人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习

人教A 版高中数学 必修4 第二章 平面向量 章末培优专题讲义平面向量知识要点1．两个向量的数量积与向量同实数积（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分，符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若≠0，且⋅=0，不能推出=。

因为其中cos θ有可能为0；（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c 。

但是⋅= ⋅=；2．平面向量数量积的运算律（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般a 与c 不共线，在实数中，有(a ⋅b )c = ()a b c ⋅⋅，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )。

（2）222()2a b a a b b ±=±⋅+，22()()a b a b a b -=+-，但3322()()a b a b aa b b ±≠±⋅+，33223()33a b a a b a b b ±≠±⋅+⋅±。

3．向量知识在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直。

4．注重数学思想方法①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

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2。

4 平面向量的数量积2。

4。

1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4。

2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、平面向量数量积的物理背景及其含义1．平面向量数量积的物理背景物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功||||cosF s F s,其中=⋅=⋅⋅Wθθ为力F与位移s之间的夹角。

而力与位移都是矢量，这说明两个也可以进行运算. 2．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量,a b,我们把数量||||cosθa b叫做向量a与b的 (innerproduct)(或内积），记作⋅a b，即⋅=a b，其中θ是a与b的夹角.我们规定，零向量与任一向量的数量积为0。

(2)投影的概念设非零向量a与b的夹角是θ,则||cosθb）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）a（||cosθ的 (projection).如图（1）(2)（3）所示，分别是非零向量a与b的夹角为锐角、钝角、直角时向量a在b方向上的投影的情形,其中OB=，它的意义是，向量a在向量b方向上的投影长是1向量OB的长度.1（3)数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义:数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||cos θb 的 . 3．平面向量数量积的性质与运算律（1）平面向量数量积的性质由向量数量积的定义，设,a b 都是非零向量，则有：①⊥⇔a b ；②22||⋅==a a a a 或||=⋅a a a ;③当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ；当a 与b 反向时,⋅=a b ；④cos ||||θ⋅=a b a b ，其中θ是非零向量a 与b 的夹角； ⑤||||||⋅≤a b a b ,当且仅当向量,a b 共线，即∥a b 时等号成立.（2）平面向量数量积的运算律由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有如下三条运算律：已知向量,,a b c 和实数λ,则①交换律：⋅=⋅a b b a ；②数乘结合律：()()λλ⋅=⋅a b a b = ;③分配律:()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c 。

高中数学新人教A版必修4教案第二章平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。

2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cosθ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cosθ(|b |cosθ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cosθ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cosθ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.图3(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c 不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c 表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a·b=b·a(交换律);(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).③(1)(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.1°e·a=a·e=|a|cosθ.2°a⊥b⇔a·b=0.3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.a∙.特别地a·a=|a|2或|a|=a4°cosθ=||||b a b a . 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cosθ的乘积.（三）应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1, |CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,从而sin ∠ABC=23,sin ∠BAC=21. ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB=2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴ABCD 是平行四边形. 故AB =CD ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若AB =a ,CB =b ,则CA =a +b ,DB =a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙ 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n ∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2.由c=m a-4b,得a·c=m a2-4a·b,∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①再由c=m a-4b,得b·c=m a·b-4b2.∴m a·b-16=-4,即m a·b=12.②联立①②得2m2=12,即m2=6.∴m=±6.故m=±6,n=-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时目标 1.掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算.2.能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________. 即两个向量的数量积等于________________． 2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔________________. 3．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________________. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________.一、选择题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．123．已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－16654．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 5．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．256．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－17 B.17 C ．－16 D.16题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 8．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 9．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______． 10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．三、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)14．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 相应坐标乘积的和 2．x 1x 2＋y 1y 2＝03．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)24.a·b|a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22作业设计1．C [由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0， ∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3. ∴|a |＝1＋n 2＝2.故选C.] 2．B [a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.]3．C [∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665.]4．D [设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)，故选D.]5．C [∵|a ＋b |＝52， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2， ∴|b |＝5.]6．A [由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.]7．1解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 8．(－4,8)解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 9.655解析 设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655.或直接根据a·b|b |计算a 在b 方向上的投影．10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析 由题意cos α＝a·b|a||b |＝－2λ－15·λ2＋1，∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0，∴⎩⎨⎧－2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5， 即⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0， a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0， (a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16， |AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0，∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.13．C[已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．]14．－2解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2.4 平面向量的基数量积第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P103～P105的内容，回答下列问题．观察教材P103图2.4－1和图2.4－2，思考：(1)如何计算力F所做的功？提示：W＝|F||s|cos_θ.(2)力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos_θ.(3)力做功的大小与哪些量有关？提示：与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．2．归纳总结，核心必记(1)向量的数量积的定义(2)①投影的概念：(ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cos_θ．(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cos_θ．②数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．①a⊥b⇔a·b＝0．②当a与b同向时，a·b＝|a||b|，当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝a2.④cos θ＝a·b|a||b|.⑤|a·b|≤|a||b|.(4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考](1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么？提示：平面向量的数量积是关于两个向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数的符号由两向量夹角的余弦值来确定．向量的数乘是实数与向量间的运算，其结果是一个向量，这个向量与原向量是共线向量．(2)数量积a·b与实数乘法ab的区别是什么？提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0，但在数量积中，若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cos_θ有可能为0，即a⊥b.②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|．(3)a⊥b与a·b＝0等价吗？提示：当a与b为非零向量时，两者等价；当其中一个为零向量时，两者不等价．(4)a·b＜0，则〈a，b〉是钝角吗？提示：a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＜0，∴cos〈a，b〉＜0，∴〈a，b〉是钝角或180°.(5)a·b中的“·”能省略不写吗？提示：不能省略，也不能换成其它符号，a与b的数量积又称a与b的点乘．(6)对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立．[课前反思](1)向量数量积的定义：；(2)向量数量积的几何意义：；(3)向量数量积的性质：；(4)向量数量积的运算律：.[思考1] 要求a·b，需要知道哪些量？名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cos_θ．[思考2] 你认为，求平面向量数量积的步骤是什么？名师指津：求平面向量数量积的步骤为：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．讲一讲1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a －2b)．(2)设正三角形ABC的边长为2，求a·b＋b·c＋c·a.[尝试解答] (1)①由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝2×2×cos 120°×3＝－3.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．练一练1．已知正方形ABCD的边长为2，分别求：[思考] 如何求向量的模|a|?讲一讲2．(1)已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1，则|a －3b |＝________． (2)已知向量a 与b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝10，则|b |＝________． [尝试解答] (1)因为a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝1， 所以|a －3b |＝（a －3b ）2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝12＋9×12＝10. (2)因为|2a ＋b|＝10， 所以(2a ＋b )2＝10， 所以4a 2＋4a·b ＋b 2＝10，又因为向量a 与b 的夹角为45°且|a |＝1， 所以4×12＋4×1×|b |×22＋|b |2＝10， 整理得|b |2＋22|b |－6＝0， 解得|b |＝2或|b |＝－32(舍去)． 答案：(1)10 (2) 2向量模的常见求法在求向量的模时，直接运用公式|a |＝a·a ，但计算两向量的和与差的长度用|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2.练一练2．(1)已知非零向量a ＝2b ＋2c ，|b |＝|c |＝1，若a 与b 的夹角为π3，则|a |＝________；(2)已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则|a －b |＝________． 解析：(1)由于c ＝12a －b ，所以c 2＝14|a |2＋|b |2－2×12|a ||b |×12，整理得|a |2－2|a |＝0，所以|a |＝2或|a |＝0(舍去)．(2)由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.(*)∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入(*)式得4＋2a·b ＋9＝16，即2a·b ＝3.又∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10 答案：(1)2 (2)10[思考1] 如何求a 与b 的夹角θ？名师指津：利用cos_θ＝a·b|a ||b |求出cos_θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ.[思考2] 两非零向量a 与b 垂直的充要条件是什么？ 名师指津：两非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0. 讲一讲3．(1)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a|＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．(2)已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．[尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，依题意有：(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.(2)由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0， ∴2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |，∴cos θ＝a·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.答案：(1)π3求向量a ，b 的夹角θ的思路(1)求向量的夹角的关键是计算a·b 及|a ||b |，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝a·b|a||b |，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．(2)在个别含有|a |，|b |与a·b 的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． 练一练3．已知|a |＝3，|b |＝2，向量a ，b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －3b ，求当m 为何值时，c 与d 垂直？解：由已知得a·b ＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d ，得c·d ＝0， 即c·d ＝(3a ＋5b )·(m a －3b ) ＝3m a 2＋(5m －9)a ·b －15b 2＝27m ＋3(5m －9)－60＝42m －87＝0， ∴m ＝2914，即m ＝2914时，c 与d 垂直．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律，难点是向量数量积的几何意义．2．要掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算，见讲1； (2)向量的模的计算，见讲2； (3)向量的夹角及垂直问题，见讲3. 3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ·b ＝0推出a ＝0或b ＝0.实际上由a ·b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a·b ＝a·c (a ≠0)，则向量c ，b 在向量a 方向上的投影相同，因此由a·b ＝a ·c (a ≠0)不能得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b )·c不一定等于a·(b·c )，这是由于(a·b )·c 表示一个与c 共线的向量，而a ·(b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．课下能力提升(十九) [学业水平达标练]题组1 向量数量积的运算 1．下列命题：(1)若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；(2)(a ·b )·c ＝a·(b ·c )对任意向量a ，b ，c 都成立； (3)对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选B (1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是32，则a ·b 为( )A.92 B ．3 C ．2 D.12解析：选A ∵|a |cos 〈a ，b 〉＝32，|b |＝3，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92.A.49B.43 C ．－43 D ．－49题组2 向量的模5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选A 由已知得，a 2＋a ·b －2b 2＝－32，∴|a |2＋|a |×4×cos 2π3－2×42＝－32.解得|a |＝2或|a |＝0(舍)．6．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a|＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________． 解析：|5a －b |＝|5a －b |2＝（5a －b ）2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25＋9－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝7. 答案：77．已知非零向量a ，b ，满足a⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a||b|＝________． 解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.故cos 120°＝（a ＋2b ）·（a －2b ）|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2（a 2＋4b 2）2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12，得a 2b 2＝43，即|a ||b |＝233. 答案：233题组3 两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C 因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b ·b ＝0，所以a ·b ＝－12|b |2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12|b |2|b |2＝－12，故θ＝120°.9．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B 由c⊥d 得c·d ＝0，即(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，即2k |a |2＋(3k －8)a ·b －12|b |2＝0，所以2k ＋(3k －8)×1×1×cos 90°－12＝0，即k ＝6.故选B.10．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________．解析：∵|k a ＋b |＝3|a －k b |，∴k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝3(a 2＋k 2b 2－2k a ·b )．∴k 2＋1＋k ＝3(1＋k 2－k )．即k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案：111．已知|a |＝1，a ·b ＝14，(a ＋b )·(a －b )＝12.(1)求|b |的值；(2)求向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值． 解：(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝12.∵|a |＝1，∴1－|b |2＝12，∴|b |＝22.(2)∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×14＋12＝2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×14＋12＝1，∴|a ＋b |＝2，|a －b |＝1. 令a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝122×1＝24，即向量a －b 与a ＋b 夹角的余弦值是24.[能力提升综合练]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°，则向量a在向量b上的投影为( )A.322B．3 C．4 D．5解析：选A 由已知|a|＝3，|b|＝5，cos θ＝cos 45°＝22，而向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝3×22＝322.2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 B．2 C．3 D．5解析：选A ∵|a＋b|＝10，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.①∵|a－b|＝6，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.②由①②可得a·b＝1，故选A.A．2 3 B.32C.33D. 3解析：画出图形知△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，＝0＋4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25. 答案：－255．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1， 所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝10. 答案：106．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2，又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴a ·b ＝12|a |2.而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2， ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ.则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32.∴θ＝30°.7．已知a ，b 是非零向量，t 为实数，设u ＝a ＋t b . (1)当|u |取最小值时，求实数t 的值； (2)当|u |取最小值时，向量b 与u 是否垂直？解：(1)|u |2＝|a ＋t b |2＝(a ＋t b )·(a ＋t b )＝|b |2t 2＋2(a ·b )t ＋|a |2＝|b |2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b |b |22＋|a |2－（a ·b ）2|b |2. ∵b 是非零向量，∴|b |≠0， ∴当t ＝－a ·b|b |2时，|u |＝|a ＋t b |的值最小． (2)∵b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b|b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋t b )，即b ⊥u .第2课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P106～P107的内容，回答下列问题．已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示？提示：a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.(2)|a|，|b|分别用坐标怎样表示？提示：|a|＝（x1i＋y1j）2＝x21＋y21；|b|＝（x2i＋y2j）2＝x22＋y22.(3)能用a，b的坐标表示a·b吗？提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.2．归纳总结，核心必记(1)平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(2)两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．(3)三个重要公式①向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.②两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB―③向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ[问题思考](1)已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？提示：设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝ ±⎝ ⎛⎭⎪⎫x|a |，y |a |＝±⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋y2，y x 2＋y 2，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向． 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y2，x x 2＋y 2，其中正，负号表示不同的方向．(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2吗？[课前反思](1)平面向量数量积的坐标表示： ；(2)两个向量垂直的坐标表示： ；(3)向量模的公式： ；(4)向量的夹角公式： ．讲一讲1．(1)在平面直角坐标系xOy 中，已知＝(－1，t )，＝(2，2)，若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)，求：①2a ·(b －a )；②(a ＋2b )·c .(2)法一：①∵2a ＝2(1，3)＝(2，6)，b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.②∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.法二：①2a·(b－a)＝2a·b－2a2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.②(a＋2b)·c＝a·c＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.答案：(1)5数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．练一练1．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1，2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2，4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系？名师指津：向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点A (x ，y )，使得＝a ＝(x ，y )，∴||离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．讲一讲2．(1)若向量a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，则|a －b |的最小值为________． (2)若向量a 的始点为A (－2，4)，终点为B (2，1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[尝试解答] (1)∵a ＝(2x －1，3－x )，b ＝(1－x ，2x －1)，∴a －b ＝(2x －1，3－x )－(1－x ，2x －1)＝(3x －2，4－3x )，∴|a －b |＝（3x －2）2＋（4－3x ）2＝18x 2－36x ＋20＝18（x －1）2＋2. ∴当x ＝1时，|a －b |取最小值为 2.(2)①∵a ＝AB ―→＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋（－3）2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a ·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.答案：(1) 2求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 练一练2．已知向量a ＝(3，－1)和b ＝(1，3)，若a ·c ＝b ·c ，试求模为2的向量c 的坐标．解：法一：设c ＝(x ，y )，则a ·c ＝(3，－1)·(x ，y )＝3x －y ，b ·c ＝(1，3)·(x ，y )＝x ＋3y ，由a ·c ＝b ·c 及|c |＝2，得⎩⎨⎧3x －y ＝x ＋3y ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12，y ＝3－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋12，y ＝－3－12，所以c ＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.法二：由于a ·b ＝3×1＋(－1)×3＝0，且|a |＝|b |＝2，从而以a ，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于a ·c ＝b ·c ，所以c 与a ，b 的夹角相等，从而c 与正方形的对角线共线．此外，由于|c |＝2，即其长度为正方形对角线长度(2|b |＝22)的一半，故c ＝12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋12，3－12或c ＝－12(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎪⎫－3＋12，－3－12.[思考] 当a 与b 是非坐标形式时，如何求a 与b 的夹角？如果a 与b 是坐标形式时，又如何求a 与b 的夹角？名师指津：(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解． 讲一讲3．已知平面向量a ＝(3，4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．[尝试解答] (1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3，∴b ＝(9，12)，c ＝(4，－3)． (2)m ＝2a －b ＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．设m 、n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n|m ||n |＝－3×7＋（－4）×1（－3）2＋（－4）272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m 、n 的夹角为3π4.解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b |a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.练一练3．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围． (1)a 与b 的夹角为90°. (2)a 与b 的夹角为锐角． 解：(1)设a 与b 的夹角为θ. |a |＝12＋22＝5，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ>0，且cos θ≠1， 所以a ·b >0且a 与b 不同向． 因此1＋2λ>0，所以λ>－12.又a 与b 共线且同向时，λ＝2.所以a 与b 的夹角为锐角时，λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题． 2．要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积，见讲1； (2)解决向量模的问题，见讲2； (3)解决向量的夹角与垂直问题，见讲3. 3．本节课的易错点解决两向量的夹角问题时，易忽视夹角为0或π的特殊情况，如练3.课下能力提升(二十) [学业水平达标练]题组1 平面向量数量积的坐标运算1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12D ．1 解析：选D a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－62＝－3.选D.3．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1，0) 解析：选B 法一：设b ＝(x ，y )，其中y ≠0， 则a ·b ＝3x ＋y ＝ 3.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3y ≠0，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，即b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.故选B.法二：利用排除法．D 中，y ＝0，∴D 不符合题意；C 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334不是单位向量，∴C 不符合题意；A 中，向量⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12使得a ·b ＝2， ∴A 不符合题意．故选B. 题组2 向量模的问题4．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．2 5 C ．8 D ．8 2解析：选D 易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， 所以c ＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)， 所以|c |＝82＋（－8）2＝8 2.5．设平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于________． 解析：a ∥b ，则2×(－2)－1·y ＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1，2)，|3a ＋b |＝ 5. 答案： 56．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则||的最小值为________．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝h ，则A (2，0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，则＝(2，－y )，＝(1，h －y )，∴||＝25＋（3h －4y ）2≥25＝5. 故||的最小值为5.答案：5题组3 向量的夹角与垂直问题7．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 8．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选D 设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m ，2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)， 由(c ＋a )∥b ，得－3(1＋m )＝2(2＋n )， 又c ⊥(a ＋b )，得3m －n ＝0， 故m ＝－79，n ＝－73.9．以原点O 和点A (5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB ，使∠B ＝90°，求点B 和向量的坐标．解：设点B 坐标为(x ，y )，则＝(x ，y )，＝(x －5，y －2)．∵⊥，∴x (x －5)＋y (y －2)＝0，即x 2＋y 2－5x －2y ＝0. 又∵||＝||，∴x 2＋y 2＝(x －5)2＋(y －2)2，即10x ＋4y ＝29.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－5x －2y ＝0，10x ＋4y ＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝－32，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝72.∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－72或⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，32.10．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y＝－4. 故c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.[能力提升综合练]A.32 B ．－32C ．4D ．－4解得m ＝4.2．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C 设P (x ，0)，则＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)，∴＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP ―→·BP ―→最小，此时点P的坐标为(3，0)．3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4，3)，2a ＋b ＝(3，18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x ，6＋y )＝(3，18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12， 故b ＝(－5，12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665. 4．已知a ＝(1，2)，b ＝(x ，4)，且a ·b ＝10，则|a －b |＝________.解析：由题意，得a ·b ＝x ＋8＝10，∴x ＝2，∴a －b ＝(－1，－2)，∴|a －b |＝ 5. 答案： 55．如图，已知点A (1，1)和单位圆上半部分上的动点B ，若⊥，则向量的坐标为________．解析：依题意设B (cos θ，sin θ)，0≤θ≤π，即cos θ＋sin θ＝0，解得θ＝3π4， 所以＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 6．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________． 解析：因为a 与b 的夹角为锐角，所以0<a ·b |a ||b |<1， 即0<3λ2＋4λ5λ2×9λ2＋4<1， 解得λ<－43或0<λ<13或λ>13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 7．已知O 为坐标原点，＝(2，5)，＝(3，1)，＝(6，3)，则在线段OC 上是否存在点M ，使得？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设存在点M ，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0， 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝1115.∴存在M (2，1)或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115满足题意．。

θav br 数学学科必修4模块第二单元教学设计方案 第七学时～第八学时:第二方案2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义 2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法 3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义 难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节 教学内容师生互动 设计意图 引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F |⋅|s |cos θ，θ是F 与s 的夹角教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成 问题：给θ一个精确定义 问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a r 与b r ，作OA ＝a r ，OB ＝b r，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a r 与b r的夹角说明：（1）当θ＝０时，a r 与b r同向； （2）当θ＝π时，a r 与b r反向；教师引导学生， 注意： 1.两向量必须同起点； 2.θ的取值范围； 3.数量积的定义公式形式； 4.注意特殊向量零让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性（3）当θ＝2π时，a r 与b r 垂直，记a r ⊥b r ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角是θ，则数量|a r ||b r |cos θ叫a r 与b r 的数量积，记作a r ⋅b r ，即有a r ⋅b r = |a r ||b r |cos θ，（０≤θ≤π）0r 与任何向量的数量积为向量定义深化 问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a r 、b r 为两个非零向量，e r 是与b r同向的单位向量1、e r ⋅a r = a r ⋅e r =|a r|cos θ 2、a r ⊥b r ⇔a r ⋅b r= 03、 a r ⋅a r = |a r |2或||a a a =r r r g4、cos θ =||||a ba b r rg r r5、|a r ⋅b r | ≤ |a r ||b r |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。

黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4 平面向量数量积习题课教案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（黑龙江省鸡西市高中数学第二章平面向量2.4 平面向量数量积习题课教案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4平面向量数量积习题课模式与方法讲练结合教学目的（1）掌握平面向量数量积的坐标表示.（2) 平面向量数量积的应用。

培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力。

（3）正确运用向量运算律进行推理、运算.重点用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.难点平面向量数量积的综合应用教学内容师生活动及时间分配知识梳理一、选择题1．已知向量a＝(1，－1），b＝（2，x)，若a·b＝1，则x等于( ）A．－1 B．－错误!C。

错误!D．12．设x，y∈R，向量a＝(x,1），b＝（1,y)，c＝（2,－4），且a⊥c，b∥c,则｜a＋b｜等于( )A.错误!B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝(1,2），b＝(2，－3）．若向量c满足（c＋a)∥b,c⊥（a＋b），则c等于( )A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，课上限时做答10~对正确答案师讲解并引深题的考点，典型例题则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C。

错误!D。

错误!二、填空题5．已知向量a,b夹角为45°，且｜a｜＝1,｜2a－b｜＝错误!，则|b｜＝________。