人教A版（2019）高中数学必修一集体备课有效策略研究

第一章集合与函数概念1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义[目标] 1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．[重点] 用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．[难点] 集合元素特性的应用.知识点一元素与集合的含义[填一填]1．定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[答一答]1．以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；(4)不超过2 019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过 2 019的非负数”，即“0≤x≤2 019”与“x<0或x>2 019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合．2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系[填一填]如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.[答一答]3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1∈A,5∉A.知识点三常用数集及表示[填一填][答一答]4．常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而N*或N＋不包括元素0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N 可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．＋5．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1∈N *；(2)－3∉N ；(3)13∈Q ；； (5)－12∈R.类型一 集合的概念[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运动员． [答案] (1)(4)(5)[解析] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合； (3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D ) A ．3的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2018年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性[例2]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[分析]本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.[变式训练2](1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．－2C．6D．2解析：(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.命题视角2：集合元素的无序性[例3] 集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a ＋b ，a ，若A ，B 两个集合相等，求a 2 019＋b 2 019的值．[分析] 由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求a 2 019＋b 2 019的值．[解] 由两个集合相等易知a ≠0，a ≠1，故a ＋b ＝0，且b ＝1或ba ＝1.若b ＝1，由a ＋b ＝0得a ＝－1，经验证，符合题意；若ba ＝1，则a ＝b ，结合a ＋b ＝0，可知a ＝b ＝0，不符合题意．综上知a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋12 019＝0.两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.[变式训练3] 集合A 由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a ，b ∈A ，那么ab 的不同值有( B )A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个解析：a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值．类型三 元素与集合的关系[例4] (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[答案] (1)B (2)0,1,2[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3|＝3是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x≥0，且x ≠3，故0≤x <3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2. 当x ＝0时，63－0＝2∈N ，当x ＝1时，63－1＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.[变式训练4] 已知不等式3x ＋2>0的解集为M . (1)试判断元素－1,0与集合M 的关系；(2)若a －1是集合M 中的元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0， ∴－1不是集合M 中的元素，∴－1∉M . 又3×0＋2＝2>0，∴0是集合M 中的元素，∴0∈M . (2)∵a －1∈M ，∴3(a －1)＋2>0. ∴3a >1，∴a >13.1．下列各组对象不能构成集合的是( B ) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是( C )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，a ∉N *，故②错误；若a ∈N *，则a 的最小值是1，同理，b ∈N *，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( B )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．4．集合A 由元素－1和2构成，集合B 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，若A ＝B ，则a ＋b ＝－3.解析：∵A ＝B ，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是－1或2. ∴a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.5．已知集合A 由a 2－a ＋1，|a ＋1|两个元素构成，若3∈A ，求a 的值． 解：∵3∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或|a ＋1|＝3. ①若a 2－a ＋1＝3，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，|a ＋1|＝3，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当a ＝－1时，|a ＋1|＝0≠3，满足题意． ②若|a ＋1|＝3，则a ＝－4或a ＝2(舍去)． 当a ＝－4时，a 2－a ＋1＝21≠3，满足题意． 综上可知a ＝－1或a ＝－4.——本课须掌握的三大问题1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N ，N *(N ＋)，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．学习至此，请完成课时作业1第2课时集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点] 集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二 描述法[填一填]1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[答一答]4．集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[答案] (1)B (2)见解析[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点,(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1] 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x －7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5， 所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *.类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．该集合也可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8.(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}．(3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：由题x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3．集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}． 解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n ，4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．学习至此，请完成课时作业2 学科素养培优精品微课堂 “形似异质”的集合的表示开讲啦 集合的类型有多种形式，可以是数集、点集、图形集或是其他类型的集合，判断它是哪种类型的集合主要根据代表元素的类型来判断．[典例] 有下面三个集合：①A ＝{x ∈R |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y ∈R |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R ，y ∈R }．它们是不是相同集合，为什么？[分析] 分析各集合中代表元素是哪种类型以及对各元素所具有的属性作出判断． [解] 对于集合A ，其代表元素为x ，x 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围，因为函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围是R ，故A ＝R ；对于集合B ，其代表元素为y ，y 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1的函数值y ，故B ＝{y |y ≥1}；对于集合C ，其代表元素为(x ，y )，它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1图象上的点．综上所述，集合A 、B 、C 是不同的集合．[名师点评] 理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理解．认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它要满足什么条件，以此确定集合中元素的组成部分．[对应训练] 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)整数集Z ＝{x |x ＝n ＋1，n ∈Z }．( √ ) (2){y |y ＝x 2}≠{x |y ＝x }．( × )(3)两条直线y ＝2x 与y ＝x －1的交点构成集合M ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2xy ＝x －1，则M ＝N .( √ )(4)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ，y ∈N *}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)}．( × )解析：(1)整数集是个无限集，x ＝n ＋1，n ∈Z 能表示任意一个整数，所有的整数也能写成这种形式，故(1)正确．{y |y ＝x 2}表示通过计算y ＝x 2得到的所有y 值的集合，也可以理解为二次函数y ＝x 2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即{y |y ＝x 2}表示非负实数集；{x |y ＝x }表示满足y ＝x 的所有x 的取值集合，因此x 可以取任意非负实数，即{x |y ＝x }表示非负实数集．两者表示的数集完全一样，故(2)错误．集合N 是一个点集，描述集合M 采用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确．集合M 是由满足x ＋y ＝4，且x ，y 均为正整数的x ，y 构成的点集，易知M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，故(4)错误.1.1.2 集合间的基本关系[目标] 1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．[重点] 集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．[难点] 集合间的关系及应用．知识点一子集的有关概念[填一填]1．Venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．2．子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．(2)符号语言：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)图形语言：用Venn图表示．3．真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(B A)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．“”与“<”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．4．如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A⊆B且B⊆A.知识点二空集[填一填]不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，∅，{∅}有何区别？提示：知识点三子集、真子集的性质[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(2)任何一个集合是它自身的子集，即A⊆A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C可得A⊆C；(5)对于集合A，B，C，由A B，B C可得A C.[答一答]6．(1)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若A B，B⊆C呢？(2)若∅A，则A≠∅对吗？提示：(1)A C.(2)对．类型一确定集合的子集、真子集[例1](1)已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：12n数及非空真子集的个数呢？[解](1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(2)}的所有子集的个数是212n是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.[变式训练1]试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.解：因为∅M{0,1,2}．所以M为{0,1,2}的非空真子集．所以M中的元素个数为1或2，当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．类型二集合间关系的判断及应用命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系[例2](1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B[答案](1)C(2)D[解析](1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M N.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．判断两集合关系的步骤：(1)先对所给集合进行化简.(2)搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.[变式训练2]指出下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系[例3]能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的()[答案] B[解析]N＝{0,1}M.用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.[变式训练3] 已知集合A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }，集合A 与非空集合B 的关系如图所示，则满足条件的集合B 的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }＝{0,1}，又B A ，且B 为非空集合，∴B 可以为{0}或{1}．故选B.命题视角3：利用数轴理解集合间的关系[例4] 已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析． [解] 集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素， 即B 中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.在数轴上表示集合A 与B 时要注意，端点处都是空心点，所以当－m4＝－2时，集合B 为{x |x <－2}，仍满足A ⊇B .这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.[变式训练4] 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若A B ，则集合A 中的元素都在集合B 中，且B 中有不在A 中的元素，则a >2.(2)若B ⊆A ，则集合B 中的元素都在集合A 中，则a ≤2.因为a ≥1，所以1≤a ≤2.1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则有( B )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：正方形是邻边相等的矩形．2．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则( B ) A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．M ，N 的关系不确定解析：由题意，得N ＝{0,1}，故N M .3．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有5个．解析：∵A{1,2,3}，∴A 中至多含有2个元素．∵A 中至少有一个奇数，∴A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是a ≤14.解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即方程x 2－x ＋a ＝0有解，∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.5．已知集合B ＝{－1,0,1}，若A ⊆B ，试写出所有满足条件的集合A . 解：当A ＝∅时，满足条件；当A 是单元素集合时，满足条件的集合A 有{－1}，{0}，{1}；当A 是含两个元素的集合时，满足条件的集合A 有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}； 当A 是含三个元素的集合时，满足条件的集合A 为{－1,0,1}．故满足条件的集合A 有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．——本课须掌握的三大问题1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：∅和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A ⊆B 类问题时， 需分类讨论A ＝∅与A ≠∅两种情况．3．要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B 且B ⊆A 成立即可．即可设任意x 0∈A ，证明x 0∈B 从而得出A ⊆B .又设任意y 0∈B ，证明y 0∈A ，从而得到B ⊆A ，进而证明得到A ＝B .。

2．2基本不等式（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；22a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式；【情感态度价值观目标】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：2a b+≤的证明过程；教学难点：12a b +≤等号成立条件；22a b+≤求最大值、最小值．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：我们知道，通过研究特殊的多项式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊的不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?今天我们就来研究这个问题．问题1：在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式222a b ab + ．特别地，我们限制0a >，0b >a b 、2a b+，你能证明这一不等式吗?【破解方法】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象．环节二、抽象概念，内涵辨析1．基本不等式问题2：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗?【破解方法】学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1）只要证a b +≥（2）要证（2），只要证a b +-≥0（3）要证（3），只要证（-）2≥0（4）显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立．【归纳新知】对公式2a b+≥的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．22a b+≤的几何意义问题32a b+≤的几何意义是什么？【破解方法】如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =，BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD ．易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =．这个圆的半径为2a b +，它大于或等于CD ，即2a b+≥，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．32a b+≤求最大（小）值问题4：怎样利用基本不等式求最大（小）值？【破解方法】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．环节三：例题练习，巩固理解题型一：对基本不等式的理解及简单应用【例1】下列不等式中等号可以取到的是（）A2≥B ．221222x x ++≥+C ．2212x x +≥D ．1||32||3x x ++≥+【答案】C【解析】对于A 0>2≥=，当且仅当24x =-，故等号不成立，故A 不符合；对于B ，因为220x +>，所以221222x x ++≥=+，当且仅当22122x x +=+，即21x =-，故等号不成立，故B 不符合；对于C ，因为20x >，所以2212x x +≥=，当且仅当221x x =，即1x =±时取等号，故C 符合；对于D ，因为30x +>，所以1323x x ++≥=+，当且仅当133x x +=+，即2x =-，故等号不成立，故D 不符合．故选：C ．【对点训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A ．0,0)2a ba b +≥>>B ．220,0)a b a b +≥>>C ．20,0)aba b a b>>+D ．0,0)2a b a b +≤>>【答案】D【解析】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===，又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，在Rt OCF 中，可得2222222222a b a b a bFC OC OF -++⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号．故选：D ．题型二：利用基本不等式比较大小【例2】若0a b >>，有下面四个不等式：（1）22a b >；（2）2b aa b+>，（3）a b ab +<，（4）33a b <．则不正确的不等式的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】因为0a b >>，所以22a b <，33a b >成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为0a b ab +<<，所以（3）正确；,a bb a都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C【对点训练2】若01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +，2ab ，22a b +中最大的一个是．【答案】a b +/b a+【解析】01a <<，01b <<，a b ¹，则a b +>2>ab ，22a b a b +>+，综上所述：最大的一个是a b +．故答案为：a b+题型三：利用基本不等式证明不等式【例3】已知,a b 是实数．（1）求证：22222a b a b +≥--，并指出等号成立的条件；（2）若1ab =，求224a b +的最小值．【解析】（1）证明：因为2222(222)222a b a b a b a b +---=+-++22(1)(1)0a b =-++≥，所以22222a b a b +≥--，当且仅当1a =，1b =-时，不等式中等号成立．（2）22224(2)2(2)44a b a b a b ab +=+≥⋅⋅==，当且仅当2a b =，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以224a b +的最小值为4．【对点训练3】已知000a b c >>>，，，求证222a b c ab bc ca ++≥++．【解析】∵222a b ab + ，①222b c bc + ，②222c a ac + ，③①+②+③得；222222222a b c ab bc ac ++++ ．∴222a b c ab bc ca ++++ （当且仅当a b c ==等号成立）．题型四：利用基本不等式求最值【例4】已知x 、y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S ．【解析】因为x 、y都是正数，所以2x y+≥（1）当积xy 等于定值P时，2x y+≥=，所以x y +≥，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，和x y +有最小值（2）当和x y +等于定值S22x y S +≤=，所以214xy S ≤，当且仅当x y =时，上式等号成立．于是，当x y =时，积xy 有最大值214S ．【对点训练4】某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m ．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低（设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ）？最低总造价是多少？【解析】 要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为33200m 立方米，深为2m 设蓄水池池底的相邻两边边长分别为x ，y ，∴由体积为33200m 可知：23200xy =∴1600xy =，设总造价为z ．又1501600120(44)z x y =⨯++ ，240000480()z x y ∴=++，∴240000480278400z ≥+⨯=，当且仅当，40x y ==时，上式成立，此时278400z =．∴将蓄水池的池底设计成边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是278400元．环节四：小结提升，形成结构问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：（1）你能归纳一下基本不等式的研究过程吗?（2）你对基本不等式有哪些认识?特别是，其中体现了哪些数学思想方法?（3）处理两类最值问题（积定求和的最小值，和定求积的最大值），需要注意哪些问题?【破解方法】（1）我们遵循“背景一概念一性质一应用”的研究路径，将重要不等式变形获得基本不等式，并对其正确性进行推理论证，再对其结构特点和几何意义进行探究，最后在应用中获得基本不等式模型处理问题的方法．（2）从代数角度看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的大小关系，从几何角度看，基本不等式反映了圆中直径与弦长的大小关系．在推导过程中，灵活运用分析法和综合法；在几何解释中，通过构造与发现提升直观想象素养．（3）在处理两类最值时，要注意是否符合“一正、二定、三相等”这一结构特点，以模型的意识去看待和应用基本不等式．六、【教学成果自我检测】环节五：目标检测，检验效果1．（2023·湖北鄂州·高一校联考期中）设x ∈R ，则“0x >2>”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C2>能推出0x >，故必要性成立，当0x >时，取1x =2=2>，故充分性不成立，所以“0x >2”的必要不充分条件，故选：C ．2．（2023·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为a ，b ，1的长方体．现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（）A ．116B ．18C ．14D ．12【答案】C【解析】依题意2ab =，设新长方体高为h ，则(1)(2)2a b h ++=，得到22221(1)(2)224284h a b ab a b a b =====+++++++，当且仅当2a b =，即1,2a b ==时取等号，所以h 的最大值为14．故选：C ．3．（2023·甘肃武威·高一天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）已知2x >，则42x x +-的最小值为（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由2x >知，20x ->，所以44222622x x x x +=-+≥=--，当且仅当422x x -=-时，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6．故选：A4．（2023·全国·高一专题练习）如果0a b <<，那么下列不等式正确的是（）A 2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C 2a ba b +<<<D ．2a ba b+<<<【答案】B【解析】由已知0a b <<2a b+<，因为0a b <<，则22a ab b <<，2a b b +<，所以a b <，2a bb +<，∴2a ba b +<<．故选：B5．（2023·天津武清·高一校考阶段练习）已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12a b+的最小值为（）A ．92B ．9C ．D【答案】B【解析】因为121222()(2)559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当22b a a b =，即1313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以12a b+的最小值为9．故选：B ．6．（多选题）（2023·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为4的有（）A ．224y x x =+B ．92y x x=+-C．y =D ．()1111y x x x =++>-【答案】AD【解析】对于A，2244y x x =+≥=，当且仅当224x x =，即x =min 4y =，故A 正确；对于B ，取=1x -，则124y =-<，故B 不正确；对于C，2y =≥=1x =时，等号成立，故min y 不是4，故C 错误．对于D ，因为1x >，所以110,01x x ->>-，故有基本不等式可得()112241y x x =+-+≥+=-，当且仅当111x x =--，即2x =时等号成立，故D 正确．故选：AD【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容．环节六：布置作业，应用迁移作业1：教科书第48页习题2．2第1、2、4、5题．【设计意图】掌握集合的表示方法，巩固本节课的知识点．七、【教学反思】。

【新教材】3.1.2 函数的表示法（人教A版）课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．课程目标1、明确函数的三种表示方法；2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.数学学科素养1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式；2.逻辑推理：由条件求函数解析式；3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算；4.数据分析：利用图像表示函数；5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。

重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、 预习课本，引入新课阅读课本67-68页，思考并完成以下问题1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？2.函数的各种表示法各有什么特点？3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

高中数学必修1是高中阶段的数学基础课程，它不仅包含了初中阶段所学的数学知识，更是高中阶段数学学科的基石。

高中数学必修1教学的重要性不可忽视。

如何有效地教授这门课程？以下将探讨一些有效的教学策略。

一、前置知识回顾在进行新知识的教学之前，必须先回顾学生的前置知识。

回顾前置知识有助于激发学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解新知识的概念和性质。

回顾前置知识还可以帮助学生找到新知识与已知知识的联系，从而更好地掌握新知识。

二、例题讲解针对每一个新的知识点，都应该有相应的例题来进行讲解。

通过举一些简单易懂的例题，讲解新知识点的概念和性质。

同时在讲解时也要结合实际例子，让学生能够对概念和性质达到深刻的理解和记忆。

除了简单的例题之外，也可以通过讲解一些难度适当的综合例题来帮助学生更好地掌握新知识。

三、巩固练习教师在讲完新知识之后还要安排作业，作业既可以是基础练习，也可以是难度适当的拓展练习。

基础练习可以帮助学生加深对概念和性质的理解和记忆，提高解题能力。

难度适当的拓展练习则可以让学生更好地掌握概念和性质在实际问题中的应用。

教师还可以引导学生进行复习，让他们主动分析所学知识点的重点，从而达到掌握知识的效果。

四、举一反三高中数学必修1的课程内容非常丰富，每个知识点都包含了很多深度的思考和应用。

在教学过程中，教师应该引导学生通过举一反三的思考方式去探求更多的问题和应用。

通过将一个已知的问题推广到其他问题上，可以引导学生针对具体的问题进行思考和探究，让他们能够更好地理解和掌握新知识。

五、引导思维高中数学必修1的教学不仅仅注重知识点的掌握，更要注重培养学生的思维能力。

在教学过程中，教师应该引导学生学习一些数学思维方法和技巧。

例如，推理、归纳、演绎等等。

通过让学生练习这些思维方法，可以提高学生的思维能力，使他们更好地理解和掌握数学知识。

六、互动交流教师在教学过程中应该秉持互动交流的理念，与学生进行积极的互动。

在课堂上，教师可以采用问答交互的方式，让学生更好地理解和掌握知识点。

高中数学人教A版《必修1》教材的教学建议新疆维吾尔自治区启动新课程改革已经快七年时间了，作为新课程教学实践的先行者，笔者从2008年7月开始接触高中数学人教A版教材，从最初的学习培训、理解，到深入研究，再到最后使用新教材进行教学实践快七年时间了，在这段时间的教学实践中，笔者付出了许多艰辛的努力，经过许多尝试，也走了一些弯路，总结出了一些在教学中行之有效的宝贵经验，希望能对即将担任高一年级数学课教学的教师有所帮助，使他们能准确地把握课改方向，顺利进入新课程教学之中，从而有效地提高教学效果，促进学生数学综合能力的不断提高.下面就高中数学人教A版《必修1》教材谈谈自己的几点教学体会.一、做好初高中的衔接与过渡初高中的衔接问题一直是高中数学教学的一个基本而又重要的问题.处理得当，高中数学教学就会进展顺利；否则，就有可能影响整个高中数学教学.进入新课程实验以来，由于种种原因，这个问题显得更加突出.处理好初高中的衔接问题是搞好高中数学教学的第一个环节.那么，在具体的教学过程中应该注意哪些问题？1）注意初高中知识点的衔接问题初中新课程中数学知识点去掉了很多要求，如“和的立方、差的立方”公式，“立方和、立方差”公式，“韦达定理”，“十字相乘法分解因式”，“一元二次不等式的解法”等.虽然初中新课程对这些知识点不作要求，但是从高中数学教学的实践来看，学生掌握了这些知识点对学习新的知识有一定的促进作用.因此，建议教师可根据学生和教学的实际情况，做适当的补充，以有利于后期的教学.2）? 学生思维能力和运算能力的进一步强化初中新课程的内容倾向于基础性、普及性、应用性和直观性，学生的实践能力很强，但学生的数学思维能力有所欠缺，尤其是抽象思维能力较弱，这对高中数学学习的影响很大.因此，教师要逐渐培养学生的抽象思维能力.同时，由于初中大量使用计算器，学生的计算能力很弱，这与高中数学要求学生要有较强的化简、变形、推理及运算能力有一定的差距.从教学的实践来看，学生作业中出现的大量错误与计算能力较弱有很大关系.因此，建议教师可根据学生的实际情况，从高一开始就要切实提高学生的运算能力.3）? 抓住高中数学学科特点，做好顺利过渡高中数学知识量大，理论性、综合性强，知识的难度和对学生能力的要求和初中相比都有较大的提高（如“集合”、“映射”、“函数”等都比较抽象，难度大，“函数”等知识综合性较强）.学好高中数学需要学生具有较强的阅读能力、运算能力、逻辑推理能力、抽象思维能力及分析问题、解决问题的综合能力，这与初中数学知识点较少，难度较低形成较大的反差.因此教师要能够根据实际情况及时调整教学方法和教学过程，使学生能顺利进入高中并能尽快适应高中的数学学习.二、深入钻研新教材的内容及教法，对新教材的内容及新的教学理念要有整体的把握新教材在知识内容、知识体系等方面与旧教材有较大的区别.新教材删掉了旧教材的一些知识点，同时增加了许多新的内容（如《必修1》中增加了“幂函数”、“利用二分法求方程的近似解”等内容）.这些新的知识点一些教师并不是非常熟悉.因此，教师要先对教材内容进行深入的研究，教学时才能做到游刃有余.在教学过程中同一学科组的老师可以经常对教材的有关内容进行沟通与交流，互相取长补短，资源共享，共同提高教学效果.三、充分利用计算机辅助教学，提高课堂教学效果人教A版教材的每册课本都配有教学光盘，其中有许多较好的教学课件，这些课件有助于教师进行课堂教学.因此，教师在授课前要对教学光盘里的有关内容有所了解，在教学中可根据教学的实际情况，有选择的使用教学光盘，提高教学效果.四、把新教材作为一种教学资源进行教学新教材体现了课程改革的新理念和课改方向.但是，由于种种原因，新教材的有些内容还需要进行必要的修订和完善.这些内容主要涉及到课本中的一些例题及练习题.通过一年多的教学实践，笔者觉得教师在使用教材进行教学时，应当注意“使用课本进行教学”，而又不能“完全地教课本”.应当把新教材作为一种教学资源来进行教学，对课本的有些内容要做灵活的处理，尤其是对课本中的有些习题可以做适当的调整.要有选择的为教学服务，必要时可适当地给学生补充一些典型的练习题，以巩固学生所学的有关知识.五、边实践边总结，不断提高教学效果教师在教学中要不断总结教学过程中的得与失，经验与教训，把教学中的体会和感受及时地与其他教师进行交流和沟通，互相取长补短.同一备课组的教师应当定期进行研讨，及时解决教学中遇到的有关问题，不断调整教学内容和教学进度，以有利于教学效果的提高.同时，因为新教材内容多，课时少，学生对所学的知识浅尝辄止，缺少必要的应用，知识掌握不到位，容易产生遗忘现象.因此，教师在教学过程中要对有关知识进行及时地归纳总结，必要时可安排复习和测验等形式，以帮助学生及时巩固所学知识.由于与新教材相配套的参考书较少，因此教师要注意研究和编写章节复习题、测验题等有关内容，也可借鉴上一年级教师整理的教学资料.同时，要注意整理和保存这些资料，以有利于下一年级教师的教学.总之，与旧教材相比，高中数学人教A版《必修1》教材在教学理念、知识体系以及对学生的能力要求等许多方面与旧教材有很大的不同.教师在教学中如果能注意到这些不同之处，在对新教材充分理解的基础上，把握新课程改革的教育教学理念，与时俱进，科学合理地使用新教材进行教学，那么就一定能激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学的巨大魅力，从而爱数学，学数学，用数学.如果这样的话，教师的教学效果将会得到不断提高，学生的学习成绩将会不断提高，学生的分析问题、解决问题的能力将不断增强，新课程的改革也必将走向成功.。

数学学科高一年级有效集体备课模式探究的阶段性报告彩虹学校王春莉一．问题的提出：高中一年级的学生处于学习模式的转型期。

教师的教学方式与学生们在从小学到初中时形成的习惯相比，也发生了新的变化。

能否使学生迅速适应新的学习方式，对于师生双方来说意义重大。

要解决这个问题，以集体备课为基础的有效教学是一条行之有效的方法。

我认为，做好集体备课是新课程改革下的必不可少的一个重要环节。

集体备课作为教师合作研讨的一种有效形式，可以发挥教师团队优势，解决教学中遇到的困惑和问题，最大限度地减少教学中的不足和失误，能够真正实现有效教学。

实际上，集体备课是集体的智慧在交流，大家在一起集体讨论，集思广益，每个人都受益匪浅，促进个人更好的提高教学水平。

此外，集体备课可最大限度的挖掘集体智慧，避免随意性，发挥团队效应，有利于教学水平的整体提升。

集体备课既能给教师相互合作，取长补短，又能提供施展才能的平台，有利于整体提高教师的业务水平，更有利于青年教师的迅速成长，即缩短了年轻教师的成长周期。

二．实施的步骤：学校教学教研要依靠备课组具体实施。

备课组要统一行动，讨论交流，合作共进。

备课工作重点是对课程、教材和教法、学法的研讨。

集体备课是我校实行的一项制度。

根据实行的实际情况，有这么几步：首先是个人先备。

根据考纲，教材，考试说明，先做学情分析，教学设计。

对重点难点的突破和顺应、立体的设计和变式训练、数学思想和方法的运用、知识的广度和深度、能力的增长点、问题的呈现方式、问题解决的活动设计以及问题的迁移等问题要一并考虑。

其次是集体备课。

每人都说明自己的设计意图，然后根据三维教学目标，同组讨论，指出不足和改进的地方，要突出新旧知识的关联，实现顺应和同化，建立知识教学结构，使学生整体把握教材的知识和方法。

要充分体现集体参与，群策群力，在教研中不断提升自己。

第三是上课。

教师根据自己的班级学情实施教学过程，可作微调，但要完成教学任务。

第四是教后反思。

新教材】2019 统编人教版高中数学A 版必修一教学计划（含教材分析培优补差等）XX 高级中学高一数学组XXX2019统编人教版高中数学A版必修1 教学计划高一年级学生的自主学习能力较差，问题很多。

有些学生解方程、解不等式甚至连分数的加减法都不会。

这给教学工作带来了一定的难度，要想在这个基础上把教学搞好，任务很艰巨。

所以特制定如下教学工作计划。

一、指导思想准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，立足于基础知识和基本技能的教学，注重渗透数学思想和方法。

针对学生实际，不断研究数学教学，改进教法，指导学法，奠定立足社会所需要的必备的基础知识、基本技能和基本能力，着力于培养学生的创新精神，运用数学的意识和能力，奠定他们终身学习的基础。

二、教学准备1、深入钻研新教材。

以教材为核心，深入研究教材中章节知识的内外结构，熟练把握知识的逻辑体系，细致领悟教材改革的精髓，逐步明确教材对教学形式、内容和教学目标的影响。

2、准确把握新大纲。

新大纲修改了部分内容的教学要求层次，准确把握新大纲对知识点的基本要求，防止自觉不自觉地对教材加深加宽。

同时，在整体上，要重视数学应用；重视数学思想方法的渗透。

如增加阅读材料（开阔学生的视野），以拓宽知识的广度来求得知识的深度。

3 、树立以学生为主体的教育观念。

学生的发展是课程实施的出发点和归宿，教师必须面向全体学生因材施教，以学生为主体，构建新的认识体系，营造有利于学生学习的氛围4、发挥教材的多种教学功能。

用好章头图，激发学生的学习兴趣；发挥阅读材料的功能，培养学生用数学的意识；组织好研究性课题的教学，让学生感受社会生活之所需；小结和复习是培养学生自学的好材料。

5、落实课外活动的内容。

组织和加强数学兴趣小组的活动内容。

三、教学内容第一部分：集合与常用逻辑用语1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式（共2课时）（第1课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第1课时。

从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识及三角形相似的知识、圆的相关知识，会用作差比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数与几何的角度理解基本不等式。

引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的结合运用，培养数学结合的思想观点，发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养。

1.教学重点：的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；2.教学难点：基本不等式ab ba ≤+2等号成立条件； 多媒体2a b+≤教学过程教学设计意图 核心素养目标 （一）、情景导学如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。

弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系． 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （二）、探索新知1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形A BCD 中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边 长为a,b （a ≠b ）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时， 正方形EFGH 缩为一个点，这时有．（通过几何画板演示当a=b 时的图像）2．得到结论（重要不等式）：一般的，对于任意实数a,b ，我们有，当且仅当a=b 时，等号成立。

3．思考证明：你能给出它的证明吗？（设计意图：证明：因为，当且仅当a=b 时等号成立通过介绍第24届国际数学家大会会标 的背景，进行设问，引导学生观察分析，发现图形中蕴藏的基本不等式，培养学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，同时渗透数学文化，和爱国主义教育。

“新课改下高中有效集体备课模式研究”中期研究报告一、课题研究背景与研究意义1.课题研究背景。

2019年，山东、宁夏率先在全国启动了高中新一轮课程改革，2019年湖北省也加入了课改行列。

在适应新课改新要求、教师寻求转型与自我超越过程中，没有充分发挥集体备课作用。

不注意集体协同，教师个人单打独斗，凭个人经验备课。

有些学校、有些教研组也开展了集体备课，但所开展集体备课还存在不少问题，主要表现有：一是一人担纲，众人附与，没有从实质上整合集体力量；二是反思乏力，停留于口述心记，师生创造性见解没及时总结记录；三是形式单一，主要针对上新课做一下教材剖析，讲一下重难点，统一一下教案与教学进度；四是“文人相轻”，发言留一手，只要竞争不要合作。

备好课是上好课前提。

苏霍姆林斯基指出：“如果想让教师劳动能够给教师带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味义务，那就应当引导每一个教师走上从事研究这条幸福道路上来。

”因此，改革教师备课，让教师由低效备课变为高效备课，让教师备课适应新课改需要，实施“备课改革”研究，探寻有效集体备课、高效集体备课就显得大为重要与迫切！2.课题研究意义。

本课题通过新课改下有效集体备课研究，为各教研组、备课组有效开展集体备课提供方法建议，来帮助各教研组、备课组高效开展集体备课，提高各科教师备课质量与效率；同时，也研究解决当前新课程教学中出现新问题，全面提升教师教育教学水平，提高我校教师整体素质。

二、课题研究内涵界定与外延剖析1.本课题内涵界定。

本课题内涵界定为“新课改下高中有效集体备课模式研究”。

这一内涵核心是“集体备课”，背景是“新课改”，要求是“有效”甚至“高效”，最终表现形式是“模式”，能够在新课改背景下有效提高备课与集体备课效率集体备课模式。

2.本课题外延剖析。

本课题外延较为宽广，除了研究有效集体备课途径、方式与具体操作程序外，还要研究有效集体备课评价策略与标准、集体备课制度建设、集体备课对教师专业成长影响以及教师开展多种形式集体备课实践案例等。

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标学科素养1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题 二、探索新知探究一 充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ⇒,那么p 叫做q 的充分条件, p 叫做q 的必要条件.P 足以导致q,也就是说条件p 充分了；的一个充分条件。

高一数学教案：集合概念与运算高一数学2019人教A版必修一教案一、教学目标1.知识与技能：使学生掌握集合的基本概念、性质和运算，培养其数学思维能力和解决问题的能力。

2.过程与方法：通过案例引入、问题探究、小组合作等方式，让学生体验数学知识的形成过程，提高其数学素养和实践能力。

3.情感态度价值观：培养学生理性思维和科学精神，激发其学习数学的兴趣和积极性，增强其自信心和合作意识。

二、教学重点和难点1.教学重点：集合的基本概念、性质和运算，以及相关的数学思想和方法。

2.教学难点：如何理解集合的概念和性质，如何运用集合的思想和方法解决实际问题，以及如何培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

三、教学过程1.导入新课：通过案例引入的方式，让学生了解集合的基本概念和性质，以及集合在现实生活中的实际应用。

2.探究新知：通过问题探究的方式，让学生深入理解集合的概念和性质，并掌握相关的数学思想和方法。

3.小组合作：通过小组合作的方式，让学生互相交流、互相学习，共同解决问题，提高其合作意识和实践能力。

4.巩固练习：通过课堂练习的方式，让学生加深对知识的理解和掌握，同时及时反馈学习情况，以便及时调整教学策略。

5.课堂小结：通过总结归纳的方式，让学生回顾本节课所学知识，同时引出下节课的学习内容。

四、教学方法和手段1.教学方法：案例引入、问题探究、小组合作等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、投影仪等。

五、课堂练习、作业与评价方式1.课堂练习：通过课堂练习的方式，让学生加深对知识的理解和掌握，同时及时反馈学习情况，以便及时调整教学策略。

2.作业布置：布置相关练习题和思考题，让学生在家中复习和巩固所学知识。

3.评价方式：采用多种评价方式，包括课堂表现、作业完成情况、小组讨论表现等，以便全面了解学生的学习情况和综合素质。

六、辅助教学资源与工具1.教学课件：使用多媒体课件，包括PPT、Flash等，以便更好地展示教学内容和案例。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一 函数的定义例1 下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是( )【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y 是x 的函数,则函数图象与垂直于x 轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( )【答案】C题型二 相等函数例2 试判断以下各组函数是否表示同一函数:(1)f(x)=(√x )2,g(x)=√x 2;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z). 【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=(√x )2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=√x 2的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法) 定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: ①f(x)=x 2-x x,g(x)=x-1;②f(x)=√x x,g(x)=√x;③f(x)=√(x +3)2,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; ②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; ④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 题型三 区间例3 已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为 . 【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}. ∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}. ∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5}, 即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x ≤11}用区间表示为 .2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a 的取值范围用区间表示为 . 【答案】(1)(0,1)∪[2,11] (2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b. ∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3, ∴实数a 的取值范围是(-∞,3). 题型四 求函数的定义域 例4 求下列函数的定义域: (1)y=(x+2)|x |-x; (2)f(x)=x 2-1x -1−√4-x .【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0) (2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{x +2≠0,|x |-x ≠0,即{x ≠-2,|x |≠x ,解得x<0,且x ≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足{4-x ≥0,x -1≠0,即{x ≤4,x ≠1.故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4]. 解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 跟踪训练四1.求函数y=√2x +3√2-x1x的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域. 【答案】(1) {x |-32≤x <2,且x ≠0} (2) [-1,32]【解析】(1)要使函数有意义,需{2x +3≥0,2-x >0,x ≠0,解得-32≤x<2,且x ≠0,所以函数y=√2x +3−1√2-x+1x的定义域为{x |-32≤x <2,且x ≠0}.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4. 故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤32. ∴函数f(2x+1)的定义域是[-1,32]. 题型五 求函数值（域） 例5 (1)已知f(x)＝11+x(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1； ②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x−11+x ； ④y ＝2x －√x −1. 【答案】（1）1317 （2）① R ② [2,6) ③ {y|y ∈R 且y≠3} ④ ⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f (x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13.又∵g (x)＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6， ∴f ( g(2))＝f (6)＝11＋6＝17.(2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+√cx +d （其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝ √2x +1 ＋1；(2)y ＝1−x 21+x 2. 【答案】(1) [1，＋∞) (2) (－1,1]【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1]. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业课本67页练习、72页1-5本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律.。

2019统编人教版高中数学A版必修一教学计划含进度表教学计划：2019统编人教版高中数学A版必修一为了应对高一年级学生自主研究能力较差，解方程、解不等式甚至连分数的加减法都不会的问题，我们制定了以下教学计划。

一、指导思想准确把握《教学大纲》和《考试大纲》的各项基本要求，注重渗透数学思想和方法，奠定学生所需的基础知识、基本技能和基本能力，培养学生的创新精神和运用数学的意识和能力，为他们终身研究打好基础。

二、教学准备1.深入研究材，准确把握知识的逻辑体系和教材对教学形式、内容和教学目标的影响。

2.准确把握新大纲，防止对教材加深加宽，重视数学应用和思想方法的渗透。

3.树立以学生为主体的教育观念，面向全体学生因材施教，构建新的认识体系，营造有利于学生研究的氛围。

4.发挥教材的多种教学功能，激发学生的研究兴趣，培养学生用数学的意识，让学生感受社会生活之所需，培养学生自学的好惯。

5.组织和加强数学兴趣小组的活动内容。

三、教学内容1.集合与常用逻辑用语2.一元二次函数、方程和不等式3.函数概念与性质4.指函数与对数函数5.三角函数四、课时安排第一章《集合与常用逻辑用语》课时分配（13课时）1.集合的概念（2课时）2.集合间的基本关系（2课时）3.集合的基本运算（2课时）4.充分条件与必要条件（2课时）5.全称量词与存在量词（2课时）6.章末小结与测试（3课时）五、时间安排9月3-4日：集合的概念9月6-7日：集合间的基本关系9月8-9日：集合的基本运算9月10-11日：充分条件与必要条件9月14-15日：全称量词与存在量词September 16-17: Chapter 2 "Quadratic ns。

ns。

and Inequalities" (12 class hours)2.1 Properties of XXX (3 class hours)September 18-21: 2.2 and 2.3 Basic Inequalities (2 class hours)September 22-23: Quadratic XXX (4 class hours)September 24-27: End of Chapter Summary and Test (3 class hours)September 28-30: Chapter 3 "Concepts and Properties of ns"(15 class hours)3.1 XXX ns (3 class hours)3.2 Basic Properties of ns (3 class hours)3.3 Power ns (3 class hours)3.4 ns of ns (Part 1) (3 class hours)End of Chapter Summary and Test (3 class hours)XXX:October 13-15:October 16-20:October 21-23:October 26-28: Chapter 4 "XXX" (16 class hours) 4.1 Exponents (2 class hours)4.2 XXX (3 class hours)4.3 Logarithms (2 class hours)Midterm Exam (3 class hours)4.4 Logarithmic ns (3 class hours)4.5 ns of ns (Part 2) (3 class hours)End of Chapter Summary and Test (3 class hours)October 29-30:November 2-4:November 5-6:XXX 9-10:November 11-13:XXX 16-18:November 19-23: Chapter 5 "Trigonometric ns" (25 class hours)5.1 Arbitrary Angles and Radian Measure (3 class hours)5.2 XXX (3 class hours)XXX 24-26:XXX 27-December 1:5.3 Induced Formulas (3 class hours)Midterm Exam (3 class hours)5.4 XXX (3 class hours)5.5 Trigonometric Identities (3 class hours)5.6 XXX（ωx＋φ）(4 class hours)5.7 XXX (3 class hours)End of Chapter Summary and Test (3 class hours) XXX 23-25:December 28-31: Comprehensive Review and Test (22 class hours)January 4-6: Comprehensive Review of Chapter 1 (3 class hours)January 7-11: Comprehensive Review of Chapter 2 (3 class hours)January 12-14: Comprehensive Review of Chapter 3 (3 class hours)January 15-19: Comprehensive Review of Chapter 4 (3 class hours)January 20-22: Comprehensive Review of Chapter 5 (3 class hours)Final Exam (6 class hours)。

新教材《数学必修1》（人教版A版）实施的困惑与对策天祝一中高一数学组2010年9月，甘肃省进入高中数学课程改革的实验，在经历了长期的培训、观望、借鉴其它省份的经验后，我们也投入到新一轮的课程实验中，经过一个两个月的实践，对课程内容有了初步的认识，下面以《数学必修1》（人教版A版）为例，谈谈我们的体验，愿更多有志于数学教育研究的同行们都能关注到新一轮课程改革的工作中。

困惑与对策1 课时安排与教学辅导书的选用每节课的容量特别大，而且每节课的内容都是新的，复习与巩固提高全要靠自己课后下功夫了。

面对新课程，我们又有了以前的感觉：一个模块36课时，讲授新课也就差不多了，根本没有时间补充其他内容，而且要不停地赶课时，哪有时间讲评练习、进行单元测试呢？若不进行反馈检测，又怎能知道学生的学习水平？我们学校选用的是《全程设计》，学生普遍反映课都能听懂，但练习却做不来，有的根本找不到思路。

仔细研讨其中的习题，窃以为教辅依然停留在以前教材的套路上，若要完成，则须补充很多知识。

许多学生都急得不知该怎么办才好，难道，高中数学真的就这么难学吗？课程改革追求的教育目标是：让人人学“有用”的数学；人人掌握“必需”的数学；不同的人学习不同的数学。

我们不想更不愿意数学成为扼杀学生学习兴趣的“刽子手”，而更希望数学能成为学生的好朋友，每个人都喜欢并能主动地学点“有用”的数学。

课时并不是问题，因为搞题海战术，传授一些旁门左道的解题方法，只能把学生搞得机械麻木，补充的内容多了，如果没有一定的针对性，那只会加重学生的学习负担，这显然与课程改革是相违背的。

教学的目的和实施，不仅仅是为了培养能力、考高分，更应当是通过知识的教学，不断发展学生的智力素质，造就他们强大的头脑，把不聪明的孩子变聪明起来，让聪明的更加聪明。

因此，在课时拮据的条件下，我们不在偏题怪题上浪费时间，也不求知识的传授须面面俱到，而是全面把握重点章节内容，所选例、习题也不在多，但求精彩，具有相当的典型或模式作用。

第五章三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。

本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。

是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。

因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。

发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。

a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝A sin(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；教学重点：y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．教学难点：会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．多媒体x R，有由周期函数的定义知，yy z的周期为2x，由x R，得z R，且coscos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x，cos2(x＋π)＝cos 2x，x R由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为R且y=2sinzsinx的值的变化情况如表5.4.2所示：就是说，正弦函数y=sinx在区间[-π2,π2]上单调递增，在区间[π,3π]上单调递减，有正弦函数的周期性可得；2.【解析】 因为 3 sin ⎣⎡⎦⎤12x ＋4π－π4＝ 3 sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x －π4＋2π＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，即f (x ＋4π)＝f (x )，所以函数f (x )的最小正周期为4π. 【答案】 D3.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π 3.【解析】 令x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，32π＋2k π，k ∈Z ， 得x ∈⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，43π＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，区间⎣⎡⎦⎤π3，4π3是函数f (x )的一个单调递减区间，而⎣⎡⎦⎤π2，23π⊆⎣⎡⎦⎤π3，4π3.故选D. 【答案】 D4．比较下列各组数的大小：(1)cos 150°与cos 170°；(2)sin π5与sin ⎝⎛⎭⎫－7π5. 4．【解】 (1)因为90°<150°<170°<180°，函数y ＝cos x 在区间[90°，180°] 上是减函数，所以cos 150°>cos 170°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π5＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋3π5＝sin 3π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝sin 2π5. 因为0<π5<2π5<π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 所以sin π5<sin 2π5，即sin π5<sin ⎝⎛⎭⎫－7π5.。

新课改下高中数学课堂提问有效性策略研究摘要：新课改背景下，进行高中数学教学活动时，教师不但要讲解基础知识，还应有意识提高学生学习主动性，使其学习效率得到加强。

为此，可借助提问教学方法，让学生将注意力完全融入到课堂上，使其思维时刻保持在活跃状态，形成良好学习效果。

本文将从新课改下高中数学课堂提问有效性策略进行研究，借助多种方式打造高质量课堂。

关键词：新课改；高中数学；课堂提问前言：以往高中数学教师开展教学活动中，习惯采用一言堂教学模式，师生、生生有效互动交流机会较少，课堂氛围沉闷压抑，不但无法提高学生学习热情，还会导致他们综合能力发展受到影响。

为此，教师应围绕新课改要求，对课堂提问模式进行创新，借助恰当有价值的问题，让学生对知识内容形成深层次理解和掌握。

一、结合教材重难点，实施科学化提问高中数学教师开展教学活动期间，为有效提高教学质量和效率，改善以往枯燥压抑课堂氛围，发散学生思维，应进行课堂提问，且注意对以往提问方式实施创新及优化。

通过科学化提问模式，让问题和新课改教学需求实施密切联系，围绕学生认知能力和学习情况等恰当创设问题，根据教学内容把问题适用性特点整体彰显出来，结合教学重难点内容来落实。

且在创设问题时还应重视信息量适中，防止因信息量过多导致学生思维受到不良影响。

以人教A版（2019）高中数学必修第二册第八章第五节第二小节“直线与平面平行”为例，学习这部分内容时，教师设计问题期间必须要具备明确目标，采用问题创设形式对学生课堂学习情况进行检验，提高他们知识理解能力及表达能力等。

为此可设置以下问题：“（1）一条直线与一平面平行具有哪些意义？（2）一条直线与一平面平行判断定理是什么？对该定理题设和结论展开研究，请同学们想一想哪种情况下会使用到该定理？”或者，还可提出此种问题：“同学们借助思考和动手操作，分析一下经过三点可做多少个平面？”。

该问题学生在教材中很难找到答案，为此需要他们对问题实施深入分析及研究，围绕不同情况展开剖析，从而得到正确答案。