盖尔圆估计特征值所在范围

西安邮电大学研究生课程考试试题
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（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵 ，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。

矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。

首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。

最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。

称这样的一个集合为线性空间。

注意：运算结果与集合中的元素对应。

例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。

子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。

其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。

矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。

矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。

注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。

属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。

子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。

（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。

（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。

线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。

相应的线性变换称为同构映射。

任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。

线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。

本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。

最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。

本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。

关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。

特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。

因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。

但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。

一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。

况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。

所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。

复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。

因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。

在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。

两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。

因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。

圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。

目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。

本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。

第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是A:等价B:1强于2C:无法比较D:2强于1答案:A2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？A:非负性B:不变性C:可加性D:完备性答案:D3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式A:对B:错答案:A4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系A:对B:错答案:A5.矩阵的F范数不满足酉不变性A:对B:错答案:B6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？A:算子范数B:F范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致A:矩阵2范数B:算子范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径A:小于1B:无从判断C:等于1D:大于1答案:A9.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径A:等于1B:大于1C:无从判断D:小于1答案:D10.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商A:对B:错答案:A第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )A:矩阵的列数B:矩阵的行数C:矩阵的秩D:行数和列数的最小值答案:C2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )A:矩阵的秩B:初等因子的个数C:不变因子的个数D:行列式因子的个数答案:B3.Jordan块的对角元等于其( )A:初等因子的零点B:行列式因子的个数C:不变因子的个数D:初等因子的次数答案:A4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )A:A的n个不变因子的乘积B:A的n阶行列式因子C:A的行列式因子的乘积D:A的次数最高的初等因子答案:AB5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )A:主特征值是实r重的B:主特征值有两个，是一对共轭的复特征值C:主特征值有两个，是一对相反的实数D:主特征值只有一个答案:ABCD6.n阶矩阵A的特征值在( )A:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中B:A的n个列盖尔圆构成的并集中C:A的n个行盖尔圆构成的并集中D:都不对答案:ABC7.不变因子是首项系数为1的多项式A:错B:对答案:B8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开A:错B:对答案:A9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的A:对B:错答案:B10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛A:对B:错答案:B第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解A:对B:错答案:B2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）A:列数B:都不对C:行数D:秩答案:D3.矩阵的满秩分解不唯一.A:错B:对答案:B4.酉等价矩阵有相同的奇异值.A:错B:对答案:B5.求矩阵A的加号逆的方法有（）A:满秩分解B:Greville递推法C:奇异值分解D:矩阵迭代法答案:ABCD6.若A为可逆方阵，则A:对B:错答案:A7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？A:错B:对答案:B8.A的加号逆的秩与A的秩相等A:错B:对答案:B9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.A:错B:对答案:B10.是Hermite标准形.A:对B:错答案:B第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.A:系数矩阵的顺序主子式均不为0B:都不对C:系数矩阵满秩D:所有主元均不为0答案:AD2.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.A:J法和GS法的敛散性无相关性B:都不对C:若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛D:若迭代矩阵谱半径不大于1, 则迭代收敛答案:AC3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.A:共轭梯度法B:都是C:最速下降法D:SOR法答案:A4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）A:搜索方向满足A共轭条件B:相邻两步的残量正交C:B和C都对D:相邻两步的搜索方向正交答案:C5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.A:ABC都对B:共轭梯度法C:最速下降法D:三角分解解法答案:BC6.若系数矩阵A对称正定, 则（）A:可用Cholesky法求解线性方程组B:都不对C:SOR法收敛D:J法和GS法均收敛答案:A7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.A:错B:对答案:A8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.A:错B:对答案:B9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.A:错B:对答案:B10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.A:对B:错答案:B第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点A:错B:对答案:B2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？A:难以处理B:牛顿法C:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向D:阻尼牛顿法答案:C3.共轭梯度法中，为A:DM公式B:DY公式C:FR公式D:PRP公式答案:C4.内点罚函数法中常用的障碍函数有A:二次函数B:倒数障碍函数C:对数障碍函数D:三种都可以答案:BC5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？A:对B:错答案:A6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).A:2C:0D:3答案:B7.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.A:固定步数B:温度很低时C:接受概率很低时D:由接受和拒绝的比率控制迭代步答案:AD8.背包问题是组合优化问题吗？A:对B:错答案:A9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.A:对B:错答案:B10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？A:两阶段法B:无法确定C:单纯形法D:大M法答案:AD第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）A:错B:对答案:A2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）A:错B:对答案:B3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）A:对B:错答案:B4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）A:错答案:B5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）A:错B:对答案:A6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）A:对B:错答案:B7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )A:B:C:答案:C8.小波函数对应了（）A:低通滤波器B:高通滤波器答案:B第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

应用回归分析第四版答案【篇一：应用回归分析人大版前四章课后习题答案详解】应用回归分析（1-4章习题详解）（21世纪统计学系列教材，第二（三）版，何晓群，刘文卿编著中国人民大学出版社）目录1 回归分析概述 ....................................................................................................... (6)1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？ (6)1.2 回归分析与相关分析的区别与联系是什么？ (7)1.3回归模型中随机误差项?的意义是什么？ (7)1.4线性回归模型的基本假设是什么？ (7)1.5 回归模型的设置理论根据是什么？在回归变量设置中应该注意哪些问题？ (8)1.6收集,整理数据包括哪些内容？ (8)1.7构造回归理论模型的基本根据是什么？ (9)1.8为什么要对回归模型进行检验？ (9)1.9回归模型有哪几个方面的应用？ (10)1.10为什么强调运用回归分析研究经济问题要定性分析和定量分析相结合? (10)2 一元线性回归 ....................................................................................................... . (10)2.1一元线性回归模型有哪些基本假定？ (10)2.2考虑过原点的线性回归模型足基本假定，求ny??*x??i1ii,i?1,2,...n 误差?1,?2,...?n仍满?1的最小二乘估计。

.............................................................................. 11 n2.3证明?e?o,?xe?0. .................................................................................. . (11)i?1ii?1ii2.4回归方程e(y)????x的参数?,?o101的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价？给出理由？ (12)2.5证明??0是??0的无偏估计。

GWR原理详解GWR（Geographically Weighted Regression）是一种基于地理位置加权的回归分析方法，用于解决空间非平稳问题。

传统的全局回归方法假设所有样本之间的关系是相同的，忽略了地理位置的影响。

而GWR通过考虑地理位置的权重，可以更准确地描述和预测空间数据。

1. GWR基本原理GWR是一种局部模型，即它为每个样本点构建一个回归模型。

在传统回归中，我们使用全局参数来拟合整个数据集，而在GWR中，我们为每个样本点计算一个局部参数。

这些局部参数随着空间位置的变化而变化，因此可以捕捉到空间上不同区域之间的差异。

具体来说，对于每个样本点i，GWR通过以下步骤计算出其对应的局部参数：1.定义一个核函数：GWR使用核函数来衡量样本之间的距离和权重。

常用的核函数有高斯核、均匀核等。

核函数通常具有衰减性质，即离样本点越远的点权重越小。

2.计算每个样本与其邻居样本之间距离，并根据定义的核函数计算出权重。

距离越近的样本权重越大，距离越远的样本权重越小。

3.以样本i为中心，利用加权最小二乘法（WLS）估计局部参数。

WLS考虑了每个样本点的权重，使得距离较近的样本对局部参数的估计具有更大的影响。

4.重复以上步骤，对每个样本点都计算出对应的局部参数。

通过上述步骤，我们可以得到每个样本点的局部参数集合，从而构建出整个空间上每个点的回归模型。

这些局部模型能够更好地反映空间数据之间的异质性和非平稳性。

2. GWR与全局回归方法的区别GWR与传统全局回归方法相比，有以下几个关键区别：1.数据关系假设：全局回归假设所有样本之间关系相同，忽略地理位置因素；而GWR通过考虑地理位置加权来捕捉空间数据之间的差异。

2.参数估计方式：全局回归使用最小二乘法（OLS）估计参数；而GWR使用加权最小二乘法（WLS）来估计每个样本点的局部参数。

3.模型拟合效果：全局回归模型适用于平稳数据，但对于空间非平稳数据效果较差；而GWR可以捕捉到空间上的异质性和非平稳性，提供更准确的预测结果。