江西省2021年中考数学试题含答案(word版)

江西省2021年中考数学试卷及答案一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项)1.-2的相反数是（）A.2B.-2C.21D.21-解：解析：考点：实数，相反数的概念，答案：A 2.如图，几何体的主视图（）A BC D解析：考点：三视图，答案：C3.计算a a a 11-+的结果为（）A.1B.-1C.aa 2+ D.aa 2-解析：考点：分式的加减运算，答案：A4.如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图由图可知下列说法错误的是()A.一线城市购买新能源汽车的用户最多B.二线城市购买新能源汽车用户达37%C.三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D.四线城市以下购买新能源汽车用户最少解析：考点：扇形统计图，答案：C5.在同一平面直角坐标中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（）【解析】由y=ax ²的图象开口向上，可得a>0，再由y=bx+c 的图象经过第一、三、四象限，可得b>0，c<0.所以y=ax ²+bx+c 中的a>0，b>0，c<0，很容易推出正确选项是D.解：D6.如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A.2B.3C.4D.5故答案为：B二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）7.国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记法表示为【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．解：45100000=4.51×107．故答案为：4.51×107．8.因式分解:224x y -=【解析】本题考查了用平方差公式法分解因式，熟记平方差公式是解题的关键．故答案为：（x+2y）(x-2y)．9.已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1212x x x x +-=【解析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系．解：由题意可知：124x x +=，123x x = ，∴1212431x x x x +-=-= ．故答案为：1．10.下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是【解析】根据题意可知，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，从第3行开始，中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和．∴第四行空缺的数字=1+2=3．故答案为：3．11.如图，将□ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F，若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b，则□ABCD 的周长为.【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴∠B =∠D =80°,∠BCD =100°,由翻折可知∠ACE =∠ACB 又∵∠ACE =2∠ECD，∴5∠ECD=∠BCD=100°∴∠ECD=20°，∠ACE =∠ACB=∠DAC=40°,∠DFC =∠D =80°∴AF=FC=DC=a,∵FD =b,∴AD=a+b□ABCD 的周长=2(AD+DC )=2(a+b+a )=4a+2b 故答案为：4a+2b ．12.如图,在边长为的正六边形ABCDEF 中,连接BE，CF，其中点M，N 分别为BE 和CF 上的动点.若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为.NMFEDCBA （第11题图）（第12题图）故答案为：9或10或18．9<10<10.39≈63三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）13.(1）计算：(-1)2-(π-2021)0+|-12|；(2)如图，在△ABC 中，∠A＝400，∠ABC=80°,BE 平分∠ABC 交AC 于点E，ED⊥AB 于点D，求证：AD＝BD.【答案】（1）解：原式=2111+-=21【评析】本题考查实数运算，具体涵盖平方，零指数幂，绝对值，有理数加减运算.依据概念或意义算出每一部分的值是关键.（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，∠ABC =80°，∴∠EBA =︒=︒⨯=∠40802121ABC .又∵∠A =40°，∴∠EBA =∠A ，∴AE =BE ，又∵ED ⊥AB ，∴AD =BD .【评析】本题考查几何简单推理，具体涵盖角的平分线的定义，等腰三角形的判定，及等腰三角形的三线合一的性质．能依据图形及数量对应几何性质与判定定理是关键.14.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+≤-.1-31,132＞x x 并将解集在数轴上表示出来.【答案】解不等式①得：2≤x ；解不等式②得：4->x ；∴该不等式组的解集是：24≤<-x .在数轴上表示如下：【评析】本题考查解一元一次不等式组的基本步骤，以及在数轴上表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键．15.为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A,B,C,D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加.抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗均匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字.(1)“A 志愿者被选中”是事件(填“随机”或“不可能”或“必然”)；(2)请你用列表法或画树状图表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A,B 两名志愿者被选中的概率.【答案】（1）随机（2）解：第一张AB CD第二张B C D A C D A B D A B C由表格（或树状图）可知一共由12种等可能的结果，其中“A，B 两名志愿者被选中”（记为事件E）包含其中两种结果，故P（E）=61122=.【评析】本题考查了事件的分类，列举法（包括列表法与树状图法）求概率.利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合相应事件的结果数目m，然后利用概率公式计算相应事件的概率．16.已知正方形ABCD 的边长为4个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.（1）在图1中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC 向上平移1个单位长度.012345-1-2-3-4-5【答案】解析：作图题一是要考虑作图的顺序，二是要考虑作图的依据.对于题（1），我们首先要确定正方形ABCD的中心所在位置（即正方形两对角线的交点O，这容易作出）；其次想到旋转后的直线必然与AD、BC两边中点所在的直线重合，但这两边的中点我们无法直接得到，点E与正方形中心O的连线必平分线段AB，因此就得到矩形ADEF，再作矩形ADEF的两条对角线，得交点P，显然直线PO就是所求作直线；对于题（2），在（1）的基础上我们知道OP=1，我们只要找到CE的中点Q，则直线PQ即为所求直线.题（1）作图思路2：题（2）作法2：17.如图，正比例函数y=x的图像与反比例函数的图像交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点C坐标为（-2，0）.(1)求k的值；(2)求AB所在直线的解析式.【答案】（1）∵点A ()a ，1在正比例函数x y =的图象上，∴1=a ，即A ()11，又∵点A ()11，在反比例函数xky =的图象上，∴111=⨯=k ；（2）如图，分别过点A、B 做，、轴于点轴，交轴，E D BE AD x x x ⊥⊥则＝＝BEC ADC ∠∠︒90，∴＝21∠+∠︒90，∵＝ACB ∠︒90，∴＝23∠+∠︒90，又∵BC=AC∴BEC ∆≌CDA ∆∵()02C ，-，()11A ，，∴＝３，CD 1AD =，∴＝３，＝CD BE 1AD EC ==，∴()33B ，-设AB 所在直线的解析式为b ax y +=，()()分别代入上式，得：，和，将点33B 11A -，解得∴AB 所在直线的解析式为2321+-=x y .四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件.(1)求这种商品的单价；(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是元/件.(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同加油更合算（填“金额”、“油量”）.【答案】(1)设这种商品的单价为x 元/件,依题意得:1024003000=-xx 解得:x=60经检验，解得:x=60是原方程的解.(2)60-20=40(元/件)甲的平均单价:2400÷40=60(件)(2400+2400)÷(40+60)=48(元/件)乙的平均单价:3000÷60=50(件),50×40=2000元(3000+2000)÷(50+50)=50(元/件)(3)由(2)可知,按相同金额加油更合算19.为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75g 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近.质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质最（单位∶g）如下∶甲厂∶76，74，74，76.73，76，76，77，78，74，76,70,76.76,73,70,77,79,78,71;乙厂∶75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79,71,72，74，73,74,70,79,75,77;甲厂鸡腿质量频数统计图分析上述数据得下表：分析上述数据得下表：请你根据图表中的信息完成下列问题∶((1)a=,b=（2）补全频数分布直方图∶（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议∶（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿.并将质量（单位∶g）在71≤x<77的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只?【答案】（1）由甲厂鸡腿质量频数统计表中数据可得：1- (0.10.150.25)0.5a =++=由甲厂鸡腿质量统计表中数据可得：76出现次数最多，有7次，质量x （g）频数频率68≤x <7120.171≤x <7430.1574≤x <7710a 77≤x <8050.25合计201∴甲厂的众数为76；故0.5,76a b ==（2）由乙厂鸡腿质量频数直方图中数据可得，7477x ≤<中出现的次数为：20(147)8-++=（3）因出口规格为75g ,甲厂和乙厂的平均数都为75g ,故从平均数角度选择甲厂和乙厂都一样。

2021年中考数学模拟试题一、选择题1. 若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则代数式a 2017+2016b+c 2018的值为（ ）A. 2018B. 2016C. 2017D. 0【答案】D【解析】【分析】根据已知求出a=-1，b=0，c=1，代入求出即可．【详解】根据题意知a=-1、b=0、c=1，则原式=（-1）2017+2016×0+12018 =-1+0+1=0，故选D ．【点睛】考查了绝对值、倒数、负数和求代数式的值等知识点，能根据题意求出a 、b 、c 的值是解此题的关键．2. 16的算术平方根是（ ）A. 4±B. 4-C. 2D. 4 【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根的定义求解即可，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么x 叫做a 的算术平方根．【详解】16的算术平方根是．故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．3. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】正面看到的平面图形即为主视图．【详解】立体图形的主视图为：D ；左视图为：C ；俯视图为：B故选：D ．【点睛】本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形．4. 对于任意的x 值都有227221x M N x x x x +=++-+-，则M ，N 值为（ ） A. M ＝1，N ＝3B. M ＝﹣1，N ＝3C. M ＝2，N ＝4D. M ＝1，N ＝4 【答案】B【解析】【分析】先计算21M N x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ,根据已知可得关于M 、N 的二元一次方程组227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝ ，解之可得．【详解】解：21M Nx x ++- =()()()()1221M x N x x x -+++- =()()222M N x M N x x ++-++-∴2272x x x ++-=()()222M N x M N x x ++-++- ∴227M N M N +⎧⎨-+⎩＝＝， 解得：13M N -⎧⎨=⎩＝， 故选B ．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M 、N 的方程组．5. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为（ ）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°【答案】D【解析】【分析】 由题意直接根据圆周角定理求解即可．【详解】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理的运用，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 位于第二象限，点A 的坐标是（﹣2，3），先把△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 1，则点A 的对应点A 2的坐标是（ ）A. （5，2）B. （1，0）C. （3，﹣1）D. （5，﹣2）【答案】A【解析】【分析】根据平移变换，旋转变换的性质画出图象即可解决问题；【详解】解：如图，△A2B2C1即所求．观察图象可知：A2（5，2）故选A．【点睛】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键．二、填空题7. 将201800000用科学记数法表示为_____．【答案】2.018×108．【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：将201800000用科学记数法表示为2.018×108． 故答案为2.018×108． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8. x 的取值范围是_____．【答案】x ＞2019【解析】【分析】根据二次根式的定义进行解答.x-2019≥ 0，所以x 的取值范围是x ≥ 2019.【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键.9. 因式分解：a 3﹣2a 2b+ab 2=_____．【答案】a （a ﹣b ）2．【解析】【分析】先提公因式a ，然后再利用完全平方公式进行分解即可．【详解】原式=a （a 2﹣2ab+b 2）=a （a ﹣b ）2，故答案为a （a ﹣b ）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10. 如果2(2a +=+，b 为有理数)，则a ＝_____，b ＝_____．【答案】 (1). 6 (2). 4【解析】【分析】先计算出（）2，再根据)2＝可得答案．【详解】解：∵（2＝+2＝，∴a ＝6、b ＝4．故答案为6、4．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．11. 若 m 、n 是方程 x 2+2018x ﹣1=0 的两个根，则 m 2n+mn 2﹣mn=_________．【答案】2019【解析】【分析】根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2018，mn=﹣1，把 m 2n+mm 2﹣mn 分解因式得到 mn （m+n ﹣1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵m 、n 是方程 x 2+2018x ﹣1=0 的两个根，20181m n mn +=-=-，，则原式=mn （m+n ﹣1）=﹣1×（﹣2018﹣1）=﹣1×（﹣2019）=2019，故答案为2019．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的两根分别为1 x 与2 x ，则1212 b c x x x x a a，．+=-⋅=解题时要注意这两个关 系的合理应用．12. 小强在最近的5场篮球赛中，得分分别为10、13、9、8、10分．若小强下一场球赛得分是16分，则小强得分的平均数、中位数和众数中，发生改变的是____【答案】平均数【解析】试题分析：根据众数、中位数、平均数的定义求解可得．解： 原数据8、9、10、10、13的平均数为15（8+9+10+10+13）=10，众数为10、中位数为10， 新数据8、9、10、10、13、16的平均数为16（8+9+10+10+13+16）=11，众数为10、中位数为10， ∴发生改变的是平均数.故答案为平均数.13. 如图，点M 、N 分别是正五边形ABCDE 的两边AB 、BC 上的点．且AM=BN ，点O 是正五边形的中心，则∠MON 的度数是_____度．【答案】72【解析】【分析】连接OA 、OB 、OC ，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB ，证明△AOM ≌△BON ，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM ，得到答案．【详解】如图，连接OA 、OB 、OC ，∠AOB=3605︒=72°， ∵∠AOB=∠BOC ，OA=OB ，OB=OC ，∴∠OAB=∠OBC ，在△AOM 和△BON 中， OA OB OAM OBN AM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM ≌△BON ，∴∠BON=∠AOM ，∴∠MON=∠AOB=72°， 故答案为72．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14. 已知G 是直角三角形ABC 的内心，∠C =90°，AC =6，BC =8，则线段CG 的长为______．【答案】2【解析】试题分析： 作GD ⊥AC 于点D ，作GE ⊥BC 于E ，作GM ⊥AB 于M ，连接GA 、GB 、GC ，根据勾股定理求出AB ，根据三角形的面积公式得出S △ACB =S △GAC +S △GBC +S △GAB ，代入求出GE =2，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得出CG 的长．解：作GD ⊥AC 于点D ，作GE ⊥BC 于点E ，作GM ⊥AB 于M ，连接GA 、GB 、GC .如图所示：设GM =r ，则GM =GD =GE =r ，∵AC =6,BC =8,∠C =90∘，由勾股定理得：AB =10，根据三角形的面积公式得：S △ACB =S △GAC +S △GBC +S △GAB ， ∴12AC ×BC =12AC ×r +12BC ×r +12AB ×r ， 即：12×6×8=12×6r +12×8r +12×10r ， 解得：r =2.则GE =2，∵G 是直角三角形ABC 的内心，∴∠GCE =12∠C =45∘， ∴CG 2GE 2. 故答案为2.15. 如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于________．【答案】1【解析】【分析】将点（0，0）代入抛物线方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】解：根据题意，知点（0，0）在抛物线221y x x m -＝＋＋上，∴0＝m －1，解得，m＝1；故答案是：1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．解答该题需知：二次函数图象上的点的坐标，都满足该二次函数的解析式．16. 如图，在反比例函数图象中，△AOB是等边三角形，点A在双曲线的一支上，将△AOB绕点O顺时针旋转α （0°＜α＜360°），使点A仍在双曲线上，则α＝_____．【答案】30°、180°、210°【解析】【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．【详解】解：根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y＝x对称，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴AO与直线y＝x的夹角是15°，∴α＝2×15°＝30°时点A落在双曲线上，根据反比例函数的中心对称性，∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，∴此时α＝180°，根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，∴此时α＝210°；故答案为30°、180°、210°．【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质，等边三角形的性质．关键是通过旋转及双曲线的对称性得出结论．三、解答题17. 计算：-10 12sin452) 2π⎛⎫-︒⎪⎝⎭.【答案】3【解析】【分析】按顺序先分别进行负指数幂的计算、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、0次幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】-1012sin45+2+(2018-)2π⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭=2-222⨯++1 =3.【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、0次幂的运算法则是解本题的关键.18. 解方程：x 21x 1x-=-. 【答案】2x =.【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x 2-2x+2=x 2-x ，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19. 我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？（2）本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？（3）若该校九年级共有400名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？【答案】（1）该校对50名学生进行了抽样调查；（2）最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%；（3）全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为720人．【解析】【分析】（1）根据条形统计图，求个部分数量的和即可；（2）根据部分除以总体求得百分比；（3）根据扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，求出百分比即可求解.【详解】（1）4+8+10+18+10=50（名）答：该校对50名学生进行了抽样调查．（2）最喜欢足球活动的有10人，10=20%50， ∴最喜欢足球活动的人占被调查人数的20%．（3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）=400÷20%=2000（人）则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×1850=720（人）． 【点睛】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚的表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反应部分占全体的百分比的大小.20. 甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一场比赛．（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是 ；（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）13（2）16【解析】【分析】(1) 直接利用概率公式求解；（2）共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中甲、乙两位同学有12种情况.【详解】（1）(1)∵共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，∴P(恰好选中乙同学)=13；（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选中甲、乙两位同学（记为事件A）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝16．【点睛】本题考查列表法和树状图法，解题关键在于作出正确的判断.21. 已知2x﹣y＝1，且﹣1＜x＜2，求y的取值范围．【答案】－3＜y＜3【解析】试题分析：利用2x－y=1变形，用含y的式子表示x，再根据－1＜x＜2列出不等式组，解之即可.解：由2x－y=1，得x=12y+，则由－1＜x＜2得：112122yy+⎧>-⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩，解得：－3＜y＜3.22. 平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1=∠B．求证：△ADF∽△DEC．【答案】证明见试题解析．【解析】试题分析：先由平行线的性质得出∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°，再由∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°可得出∠C=∠AFD，由此可得出结论．试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠DEC，∠C+∠B=180°．∵∠1=∠B，∠1+∠AFD=180°，∴∠C=∠AFD，∴△ADF∽△DEC．考点：1．相似三角形的判定；2．平行四边形的性质．23. 某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．【答案】这个包装盒的体积为90cm3【解析】试题分析：设这种长方体包装盒的高为x cm，则长为（13－2x）cm，宽为12（14－2x）cm．根据长方体表面公式，即可列出方程，求解即可．解：设高为x cm，则长为（13－2x）cm，宽为12（14－2x）cm．由题意，得，[（13－2x）12（14－2x）+12（14－2x）x＋x（13－2x）]×2＝146，解得：x1＝2，x2＝－9（舍去）.∴长为：9cm，宽为：5cm．长方体的体积为：9×5×2=90cm3．答：这个包装盒的体积为90cm3．点睛：本题主要涉及立体图形的平面展开图、立体图形的表面积、体积.解题的关键是设高为x cm，利用长方体表面积公式建立方程.24. 如图，已知∠ABM＝30°，AB＝20，C是射线BM上一点．（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是；（填写所有符合条件的序号）①AC＝13；②tan∠ACB＝125；③△ABC的面积为126．（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．【答案】（1）②③；（2）答案见解析.【解析】试题分析：根据给出的条件作出辅助线，根据锐角三角函数的概念和勾股定理求出BC的长，得到（1）（2）的答案．解：（1）②③；（2）方案一：选②作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∴AD＝AB·sin B＝10，BD＝AB·cos B＝3在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∴CD＝tan ADACB＝256．∴BC＝BD＋CD＝3256．25. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm．(1)若花园的面积为252m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．【答案】（1）18m或14m；（2）花园面积的最大值是255平方米．【解析】【分析】（1）根据AB=x米可知BC=（32-x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论．【详解】解：（1）设AB=x米，可知BC=（32-x）米，根据题意得：x（32-x）=252．解这个方程得：x1=18，x2=14，答：x的长度18m或14m．（2）设周围的矩形面积为S，则S=x（32-x）=-（x-16）2+256．∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和6米，∴6≤x≤15．∴当x=15时，S最大= -（15-16）2+256=255（平方米）．答：花园面积的最大值是255平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键．26. 阅读：已知△ABC，用直尺与圆规，在直线BC上方的平面内作一点M（不与点A重合），使∠BMC＝∠BAC（如图1）．小明利用“同弧所对的圆周角相等”这条性质解决了这个问题，下面是他的作图过程：第一步：分别作AB、BC的中垂线（虚线部分），设交点为O；第二步：以O为圆心，OA为半径画圆（即△ABC的外接圆）第三步：在弦BC上方的弧上（异于A点）取一点M，连结MB、MC，则∠BMC＝∠BAC．（如图2）思考：如图2，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝10，E CD上一点，DE＝2．（1）请利用小明上面操作所获得的经验，在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P．点P满足：∠BPC ＝∠BEC，且PB＝PC．（要求：用直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹．）（2）求PC的长．【答案】（1）详见解析；（2）310【解析】【分析】（1）作BC 的垂直平分线，交BE 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆，交垂直平分线于点P ，则点P 为所求．（2）先根据AD=6，CD=10，DE=2知CE=8，BE=10，从而得OB=OP=5，再由BQ=CQ=12BC=3得OQ=4，再根据勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图所示，点P 即为所求：（2）∵CD ＝10，DE ＝2， ∴CE ＝8，∵BC ＝AD ＝6，∴BE ＝10，则OP ＝OB ＝5，∵BQ ＝CQ ＝12BC ＝3， ∴OQ ＝4，则PQ ＝9，∴PC 22CQ PQ +2239+＝10．【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理、线段垂直平分线的尺规作图、矩形的性质及勾股定理等知识点．27. 如图，在Rt △ABO 中，∠BAO ＝90°，AO ＝AB ，BO ＝2，点A 的坐标（﹣8，0），点C 在线段AO 上以每秒2个单位长度的速度由A向O运动，运动时间为t秒，连接BC，过点A作AD⊥BC，垂足为点E，分别交BO于点F，交y轴于点D．（1）用t表示点D的坐标；（2）如图1，连接CF，当t＝2时，求证：∠FCO＝∠BCA；（3）如图2，当BC平分∠ABO时，求t的值．【答案】（1）（0，2t）；（2）见解析；（3）t=421）【解析】【分析】（1）由已知条件可证明△ABC≌△OAD，根据全等三角形的性质即可求出点D的坐标；（2）由（1）的结论可证明△FOD≌△FOC，从而∠FCO＝∠FDO，再根据（1）中△ABC≌△OAD，可得∠ACB＝∠ADO，进而∠FCO＝∠ACB得证；（3）在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK2m，根据角平分线的性质和三角形外角和定理可得KB＝KC2m，从而求得m的值，进而t的值也可求出.【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠AEB＝90°＝∠BAC＝∠AOD，∴∠ABC+∠BAE＝90°，∠BAE+∠OAD＝90°，∴∠ABC＝∠OAD，∵AB＝OA，∴△ABC≌△OAD（ASA），∴OD＝AC＝2t，∴D（0，2t）．故答案为（0，2t）；（2）如图1中，∵AB＝AO，∠BAO＝90°，OB＝82，∴AB＝AO＝8，∵t＝2，∴AC＝OD＝4，∴OC＝OD＝4，∵OF＝OF，∠FOD＝∠FOC，∴△FOD≌△FOC（SAS），∴∠FCO＝∠FDO，∵△ABC≌△OAD，∴∠ACB＝∠ADO，∴∠FCO＝∠ACB；（3）如图2中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK．设AK＝AC＝m，则CK＝2m．∵CB平分∠ABO，∴∠ABC＝22.5°，∵∠AKC＝45°＝∠ABC+∠KCB，∴∠KBC＝∠KCB＝225°，∴KB＝KC2m，∴m ＝8，∴m ＝81），∴t ＝81)2＝4﹣1）． 【点睛】全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的外角和定理等知识都是本题的考点，熟练掌握相关知识并正确运用是解题的关键.。

2021年江西省中考数学试卷（共23题，满分120分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1．（3分）2-的相反数是()A．2B．2-C．12D．12-2．（3分）如图，几何体的主视图是()A．B．C．D．3．（3分）计算11aa a+-的结果为()A．1B．1-C．2aa+D．2aa-4．（3分）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是( )A ．一线城市购买新能源汽车的用户最多B ．二线城市购买新能源汽车用户达37%C ．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D ．四线城市以下购买新能源汽车用户最少5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 ． 8．（3分）因式分解：224x y -= ．9．（3分）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1112x x x x +-= ．10．（3分）如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 ．11．（3分）如图，将ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，若80B ∠=︒，2ACE ECD ∠=∠，FC a =，FD b =，则ABCD 的周长为 ．12．（3分）如图，在边长为63的正六边形ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点．若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 ．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：201(1)(2021)||2π---+-；（2）如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，80ABC ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ED AB ⊥于点D ，求证：AD BD =．14．（6分）解不等式组：231113x x -⎧⎪+⎨>-⎪⎩并将解集在数轴上表示出来．15．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A 志愿者被选中”是 事件（填“随机”或“不可能”或“必然” )； （2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ，B 两名志愿者被选中的概率． 16．（6分）已知正方形ABCD 的边长为4个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45︒； （2）在图2中，将直线AC 向上平移1个单位长度．17．（6分）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(1,)A a 在ABC∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为(2,0)-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件． （1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件．（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 加油更合算（填“金额”或“油量” )．19．（8分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：)g 如下：甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71； 乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77． 质量()x g频数频率6871x<20.1x<30.157174x<10a74777780x<50.25合计201分析上述数据，得到下表：统计量平均数中位数众数方差厂家甲厂7576b 6.3乙厂757577 6.6请你根据图表中的信息完成下列问题：（1）a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；x<的鸡腿加工成优（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：)g在7177等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？20．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊28MN cm=，BA cm =，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身8.5=．42MB cm（1）求ABC∠的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm．在图2中，若测得68.6∠=︒，小红BMN与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.40.92︒≈2 1.414)︒≈，sin23.60.40︒≈，cos66.40.40五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD 为直径，点C 作CE AB ⊥于点E ，连接AC ． （1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）若CE 是O 的切线，30CAD ∠=︒，连接OC ，如图2． ①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；②当2AB =时，求AD ，AC 与CD 围成阴影部分的面积．22．（9分）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ． 感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对O 'C '⋯ (1,3)B -(0,0)O (1,1)C - (A ， )(3,3)D ⋯ ⋯(5,3)B '- (4,0)O ' (3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '- ⋯②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线” L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为 ；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线” L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0)abc ≠； ③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．六、（本大题共12分）23．（12分）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与A ∠相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD 中，ABC ∠与ADC ∠互余，小明发现四边形ABCD 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作CDF ABC ∠=∠，再过点C 作CE DF ⊥于点E ，连接AE ，发现AD ，DE ，AE 之间的数量关系是 ； 方法运用（3）如图3，在四边形ABCD 中，连接AC ，90BAC ∠=︒，点O 是ACD ∆两边垂直平分线的交点，连接OA ，OAC ABC ∠=∠． ①求证：90ABC ADC ∠+∠=︒；②连接BD ，如图4，已知AD m =，DC n =，2ABAC=，求BD 的长（用含m ，n 的式子表示）．2021年江西省中考数学参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1．（3分）2-的相反数是()A．2B．2-C．12D．12-【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，2-的相反数是2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（3分）如图，几何体的主视图是()A．B．C．D．【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出该组合体的主视图即可．【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判断的前提．3．（3分）计算11aa a+-的结果为()A ．1B ．1-C ．2a a+ D ．2a a- 【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：原式11a a+-= a a =1=，故选：A ．【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 4．（3分）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是( )A ．一线城市购买新能源汽车的用户最多B ．二线城市购买新能源汽车用户达37%C ．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D ．四线城市以下购买新能源汽车用户最少【分析】根据扇形统计图中的数据一一分析即可判断．【解答】解：A 、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意； B 、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；C 、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11万，故本选项错误，符合题意；D 、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查了扇形统计图．关键是根据扇形统计图中的数据进行分析，解题时要细心． 5．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象，即可得出0a >、0b >、0c <，由此即可得出：二次函数y ax bx c =-++的图象开口向上，对称轴02bx a=-<，与y 轴的交点在y 轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答】解：观察函数图象可知：0a >，0b >，0c <， ∴二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，对称轴02bx a=-<，与y 轴的交点在y 轴负半轴． 故选：D ．【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出0a >、0b >、0c <是解题的关键． 6．（3分）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断． 【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选：B ．【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的性质，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5月11日发布，江西人口数约为45100000人，将45100000用科学记数法表示为 74.5110⨯ ．【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：745100000 4.5110=⨯， 故答案为：74.5110⨯．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．8．（3分）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ． 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．9．（3分）已知1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则1112x x x x +-= 1 ． 【分析】直接根据根与系数的关系得出12x x +、12x x 的值，再代入计算即可． 【解答】解：1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两根，124x x ∴+=，123x x =．则1212431x x x x +-=-=． 故答案是：1．【点评】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系，关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12c x x a⋅=．10．（3分）如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 3 ．【分析】根据表中的数据和数据的变化特点，可以发现：每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和，然后即可写出第四行空缺的数字．【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数字之和， 故第四行空缺的数字是123+=， 故答案为：3．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是发现数字的变化特点，写出相应的数字． 11．（3分）如图，将ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，若80B ∠=︒，2ACE ECD ∠=∠，FC a =，FD b =，则ABCD 的周长为 42a b + ．【分析】由80B ∠=︒，四边形ABCD 为平行四边形，折叠的性质可证明AFC ∆为等腰三角形．所以AF FC a ==．设ECD x ∠=，则2ACE x ∠=，在ADC ∆中，由三角形内角和定理可知，2280180x x x +++︒=︒，解得20x =︒，由外角定理可证明DFC ∆为等腰三角形．所以DC FC a ==．故平行四边形ABCD 的周长为2()2()242DC AD a a b a b +=++==+． 【解答】解：80B ∠=︒，四边形ABCD 为平行四边形． 80D ∴∠=︒．由折叠可知ACB ACE ∠=∠， 又//AD BC ，DAC ACB ∴∠=∠， ACE DAC ∴∠=∠， AFC ∴∆为等腰三角形． AF FC a ∴==．设ECD x ∠=，则2ACE x ∠=， 2DAC x ∴∠=，在ADC ∆中，由三角形内角和定理可知，2280180x x x +++︒=︒， 解得：20x =︒．∴由三角形外角定理可得480DFC x ∠==︒， 故DFC ∆为等腰三角形． DC FC a ∴==．AD AF FD a b ∴=+=+，故平行四边形ABCD 的周长为2()2()242DC AD a a b a b +=++==+．故答案为：42a b +．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、外角定理、图形的翻折变换，证明AFC ∆和DFC ∆为等腰三角形是解题关键．12．（3分）如图，在边长为63的正六边形ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点．若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 9或10或18 ．【分析】连接DF ,DB ,BF ．则DBF ∆是等边三角形．解直角三角形求出DF ,可得结论．当点N 在OC 上，点M 在OE 上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论． 【解答】解：连接DF ,DB ,BF ．则DBF ∆是等边三角形．设BE 交DF 于J ．六边形ABCDEF 是正六边形，∴由对称性可知，DF BE ⊥,60JEF ∠=︒,63EF ED ==, 3sin 606392FJ DJ EF ∴==⋅︒=⨯=, 18DF ∴=,∴当点M 与B 重合，点N 与F 重合时，满足条件， DMN ∴∆的边长为18，如图，当点N 在OC 上，点M 在OE 上时，等边DMN ∆的边长的最大值为6310.39≈，最小值为9，DMN ∴∆的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边DMN ∆的边长为9或10或18． 故答案为：9或10或18．【点评】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是判断出BDF ∆是等边三角形，属于中考常考题型．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：201(1)(2021)||2π---+-；（2）如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，80ABC ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ED AB ⊥于点D ，求证：AD BD =．【分析】(1)根据乘方的意义、零指数幂和绝对值的意义计算；（2）先证明A ABE ∠=∠得到ABE ∆为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论． 【解答】（1）解：原式1112=-+12=； (2)证明：BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，11804022ABE ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，40A ∠=︒， A ABE ∴∠=∠，ABE ∴∆为等腰三角形， ED AB ⊥， AD BD ∴=．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的判断与性质和实数的运算．14．（6分）解不等式组：231113x x -⎧⎪+⎨>-⎪⎩并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式231x -，得：2x ，解不等式113x +>-，得：4x >-， 则不等式组的解集为42x -<，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15．（6分）为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A 志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”或“不可能”或“必然” )； （2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A ，B 两名志愿者被选中的概率． 【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件， 故答案为：随机；ABCDA ---(,)B A(,)C A (,)D A B(,)A B ---(,)C B(,)D B C(,)A C(,)B C---(,)D CD(,)A D (,)B D (,)C D---A B 所以A ，B 两名志愿者被选中的概率为21126=． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．（6分）已知正方形ABCD 的边长为4个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45︒； （2）在图2中，将直线AC 向上平移1个单位长度．【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形； （2）根据平移的性质即可作出图形． 【解答】解：（1）如图1，直线l 即为所求；（2）如图2中，直线a 即为所求．【点评】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．17．（6分）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(1,)A a 在ABC∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为(2,0)-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．【分析】(1)先求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值；（2）作AD x ⊥轴于D ,BE x ⊥轴于E ,通过证得BCE CAD ∆≅∆，求得(3,3)B -,然后根据待定系数法即可求得直线AB 的解析式． 【解答】解：（1）正比例函数y x =的图象经过点(1,)A a ，1a ∴=,(1,1)A ∴,点A 在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，111k ∴=⨯=；(2)作AD x ⊥轴于D ,BE x ⊥轴于E , (1,1)A ,(2,0)C -,1AD ∴=,3CD =, 90ACB ∠=︒，90ACD BCE ∴∠+∠=︒, 90ACD CAD ∠+∠=︒, BCE CAD ∴∠=∠,在BCE ∆和CAD ∆中， 90BCE CAD BEC CDA CB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩, ()BCE CAD AAS ∴∆≅∆,1CE AD ∴==,3BE CD ==,(3,3)B ∴-,设直线AB 的解析式为y mx n =+, ∴133m n m n +=⎧⎨-+=⎩,解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴直线AB 的解析式为1322y x =-+．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．（1）求这种商品的单价；（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是48元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是元/件．（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同加油更合算（填“金额”或“油量”)．【分析】(1)设这种商品的单价为x元/件．根据“甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件”找到相等关系，列出方程,解出方程即可得出答案；(2)先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即可得出两次的平均单价；（3）通过比较（2）的计算结果即可得出答案．【解答】(1)解：设这种商品的单价为x元/件．由题意得：3000240010 x x-=,解得：60x=,经检验：60x=是原方程的根．答：这种商品的单价为60元/件．（2）解：第二次购买该商品时的单价为：602040-=（元/件），第二次购买该商品时甲购买的件数为：24004060÷=（件)，第二次购买该商品时乙购买的总价为：(300060)402000÷⨯=（元)，∴甲两次购买这种商品的平均单价是：240024002(60)4860⨯÷+=（元/件），乙两次购买这种商品的平均单价是：3000(30002000)(2)5060+÷⨯=（元/件）．故答案为：48；50．（3）解：4850<,∴按相同金额加油更合算．故答案为：金额．【点评】本题考查了方式方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是能够正确的得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规律．19．（8分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量（单位：)g如下：甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，79，78，71；乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，79，75，77．x<68717174x<x<7477x<7780合计分析上述数据，得到下表：统计量厂家甲厂乙厂（1）a=0.5，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议；x<的鸡腿加工成优（4）某外贸公司从甲厂采购了20000只鸡腿，并将质量（单位：)g在7177等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出a的值，根据众数的意义可求出b的值；x<的频数，即可补全频数分布直方图；（2）求出乙厂鸡腿质量在7477（3）根据中位数、众数、平均数综合进行判断即可；x<的鸡腿数量所占的百分比即可．（4）求出甲厂鸡腿质量在7177【解答】解：（1）20.120a=÷=，÷=（个)，10200.5甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，即76b=，故答案为：0.5，76；（2）201478---=（个)，补全频数分布直方图如下：（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而甲厂的中位数、众数都是76g，接近平均数且方差较小，数据的比较稳定，因此选择甲厂；（4）200000.153000⨯=（只)，答：从甲厂采购了20000只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有3000只．【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提．20．（8分）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上，枪身BA 与额头保持垂直．量得胳膊28MN cm =，42MB cm =，肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3cm （即MP 的长度），枪身8.5BA cm =． （1）求ABC ∠的度数；（2）测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5cm ．在图2中，若测得68.6BMN ∠=︒，小红与测温员之间距离为50cm ．问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：sin 66.40.92︒≈，cos 66.40.40︒≈，sin 23.60.40︒≈，2 1.414)≈【分析】（1）过点B 作BH M P ⊥，垂足为H ，根据解直角三角形16.8cos 0.442MH BMH BM ∠===，即可计算出BMH ∠的度数，再根据平行线的性质即可算出ABC ∠的度数；（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出NMI ∠的度数，根据三角函数即可算出MI 的长度，再根据已知条件即可算出PK 的长度，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点B 作BH M P ⊥，垂足为H ，过点M 作MI FG ⊥，垂足为I ，过点P 作PK DE ⊥，垂足为K ，25.3MP cm =，8.5BA HP cm ==，25.38.516.8()MH MP HP cm ∴=-=-=， 在Rt BMH ∆中，16.8cos 0.442MH BMH BM ∠===， 66.4BMH ∴∠=︒， //AB MP ，180BMH ABC ∴∠+∠=︒，18066.4113.6ABC ∴∠=︒-︒=︒；（2）18018066.4113.6ABC BMH ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒． 68.6BMN ∠=︒，66.4BMH ∠=︒， 18018068.666.445NMI BMN BMH ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，28MN cm =，cos4528MI MIMN ∴︒==， 19.74MI cm ∴≈， 50KI cm =，5019.7425.3 4.96 5.0()PK KI MI MP cm ∴=--=--=≈， ∴此时枪身端点A 与小红额头的距离是在规定范围内．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD 为直径，点C 作CE AB ⊥于点E ，连接AC ． （1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）若CE 是O 的切线，30CAD ∠=︒，连接OC ，如图2． ①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；②当2AB =时，求AD ，AC 与CD 围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出CBE D ∠=∠,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出//OC AB ，再判断出//BC OA ，进而得出四边形ABCO 是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC ，BC ，再用面积的和，即可得出结论． 【解答】（1）证明：四边形ABCD 是O 的内接四边形， CBE D ∴∠=∠，AD 为O 的直径， 90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒， 90CBE CAD ∴∠+∠=︒， CE AB ⊥，90CBE BCE ∴∠+∠=︒， CAD BCE ∴∠=∠；(2)①四边形ABCO 是菱形，理由：30CAD ∠=︒，260COD CAD ∴∠=∠=︒，9060D CAD ∠=︒-∠=︒， CE 是O 的切线，OC CE ∴⊥， CE AB ∴⊥， //OC AB ∴，60DAB COD ∴∠=∠=︒，由（1）知，90CBE CAD ∠+∠=︒，9060CBE CAD DAB ∴∠=︒-∠=︒=∠， //BC OA ∴，∴四边形ABCO 是平行四边形， OA OC =，ABCO ∴是菱形；②由①知，四边形ABCO 是菱形， 2OA OC AB ∴===， 24AD OA ∴==，由①知，60COD ∠=︒，在Rt ACD ∆中，30CAD ∠=︒，2CD ∴=，AC =，AD ∴，AC 与CD 围成阴影部分的面积为AOC COD S S ∆+扇形12ACD COD S S ∆=+扇形 211602222360π⨯=⨯⨯⨯233π=+．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出//BC OA 是解本题的关键．22．（9分）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ． 感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D '，如表： ⋯ (1,3)B -(0,0)O (1,1)C - (A 2 ， )(3,3)D ⋯ ⋯(5,3)B '- (4,0)O ' (3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '- ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．。

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项）1.A2.B3.D4.A5.C6.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7.－58.1.8×1079.2a ＋110.211.612.90°或180°或270°三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13.（1）解：原式＝2＋1－1＝2.（2）证明：∵AC 平分∠BAD ,∴∠BAC ＝∠DAC .在△ABC 和△ADC 中，∴△ABC △ADC （SAS ）.14.解：（1）如下左图（右图中的C 1~C 5亦可）：ABC12C C 答：△ABC 即为所求.（2）如下图：（方法一）（方法二）（方法三）答：点Q 即为所求.15.解：（1）②，③；（2）按甲同学的解法化简：原式＝éëêùûúx (x -1)(x +1)(x -1)+x (x +1)(x -1)(x +1)·x 2-1xA B CDìíîïïAB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，江西省2023年初中学业水平考试数学试题参考答案＝x (x -1)+x (x +1)(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x 2(x +1)(x -1)·(x +1)(x -1)x ＝2x .按乙同学的解法化简：原式＝x x +1·x 2-1x +x x -1·x 2-1x＝x x +1·(x +1)(x -1)x +x x -1·(x +1)(x -1)x ＝x －1＋x ＋1＝2x .16.解：（1）随机.（2）解法一列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）同学1同学2由上表可知，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.解法二画树状图如下：甲乙丙丁乙甲丙丁丙甲乙丁丁甲乙丙由树状图可以看出，所有可能结果共有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种.所以P （甲、丁同学都被选为宣传员）＝212＝16.17.解：（1）∵直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象交于点A （2，3），∴2＋b ＝3，3＝k2.∴b ＝1，k ＝6.∴直线AB 的表达式为y ＝x ＋1，反比例函数图象的表达式为y ＝6x（x ＞0）.（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.∵直线y＝x＋1与y轴交点B的坐标为（0，1），BC∥x轴，∴C点的纵坐标为1.∴6x＝1，x＝6，即BC＝6.由BC∥x轴，得BC与x轴的距离为1.∴AD＝2.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×2＝6.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.解：（1）设该班的学生人数为x人.依题意,得3x＋20＝4x－25.解得x＝45.答：该班的学生人数为45人.（2）由（1）可知，树苗总数为3x＋20＝155.设购买甲种树苗y棵，则购买乙种树苗（155－y）棵.依题意，得30y＋40(155－y)≤5400.解得y≥80.答：至少购买了甲种树苗80棵.19.（1）证法一证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD.∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝12(∠ACB＋∠B＋∠ACD＋∠ADC)＝12×180°＝90°.∴DC⊥BC.证法二证明：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上.∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC.（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F.在Rt△BCD中，cos B＝BCBD，BC＝1.8，∴BD＝BCcos B＝1.8cos55°≈3.16.∴BE＝BD＋DE＝3.16＋2＝5.16.在Rt△EBF中，sin B＝EF BE，∴EF=BE·sin B＝5.16×sin55°≈4.2.因此，雕塑的高约为4.2m.EDAB C F20.解：（1）连接OE .∵∠ADE ＝40°，∴∠AOE ＝2∠ADE ＝80°.∴∠BOE ＝180°－∠AOE ＝100°.∴ BE 的长l ＝100∙π∙2180＝109π.（2）证明：∵OA ＝OE ，∠AOE ＝80°，∴∠OAE ＝180°-∠AOE2＝50°.∵∠EAD ＝76°,∴∠BAC ＝∠EAD －∠OAE ＝26°.又∠C ＝64°，∴∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝90°.即AB ⊥BC .又OB 是⊙O 的半径，∴CB 为⊙O 的切线.五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21.解：（1）68，23%.（2）320.（3）①小胡的说法正确.理由如下：理由一：从中位数看，初中生视力的中位数为1.0，高中生视力的中位数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.理由二：从众数看，初中生视力的众数为1.0，高中生视力的众数为0.9，所以初中生的视力水平好于高中生.②方法一：26000×8+16+28+34+14+44+60+82200+320＝14300（名）.方法二：26000×(1-68+46+65+55200+320)＝14300（名）.所以，估计该区有14300名中学生视力不良.建议：①勤做眼保健操；②不要长时间用眼；③不要在强光下看书；④加强户外运动.22.（1）证法一证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .又BD ⊥AC ，∴BD 垂直平分AC .∴BA ＝BC .∴□ABCD 是菱形.证法二证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC .A BCD OE A CBD O图1∵BD⊥AC，∴∠AOB＝∠COB.又OB＝OB,∴△AOB△COB（SAS）.∴BA＝BC.∴□ABCD是菱形.（2）①证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝8，BD＝6，∴OA＝12AC＝4，OD＝12BD＝3.∴OA2＋OD2＝42＋32＝25.又AD2＝52＝25，∴OA2＋OD2＝AD2.∴∠AOD＝90°.即BD⊥AC.∴□ABCD是菱形.②方法一解：如图2，取CD的中点G，连接OG.∵□ABCD是菱形，∴BC＝AD＝5，OB＝OD，∠ACB＝∠ACD.∵∠E＝12∠ACD，∴∠E＝12∠ACB.即∠ACB＝2∠E.又∠ACB＝∠E＋∠COE，∴∠E＝∠COE.∴CE＝CO＝4.∵OB＝OD，GC＝GD，∴OG为△DBC的中位线.∴OG//BC，且OG＝12BC＝52.∴OG//CE.∴△OGF△ECF.∴OFEF＝OGCE＝58.方法二解：如图3，延长FO交AB于点H.同方法一可得CE＝CO＝4.∵□ABCD是菱形，∴BH//CF.∴HFFE＝BCCE＝54，HOOF＝BOOD＝1.∴HF＝2OF.∴OFFE＝58.ACBDOFEG图2ACBDO FEH图3六、解答题（本大题共12分）23.解：（1）①3.②S＝t2＋2.（2）方法一由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6.将S＝6代入S＝t2＋2，得6＝t2＋2，解得t＝2或t＝－2（舍去）.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.方法二由图象可知，当点P运动到点B时，S＝6，即BD2＝6.∴BD＝6.在Rt△DBC中，由勾股定理，得BC＝BD2-CD2＝2.∴点P由C运动到B的时间为2÷1＝2s.当点P由点B运动到点A时，设S关于t的函数解析式为S＝a(t－4)2＋2.将(2，6)代入，得6＝a(2－4)2＋2.解得a＝1.故S关于t的函数解析式为S＝(t－4)2＋2.由图象可知，当P运动到A点时，S＝18.由18＝(t－4)2＋2，得t＝8或t＝0（舍去）∴AB＝（8－2）×1＝6.（3）①4.由(1)(2)可得S＝{t2+2，0≤t＜2，(t-4)2+2，2≤t≤8.在图2中补全0≤t＜2内的图象.根据图象可知0≤t≤2内的图象与2≤t≤4内的图象关于直线x＝2对称.因此t1＋t2＝4.②方法一函数S＝t2＋2的图象向右平移4个单位与函数S＝(t－4)2＋2的图象重合.∵当t＝t1和t＝t3时，S的值相等，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.图1AFEB P CD图2方法二根据二次函数的对称性，可知t2＋t3＝8.由①可知t1＋t2＝4，∴t3－t1＝4.又t3＝4t1，∴4t1－t1＝4，得t1＝43.此时正方形DPEF的面积S＝t21+2＝349.。

准考证号____________________姓名____________机密★启用前江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷说明：1.本试题卷满分120分，考试时间为120分钟。

2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效。

一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置。

错选、多选或未选均不得分。

1.下列各数中，正整数是···A.3B.2.1C.0D.－22.下列图形中，是中心对称图形的是A B C D3.若有意义，则a的值可以是A.－1B.0C.2D.64.计算(2m2)3的结果为A.8m6B.6m6C.2m6D.2m55.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为A.35°B.45°C.55°D.65°PA BA B C D l(第6题)6.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为A.3个B.4个C.5个D.6个PC M O N D(第5题)BABA图2(1)在图1中作锐角△ABC ，使点C 在格点上；(2)在图2中的线段AB 上作点Q ，使PQ 最短.A (第10题)ADPBC(第12题)C B11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的PDQ(第11题)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.单项式－5ab 的系数为______.8.我国海洋经济复苏态势强劲.在建和新开工海上风电项目建设总规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为______.9.化简：(a ＋1)2－a 2＝______.10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm ，3cm ，则线段AB 的长为______cm .C 01cm 23α45AB ABC ).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D .测得AB ＝40cm ，BD ＝20cm ，AQ ＝12m ，则树高PQ ＝______m.12.如图，在□ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝2AB ，将AB 绕点A 逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC ，PD .当△PCD 为直角三角形时，旋转角α的度数为______.三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.(1)计算：3＋tan45°－30；(2)如图，AB ＝AD ，AC 平分∠BAD .求证：△ABC△ADC .B······D14.如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).AC P图1解：原式＝+·…OxyA B C15.化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程：乙同学(1)甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律.(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程.16.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动.根据活动要求，每班需要2名宣传员.某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员.(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是______事件；(填“必然”、“不可能”或“随机”)(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率.17.如图，已知直线y ＝x ＋b 与反比例函数y ＝(x ＞0)的图象交于点A(2，3)，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数y ＝(x ＞0)的图象于点C .四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵.(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？解：原式＝·+·…(1)求直线AB 和反比例函数图象的表达式；(2)求△ABC 的面积.甲同学E D A 2图图AD C9080706050403020100高中学生视力情况统计图初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下84%0.7168%0.82814%0.93417%1.0m34%1.1及以上46n合计200100%19.图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB ＝AC ＝AD ，测得∠B ＝55°，BC ＝1.8m ，DE ＝2m.(结果保留小数点后一位)(1)连接CD ，求证：DC ⊥BC ；(2)求雕塑的高(即点E 到直线BC 的距离).(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)(1)m ＝______，n ＝______；(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为______；分析处理(3)①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好.”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图.整理描述②约定：视力未达到 1.0为视力不良.若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议.82656055441420.如图，在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，E 为上一点,且∠ADE ＝40°.(1)求的长；(2)若∠EAD ＝76°,求证：CB 为⊙O 的切线.0.6及0.70.80.9 1.01.1及视力以下以上EBOBC ···1人数22.课本再现知识应用图2(2)如图2，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求证：□ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值.图1思考我们知道，菱形的对角线互相垂直.反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知：在□ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O.求证：□ABCD是菱形.t六、解答题(本大题共12分)23.综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，CD＝.动点P以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C →B →A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF .设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，探究S 与t 的关系.初步感知(1)如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝______；②S 关于t 的函数解析式为______.(2)当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长.延伸探究(3)若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1＜t 2＜t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等.①t 1＋t 2＝______；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积.AF D BP 图1S 1862O图2CE4。

江西省2021年中考数学模拟试题（标准版）江西省2021年中考数学模拟试题（2021年标准版）一、选择题（本大题共6个小题.，每小题3分，共18分） 1．计算��-3�虻慕峁�是 ( ) A．3 B．?1313 C．-3 D．2．把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图，则这个不等式组可能是（）A． x＞4 B． x＜4 C． x＞4 D．x≤4第4题图x≤-1 x≥-1 x＞-1 x＞-13．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝1，AC=2，则tanA的值为（）A．2B．12 C．55D．255D C 4．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是 ( )A．40° B．45° C．50° D．60° 5．已知a?b?m,ab??4，化简(a?2)(b?2)的结果是( ) A.2m?8 B.6 C.2m D.?2m 6．如图，已知双曲线y?kx(k?0)经过直角三角形A 第4题图B OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（?6，4），则△AOC的面积为( ) A．12 B．9 C．6 D．4A CByDOx二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 7．因式分解：a2b?2ab?b=_________． 8．数据-1，0，2，-1，3的众数为． 9．若m,n互为倒数，则mn10．2第6题图2?(n?1)的值为___________．x65 ?x?3??y?2??0, 则y=_____________．A （第11题）11．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．数学试卷第1页（共5页）?这样的监视器台．12．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a（0°＜a＜180°），则∠a=______． 13．如图,矩形ABCD的边AB在y轴上，AB的中点与原点重合，AB=2,AD=1，过定点Q（2，0）和动点P（0，a）的直线与矩形ABCD的边有公共点，则a的取值范围是____________． 14．如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形,已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm2，四边形ABCD的面积是20cm2。

江西省2023年初中学业水平考试数学试题卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．1. 下列各数中，正整数．．．是（）A. 3B. 2.1C. 0D. 2−【答案】A【解析】【分析】根据有理数的分类即可求解．−不是正数，【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，2故选：A．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3.有意义，则a 的值可以是（ ） A. 1− B. 0C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．有意义， ∴40a −≥，解得：4a ≥，则a 的值可以是6 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 4. 计算()322m 的结果为（ ）A. 68mB. 66mC. 62mD. 52m【答案】A 【解析】【分析】根据积的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：()32628m m =，故选A ．【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键．5. 如图，平面镜MN 放置在水平地面CD 上，墙面PD CD ⊥于点D ，一束光线AO 照射到镜面MN 上，反射光线为OB ，点B 在PD 上，若35AOC ∠=°，则OBD ∠的度数为（ ）A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得AOC BOD ∠=∠，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．【详解】解：依题意，AOC BOD ∠=∠，35AOC ∠=° ∴35BOD ∠=°， ∵PD CD ⊥，∴9055OBD BOD ∠=°−∠=°， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，点A ，B ，C ，D 均在直线l 上，点P 在直线l 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D 【解析】【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P 可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．【详解】解：依题意，,A B ；,A C ；,A D ；,B C ；,B D ，,C D 加上点P 可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D ．【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 单项式5ab −的系数为______．【答案】5− 【解析】【分析】根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可． 【详解】解：单项式5ab −的系数是5−．故答案是：5−．【点睛】本题考查单项式的系数，解题的关键是掌握单项式系数的定义．8. 我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设规模约1800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18000000用科学记数法表示应为_______． 【答案】71.810× 【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式进行解答即可． 【详解】解：718000000=1.810×， 故答案为：71.810×．【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为10n a ×（110a ≤<，a 为整数）的形式，n 的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键． 9. 计算：（a+1）2﹣a 2=_____． 【答案】2a+1 【解析】【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果． 【详解】（a+1）2﹣a 2=a 2+2a+1﹣a 2 =2a+1， 故答案为2a+1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.10. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已60α∠=°，点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，则线段AB 的长为_______cm ．【答案】2 【解析】【分析】根据平行线的性质得出60ACB ∠=°，进而可得ABC V 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴60ACB α∠=∠=°， 又60A ∠=°，∴ABC V 是等边三角形，∵点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ， ∴2cm BC =， ∴2cm AB BC == ∴线段AB 的长为2cm , 故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出60ACB ∠=°是解题的关键． 11. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，ABC ∠和AQP ∠均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得40cm 20cm 12m AB BD AQ ===，，，则树高PQ =______m ．【答案】6 【解析】【分析】根据题意可得ABD AQP V V ∽，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵ABC ∠和AQP ∠均为直角 ∴BD PQ ∥， ∴ABD AQP V V ∽，∴BD ABPQ AQ=∵40cm20cm 12m AB BD AQ ===，，， ∴2m 120640AQ BD PQAB ××===, 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．12. 如图，在ABCD Y 中，602B BC AB ∠=°=，，将AB 绕点A 逆时针旋转角α（0360α°<<°）得到AP ，连接PC ，PD ．当PCD V 为直角三角形时，旋转角α的度数为_______．【答案】90°或270°或180° 【解析】【分析】连接AC ，根据已知条件可得90BAC ∠=°，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接AC ，取BC 的中点E ，连接AE ，如图所示，∵在ABCD Y 中，602B BC AB ∠=°=，，∴12BECE BC AB ===， ∴ABE V 是等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=°，AE BE =， ∴AE EC =∴1302EAC ECA AEB ∠=∠=∠=°， ∴90BAC ∠=° ∴AC CD ⊥，如图所示，当点P 在AC 上时，此时90BAP BAC ∠=∠=°，则旋转角α的度数为90°，当点P 在CA 的延长线上时，如图所示，则36090270α=°−°=°当P 在BA 的延长线上时，则旋转角α的度数为180°，如图所示， ∵PA PB CD ==，PB CD ∥， ∴四边形PACD 是平行四边形， ∵AC AB ⊥∴四边形PACD 是矩形， ∴90PDC ∠=°即PDC △是直角三角形，综上所述，旋转角α度数为90°或270°或180° 故答案为：90°或270°或180°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （10tan 453+°−（2）如图，AB AD =，AC 平分BAD ∠．求证：ABC ADC △△≌．的【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；（2）先由角平分线的定义得到BAC DAC ∠=∠，再利用SAS 证明ABC ADC △△≌即可． 【详解】解：（1）原式211=+−2=；（2）∵AC 平分BAD ∠， ∴BAC DAC ∠=∠， 在ABC V 和ADC △中，AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠ =， ∴()SAS ABC ADC △△≌．【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．14. 如图是44×的正方形网格，请仅用无刻度的直尺．．．．．按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作锐角ABC V ，使点C 在格点上； （2）在图2中的线段AB 上作点Q ，使PQ 最短． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】【分析】（1）如图，取格点K ，使90AKB ∠=°，在K 的左上方的格点C 满足条件，再画三角形即可；（2）利用小正方形的性质取格点M，连接PM交AB于Q，从而可得答案．【小问1详解】解：如图，ABCV即为所求作的三角形；【小问2详解】如图，Q即为所求作的点；【点睛】本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键．15. 化简2111x x xx x x−+⋅+−．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：解：原式x x =+（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．【答案】（1）②，③ （2）见解析 【解析】【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； 【小问2详解】 解：甲同学的解法：原式()()()()()()21111111x x x x x x x x x x −+−=+⋅+−+− ()()()()221111x x x x x x x x x ⋅+++−−−+()()()()211112x x x x x x ⋅+−+−2x =；乙同学的解法：原式221111x x x x x x x x −−=⋅+⋅+− ()()()()111111x x x x x x x x x x=⋅+⋅+−+−−+ 11x x =−++2x =．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员． （1）“甲、乙同学都被选为宣传员”是_______事件：（填“必然”、“不可能”或“随机”） （2）请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．【答案】（1）随机 （2）16【解析】【分析】（1）由确定事件与随机事件的概念可得答案；（2）先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】解：“甲、乙同学都被选为宣传员”是随机事件； 【小问2详解】 画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，丁的结果数为2，所以选中的两名同学恰好是甲，丁的概率21126==． 【点睛】本题考查的是事件的含义，利用画树状图求解随机事件的概率，熟记事件的概念与分类以及画树状图的方法是解本题的关键．17. 如图，已知直线y x b =+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，过点B 作x 轴的平行线交反比例函数(0)ky x x=>的图象于点C ．（1）求直线AB 和反比例函数图象的表达式； （2）求ABC V 的面积．【答案】（1）直线AB 的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为6y x= （2）6 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）由一次函数解析式求得点B 的坐标，再根据BC x ∥轴，可得点C 的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C 坐标，即可求得结果．解：∵直线y x b =+与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(2,3)A ， ∴236k =×=，23b +=，即1b =，∴直线AB 的表达式为1y x =+，反比例函数的表达式为6y x=． 【小问2详解】解：∵直线1y x =+的图象与y 轴交于点B ， ∴当0x =时，1y =， ∴()0,1B ，∵BC x ∥轴，直线BC 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点C ， ∴点C 的纵坐标为1， ∴61x=，即6x =， ∴()6,1C ， ∴6BC =， ∴12662ABC S =××=V ． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y 轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．（1）求该班的学生人数；（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】（1）该班的学生人数为45人 （2）至少购买了甲树苗80棵 【解析】【分析】（1）设该班的学生人数为x 人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗()155m −棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．解：设该班的学生人数为x 人， 由题意得，320425x x +=−， 解得45x =，∴该班的学生人数为45人； 【小问2详解】解：由（1）得一共购买了34520155×+=棵树苗， 设购买了甲树苗m 棵，则购买了乙树苗()155m −棵树苗， 由题意得，()30401555400m m +−≤， 解得80m ≥， ∴m 得最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．19. 如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB AC AD ==，测得55 1.8m 2m B BC DE ∠=°==，，．（结果保小数点后一位）（1）连接CD ，求证：DC BC ⊥；（2）求雕塑的高（即点E 到直线BC 的距离）．（参考数据：sin 550.82cos550.57tan 55 1.43°≈°≈°≈，，） 【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高约为4.2米 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出,B ACB ACD ADC ∠=∠∠=∠，根据三角形内角和定理得出()2180B ADC ∠+∠=°，进而得出90BCD ∠=°，即可得证；（2）过点E 作EFBC ⊥，交BC 的延长线于点F ，在Rt BDC V 中，得出1.8cos cos55BC AD B ==°，则1.82cos55BE AD DE =+=+°，在Rt EBF △中，根据sin EF BE B =⋅，即可求解．【小问1详解】解：∵AB AC AD ==，∴,B ACB ACD ADC ∠=∠∠=∠ ∵180B ADC BCD ∠+∠+∠=°即()2180B ADC ∠+∠=°∴90B ADC ∠+∠=° 即90BCD ∠=° ∴DC BC ⊥； 【小问2详解】 如图所示，过点E 作EFBC ⊥，交BC 延长线于点F ，在Rt BDC V 中，55 1.8m 2m B BC DE ∠=°==，， ∴cos BCB AD =， ∴1.8cos cos55BC AD B ==°∴ 1.82cos55BE AD DE =+=+°在Rt EBF △中，sin EFB BE =， ∴sin EF BE B =⋅1.82sin 55cos55=+×° °1.820.820.57≈+×的4.2≈（米）． 答：雕塑的高约为4.2米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．20. 如图，在ABC V 中，464AB C =∠=°，，以AB 为直径的O e 与AC 相交于点D ，E 为¼ABD 上一点，且40ADE ∠=°．（1）求»BE的长； （2）若76EAD ∠=°，求证：CB 为O e 的切线． 【答案】（1）109π （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）如图所示，连接OE ，先求出2OE OB OA ===，再由圆周角定理得到280AOE ADE ==°∠∠，进而求出100∠=°BOE ，再根据弧长公式进行求解即可；（2）如图所示，连接BD ，先由三角形内角和定理得到64AED ∠=°，则由圆周角定理可得64ABD AED ==°∠∠，再由AB 是O e 的直径，得到90ADB ∠=°，进而求出26BAC ∠=°，进一步推出90ABC ∠=°，由此即可证明BC 是O e 的切线． 【小问1详解】解：如图所示，连接OE ， ∵AB 是O e 的直径，且4AB =， ∴2OE OB OA ===，∵E 为¼ABD 上一点，且40ADE ∠=°， ∴280AOE ADE ==°∠∠， ∴180100BOE AOE ∠=°−=°∠，∴»BE的长1002101809ππ××=；【小问2详解】证明：如图所示，连接BD ， ∵76EAD ∠=°，40ADE ∠=°， ∴18064AED EAD ADE =°−−=°∠∠∠， ∴64ABD AED ==°∠∠， ∵AB 是O e 的直径， ∴90ADB ∠=°，∴9026BAC ABD =°−=°∠∠， ∵64C ∠=°，∴18090ABC C BAC =°−−=°∠∠∠，即AB BC ⊥， ∵OB 是O e 的半径， ∴BC 是O e 的切线．【点睛】本题主要考查了切线判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 ．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 整理描述初中学生视力情况统计表视力人数 百分比 0.6及以下84%的0.7 16 8%0.8 28 14%0.9 34 17%1.0m34%1.1及以上46 n合计200 100%高中学生视力情况统计图（1）m=_______，n=_______；（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；（3）分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量．．．说明理由：②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名初中学生，估计该区有多少名初中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．【答案】（1）68；23%；（2）320；（3）①小胡的说法合理，选择中位数，理由见解析；②11180人，合理化建议见解析，合理即可．【解析】【分析】（1）由总人数乘以视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1．1及以上的人数除以总人数可得n的值；（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可． 【小问1详解】解：由题意可得：初中样本总人数为：200人， ∴34%20068m =×=（人），4620023%n =÷=； 【小问2详解】由题意可得：144460826555320+++++=， ∴被调查的高中学生视力情况的样本容量为320； 【小问3详解】①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．” 小胡的说法合理；初中学生视力的中位数为第100个与第101个数据的平均数，落在视力为1.0这一组， 而高中学生视力的中位数为第160个与第161个数据的平均数，落在视力为0.9的这一组， 而1.0>0.9， ∴小胡的说法合理．②由题意可得：()26000134%23%=11180×−−（人）， ∴该区有26000名中学生，估计该区有11180名中学生视力不良； 合理化建议为：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健操．【点睛】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，中位数的含义，利用样本估计总体，理解题意，确定合适的统计量解决问题是解本题的关键． 22. 课本再现 思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在ABCD Y 中，对角线BD AC ⊥，垂足为O ． 求证：ABCD Y 是菱形．（2）知识应用：如图2，在ABCD Y 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，586AD AC BD ===，，．①求证：ABCD Y 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若12E ACD ∠=∠，求OF EF值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②58【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质证明AOB COB V V ≌得出AB CB =，同理可得DOA ODC V V ≌，则DA DC =， AB CD =，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；（2）①勾股定理的逆定理证明AOD △是直角三角形，且90AOD ∠=°，得出AC BD ⊥，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出E COE ∠=∠，则142OC OE AC ===，过点O 作OG CD ∥交BC 于点G ，根据平行线分线段成比例求得1522CG CB ==，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO CO =， AB DC =， ∵BD AC ⊥∴90AOB COB ∠=∠=°， ,AOB COB V V 中，AO COAOB COB BO BO =∠=∠ =的在∴AOB COB V V ≌ ∴AB CB =，同理可得DOA ODC V V ≌，则DA DC =， 又∵AB CD =∴AB BC CD DA === ∴四边形ABCD 是菱形； 【小问2详解】①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，586AD AC BD ===，，． ∴113,422DOBO BD AO CO AC ====== 在AOD △中，225AD =，22223425AO OD +=+=，∴222AD AO OD =+，∴AOD △是直角三角形，且90AOD ∠=°， ∴AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形； ②∵四边形ABCD 是菱形； ∴ACB ACD ∠=∠∵12E ACD ∠=∠， ∴12E ACB ∠=∠，∵ACB E COE ∠=∠+∠， ∴E COE ∠=∠，∴142OCOE AC ===， 如图所示，过点O 作OG CD ∥交BC 于点G ，∴1BG BOGCOD ==， ∴115222CG BC AD ===，∴55248OF GC EF CE ===． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．六、解答题（本大题共12分）23. 综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=°，D 为AC 上一点，CD =，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系（1）初步感知：如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当1t =时，S =_______．②S 关于t 的函数解析式为_______．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．（3）延伸探究：若存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①12t t +=_______； ②当314t t =时，求正方形DPEF 的面积．【答案】（1）①3；②24S t =+（2）()281828S t t t =−+≤≤，6AB =（3）①4；②349【解析】【分析】（1）①先求出1CP =，再利用勾股定理求出DP =，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出CP t =，进而求出222DP t =+，则222S DP t ==+；（2）先由函数图象可得当点P 运动到B 点时，26S DP ==，由此求出当2t =时，6S =，可设S 关于t的函数解析式为()242S a t =−+，利用待定系数法求出2818S t t =−+，进而求出当281818S t t =−+=时，求得t 的值即可得答案；（3）①根据题意可得可知函数()242S t =−+可以看作是由函数22S t =+向右平移四个单位得到的，设()()()1221P m n Q m n m m >，，，是函数22S t =+上的两点，则()14m n +，，()24m n +，是函数()242S t =−+上的两点，由此可得121212044m m m m m m +=<<+<+，，则2144m m ++=，根据题意可以看作21321244m m t t m t ==+=+，，，则124t t +=；②由（3）①可得134t t =+，再由314t t =，得到143t =，继而得答案． 【小问1详解】 解：∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，∴当1t =时，点P 在BC 上，且1CP =，∵90C ∠=°，CD =，∴DP ==∴23S DP ==，故答案为：3；②∵动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在BC 匀速运动，∴CP t =，∵90C ∠=°，CD =，∴22222DP CP CD t =+=+，∴222S DP t ==+；【小问2详解】解：由图2可知当点P 运动到B 点时，26S DP ==，∴246t +=，解得2t =，∴当2t =时，6S =，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为()42，， ∴可设S 关于t 的函数解析式为()242S a t =−+， 把()26，代入()242S a t =−+中得：()26242a =−+， 解得1a =，∴S 关于t 的函数解析式为()()224281828S t t t t =−+=−+≤≤，在2818S t t =−+中，当281818S t t =−+=时，解得8t =或0=t ，∴826AB =−=；【小问3详解】解：①∵点P 在BC 上运动时， 22S t =+，点P 在AB 上运动时()242S t =−+， ∴可知函数()242S t =−+可以看作是由函数22S t =+向右平移四个单位得到的，设()()()1221P m n Q m n m m >，，，是函数22S t =+上的两点，则()14m n +，，()24m n +，是函数()242S t =−+上的两点，∴121212044m m m m m m +=<<+<+，， ∴2144m m ++=， ∵存在3个时刻123,,t t t （123t t t <<）对应的正方形DPEF 的面积均相等． ∴可以看作21321244m m t t m t ==+=+，，， ∴124t t +=， 故答案为：4；②由（3）①可得134t t =+，∵314t t =，∴1144t t =+， ∴143t =，∴224342239S t=+=+=．.【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．。

江西省中考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）1．（3分）2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（3分）计算÷（﹣）的结果为（）A．a B．﹣a C．D．3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（）A．B．C．D．4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（）A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（）A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：x2﹣1＝．8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是．9．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB 时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：．12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．14．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表年级参加英语听力训练人数周一周二周三周四周五七年级1520a3030八年级2024263030合计3544516060（1）填空：a＝；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：年级平均训练时间的中位数参加英语听力训练人数的方差七年级2434八年级14.4（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝°．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．数学思考（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．①用含x的代数式表示：AD的长是cm，BD的长是cm；②y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x（cm）654 3.53 2.5210.50y（cm）00.55 1.2 1.582.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．六、（本大题共12分）23．（12分）特例感知（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足y n＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说明理由．2019年江西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）1．（3分）2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．【分析】根据相反数的定义求解即可．【解答】解：2的相反数为：﹣2．故选：B．2．（3分）计算÷（﹣）的结果为（）A．a B．﹣a C．D．【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．【解答】解：原式＝•（﹣a2）＝﹣a，故选：B．3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：它的俯视图为故选：A．4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（）A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；故选：C．5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（）A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2＝∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）∴A，B选项错误∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2＝中，在每个象限内y随x的增大而减小，∴D选项错误∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2∴选项C正确故选：C．6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）因式分解：x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为，依据《孙子算经》的方法，则它的对角线的长是 1.4．【分析】根据估算方法可求解．【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长＝＝1.4故答案为：1.49．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝0．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．故答案为：0．10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝20°．【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，故答案为：2011．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB 时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：．【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：，故答案为：，12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．【分析】先由已知得出D1（4，1），D2（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）∴AB∥y轴∵点D在直线AB上，DA＝1∴D1（4，1），D2（4，﹣1）如图：（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1～△P1AD1∴即解得：OP1＝2∴P1（2，0）（Ⅱ）当点D在D2处时，∵C（0，4），D2（4，﹣1）∴CD2的中点E（2，）∵CP⊥DP∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点设P（x，0），则PE＝CE即解得：x＝2±2∴P2（2﹣2，0），P3（2+2，0）综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2，0）或（2+2，0）．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0＝1+2+1＝4；（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．14．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：，解①得：x＞﹣2，解②得：x≤﹣1，故不等式组的解为：﹣2＜x≤﹣1，在数轴上表示出不等式组的解集为：．15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；（2）在（1）基础上分别延长BE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断DBC＝45°．【解答】解：（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠BCD为所作．16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边向上作等边三角形ABC．（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x 轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴∵点A坐标为（﹣，0），点B坐标为（，1）∴|AB|＝＝2∵BH＝1∴sin∠BAH＝＝∴∠BAH＝30°∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC＝2∴∠CAB+∠BAH＝90°∴点C的纵坐标为2∴点C的坐标为（，2）（2）由（1）知点C的坐标为（，2），点B的坐标为（，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b 则，解得故直线BC的函数解析式为y＝x+四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：周一至周五英语听力训练人数统计表年级参加英语听力训练人数周一周二周三周四周五七年级1520a3030八年级2024263030合计3544516060（1）填空：a＝25；（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：年级平均训练时间的中位数参加英语听力训练人数的方差七年级2434八年级2714.4（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．【分析】（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名×周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；故答案为：25；（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，∴八年级平均训练时间的中位数为：27；故答案为：27；（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为（35+44+51+60+60）＝50，∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×＝400（人）．19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，证得∠ABE＝∠DAE，等量代换即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，∴AB⊥AD，∵CD∥AB，BC∥OD，∴四边形BODC是平行四边形，∴OB＝CD，∵OA＝OB，∴CD＝OA，∴四边形ADCO是平行四边形，∴OC∥AD，∵CD∥BA，∴CD⊥AD，∵OC∥AD，∴OC⊥CD，∴CD是半圆的切线；（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，理由：如图2，连接BE，∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠EBA+∠BAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠DAE，∵∠ACE＝∠ABE，∴∠ACE＝∠DAE，∵∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．①填空：∠BAO＝160°．②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC 的大小．（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）【分析】（1）①过点A作AG∥BC，根据平行线的性质解答便可；②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，∵BC∥OE，∴AG∥OE，∴∠GAO＝∠AOE＝90°，∴∠BAO＝90°+70°＝160°，故答案为：160；②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，如图3，则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），∴sin∠MBC＝，∴∠MBC＝36.8°，∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．数学思考（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．①用含x的代数式表示：AD的长是（6+x）cm，BD的长是（6﹣x）cm；②y与x的函数关系式是y＝，自变量x的取值范围是0≤x≤6．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格x（cm）654 3.53 2.5210.50y（cm）00.55 1.2 1.582 2.473 4.29 5.086②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点（0，6），（3，2）即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），∵CD＝xcm，∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），故答案为：（6+x），（6﹣x）．②作BG⊥OF于G．∵OA⊥OF，BG⊥OF，∴BG∥OA，∴＝，∴＝，∴y＝（0≤x≤6），故答案为：y＝，0≤x≤6．（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，故答案为2，6．②点（0，6），点（3，2）如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝60°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠F AD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【分析】（1）根据菱形的性质计算；（2）①证明∠DAB＝∠F AE＝60°，根据角的运算解答；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明△AFN≌△EFM，根据全等三角形的性质得到FN＝FM，根据角平分线的判定定理证明结论；（3）根据直角三角形的性质得到GH＝2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，故答案为：60°；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠F AE＝60°，∴∠F AD＝∠EAB，故答案为：＝；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB＝∠FMB＝90°，∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，∴∠AFN＝∠EFM，∵EF＝EA，∠F AE＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上；（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠AGF＝60°，∴∠FGE＝∠AGE＝30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，∴GN＝2AN，∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝AH＝GE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，∴BC＝GE，∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，∴平行四边形ABEN为菱形，∴AB＝AN＝NE，∴GE＝3AB，∴＝3．六、（本大题共12分）23．（12分）特例感知（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是①②③；①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．形成概念（2）把满足y n＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．知识应用在（2）中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，P n，用含n的代数式表示顶点P n的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说明理由．【分析】（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣，y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣，③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣1；﹣x2﹣2x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣2；﹣x2﹣3x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣3；所以相邻两点之间的距离都是1，（2）①y n＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣，），可得y＝x2+1；②横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，相邻两点间距离分别为；③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，可求A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，A n（﹣n，1），C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1）；【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确；②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣，y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣，由x＝﹣向左移动得到x＝﹣1，再向左移动得到x＝﹣，②正确；③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣1；﹣x2﹣2x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣2；﹣x2﹣3x+1＝1，∴x＝0或x＝﹣3；∴相邻两点之间的距离都是1，③正确；故答案为①②③；（2）①y n＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣，），令x＝﹣，y＝，∴y＝x2+1；②∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，∴相邻两点间距离分别为；∴相邻两点之间的距离都相等；③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，∴x＝0或x＝﹣n，∴A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，A n（﹣n，1），C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），∵＝k+1，＝k+2，＝k+3，…，＝k+n，∴∁n A n不平行C n﹣1A n﹣1；。

2021年江西省南昌市中考数学二调试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项。

1．（3分）的倒数是（）A．﹣5B．5C．D．2．（3分）江西省面积大约为16.69万平方公里，数据16.69万用科学记数法表示为（）A．1.669×106B．1.669×105C．16.69×105D．0.1669×106 3．（3分）下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE，若∠C ＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD的度数为（）A．28°B．29°C．30°D．31°5．（3分）若一元二次方程x2﹣8x+3＝0的两个实数根分别是a、b，则关于x的一次函数y ＝abx﹣a﹣b的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（3分）如图，函数图象C1与C2都经过x轴上的点B并关于垂直于x轴的直线l对称，已知C1是抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6在x轴上方的部分，若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2D．﹣3＜m＜﹣二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）计算：﹣+＝．8．（3分）函数中，自变量x的取值范围是．9．（3分）吴老师将本校体育训练队甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛的成绩整理成了如下表格：甲乙丙丁平均数375350375350方差s212.513.5 2.4 5.4根据表中数据，要从甲、乙、丙、丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择．10．（3分）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分10元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x，则可列方程为．11．（3分）如图，点C在DE上，∠B＝∠E，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝45°，则∠ACB ＝°．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为．三、解答题（本大题共8小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解不等式组：．（2）化简：（﹣）÷．14．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，AD平分∠F AC，CD⊥AD于点D．求证：四边形AECD是矩形．15．（6分）今年三八妇女节期间，某公司决定对公司女职工发放礼品进行慰问，慰问品实行弹性选择的方法，每位女职工可从小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票中任选两种．（所选的两种礼品不能相同）（1）若李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是．（2）用列表或画树状图的方法求李丽选了化妆品打折券和旅游年票的概率．16．（6分）请按以下要求用无刻度直尺作图：（1）如图1，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．（2）如图2，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A'B'C，画出△A'B'C．17．（6分）某超市购进甲、乙两种型号的空气加湿器进行销售，已知购进4台甲型号空气加湿器和6台乙型号空气加湿器共用1820元，购进6台甲型号空气加湿器比购进4台乙型号空气加湿器多用520元．（1）求甲、乙两种型号的空气加湿器每台的进价．（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的空气加湿器共60台进行销售，甲种型号每台售价260元，乙种型号每台售价190元，若超市购进的这两种空气加湿器全部售出后，共获利2800元，则该超市本次购进甲、乙两种型号的空气加湿器各多少台？18．（8分）为增强学生体质，某学校推行大课间跳绳活动，通过一段时间的锻炼后，该校七年级采用随机抽签的方式选出了40名同学，并对这40名同学一分钟跳绳的成绩进行了统计，绘制了如下统计图和统计表：等级次数频数不合格100≤x＜1204合格120≤x＜140a良好140≤x＜16012优秀160≤x＜180b 请结合上述信息完成下列问题：（1）a＝，b＝；（2）请补全频数分布直方图；（3）在扇形统计图中，“合格”等级对应的圆心角的度数是；（4）若该校有3000名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳成绩达到良好及以上的人数．19．（8分）如图1，将一个直角三角形形状的楔子（Rt△ABC）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩台底下，可以使木桩向上运动．如果楔子底面的倾斜角∠ABC为10°，其高度AC为1.8厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），如图2，留在外面的楔子长度HC为3厘米．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）（1）求BH的长．（2）木桩上升了多少厘米？20．（8分）如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C（5，0），与反比例函数y ＝﹣的图象交于点A（﹣1，m），D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．（1）求m的值及直线BC的解析式．（2）将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D'恰好落在直线BC上，求D点的坐标．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点A、B的⊙O分别交AC、BC于点DE，AB＝AE，CD的垂直平分线交BC于点F，连接DF．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知EF＝3，DE＝4，求BE和AB的长．22．（9分）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在线段AE上，过点F的直线MN⊥AE，分别交AB、CD于点M、N．（1）如图1，当点N与点D重合时，求证：MN＝AE．（2）如图2，当F为AE的中点时，连接正方形的对角线BD，分别交MN于点G，交AE于点O，连接BF．求证：BF＝FG．（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为4，BE＝1，求OG的长度．六、（本大题共1小题，共12分）23．（12分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，c），那么我们把经过点（0，c）且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．[特例感知]（1）抛物线y＝x2+2x+1的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为．[研究深入]（2）经过点A（﹣1，0）和B（x，0）（x＞﹣1）的抛物线y＝﹣x2+mx+n与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线的另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标．[深入拓展]（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝﹣x2+mx+n的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标．②若直线EF与直线MN关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B 到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．2021年江西省南昌市中考数学二调试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）每小题只有一个正确选项。

2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（三）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（）A．B．C．1D．解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴＝＝，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴＝＝＝，故选：A．2．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．80解：∵AC＝100，sin A＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．3．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝6，∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥4，∴AE的最小值为4，故选：B．4．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．5．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．二．填空题（共9小题）6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．7．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．设BE交DF于J．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6,∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6×＝9,∴DF＝18,∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，如图，当点N在OC上，点M在OE上时，等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．故答案为：9或10或18．8．（2021•桂林）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝8．解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝4，∴BC＝2×4＝8．故答案是：8．9．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是326米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）解：由题意，在Rt△ABC中，∵AC＝40，∠A＝83°，tan A＝，∴BC＝tan A•AC≈8.14×40＝325.6≈326（米）．故答案为：326．10．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为（30﹣10）米（结果保留根号）．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．11．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是9．解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．12．（2021•毕节市）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5m．解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝8.5，答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，故答案为：8.5．13．（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．14．（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是2﹣2，2．解：如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△GEF的高EK，连接KA，KD，∵∠EKG＝∠EDG＝90°，∴E、K、D、G四点共圆，∴∠KDE＝∠KGE＝60°，同理∠KAE＝60°，∴△KAD是一个正三角形，则K必为一个定点，∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC于H，由等边三角形的性质可知，K为FG的中点，∵KH∥CD，∴KH为三角形F'CG'的中位线，∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，故答案为：2﹣2，2．三．解答题（共12小题）15．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C 与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝150度，∠AEC＝30度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CG＝CE＝2（m）＝BF，∴EG＝CG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m，EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，∴AF＝EF，即x+2＝（8+2），x＝（4+8）m，即信号塔的高度AB为（4+8）m．16．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2；（2）∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（AAS）．17．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．18．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE＝BC，求GH的长．（1）证明：∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，∴∠EAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；∵tan∠EAB＝，∵BE＝BC，∴＝3，∵G为AD的中点，∴AG＝3，∴HB＝1，∴AH＝5，∴GH＝＝．19．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是AE＝CF；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴＝，∴△AOE∽△COF，∴＝，∵CF＝OA＝5，∴＝，∴AE＝，∴DE＝＝＝．20．（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：21．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为①、③，结论为②；（2）证明你的结论．（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，故答案为：①，③，②（答案不唯一）；（2）证明：在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．22．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．证明：在△DCA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．23．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．24．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠F AM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）解：根据题意可知：四边形ABDM是矩形，∴AB＝MD＝120m，在Rt△AME中，ME＝AM tan45°＝AM，在Rt△AMF中，MF＝AM tan60°＝AM，∵EF＝MF﹣ME＝40m，∴AM﹣AM＝40，∴AM≈54.8（m），∴MF≈54.8×1.73≈94.80（m），∴DF＝120﹣94.80＝25.2（m），25.2÷3≈8.4，∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．25．（2021•贵阳）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，即sinα＝．答：仰角α的正弦值为；（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，∵tan∠ACD＝，∴CD＝＝≈21.22（m），∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．答：B，C两点之间的距离约为51m．26．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈5.0（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。

江西省2020年中等学校招生考试数学试题卷（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a3．教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×10144．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG5．如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+D．y＝x+2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：（a﹣1）2＝．8．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．9．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．10．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9频数8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．11．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC ＝49°，则∠BAE的度数为．12．矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（本题共2小题，每小题3分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：14．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．15．某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．19．为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．20．如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．22．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …m 0 ﹣3 n ﹣3 …（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；（2）求抛物线的表达式及m，n的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系．六、（本大题共12分）23．某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S1，S2，S3之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为斜边向外侧作Rt△ABD，Rt△ACE，Rt△BCF，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S1，S2，S3之间的关系式为；推广验证（2）如图3，在Rt△ABC中，BC为斜边，分别以AB，AC，BC为边向外侧作任意△ABD，△ACE，△BCF，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D＝∠E＝∠F，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A＝∠E＝∠C＝105°，∠ABC＝90°，AB＝2，DE ＝2，点P在AE上，∠ABP＝30°，PE＝，求五边形ABCDE的面积．答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．﹣3的倒数是（）A．3 B．﹣3 C．﹣D．【知识考点】倒数．【思路分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答过程】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6D．a3÷a2＝a【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【思路分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答过程】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；D、a3÷a2＝a，正确．故选：D．【总结归纳】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．3．教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%．将50175亿用科学记数法表示为（）A．5.0175×1011B．5.0175×1012C．0.50175×1013D．0.50175×1014【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答过程】解：50175亿＝5017500000000＝5.0175×1012．故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，∠1＝∠2＝65°，∠3＝35°，则下列结论错误的是（）A．AB∥CD B．∠B＝30°C．∠C+∠2＝∠EFC D．CG＞FG【知识考点】平行线的判定；三角形的外角性质．【思路分析】依据平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，即可得出结论．【解答过程】解：∵∠1＝∠2＝65°，∴AB∥CD，故A选项正确，又∵∠3＝35°，∴∠C＝65°﹣35°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，故B选项正确，∵∠EFC是△CGF的外角，∴∠EFC＝∠C+∠3，故C选项错误，∵∠3＞∠C，∴CG＞FG，故D选项正确，故选：C．【总结归纳】本题主要考查了平行线的判定与性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．5．如图所示，正方体的展开图为（）A．B．C．D．【知识考点】几何体的展开图．【思路分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答过程】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面∧”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．【总结归纳】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接AB，将Rt△OAB向右上方平移，得到Rt△O'A'B'，且点O'，A'落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，则直线A'B'的表达式为（）A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+D．y＝x+2【知识考点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；坐标与图形变化﹣平移．【思路分析】求得A、B的坐标以及抛物线的对称轴，根据题意设出A′（1，n），则B′（4，n+3），把B′（4，n+3）代入抛物线解析式求得n，即可求得A′、B′的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线A'B'的表达式．【解答过程】解：如图，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，令y＝0，解得x＝﹣1或3，令x＝0，求得y＝﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴A′的横坐标为1，设A′（1，n），则B′（4，n+3），∵点B'落在抛物线上，∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2，∴A′（1，2），B′（4，5），设直线A'B'的表达式为y＝kx+b，∴，解得∴直线A'B'的表达式为y＝x+1，故选：B．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，坐标和图形变换﹣平移，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意表示出A′、B′的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．计算：（a﹣1）2＝．【知识考点】完全平方公式．【思路分析】直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答过程】解：（a﹣1）2＝a2﹣2a+1．【总结归纳】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．8．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【知识考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．【思路分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解答过程】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x2＝＝﹣2．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．故答案为：﹣2．【总结归纳】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键．9．公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是．【知识考点】用数字表示事件．【思路分析】根据题意可知，这个两位数的个位上的数是5，十位上的数是2，故这个两位数我25．【解答过程】解：由题意可得，表示25．故答案为：25．【总结归纳】本题主要考查了用数字表示事件，理清题目中的符号表示的意义是解答本题的关键．10．祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：数字0 1 2 3 4 5 6 7 8 9频数8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为．【知识考点】近似数和有效数字；数学常识；频数（率）分布表；众数．【思路分析】直接根据众数的定义可得答案．【解答过程】解：圆周率的小数点后100位数字的众数为9，故答案为：9．【总结归纳】本题主要考查众数，解题的关键是掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．11．如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为．【知识考点】全等三角形的判定与性质．【思路分析】证明△ABC≌△ADC得∠D+∠ACD＝∠B+∠ACB＝49°，进而根据三角形内角和定理得结果．【解答过程】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，∵CB＝CD，∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，∴∠B+∠ACB＝49°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，故答案为：82°．【总结归纳】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，关键是证明三角形全等，求得∠B+∠ACB＝49°．12．矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为厘米．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】根据翻折可得∠ABE＝∠A′BE，分3种情况讨论：当∠ABE＝30°时或当∠AEB ＝30°时或当∠ABA′＝30°时求AE的长．【解答过程】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°＝；②当∠AEB＝30°时，AE＝＝＝4；③∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长BA′交AD于F，如下图所示，设AE＝x，则EA′＝x，EF＝，∵AF＝AE+EF＝ABtan30°＝，∴x+＝，∴x＝8﹣4，∴AE＝8﹣4．故答案为：厘米或4厘米或8﹣4厘米．【总结归纳】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形性质．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+（）﹣2；（2）解不等式组：【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组．【思路分析】（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂，再计算加减可得答案；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答过程】解：（1）原式＝1﹣2+4＝﹣1+4＝3；（2）解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，解不等式5﹣x＞2，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣]÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．15．（6分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．【解答过程】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，因此恰好抽到小艺的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，∴P（小志、小晴）＝＝．【总结归纳】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．16．（6分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．【知识考点】作图﹣旋转变换．【思路分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．（2）根据AB＝2，BC＝，AC＝5，利用数形结合的思想解决问题即可．【解答过程】解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．（2）如图2中，△AB'C'即为所求．【总结归纳】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．17．（6分）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【知识考点】一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【思路分析】（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解答过程】解：（1）设笔记本的单价为x元，单独购买一支笔芯的价格为y元，依题意，得：，解得：．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元．（2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）．∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【总结归纳】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求∠EOD的度数．【知识考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y＝（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．【解答过程】解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴CE＝AE＝BE，∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，∵BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB，∴∠AOE＝2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．【总结归纳】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，证得∠AOE＝2∠EOD，是解题的关键．19．（8分）为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学．该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评．根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）．复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：成绩30≤x＜40 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 人数 1 3 3 8 15 m 6 根据以上图表信息，完成下列问题：（1）m＝；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有人，至多有人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图．【思路分析】（1）根据前后两次抽取的人数一样多，可以计算出m的值；（2）根据直方图中的数据和表格中的数据，可以将图2中的图补充完整，然后即可写出成绩的变化情况；（3）根据表格中的数据，可以得到分数高于78分的至少有多少人，至多有多少人；（4）根据表格中的数据，可以计算出复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数．【解答过程】解：（1）m＝（2+8+10+15+10+4+1）﹣（1+3+3+8+15+6）＝14，故答案为：14；（2）折线图如下图所示，复学后，学生的成绩总体上有了明显的提升；（3）某同学第二次测试数学成绩为78分．这次测试中，分数高于78分的至少有14+6＝20（人），至多有14+6+（15﹣1）＝34（人），故答案为：20，34；（4）800×＝320（人），答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的有320人．【总结归纳】本题考查频数分布直方图、折线统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．（8分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500，≈1.732）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出CB、AF，即可求出点A到直线DE的距离；（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出相应的角度即可．【解答过程】解：（1）如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80，CD＝80，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×＝40（mm）＝FM，∠DCN＝90°﹣60°＝30°，又∵∠DCB＝80°，∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，∵AM⊥DE，CN⊥DE，∴AM∥CN，∴∠A＝∠BCN＝50°，∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝80×0.643≈51.44，∴AM＝AF+FM＝51.44+40≈120.7（mm），答：点A到直线DE的距离约为120.7mm；（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，在Rt△BCD中，CD＝80，BC＝40，∴tan∠D＝＝＝0.500，∴∠D＝26.6°，因此旋转的角度为：60°﹣26.6°＝33.4°，答：CD旋转的角度约为33.4°．【总结归纳】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【知识考点】圆的综合题．【思路分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90°，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求，即可求解．【解答过程】解：（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，∴∠APB+∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，。

2021年江西省各市各区数学中考模拟试题分类汇编：图形的性质解答（四）1．（2021•江西模拟）两个大小不同且都含有30°角的直角三角板按如图所示放置，将△ABC与△EDC的顶点C重合，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CED＝30°．（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC上时，CE：AE＝2：3，求S△DCE ：S四边形AEDB；（2）如图2，将△EDC绕着点C旋转一定角度时，求BD：AE；（3）如图2，当点A，E，D在同一条直线上时，连接BD，若CD＝1，BC＝3，求BD．2．（2021•乐平市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC 边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CF∥AB，交⊙O于点F，连接CE、CF、EF．（1）当∠CFE＝45°时，求CD的长；（2）求证：∠BAC＝∠CEF；（3）是否存在点D，使得△CFE是以EF为腰的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．3．（2021•江西模拟）如图，AB是⊙O中不过圆心的一条弦，请用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中画出一条弦CD，使CD∥AB；（2）在图2中，M是AB下方⊙O上的一点，以点A，M为顶点画一个直角三角形，使其第三顶点也落在⊙O上，并使该直角三角形的一个内角的度数与∠ABM相等．4．（2021•乐平市一模）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．5．（2021•江西模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O为对角线AC的中点，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，点P运动速度为每秒2个单位长度，点Q运动速度为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设点P运动时间为t（t＞0）秒．（1）cos∠BAC＝．（2）当PQ⊥AC时，求t的值．（3）求△QOP的面积S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围．（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，请直接写出t的值．6．（2021•江西模拟）如图，已知二次函数y＝x2+4x﹣5的图象及对称轴，现用无刻度直尺按下列要求作图：（1）在图1中作点A（﹣4，﹣5）；（2）已知A（﹣4，﹣5），在图2中的对称轴上作点P，使CP﹣AP最大．7．（2021•乐平市一模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABOC的顶点A（0，2），点B（﹣4，0），点O为坐标原点，点C在第一象限，若将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG（点A、O、B分别与点E、F、G对应），运动速度为每秒2个单位长度，边EF交OC于点P，边EG交OA于点Q，设运动时间为t（0＜t＜2）秒．（1）在运动过程中，线段AE的长度为（直接用含t的代数式表示）；（2）若t＝1，求出四边形OPEQ的面积S；（3）在运动过程中，是否存在四边形OPEQ为菱形？若存在，直接写出此时四边形OPEQ 的面积；若不存在，请说明理由．8．（2021•吉安县模拟）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）（1）在图①中画⊙O的一个内接正六边形ABCDEF；（2）在图②中画⊙O的一个内接正八边形ABCDEFGH．9．（2021•江西模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B 重合），弦AD平分∠BAF，过点D作DE⊥AF交射线AF于点AF．（1）求证：DE与⊙O相切：（2）若AE＝8，AB＝10，求DE长；（3）若AB＝10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AF•EF 的最大值．10．（2021•东湖区模拟）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）11．（2021•江西模拟）请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）如图1，抛物线l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，作出抛物线的对称轴EF；（2）如图2，抛物线l1，l2交于点P且关于直线MN对称，两抛物线分别交x轴于点A，B和点C，D，作出直线MN．12．（2021•江西模拟）如图，AB是⊙O的直径，平行四边形ACDE的一边在直径AB上，点E在⊙O上．（1）如图1，当点D在⊙O上时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点P，使DP⊥AB于P；（2）如图2，当点D在⊙O内时，请你仅用无刻度的直尺在AB上取点Q，使EQ⊥AB于Q．13．（2021•九江一模）如图，▱ABCD的顶点A、B、D都在⊙O上，请你仅用无刻度的直尺按下列要求画图：（1）在图1中，画出一条弦与AD相等；（2）在图2中，画出一条直线与AB垂直平分．14．（2021•吉水县一模）如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的大矩形，其中小矩形的长为2，宽为1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图1中，画出一个面积为5的正方形；（2）在图2中，画出一个面积为4的非特殊的平行四边形．15．（2021•吉安模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．（1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．16．（2021•江西模拟）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD 延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD＝，求⊙O的直径．17．（2021•南昌县一模）等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．18．（2021•江西模拟）操作：如图1，正方形ABCD中，AB＝a，点E是CD边上一个动点，在AD上截取AG＝DE，连接EG，过正方形的中线O作OF⊥EG交AD边于F，连接OE、OG、EF、AC．探究：在点E的运动过程中：（1）猜想线段OE与OG的数量关系？并证明你的结论；（2）∠EOF的度数会发生变化吗？若不会，求出其度数，若会，请说明理由．应用：（3）当a＝6时，试求出△DEF的周长，并写出DE的取值范围；（4）当a的值不确定时：①若＝时，试求的值；②在图1中，过点E作EH⊥AB于H，过点F作FG⊥CB于G，EH与FG相交于点M；并将图1简化得到图2，记矩形MHBG的面积为S，试用含a的代数式表示出S的值，并说明理由．19．（2021•乐平市一模）如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5cm，BD＝3cm，求BE的长．20．（2021•江西模拟）在矩形ABCD中，点E是对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE交AB于点F．（1）如图1，当DE＝DA时，求证：AF＝EF；（2）如图2，点E在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图3，若点F为AB的中点，连接DF交AC于点G，将△GEF沿EF翻折得到△HEF，连接DH交EF于点K，当AD＝2，CD＝2时，求KH的长．21．（2021•江西模拟）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求⊙O的半径；（3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由．22．（2021•江西模拟）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO 的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．23．（2021•江西模拟）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．24．（2021•江西模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD 与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．25．（2021•江西模拟）在△ABC中，AB＝BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC＝90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|＝2，EF＝2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．参考答案1．【解答】解：（1）当点E在AC上，点D在BC上时，∵∠CAB＝∠CED＝30°，∴DE∥AB，∴△ABC∽△EDC，∴S△DCE ：S△ABC＝（CE：CA）2＝4：25，∴S△DCE ：S四边形AEDB＝4：21；（2）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠DCB＝∠ACE．∵∠CAB＝∠CED＝30°，∴，，∴DC：CE＝BC：CA，∴△DBC∽△EAC，∴；（3）由（2）可知，∵△DBC∽△EAC，∴∠AEC＝∠BDC．∵点A，E，D在同条一直线上，∠CED＝30°，∴∠AEC＝∠BDC＝150°，∴∠ADB＝150°﹣60°＝90°．设BD＝x，可知，在Rt△ABD中，，解得，（舍）．∴．2．【解答】解：（1）∵∠CFE＝45°，∠CFE＝∠CDE，∴∠CDE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DAC＝∠ADC，∴AC＝CD＝6；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCB，又∵∠FCB＝∠DEF，∴∠BAC+∠DEF＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∴∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠BAC＝∠CEF；（3）①如图1，当EF＝CE时，则∠EFC＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CDE＝∠CFE，∴∠ADG＝∠CDE，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∵FC∥AB，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵AD＝AD，∴△AGD≌△ACD（AAS），∴DG＝CD，在Rt△BDG中，设CD＝x，∵BG2+DG2＝BD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3；②如图2，当EF＝CF时，则∠CEF＝∠ECF，∵四边形CEDF为圆内接四边形，∴∠ADG＝∠ECF，又∵∠CEF＝∠CDF＝∠BDG，∴∠ADG＝∠BDG，∵FC∥AB，∠DFC＝90°，∴∠FGA＝90°，∴∠FGA＝∠ACD，∵GD＝GD，∴△BGD≌△AGD（ASA），∴BD＝AD，在Rt△ACD中，设CD＝x，∵CD2+AC2＝AD2，∴x2+62＝（8﹣x）2，∴x＝，即CD＝；综合以上可得CD的长为3或．3．【解答】解：（1）如图1，CD为所求．（2）如图2，△AEM为所求．4．【解答】解：（1）如图1中，线段CF即为所求作．（2）如图2中，线段AE即为所求作．（3）如图3中，射线AF即为所求作．（4）如图4中，线段AD即为所求作．5．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝10，∴cos∠BAC＝＝＝，故答案为：；（2）由题意得：BQ＝t，AP＝2t，则AQ＝6﹣t，当PQ⊥AC时，∠APQ＝90°，∴cos∠QAP＝＝，即＝，解得：t＝，即当PQ⊥AC时，t的值为；（3）过Q作QE⊥AC于E，如图1所示：则∠AEQ＝90°＝∠ABC，又∵∠QAE＝∠CAB，∴△AEQ∽△ABC，∴＝，即＝，解得：QE＝（6﹣t），∵点O为对角线AC的中点，∴AO＝AC＝5，若P与O重合时，则AP＝AO＝5，∴2t＝5，∴t＝，若P与C重合时，则AP＝AC＝10，∴2t＝10，∴t＝5，当点P在线段AO上时，OP＝5﹣2t，则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（5﹣2t）×（6﹣t）＝t2﹣t+12，即S＝t2﹣t+12（0≤t＜）；当点P在线段CO上时，OP＝2t﹣5，则△QOP的面积S＝OP×QE＝×（2t﹣5）×（6﹣t）＝﹣t2+t﹣12，即S＝﹣t2+t﹣12（＜t≤5）；（4）分三种情况：①当线段PQ的垂直平分线经过点C时，连接QC，如图2所示：PC＝QC＝10﹣2t，在Rt△QBC中，由勾股定理得：QC2＝BC2+BQ2，即（10﹣2t）2＝82+t2，解得：t＝或t＝（舍去），∴t＝；②当线段PQ的垂直平分线经过点B时，BQ＝BP＝t，过点P作PG⊥BC于G，连接BP，如图3所示：则PG∥AB，∴△PCG∽△ACB，∴＝＝，即＝＝，解得：PG＝（10﹣2t）＝6﹣t，CG＝（10﹣2t），∴BG＝8﹣（10﹣2t）＝t，在Rt△BPG中，由勾股定理得：BP2＝BG2+PG2，即t2＝（t）2+（6﹣t）2，此方程无解；③当线段PQ的垂直平分线经过点A时，如图4所示：则AQ＝AP，即6﹣t＝2t，解得：t＝2；综上所述，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC的某个顶点时，t的值为或2．6．【解答】解：（1）如图1，点A为所作；（2）如图2，点P为所作．7．【解答】解：（1）在运动过程中，线段AE的长度为2t，故答案为：2t；（2）∵将△AOB沿x轴向右运动得到△EFG，∴AB∥EG，OA∥EF，∵四边形ABOC是平行四边形，∴AB∥OC，∴EG∥OC，∵OQ∥PE，∴四边形OPEQ是平行四边形，∵A（0，2），点B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵t＝1，∴AE＝BG＝2，∴OG＝2，∵AE＝OG，∵AC∥OB，∴∠AEQ＝∠OGQ，∠EAQ＝∠GOQ，∴△AEQ≌△OGQ（ASA），∴AQ＝OQ＝OA＝1，∴四边形OPEQ的面积S＝1×2＝2；（3）存在，由（2）知四边形OPEQ是平行四边形，若四边形OPEQ是菱形，则EQ＝OQ，∵AE∥OB，AB∥EG，∴∠AEQ＝∠ABO＝∠EGO，∠EAQ＝∠AOB，∴△QEA∽△ABO，∴，∵AE＝2t，∴＝，∴AQ＝t，∴OQ＝2﹣t，∵QE＝OQ，∴AE2+AQ2＝OQ2，∴（2t）2+t2＝（2﹣t）2，解得：t＝，∴AE＝﹣1，OQ＝，∴当t＝时，四边形OPEQ为菱形，∴四边形OPEQ的面积＝AE•OQ＝3﹣5．8．【解答】解：如图所示，（1）如图①，正六边形ABCDEF即为所求；（2）如图②，正八边形ABCDEFGH即为所求．9．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAF，∴∠OAD＝∠FAD，∴∠ODA＝∠FAD，∴OD∥AF，∵DE⊥AF，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切：（2）解：连接BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠ADB，又∵∠EAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴AD：AB＝AE：AD，∴AD2＝AB×AE＝10×8＝80，在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝4；（3）连接DF，过点D作DG⊥AB于G，如图3所示：在△AED和△AGD中，，∴△AED≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，DE＝DG，∵∠FAD＝∠DAB，∴＝，∴DF＝DB，在Rt△DEF和Rt△DGB中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGB（HL），∴EF＝BG，∴AB＝AG+BG＝AF+EF＝AF+EF+EF＝AF+2EF，即：x+2y＝10，∴y＝﹣x+5，∴AF•EF＝﹣x2+5x＝﹣（x﹣5）2+，∴AF•EF有最大值，当x＝5时，AF•EF的最大值为．10．【解答】证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），∵∠1+∠2＝180°（已知），∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），又∵∠A＝∠D（已知），∴∠BFD＝∠D（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．11．【解答】解：（1）如图1所示，直线EF即为所求．（2）如图2所示，直线MN即为所求．12．【解答】解：（1）如图，延长AO交⊙O于点F，连接DF交AB于点P，点P即为所求；（2）延长ED交⊙O于M，作直径MF，连接EF交OA于点Q，点Q即为所求．13．【解答】解：（1）BE就是所求作的弦；（2）FG就是所求作的垂直平分线．14．【解答】解：（1）如图正方形ABCD；（2）如图平行四边形EFGH．15．【解答】解：（1）如图1所示：AM即为所求；（2）如图2所示：AN即为所求．16．【解答】解：（1）证明：连接OA，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠OAP＝∠AOC﹣∠P＝90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD+PD，又∵OA＝OD，∴PD＝OA，∵PD＝，∴2OA＝2PD＝2．∴⊙O的直径为2．17．【解答】解：（1）如图1，DE为所作：（2）如图2，DE为所作：18．【解答】解：（1）OE＝OG，理由：如图1，连接OD，在正方形ABCD中，∵点O是正方形中心，∴OA＝OD，∠OAD＝∠ODC＝45°，∵AG＝DE，∴△AOG≌△DOG，∴OE＝OG，（2）∠EOF的度数不会发生变化，理由：由（1）可知，△AOG≌△DOE，∴∠DOE＝∠AOG，∵∠AOG+∠DOG＝90°，∴∠DOE+∠DOG＝90°，∴∠DOE＝∠AOG，∵∠EOG＝90°，∵OE＝OG，OF⊥EG，∴∠EOF＝45°，∴恒为定值．（3）由（2）可知，OE＝OG，OF⊥EG，∴OF垂直平分EG，∴△DEF的周长为DE+EF+DF＝AG+FG+DF＝AD，∵a＝6，∴△DEF的周长为AD＝a＝6，（0＜DE＜3）（4）①如图2，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+AOF＝135°∵∠OAF＝45°，∴∠AFO+∠AOF＝135°，∴∠COE＝∠AFO，∴△AOF∽△CEO，∴，∵O到AF与CE的距离相等，∴，∴（）2＝，∵＞0，∴＝，②猜想：S＝a2，理由：如图3，由（1）可知，△AOF∽△CEO，∴，∴AF×CE＝OA×OC，∵EH⊥AB，FG⊥CB，∠B＝90°，∴S＝AF×CE，∴S＝OA×OC＝×＝a2．19．【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC；又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝EC，∴AB＝AC＝CE＝5cm；∵BD＝CD＝3cm，∴BE＝BD+CD+CE＝3+3+5＝11cm．20．【解答】（1）证明：如图，连接DF，在矩形ABCD中，∠DAF＝90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∵AD＝DE，DF＝DF，∴Rt△DAF≌Rt△DEF（HL），∴AF＝EF；（2）解：的值不变；如图，过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，∴四边形ANEM是矩形，∴EN＝AM，∵∠EAM＝∠CAD，∠EMA＝∠CDA．∴△EAM∽△CAD，∴，即，∵∠DEF＝∠MEN＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，又∵∠DME＝∠ENF＝90°，∴△DME∽△FNE，∴，由①②可得，∵AD与DC的长度不变，∴的长度不变；（3）连接GH交EF于点I，∵点F是AB的中点，∴AF＝，在Rt△ADF中，DF＝＝＝，由（2）知＝，∴DE＝EF，在Rt△DEF中，EF＝，DE＝，又∵AB∥DC，∴△AGF∽△CGD，∴，∴，由折叠的性质可知GI＝IH，GH⊥EF，又∵DE⊥EF，∴GH∥DE，∴△GFI∽△DFE，∴，∴EI＝＝，GI＝IH＝，又∵GH∥DE，∴△DEK∽△HIK，∴＝，∴KI＝＝，∴HK＝＝．21．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO（SSS），∴∠ADO＝∠ACO＝90°，又∵OC是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）∵tan B＝＝，∴设AC＝4x，BC＝3x，∵AC2+BC2＝AB2，∴16x2+9x2＝100，∴x＝2，∴BC＝6，∵AC＝AD＝8，AB＝10，∴BD＝2，∵OB2＝OD2+BD2，∴（6﹣OC）2＝OC2+4，∴OC＝，故⊙O的半径为；（3）AF＝CE+BD，理由如下：连接OD，DE，由（1）可知：△ACO≌△ADO，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠OCE＝∠ODE，∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣2∠OCE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝DF+BD＝CE+BD．22．【解答】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQ＝OC，∴PQ⊥BO，PQ＝BO；故答案为：PQ＝BO，PQ⊥BO．（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形；（3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQ＝O'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A＝，∴O'B＝＝＝，∴BQ＝．∴S＝BQ•PQ＝×＝．△PQB23．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，∵＝，∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴，∵在Rt△ABG中，AB＝8，∠ABG＝45°，∴AG＝，在Rt△ADE中，AE＝AD，∴，∴，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝，∴ED＝AD＝，∴CE＝CD+DE＝，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM＝CE＝，∴DM＝DE﹣EM＝，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM＝，∴S＝DE•FM＝．△DEF24．【解答】（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴OA2＝OP•OD．又OA＝EF，∴EF2＝OP•OD，即EF2＝4OP•OD．（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝2a，则DF＝3a．OD＝BC＝4，OE＝AO＝OF＝3a﹣4．∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．25．【解答】解：（1）如图1中，延长EO交CF于K．∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO＝∠KCO，∵OA＝OC，∠AOE＝∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE＝OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF＝EK＝OE．（2）如图2中，延长EO交CF于K．∵∠ABC＝∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF，AE＝BF，∵△AOE≌△COK，∴AE＝CK，OE＝OK，∴FK＝EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF＝OE．（3）如图3中，延长EO交CF于K．作PH⊥OF于H．∵|CF﹣AE|＝2，EF＝2，AE＝CK，∴FK＝2，在Rt△EFK中，tan∠FEK＝，∴∠FEK＝30°，∠EKF＝60°，∴EK＝2FK＝4，OF＝EK＝2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF＝FP＝2，在Rt△PHF中，PH＝PF＝1，HF＝，OH＝2﹣，∴OP＝＝﹣如图4中，当点P在线段OC上时，作PG⊥OF于G．同法可得：HE＝2，OH＝OF，EF＝2，∴tan∠HFE＝，∴∠HFE＝30°，∴FH＝2HE＝4，∵OH＝OF，∴OH＝OF＝OE＝2，∵△OPF的等腰三角形，∴PO＝PF，∵PG⊥OF，∴OG＝GF＝1，∴OP＝＝综上所述，OP的长为﹣或．。

2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（二）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．2．（2021•陕西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．3．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共7小题）4．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 2.7m．解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为（3，1）．解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．6．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为π﹣（结果保留π）．解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．7．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝2．解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，则PB＝PC，P为△ABC的费马点，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝1，∴，∴，∴P A+PB+PC＝5；②如图：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，BC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，由旋转可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠P AP'＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P为△ABC的费马点，即B，P，P'，C'四点共线时候，P A+PB+PC＝BC'，∴P A+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案为：5，．8．（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．9．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC＝．故答案为．10．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，三．解答题（共12小题）11．（2021•吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．12．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．13．（2021•陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．14．（2021•吉林）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．15．（2021•大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC ＝EF．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．16．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．17．（2021•营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．18．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．答：旗杆AB的高度约为7m．19．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）解：在△ADC中，设AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x＝（16+x），解得：x＝8+8，∴AB＝2AD＝2×（8）＝16，∴钢索AB的长度约为（16）m．20．（2021•本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），答：无人机的高度AC是120米；21．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．22．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．。

江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为 ；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P 由点C 运动到点B 时，①当t ＝1时，S ＝ ；②S 关于t 的函数解析式为 ．（2）当点P 由点B 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S 关于t 的函数解析式及线段AB 的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t 1，t 2，t 3（t 1＜t 2＜t 3）对应的正方形DPEF 的面积均相等．①t 1+t 2＝ ；②当t 3＝4t 1时，求正方形DPEF 的面积．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ ， ）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m的值．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为 ；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为 ；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是 ；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是 ；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次函数的应用（共1小题）1．（2022•江西）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K 到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为　66　；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝，求基准点K的高度h；②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为　b＞　；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．【答案】（1）66；（2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由见解答过程．【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；（2）①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案为：b＞；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．二．二次函数综合题（共2小题）2．（2023•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系．初步感知（1）如图1，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝　3　；②S关于t的函数解析式为　S＝t2+2　．（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长．延伸探究（3）若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．①t1+t2＝　4　；②当t3＝4t1时，求正方形DPEF的面积．【答案】（1）①3；②S＝t2+2；（2）S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8），AB＝6；（3）①4；②正方形DPEF的面积为．【解答】解：（1）①当t＝1时，CP＝1，又∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝12+（）2＝3．故答案为：3；②当点P由点C运动到点B时，CP＝t，∵∠C＝90°，CD＝，∴S＝DP2＝CP2+CD2＝t2+（）2＝t2+2．故答案为：S＝t2+2；（2）由图2可得：当点P运动到点B处时，PD2＝BD2＝6，当点P运动到点A处时，PD2＝AD2＝18，抛物线的顶点坐标为（4，2），∴BC＝＝＝2，AD＝＝3，∴M（2，6），设S＝a（t﹣4）2+2，将M（2，6）代入，得4a+2＝6，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18，∴AC＝AD+CD＝3+＝4，在Rt△ABC中，AB＝＝＝6，CB+AC＝2+6＝8，∴抛物线的解析式为S＝t2﹣8t+18（2≤t≤8）；（3）①如图，则∠AHD＝90°＝∠C，∵∠DAH＝∠BAC，∴△ADH∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DH＝，AH＝4，∴BH＝2，DH＝CD，∵存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，∴DP1＝DP2＝DP3，∴CP1＝t1，P2H＝4﹣t2，在Rt△CDP1和Rt△HDP2中，，∴Rt△CDP1≌Rt△HDP2（HL），∴CP1＝HP2，∴t1＝4﹣t2，∴t1+t2＝4．故答案为：4；②∵DP 3＝DP 1，DH ＝DC ，∠DHP 3＝∠C ＝90°，∴Rt △DHP 3≌Rt △DCP 1（HL ），∴P 3H ＝CP 1，∵P 3H ＝t 3﹣4，∴t 3﹣4＝t 1，∵t 3＝4t 1，∴t 1＝，∴S ＝（）2+2＝．3．（2021•江西）二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：…B （﹣1，3）O （0，0）C （1，﹣1）A （ 2　，　0　）D （3，3）……B '（5，﹣3）O ′（4，0）C '（3，1）A ′（2，0）D '（1，﹣3）…①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L'是L 的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2时，图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当m＝﹣1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为　﹣3≤x≤﹣1　；②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y＝x2﹣2mx的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是　y＝ax2　（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m 的值．【答案】（1）①（2，0）；②所画图象见解答；（2）①﹣3≤x≤﹣1；②y＝ax2；③m＝±1．【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A中心对称，∴点A为BB′的中点，设点A（m，n），∴m＝＝2，n＝＝0，故答案为：（2，0）；②所画图象如图1所示，（2）①当m＝﹣1时，抛物线L：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向上，当x≤﹣1时，L的函数值随着x的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣（x+3）2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3时，L′的函数值随着x的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x的增大而减小，故答案为：﹣3≤x≤﹣1；②∵抛物线y＝x2﹣2mx的“孔像抛物线”是y＝﹣x2+6mx﹣8m2，∴设符合条件的抛物线M解析式为y＝a′x2+b′x+c′，令a′x2+b′x+c′＝﹣x2+6mx﹣8m2，整理得（a′+1）x2+（b′﹣6m）x+（c′+8m2）＝0，∵抛物线M与抛物线L′有唯一交点，∴分下面两种情形：i）当a′＝﹣1时，无论b′为何值，都会存在对应的m使得b′﹣6m＝0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；ii）当a′≠﹣1时，Δ＝（b′﹣6m）2﹣4（a′+1）（c′+8m2）＝0，即b′2﹣12b′m+36m2﹣4（a′+1）•8m2﹣4c′（a′+1）＝0，整理得[36﹣32（a′+1）]m2﹣12b′m+b′2﹣4c′（a′+1）＝0，∵当m取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m取值无关，∴，解得a′＝，b′＝0，c′＝0，则y＝x2，故答案为：y＝ax2；③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣（x﹣3m）2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），抛物线L与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A（2m，0），∴二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点时，有三种情况：i）直线y＝m经过M（m，﹣m2），∴m＝﹣m2，解得：m＝﹣1或m＝0（舍去），ii）直线y＝m经过N（3m，m2），∴m＝m2，解得：m＝1或m＝0（舍去），iii）直线y＝m经过A（2m，0），∴m＝0，但当m＝0时，y＝x2与y＝﹣x2只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，m＝±1．三．四边形综合题（共2小题）4．（2022•江西）综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF（∠P＝90°，∠F＝60°）的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．操作发现（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为　1　；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为　1　；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为　S1＝S　；类比探究（2）若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；拓展应用（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH＝α），将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示）．【答案】（1）1，1，S1＝S；（2）①证明见解析部分；②﹣1；（3）S2的最小值为tan，S2的最大值为1﹣tan（45°﹣α）．【解答】解：（1）如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，OE与OC重合，此时重叠部分的面积＝△OBC的面积＝正方形ABCD的面积＝1；当OF与BC垂直时，OE⊥BC，重叠部分的面积＝正方形ABCD的面积＝1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为S1＝S．理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON ⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM＝ON，∵∠OMB＝∠ONB＝∠B＝90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON＝∠EOF＝90°，∴∠MOJ＝∠NOK，∵∠OMJ＝∠ONK＝90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ＝S△ONK，∴S四边形OKBJ＝S正方形OMBN＝S正方形ABCD，∴S1＝S．故答案为：1，1，S1＝S．（2）①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT＝CT，∵BM＝CN，∴MT＝TN，∵OT⊥MN，∴OM＝ON，∵∠MON＝60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM＝CN，∠OCM＝∠OCN，OC＝OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM＝∠CON＝30°，∴∠OMJ＝∠COM+∠OCM＝75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM＝90°﹣75°＝15°，∵BJ＝JC＝OJ＝1，∴JM＝OJ•tan15°＝2﹣，∴CM＝CJ﹣MJ＝1﹣（2﹣）＝﹣1，∴S四边形OMCN＝2××CM×OJ＝﹣1．（3）如图4﹣1中，过点O作OQ⊥BC于点Q，当BM＝CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ＝OQ•tan＝tan，∴MN＝2MQ＝2tan，∴S2＝S△OMN＝×MN×OQ＝tan．如图4﹣2中，当CM＝CN时，S2最大．同法可证△COM≌△CON，∴∠COM＝α，∵∠COQ＝45°，∴∠MOQ＝45°﹣α，QM＝OQ•tan（45°﹣α）＝tan（45°﹣α），∴MC＝CQ﹣MQ＝1﹣tan（45°﹣α），∴S2＝2S△CMO＝2××CM×OQ＝1﹣tan（45°﹣α）．5．（2021•江西）课本再现（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与∠A相等的角是　∠DCE′　；类比迁移（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC互余，小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C作CE⊥DF于点E，连接AE，发现AD，DE，AE之间的数量关系是　AD2+DE2＝AE2　；方法运用（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，点O是△ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，＝2，求BD的长（用含m，n的式子表示）．【答案】（1）∠DCE′．（2）AD2+DE2＝AE2．（3）①证明见解析部分．②．【解答】（1）解：如图1中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCE′，故答案为：∠DCE′．（2）解：如图2中，∵∠ADC+∠ABC＝90°，∠CDE＝∠ABC，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2．故答案为：AD2+DE2＝AE2．（3）①证明：如图3中，连接OC，作△ADC的外接圆⊙O．∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点∴点O是△ADC的外心，∴∠AOC＝2∠ADC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，∠OAC＝∠ABC，∴2∠ADC+2∠ABC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝90°．②解：如图4中，在射线DC的下方作∠CDT＝∠ABC，过点C作CT⊥DT于T．∵∠CTD＝∠CAB＝90°，∠CDT＝∠ABC，∴△CTD∽△CAB，∴∠DCT＝∠ACB，＝，∴＝，∠DCB＝∠TCA∴△DCB∽△TCA，∴＝，∵＝2，∴AC：BA：BC＝CT：DT：CD＝1：2：，∴BD＝AT，∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°，DT＝n，AD＝m，∴AT＝＝＝，∴BD＝．四．圆的综合题（共1小题）6．（2021•江西）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解答；（2）①是菱形，理由见解答；②+π．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；（2）①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∵CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD，AC与围成阴影部分的面积为S△AOC+S扇形COD ＝S△ACD+S扇形COD＝××2×2+＝+π．五．相似形综合题（共1小题）7．（2023•江西）课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．定理证明（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．知识应用（2）如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）①证明见解答过程；②．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足为O，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD，∴▱ABCD是菱形．（2）①证明：∵▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝AD＝，由①知：四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位线，∴OG∥AD∥BE，∴△OGF∽△ECF，∴，又∵OG＝，CE＝4，∴．六．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•江西）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．（结果保小数点后一位）（1）连接CD，求证：DC⊥BC；（2）求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）证明过程见解答；（2）雕塑的高约为4.2m．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠B+∠ACB+∠ADC+∠ACD＝180°，∴2∠ACB+2∠ACD＝180°，∴∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝90°，∴DC⊥BC；（2）解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，在Rt△DCB中，∠B＝55°，BC＝1.8m，∴BD＝≈＝（m），∵DE＝2m，∴BE＝BD+DE＝（m），在Rt△BEF中，EF＝BE•sin55°≈×0.82≈4.2（m），∴雕塑的高约为4.2m．。

2021年江西省宜春市中考数学一模试卷一、选择题（共6小题）.1．下列四个数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣2C．D．02．下列计算正确的是（）A．3a2+a2＝4a4B．a2•a3＝a6C．2a2+3a3＝5a5D．（a2）3＝a63．如右图所示的是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．45．如图，直线y1＝﹣x+1与双曲线y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣2或0＜x＜3B．﹣2＜x＜0或x＞3C．x＜﹣2或0＜x＜3D．﹣2＜x＜36．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）二、填空题（共6小题，共18分）7．化简（x+y）（x﹣y）＝．8．某公益机构设立了网站接受爱心捐助，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已有大约2600000人献爱心，将“2600000”用科学记数法表示为．9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式αβ﹣4＝．10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点M、N处，若∠EFM＝2∠BFM，则∠EFC的度数为．11．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D在BC上，且DC＝2，点M在△ABC的边上，点F为MD的中点，则当BM＝2MD时，CF的长为．三、解答题（本大题共5小题，共30分）14．先化简，再求值：，其中a＝．15．为了准备2021年九年级物理、化学实验操作考试，某中学对九年级学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的实验操作题目，物理实验用①、②、③、④表示，化学实验用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）某位同学抽签的所有可能情况有种．（2）小明对物理的②④实验和化学的a、d实验的准备比较充分，请用画树状图或列表的方法求小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率．16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的中线BD；（2）在图2中，作一个以△ABC 的中线BD 为边的平行四边形BDEF ．17．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元． （1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？ 四、（本大题共3小题，共24分）18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝在第一象限内的图象交于点C ，CD ⊥x 轴，tan ∠BAO ＝，OA ＝4，OD ＝2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE 、AF ，如果S △BAF ＝4S △EFO ，求点E 的坐标．19．某学校共有学生2350名，学校为了解疫情期间学生对网课内容的喜欢程度，开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A 表示“很喜欢”，B 表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中提供信息，解决下列问题：（1）这次共抽取多少名学生进行统计调查？扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是多少？（2）将条形统计图补充完整．（3）估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？20．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，车轮半径为31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐垫F与点A的距离AF为13cm．（1）求坐垫F到地面的距离．（2）根据经验，当坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为85m，现将坐垫F调整至坐骑舒适高度位置F′，求FF′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）五、（本大题共2小题，共18分）21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．22．如图，已知抛物线L1：y1＝x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．六、（本大题共12分）23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形．探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB 的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．2021年江西省宜春市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下列四个数中，最小的数是（）A．﹣1B．﹣2C．D．0【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜，∴最小的数是﹣2，故选：B．2．下列计算正确的是（）A．3a2+a2＝4a4B．a2•a3＝a6C．2a2+3a3＝5a5D．（a2）3＝a6【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法等法则计算求解判断即可．【解答】解：A，3a2+a2＝4a2，故此选项不符合题意；B，a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项不符合题意；C，2a2+3a3≠5a5，故此选项不符合题意；D，（a2）3＝a2×3＝a6，故此选项符合题意；故选：D．3．如右图所示的是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．【解答】解：从左面看，是一个正方形，正方形的上边中点与正方形的右下角顶点用虚线连接．故选：C．4．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，进而证明∠BCF＝∠EFC，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理解答即可．【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，AE＝EC，∴∠BCF＝∠EFC，∵CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ECF，∴∠ECF＝∠EFC，∴EF＝EC＝AC＝2，故选：B．5．如图，直线y1＝﹣x+1与双曲线y2＝交于A（﹣2，a）、B（3，b）两点，则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞﹣2或0＜x＜3B．﹣2＜x＜0或x＞3C．x＜﹣2或0＜x＜3D．﹣2＜x＜3【分析】当y1＞y2时，x的取值范围就是y1的图象落在y2图象的上方时对应的x的取值范围．【解答】解：根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜3，故选：C．6．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）【分析】连接OB，证△AOB是等边三角形，得AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝AG＝，得B（，），C（，），E（，﹣），再由题意得P，Q第一次相遇地点的坐标在点C（，），第二次相遇地点在点E（，﹣），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），如此循环下去，即可求出第2021次相遇地点的坐标．【解答】解：连接OB，如图所示：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝AG＝，∴B（，），∴C（，），E（，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C（，），以此类推：第二次相遇地点在点E（，﹣），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），…如此下去，∵2021÷3＝673…2，∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，﹣），故选：C．二、填空题7．化简（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2．【分析】根据平方差公式求出即可．【解答】解：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，故答案为：x2﹣y2．8．某公益机构设立了网站接受爱心捐助，旨在推动社会和谐、发展公益慈善事业．据网站统计，目前已有大约2600000人献爱心，将“2600000”用科学记数法表示为 2.6×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：2600000＝2.6×106，故答案为：2.6×106．9．已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式αβ﹣4＝﹣5．【分析】利用根与系数的关系得到αβ＝﹣1，从而得到代数式αβ﹣4的值．【解答】解：根据题意得αβ＝﹣1，所以αβ﹣1＝﹣1﹣4＝﹣5．故答案为﹣5．10．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点M、N处，若∠EFM＝2∠BFM，则∠EFC的度数为72°．【分析】由折叠的性质得到∠EFM＝∠EFC，，根据已知角的关系求出所求即可．【解答】解：由折叠得：∠EFM＝∠EFC，∵∠EFM＝2∠BFM，∴设∠EFM＝∠EFC＝x，则有∠BFM＝x，∵∠MFB+∠MFE+∠EFC＝180°，∴x+x+x＝180°，解得：x＝72°，则∠EFC＝72°．故答案为：72°．11．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为240x＝150x+12×150．【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，据题题意：240x＝150x+12×150，故答案为：240x＝150x+12×15012．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D在BC上，且DC＝2，点M在△ABC的边上，点F为MD的中点，则当BM＝2MD时，CF的长为3或或．【分析】分点M在AB上、AC上、BC上三种情况，①当点M在AB上时，如图1，过点D作DM⊥BC交AB于M，根据勾股定理求出DF的长，由直角三角形的性质求出CF 的长．②当点M在BC上时，求出BM＝，MD＝，则可得出答案；③当点M在AC 上时，设CM＝x，由勾股定理求出x，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：∵DC＝2，BC＝6，∴BD＝4，①当点M在AB上时，如图1，过点D作DM⊥BC交AB于M，∵∠B＝30°，∴BM＝2MD，则MD＝BD•tan B＝4×＝，∵点F为MD的中点，∴DF＝DM＝，∴CF＝＝＝．②当点M在BC上时，∵BD＝4，BM＝2MD，∴BM＝，MD＝，∵点F为MD的中点，∴DF＝，∴CF＝CD+DF＝．③当点M在AC上时，如图2，设CM＝x，在Rt△CDM中，DM＝＝，在Rt△BCM中，BM＝＝，∵BM＝2MD，∴＝2，解得，x＝，∴MD＝＝，∵点F为MD的中点，∴CF＝DM＝．故答案为或或．三、解答题14．先化简，再求值：，其中a＝．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．【解答】解：＝[+]÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝﹣6．15．为了准备2021年九年级物理、化学实验操作考试，某中学对九年级学生进行了模拟训练，物理、化学各有4个不同的实验操作题目，物理实验用①、②、③、④表示，化学实验用字母a、b、c、d表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）某位同学抽签的所有可能情况有16种．（2）小明对物理的②④实验和化学的a、d实验的准备比较充分，请用画树状图或列表的方法求小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率．【分析】（1）画出树状图得出所有等可能的情况数即可；（2）共有16个等可能的结果，小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的结果有4个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：某位同学抽签的所有可能情况共16种．故答案为：16．（2）与树状图可知，共有16个等可能的结果，小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的结果有4个，则小明同时抽到两科都准备较充分的实验题目的概率为＝．16．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作△ABC的中线BD；（2）在图2中，作一个以△ABC的中线BD为边的平行四边形BDEF．【分析】（1）利用平行线等分线段定理取AC的中点D，连接DE即可．（2）取格点P，Q，连接PQ，取PQ的中点E，格点F，作四边形BDEF即可（答案不唯一）．【解答】解：（1）如图，线段BD即为所求作．（2）如图，四边形BDEF即为所求作（答案不唯一）．17．在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元．（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打八折；方案二，购买10瓶免洗手消毒液送5瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？【分析】（1）根据购买30瓶免洗手消毒液和60瓶84消毒液，共需花费930元，如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元； （2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a 元、b 元，，解得，即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元； （2）方案一的花费为：（15×100+8×60）×0.8＝1584（元）， 方案二的花费为：15×100+8×（60﹣100÷10×5）＝1580（元）， 1584﹣1580＝4（元），1584＞1580， 答：学校选用方案二更节约钱，节约4元．18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝在第一象限内的图象交于点C ，CD ⊥x 轴，tan ∠BAO ＝，OA ＝4，OD ＝2．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点E 是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E 作EF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OE 、AF ，如果S △BAF ＝4S △EFO ，求点E 的坐标．【分析】（1）由条件可求得点A 坐标及AD ，由tan ∠BAO ＝则可求得C 点坐标，代入反比例函数解析式可求得m 的值，可求得反比例函数解析式，把点A ，点C 坐标代入y＝kx+b求出一次函数的解析式；（2）设出E的坐标，从而可分别表示出△BAF和EDFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得E点坐标．【解答】解：（1）∵OA＝4，OD＝2，∴A（﹣4，0），D（2，0），∴AD＝OA+OD＝4+2＝6，∵∠BAO＝∠CAD，∴tan∠BAO＝tan∠CAD＝，∵tan∠CAD＝，∴CD＝tan∠CAD•AD＝×6＝3，∵D（2，0），CD⊥x轴，∴点C的坐标为C（2，3），∵一次函数y＝kx+b图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内交于点C，∴将A（﹣4，0），C（2，3）代入y＝kx+b中，联立可得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴将C（2，3）代入y＝中，可得：3＝，解得：m＝6，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设点E（﹣x，﹣），根据题意得，∵点E在第三象限，∴EF＝x，OF＝，∴S△EFO＝EF•OF＝x•＝3，∵由（1）可知一次函数的解析式为y＝x+2，又∵一次函数图象与y轴交于点B，∴令x＝0代入y＝x+2可得：y＝2，∴B（0，2），∴OB＝2，∴BF＝OB+OF＝2+，∴S△BAF＝BF•OA＝（2+）×4＝2（2+），∵S△BAF ＝4S△EFO，∴2（2+）＝4×3，解得：x＝，当x＝时，﹣＝﹣4，∴E（﹣，﹣4）．19．某学校共有学生2350名，学校为了解疫情期间学生对网课内容的喜欢程度，开展了一次网上问卷调查，随机抽取部分学生，按四个类别统计，其中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中提供信息，解决下列问题：（1）这次共抽取多少名学生进行统计调查？扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是多少？（2）将条形统计图补充完整．（3）估计该校表示“喜欢”的B类学生大约有多少人？【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得抽取总人数，用360°乘以D类所占的百分比，计算即可得解；（2）根据总数计算出A类的人数，然后再补图即可；（3）利用样本估计总体的方法计算即可．【解答】解：（1）抽取的学生总数：12÷24%＝50（人），扇形统计图中D类所在的扇形的圆形角度数是360°×＝64.8°；（2）A类学生人数：50﹣24﹣12﹣9＝5（人），补全统计图如下：（3）2350×＝1128（人），答：该校表示“喜欢”的B类学生大约有1128人．20．市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，车轮半径为31cm，∠ACD＝70°，AC＝62cm，坐垫F与点A的距离AF为13cm．（1）求坐垫F到地面的距离．（2）根据经验，当坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为85m，现将坐垫F调整至坐骑舒适高度位置F′，求FF′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin70≈0.94，cos70≈0.34，tan70≈2.75）【分析】（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；（2）根据坐垫F到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为85cm，求出CF′，进而求出FF′即可．【解答】解：（1）如图，过点F作FM⊥CD，垂足为M，根据题意可知，CE＝31cm，AC＝62cm，AF＝13cm，在Rt△FCM中，FM＝FC•sin∠ACM≈（62+13）×0.94＝70.5（cm），所以坐垫F到地面的距离为FM+CE＝70.5+31≈101.5（cm），答：坐垫E到地面的距离约为101.5cm；（2）如图，由题意得，当F′M′＝85×0.8＝68cm时，人骑行最舒服，在Rt△F′CM′中，CF′＝＝≈72.34（cm），所以FF′＝CF﹣CF′＝62+13﹣72.34≈2.7（cm），答：EE'的长约为2.7cm．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PC，AF，且满足∠PCA＝∠ABC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）证明：EF2＝4OD•OP；（3）若BC＝8，tan∠AFP＝，求DE的长．【分析】（1）先判断出PA＝PC，得出∠PAC＝∠PCA，再判断出∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，再判断出∠PCA+∠CAB＝90°，得出∠CAB+∠PAC＝90°，即可得出结论；（2）先判断出Rt△AOD∽Rt△POA，得出OA2＝OP•OD，进而得出EF2＝OP•OD，即可得出结论；（3）在Rt△ADF中，设AD＝2a，得出DF＝3a．OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4，最后用勾股定理得出OD2+AD2＝AO2，即可得出结论．【解答】（1）证明∵D是弦AC中点，∴OD⊥AC，∴PD是AC的中垂线，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°．又∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA+∠CAB＝90°，∴∠CAB+∠PAC＝90°，即AB⊥PA，∴PA是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知∠ODA＝∠OAP＝90°，∴Rt△AOD∽Rt△POA，∴，∴OA2＝OP•OD．又OA＝EF，∴EF2＝OP•OD，即EF2＝4OP•OD．（3）解：在Rt△ADF中，设AD＝2a，则DF＝3a．OD＝BC＝4，AO＝OF＝3a﹣4．∵OD2+AD2＝AO2，即42+4a2＝（3a﹣4）2，解得a＝，∴DE＝OE﹣OD＝3a﹣8＝．22．如图，已知抛物线L1：y1＝x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD＝2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，﹣3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC 的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；（3）可设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据PD＝2OC，列出方程即可求解．【解答】解：（1）设抛物线L2的解析式为y＝x2+bx+c，经过点A（﹣1，0），B（4，0），根据题意，得，解得∴抛物线L2的解析式为y＝x2﹣x﹣3．（2）△ABC的形状是等腰三角形．理由：根据题意，得C（0，﹣3），∵AB＝4﹣（﹣1）＝5，BC＝＝5，AC＝＝，∴△ABC的形状是等腰三角形．（3）存在PD＝2OC．设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据题意，得PD＝|a2﹣a﹣3﹣a2|＝|a+3|，OC＝3，当|+3|＝6时，解得a1＝，a2＝﹣4．∴P1（，﹣），P2（﹣4，18）．六、（本大题共12分）23．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是等补四边形．探究：（2）如图2，在等补四边形ABCD中，BA＝BC，连接BD，BD是否平分∠ADC？请说明理由．运用：（3）如图3，在等补四边形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分线交AB 的延长线于点E，AB＝20，CE＝10，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形对角互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；（2）过点B分别作BE⊥DC于点E，BF垂直DA的延长线于点F，证△ABF≌△CBE，得到BF＝BE，根据角平分线的判定可得出结论；（3）连接AC，先证∠BAD＝∠BCF，推出∠BCE＝∠BAC，再证△BCE∽△CAE，利用相似三角形对应边的比相等可求出BE的长．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴弧AD＝弧CD，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是等补四边形；（2）BD平分∠ADC，理由如下：过点B分别作BE⊥DC于点E，BF垂直DA的延长线于点F，如图：则∠AFB＝∠CEB＝90°，∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠C+∠BAD＝180°，又∠BAE+∠BAD＝180°，∴∠C＝∠BAF，∵AB＝BC，∴△ABF≌△CBE（AAS），∴BF＝BE，∴BD是∠ADC的平分线，即BD平分∠ADC；（3）连接AC，如图：∵四边形ABCD是等补四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，又∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠BAD＝∠BCF，∵CF平分∠BCF，∴∠BCE＝∠BCF，由（2）知，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠BAD，∴∠BCE＝∠BAC，又∠E＝∠E，∴△BCE∽△CAE，∴＝，∵AB＝20，CE＝10，∴＝，解得BE＝10﹣10（﹣10﹣10舍去），∴BE＝10﹣10．。

江西省景德镇市2020—2021年七年级上期中数学试卷含答案解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每题只有一个正确的选项）1．在下列各数中：1.3、﹣|﹣|、0、﹣1.、π，负有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（）A．0.675×105B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×1053．下面几个几何体，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．已知2x2+y=1，x2﹣xy=2，则3x2+y（1﹣x）﹣1=（）A．4 B．﹣1 C．3 D．25．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则那个正方体是（）A．B．C．D．6．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a、b的值分别为（）A．10、91 B．12、91 C．10、95 D．12、95二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．﹣5的相反数为．8．一件商品定价为a，成本为b，现决定打8折出售，则每件利润为．9．如图图形中，柱体为（请填写你认为正确物体的序号）．10．已知多项式x|m|+（m﹣2）x+8（m为常数）是二次三项式，则m3=．11．现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，假如向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数﹣6对齐，那么现在乙温度计与甲温度计数﹣4对齐的度数是．12．如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为．三、解答题（本大题共5小题，每小题各6分，共30分）13．运算：13.1+1.6﹣（﹣1.9）+（﹣6.6）．（2）化简：5xy﹣x2﹣xy+3x2﹣2x2．14．（6分）运算：（﹣ +1）•+﹣|（﹣1）3|÷．15．（6分）假如两个关于x、y的单项式2mx a y3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．（1）求a的值；（2）假如他们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2021的值．16．如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；（2）依照两种视图中尺寸（单位：cm），运算那个组合几何体的表面积．（π取3.14）17．（6分）一辆货车从百货大楼动身负责送货，向东走了4千米到达小明家，连续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？四、（本大题共4小题，每小题各8分，共32分）18．（8分）景德镇昌河汽车制造厂本周打算每日生产100辆北斗星小轿车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与打算量相比情形如表（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）星期一二三四五六日增减﹣5 +7 ﹣3 +4 +10 ﹣9 ﹣25依照记录回答：（1）本周生产了多少辆小轿车？（2）本周总生产量与打算量相比是增加了依旧减少了？增加或减少了多少辆？（3）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？19．（8分）完成下列各题．（1）比较大小：﹣0.11﹣0.1，﹣﹣（用“＞、＜或=”填空）；（2）在图1数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：2.5，﹣3，4，﹣1，0；（3）将（2）中的有理数填入图2中它所属于的集合圈内；（4）如图3，数轴上A、B、C、D四点对应的有理数分别是整数a、b、c、d并满足c﹣2a=7，且四个点中有一个是坐标原点．试问：坐标原点为哪个点？并给出你的理由．20．（8分）“囧”像一个人脸郁闷的表情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分），设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．（1）用式子表示“囧”的面积S；（用含a、x、y的式子表示）（2）当a=7，x=π，y=2时，求S（π取3.14）21．（8分）老师在黑板上写了个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如图﹣（a2b﹣2ab2）+ab2=2（a2b+ab2）．试问，老师用手捂住的多项式是什么？五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分）22．（10分）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．明白得：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范畴，最小值为；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值3（填写“≥、≤或=”）．六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）23．（12分）阅读明白得题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．1 ●○x 7 ﹣3 …（1）可知x=，●=，○=．（2）试判定第2021个格子中的数是多少？并给出相应的理由．（3）判定：前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（4）若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的如此的差值累加起来称为累差值．例如前三项的累差值为：|1﹣●|+|1﹣○|+|●﹣○|．则前三项的累差值为；若取前10项，那么前10项的累差值为多少？（请给出必要的运算过程）2021-2021学年江西省景德镇市七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每题只有一个正确的选项）1．在下列各数中：1.3、﹣|﹣|、0、﹣1.、π，负有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】有理数．【分析】找出各数中负有理数即可．【解答】解：负有理数有：﹣|﹣|，﹣1.，共2个，故选B【点评】此题考查了有理数，熟练把握负有理数的定义是解本题的关键．2．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示是（）A．0.675×105B．67.5×103 C．6.75×104 D．6.75×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：67500用科学记数法表示为：6.75×104．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下面几个几何体，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【分析】分别判定A，B，C，D的主视图，即可解答．【解答】解：A、主视图为正方形，故错误；B、主视图为圆，正确；C、主视图为三角形，故错误；D、主视图为长方形，故错误；故选：B．【点评】本题考查了几何体的三视图，解决本题的关键是得出各个几何体的主视图．4．已知2x2+y=1，x2﹣xy=2，则3x2+y（1﹣x）﹣1=（）A．4 B．﹣1 C．3 D．2【考点】代数式求值．【分析】将所求的式子化简，然后将条件式代入即可．【解答】解：∵2x2+y=1，x2﹣xy=2，∴2x2+y+x2﹣xy=3，∴3x2+y﹣xy=3原式=3x2+y﹣xy﹣1=2，故选（D）【点评】本题考查代数式求值，涉及去括号法则，整体的思想．5．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则那个正方体是（）A．B．C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】依照几何体的展开图先判定出实心圆点与空心圆点的关系，进而可得出结论．【解答】解：∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C符合题意．故选C．【点评】本题考查的是几何体的展开图，此类问题从实物动身，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．6．填在如图各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出a、b的值分别为（）A．10、91 B．12、91 C．10、95 D．12、95【考点】规律型：数字的变化类．【分析】分析前三个正方形，发觉“右上的数=左上的数+3，左下的数=左上的数+4，右下的数=右上的数×右下的数+1”，依此即可得出a、b、c的值．【解答】解：分析正方形中的四个数：∵第一个正方形中0+3=3，0+4=4，3×4+1=13；第二个正方形中2+3=5，2+4=6，5×6+1=31；第三个正方形中4+3=7，4+4=8，7×8+1=57．∴c=6+3=9，a=6+4=10，c=9×10+1=91．故选A．【点评】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系“右上的数=左上的数+3，左下的数=左上的数+4，右下的数=右上的数×右下的数+1”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照给定的正方形中的4个数，找出它们之间的关系是关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）7．﹣5的相反数为5．【考点】相反数．【分析】依照相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣5的相反数是5，故答案为：5．【点评】本题考查了相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．8．一件商品定价为a，成本为b，现决定打8折出售，则每件利润为0.8a﹣b．【考点】列代数式．【分析】依照题意能够用代数式表示出每件的利润，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，每件的利润为：0.8a﹣b，故答案为；0.8a﹣b．【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．9．如图图形中，柱体为①②③⑥（请填写你认为正确物体的序号）．【考点】认识立体图形．【分析】依照柱体的定义：一个多面体有两个面互相平行，余下的每个相邻两个面的交线互相平行，如此的多面体就为柱，据此即可判定．【解答】解：柱体有①②③⑥．故答案是：①②③⑥．【点评】本题考查了柱体的定义，明白得定义是关键．10．已知多项式x|m|+（m﹣2）x+8（m为常数）是二次三项式，则m3=﹣8．【考点】多项式；绝对值．【分析】依照已知二次三项式得出m﹣2≠0，|m|=2，求出即可．【解答】解：因为多项式x|m|+（m﹣2）x+8（m为常数）是二次三项式，可得：m﹣2≠0，|m|=2，解得：m=﹣2，m3=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了二次三项式的定义，关键是求出二次三项式．11．现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，假如向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数﹣6对齐，那么现在乙温度计与甲温度计数﹣4对齐的度数是10．【考点】数轴．【分析】先依照从度数12移动到度数﹣4，移动了16个单位长度，再依照度数12与乙温度计的度数﹣6对齐，即可得出答案．【解答】解：∵从度数12移动到度数﹣4，移动了16个单位长度，∵度数12与乙温度计的度数﹣6对齐，∴乙温度计与甲温度计数﹣4对齐的度数是16﹣6=10；故答案为：10．【点评】此题考查了数轴，把握温度计上点的特点是本题的关键，是一道基础题．12．如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为27或33或39．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字；有理数的加法．【分析】由已知可知这六个数中一定含有4、5、6、7，因此可得出这六个数字的所有情形，可求得答案．【解答】解：∵已知三个面上的数字为4、5、6，且六个面分别标着连续的整数，∴这六个数中一定含有4、5、6、7，∴这六个数字可能为2、3、4、5、6、7；或3、4、5、6、7、8；或4、5、6、7、8、9；当这六个数为2、3、4、5、6、7时，其和为2+3+4+5+6+7=27；当这六个数为3、4、5、6、7、8时，其和为3+4+5+6+7+8=33；当这六个数为4、5、6、7、8、9时，其和为4+5+6+7+8+9=39；故答案为：27或33或39．【点评】本题要紧考查有理数的加法，由条件确定出六个面上的数字是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题各6分，共30分）13．（1）运算：13.1+1.6﹣（﹣1.9）+（﹣6.6）．（2）化简：5xy﹣x2﹣xy+3x2﹣2x2．【考点】合并同类项；有理数的加减混合运算．【分析】依照运算法则和运算律即可求出答案．【解答】解：（1）原式=13.1+1.9+1.6﹣6.6=10．（2）原式=5xy﹣xy=4xy．【点评】本题考查有理数运算以及整式加减运算，属于基础题型．14．运算：（﹣ +1）•+﹣|（﹣1）3|÷．【考点】有理数的混合运算．【分析】原式先运算乘方及绝对值运算，再运算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=×+﹣×=﹣=0．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练把握运算法则是解本题的关键．15．假如两个关于x、y的单项式2mx a y3与﹣4nx3a﹣6y3是同类项（其中xy≠0）．（1）求a的值；（2）假如他们的和为零，求（m﹣2n﹣1）2021的值．【考点】合并同类项．【分析】（1）依照同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得答案；（2）依照单项式的和为零，可得单项式的系数互为相反数，依照互为相反数的和为零，可得m，n的关系，依照负数的偶数次幂是正数，可得答案．【解答】解：（1）依题意，得a=3a﹣6，解得a=3；（2）∵2mx3y3+（﹣4nx3y3）=0，故m﹣2n=0，∴（m﹣2n﹣1）2021=（﹣1）2021=1．【点评】本题考查了合并同类项，利用同类项是字母相同且相同字母的指数也相同得出关于a的方程是解题关键．16．（1）如图①是一个组合几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称；（2）依照两种视图中尺寸（单位：cm），运算那个组合几何体的表面积．（π取3.14）【考点】简单组合体的三视图；几何体的表面积．【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．（2）依照题目所给尺寸，运算出下面长方体表面积+上面圆柱的侧面积．【解答】解：（1）如图所示：；（2）表面积=2（8×5+8×2+5×2）+4×π×6=2（8×5+8×2+5×2）+4×3.14×6=207.36（cm2）．【点评】此题要紧考查了简单几何体的三视图，以及几何体的表面积，关键是把握三视图所看的位置．17．一辆货车从百货大楼动身负责送货，向东走了4千米到达小明家，连续向东走了1.5千米到达小红家，然后向西走了8.5千米到达小刚家，最后返回百货大楼．（1）以百货大楼为原点，向东为正方向，1个单位长度表示1千米，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置．（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）（2）小明家与小刚家相距多远？（3）若货车每千米耗油1.5升，那么这辆货车此次送货共耗油多少升？【考点】数轴．【分析】（1）依照已知，以百货大楼为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米一辆货车从百货大楼动身，向东走了4千米，到达小明家，连续向东走了1.5千米到达小红家，然后西走了8.5千米，到达小刚家，最后返回百货大楼，则小明家、小红家和小刚家在数轴上的位置可知．（2）用小明家的坐标减去与小刚家的坐标即可．（3）这辆货车一共行走的路程，实际上确实是4+1.5+8.5+3=17（千米），货车从动身到终止行程共耗油量=货车行驶每千米耗油量×货车行驶所走的总路程．【解答】解：（1）如图所示：（2）小明家与小刚家相距：4﹣（﹣3）=7（千米）；（3）这辆货车此次送货共耗油：（4+1.5+8.5+3）×1.5=25.5（升）．答：小明家与小刚家相距7千米，这辆货车此次送货共耗油25.5升．【点评】本题是一道典型的有理数混合运算的应用题，同学们一定要把握能够将应用问题转化为有理数的混合运算的能力，数轴正是表示这一问题的最好工具．如工程问题、行程问题等差不多上这类．四、（本大题共4小题，每小题各8分，共32分）18．景德镇昌河汽车制造厂本周打算每日生产100辆北斗星小轿车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与打算量相比情形如表（增加的辆数为正数，减少的辆数为负数）星期一二三四五六日增减﹣5 +7 ﹣3 +4 +10 ﹣9 ﹣25依照记录回答：（1）本周生产了多少辆小轿车？（2）本周总生产量与打算量相比是增加了依旧减少了？增加或减少了多少辆？（3）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆？【考点】正数和负数．【分析】（1）依照有理数的加法，可得答案；（2）有理数的减法，可得答案；（3）有理数的减法，可得答案．【解答】解：（1）100×7+（﹣5+7﹣3+4+10﹣9﹣25）=700+（﹣21）=679（辆）；（2）减少了，减少的辆数为：21（辆）；（3）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多（+10）﹣（﹣25）=35辆．答：本周生产了679辆小轿车，总生产量与打算量相比减少了21辆，生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多35辆．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加减法是解题关键．19．完成下列各题．（1）比较大小：﹣0.11＜﹣0.1，﹣＜﹣（用“＞、＜或=”填空）；（2）在图1数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：2.5，﹣3，4，﹣1，0；（3）将（2）中的有理数填入图2中它所属于的集合圈内；（4）如图3，数轴上A、B、C、D四点对应的有理数分别是整数a、b、c、d并满足c﹣2a=7，且四个点中有一个是坐标原点．试问：坐标原点为哪个点？并给出你的理由．【考点】有理数大小比较；数轴．【分析】（1）依照负数比较大小的法则进行比较即可；（2）在数轴上表示出各数，从左到右用“＜”连接起来即可；（3）依照有理数的分类进行解答即可；（4）假设A，B，C，D是原点，再依照c﹣2a=7作出判定即可．【解答】解：（1）∵|﹣0.11|=0.11，|﹣0.1|=0.1，0.11＞0.1，∴﹣0.11＜﹣0.1；∵|﹣|==，|﹣|=，＞，∴﹣＜﹣．故答案为：＜，＜；（2）如图，，故﹣3＜﹣1＜0＜2.5＜4；（3）；（4）假如A点是原点时，则a=0，c=4，不符合c﹣2a=7，故A点不可能是原点；假如B点是原点时，则a=﹣3，c=1，符合c﹣2a=7，故B点是原点；假如C点是原点时，则a=﹣4，c=0，不符合c﹣2a=7，故C点不可能是原点；假如D点是原点时，则a=﹣7，c=﹣3，不符合c﹣2a=7，故D点不可能是原点．故B点是原点．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．20．“囧”像一个人脸郁闷的表情．如图，边长为a的正方形纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案（阴影部分），设剪去的两个小直角三角形的两直角边长分别为x、y，剪去的小长方形长和宽也分别为x，y．（1）用式子表示“囧”的面积S；（用含a、x、y的式子表示）（2）当a=7，x=π，y=2时，求S（π取3.14）【考点】列代数式；代数式求值．【分析】（1）依照图形，用正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积，列式整理即可；（2）把x、y的值代入代数式进行运算即可得解．【解答】解：（1）S=a2﹣xy×2﹣xy=a2﹣2xy；（2）当a=7，x=π，y=2时，S=a2﹣2xy=72﹣2×π×2=49﹣12.56=36.44．【点评】考查了列代数式，代数式求值，解决问题的关键是读明白题意，找到所求的量的等量关系．关系为：“囧”的面积=正方形的面积减去两个直角三角形的面积和长方形的面积．21．老师在黑板上写了个正确的演算过程，随后用手捂住了其中一个多项式，形式如图﹣（a2b﹣2ab2）+ab2=2（a2b+ab2）．试问，老师用手捂住的多项式是什么？【考点】整式的加减．【分析】依照题意可知：该多项式为2（a2b+ab2）+（a2b﹣2ab2）﹣ab2【解答】解：设该多项式为A，∴A=2（a2b+ab2）+（a2b﹣2ab2）﹣ab2=3a2b﹣ab2，∴捂住的多项式为3a2b﹣ab2．【点评】本题考查多项式的加减运算，注意加减法是互逆运算．五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分）22．（10分）（2021秋•江西期中）阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|=|a﹣b|．明白得：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是6；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是|x+6| ；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范畴﹣2≤x≤1，最小值为3；（2）当x≤﹣2时，代数式|x﹣1|﹣|x+2|的值=3（填写“≥、≤或=”）．【考点】绝对值；数轴．【分析】明白得：（1）依照数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；（2）依照数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；应用：（1）|x﹣1|+|x+2|的最小值，意思是x到﹣2的距离与到1的距离之和最小，那么x应在﹣2和1之间的线段上；（2）先运算绝对值，再合并同类项即可求解．【解答】解：明白得：（1）数轴上表示2和﹣4的两点之间的距离是﹣2﹣（﹣4）=6；（2）数轴上表示x和﹣6的两点A和B之间的距离是|x+6|；应用：（1）当代数式|x﹣1|+|x+2|取最小值时，相应的x的取值范畴﹣2≤x≤1，最小值为3；（2）∵x≤﹣2，∴|x﹣1|﹣|x+2|=﹣x+1+x+2=3．故答案为：6；|x+6|；﹣2≤x≤1，3；=．【点评】本题要紧考查了数轴和绝对值，把握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，绝对值是正数的数有2个．六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）23．（12分）（2021秋•江西期中）阅读明白得题：如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．1 ●○x 7 ﹣3 …（1）可知x=1，●=7，○=﹣3．（2）试判定第2021个格子中的数是多少？并给出相应的理由．（3）判定：前n个格子中所填整数之和是否可能为2021？若能，求出n的值，若不能，请说明理由；（4）若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到差值，而后将所有的如此的差值累加起来称为累差值．例如前三项的累差值为：|1﹣●|+|1﹣○|+|●﹣○|．则前三项的累差值为20；若取前10项，那么前10项的累差值为多少？（请给出必要的运算过程）【考点】规律型：数字的变化类；绝对值．【分析】（1）依照题意，归纳总结得到所求数字即可；（2）由题中的规律确定出所求即可；（3）由得出的规律确定出n的值即可；（4）求出前三项的累差值，并求出前10项的累差值即可．【解答】解：（1）依照题意得：x=1，●=7，○=﹣3；（2）由于表格中的数是1，7，﹣3，1，7，﹣3，…循环，而2021能被3所整除，故第2021个数为﹣3；（3）∵1+7+（﹣3）=5，而2021=5×403+1，故n=403×3+1=1210；（4）20；由于前10个数中1显现了4次，而7与﹣3个显现了3次，∴前19项的累差值=|1﹣7|×4×3+|1﹣（﹣3）|×4×3+|7﹣（﹣3）|×3×3=210．故答案为：（1）1，7，﹣3；（4）20【点评】此题考查了规律型：数字的变化类，以及绝对值，弄清题中的规律是解本题的关键．。

2021年江西省南昌市中考数学一调试卷一、选择题（共6小题）.1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝5x C．x+y＝5D．y＝2．下列环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2＝44．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．25．下列关于反比例函数y＝（k＜0）的说法中，正确的是（）A．双曲线在第一、第三象限B．当x＞0时，函数值y＞0C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G．设矩形ABCD的面积为S，则下列结论不正确的是（）A．AG：GE＝2：1B．BG：GH：HD＝1：1：1C．S1+S2+S3＝S D．S2：S4：S6＝1：3：4二、填空题（共6小题）.7．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．8．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值．9．若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于．10．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2），点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为．11．如图，反比例函数y＝（k≠0）图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若△ACB的面积为6，则k的值为．12．已知关于x的函数y＝x2﹣2|x|﹣a2﹣2a的图象与x轴只有两个公共点，则a的取值范围是．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．解方程：x2+10x+16＝0．14．已知y﹣1与x成反比例，当x＝1时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式．15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．16．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．17．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．18．某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是．（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约30km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过10km/h．（1）求v关于t的函数关系式．（2）李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度v．20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．（1）视线∠ABD的度数为．（用含a的式子表示）（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等的点叫做这个图象上的“不动点”．已知抛物线y＝x2﹣2x，记为x轴的两交点中的右侧交点为M．（1）抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标为．（2）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点是抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”，求新抛物线的解析式并说明具体的平移过程．（3）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B同时也是该新抛物线的“不动点”．若△OBM是以OB为腰的等腰三角形，求△OBM的面积．六、（本大题共12分）24．已知EF为⊙O的一条弦，OB⊥EF交⊙O于点B，A是弦EF上一点（不与E，F重合），连接BA并延长交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D．（1）如图1，若EF在圆心O的上方，且与OB相交于点H，求证：△ACD是等腰三角形．（2）如图2，若EF是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的半径为4，求线段DC的长．（3）如图3，若EF在圆心O的下方，且与BO的延长线相交于点H，试判断线段DA，DE，DF之间的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝5x C．x+y＝5D．y＝解：A、y＝是反比例函数，故此选项合题意；B、y＝5x是正比例函数，故不符合题意．C、x+y＝5是二元一次方程，故此选项不合题意；D、y＝是正比例函数，故不合题意；故选：A．2．下列环保标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．下列方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣x﹣2＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2＝4解：A、∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣2＝0有两个不相等的实数根；B、∵△＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，∴一元二次方程x2﹣x+1＝0没有实数根；C、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴一元二次方程x2﹣4x+4＝0有两个相等的实数根；D、∵方程x2＝4的解为x＝±2，∴一元二次方程x2＝4有两个不相等的实数根；故选：B．4．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若弦AB＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．2解：连接OA，设OA＝OC＝r．∵弦AB垂直平分半径OC，∴OE＝OC＝r，AE＝BE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理得：r2＝（r）2+（）2，解得r＝2或﹣2（舍弃）．故选：D．5．下列关于反比例函数y＝（k＜0）的说法中，正确的是（）A．双曲线在第一、第三象限B．当x＞0时，函数值y＞0C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小解：A、k＝＜0，图象在第二、四象限内，故错误；不符合题意．B、若x＞0，则y＜0，故错误；不符合题意．C、k＝＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法正确，符合题意；D、k＝＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，不合题意；故选：C．6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G．设矩形ABCD的面积为S，则下列结论不正确的是（）A．AG：GE＝2：1B．BG：GH：HD＝1：1：1C．S1+S2+S3＝S D．S2：S4：S6＝1：3：4解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴，即AG：GE＝2：1；故A正确；∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故B正确；∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故C正确；由C可知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故D错误；故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）．解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．8．若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值8或8±2．解：当a＝b时，由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±，∴a+b＝8±2；当a≠b时，a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8．故答案为8或8±2．9．若正多边形的一个中心角为40°，则这个正多边形的一个内角等于140°．解：∵正多边形的一个中心角为40°，∴360°÷40°＝9，∴这个正多边形是正九边形，∴这个正九边形的一个内角等于：＝140°．故答案为：140°．10．如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为（﹣4，2），点E的坐标为（﹣1，1），则这两个正方形位似中心的坐标为（2，0）．解：连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，∵点A的坐标为（﹣4，2）点E的坐标为（﹣1，1），∴OF＝1，OB＝4，EF＝1，AB＝2，∵正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，∴EF∥AB，∴△HEF∽△HAB，∴＝，即＝，解得：OH＝2，∴点H的坐标为（2，0），故答案为：（2，0）．11．如图，反比例函数y＝（k≠0）图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若△ACB的面积为6，则k的值为﹣6．解：连接OA，∴CO＝BO，∴△AOC的面积＝△AOB的面积＝×6＝3，又∵A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故答案为﹣6．12．已知关于x的函数y＝x2﹣2|x|﹣a2﹣2a的图象与x轴只有两个公共点，则a的取值范围是a＜﹣2或a＞0或a＝﹣1．解：由x2﹣2|x|﹣a2﹣2a＝0可得：|x|＝﹣a或a+2，当﹣a＝a+2，即a＝﹣1时，符合题意；当﹣a与a+2异号，即a＜﹣2，或a＞0时，符合题意．故答案为：a＜﹣2或a＞0或a＝﹣1．三、（本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．解方程：x2+10x+16＝0．解：x2+10x+16＝0，（x+2）（x+8）＝0，x+2＝0，x+8＝0，x1＝﹣2，x2＝﹣8．14．已知y﹣1与x成反比例，当x＝1时，y＝﹣5，求y与x的函数表达式．解：设y﹣1＝，根据题意得﹣5﹣1＝k，解得k＝﹣6，∴y﹣1＝﹣，即y＝．15．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC．【解答】证明：∵AC2＝AD⋅AB，∴AC：AB＝AD：AC．又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．16．如图，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝6π，解得r＝3，设扇形AOB的半径为R，则，解得R＝9，∴圆锥的侧面积＝．17．如图，在正方形ABCD中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图①中，将线段AB绕点O逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点B与点C重合，作出点O的位置．（2）在图②中，E为AB的中点，将△ABD绕点D逆时针旋转某个角度，得到△CFD，使DA与DC重合，作出△CFD．解：（1）如图所示，点O即为所求．（2）如图所示，△CFD即为所求．18．某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温石林会议召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是．（2）杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．解：（1）杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是，故答案为：；（2）画树状图如图：共有12个等可能的结果，杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的结果有2个，∴杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率为＝．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约30km，设小汽车的行驶时间为t（单位：h），行驶速度为v（单位：km/h），且全程速度限定为不超过10km/h．（1）求v关于t的函数关系式．（2）李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度v．解：（1）∵vt＝30，且全程速度限定为不超过100km/h，∴v关于t的函数关系式为（t≥0.3）．（2）∵20分钟＝小时，∴t＝，将代入，得：v＝90，∴小汽车行驶速度v是90km/h．20．我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．（1）视线∠ABD的度数为2α．（用含a的式子表示）（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可）解：（1）连接BD，∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，∴AB⊥PM，∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α，∵AE＝DE，BE⊥AD，∴AB＝BD，∴∠ABE＝∠DBE，∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α，故答案为：2α；（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，由题意得AB＝250cm，AD＝100cm，则AE＝50cm，∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，∴△ACD∽△BEA，∴＝，∴＝，∴CD＝20（cm），∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm；（3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM．21．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DE＝BC，⊙O的半径为2，求线段EA的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB，∴CD＝CB．∵，∴．∵AD∥OC，∴．∵⊙O的半径为2，∴，∴．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．如图，直线y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点，已知点A（m，4），B（n，2），AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．（1）求m，n的值及反比例函数的解析式．（2）结合图象，当k1x+b≤时，直接写出自变量x的取值范围．（3）若P是x轴上的一个动点，当△ABP的周长最小时，求点P的坐标．解：（1）∵点A（m，4），B（n，2）在反比例函数的图象上，∴k2＝4m＝2n，即n＝2m．∵DC＝3，∴n﹣m＝3，∴m＝3，n＝6，∴点A（3，4），点B（6，2），∴k2＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为．（2）当k1x+b≤时，自变量x的取值范围是0＜x≤3或x≥6．（3）如图，作点B关于x轴的对称点F（6，﹣2），连接AF交x轴于点P，此时△ABP 的周长最小．设直线AF的解析式为y＝kx+a，把A（3，4），点F（6，﹣2）代入得，解得，∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，当y＝0时，x＝5，∴点P的坐标为（5，0）．23．在平面直角坐标系xOy中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等的点叫做这个图象上的“不动点”．已知抛物线y＝x2﹣2x，记为x轴的两交点中的右侧交点为M．（1）抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标为（0，0），（3，3）．（2）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点是抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”，求新抛物线的解析式并说明具体的平移过程．（3）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B同时也是该新抛物线的“不动点”．若△OBM是以OB为腰的等腰三角形，求△OBM的面积．解：（1）令x2﹣2x＝x，解得，x＝0或x＝3，∴抛物线上的不动点为（0，0），（3，3）；故答案为：（0，0），（3，3）．（2）当新抛物线的顶点的坐标为（0，0）时，新抛物线的解析式为y＝x2，此时将抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得到；当新抛物线的顶点的坐标为（3，3）时，新抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+3，此时将抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1先向右平移2个单位，再向上平移4个单位可得到．（3）过点B作BH⊥x轴于点H，如图1，令x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，∴M（2，0）．如图1，当OB＝BM时，∵B（a，a），∴∠BOM＝∠BMO＝45°．∵OM＝2，∴BH＝1，∴＝1．如图2、图3，当OB＝BM时，OB＝OM＝2，∴，∴＝．六、（本大题共12分）24．已知EF为⊙O的一条弦，OB⊥EF交⊙O于点B，A是弦EF上一点（不与E，F重合），连接BA并延长交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D．（1）如图1，若EF在圆心O的上方，且与OB相交于点H，求证：△ACD是等腰三角形．（2）如图2，若EF是⊙O的直径，AB＝2，⊙O的半径为4，求线段DC的长．（3）如图3，若EF在圆心O的下方，且与BO的延长线相交于点H，试判断线段DA，DE，DF之间的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：连接OC，如图：∵过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D，∴OC⊥DC，∴∠DCA＝90°﹣∠ACO∵OB＝OC，∴∠ACO＝∠B，∴∠DCA＝90°﹣∠B，∵OB⊥EF，∴∠BAH＝90°﹣∠B，∴∠DCA＝∠BAH，又∵∠DAC＝∠BAH，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴△ACD是等腰三角形．（2）连接OC，如图：∵过点C作⊙O的切线交EF的延长线于点D，∴OC⊥DC，∴∠AOB＝90°，∵，⊙O的半径为4，∴AO＝＝2，由（1）可得DA＝DC，设DC＝x，则DA＝x，OD＝x+2，∴在Rt△OCD中，OC2+DC2＝OD2，∴42+x2＝（x+2）2，∴x＝3，即线段DC的长为3．（3）线段DA，DE，DF之间的数量关系为DA2＝DE⋅DF，理由如下：连接CF，CE，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GF，如图：∵DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝90°﹣∠OCB＝90°﹣∠HBA．又∵∠BAH＝90°﹣∠HBA，∠CAD＝∠BAH，∴∠DCA＝∠CAD，∴DA＝DC．∵CG是⊙O的直径，∴∠CFG＝90°，∴∠CED＝∠CGF＝90°﹣∠GCF．又∵∠DCF＝90°﹣∠GCF，∴∠CED＝∠DCF．又∵∠D＝∠D，∴△CDF∽△EDC，∴，∴DC2＝DE•DF，∴DA2＝DE•DF．。

中等学校招生考试数学试题卷 (参考答案与解析)满分：120分 时间：120分钟一、选择题：本大题共6个小题,每小题3分,共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.-3的倒数是（ ）A ．3B ．-3C ．13-D ．13【解析】-3的倒数为31-，故选C2.下列计算正确的是（ ）A ．325a a a += B ．32a a a -= C ．326a a a ⋅= D ．32a a a ÷=【解析】由于3a 和2a 不是同类项，故A ，B 选项均错误，同底指数幂相乘，底数不变指数相加，故C 选项正确答案应为52323a aa a ==⋅+，D 选项正确，故答案为D3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50175亿元，比上年增长8.74%，将50175亿用科学记数法表示为（ ）A ．115.017510⨯B ．125.017510⨯C ．130.5017510⨯D ．140.5017510⨯ 【解析】50175亿即为数字5017500000000，根据科学记数法应写为a ×10N ，（1≤|a |＜10），N 为小数点移动的位置，可得5.0175×1012.故应选B4.如图，1265,335︒︒∠=∠=∠=，则下列结论错误的是（ ）A ．//AB CD B ．30B ︒∠= C ．2C EFC ∠+∠=∠ D ．CG FG > 【解析】由∠1=∠2=65°，可得内错角相等，两直线平行，故A 选项正确，∠3和∠BFE 互为对顶角，∠∠BFE=35°，∠1为∠BEF 的外角，∠∠1=∠BFE+∠B ，可得∠B=30°，故B 选项正确.∠EFC 为∠CFG 的外角，∠∠EFC=∠C+∠CGF ，故C 选项错误.因为在∠CGF 中，∠CFG ＞∠C ，∠CG ＞FG ，故D 选项正确，所以本题答案为C 5.如图所示，正方体的展开图为（ ）【解析】根据平面展开图的定义可得A 选项为正确选项，故选A6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB ∆向右上方平移，得到'''Rt O A B ∆，且点'O ，'A 落在抛物线的对称轴上，点'B 落在抛物线上，则直线''A B 的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+ C ．12y x =+ D ．2y x =+ 【解析】将抛物线322--=x x y 配方可得4)1(2--=x y ，∠对称轴为直线1=x ，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为)0,3(),0,1(-，∠B （3,0）与y 轴交点)3,0(-A ，∠OA=3，OB=4根据平移的规律可得3==''OB B O 且1='O x ，∠4='B x ，代入抛物线可得5='B y ，直线AB 的解析式为3-=x y ，根据AB ∠B A ''可得直线B A ''的解析式为m x y +=，再将)5,4(B '代入可得1=m ，∠直线B A ''的解析式为1+=x y ，故选B二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分）7.计算：2(1)a -= ．【解析】根据差的完全平方公式展开得122+-a a ，故答案为122+-a a8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为 ． 【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据acx x =21，可得212-=⋅x ，∠另外一根为-2，故答案为-29.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是 ．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2510.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下统计：位数字的众数为 ．【解析】由于9出现的次数为14次，频数最多，∠众数为9，故答案为911.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=，则BAE ∠的度数为 ．【解析】CD=CB ，∠ACD=∠ACB ，CA=CA ，∠∠CAD∠∠CAB ，∠∠B=∠D ，设∠ACB=α，∠B=β，则∠ACD=α，∠D=β，∠EAC 为∠ACD 的一个外角，∠︒=+49βα，在∠ABC 中有内角和为180°，∠︒=∠++180BAC βα，∠∠BAC=131°，∠∠BAE=∠BAC -∠EAC=82°，故答案为82°12.矩形纸片ABCD ，长8cm AD =，宽4cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30角时，AE 的长为 厘米.【解析】当∠ABE=30°时，则∠A EB '=︒='∠30BC A ，在Rt∠ABE 中，tan∠ABE=33=AB AE ，∠此时 33430tan =︒=AB AE . 当∠AEB=30°时，此时在Rt∠ABE 中，tan∠AEB=33=AE AB ，∠34=AE 当∠︒='30ED A 时，过A '作AB 的平行线交AD 于F ，BC 于G ，∠︒='∠=∠90E A B A ， ∠230sin =︒'=B A BG ，设x AE =，则x E A ='，∠x E A EF 2330cos =︒'=在矩形ABGF 中，AF=BG ，∠223=+x x ，解得348-=x ，此时348-=AE 故答案为：334或34或348- 三、解答题：本大题共5个小题,每小题6分,共30分.13.（1）计算：21(1|2|2-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭ （2）解不等式组：32152x x -≥⎧⎨->⎩【解析】 原式=2)21(121+- 解不等式∠，得1≥x =341=+- 解不等式∠，得3<x ∠原不等式组的解集是31<≤x14.先化简，再求值：221111x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中x = 【解析】 原式=xx x x x x x 1)1)(1(1)1)(1(2+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+ =x x x x x x 1)1)(1()1(2+⋅-++-=xx x x x x 11)1)(1(1=+⋅-+- ∠2=x ，∠原式=22211==x 15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试.（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率. 【解析】 （1）41（2）根据题意画出树状图如下：由树状图可得所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等“其中两位同学均来自八年级”的结果共有2种，∠P （两位同学均来自八年级）=61122= 16.如图，在正方形网格中，ABC ∆的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）. （1）在图1中，作ABC ∆关于点O 对称的'''A B C ∆；（2）在图2中，作ABC ∆绕点A 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的'''A B C ∆.【解析】作图如下：17. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元.（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明. 【解析】（1）设笔芯x 元/支，笔记本y 元/本，依题意可得,2671923⎩⎨⎧=+=+y x y x 解得,53⎩⎨⎧==y x答：笔芯3元/支，笔记本5元/本.（2）方法一：合买笔芯，合算. ∠整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元 ∠小贤和小艺可一起购买整盒笔芯 ∠共可节约：0.5×10=5元.∠小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，∠他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品. 方法二：合买笔芯，单算.∠整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∠小贤和小艺可一起购买整盒笔芯. ∠小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3 ∠他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品.四、本大题共3个小题,每小题8分,共24分.18. 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，顶点A ，B 都在反比例函数(0)ky x x=>的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=，OA =（1）求反比例函数的解析式； （2）求EOD ∠的度数.【解析】：（1）∠AD∠x 轴，∠AOD=45°，OA=22，∠2==OD AD .∠A （2,2） ∠点A 在反比例函数图象上，∠422=⨯=k ，∠xy 4= （2）∠∠ABC 为直角三角形，点E 为AB 的中点， ∠AE=CE=EB ，∠AEC=2∠ECB ，∠AB=2OA ，∠AO=AE. ∠∠AOE=∠AEO=2∠ECB.∠∠ACB=90°，AD∠x 轴，∠BC∠x 轴. ∠∠ECB=∠EOD ，∠∠AOE=2∠EOD.∠∠AOD=45°， ∠∠EOD=31∠AOD=︒=︒⨯15453119. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）复学一个月后，根据第二次测试的数学成绩得到如下统计表：（1）m = ；（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用一句话概述）； （3）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有 人，至多有 人；（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数. 【解析】（1）14.（2）对比前一次测试优秀学生的比例大幅提升； 对比前一次测试学生的平均成绩有较大提高； 对比前一次测试学生成绩的众数、中位数增大. （3）20,34 （4）32050614800=+⨯答：该校800名八年级学生数学成绩优秀得人数是320人20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120mm AB =，支撑板长80mm CD =，底座长90mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40mm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕点D 转动.（结果保留小数点后一位） （1）若80DCB ︒∠=，60CDE ︒∠=，求点A 到直线DE 的距离；（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度.（参考数据：sin 400.643,cos 400.766︒︒≈≈，tan 400.839︒≈,sin 26.60.448≈,cos 26.60.894,tan 26.60.500︒︒≈≈ 1.732≈）【解析】（1）如图1，过点C 作CH∠DE 于点H. ∠CD80，∠CDE=60°，∠sin60°=2380==CH CD CH ， ∠28.69732.140340≈⨯≈=CH作AM∠DE 于点M ，CN∠AM 于点N.∠MN=CH=340，∠NCD=∠CDE=60° ∠∠DCB=80°，∠∠ACN=180°-80°-60°=40°. ∠sin∠ACN=,80,=AC ACAN∠AN=80sin40°≈80×0.643≈51.44. ∠AM=AN+NM≈51.44+69.28≈120.7mm.（2）解法一：∠AB 绕着点C 逆时针旋转10°，∠∠DCB=90°.如图2，连接BD. ∠DC=80，CB=40.∠tan∠CDB=4080BC CD ==0.5.∠∠CDB≈26.6°.∠∠BDE≈60°-26.6°=33.4° 答：CD 旋转的度数约为33.4°解法二：当点B 落在DE 上时，如图3在Rt∠BCD 中，BC=40，CD=80（∠DCB=90°，同解法一） ∠tan∠CDB=4080BC CD ==0.5.∠∠CDB≈26.6 ∠∠CDC '=∠BDC '-∠BDC=60°-26.6°=33.4° 答：CD 旋转的度数约为33.4°五、本大题共2个小题,每小题9分,共18分.21. 已知MPN ∠的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，圆O 的半径为r .（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，80MPN ∠=，求ACB ∠的度数；（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，APB ∠的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交圆O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.【解析】（1）如图1，连接OA，OB.∠PA，PB为∠O的切线，∠∠PAO=∠PBO=90°.∠∠AOB+∠APB=180°.∠∠APB=80°∠∠AOB=100°，∠∠ACB=50°（2）如图2，当∠APB=60°时，四边形APBC为菱形.连接OA，OB.由（1）可知∠AOB+∠APB=180°.∠∠APB=60°，∠∠AOB=120°.∠∠ACB=60°=∠APB.∠点C运动到PC距离最大，∠PC经过圆心.∠PA，PB为∠O的切线，∠四边形APBC为轴对称图形.∠PA=PB，CA=CB，PC平分∠APB和∠ACB.∠∠APB=∠ACB=60°，∠∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°∠PA=PB=CA=CB.∠四边形APBC为菱形（3）∠∠O的半径为r，∠OA=r，OP=2r∠AP =，PD r =，∠∠AOP=60°，∠601803AD r r l ππ==弧∠=1)3AD C PA PD l r π++=+阴影弧 22. 已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ；（2）求抛物线的表达式及,m n 的值；（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为'P ，描出相应的点'P ，再把相应的点'P 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？（4）设直线y m =（2m >-）与抛物线及（3）中的点'P 所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为1A ，2A ，3A ，4A ，请根据图象直接写出线段1A ，2A ，3A ，4A 之间的数量关系 .【解析】（1）上；直线1x =（2）由表格可知抛物线过点（0，-3）.∠23y ax bx =+-将点（-1,0），（2，-3）代入，得304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩解得12a b =⎧⎨=-⎩，∠223y x x =-- 当2x =-时，2(2)2(2)35;m =--⨯--=当1x =时，212134n =-⨯-=-（3）如图所示，点P '所在曲线是抛物线.（4）34121A A A A -=六、本大题共12分.23. 某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ；推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.【解析】（1）123;S S S +=（2）成立；∠∠1=∠2=∠3，∠D=∠E=∠F ，∠∠ABD∠∠CAE∠∠BCF. ∠22122233,.S S AB AC S BC S BC ==∠221223.S S AB AC S BC++=∠∠ABC 为直角三角形 ∠222AB AC BC +=.∠1231S S S +=，∠123S S S +=，∠成立. （3）过点A 作AH ∠BP 于点H.∠∠ABH=30°，AB=3,60AH BH BAH ==∠=︒.∠∠BAP=105°，AP =，BP=BH+PH=3∠(33222ABP BP AH S ∆⋅===.连接PD.∠2PE ED ==，∠33PE ED AP AB ====. ∠.PE ED AP AB=又∠∠E=∠BAP=105°，∠ABP∠∠EDP.∠∠EPD=∠APB=45°，3BD PE BP AP ==.∠∠BPD=90°，1PD =∠2311()3232BPD ABP S S ∆∆+=⋅=⋅= 连接BD.∠3)(1322BPD PB PD S ∆⋅+===.∠tan∠PBD=3PD BP =，∠∠PBD=30°.∠∠ABC=90°，∠ABC=30°，∠∠DBC=30° ∠∠C=105°，∠∠ABP∠∠EDP∠∠CBD.∠S ∠BCD =S ∠ABP +S ∠EDP =31222+=. ∠S 五边形ABCDE =S ∠ABP +S ∠EDP +S ∠BCD +S ∠BPD+=2)3)7。

2022年江西省中考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. （3分）下列各数中，负数是（）A. -1B. 0C. 2D.V22. （3分）实数。

，人在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中,正确的是（ ）0 bA. a>bB. a — bC. a<bD.3. （3分）下列计算正确的是（ ）A. nr 'nt = ntB.--n) = -m + nC. m{in + n) = nr +n D . (m + n)2 =nr +n4. （3分）将字母“C ”，“H"按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ）A. 910 C. 11B. D. 125. （3分）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）—HB.D.6. （3分）甲、乙两种物质的溶解度），（g ）与温度F （ C ）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（5040302010甲,乙弓 t/°CA. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大C. 当温度为0 C 时，甲、乙的溶解度都小于20gD. 当温度为30°C 时，甲、乙的溶解度相等二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. （3分）因式分解：疽一3〃=.8. （3分）正五边形的外角和为 度.9. （3分）关于*的方程^+2x+k = 0有两个相等的实数根，则R 的值是 —.10. （3分）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为 —.11. （3分）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为—.①②12. （3分）已知点A 在反比例函数y = — （x>0）的图象上，点3在］轴正半轴上，若△048x为等腰三角形，且腰长为5,则旭的长为三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （6 分）（1）计算：|-2|+>/J-2°；（2）解不等式组:2x<63x > -2x + 514. （6分）以下是某同学化简分式（话-土），己的部分运算过程:解：原式=[--------------①(x + 2)(x-2) x + 2 3=[—---------------—]x# ②(x + 2)(x-2) (X4- 2)(x-2) 3x +\ — x — 2 x — 2=------------------x -------(3)(x + 2)(x-2) 3解：（1） 上面的运算过程中第—步出现了错误；（2） 请你写出完整的解答过程.15. （6分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁 4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.（1） “随机抽取I 人，甲恰好被抽中”是—事件；A . 不可能B. 必然C. 随机（2） 若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率.16. （6分）如图是4x4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.（1）在图1中作NABC 的角平分线；（2 ）在图2中过点C 作一条直线使点A, B 到直线/的距离相17.（6分）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ZACD=ZABE.（1）求证：AABCs^AEB；（2）当AB=6,AC=4时，求位的长.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18.（8分）如图，点A（mA）在反比例函数y=-（x>0）的图象上，点8在），轴上，OB=2,x将线段M向右下方平移，得到线段CD,此时点C落在反比例函数的图象上，点。