参数函数的单调区间

核心考点十二含参函数在区间上具有单调性无单调性或存在单调区间求参数范围含参函数在区间上具有单调性、无单调性或存在单调区间，取决于函数的导数的正负情况。

在本篇文章中，我们将介绍含参函数单调性的概念以及如何判断参数范围。

一、含参函数的单调性含参函数的单调性指的是函数在一些区间上的值的增减趋势。

如果函数在整个区间上都递增或者递减，则称该函数在该区间上是单调的。

对于含参函数f(x)，我们可以通过求导来判断其在区间上是否单调。

如果函数在整个区间上的导数恒大于0，则函数在该区间上递增；如果函数在整个区间上的导数恒小于0，则函数在该区间上递减。

换言之，我们可以通过求解方程f'(x)>0或者f'(x)<0来判断函数的单调性。

其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。

二、参数范围的确定确定参数范围的方法主要包括以下步骤：1.根据问题的具体内容，确定需要讨论的函数范围，并确定参数的取值范围。

例如，如果需要讨论函数在区间[a,b]上的单调性，那么参数范围可以通过分析函数在区间的特性来确定。

2.找出函数的导数表达式。

通过计算函数f(x)的导数f'(x)，可以得到函数在区间上的单调性。

如果求导的过程中出现了参数，则需要将参数的取值范围考虑进去。

3.解方程f'(x)>0或者f'(x)<0，得到函数在区间上的单调性，并得到参数的取值范围。

4.根据参数的取值范围进行验证。

将参数取值范围代入原函数带入计算，可以验证所得的结论是否正确。

举例说明：问题：求函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[-2, 3]上的单调性。

解答：首先求出函数的导数：f'(x)=2ax+b。

接下来我们需要根据参数a的取值范围来判断函数的单调性。

当a>0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒大于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递增的。

当a<0时，函数f(x)的导数f'(x)=2ax+b恒小于0，说明函数f(x)在区间[-2, 3]上是递减的。

利用导数求参数的取值范围在微积分中，导数是用来描述一个函数在其中一点上的变化率的工具。

通过求导，我们可以研究函数的增减性、最值、拐点等性质。

而利用导数求参数的取值范围，我们主要关注函数的单调性和极值点，对于包含参数的函数，我们可以利用导数来研究参数的取值范围。

设函数$f(x)$为包含参数$a$的函数，我们的目标是求出参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$满足其中一特定条件。

下面将分别讨论求函数单调性和极值点的情况。

一、函数的单调性：1.1单调递增：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递增，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$。

若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒大于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递增的。

因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递增。

具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

2)解方程$f'(x)>0$，求出与参数$a$有关的不等式。

3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。

1.2单调递减：要求函数$f(x)$在其中一区间上单调递减，即对于区间上的任意两个点$x_1$和$x_2$，若$x_1<x_2$，则$f(x_1)>f(x_2)$。

若函数$f(x)$在区间上是连续的并且可导的，其导函数$f'(x)$在该区间上恒小于零，则函数$f(x)$在该区间上是单调递减的。

因此，我们可以利用导数来求解参数$a$的取值范围，使得函数$f(x)$在其中一区间上单调递减。

具体步骤如下：1)求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

2)解方程$f'(x)<0$，求出与参数$a$有关的不等式。

3)解不等式，得到参数$a$的取值范围。

例1：已知函数f (x) x3 ax2 3x 1在[2,4]上是单调递增函数， 求参数a的取值范围.
解 f '(x) 3x2 2ax 3, x [2,4]
： 则f '(x) 0在[2,4]上恒成立
即3x2 2ax 3 0,恒成立x [2,4]
方法：（分离参数）2ax 3x2 3恒成立
f '(x) ax (2a 1) 2 (ax 1)(x 2)
x
x
(1)当a 0时，f '(x) 2 x x
所以f (x)在（0,2）上递增，在（2， ）上递减。
(2)当a
0时，令f
'(x)
0,
得x1
1 a
0.x2
2
结合二次函数图象知 f (x)在（0,2）上递增；
在（2， ）递减。
(3)当a
即3x2 a 3 0,恒成立x [0,)
方法：（分离参数）
a 3x2 3恒成立
a (3x2 3)min a 3
练习 若函数f (x) x3 ax2 1在（0,2）内单调递减, 2： 求实数a的取值范围.
解析： f '(x) 3x2 2ax, x (0,2)
则f '(x) 0在（0,2）上恒成立
利用函数单调性求参数的 取值范围
复习
1 用导数判断函数单调性法则:
、
如果在(a,b)内，f
(x)＞0，则f
(x)在此区间是增函数；
如果在(a,b)内，f (x)＜0，则f (x)在此区间是减函数。
2、求函数单调区间的一般步骤 是
1、求定义 域2、求导
f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0, 求出减区间。

活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1������ = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
������ 2
,(-t,+∞),递减区间为
������ 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
������ 2
,
+
∞
,递减区间为
-������,
������ 2
.
迁移与应用 已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类一、根据判别式 △=b ²-4ac 讨论↵例1.已知函数. f(x)=x ³+ax ²+x+1(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=3x²+2ax +1,判别式△=b ²-4ac=4(a ²-3),(1)当 a >√3或 a <−√3时，则在 (−∞,−a−√a 2−33)和 (−a+√a 2−33,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;在 (−a−√a 2−33,−a+√a 2−33),f ′(x )<0,f(x)是减函数;(2)当 −√3<a <√3时,则对所有x∈R, f'(x)>0, f(x)是(-∞,+∞)上的增函数;↵二、根据判二次函数根的大小讨论↵例2：已知函数. f (x )=(x²+ax −3a²+3a )eˣ(a ∈R 且 a ≠23),求f(x)的单调区间. 解: f ′(x )=[x²+(a +2)x −2a²+4a ]⋅eˣ,f ′(x )=(0得x=-2a 或x=a-2↵(1)当 a >23时,则-2a<a-2,在(-∞,-2a)和(a-2,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(-2a,a-2)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;(2)当 a <23时,则a-2<-2a,在(-∞,a -2)和(-2a,+∞)上, f'(x)>0, f(x)是增函数;在(a-2,-2a)上, f'(x)<0, f(x)是减函数;题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间.练习2↵三、根据定义域的隐含条件讨论。

例3:已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R),求f(x)的单调区间.解: f ′(x )=1x −a (x ⟩0), (1)当a≤0时, f ′(x )=1x −a >0,在(0,+∞)上,f'(x)>0, f(x)是增函数;(2)当a>0时,令 f ′(x )=1x −a =0,得 x =1a ,题型归纳总结：定义域有限制时，定义域与不等式解集的交集为分类标准讨论。

高中数学函数知识点总结高中数学函数知识点总结篇一一、增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

二、单调区间单调区间是指函数在某一区间内的函数值Y，随自变量X增大而增大（或减小）恒成立。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间。

一、指数函数的定义指数函数的一般形式为y=a^x(a0且≠1) (x∈R)。

二、指数函数的性质1、曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为（-∞，+∞）2、曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）一、对数与对数函数定义1、对数：一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

2、对数函数：一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

二、方法点拨在解决函数的综合性问题时，要根据题目的具体情况把问题分解为若干小问题一次解决，然后再整合解决的结果，这也是分类与整合思想的一个重要方面。

一、幂函数定义形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

二、性质幂函数不经过第三象限，如果该函数的指数的分子n是偶数，而分母m是任意整数，则y0,图像在第一；二象限。

这时(-1)^p的指数p的奇偶性无关。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类深圳南头中学袁作生d―、根据判别式A = -4ac讨论」例1-已知函数/（x）= ?+ar:+x+l（a e^）?求的单调区间.期解：f（Q = 3/+2ec+l,判别式A = ^-4o£=4（£f2-3）,屮（1＞当"昉或X W时，则在（f 壬戸）和（壬戸严）上,卩/（力是増函数；/在（土竺半三几r（z）＜0, 是軀熱P⑵当-击＜*少时，则对所有x^R f /Xx）＞O J HE是（y,h）上的増国数卅⑶当“士曲时，则对所有英g f（（x）＞O f八0是CQ+功上的増函数・心题型归纳总结：求导后是二&函数的形式，iBB翔g尹昌拭AM'-4*大于o,小于0』等于0讨论,筑习1：（11年广东文〉设＞0,讨论函数f（x）=ki x-i-a（l-a）x2 -2（l~a）x的单调性•“+J二、根据判二次函数根的大小讨论屮例壬已^函数/（x）= （jr+^-3^+3^x〔*迓且卫工扌片求门＞）的单调区间1解：广（血二［++3+2挑一2^+4旬-菱，厂（© = 0得丸二丄衍或上=住一2*2（1）当卫〉亍时，则-2a＜a-2,在（一芯-站）和@一2+功上，广（工）＞0, /（工）是増函数』在（一九卫-2）上，f\x）＜0 ,门＞）是减函数；斗2（2）3^＜y 时，则垃一2 c—2s 在（Y 冲一2）和（一如+ 功上，f\x）＞ 0, 是増函数；在@-2厂2动上，f f（x）＜ 0 ,才仗）杲减函数；+题型归纳总结：求导后是二次函数的形式，如果根的大小不确定，应对根的大小讨论确定单调区间■屮练习W三、根据定义域的隐含条件讨论卩例3：已知函数恵对耳咔―d （a eA）,求O）的单调区间.4 解：炖丄畑叽卩X⑴当必D时，/（x） = l-^>0,在①+x）上』f\x） > 0, 是增函数―X（2）当“>0日寸，令f\沪丄一^ = 0.得"丄，dX £7在（0丄）上，r（x）>0, 是增函数；在（二皿）上》/^）<0, f（x）是减国数，屮a a即増区间为（0.1）?减区间为（丄=炖）.存题型归纳总结：定龙域有限制时，粘义域与不等式解集的交集为分类标准讨论祕练习3 + d四、转化为二次函数讨论2例3：已知M/（x）=]nx-ax+ —-1 求门»的单调区间・，x 2解: f\x)二丄—a+ 口，1~~— (x > 0) 令g(x) = —x+l—a f JC>0^(1)当口 = 0 时』f\x)-*在（1「+功上，f\x） > o, f（x）是増函数；4x x x在（0.1）±, r（x）<o,几力是减函数，"⑵当"寺时，宫（力[几八力―—2 2 2x在（Q+血杲减函如心（耳当0<垃<1时，丄一1",在他1）和（丄一匕他）上，胃仗）>0,广（为<0,"2 a a在（i丄-1）上，巩©<o, rw>o^ a所的递减区间为（Q1）和（--1.-K0）；递増区间为（1丄-D,』zr nM- M-（4）当a<0fl 寸，--l<0,在（0J）±, g（x） > 0 . 卩a在（l：+x）上，g（x）<0?广（功>2m/w的递减区间为递増区间対©1)—题型归纳总结；求导舷s复杂^转化为二次圈数的讨论问题，求单调区间* 练习*+J五、多次求导求单调区间d例5；已知函数/(x) = xhx-Ax>l),求几巧的单调区间.屮解：y F(^ = l + lnx-3x; (x > 1),令二f (力二1+】口工一3/，屮『S二丄_ 6工」6云，因为工>1时宮。

中图分 类 号 ： Ｃ ． ６ ３ ３ 文献标 识 码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ５ — ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ９— ０ ０ ７ ７ — ０ １
例１ ： 求函数 ） ＝ ÷ 一 ２ ａ ｘ 。 ＋ ２ ｘ ＋ １ 的 单调区间．
Ｊ
解： ‘ ． ‘ ／ （ ）＝ 一 ４ 似＋ ２ ， △＝ １ ６ ａ 一 ８
摘 要： 求函数 ， ， ＝ ， （ ） 的单调区间， 事实上就是在其定义域的范围内解不等式， （ ） ＞ Ｏ或， （ ） ＜ ０ 。而含参数的函数的单调 区 间就 涉及到舍参 不等式， （ ） ＞ Ｏ 或， （ ） ＜ Ｏ的分类讨论 问题 。常遇到的分类标准有哪些呢？笔者下面通过几道例题予以说明。 关键词 ： 参数 ； 函数 ； 单调 区间
『 二
，
２ 、 当口 ＝ Ｏ时 ， ‘ ． ‘ ， （ ）＝ ３ ｘ ≥Ｏ ， 则函数， （ ） 的单 增 区 间 为 （一 ∞ ， ＋∞） ； 不 等 式 一 ４ 似＋ ２ ＞ Ｏ的 解集为 （－ 一 ∞， ２ ａ 一￣ ， ， ４ 口 一 ２ ） Ｕ（ ２ ａ ３ 、 当口 ＞ ０时 ， 。 ＜ ： ， 函数 ， （ ） 的单增区间为 （ 一ａ Ｏ， ０ ） 和
语 数外学 习
Ｎｏ ． ０ ９． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｉ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
含 参 数 的 函数 单调 区 间的 求 法 浅 析
张 红
（ 巴彦淖 尔市杭锦 后旗奋斗 中学， 内蒙古 巴彦 淖尔 ０ １ ５ ４ ０ ０ ）
１
’
．
．
１
一
， （ ） ＝ ０的两 个根 为 ＝ ｏ ， ： ＝

利用函数的单调性求参数的取值范围使用在数学中，单调性指的是函数图像在定义域内的增减趋势是否保持一致。

具体而言，如果函数f(x)在一些区间上是递增的，则称它在该区间上是单调递增的；如果函数f(x)在一些区间上是递减的，则称它在该区间上是单调递减的。

假设我们面对的问题为求使函数f(x)大于等于一些给定值的参数x 的取值范围。

我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1.首先，我们需要确定函数f(x)的单调性。

可以通过函数的导数来判断函数的增减性。

如果f'(x)大于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)小于零，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。

2.其次，我们可以将函数f(x)大于等于给定值转化为不等式f(x)-C>=0的形式，其中C表示给定值。

例如，如果我们需要求函数f(x)大于等于0的参数x的取值范围，可以将不等式f(x)>=0转化为f(x)-0>=0。

3.接下来，我们可以利用不等式的性质来求解参数的取值范围。

对于单调递增的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x>=g(C)的形式，其中g(C)表示函数f(x)-C=0的解。

对于单调递减的函数，我们可以将不等式f(x)-C>=0转化为x<=g(C)的形式。

4.最后，我们可以利用函数f(x)的定义域来进一步限制参数x的取值范围。

函数f(x)的定义域表示函数f(x)的取值范围，此范围也是参数x的取值范围的一部分。

因此，我们需要将函数f(x)的定义域与参数x的取值范围进行交集运算，以得到最终的参数取值范围。

需要注意的是，在利用函数的单调性求参数的取值范围时，我们需要确保函数f(x)存在单调性。

如果函数f(x)在一些区间上既不是递增的也不是递减的，那么我们无法利用单调性来求解参数的取值范围。

举例说明：假设我们需要求函数f(x)=x^2+3x+2大于等于5的参数x的取值范围。

函数的单调区间求解参数取值范围首先，我们需要明确函数的定义域以及对应的表达式。

假设函数为f(x)，则定义域为D={x∈R}，表达式为f(x)=...要求函数的单调区间，即需要找到函数在哪些区间上是单调递增或单调递减的。

我们可以通过求解函数的导数来得到单调区间。

导数反映了函数的变化率，当导数大于0时，函数是递增的；当导数小于0时，函数是递减的。

首先，我们需要求解函数的导数。

假设函数的导数为f'(x)。

根据函数的定义，我们可以通过求导的方式得到导数表达式。

接下来，我们需要找到函数的驻点（导数为0的点）以及可能的不连续点。

这些点可能是函数的极值点或断点，需要考虑在求解单调区间时。

然后，我们可以根据求解出的导数表达式，找到导数为正（大于0）或导数为负（小于0）的区间。

这些区间即为函数的单调递增区间或单调递减区间。

最后，我们可以根据单调性的定义来求解参数的取值范围。

例如，如果需要函数在整个定义域上是单调递增的，则需要将函数的导数始终大于0，即找出使得导数大于0的参数取值范围。

举例说明：假设我们要求解函数f(x)=ax^2+bx+c的单调区间，其中a、b、c为实数且a不等于0。

首先，我们求解函数的导数f'(x)=2ax+b。

然后，我们要找出使得导数大于0的参数范围。

当a>0时，导数f'(x)为一元二次函数开口向上的抛物线，该抛物线在开口向上的区间上是递增的。

因此，参数a大于0时，函数f(x)在整个定义域上是单调递增的。

当a<0时，导数f'(x)为一元二次函数开口向下的抛物线，该抛物线在开口向下的区间上是递减的。

因此，参数a小于0时，函数f(x)在整个定义域上是单调递减的。

综上所述，参数a的取值范围为a>0或a<0。

这是使得函数f(x)=ax^2+bx+c单调递增或单调递减的参数取值范围。

在实际问题中，求解函数的单调区间是一个重要的数学问题，可应用于经济学、物理学、工程学等领域。

函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数：如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.习 题1、判断函数单调性（1）下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ）A. y=-x+1B. y=xC. y=x2-4x+5D. y=x 2（2）已知f(x)是R 上的增函数，若令F （x ）=f(1-x)-f(1+x)，则F （x ）是R 上的（ ）A.增函数B.减函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 (3) 在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x2＋1C ．y=x 2D ．y=2x2＋x ＋1（4）下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝3x2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝|x|(5) 下列函数中,在)0,(-∞上为减函数的是( )A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x ︱D.y=2x+1(6) 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．（7）定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0，e －x ，x <0以下注意复合函数单调性的判断（8）已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ）A ．在区间(－1，0)上是减函数B ．在区间(0，1)上是减函数C ．在区间(－2，0)上是增函数D ．在区间(0，2)上是增函数答案：（1）B （2）B (3) C （4）C (5) C (6) D （7）C （8）A2、 求函数的单调区间（1） 函数y=542)21(--x x 的递减区间是__________________.（2） 函数y ＝－(x －3)|x|的递增区间是________．（分段函数作图） （3） 函数|1|ln )(-=x x f 的单调递减区间为 ________．（分段函数作图） （4） 函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5)（5）函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞（6） 求函数f (x )＝x ＋a 2x (a >0)的单调区间．答案：（1）［2，+∞］ （2）[0，32] （3）)1,(-∞ （4）B （5）C（6）解：∵函数的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，设x 1、x 2≠0，且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a 2x 1－x 2－a 2x 2＝(x 1－x 2)＋a 2x 2－x 1x 1·x 2＝x 1－x 2x 1·x 2－a 2x 1·x 2.(1)当x 1<x 2≤－a 或a ≤x 1＜x 2时，x 1－x 2<0，x 1·x 2>a 2，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－a ]上和在[a ，＋∞)上都是增函数．(2)当－a ≤x 1<x 2<0或0<x 1<x 2≤a 时，x 1－x 2<0， 0<x 1·x 2<a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－a,0)和(0，a ]上都是减函数．3、 根据函数单调性求得参数的取值范围（x 的取值范围）（1）函数y=(2k+1)X+b 在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ）A.k>21 B.k<21 C.k>-21 D.k<-21 (2) 函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2 (3) 函数y ＝2x2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．－1（4）已知函数f(x)=ax+logax （a ＞0且a ≠1）在［1，2］上的最大值与最小值之和为loga2+6，则a 的值为________．（5）已知关于x 的函数y=loga(2-ax)在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是________ （6）函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．(21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（7）已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥3(8) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)(9)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)(10) 若函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)在区间(a,3a －1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．(11)设函数f(x)=x+xa(a>0). ①求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之； ②若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.(12) 已知函数f (x )＝a －1|x |.①求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；②若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．(13) 函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．答案：(1)D (2)C (3)C (4) 2 （5）（1，2） （6）B （7）A (8)C(9)B (10) 12<a ≤23（11）解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时， ∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.（12）解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0. f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围为(－∞，3]． （13）解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a .任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2ax 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴1－2a <0，a >12.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.4、根据函数单调性求x 的取值范围（1）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f(x)>f(8x-16)的解集为_______________. （2）已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x|)<f(1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)（3）已知函数f(x)是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x ＋1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．(－1，2)B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）（4）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23）B ．（∞-，23）C ．（12，23）D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32答案：（1）（2，716） （2）D （3）D （4）C5、根据函数单调性求函数最值（1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在区间[3,5]上单调递增，则函数f(x)在区间[1,3]上的( )A ．最大值是f(1)，最小值是f(3)B ．最大值是f(3)，最小值是f(1)C ．最大值是f(1)，最小值是f(2)D ．最大值是f(2)，最小值是f(3)（2）定义新运算⊕：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x －(2⊕x)， x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12（3）函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.（4）已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．Ⅰ求f (0)的值； Ⅱ求f (x )的最大值；Ⅲ若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．答案：（1）A （2）C （3）12（4）解：Ⅰ对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0， 又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0. Ⅱ设0≤x 1<x 2≤1，则x 2－x 1∈(0,1)，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0. 即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.Ⅲ因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0⇒a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1，则a ≤1.6、 根据函数单调性判断函数值大小（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ）A.f(2a)<f(a)B.f(a 2)<f(a) C.f(a 2+a)<f(a) D.f(a 2+1)<f(a) 答案：D（2）定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)（3）已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（ ）A ．f (－1)＜f (9)＜f (13)B ．f (13)＜f (9)＜f (－1)C ．f (9)＜f (－1)＜f (13)D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) （4）已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ． f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) （5）定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负答案：（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A。

导数及其应用专题二：利用导数研究函数单调性问题（含参数讨论）一、知识储备往往首先考虑是否导数恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零小于零的情况。

常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式，能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式。

二、例题讲解1．（2022·山东莱州一中高三开学考试）已知函数()1ln f x x a x =--（其中a 为参数）. （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导可得()af x x x'-=，分0a ≤和0a >进行讨论即可； 【详解】 （1）()af x x x'-=，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上递增， 当0a >时，令()0f x '=，得x a =，()0,x a ∈时，()f x 单调递减， (,)x a ∈+∞时，()f x 单调递增；综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，无减区间，当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(,)a +∞；2．（2022·宁夏银川一中高三月考（文））已知函数2()(2)ln f x x a x a x =---（a R ∈） （1）求函数()y f x =的单调区间； 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间， 【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(1)(2)()2(2)a x x a f x x a x x'+-=---= 当0a ≤时，()0f x '>对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 所以，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增； 当0a >时，由()0f x '>得2a x >，由()0f x '<，得02ax <<， 所以，函数在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；综上：0a ≤时，()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. 0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪.3．（2022·广西高三开学考试（理））函数()322f x x x ax =++，（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调性.【详解】（1）()'234f x x x a =++，1612a ∆=-①若43a ≥，则0∆≤，()'0f x ≥；()f x 单调递增； ②若43a <则0∆>，当x <x >()'0f x >，()f x 单调递增；x <<，()'0f x <，()f x 单调递减； 【点睛】若函数的导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.三、实战练习1．（2022·全国高三月考）设函数()()()21ln 11f x x x ax x a =++--+-，a R ∈．(1)求()f x '的单调区间 【答案】(1)答案见解析； 【分析】(1)先对函数()f x 进行求导，构造函数再分0a ≤，0a >两种情况进行讨论，利用导数研究函数的单调性即可求解； 【详解】(1)由题意可得()f x 的定义域为{}1x x >-，()()ln 12f x x ax +'=-． 令()()()ln 121g x x ax x =+->-， 则()1122211a axg x a x x --=-='++． 当0a ≤时，当()1,x ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0a >时，当11,12x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11,2x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当0a ≤时，()f x '的单调递增区间为()1,-+∞； 当0a >时，()f x '的单调递增区间为11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减区间为11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．2．（2022·浙江舟山中学高三月考）已知函数()22ln (R)f x x x a x a =-+∈（1）当0a >时，求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）当12a ≥时，函数在()0+∞，递增；当102a <<时，函数在()10,x 递增，()12,x x 递减，()2,x +∞递增其中12x x =； 【分析】（1）求()f x '，令()0f x '=可得2220x x a -+=，分别讨论0∆≤和0∆>时，求不等式()0f x '>，()0f x '<的解集，即可求解；【详解】（1）()22ln (R)f x x x a x a =-+∈定义域为()0,∞+， ()22222a x x af x x x x-+'=-+=()0x >， 令()0f x '=可得2220x x a -+=， 当480a ∆=-≤即12a ≥时，()0f x '≥对于()0,x ∈+∞恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增，当480a ∆=->即102a <<时，由2220x x a -+=可得：x =，由()0f x '>可得：0x <<或x >由()0f x '<x <<所以()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减， 综上所述：当12a ≥时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭. 3．（2022·山东济宁一中）已知函数()ln f x x a x =-，a ∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）对函数求导，进而讨论a 的范围，最后得到函数的单调区间； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x >，()1a x a f x x x'-=-=0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；0a >时，令()0f x '=，得x a =．当0x a <<时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当x a >时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间； 当0a >时，函数()x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞． 4．（2022·仪征市精诚高级中学高三月考）已知函数()()1n f x x ax a =-∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出函数导数，讨论a 的范围结合导数即可得出单调性； 【详解】 （1）11()(0)axf x a x xx-'=-=> 当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得到1x a=， 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．5．（2022·嘉峪关市第一中学高三模拟预测（理））已知函数()21xf x e ax =--，()()2ln 1g x a x =+，a R ∈.（1）求()f x 的单调区间； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的导函数()f x '，按a 分类解不等式()0f x '<、()0f x '>即得；【详解】(1)对函数()21x f x e ax =--求导得，()2xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，当0a >时，由()20xf x e a '=-=，解得：()ln 2x a =，而()f x '在R 上单调递增，于是得当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0f x '<，()f x 在(,ln(2))a -∞上为减函数， 当()()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()()ln 2,a +∞上为增函数， 所以，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为R ，当0a >时，()f x 的单调递减区间是(,ln(2))a -∞，单调递增区间是()()ln 2,a +∞；6．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））已知函数()2ln f x ax x x =--，0a ≠．（1）试讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）当0a <时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【分析】（1）求出导函数()212121ax x f x ax x x -'-=--=，设()221g x ax x =--，对a 分类讨论：当0a <时，函数()f x在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 【详解】函数()2ln f x ax x x =--的定义域为()0+∞，. （1）()212121ax x f x ax x x-'-=--=，设()221g x ax x =--当0a <时，因为函数()g x 图象的对称轴为104x a=<，()01g =-． 所以当0x >时，()0g x <，()0f x '<，函数()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，令()0g x =．得1x =2x =当20x x <<时，()0<g x ，()0f x '<，当2x x >时，()0>g x ，()0f x '>．所以函数()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． 7．（2022·嘉峪关市第一中学高三三模（理））设函数()2ln f x ax a x =--，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案见解析； 【分析】（1）求导，当0a ≤时，可得()0f x '<，()f x 为单调递减函数；当0a >时，令()0f x '=，可得极值点，分别讨论在⎛ ⎝和+⎫∞⎪⎭上，()'f x 的正负，可得()f x 的单调区间，即可得答案.【详解】（1）()()212120.ax f x ax x x x-'=-=>当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减. 当0a >时，由()0f x '=，有x =此时，当x ∈⎛⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈+⎫∞⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减，当0a >时，()f x 在⎛ ⎝内单调递减，在+⎫∞⎪⎭单调递增. 8．（2022·贵州省思南中学高三月考（文））设函数()22ln 1f x x mx =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】(1)函数()f x 的单调性见解析； 【分析】(1)求出函数()f x 的定义域及导数，再分类讨论导数值为正、为负的x 取值区间即得； 【详解】(1)依题意，函数()f x 定义域为(0,)+∞，()222(1)2mx f x mx x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，由()0f x '=得x =，当0x <<()0f x '>，当x >时，()0f x '<，于是得()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减，所以，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0m >时，()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减；9．（2022·河南（理））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）．（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； 【分析】（1）求导得到221()mx mx f x x --'=-，转化为二次函数2()21g x mx mx =--的正负进行讨论，分0∆≤，0∆>两种情况讨论，即得解； 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>， 令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，故()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减．综上，当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减； 当80m -≤<时，()f x 在()0,∞+单调递增．10．（2022·河南高三月考（文））已知函数()()2ln f x x m x x =--（8m ≥-，且0m ≠）.（1）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导2121()(21)mx mx f x m x x x --'=--=-，令2()21g x mx mx =--，然后由0∆≤，0∆>讨论求解；【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，2121()(21)mx mx f x m x x x--'=--=-， 令2()21g x mx mx =--，()g x 为二次函数，28m m ∆=+， ①当80m -≤<时，0∆≤，()0g x ≤， 所以()0f x '≥，故()f x 在()0,∞+单调递增； ②当0m >时，0∆>，令()0g x =，得1x =2x =，显然120x x <<，所以当()20,x x ∈，()0g x <， 所以()0f x '>，()f x 单调递增； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >， 所以()0f x '<，()f x 单调递减.综上，当80m -≤<时， ()f x 在()0,∞+单调递增；当0m >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. 11．（2022·湖南高三模拟预测）设函数1()ln ,()3a f x x g x ax x-=+=-． （1）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调递增区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）存在符合题意的整数λ，其最小值为0．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；【详解】解：（1）函数()ϕx 的定义域为()0,∞+，函数()ϕx 的导数2(1)(1)()x ax a x x ϕ'++-=， 当0a <时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减 当01a 时，()ϕx 在R +上单调递增．当1a >时，()ϕx 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上可知，当0a <时，()ϕx 的单调递增区间是10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a 时，()ϕx 的单调递增区间是(0,)+∞；当1a >时，()ϕx 的单调递增区间是1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 12．（2022·安徽高三月考（文））已知函数21()ln 2f x x a x =-． （1）讨论()f x 的单调性； 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）12a =． 【分析】 （1）求导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的正负，得单调区间；【详解】解：（1）由题意，可得0x >且2 ()a x a f x x x x-'=-= ①若0a ≤，()0f x '>恒成立，则()f x 在(0,)+∞上是增函数②0a >，则2()a x a f x x x x -==='-所以当x ∈时，()0f x '<，当)x ∈+∞时，()0f x '>则()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数综上所述，若0a ≤，()y f x =在(0,)+∞上是增函数若0a >，()y f x =在上是减函数，在)+∞上是增函数13．（2022·湖北武汉·高三月考）已知函数2()ln (1),2a f x x x a x a R =+-+∈ （1）讨论函数()f x 的单调区间；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）求得(1)(1)()x ax f x x '--=，分0a ≤，01a <<，1a =和1a >四种情况讨论，结合导数的符号，即可求解； 【详解】（1）由题意，函数2()ln (1)2a f x x x a x =+-+的定义域为(0,)+∞， 且21(1)1(1)(1)()(1)ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+=='， ①当0a ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；②当01a <<时，令()0f x '>，解得01x <<或1x a>， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ③当1a =时，则()0f x '≥，所以在(0,)+∞上()f x 单调递增，④当1a >时，令()0f x '>，解得10x a<<或1x >， 令()0f x '<，解得11x a <<， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 14．（2022·双峰县第一中学高三开学考试）已知函数()2()1e x f x x ax =-+．（1）讨论()f x 的单调性；【答案】（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，讨论0a =，0a >和0a <情况下，导数的正负，即可得到()f x 的单调性；【详解】（1）函数()2()1e x f x x ax =-+，求导()()()()21e 11e 2x x f x x a x a x a x '⎡⎤+=⎣+-⎦=-+-+由()0f x '=，得11x a =-，21x =-①当0a =时，()()21e 0x f x x '+≥=，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a <时， 在(),1x a ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,1x a ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；③当0a >时， 在(),1x ∈-∞-有()0f x '>，故()f x 单调递增；在()1,a 1x ∈--有()0f x '<，故()f x 单调递减；在(1,)x a ∈-+∞有()0f x '>，故()f x 单调递增；综上所述，当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当0a <时，()f x 在(),1a -∞-和(1,)-+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；当0a >时，()f x 在(),1-∞-和(1,)a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减；。

利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论归类导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来研究函数的变化趋势和性质。

在本文中，我们将利用导数来研究含参数的函数的单调区间，并进行分类讨论。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于一个函数f(x)，它在一些点x处的导数可以用以下极限来定义：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h导数表示函数在该点处的变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。

如果导数大于0，则函数在该点处是递增的；如果导数小于0，则函数在该点处是递减的；如果导数等于0，则函数在该点处是平稳的。

现在我们考虑一个含参数的函数f(x;a)，其中a是一个参数。

我们的目标是根据参数a的取值，将函数f(x;a)的单调区间进行分类。

首先，我们要找到函数f(x;a)的导函数f'(x;a)。

对于含参数的函数，导函数通常也会含有参数。

我们可以按照求导的规则来计算导函数，只需将参数a视为常数进行求导。

然后，我们要找到导函数f'(x;a)的零点，即求解方程f'(x;a)=0。

这些零点将会告诉我们函数f(x;a)的驻点，即导函数的零点对应的函数的极值点或拐点。

对于含参数的函数，驻点的位置一般会依赖于参数a的取值。

接下来，我们要找到导函数f'(x;a)的不连续点，即导函数在定义域内的断点。

这些不连续点将会对函数f(x;a)的单调性产生影响。

最后，我们要找到导函数f'(x;a)的正负变化点，即导函数从正数变为负数或从负数变为正数的点。

这些正负变化点将会告诉我们函数f(x;a)的单调区间。

根据以上步骤，我们可以对含参数的函数f(x;a)的单调区间进行分类讨论。

具体的分类讨论可以根据参数a的取值来进行。

例如，我们考虑一个含参数的函数f(x;a) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c都是实数。

我们可以按照上述步骤来求解函数f(x;a)的单调区间。

求函数的单调性，根据导函数的类型分类
一、不含参数的一次函数类（单调函数）
例１，求下列函数的单调区间
１、y ＝x e x ；２、f (x )＝ln x x －1；３、f (x )＝x e
x .二、含参数的一次函数类
１、参数在常数项位置
例２，f (x )＝(x ＋a )e x
２、参数在系数位置
例３，y ＝ae x ＋x
三、不含参数的二次函数类（有增有减）
例４，已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，求f (x )的单调区间；
四、二次项系数不含参数的含参二次函数类
１、能因式分解
例五，（１）已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b ，讨论f (x )的单调性；
（２）已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x （x ＋1）2
，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．２、不能因式分解
例六、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x ，求单调区间．
五、二次项系数含参数的含参二次函数类
１、能因式分解
例七、已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，求f (x )的单调区间；
３、不能因式分解
例八、已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .讨论f (x )的单调性．。

求含参数三次函数单调区间的分类讨论思路舒云水求含参数三次函数的单调区间是高考热点﹒这类问题涉及二次函数的性质、二次不等式求解、二次方程求根等多方面知识，需要对字母进行分类讨论，是高考考查分类与讨论思想的热点﹒正确对字母的取值范围进行分类讨论是解决这类问题的关键，本文主要谈对字母取值进行分类讨论的思路﹒求含参数三次函数的单调区间的题目按下列步骤进行：第一步，求出导函数)(x f y '=（设原函数为)(x f y =）；第二步，算出导函数的判别式∆，并考查判断判别式∆的正负；第三步，若判别式∆的值不确定，即∆的取值可正可负，则对∆进行讨论，按∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解；若∆0≥，即方程0)(='x f 有实根，先求出两实根1x ，2x ﹒再按1x >2x ，1x <2x ，1x =2x 三种情况进行分类讨论求解﹒由上知分类讨论的方式有两种，下面分别举例说明﹒1. 按判别式取值的正负进行分类讨论例1 已知函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈﹒讨论函数)(x f 的单调区间﹒ 分析：先求出2()321f x x ax '=++，算出其判别式∆)3(42-=a ，再判断24(3)a -的正负，易知24(3)a -正负不确定，然后按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：2()321f x x ax '=++，其判别式∆)3(42-=a ﹒ （1） 当∆0>，即3>a 或3-<a 时，由0)(>'x f 得：332-+->a a x 或332---<a a x ； 由0)(<'x f 得：<<---x a a 332332-+-a a ﹒ 函数)(x f 在)33,(2----∞a a ，),33(2+∞-+-a a 上是增函数；在区间)33,33(22-+----a a a a 是减函数﹒ ⑵当∆0<，即33<<-a 时，对所有R x ∈都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒⑶当∆0=，即3±=a 时，则0)3(=-'a f ，且对所有的3a x -≠都有0)(>'x f ，故此时)(x f 在R 上是增函数﹒点拨：按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例2 已知函数)ln 2(2)(x a xx x f -+-=，0>a ﹒讨论函数)(x f 的单调性﹒ 分析：本题函数)(x f 虽然不是三次函数，但由于导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数2)(2+-=ax x x g 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x g 值的讨论﹒由于82-=∆a 的值不确定，要按判别式∆0>，∆0<，∆=0三种情况进行分类讨论求解﹒解：由题知，)(x f 的定义域是),0(+∞﹒ 222221)(xax x x a x x f +-=-+='﹒ 设2)(2+-=ax x x g ，二次方程0)(=x g 的判别式82-=∆a ﹒ ⑴当∆0>，即22>a 时，方程0)(=x g 有两个不同的实根：2821--=a a x ，2822-+=a a x ，210x x <<﹒ 由0)(>'x f ，即0)(>x g 且0>x 得：2x x >或10x x <<；由0)(<'x f ，即0)(<x g 且0>x 得：21x x x <<﹒函数)(x f 在)28,0(2--a a ，),28(2+∞-+a a 上是增函数，在 )28,28(22-+--a a a a 上是减函数﹒ ⑵当∆0<，即220<<a 时，对一切0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒⑶当∆0=，即22=a 时，仅对2=x 有0)(='x f ，对其余的0>x 都有0)(>'x f ，)(x f 在),0(+∞上是增函数﹒点拨：例2与例1可以说是形异质同﹒本题的分类讨论思路基本上与例1一样﹒ 例3 已知函数)(x f 1223+-+=x a ax x ，R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：先求出)(x f '2223a ax x -+=，再算出其判别式216a ∆=﹒由于0162≥=∆a ，求出方程0)(='x f 的两根得：31a x =，a x -=2﹒由于3a ，a -的大小不确定，所以要按a a ->3，a a -<3，a a -=3三种情况分类讨论求解﹒ 解：)(x f '2223a ax x -+=，方程)(x f '0=的判别式0162≥=∆a ﹒求方程0)(='x f 的两根得31a x =，a x -=2﹒ ⑴当a a ->3，即0>a 时， 由0)(>'x f 得：3a x >或a x -<； 由0)(<'x f 得：3a x a <<- ﹒ 函数)(x f 在),(a --∞，),3(+∞a 上是增函数；在)3,(a a -上是减函数﹒ ⑵当a a -<3，即0<a 时， 由0)(>'x f 得：a x ->或3a x <； 由0)(<'x f 得：a x a -<<3﹒ 函数)(x f 在)3,(a -∞，),(+∞-a 上是增函数；在),3(a a -上是减函数﹒ ⑶当a a -=3，即0=a 时， 仅对0=x 有0)(='x f ，对所有的0≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：按两根3a ，a -的大小关系分类讨论求解是解本题的关键﹒ 例4 已知函数)(x f x e a a ax x )32(22+-+=，其中R a ∈﹒求函数)(x f 的单调区间﹒分析：本题函数)(x f 也不是三次函数﹒导数)(x f '的正负值的取值范围与二次函数)(x h 是一样的，对导数)(x f '值的讨论就可转化为对二次函数)(x h 值的讨论﹒由于)(x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，方程0)(=x h 的两根a 2-，2-a 的大小不确定，本题就得按22->-a a ，22-<-a a ，22-=-a a 三种情况分类讨论求解﹒解：x e a a x a x x f ]42)2([)(22+-++='﹒设)(x h a a x a x 42)2(22+-++=，方程0)(=x h 的判别式0)23(2≥-=∆a ，求方程0)(=x h 的两根得a x 21-=，22-=a x ﹒⑴当21x x >，即32<a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：a x 2->或2-<a x ；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：a x a 22-<<- ﹒函数)(x f 在)2,(--∞a ，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(a a --上是减函数﹒ ⑵当21x x <，即32>a 时， 由0)(>'x f ，即0)(>x h 得：2->a x 或a x 2-<；由0)(<'x f ，即0)(<x h 得：22-<<-a x a ﹒函数)(x f 在)2,(a --∞，),2(+∞-a 上是增函数；在)2,2(--a a 上是减函数﹒ ⑶当21x x =，即32=a 时， 仅对34-=x 有0)(='x f ，对所有的34-≠x 都有0)(>'x f ，)(x f 在R 上是增函数﹒ 点拨：本题的分类讨论思路基本上同例3一样﹒例4与例3也是形异质同，我们在解题时要抓住这一点﹒练习：1.已知函数)(ln 1)(R a x a x x x f ∈--=﹒讨论)(x f 的单调性﹒ 2.已知函数1634)(223-+-+=t x t tx x x f ，R x ∈，其中R t ∈﹒当0≠t 时，求)(x f 的单调区间﹒答案：1. )(x f 的定义域为),0(+∞﹒222111)(xax x x a x x f +-=-+='﹒设1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=∆a ﹒⑴当2≤a 时，0≤∆，0)(≥'x f ，故)(x f在),0(+∞上单调递增﹒⑵当2-<a 时，0>∆，0)(=x g 的两根都小于0，在),0(+∞上，0)(>'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增﹒⑶当2>a 时，0>∆，)(x g 0=的两根为2421--=a a x ，2422-+=a a x ，当10x x <<时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减﹒2.当0<t 时，在)2,(t -∞，),(+∞-t 上单调递增，在),2(t t -上单调递减；当0<t 时，在),(t --∞，),2(+∞t 上单调递增，在)2,(t t -上单调递减﹒。

如何求含参数函数的单调区间考纲要求：１.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．2．能利用基本初等函数的导数公式，和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．3．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．4．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用倒数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．5．会利用导数解决某些实际问题．考情聚焦：近三年国家命题课标卷考查情况全面分析由此可以看出高考对导数的考查保持较高的比例，基本上是一个选择题和一个大题（第21题），分值17分，选择题位置比较靠后，大题是作为压轴题，题目的难度较大．考查导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性、求函数的极值或最值，利用所求的单调性研究相关的不等式、函数零点问题是常考的题型．函数的单调性是关键，其中对含参函数中的参数分类讨论是难点.学情分析：1．不知如何确定参数的讨论标准，讨论时思维混乱； 2．对参数的讨论不全面；3．没有考虑函数的定义域或忽视题干中的参数范围 4．利用所讨论的结果解决问题能力欠缺.教学目标：掌握利用导数求含参函数的单调区间时对参数常见的分类讨论方法教学过程：课前热身：求下列函数的单调区间1．32()+f x x x =； 2．()1xf x e x =--；3．()ln .f x x x =-答案：1．22),(0,)(-,0)33∞+∞单调递增区间为(-,-，单调递减区间为 2．(0,),(,0).+∞-∞单调递增区间为递减区间为3．(1,),(0,1).+∞单调递增区间为单调递减区间为总结：导数法判断函数f (x )在区间(a ，b )内的单调性的步骤：方法1：()()()()()()()0()y f x y f x f x f x f x f x f x ''''①确定函数＝的定义域；②求导数＝，令＝，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点即的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小 到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．方法2：①确定函数()y f x =的定义域； ②求导数''()y f x =；③解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为单调递减区间．高考命题源于教材，高于教材，对教材中的试题进行加工改编，引入参数是常见的手段,例如2015年课标版文21题，2015年江苏卷19题等就是在上述简单函数基础上改编而成的.引入主题：【例1】已知函数()1xf x e ax =--，求()f x 的单调增区间.解：定义域为R '()xf x e a =-，，(1)若0a ≤，则'()0xf x e a =->， 即()f x 在R 上单调递增，（2）若0,0ln .xa e a x a >->⇒> 因此当0a ≤时，()f x 的单调增区间为R ， 当0a >时，()f x 的单调增区间是(ln ,)a +∞ ．【练习1】已知函数()ln f x kx x =-，求函数()f x 的单调区间； 解：1()ln ,'()0f x kx x f x k x x =-∴=-> ， 100,k k x ≤-<（1）当时， 函数()(0,)f x +∞单调递增区间为； 111100,0,k k x k x x k x k >->⇒>-<⇒<（2）当时，函数11()(,),(0).f x k k +∞单调递增区间为单调递减区间为， 【例2】已知函数32()+f x x ax =.求函数()f x 的单调区间.解：22'()3+23()3a f x x ax x x ==+（1）当0a =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（2）当0a >时， ()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； （3）当0a <时， ()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 【练习2】已知函数21()ln(1)02f x x ax x a =--+>，，求函数()f x 的单调区间.解：1(1)'()111x ax a f x ax x x -+-=--=++11101,()(0,1)(1,0),(-1,)21,()(-1,)1131,()(1,0)(1,-1),(0,)a f x a aa f x a f x a a <<--+∞=+∞>--+∞（）当时在单调递增，在单调递减；（）当时在单调递减；（）当时在单调递增，在单调递减.0,()(0,)(1,0)a f x ≤+∞-当时在单调递增，在单调递减；课堂小结：明确范围，确定标准，逐层讨论，归纳小结．课后思考：【例1】已知函数()1x f x e ax =--， (1)求()f x 的单调增区间.(2)是否存在a ，使()f x 在-2,3（）上不是单调函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【练习2】已知函数21()ln(1)2f x x ax x =--+（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.课后作业：1．(2015·苏中八校学情调查)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)3．(2015·长春调研)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( ) A. B. C.D.5．(2015·洛阳统考)已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈时，f (x )＝e x ＋sin x ，则( ) A ．f (1)＜f (2)＜f (3) B ．f (2)＜f (3)＜f (1) C ．f (3)＜f (2)＜f (1)D ．f (3)＜f (1)＜f (2)6．(2015·湛江一模)若函数f (x )＝x ＋(b ∈R )的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( )A ．(－2,0)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．8．函数()ln(1)xf x e x =-+的单调递增区间为________．9． (2015·武汉武昌区联考)已知函数f (x )＝(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．10． 【2015高考山东，理21】设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈.（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围.。

第16炼 含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。

本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧,便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。

一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间)→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉,以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定(1)分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论,例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +∞，中间并没有进行分类讨论。

思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果.所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->,第一步移项得：2x a >(同样无论a 为何值，均是这样变形)，但是第二步不等式两边开方时发现a 的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a 是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。

体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时,就是分类讨论开始的时机.所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论.（2)分界点的确定:分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。

要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。

例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数,故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a 扮演多个角色时,则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类.例如：解不等式:()()110ax x -->,可得:()1210,1x a x a=≠=此时a 扮演两个角色，一个是x 的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定1x 的大小，进而要和2x 来角逐大小根.那么在处理时可先以其中一个为主要目标,例如以x 系数的正负，进行分类.①当0a <时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于0a <,以此为前提1201x x <<=，故小大根不存在问题，解集为1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭②当0a =时,不等式变为()()10,1x x -->⇒∈-∞ ③当0a >时，不等式解集为小大根之外，而1210,1x x a=>=，12,x x 的大小由a 的取值决定,所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。