江西省数学 中考特训方案 考点精讲 (233)

专题五

几何探究题

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2019 平行四边形、菱形综合题 解答 22 9 几何探究题是近五年江西中考的必考题型，通常出现在解答题最后两题的其中一题，主要类型有：(1)动点问题探究；(2)旋转问题探究；(3)折叠问题探究；(4)新定义问题探究；(5)操作问题探究，预计2020年可能考查旋转问题探究. 2018 菱形、等边三角形(图形变换综合题) 解答 22 9

2017 新定义探究题 解答 23

12

2016 新定义探究题 解答 22 10

2015 新定义探究题 解答 24 12

解题策略► (1)动点问题：由动点引发的几何图形的大小、形状问题或几何图形间位置关系问题，都需要通过相关的数量条件来确定，因此抓住几何计算，构造方程、函数是解决此类问题的关键所在；(2)几何图形变换(旋转、折叠、操作)问题：解答时，要运用图形变换的视角来观察，分析图形，识别出基本图形之间所存在的变换关系，也可根据图形的特殊性，巧妙运用图形变换的手段来转化图形；(3)新定义问题：要认真阅读并理解“新定义”，把握“新定义”的实质，从性质与判定两个角度做出分析，运用“新定义”的性质与判定属性来解决相应的问题．

中考重难突破

动点问题探究[2018年T22]

【例1】(2019·资阳中考)在矩形ABCD中，连接AC，点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B→A→C的路径运动，运动时间为t(s)．过点E作EF⊥BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.

(1)如图，当AB＝BC＝8时，

①若点H在△ABC的内部，连接AH，CH，求证：AH＝CH；

②当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；

(2)当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，求t的值．

【解题思路点拨】(1)①利用“SAS”证明△AEH≌△CGH可得结论；②分0

(2)分三种情形分别求解．

【解答】(1)①证明：∵四边形EFGH是正方形，AB＝BC，

∴BE＝BG，AE＝CG，

∠BEH＝∠BGH＝90°. ∴∠AEH＝∠CGH＝90°.

又∵EH＝GH，

∴△AEH≌△CGH(SAS)．

∴AH＝CH；

②解：当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2；

当4

综上所述，S＝t2（0＜t≤4），－t2＋16t－32（4＜t≤8）；

(2)解：如图②，延长AH交BC于点M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分．

∵EH∥BM，

∴AEAB＝EHBM，即6－t6＝t4.∴t＝125；

如图③，延长AH交CD于点M，交BC的延长线于点K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易得AD＝CK＝8.

∵EH∥BK，

∴AEAB＝EHBK，

即6－t6＝t16.∴t＝4811；

如图④，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于点M，交BC的延长线于点N.当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1∶3两部分，易得AD＝CN＝8.在Rt△ABC中，AC＝62＋82＝10.

∵EF∥AB，∴CECA＝EFAB，即16－t10＝EF6.

∴EF＝35(16－t)．

∵EH∥CN，

∴EHCN＝AEAC，

即35（16－t）8＝t－610.∴t＝727.

综上所述，满足条件的t的值为125或4811或727.

1．(2019·绵阳中考)如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD＝4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH.

(1)求证：△DEF是等腰直角三角形；

(2)当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长； (3)设点E运动的时间为t s，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAC＝∠CAB＝45°.

∴∠FDE＝∠CAB，∠DFE＝∠DAC.

∴∠FDE＝∠DFE＝45°.∴∠DEF＝90°.

∴△DEF是等腰直角三角形；

(2)解：设OE＝t，连接OD，则∠DOE＝∠DAF＝90°.

∵∠OED＝∠DFA，∴△DOE∽△DAF.

∴OEAF＝ODAD＝22.∴AF＝2t.

又∵∠AEF＝∠ADG，∠EAF＝∠DAG＝45°，

∴△AEF∽△ADG.∴AEAD＝AFAG.

∴AG·AE＝AD·AF＝42t.

又∵AE＝OA＋OE＝22＋t，

∴AG＝42t22＋t.∴EG＝AE－AG＝t2＋822＋t.

当点H恰好落在线段BC上时，∠DFH＝∠DFE＋∠HFE＝45°＋45°＝90°.易证△ADF∽△BFH.

∴FHDF＝BFAD＝4－2t4.

∵AF∥CD，∴FGDG＝AFCD＝2t4.

∴FGDF＝2t4＋2t.∴4－2t4＝2t4＋2t.

∴t＝10－2或t＝10＋2(舍去)．

∴EH＝EG＝t2＋822＋t＝（10－2）2＋822＋10－2＝

310－52；

(3)解：过点F作FK⊥AC于点K.

由(2)得EG＝t2＋822＋t.

∵DE＝EF，∠DEF＝90°，∴∠DEO＝∠EFK.

∴△DOE≌△EKF(AAS)．∴FK＝OE＝t.

∴S△EFG＝12EG·FK＝t3＋8t42＋2t.

旋转问题探究[2017年T23，2016年T22]

【例2】(2019·宿迁中考)如图1，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度(0≤α≤180)．

(1)如图2，当0＜α＜180时，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC；

(2)如图3，直线CE，AD交于点G.在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数； (3)将△BDE从图1位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．

【解题思路点拨】(1)在图1中利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得BDBA＝BEBC，在图2中，利用两边成比例且夹角相等证明三角形相似即可；

(2)利用相似三角形的性质求解即可；

(3)得出点G的运动路程为一段弧，求出其圆心角、半径，利用弧长公式计算即可．

【解答】解：(1)图1中，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC.∴BDBA＝BEBC.

图2中，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC.

∴△BDA∽△BEC；

(2)∠AGC的大小不发生变化．

图3中，设AB交CG于点H.

∵△BDA∽△BEC，∴∠DAB＝∠ECB.

∵∠DAB＋∠AHG＋∠AGC＝180°，∠ECB＋∠CHB＋∠ABC＝180°，∠AHG＝∠CHB，

∴∠AGC＝∠ABC＝30°；

(3)如图，设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB.

以点O为圆心，OA为半径作⊙O.

∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，

∴∠AGC＝12∠AOC.

∴点G在⊙O上运动，

以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线AG与⊙B相切时，BD⊥AD.

∴∠ADB＝90°.

∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK.

∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK.

∴△BDK是等边三角形．∴∠DBK＝60°.

∴∠DAB＝30°.∴∠BOG＝2∠DAB＝60°.

∴BG︵的长为60π×4180＝4π3.

观察图形可知，点G的运动路程是BG︵的长的两倍，即为8π3.

2．(2019·自贡中考)

(1)如图1，点E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①线段DB和DG的数量关系是____________；

②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系；

(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD，DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE，BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．

解：(1)①DB＝DG；②BE＋BF＝2DB；

(2)①BE＋BF＝3BD.

证明：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝12∠ADC＝12×60°＝30°.

由旋转120°可得∠EDF＝∠BDG＝120°，

∴∠EDB＝∠FDG.

在△DBG中，∠G＝180°－120°－30°＝30°.

∴∠DBG＝∠G＝30°.∴DB＝DG.

∴△EDB≌△FDG(ASA)．∴BE＝FG.

∴BF＋BE＝BF＋FG＝BG.

过点D作DM⊥BG于点M.

∵BD＝DG，∴BG＝2BM.

在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，

∴BMBD＝cos 30°＝32.∴BGBD＝3.

∴BE＋BF＝BG＝3BD；

②GM＝193.

3．(2019·河南中考)在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

(1)观察猜想 如图1，当α＝60°时，BDCP的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________；

(2)类比探究 如图2，当α＝90°时，请写出BDCP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；

(3)解决问题 当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时ADCP的值．

解：(1)1；60°；

(2)BDCP＝2，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是45°.

理由：图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E.

由题意知△PAD，△ACB都是等腰直角三角形．

∴∠PAD＝∠CAB＝45°，ABAC＝ADAP＝2.