福建省福州市八县(市)协作校2017-2018学年高二上学期期末联考数学(理)试题(含精品解析)
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福州市八县（市）协作校2017—2018学年第一学期期末联考
高二理科 数学试卷
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.
1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A. 任意一个有理数，它的平方是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
C. 存在一个有理数，它的平方是无理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
【答案】B
【解析】
试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的
平方不是有理数．
考点：命题的否定．
2. 已知集合A
＝，B
＝，则A∩B等于( )
A. [1,3] B. [1,5] C. [3,5] D. [1，＋∞)
【答案】C
【解析】
【分析】
求出
中不等式的解集确定出，
求出
中
的范围确定出
，找出
与的交集即可
【详解】由
中不等式变形可得：，解得
由
中
得到，即
则
故选
【点睛】本题主要考查的是集合的交集及其运算，属于基础题。
3. 如图，边长为的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由题意得圆的半径为1，
故圆的面积为。
根据几何概型概率公式可得该点落在圆内的概率为。选A。4. “”是“
方程”表示椭圆的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
设
，表示圆，不一定为椭圆.
反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.
5.
抛物线的焦点坐标为（ ）
A. （
-，0） B. （-4，0） C. （0，
-） D. （0，-2）
【答案】D
【解析】
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，求出的值，判断开口方向及焦点所在的坐标轴，即可得到焦点坐标
【详解】将抛物线化为标准形焦点坐标为式
，焦点在轴上，开口向下
其焦点坐标为
故选
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，属于基础题
6.
设向量
，若，则实数的值为（ ）
A. 0 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件求出
的坐标点，然后再根据
得到，代入即可求得结果【详解】，
即
，
故选
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及平面向量的点坐标，属于基础题
7.
已知，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数，对数函数的单调性求解，找出中间转换量【详解】
故选
【点睛】本题主要考查的是对数值大小的比较，在解答此类题目时可以将其化为同底数或者找个中间代换
量来比较大小，属于基础题。
8. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为( )
A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．
解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面
半径为1．
所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为2π×12=2π，
所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．
故选C．
考点：由三视图求面积、体积．
9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB
是一条侧棱，是上底面上其余的八
个点，则的不同值的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，利用坐标计算即可得到结果
【详解】则
的不同值得个数为
故选
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解
题的常用手段。
10. 已知双曲线
C:的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双
曲线的两条渐近线相切且直线
M
与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆心的坐标，利用直线与圆相切，建立条件关系，求出的关系即可得到结果
【详解】
设圆心
，双曲线的渐近线方程为，
直线
与双曲线的一条渐近线垂直，
则
，即则圆心的坐标
圆与双曲线的两渐近线均相切，
圆
到直线
的距离
整理可得：则
即
则
故选【点睛】本题主要考查的是离心率的求解，直线和圆的位置关系的应用，根据条件求出圆心的坐标以及
的关系是解决此题的关键。
11. 如图，在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，∠BCA=900，点D
1和F
1分别是A
1B
1和A
1C
1的中点，若BC=CA=CC
1，则BD
1与AF
1所成角的余弦值是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取
的中点
，连接
，
，将
平移到
，则
就是异面直线
与
所成角，在中利
用余弦定理求出此角即可
【详解】
取
的中点
，连接
，，
就是异面直线
与所成角，
设
则
，
，
在
中，
故选
【点睛】本题主要考查了异面直角所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，难度不大，
关键是能够通过找点作出平行线，找出异面直线所成的角。12.
抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦
的中点
作抛物线准线的垂线
，垂足为
，则的最大值为（ ）
A. 2
B. C. 1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设
，
，连接
，
，由抛物线定理可得，由余弦定理可得
，
然后根据基本不等式，求得的取值范围，即可得到答案
【详解】
设
，
，连接
，
由抛物线定义可得
，
在梯形
中，
余弦定理可得：
配方可得：又
即
的最大值为
故选【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，结合抛物线定义运用余弦定理找出各长度之间的关系，再运
用不等式进行求解，本题较为综合，有一定难度。
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.
13. 若实数x, y
满足，则的最小值为______．
【答案】-15
【解析】
画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
当
经过可行域的点时，目标函数取得最小值，
由
，解得，
则
的最小值是.
14. 已知命题
：是真命题，则实数的取值范围为__________
【答案】（-2，2）
【解析】
【分析】
因为命题
：
是真命题，可得即可求得答案【详解】
命题
：是真命题
，解得
则实数
的取值范围为
故答案为
【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目，关键是根据已知命题为真命题，构造关于的不等
式是解题的关键
15. 若的两个顶点坐标、，的周长为，则顶点C轨迹方程为 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的周长为定值，
，得到点
到两个定点的距离之和等于定值，即点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点
在轴上，写出椭圆方程，去掉不合题意的点
【详解】
的两个顶点坐标
、，周长为，
点到两个定点的距离之和等于定值，
点
的轨迹是以
、为焦点的椭圆
椭圆的标准方程是
故答案为
【点睛】本题主要考查了轨迹方程，椭圆的标准方程，解题的关键是掌握椭圆的定义及其求法。
16. 在正方体ABCD－A
1B
1C
1D
1中，下列给出四个命题：
(1)四边形ABC
1D
1
的面积为
(2)的夹角为60°；(3)
；
则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)
【答案】(1) (3) (4)
【解析】
【分析】
结合正方体图形，分别对四个命题进行判断
【详解】⑴
由
面
，故
，所以四边形
的面积为正确
⑵
是等比三角形，
，又因为，
异面直线
与
所成的夹角为，但
是向量
的夹角为，故错误
