函数的单调性和奇偶性

函数单调性、奇偶性、周期性

◆知识点梳理

一函数的奇偶性：

1、定义域关于原点对称 奇函数)(xf在原点有定义,则0)0(f；

2、)(xf是奇函数)()(xfxf)(xf图像关于原点对称；

3、)(xf是偶函数)()(xfxf)(xf图像关于y轴对称；

4、一些判断奇偶性的规律:

①奇±奇=奇,偶±偶=偶

②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶

二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法;

1、单调性的定义：)(xf在区间M上是增减函数,,21Mxx

当21xx时)0(0)()(21xfxf

2、采用单调性的定义判定法应注意：

一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负；

3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法：

①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；

②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解;

4、一些判断单调性的规律:

①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；

②1()()()fxfxfx与、的单调性相反；

三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑

1、首先将原函数)]([xgfy分解为基本初等函数： )(xgu与)(ufy；

2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；

3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性;

四函数的周期性

1、周期性的定义：若有)()(xfTxf,则称函数)(xf为周期函数,T为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期; 2、三角函数的周期

①Txy:tan,||:tanTxy ②||2:)cos(),sin(TxAyxAy

3、与周期有关的结论：

①)()(axfaxf或(2)()fxafx )(xf的周期为a2；

②)()(xfaxf)(xf的周期为a2；③1()()fxafx)(xf的周期为a2；

1 函数的奇偶性与单调性

一、基本概念

(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。

,xDfxfxfxfx任意则为偶函数；若，则为奇函数。

变式：0;10fxfxfxfxfx的情况单独验证(整体性质)

(2)函数的单调性：(局部性质)

12121212,,,xxDxxfxfxfxDfxfxD任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。1212121200fxfxfxfxDDxxxx变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。yfx注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()11

3.复合函数奇偶性与单调性的结论：

,,yfxygxygxyfxyfgxyfxygx的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。(3)函数的凹凸性(局部性质)：

121212,,,,,,22,fxfxxxyfxxabxxfyfxabab若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。

二、特征方程： 2 1,2,3,4,fxyfxfyfxyfxfyfxxfxyfxfyfyfyfxfxyfxfyfxyfyxfxyfxfyffxfyy正比例函数：幂函数：指数函数：对数函数：

函数单调性与奇偶性

1. 函数的单调性

在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。具体地说，一个函数被称为是递增的（或非递减的），如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足

f(x1) <= f(x2)；一个函数被称为是递减的（或非递增的），如果对于任意的 x1 和

x2（x1 < x2）都满足 f(x1) >= f(x2)；一个函数被称为是严格递增的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) < f(x2)；一个函数被称为是严格递减的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) > f(x2)。

函数的单调性对于函数图像的形状有着重要的影响。当一个函数递增时，其图像会从左下方向右上方倾斜；当一个函数递减时，其图像会从左上方向右下方倾斜。严格递增和严格递减是指函数图像不会出现水平的平行线段。

2. 函数的奇偶性

函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。具体地说，一个函数被称为是奇函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = -f(x)；一个函数被称为是偶函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = f(x)。此外，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则被称为是既非奇也非偶函数。

奇函数的图像关于原点对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上；偶函数的图像关于 y 轴对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x,

y) 也在函数图像上。既非奇也非偶函数的图像不具备对称性。

3. 函数单调性与奇偶性的关系

对于一个函数而言，其单调性与奇偶性有一定的关系。如果一个函数是奇函数，则它可能是严格递增的或严格递减的；如果一个函数是偶函数，则它可能是递增的或递减的。但需要注意的是，一个函数的单调性并不决定它的奇偶性，也就是说，递增（或递减）函数可以是奇函数、偶函数或既非奇也非偶函数。

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

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一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；