菱形的判定及性质

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乐恩特教育个性化教学辅导教案

校区：百花

授课教师 王宁波 日期 2014.8 时间 8：00~10:00

学 生 李延泽 年级 初三 科目 数学

课 题 菱形的性质及其判定

教学目标

要 求

教学重难点

分 析 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视

教 学 过 程

知识回顾

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ,.

① 边的性质：对边平行且四边相等．

② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

讲授新课

1、 叫菱形

子轩教育

试卷 第1/8页

菱形的性质和判定

一、选择题

1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为( )

A .5

B .7

C .8

D .

二、解答题

2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，DE//AC，CE//BD，

求证：OE=BC

3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．

（1）求证：△BCF≌△．

（2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由． 子轩教育

试卷 第2/8页

4、如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD、BC于点E、F，AC与EF交于点O，连结AF、CE．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的边长。

5、如图，CD是△ABC的中线，点E是AF的中点，CF∥AB．

（1）求证：CF=AD；

（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD的形状，并说明理由．

6、如图，将矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B点处；再将矩形A1B1C1D1沿BG折叠，使D1点落在D点处且BD过F点．

（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；

（2）当∠B1FE是多少度时，四边形BEFG为菱形？试说明理由． 子轩教育

试卷 第3/8页 子轩教育

试卷 第4/8页 菱形的性质和判定的答案和解析

一、选择题

1、答案：

B

试题分析：

作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形，则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

《1 菱形的性质与判定》教案

教学目标：

1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力．

2．能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理等．

3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

教学重点：

掌握菱形的性质和定理，以及证明方法．

教学难点：

运用综合法证明菱形的性质、判定定理．

教学过程：

提问：菱形有哪些性质？你能证明吗？

定理：菱形的四条边都相等．

定理：菱形的对角钱互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．

思路点拨：利用菱形的定义以及平行四边形的性质容易证明第一个定理；

证明第二个定理主要用到“平行四边形的对角线互相平分”和等腰三角形“三线合一”的性质．

想一想

怎样判别一个平行四边形是菱形？请证明你的结论．

证明时要用到“平行四边形的对角线互相平分”“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”．

定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

随堂练习：

随堂练习1、2

课堂小结：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

（1） 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2） 菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

要点三、菱形的判定

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

类型一、菱形的性质

1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数

当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．

2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．

（1）求证：AM＝DM；

（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．

3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．

求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．

类型三、菱形的综合应用

4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．