，点B，C是反比列函数y=（x＞0）图象上的点，OB⊥BC于点B，∠BOD=60°．（1）求直线AB的解析式；（2）求反比例函数的解析式；（3）若△AOB的面积为S1，△BOC的面积为S2，△DOC的面积为S3，直接写出S1，S2，S3的一个数量关系式：S1+S3=S2【解析】∵A（0，4），∴OA=4，∵∠BOD=60°．∴∠AOB=30°，∵OB⊥BC于点B，∴∠ABO=90°，∴∠OAD=60°，∴OD=OA=4，∴D（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4；（2）∵∠AOB=30°，OA=4，∴AB=OA=2，OB=OA=2，∵OA•OD=AD•OB，∴AD===8，∴BD=AD﹣AB=6，∵S△AOD==8，∴S△AOB=×8=2，S△BOD=×=6，设B（m，n），∴S△AOB=m=2，S△BOD==6，∴=2，=6，解得m=，n=3，∴B（，3），∵点B是反比列函数y=（x＞0）图象上的点，∴k==3，∴反比例函数的解析式为y=；（3）解得和，∴C（3，1），∴S△COD===2，∴S△BOC=6﹣2=4，∵S1=2，S2=4，S3=2，∴S1+S3=S2．故答案为S1+S3=S2．21．（2020•顺德区模拟）如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，且与反比例函数y=的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴于点D，其中OA=OB=OD=2．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）求这两个函数的表达式；（3）若点P在y轴上，且S△ACP=14，求点P的坐标．【解析】（1）∵OA=OB=OD=2．∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），∵OB∥CD，∴OB：CD=OA：AD，∴CD==4，∴C点坐标为（2，4），（2）把C（2，4）代入y=得m=2×4=8，∴反比例函数解析式为y=，把A（﹣2，0），B（0，2）代入y=kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y=x+2；（3）设P（0，t），∵S△ACP=14，而S△PBA+S△PBC=S△PAC，∴|t﹣2|×4=14，解得t=9或t=﹣5，∴点P的坐标为（0，9）或（0，﹣5）．22．（2020•百色模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=﹣x+3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y=的图象经过点M，N．（1）求点M，N的坐标及反比例函数的解析式；（2）求四边形BMON的面积S．【解析】（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，∴OA=BC=2，把y=2代入y=﹣x+3，得x=2，∴M（2，2），把x=4代入y=﹣x+3，得y=1，∴N（4，1），把M（2，2）代入y=，得k=4，∴反比例函数的解析式是y=；（2）由题意可得：四边形BMON的面积S=S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON=4×2﹣﹣=4．23．（2020•江西模拟）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若直线y=kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC=4？若存在，请求出点P 坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）把点A（1，2）代入y=得，1=，∴m=2，∴反比例函数的解析式为y=；把B（a，﹣1）代入y=得，a=﹣2，∴B（﹣2，﹣1），把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y=kx+b得，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）当y=0时，0=x+1，解得：x=﹣1，∴C（﹣1，0），设P（x，0），∴S△APC=，∴x=3或x=﹣5，∴P（3，0）或（﹣5，0）．24．（2020•河南模拟）如图所示，反比例函数图象与一次函数图象交于A、B两点，点A在点B的下方且坐标为（3，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OA、OB，当△AOB的面积为8时，求直线AB的解析式．【解析】（1）设反比例函数的解析式为y=，把A的坐标（3，2）代入得k=3×2=6，∴反比例函数的解析式为y=；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则S梯形ACDB=S△AOB=8，∴（AC+BD）•CD=8，设B（m，），∴（2+）（3﹣m）=16，解得：m=1．m=﹣9（不合题意舍去），∴B（1，6），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣2x+8．25．（2020•历下区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y=（x＞0）交于点C，且BC=2AB，BD∥x轴交反比例函数y=（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y=（x＞0）的图象于点F，且EF=BD，求m的值．【解析】（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y=3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b=0，解得，b=3，对于直线y=3x+3，当x=0时，x=3，∴点B的坐标为（0，3），即OB=3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴==，即==，解得，CH=2，BH=6，∴OH=OB+BH=9，∴点C的坐标为（2，9），∴k=2×9=18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为=6，即BD=6，∴△ABD的面积=×6×3=9；（3）EF=BD=×6=2，设E（m，3m+3）当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y=上，∴（m+2）（3m+3）=18，解得，m1=﹣4（舍去），m2=1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y=上，∴（m﹣2）（3m+3）=18，解得，m3=（舍去），m4=，综上所述，m的值为1或．26．（2020•历下区一模）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD=3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴m=8，∴反比例函数y=（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC=2，∵BD=3OC，∴BD=6，∵BD⊥x轴，∴B（，6），∵C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=3x+2，∴E（﹣，0），∴DE=+=2，∴S△BED=×DE×BD=6．（3）存在．如图，设BD交AC于F．设B（a，），∵A（4，2）∴AC=4，∵四边形BCDE是平行四边形，∴DE=AC=4，且CF∥DE，∴△BCF∽△BED，∴=，即=，解得a=2，∴B（2，4）．27．（2019秋•文山市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m ≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO=5，OD：AD=3：4，B点的坐标为（﹣6，n）（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【解析】（1）AO=5，OD：AD=3：4，设：OD=3a，AD=4a，则AD=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），则m=3×4=12，故反比例函数的表达式为：y=，故B（﹣6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：，解得：，故一次函数的表达式为：y=x+2；（2）设一次函数交y轴于点M（0，2），△AOB的面积S=×OM×（xA﹣xB）=2×（3+6）=9；（3）设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2=9+（m﹣4）2，AO2=25，PO2=m2，当AP=AO时，9+（m﹣4）2=25，解得：m=8或0（舍去0）；当AO=PO时，同理可得：m=±5；当AP=PO时，同理可得：m=；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）．28．（2020•锦江区模拟）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=（x＞0）的图象交AB，BC分别于点E，F．（1）求直线EF的解析式；（2）求四边形BEOF的面积；（3）若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．【解析】（1）∵点B的坐标为（2，1），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，∴点A，点E纵坐标为1，点C，点F的横坐标为2，∵点E，点F在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴点E（1，1），点F（2，），设直线EF的解析式的解析式为：y=kx+b，∴∴∴直线EF的解析式的解析式为：y=﹣x+；（2）∵四边形BEOF的面积=S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF，∴四边形BEOF的面积=2﹣﹣=1；（3）∵点E（1，1），∴OE=，若OE=OP=，则点P（0，）或（0，﹣），若OE=EP，且AE⊥AO，∴OA=AP=1，∴点P（0，2）若OP=PE，∴点P在OE的垂直平分线上，即点P（0，1），综上所述：当点P（0，）或（0，﹣）或（0，2）或（0，1）时，△POE是等腰三角形．29．（2020•槐荫区一模）如图，已知一次函数y=x﹣2与反比例函数y=的图象相交于点A（2，n），与x 轴相交于点B．（1）求k的值以及点B的坐标；（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标；（3）在y轴上是否存在点P，使P A+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）把点A（2，n）代入一次函数y=x﹣2，可得n=﹣2=3；把点A（2，3）代入反比例函数y=，可得k=xy=2×3=6，∵一次函数y=x﹣2与x轴相交于点B，∴x﹣2=0，解得x=，∴点B的坐标为（，0）；（2）∵点A（2，3），B（，0），∴AB===，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=，AD∥BC，∵点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，∴D（2+，3）；（3）存在，如图，作点B（，0）关于y轴的对称点Q的坐标为（﹣，0），连接AQ交y轴于点P，此时PA+PB 的值最小，设直线AQ的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线AQ的关系式为y=x+，∴直线AQ与y轴的交点为P（0，）．。

中考数学一轮专项复习——反比例函数综合 能力提升卷一、选择题1．（2019•济南）函数y ＝﹣ax +a 与y ＝（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )3. (2019青岛)已知反比例函数y ＝ab x的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数y ＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ）A ．y ＝﹣B ．y ＝﹣C ．y ＝﹣D ．y ＝﹣5．如图所示，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）A ．y ＝B ．y ＝C ．y ＝D ．y ＝6. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c的图象与反比例函数y ＝cx 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <17. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0;③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④8. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位9. (2019绵阳模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a )，下列结论：①a －3b ＋2c ＞0； ②3a －2b －c ＝0；③若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则－5<x 1<x 2<1； ④若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，则这四个根的和为－8. 其中正确的结论有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：10.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xky 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .11．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝在第一象限的图象如图所示，当P 在y ＝的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．12. 如图所示，两个反比例函数7y x =和3y x=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC 丄x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD 丄y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______.13. (2019眉山模拟)如图，双曲线y ＝k x(x ＜0)经过Rt △ABC 的两个顶点A ，C ，∠ABC ＝90°，AB ∥x 轴，连接OA ，将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若Rt △ABC 的面积为1，则k 的值为________．14. (2019绵阳模拟)若关于t 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x的图象的公共点的个数为________．15. (2019湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x(k ＞0，x ＞0)，y 2＝2kx(x ＜0)的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD .若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是________．三、解答题16．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（n，﹣1），B（，﹣4）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）若点C坐标为（0，2），求△ABC的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数y＝的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，CD＝3．（1）求tan∠ABO的值和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写0＜x+2＜﹣的自变量x的范围．18. (2019绵阳模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨产品甲需要2吨原材料；生产1吨产品乙需要3吨原材料，根据市场调研，产品甲、乙所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间分别满足下列函数关系：产品甲：y＝ax2＋bx且x＝2时，y＝2.6; x＝3时，y＝3.6产品乙：y＝310x(1)求产品甲所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间满足的函数关系；(2)若现有原材料20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品进行生产，才能使得最终所获利润最大．19．如图，四边形OABC是矩形，A、C分别在y轴、x轴上，且OA＝6cm，OC＝8cm，点P从点A开始以2cm/s 的速度向B运动，点Q从点B开始以1cm/s的速度向C运动，设运动时间为t．（1）如图（1），当t为何值时，△BPQ的面积为4cm2？（2）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，求这个反比例函数的解析式．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．参考答案一、选择题1．（2019•济南）函数y ＝﹣ax +a 与y ＝（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解：a ＞0时，﹣a ＜0，y ＝﹣ax +a 在一、二、四象限，y ＝在一、三象限，无选项符合．a ＜0时，﹣a ＞0，y ＝﹣ax +a 在一、三、四象限，y ＝（a ≠0）在二、四象限，只有D 符合；故选：D ．2. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )【解析】 D 一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项中a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一、二、三象限且过点(－1，0)．3. (2019青岛)已知反比例函数y ＝ab x的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )【解析】 C ∵反比例函数y ＝ab x的图象在第一、三象限，∴ab ＞0，即a 与b 同号．当a ＞0，b ＞0时，y ＝ax 2－2x 的开口向上，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＞0，即它与x 轴有两个交点，一个为原点，另一个在正半轴上，对于y ＝bx ＋a ，图象经过第一、二、三象限，∴选项C 正确，B 不正确．当a ＜0，b ＜0时，y ＝ax 2－2x的开口向下，且经过原点，令y ＝0，得ax 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a＜0，即它与x轴有两个交点，一个为原点，另一个在负半轴上，∴选项A 、D 不正确，故选C .4．如图，在菱形ABOC 中，∠ABO ＝120°，它的一个顶点C 在反比例函数y ＝的图象上，若将菱形向下平移2个单位，点A 恰好落在函数图象上，则该反比函数的表达式为（ ）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点A向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．【解析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，在Rt△CDO中，OD＝a•cos60°＝a，CD＝a•sin60°＝a，则C（﹣a，a），点A向下平移2个单位的点为（﹣a﹣a，a﹣2），即（﹣a，a﹣2），则，解得．故反比例函数解析式为y＝﹣．故选：B．5．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4＝40π．因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP＝＝a．于是π＝40π，a ＝±2，（负值舍去），故a ＝2．P 点坐标为（6，2）．将P （6，2）代入y ＝， 得：k ＝6×2＝12． 反比例函数解析式为：y ＝．故选：D ．6. 如图，二次函数y ＝ax 2＋c的图象与反比例函数y ＝cx 的图象相交于A (－32，1)，则关于x 的不等式ax 2＋c >cx的解集为( )A. x <－32B. x >－32C. x <－32或x >0D. －32<x <17. (2019宜宾模拟)如图，关于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的结论正确的是( )①2a ＋b ＝0; ②当－1≤x ≤3时，y ＜0; ③若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2; ④3a ＋c ＝0.A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④【解析】B ①∵抛物线过点(－1，0)与(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a ＝1，∴b ＋2a ＝0，故①正确；②由图象可知：当－1≤x ≤3时，y ≤0，故②错误；③当x 1＜x 2＜1时，y 1＞y 2，故③错误；④当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，∵2a ＝－b ，∴a ＋2a ＋c ＝0，∴3a ＋c ＝0，故④正确．8. (人教九上P 35例3改编)怎样移动抛物线y ＝－12x 2就可以得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移1个单位答案. B9. (2019绵阳模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a )，下列结论：①a －3b ＋2c ＞0； ②3a －2b －c ＝0；③若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1<x 2，则－5<x 1<x 2<1； ④若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，则这四个根的和为－8. 其中正确的结论有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】答案：C ∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的顶点坐标为(－2，－9a )，∴－b2a ＝－2，4ac －b 24a ＝－9a ，∴b ＝4a ，c ＝－5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4ax －5a ，∴a －3b ＋2c ＝a －12a －10a ＝－21a ＜0，故①结论错误；3a －2b －c ＝3a －8a ＋5a ＝0，故②结论正确；∵抛物线y ＝ax 2＋4ax －5a 交x 轴于(－5，0)，(1，0)，∴若方程a (x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1，故结论③正确；若方程|ax 2＋bx ＋c |＝1有四个根，设方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 22＝－2，可得x 1＋x 2＝－4，设方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根分别为x 3、x 4，则x 3＋x 42＝－2，可得x 3＋x 4＝－4.所以这四个根的和为－8，故结论④正确．综上所述，共有2个正确的结论．二、填空题：10.（2019山西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（-4,0），点D 的坐标为（-1,4），反比例函数)0(>=x xky 的图象恰好经过点C ，则k 的值为 .【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则AD=5，∵四边形ABCD 为菱形，∴CD=5 ∴C （4,4），将C 代入x k y =得：44k=，∴16=k11．如图，两个反比例函数y ＝和y ＝在第一象限的图象如图所示，当P 在y ＝的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交y ＝的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y ＝的图象于点B ，则四边形PAOB 的面积为 ．解：由于P 点在y ＝上，则S □PCOD ＝2，A 、B 两点在y ＝上，则S △DBO ＝S △ACO ＝×1＝．∴S 四边形PAOB ＝S □PCOD ﹣S △DBO ﹣S △ACO ＝2﹣﹣＝1． ∴四边形PAOB 的面积为1． 故答案为：1．12. 如图所示，两个反比例函数7y x =和3y x=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PC 丄x 轴于点C ，交C 2于点A ，PD 丄y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为_______.答案：4解析 ∵PC 丄x 轴，PD 丄y 轴， ∴S 矩形PCOD = 7，13322ACO BDO S S ==⨯=V V , ∴四边形PAOB 的面积=7 -2×32= 4.13. (2019眉山模拟)如图，双曲线y ＝k x(x ＜0)经过Rt △ABC 的两个顶点A ，C ，∠ABC ＝90°，AB ∥x 轴，连接OA ，将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，连接OC ，OC 恰好平分OA 与x 轴负半轴的夹角，若Rt △ABC 的面积为1，则k 的值为________．【解析】如解图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D .∵将Rt △ABC 沿AC 翻折后得到Rt △AB ′C ，点B ′刚好落在线段OA 上，∴∠CB ′A ＝90°，CB ＝CB ′，∵OC 平分OA 与x 轴负半轴的夹角，∴CD ＝CB ′＝CB ，设点B (x ，2y )(x ＜0)，则C (x ，y )，AB ＝a ，则A 的坐标为(x ＋a ，2y )，∴2y (x ＋a )＝xy ，整理得a ＝－12x ，∴x ＋a ＝12x ，∴AB ＝－12x ，BC＝y ，∴12×(－12xy )＝1，∴－xy ＝4，∴k ＝－4.14. (2019绵阳模拟)若关于t 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰有三个整数解，则关于x 的一次函数y ＝14x －a 的图象与反比例函数y ＝3a ＋2x的图象的公共点的个数为________．答案：1或0 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥0 ①2t ＋1≤4 ②，解不等式①得t ≥a ，解不等式②得t ≤1.5，∴不等式的解集为a ≤t ≤1.5，∵⎩⎪⎨⎪⎧t －a ≥02t ＋1≤4恰好有3个整数解，∴－2＜a ≤－1，联立一次函数y ＝14x －a 与反比例函数y ＝3a ＋2x得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x －a y ＝3a ＋2x，得14x －a －3a ＋2x ＝0，等式两边同时乘以x 得：14x 2－ax －3a －2＝0，Δ＝a 2－4×14×(－3a －2)＝a 2＋3a ＋2＝(a ＋1)(a ＋2)，当－2＜a ＜－1时，Δ＜0，即一次函数y ＝14x －a 与反比例函数y ＝3a ＋2x 没有交点；当a ＝－1时，Δ＝0，即一次函数y ＝14x－a 与反比例函数y ＝3a ＋2x有一个交点．15. (2019湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝12x －1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1＝k x(k ＞0，x ＞0)，y 2＝2kx(x ＜0)的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连接OC ，OD .若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是________．15. 2 【解析】令y ＝12x －1＝0，解得x ＝2，∴点A 的坐标为(2，0)，令x ＝0，得y ＝－1，∴点B 的坐标为(0，－1)，∴OB ＝1.∵点C 在直线y ＝12x －1上，∴设点C 的坐标为(a ，12a －1)，∴OE ＝a ，CE ＝12a －1，∴S △OCE＝12OE ·CE ＝12a (12a －1)＝12k ，∵点D 在直线y ＝12x －1上，∴设点D 的坐标为(m ，12m －1)．∵点D 在反比例函数y 2＝2k x 的图象上，∴m (12m －1)＝2k ，∵S △OCE ＝S △OBD ，∴S △OBD ＝12OB ·(－m )＝12a ·(12a －1)，即－m ＝a (12a －1)＝k ，∴m (12m －1)＝－2m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－2，∴k ＝2.三、解答题16．如图一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于A （n ，﹣1），B （，﹣4）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；（3）若点C 坐标为（0，2），求△ABC 的面积．解：（1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于A （n ，﹣1），B （，﹣4）两点． ∴m ＝×（﹣4）＝﹣2， ∴反比例函数的解析式y ＝﹣；（2）把A （n ，﹣1）代入y ＝﹣得﹣1＝﹣， ∴n ＝2， ∴A （2，﹣1），∵次函数y ＝kx +b 的图象经过A （2，﹣1），B （，﹣4），∴，解得：∴一次函数解析式y＝2x﹣5；（3）设一次函数解析式y＝2x﹣5图象交y轴为点D∴D（0，﹣5）∵C（0，2），∵S△ABC＝S△ACD﹣S△BCD∴S△ABC＝＝．17．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数y＝的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，CD＝3．（1）求tan∠ABO的值和反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写0＜x+2＜﹣的自变量x的范围．解：（1）在直线ABy＝﹣x+2中，令y＝0，解得x＝4；令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），B（4，0），∴OB＝4，OA＝2，把y＝3代入y＝﹣x+2，求得x＝﹣2，∴C（﹣2，3），∴DB＝2+4＝6∵CD⊥x轴，∴tan∠ABO＝＝＝，将C（﹣2，3）代入y＝，得k＝﹣2×3＝﹣6∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）由图象可知，0＜x+2＜﹣的自变量x的范围是﹣2＜x＜0．18. (2019绵阳模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产1吨产品甲需要2吨原材料；生产1吨产品乙需要3吨原材料，根据市场调研，产品甲、乙所获利润y(万元)与其产量x(吨)之间分别满足下列函数关系：产品甲：y ＝ax 2＋bx 且x ＝2时，y ＝2.6; x ＝3时，y ＝3.6 产品乙：y ＝310x(1)求产品甲所获利润y (万元)与其产量x(吨)之间满足的函数关系；(2)若现有原材料20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品进行生产，才能使得最终所获利润最大．解：(1)由已知得，当x ＝2时，y ＝2.6，当x ＝3时，y ＝3.6，代入y ＝ax 2＋bx 可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝2.69a ＋3b ＝3.6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110b ＝32，故甲所获利润与其产量之间的函数关系式为y ＝－110x 2＋32x (x ≥0)；(2)设生产产品甲x 吨，需要原材料2x 吨，则可分配给产品乙的原材料有(20－2x )吨，可生产产品乙20－2x3吨，甲、乙两种产品总的利润为w ，则w ＝－110x 2＋32x ＋310×20－2x3， 整理得w ＝－110(x －132)2＋24940，即当生产产品甲132吨时，利润达到最大，分配给产品中原材料132×2＝13吨，给产品乙原材料20－13＝7吨，答：分配13吨原材料给产品甲，分配7吨原材料给产品乙，能使得最终所获利润最大．19．如图，四边形OABC 是矩形，A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且OA ＝6cm ，OC ＝8cm ，点P 从点A 开始以2cm /s 的速度向B 运动，点Q 从点B 开始以1cm /s 的速度向C 运动，设运动时间为t ．（1）如图（1），当t 为何值时，△BPQ 的面积为4cm 2？ （2）当t 为何值时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？（3）如图（2），在运动过程中的某一时刻，反比例函数y ＝的图象恰好同时经过P 、Q 两点，求这个反比例函数的解析式．解：（1）由题意AB＝OC＝8cm，AO＝BC＝6cm，∠B＝90°，∵PA＝2t，BQ＝t，∴PB＝8﹣2t，∵△BPQ的面积为4cm2，∴•（8﹣2t）•t＝4，解得t＝2，∴t＝2s时，△PBQ的面积为4．（2）①当△BPQ∽△BAC时，＝，∴＝，解得t＝．②当△BPQ∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝，∴t为s或s时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．（3）由题意P（2t，6），Q（8，6﹣t），∵反比例函数y＝的图象恰好同时经过P、Q两点，∴12t＝8（6﹣t），解得t＝，∴P（，6），∴m＝，∴反比例函数的解析式为y＝．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD＝，且点B的坐标为（n，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请直接写出满足kx+b＞的x的取值范围；（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．解：∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，AD＝4，∴sin∠AOD＝＝＝，∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，∵点A在第二象限，∴A（﹣3，4），∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数解析式为y＝﹣，∵点B（n，﹣2）在反比例函数y＝﹣上，∴﹣2n＝﹣12，∴n＝6，∴B（6，﹣2），∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；（2）由图象知，满足kx+b＞的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；（3）设点E的坐标为（0，a），∵A（﹣3，4），O（0，0），∴OE＝|a|，OA＝5，AE＝，∵△AOE是等腰三角形，∴①当OA＝OE时，|a|＝5，∴a＝±5，∴P（0，5）或（0，﹣5），②当OA＝AE时，5＝，∴a＝8或a＝0（舍），∴P（0，8），③当OE＝AE时，|a|＝，∴a＝，∴P（0，），即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．。

反比例函数 第1讲（反比例函数的图象与性质）反比例函数的图象与性质 命题点一：根据反比例函数的定义求函数表达式 【方法归纳】确定反比例函数的表达式，关键是确定比例系数k 的值，常用的方法：①根据反比例函数的定义或性质列方程求解；②根据图象中点的坐标求解；③利用待定系数法求解；④利用好比例系数k 的几何意义求解.例1如图，菱形ABCD 的顶点A 在x 轴上，D 在y 轴上，B ，C 在反比例函数的图象上，对角线AC ，BD 交于点E ，且BD ∥x 轴，若AE ＝1，∠ADE ＝30°，则反比例函数的表达式为( D )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝3xD ．y ＝23x例2已知反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，当x <0时，y 随x 的增大而减小，求反比例函数的表达式．解：由反比例函数y ＝(m －1)xm 2－m －3，得⎩⎨⎧m 2－m －3＝－1，m －1≠0，解得m ＝2或m ＝－1.由当x <0时，y 随x 的增大而减小，得m －1＞0，m ＞1， ∴m ＝2.故反比例函数的表达式为y ＝1x.命题点二：利用反比例函数的增减性解题 【方法归纳】比较函数值大小的方法一般有三种：①性质法，即利用反比例函数的额增减性进行比较；②求值法(或特殊值法)，即代入自变量的值，求出函数值进行比较；③图象法，即画出函数的图象，在图象上画出点的相应位置，由点的位置直接比较函数值大小.例3已知反比例函数y ＝1－3m x的图象上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 当x 1<0<x 2时，y 1<y 2，则m 的取值范围是( C )A ．m <0B ．m >0C ．m <13D ．m >13例4若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝mx(m<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为( B )A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3命题点三：根据反比例函数的定义求比例系数k的值或范围例5(1)如图，过点C(1,2)分别作x轴，y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A，B两点，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是( A )A．2≤k≤9 B．2≤k≤8 C．2≤k≤5 D．5≤k≤8【方法归纳】当反比例函数与一次函数或平面图形结合时，常因条件的隐含性、综合性而增加难度，从代数式的表达形式和图形性质综合考虑是突破难点的关键，而点的坐标与线段长度的转化是数形结合的桥梁．(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，CB＝CA＝5，点C(0,3)，点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y＝kx的图象上，则k的值为( A )A．3 B．4 C．6 D．12例6如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3B D.反比例函数y＝kx(k≠0)的图象恰好经过点C和点D，则k的值为( A )A ．81325 B ．81316 C ．8135 D ．8134命题点四：利用反比例函数代数式求值 【方法归纳】如图，反比例函数||k 的几何意义：①S △AOB ＝S △AOC ＝12|k |；②S 矩形OBAC ＝|k |.下面两个结论是上述结论的 拓展：①如图①，S △OPA ＝S △OCD ，S △OPC ＝S 梯形PADC ； ②如图②，S 梯形OAPB ＝S 梯形OBCA ， S △BPE ＝S △ACE .例7(1)如图，直线y＝kx(k>0)与双曲线y＝4x交于A(x1，y1), B(x2，y2) 两点，则2x1y2－7x2y1的值等于 20 .(2)如图所示，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝9x在第一象限的图象经过点B，则OA2－AB2的为 18 .例8(1)如果一个正比例函数的图象与反比例函数y＝6x的图象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么(x2－x1)(y2－y1)的值为 24 .(2)如图，A，B为直线y＝x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝1x (x>0)于C，D两点．若BD＝2AC，则4OC2－OD2的值为 6 .命题点五：利用函数的系数，判断函数图象的可能性例9反比例函数y＝kbx的图象如图所示，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是( C )例10如图，在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是( C )命题点六：利用反比例函数k的几何意义解题例11(1)下列选项中，涂色部分面积最小的是( C )(2)如图，在平面直角坐标系中，A(－6,0)，曲线上每一点到x轴与y轴的距离的乘积都相等，过曲线上横坐标分别为－6，－4，－2的三点B，C，D分别向x轴，y轴作垂线，图中的涂色部分是由这些垂线围成的，且面积是6，则由O，A，C三点围成的三角形的面积为 27 .例12如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C(3,4)，边OA落在x正半轴上，P为线段AC上一点，过点P分别作DE∥OC，FG∥OA，交平行四边形各边如图．若反比例函数y＝kx的图象经过点D，四边形BCFG的面积为8，则k的值为( B )A．16 B．20 C．24 D．26 命题点七：关于叠加曲线的问题例13(2018·宁波)如图，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为( A )A．8 B．－8 C．4 D．－4例14(1)如图，A为函数y＝9x (x>0)图象上一点，连结OA，交函数y＝1x(x>0)的图象于点B，C是x轴上的一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 .命题点八：关于反比例函数的规律性问题例15如图，在反比例函数y＝10x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3, P4，…，它们的横坐标依次为2,4,6,8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝10－10n＋1(用含n的代数式表示)．例16如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P100A99A100是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，P100在反比例函数y＝4x的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A99A100都在x轴上，则点A100的坐标是 (40,0) .课后练习1．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4,0)，点B在y轴上．若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( A )A．y＝3x B．y＝4xC．y＝5xD．y＝6x2．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是反比例函数y＝2x上的三点，x1<x2<x3，y2<y1<y3，则下列关系式不正确的是( A )A．x1·x2<0 B．x1·x3<0 C．x2·x3<0 D．x1＋x2<03．(2018·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝kx 与y ＝－2x的图象交于A ，B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数y ＝4x的图象于点C ，连结BC ，则△ABC 的面积为( C )A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC 交x 轴于点E ，BD 交x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝103，则k 2－k 1等于( A )A ．4B ．143 C ．163D ．6 5．如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点O ，矩形的边分别平行于坐标轴，反比例函数y ＝k x (k >0)的图象交BC 于点M ，交CD 于点N .若A 点坐标为(－2，－2)，S OMN ＝32，则k 的值为( B )A ．52B ．2C ．32D ．16．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1)．若函数y＝kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围为2≤k≤494.7．(2018·德州)如图，反比例函数y＝3x与一次函数y＝x－2的图象在第三象限相交于点A，点B的坐标为(－3,0)，P是y轴左侧的一点．若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 (－4，－3)，(－2,3) .8．如图，点A，B在反比例函数y＝1x(x>0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝kx(k>0)的图象上，AC∥BD∥y轴．已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为32，则k的值为 3 .9．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是3≤a≤3＋1.10．(2018·金华)如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝mx与y＝nx(x>0,0<m<n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m＝4，n＝20时，①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式；②若P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．解：(1)①∵m＝4，∴反比例函数y＝mx为y＝4x.当x＝4时，y＝1，∴点B的坐标为(4,1)．当y＝2时，2＝4x，x＝2，∴点A的坐标为(2,2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝2，4k ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧k ＝－12，b ＝3.∴直线AB 的表达式为y ＝－12x ＋3.②四边形ABCD 是菱形．理由如下： 由题①，知点B 的坐标为(4,1)． ∵BD ∥y 轴，∴点D 的坐标为(4,5)． ∵点P 是线段BD 的中点， ∴点P 的坐标为(4,3)． 当y ＝3时，由y ＝4x ，得x ＝43；由y ＝20x ，得x ＝203.∴PA ＝4－43＝83，PC ＝203－4＝83.∴PA ＝P C.∵PB ＝PD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． ∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是菱形．(2)能．理由如下：当四边形ABCD 是正方形时，记AC ，BD 的交点为P ， ∴BD ＝A C.当x ＝4时，y ＝m x ＝m 4，y ＝n x ＝n4，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，m 4，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，n 4.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，m ＋n 8. ∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8m m ＋n ，m ＋n 8，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8n m ＋n ，m ＋n 8. ∵AC ＝BD ，∴8n m ＋n －8m m ＋n ＝n 4－m 4. ∴m ＋n ＝32.11．(2018·泰州)在平面直角坐标系xOy 中，横坐标为a 的点A 在反比例函数y 1＝k x(x >0)的图象上，点A ′与点A 关于点O 对称，一次函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点A ′.(1)设a ＝2，点B (4,2)在函数y 1，y 2的图象上， ①分别求函数y 1，y 2的表达式； ②直接写出使y 1>y 2>0成立的x 的范围．(2)如图①，设函数y 1，y 2的图象相交于点B ，点B 的横坐标为3a ，△AA ′B 的面积为16，求k 的值．(3)设m ＝12，如图②，过点A 作AD ⊥x 轴，与函数y 2的图象相交于点D ，以AD 为一边向右侧作正方形ADEF ，试说明函数y 2的图象与线段EF 的交点P 一定在函数y 1的图象上．解：(1)①∵点B 在y 1的图象上，∴k ＝2×4＝8.∴y 1＝8x.∵a ＝2，点A 在y 1的图象上，∴点A 的坐标为(2,4)，点A ′的坐标为(－2，－4)．将点A ′和B 的坐标代入y 2，得⎩⎨⎧4m ＋n ＝2，－2m ＋n ＝－4，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2.∴y 2＝x －2.②2<x <4.(2)分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，连结O B.∵O 为AA ′的中点，∴S △AOB ＝12S △AA ′B ＝8.∵点A ，B 在双曲线上，∴S △AOC ＝S △BO D . ∴S △AOB ＝S 四边形ACDB ＝8.根据已知，点A ，B 坐标可设为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，k 3a ，∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3a ＋k a ×2a ＝8，解得k ＝6. (3)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，则A ′⎝⎛⎭⎪⎫－a ，－k a .把A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，－k a 代入y ＝12x ＋n ，得－k a ＝－12a ＋n ，∴n ＝12a －k a .∴A ′D 的表达式为y 2＝12x ＋12a －ka .当x ＝a 时，点D 的纵坐标为a －ka， ∴AD ＝2ka－a.∵在正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∴点F 和点P 的横坐标为a ＋2k a －a ＝2k a.∴点P 的纵坐标为12×2k a ＋12a －k a ＝12a ，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k a ，12a .把点P 的横坐标2k a 代入y 1＝k x (x >0)，得y 1＝12a.∴点P 在y 1＝kx(x >0)的图象上．12．(自主招生模拟题)如图，反比例函数y ＝kx位于第一象限的图象上有A ，B 两点，从点A 作AD ⊥y 轴于点D ，从点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若△OAB 的面积为56，△OCD 的面积为32，则k 的值为( B )A ．32B ．2C ．52D ．313．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝ －x －1，双曲线y ＝1x.在l 上取点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2.请继续操作并探究：过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…，记点A n 的横坐标为a n .若a 1＝2, 则a 2＝ －32 ，a 2013＝ －13 ；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是 0，－1 .14．(自主招生模拟题)已知点O 是坐标系的原点，直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1x交于两个不同点A (m ，n )(m ≥2)和B (p ，q )，直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ，求△OBC 的面积S 的取值范围．解：∵直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ， ∴C (0，m ＋n )．∵点B (p ，q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上， ∴q ＝－p ＋m ＋n .又∵点A ，B 在双曲线y ＝1x上，∴1p ＝－p ＋m ＋1m ，即p －m ＝p －m pm.∵点A ，B 是不同的点， ∴p －m ≠0. ∴pm ＝1. ∵mn ＝1， ∴p ＝n ，q ＝m . ∵1＞0，∴在每一个象限内，反比例函数y ＝1x的函数值y 随自变量x 的增大而减小．∴当m ≥2时，0<n ≤12.∵S ＝12(p ＋q )p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12，∴当0<n ≤12时，S 随自变量n 的增大而增大．∴12<S ≤58.。

浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》（较易）（含答案解析）考试范围：第六单元； &nbsp; 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列函数中，y不是x的反比例函数的是( )A. xy=2(x≠0)B. y=2x−1(x≠0)C. y=2xD. y=3x(x≠0)2. 反比例函数y=−3x的比例系数是( )A. −3B. 3C. −13D. 133. 已知一个函数满足下表(x为自变量): x···−3−2−1123···y···34.59−9−4.5−3···则这个函数的表达式为( )A. y=9x B. y=−9xC. y=x9D. y=−x94. 已知点(−2,a)(2,b)(3,c)在函数y=kx(k>0)的图象上，则下列判断正确的是( )A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. c<b<a5. 如果点(3,−4)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( )A. (3,4)B. (−2,−6)C. (−2,6)D. (−3,−4)6. 如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象过点C，则k的值为( )A. 4B. −4C. −3D. 37. 如果反比例函数y=a−2(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是( )xA. a<0B. a>0C. a<2D. a>28. 如图，点A在反比例函数y=k(x>0)图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，xAC，若△AOC的面积为2，则k=( )A. 4B. 8C. 12D. 169. 1888年，海因里希⋅鲁道夫⋅赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ(单位：米)、频率f(单位：赫兹)满足函数关系λf=3×108，下列说法正确的是( )A. 电磁波波长是频率的正比例函数B. 电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹C. 电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹D. 电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹10. 如图，点A是反比例函数y=2(x>0)图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的x动点，则△ABC的面积为( )A. 1B. 2C. 4D. 不能确定11. 如图，点P ，点Q 都在反比例函数y =kx 的图象上，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S 1，过点Q 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ，△OAQ 的面积为S 2，若S 1+S 2=3，则k 的值为( )A. 2B. 1C. −1D. −212. 如图，双曲线y =−32x (x <0)经过▱ABCO 的对角线交点D ，已知边OC 在y 轴上，且AC ⊥OC 于点C ，则▱OABC 的面积是( )A. 32B. 94C. 3D. 6第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数y =20x，当y =14时，x =___________．14. 如果反比例函数y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(2,3)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 值的增大而________.(填“增大”或“减小”)．15. 反比例函数y =5x 的图象在第 象限．16. 如图，点A在反比例函数y=√3x(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当AC=1时，△ABC的周长为．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。

考点六反比例函数应用知识点整合一、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例引领(1)请求出v与F之间的函数关系式；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为多少米【答案】(1)60000 vF =；(2)当它所受牵引力为2400牛时，汽车的速度为x(1)求k的值.(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于k=【答案】(1)240(2)恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于变式拓展(1)求反比例图数的表达式，并求点(2)张老师在一节课上从第10张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少【答案】(1)反比例函数的表达式为(2)当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到(1)求y与x之间的函数关系式：(2)求w与x之间的函数关系式，并求出当日利润为(1)分别求出材料煅烧和锻造时y (2)根据工艺要求，当材料温度低于【答案】(1)燃烧时函数解析式为()48006y x x=≥(2)4min(1)根据函数图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数表达式为达式为；（并写出x 的取值范围）(2)求血液中酒精浓度不低于200【答案】(1)y 10004x x ≤＝（＜）。

北师大版九年级上册数学第六章反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如果反比例函数y=的图象经过点(-1，-2)，则k的值是( )．A.2B.-2C.-3D.32、在反比例函数的图象的每个象限内，y随x的增大而增大，则k值可以是（）A.－1B.1C.2D.33、如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中的点A和点B的坐标为A(1，0)、B(0，3)，点D在双曲线y= (k≠0)上.若正方形沿x轴负方向平移m个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则m的值是( )A.1B.2C.3D.44、已知是反比例函数，则该函数的图象在( )A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限5、若A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1=y2C.y1＞y2D.无法确定6、已知函数y＝(m＋1) 是反比例函数，且其图象在第二、四象限内，则m的值是( )A.2B.－2C.±2D.－7、根据图1所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：①x＜0时，y＝②△OPQ的面积为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是（）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤8、反比例函数y＝的图象经过点P(a，b)，其中a，b是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两根，那么点P的坐标是( )A.(1，4)B.(－1，－4)C.(2，2)D.(－2，－2)9、反比例函数的图象经过点，则当时，函数值的取值范围是（）A. B. C. D.10、下列函数：①；②；③；④中，y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11、矩形面积为3cm2，则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于（）A.第一、三象限B.第二象限C.第三象限D.第一象限12、如果双曲线过点（3，－2），那么下列的点在该双曲线上的是（）A.（3，0）B.（0，6）C.（－1.25，8）D.（－1.5，4）13、若反比例函数（k≠0）的图像经过点（-2,6），则下列各点在这个函数图像上的是（）.A. B. C. D.14、如图所示，平行四边形的顶点C在轴的正半轴上，O为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点A，交于点E，连接.若，轴，，则k的值为（）A.12B.16C.18D.2415、某村粮食总产量为a（a为常量）吨，设该村粮食的人均产量y（吨），人口数为x（人），则y与x之间的函数图象应为图中的（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，面积为6的菱形AOBC的两点A，B在反比例函数（x>0）的图象上,则点C的坐标为________.17、如图，已知点A、C在反比例函数y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图象上，a＞b＞0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB= ，CD= ，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是________．18、在平面直角坐标系xOy中，当m，n满足mn＝k（k为常数，且m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）为“等积点”．若直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点A和点B，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A与y轴平行的直线和过点B与x轴平行的直线交于点C，点E是直线AC上的“等积点”，点F是直线BC上的“等积点”，若△OEF的面积为，则OE=________．19、如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y= （x＜0）的图象经过点A，S△BEC=8，则k=________．20、把一个长、宽、高分别是3 dm，2 dm，1 dm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(单位：dm2)与高h(单位：dm)之间的函数关系式是________．21、如图，一次函数y=x+m（m＞0）的图像与x轴和y轴分别相交点A和点B，与反比例函数的图像在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D、E，当S四边形ODCE =S△OAB，则m的值为________．22、如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y= 的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=________．23、若点和点在反比例函数的图象上，则与的大小关系为________.24、如图，点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为________．25、若反比例函数y= 的图象经过点A（a，2），则a的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知, 与成正比例, 与成反比例，且当时,; 时, .试求当时, 的值.27、已知：如图所示，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A、B，作AC⊥ 轴于C，连BC，则△ABC的面积为3，求反比例函数的解析式．28、已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式．29、若函数y=（m+1）是反比例函数，求m的值．30、已知函数y=是关于x的反比例函数，求m的值并写出函数表达式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、B4、B5、C6、B7、B8、D9、D10、A11、D12、D14、D15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

决战2020中考数学压轴题综合提升训练：《反比例函数》1．如图，反比例函数y1＝和一次函数y2＝mx+n相交于点A（1，3），B（﹣3，a），（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）连接OA，试问在x轴上是否存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y1＝，∵点B（﹣3，a）在反比例函数y1＝的图象上，∴﹣3a＝3，∴a＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1），∵点A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数y2＝mx+n的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y2＝x+2；（2）如图，∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形，∴①当OA＝OP时，∵A（1，3），∴OA＝，∵OP＝，∵点P在x轴上，∴P（﹣，0）或（，0），②当OA＝AP时，则点A是线段OP的垂直平分线上，∵A（1，3），∴P（2，0），即：在x轴上存在点P，使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形，此时，点P的坐标为（﹣，0）或（2，0）或（，0）．2．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A（3，2），直线l：y ＝kx﹣1（k≠0）与y轴交于点B，与图象G交于点C．（1）求m的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，C之间的部分与线段BA，BC围成的区域（不含边界）为W．①当直线l过点（2，0）时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点不少于4个，结合函数图象，求k的取值范围．解：（1）把A（3，2）代入y＝得m＝3×2＝6，（2）①当直线l过点（2，0）时，直线解析式为y＝x﹣1，解方程＝x﹣1得x 1＝1﹣（舍去），x2＝1+，则C（1+，），而B（0，﹣1），如图1所示，区域W内的整点有（3，1）一个；②如图2，直线l在AB的下方时，直线l：y＝kx﹣1过（6，1）时，1＝6k﹣1，解得k ＝，当直线在OA的上方时，直线经过（1，4）时，4＝k﹣1，解得k＝5，观察图象可知：当k≤或k≥5时，区域W内的整点不少于4个．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，3），C（0，3）．动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，设运动的时间为t秒，PQ2＝y．（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：；（2）当PQ＝时，求t的值；（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．解：（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（t，0），点Q的坐标为（4﹣t，3），∴PE＝3，EQ＝|4﹣t﹣t|＝|4﹣t|，∴PQ2＝PE2+EQ2＝32+|4﹣t|2＝t2﹣20t+25，∴y关于t的函数解析式及t的取值范围：；故答案为：．（2）当时，整理，得5t2﹣16t+12＝0，解得：t1＝2，．（3）经过点D的双曲线的k值不变．连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．∵OC＝3，BC＝4，∴．∵BQ∥OP，∴△BDQ∽△ODP，∴，∴OD＝3．∵CB∥OA，∴∠DOF＝∠OBC．在Rt△OBC中，，，∴，，∴点D的坐标为，∴经过点D的双曲线的k值为．4．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m+8），B （n，﹣6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，且当x1＜x2时，y1＞y2，指出点P、Q各位于哪个象限？解：（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y＝得﹣3（m+8）＝m，解得m＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y＝﹣，将点B（n，﹣6）代入y＝﹣得﹣6n＝﹣6，解得n＝1，∴点B的坐标为（1，﹣6），将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣2x﹣4；（2）设AB与x轴相交于点C，如图，当﹣2x﹣4＝0，解得x＝﹣2，则点C的坐标为（﹣2，0），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC，＝×2×2+×2×6，＝2+6，＝8；（3）∵当x1＜x2时，y1＞y2，∴点P和点Q不在同一象限，∴P在第二象限，Q在第四象限．5．如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象交于点C，D，CE⊥x轴于点E，＝．（1）求反比例函数的表达式与点D的坐标；（2）以CE为边作▱ECMN，点M在一次函数y＝x﹣1的图象上，设点M的横坐标为a，当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时，求a的取值范围．解：（1）由题意A（1，0），B（0，﹣1），∴OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠CAE＝45°∵AE＝3OA，∴AE＝3，∵EC⊥x轴，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝3，∴C（4，3），∵反比例函数y＝经过点C（4，3），∴k＝12，由，解得或，∴D（﹣3，﹣4）．（2）如图，设M（a，a﹣1）．当点N在反比例函数的图象上时，N（a，），∵四边形ECMN是平行四边形，∴MN＝EC＝3，∴|a﹣1﹣|＝3，解得a＝6或﹣2或﹣1±（舍弃），∴M（6，5）或（﹣2，﹣3），观察图象可知：当边MN与反比例函数y＝的图象有公共点时4＜a≤6或﹣3≤a≤﹣2．6．如图，一次函数y＝kx+2的图象与y轴交于点A，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点D在直线y＝kx+2上，且AO＝OB，反比例函数y＝（x＞0）经过点C．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P是x轴上一动点，当△PCD的周长最小时，求出P点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C、D、P为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．解：（1）设一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点E，连接BD，如图1所示．当x＝0时，y＝kx+2＝2，∴OA＝2．∵四边形ABCD为正方形，OA＝OB，∴∠BAE＝90°，∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴OE＝2，点E的坐标为（﹣2，0）．将E（﹣2，0）代入y＝kx+2，得：﹣2k+2＝0，解得：k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+2．∵∠OBD＝∠ABD+∠OBA＝90°，∴BD∥OA．∵OE＝OB＝2，∴BD＝2OA＝4，∴点D的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y＝（x＞0）经过点C，∴n＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝．（2）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时△PCD的周长取最小值，如图2所示．∵点D的坐标为（2，4），∴点D′的坐标为（2，﹣4）．设直线CD′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将C（4，2），D′（2，﹣4）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线CD′的解析式为y＝3x﹣10．当y＝0时，3x﹣10＝0，解得：x＝，∴当△PCD的周长最小时，P点的坐标为（，0）．（3）设点M的坐标为（x，y），分三种情况考虑，如图3所示．①当DP为对角线时，，解得：，∴点M1的坐标为（，2）；②当CD为对角线时，，解得：，∴点M2的坐标为（，6）；③当CP为对角线时，，解得：，∴点M3的坐标为（，﹣2）．综上所述：以点C、D、P为顶点作平行四边形，第四个顶点M的坐标为（，2），（，6）或（，﹣2）．7．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣4的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，n），B（m，2）（1）求反比例函数关系式及m的值；（2）若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16，求点M的坐标；（3）根据函数图象直接写出关于x的不等式在＜﹣2x﹣4的解集解：（1）∵一次函数y＝﹣2x﹣4的图象过点A（1，n），B（m，2）∴n＝﹣2﹣4，2＝﹣2m﹣4∴n＝﹣6，m＝﹣3，∴A（1，﹣6）把A（1，﹣6）代入y＝得，k＝﹣6，∴反比例函数关系式为y＝﹣；（2）设直线AB与x轴交于N点，则N（﹣2，0），设M（m，0），m＞0，∵S△MAB＝S△BMN+S△AMN，△MAB的面积为16，∴|m+2|×（2+6）＝16，解得m＝2或﹣6（不合题意舍去），∴M（2，0）；（3）由图象可知：不等式在＜﹣2x﹣4的解集是x＜﹣3或0＜x＜1．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5）与点C关于原点O对称，分别过点A、C 作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点B、D，连结AD、BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求直线AD对应的函数关系式；（2）求k的值；（3）直接写出阴影部分图形的面积之和．解：（1）设直线AD对应的函数关系式为y＝ax+b．∵直线AD过点A（3，5），E（﹣2，0），∴解得∴直线AD的解析式为y＝x+2．（2）∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），∵CD∥y轴，∴设点D的坐标为（﹣3，a），∴a＝﹣3+2＝﹣1，∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；（3）如图：∵点A和点C关于原点对称，∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，∴S阴影＝4×3＝12．9．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，8），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．解：（1）把点A（4，3）代入函数得：a＝3×4＝12，∴y＝，OA＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：∴y＝2x﹣5；（2）作MD⊥y轴．∵点M在一次函数y＝2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）．∵MB＝MC，∴CD＝BD，∴x2+（8﹣2x+5）2＝x2+（﹣5﹣2x+5）2∴8﹣（2x﹣5）＝2x﹣5+5解得：x＝∴2x﹣5＝，∴点M的坐标为（，）．10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝3，OC＝5，动点P在x轴的上方，且满足S△＝S矩形OABC．PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．解：（1）由题意，可知：点B的坐标为（3，5）．∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y＝．∵S△PAO＝S矩形OABC，∴×3×y P＝×3×5，∴y P＝3．当y＝3时，＝3，解得：x＝5，∴当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为（5，3）．（2）由（1）可知：点P在直线y＝3上，作点O关于直线y＝3的对称点O′，连接AO′交直线y＝3于点P，此时PO+PA取得最小值，如图1所示．∵点O的坐标为（0，0），∴点O′的坐标为（0，6）．∵点A的坐标为（3，0），∴AO′＝＝3，∴PO+PA的最小值为3．（3）∵AB∥y轴，AB＝5，点P的纵坐标为3，∴AB不能为对角线，只能为边．设点P的坐标为（m，3），分两种情况考虑，如图2所示：①当点Q在点P的上方时，AP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣0）2＝25，解得：m1＝﹣1，m2＝7，∴点P1的坐标为（﹣1，3），点P2的坐标为（7，3）．又∵PQ＝5，且PQ∥AB∥y轴，∴点Q1的坐标为（﹣1，8），点Q2的坐标为（7，8）；②当点Q在点P的下方时，BP＝AB＝5，即（m﹣3）2+（3﹣5）2＝25，解得：m3＝3﹣，m4＝3+，同理，可得出：点Q3的坐标为（3﹣，﹣2），点Q4的坐标为（3+，﹣2）．综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为（﹣1，8），（7，8），（3﹣，﹣2）或（3+，﹣2）．11．如图，已知C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A，B两点，设C，D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），且x1＜x2，连接OC、OD．（1）若x1+y1＝x2+y2，求证：OC＝OD；（2）tan∠BOC＝，OC＝，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，若∠BOC＝∠AOD，求直线CD的解析式．（1）证明：∵C，D是反比例函数y＝图象在第一象限内的分支上的两点，∴y1＝，y2＝．∵x1+y1＝x2+y2，即x1+＝x2+，∴x1﹣x2＝．又∵x1＜x2，∴＝1，∴＝x2＝y1，＝x1＝y2．∴OC＝＝，OD＝＝，∴OC＝OD．（2）解：∵tan∠BOC＝，∴＝．又∵OC＝，∴+＝10，∴x1＝1，y1＝3或x1＝﹣1，y1＝﹣3．∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（1，3）．（3）解：∵∠BOC＝∠AOD，∴tan∠AOD＝，∴＝．∵点C（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝1×3＝3，∴x2•y2＝3，∴x2＝3，y2＝1或x2＝﹣3，y2＝﹣1．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，1）．设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C（1，3），D（3，1）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是8 ，AB的长是 4 ；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．13．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A （﹣3，1），B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解．解：（1）∵点A（﹣3，1）在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，∴m＝（﹣3）×1＝﹣3，∴反比例函数的表达式为y＝﹣，∵点B（1，n）也在反比例函数y＝﹣的图象上，∴n＝﹣＝﹣3，即B（1，﹣3），把点A（﹣3，1），点B（1，﹣3）代入一次函数y＝kx+b中，得，解得，∴一次函数的表达式为y＝﹣x﹣2；（2）如图所示，当＞kx+b时，x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1，所以不等式﹣kx﹣b＞0的解是：﹣3＜x＜0或x＞1．14．如图，在平面直角坐标系xOy内，函数y＝的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象有公共点A，点A的坐标为（8，a），AB⊥x轴，垂足为点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P在线段OB上，若AP＝BP+2，求线段OP的长；（3）点D为射线OA上一点，在（2）的条件下，若S△ODP＝S△ABO，求点D的坐标．解：（1）∵函数y＝的图象过点A（8，a），∴a＝×8＝4，∴点A的坐标为（8，4），∵反比例函数y＝（k≠0）图象过点A（8，4），∴4＝，得k＝32，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设BP＝b，则AP＝b+2，∵点A（8，4），AB⊥x轴于点B，∴AB＝4，∠ABP＝90°，∴b2+42＝（b+2）2，解得，b＝3，∴OP＝8﹣3＝5，即线段OP的长是5；（3）设点D的坐标为（d，d），∵点A（8，4），点B（8，0），点P（5，0），S△ODP＝S△ABO，∴，解得，d＝，∴d＝，∴点D的坐标为（，）．15．阅读理解：如图（1），在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C，得到Rt△ABC，由勾股定理可得，线段AB＝＝．得出结论：（1）若A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2）请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离；应用结论：（2）若点P在y轴上运动，试求当PA＝PB时，点P的坐标．（3）如图（2）若双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，将线段OA绕点O旋转，使点A恰好落在双曲线L2：y＝﹣（x＞0）上的点D处，试求A、D两点间的距离．解：（1）∵A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），∴根据两点间的距离公式得，AB＝；（2）设点P（0，a），∵A的坐标是（1，2），点B的坐标是（3，4），∵PA＝，PB＝，∵PA＝PB，∴＝，∴a＝5，∴P（0，5）；（3）∵双曲线L1：y＝（x＞0）经过A（1，2）点，∴OA＝，k＝1×2＝2，∴双曲线L1：y＝（x＞0），双曲线L2：y＝﹣（x＞0），设点D坐标为（m，﹣）（m＞0），∴OD＝，由旋转知，OA＝OD，∴＝，∴m＝±1或m＝±2，∵m＞0，∴m＝1或m＝2，∴D（1，﹣2）或（2，﹣1）．∵A（1，2），∴AD＝4或．。

第六章反比例函数1.反比例函数知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.下列函数关系式中,y是x的反比例函数的是()A.y=B.y=-+1C.y=D.y=-2.若y是x的反比例函数,且常数k=,则y与x的函数关系式是()A.y=xB.y=C.y=D.y=3.已知y1=mx(m≠0),y2=(k≠0),当x=1时,y1=y2,当x=2时,y1=y2+9,当x=3时,y1-y2的值为()A.3B.12C.16D.214.若y=(a+1)是反比例函数,则a的取值为()A.1B.-1C.±1D.任意实数5.把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为.6.在一个可以改变容积的密闭容器内,装有一定质量的某种气体,当改变容积V时,气体的密度ρ也随之改变.在一定范围内,密度ρ是容积V的反比例函数.当容积为5 m3时,密度是1.4 kg/m3,则ρ与V的函数关系式为.7.已知y=y1-y2,y1与x+2成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=1,求y与x的函数关系式.8.人的视觉机能受运动速度的影响很大,行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的,车速增加,视野变窄.当车速为50 km/h时,视野为80度.如果视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数,求f,v 之间的关系式,并计算当车速为100 km/h时视野的度数.创新应用9.在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,取一块含45°角的直角三角板,将45°角的顶点放在△ABC的斜边BC的中点O处(如图①),顺时针方向旋转,使45°角的两边与Rt△ABC的两边AB,AC分别相交于点E,F(如图②),设BE=x,CF=y.求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围.答案：能力提升1.D2.B y=,所以B选项符合题意.3.C根据题意,得解得∴y1=6x,y2=,故当x=3时,y1-y2=18-2=16.4.A∵此函数是反比例函数,∴解得a=1.容易忽略a+1≠0这个条件.5.S=6.ρ=可设ρ=(m为常数,m≠0),把ρ=1.4,V=5代入可得m=7,所以ρ与V的函数关系式为ρ=.7.解设y1=k1(x+2),y2=.所以y=k1(x+2)-.所以所以所以y=x-.8.解设f,v之间的关系式为f=(k≠0).当v=50时,f=80,故k=4 000,所以f=.则当v=100时,f=40.答:当车速为100 km/h时,视野为40度.创新应用9.解因为∠EOC=∠B+∠BEO,所以∠EOF+∠COF=∠B+∠BEO.又因为∠B=∠EOF=∠C=45°,所以∠COF=∠BEO.所以△BEO∽△COF.所以,即CF=.又因为BO=CO=BC=, 又有BE=x,CF=y, 所以y=(1≤x≤2).。