估计矩阵特征值的范围例题

第五章 矩阵特征值问题一、内容提要§5.1 特征值与特征向量1．定义设A 为n 阶方阵，如果存在数λ以及一个非零n 维列向量ξ，使得关系式 λξξ=A 成立，则称λ为A 的一个特征值，非零向量ξ为A 的属于特征值λ的特征向量。

2．求特征值和特征向量的步骤：（1） 计算特征多项式A I −λ；（2） 求A 的特征方程A I −λ=0的全部根，它们就是A 的所有特征值；（3） 对于A 的每一个特征值λ，求解齐次线性方程组()0=−X A I λ。

设它的一个 基础解系为,,,,21r n −ξξξL （其中)(A I r r −=λ），则A 的属于λ的全部特征向量为,2211r n r n k k k −−+++ξξξL其中r n k k k −,,,21L 是不全为零的任意数。

3．性质z 方阵A 与其转置矩阵T A 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值； z )(21A tr n =+++λλλL , A n =λλλL 21；z 可逆矩阵A 与1−A 的特征值互为倒数；z 设λ是矩阵A 的特征值，)(x g 是一个多项式，则)(λg 是)(A g 的特征值； z 如果n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值，则A 有n 个线性无关的特征向量； z 设s λλλ,,,21L 是矩阵A 的s 个互不相同的特征值，而i in i i ααα,,,21L 是A 的分别对应于特征值i λ的线性无关的特征向量组，则向量组111211,,,n αααL ; 222221,,,n αααL ; ...; ssn s s ααα,,,21L 线性无关.§5.2 矩阵的相似性1．定义设A ，B 都是n 阶方阵，如果阶可逆矩阵P ，使B AP P =−1，则称矩阵A 与B 相似，记为B A ~。

如果P 为正交矩阵，则称A 与B 正交相似。

2．命题相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的行列式和迹。

题型1：求V ∩M 的一个基 方法：课本习题一第9题1.求R 4的子空间V = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 - a2 + a3 - a4 = 0} , W = {( a1 , a2 , a3 , a4 ) |a1 + a2 + a3 + a4 = 0} 的交V ∩ W 的一个基.（课本习题一第9题）2. 求3R 的子空间}02|),,{(}032,0|),,{(32132131321321=++==+=+-=a a a a a a W a a a a a a a a V的交W V⋂的一组基。

题型2：求V1+V2的维数及一个基 方法：课本习题一第10题1．)0,2,4(),0,1,2(),4,0,2(),2,0,1(2121====ββαα.若),(),,(212211ββααL V L V ==，求21V V +的维数及一组基。

初等行变换可参考/lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0603.html方法：课本习题二第3题方法：课本习题二第6题1.设321,,e e e 是三维欧氏空间的一组标准正交基，证明：)22(31),22(31),22(31321332123211e e e e e e e e e -+=++=+-=ααα也是一组标准正交基。

题型5：求方程组的标准正交基 方法：课本习题二第7题1.求齐次线性方程组022043214321=---=+-+x x x x x x x x 的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。

正交化标准化可参考https:///article/5bbb5a1be10d4813eba179ce.html方法：课本习题二第11题1.证明:如果一个上三角矩阵是正交矩阵, 则A 必为对角形矩阵, 且主对角线上的元素a ii = ±1 ( i = 1 , 2 , ⋯, n ) . （习题二第11题）方法：如下例题1.如果矩阵是正交矩阵, 求a ij ( i = 1，2 ,3，4；i<=j) .题型8：求最小二乘解方法：课本P32例2-9方法：课本习题二13题1.设Q P ,各为m 阶及n 阶方阵，证明：若n m +阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q B P A 0是酉矩阵，则Q P ,也是酉矩阵，且B 是零矩阵。

第三部分矩阵特征值的估计§1. 特征值界的估计引理1. n阶复矩阵A，酉相似于一个上（或下）三角矩阵，且三角矩阵的对角线元素是A的特征值。

即存在一个酉矩阵U和三角矩阵T，使引理2. 设，则Proof:设则引理3. A为正规矩阵A酉相似于对角矩阵。

（注：正规矩阵：）即存在酉矩阵U使Th1.设A为n阶矩阵，为其特征值，则：A为正规矩阵，等号成立。

Proof:由引理1.存在酉阵U，使（三角阵）——①对①两边取共轭转置：——②①②（为酉阵）即设令，则A=B+C：其中B为Hermit阵（即）实C为反Hermit阵（即）虚注：引入B,C的目的是为了研究A的特征值的实部和虚部的估计。

Th2.设A,B,C如上所设，为A的特征值，则有：①②③Proof:由,同理可证：其它两个注：该定理对A特征值进行了界的估计，以及特征值的实部和虚部都有了界的估计，下面给出对A特征值虚部估计更精确的一个定理。

Th3.设，则其中，为上述C的第i行第j列元素Proof:（略）eg1.设则由Th3.易见，Th3.比Th2.中③要精确。

据上述定理可得如下推论：推论1：实对称矩阵的特征值令为实数。

推论2：Hermit矩阵的特征值令为实数。

推论3：反Hermit矩阵的特征值令为虚数或零。

Proof1:A为实对称，则，则即由Th2即为实数Proof2:A为H—阵，则，则，即为实数Proof3: A为反H—阵，则，设为特征值，由Th2.即为纯虚数或零。

Th4.幂等阵的特征值为0或1Proof:设为A的特征值，Z为A的对应于的特征向量。

即或1.Th5.设A,B为n阶实对称矩阵，矩阵B半正定（B的特征值非负），则其中分别为A+B和A的特征值，且即A+B与A的特征值按递减顺序排列。

§2. 圆盘定理及其推广上节我们对矩阵的特征值作了大致的估计，本节所有讲的圆盘定理是对矩阵的特征值在复平面上的具体位置作了更精确的估计。

Th1.圆盘定理：设，则A的特征值（即都在复平面上的n个圆盘内）其中（称为盖尔圆盘）Proof:设为A的特征值，X为特征向量，则，取即说明：①圆盘；称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。

矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。

结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。

（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。

结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。

（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。

但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。

二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。