分式函数的性质与像

有理分式函数的图象及性质【知识要点】1．函数(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+（1）定义域：{|}d x x c ≠-（2）值域：{|y y ≠单调区间为(,),(,+)d d c c-∞--∞（4）直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d a c c- （5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。

（62．函数(0,0)b yax a b x =+>>的图象和性质： （1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：{|y y y ≥或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间+),(∞上是增函数；在区间上是减函数（5以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b y ax a b=+><的图象和性质：【例题精讲】1．函数11+-=x y 的图象是 （ ）A B C D2．函数23(1)1x y x x +=<-的反函数是 （ ） 3333.(2) . (2) . (1) .(1)2222x x x x A y x B y x C y x D y x x x x x ++++=<=≠=<=≠---- 3．若函数2()x f x x a+=+的图象关于直线y x =对称，则a 的值是 （ ） . 1 . 1 . 2 .2A B C D --4．若函数21()x f x x a-=+存在反函数，则实数a 的取值范围为 （ ） 11. 1 . 1 . .22A aB aC aD a ≠-≠≠≠- 5．不等式14x x>的解集为 （ ） 1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222A B C D -+∞∞-+∞-∞-6．已知函数2()ax b f x x c+=+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为 （ ） . . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>7．若正数a 、b 满足,3++=b a ab 则ab 的取值范围是_____ 。

分式函数三种值域求法（原创实用版）目录1.引言2.分式函数的定义和性质3.三种值域求法a) 直接法b) 反函数法c) 数形结合法4.实际应用举例5.总结正文一、引言分式函数是数学中一种重要的函数类型，它在各个领域中都有着广泛的应用。

在研究分式函数的过程中，值域问题是一个关键环节。

为了更好地理解和解决这个问题，本文将为大家介绍三种求分式函数值域的方法。

二、分式函数的定义和性质分式函数是指形如 f(x)=a(x)/b(x)（a(x)、b(x) 为多项式，且 b(x)≠0）的函数。

在研究分式函数时，我们需要关注它的定义域、值域、单调性等性质。

三、三种值域求法1.直接法直接法是最简单也最容易理解的方法。

它主要通过分析函数的性质和结构，直接求出函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 确定函数的定义域；b) 分析函数的单调性；c) 求出函数的最大值和最小值；d) 得出函数的值域。

2.反函数法反函数法是通过求解原函数的反函数，从而得到原函数的值域。

具体操作步骤如下：a) 求出原函数的反函数；b) 求出反函数的定义域；c) 根据反函数的定义域得出原函数的值域。

3.数形结合法数形结合法是将函数的性质与图形结合起来求解值域的方法。

具体操作步骤如下：a) 画出函数的图形；b) 观察图形的特征，如渐近线、极值点等；c) 根据图形特征得出函数的值域。

四、实际应用举例假设有一个分式函数 f(x)=(x^2+1)/(x^2-1)，我们需要求出它的值域。

1.使用直接法：首先确定定义域为{x|x≠±1}，然后分析函数的单调性，得出函数的最大值为 2，最小值为 -2。

因此，函数的值域为 (-∞,-2]∪[2,+∞)。

2.使用反函数法：求出原函数的反函数为 f^-1(x)=±√(1+x^2)，然后求出反函数的定义域为 R，因此原函数的值域为 R。

3.使用数形结合法：画出函数的图形后，观察到函数的渐近线为 y=±1，因此函数的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。

探索分式函数的像和性质分式函数是高中数学中的重要内容之一，它在代数学习中扮演着重要的角色。

本文将围绕着分式函数的像和性质展开探索，包括像的确定方法、特殊像的性质、一次和二次分式函数的性质等方面展开探讨。

一、像的确定方法分式函数通常以形如f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}的形式给出，其中P(x)和Q(x)分别为多项式函数。

我们希望确定此函数的像，即确定x的取值范围。

为了达到目的，我们首先需要对分式函数进行化简，将分式函数转化为简单的形式，然后根据简单形式确定像的范围。

例如，对于分式函数f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}，我们可以将其进行分解，即f(x) = x - 1。

那么我们可以得出结论，分式函数的像是整个实数集，即y的取值范围为(-\infty, +\infty)。

二、特殊像的性质在分式函数中，有些特殊的像具有特殊的性质，下面我们将介绍两种特殊像的性质：无解和唯一解。

1. 无解的情况对于某些分式函数，它们可能存在无解的情况。

例如，考虑分式函数f(x) = \frac{1}{x}，当x = 0时，分式函数无定义，即无解。

这是因为在分式函数中，除数不能为零，否则函数的定义域就不成立。

因此，像的范围不包括x = 0的情况。

2. 唯一解的情况对于一次分式函数，即P(x)和Q(x)的次数均为1的分式函数，它的像通常具有唯一解的特点。

例如，考虑分式函数f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}，我们可以通过解方程f(x) = y来确定像的范围。

假设y = 2，我们可以通过解方程\frac{x - 1}{x + 2} = 2来求解x的值，解得x = -3。

因此，像的范围为y = 2。

三、一次分式函数的性质一次分式函数是指分式函数中P(x)和Q(x)的次数均为1的情况。

下面我们将介绍一次分式函数的一些性质。

1. 定义域一次分式函数的定义域是除数Q(x)不为零的所有实数。

学习是件快乐的事情分式函数的图像与性质形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，23y x =+等。

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上 由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，数学有时候是折磨人的工具需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

分式函数的像和性质分式函数是指形式为f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}的函数，其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，且Q(x)≠0。

分式函数的像是指定义域中所有满足f(x)=y的x值构成的集合，即函数的所有可能的输出值。

分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性和图像。

1. 分式函数的定义域：分式函数的定义域由Q(x)≠0确定，因为分母不能为零。

可以通过求解Q(x)≠0的方程来确定定义域的范围。

2. 分式函数的值域：分式函数的值域包括所有满足f(x)=y的y值，其中x是定义域中的值。

对于一些特定的分式函数，可以通过变换或者观察分子、分母的特点来确定值域的范围。

3. 分式函数的奇偶性：对于分子和分母都是偶函数或者奇函数的分式函数，其奇偶性与分子和分母相同。

如果分子是奇函数而分母是偶函数，或者分母是奇函数而分子是偶函数，则分式函数是奇函数。

4. 分式函数的单调性：对于分式函数f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}，其单调性取决于P(x)和Q(x)的符号变化。

如果P(x)和Q(x)都大于零或者都小于零，那么分式函数是单调的。

如果P(x)比Q(x)先变号，那么分式函数在这个区间上是增函数；如果P(x)和Q(x)同时变号，那么分式函数在这个区间上是减函数。

5. 分式函数的图像：分式函数的图像可以通过绘制图像或者利用分子和分母的零点、极值点、拐点等特点来分析。

- 当分式函数的分子的次数小于分母的次数时，函数的图像在水平方向上趋近于零。

- 当分式函数的分子的次数等于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在水平渐近线。

- 当分式函数的分子的次数大于分母的次数时，函数的图像在水平方向上存在斜渐近线。

分式函数的像和性质对于理解和分析分式函数的性质和行为具有重要意义。

通过对分式函数的像和性质进行研究，可以更好地理解分式函数的定义和特点，并且能够应用于解决实际问题和数学推理中。

2023必修一人教版高考调研数学数学作为一门基础学科，在高考中占据了重要地位。

为了适应社会的发展需求，2023年高考对数学的要求也进行了调整。

本文将对2023年必修一人教版高考调研数学进行分析和解读。

第一章分式函数与图像的性质1. 分式函数的定义与性质分式函数在高中数学中扮演着重要的角色，其定义为两个多项式函数的商。

分式函数的性质包括定义域、值域、奇偶性以及图像的特点等等。

2. 分式函数的图像与解析式分式函数的图像形态各异，通过对解析式的推敲和分析，可以准确绘制分式函数的图像。

同时，了解分式函数的图像特点有助于解决实际问题。

第二章平面上的向量1. 向量的基本概念向量是空间中的一个有方向和大小的量，可以通过起点和终点来表示。

向量的加法、减法和数量积等运算是研究向量的基础。

2. 平面上的向量运算利用向量的基本运算，可以求解向量的大小、夹角以及向量之间的关系。

这些技巧在几何问题和物理问题中都有广泛的应用。

第三章空间解析几何1. 空间点与向量空间中的点可以由坐标表示，同时向量也可以定义为点的有序组。

空间点与向量之间有着密切的联系，可以通过向量表示点的位置关系和几何性质。

2. 空间中直线与平面的方程直线和平面是空间几何中的重要概念，其方程形式各异。

掌握直线和平面的方程可以推导出几何关系和求解问题。

第四章三角比与三角函数1. 角度与弧度的换算角度和弧度是度量角的单位，两者之间可以进行换算。

在高考数学中，要灵活运用角度和弧度概念，解决与三角函数相关的题目。

2. 三角函数的图像与性质通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分析，可以总结出它们的基本性质，并应用到实际问题中。

第五章函数的应用1. 函数的模型建立在实际问题中，我们可以通过观察问题的特点和已知条件，建立数学模型。

掌握函数的应用技巧，可以将实际问题转化为数学问题进行求解。

2. 函数的最值与增减性函数的最值和增减性对于求解优化问题至关重要。

通过对函数的增减性及最值的分析，可以确定函数的取值范围和最优解。

高中常用函数图像与性质一、常值（数）函数1.定义：一般地，形如为常数）（c c y =，那么叫做常值（数）函数.2.图像与性质：解析式)0(>=c c y 0=y )0(<=c c y 图像性质定义域R值域{}c y y =单调性不具单调性奇偶性偶函数对称性对称轴：y 轴（0=x ）二、一次函数1.定义：一般地，形如y=kx ＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x 的一次函数.特别地，当b=0时，y=kx ，此时y 叫做x 的正比例函数，正比例函数是一种特殊的一次函数.2.图像与性质：一次函数()0k kx b k =+≠k ，b 符号k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b =图象性质y 随x 的增大而增大y 随x 的增大而减小三、二次函数1.定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数.2.解析式：（1）一般式：)0(2≠++=c c bx ax y ；（2）顶点式：)0(442(22≠-++=a ab ac a b x a y ；（3）两点式：)0)()((21≠--a x x x x a ，其中)0,(,)0,(21x x 为图像与x 轴了两交点的坐标.3.二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．4.二次函数的系数c b a ,,对图像的影响（1）系数a ：①0>a ，开口向上；0<a ，开口向下；②a 越大，开口越大；a 越小，开口越小；（2）系数b ：b a ,的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”①b a 、同号：0>ab ，对称轴a bx 2-=在y 轴左侧，②b a 、异号：0<ab ，对称轴abx 2-=在y 轴右侧；（3）常数c ：与y 轴交点坐标),0(c ；5.二次函数2y ax bx c =++)0(≠a 的性质()()20f x ax bx c a =++≠0a >0a <图像定义域(),-∞+∞对称轴2bx a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域),44(2∞+-ab ac 24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间)2,(ab--∞递减)2(∞+-，ab 递增)2,(ab--∞递增)2(∞+-，ab 递减6.二次函数2y ax bxc =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住5要素：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.7.二次函数与一元二次方程（1）当抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴两个交点时，公共点的横坐标21,x x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根.（2）①当240b ac ∆=->时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点；②当042=-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴有1个交点（顶点）；③当042<-=∆ac b 时，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；（3）当042<-=∆ac b 时：①当0a >时，图象落在x 轴的上方，0y >恒成立；②当0<a 时，图象落在x 轴的下方，0<y 恒成立；四、反比例函数1.定义：一般地，形如)0(≠=x xky 的函数，称为反比例函数.2.图像与性质：函数解析式>k 0<k五、指数函数1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且，x 为自变量，函数定义域为R .2.图像与性质：10<<a 1>a 图像定义域R 值域)0(∞+，性质（1）过定点（0，1），即1,0==y x 时（2）在R 上为减函数（2）在R 上为增函数六、对数函数1.定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且，x 为自变量，函数定义域为),0(∞+.2.图像与性质：10<<a 1>a图像定义域(0,+∞)值域R性质（1）过定点（1，0），即0,1==yx时（2）在),0(∞+上为减函数（2）在),0(∞+上为增函数七、幂函数1.定义：形如αxy=叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.2.几种常见幂函数的图像3.几种常见幂函数.的图像与性质幂函数性质xy=2xy=3xy=21xy=1-xy=八、对勾函数1.定义：2.图像与性质：解析式)0,0()(>>+=b a xbax x f 图像性质定义域{}0≠x x 值域),2[]2,(∞+--∞ab ab 单调性单调增区间：),(,),(∞+--∞ab a b九、分式函数1.定义：一般地，形如：()()ax bf x ad cb cx d+=≠+叫做分式函数.2.图像与性质：图象是以直线,d a x y c c =-=（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心(,d ac c-，通常用代点法确定两支双曲线的位置。

ax + b 【反思】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些 cx + d条件决定？ax + b 小结】 y = ax + b(a ,b ,c ,d R )的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到， cx +d分式函数的图像与性质学习过程 1、分式函数的概念 ax 2+bx +c 形如y =ax +bx +c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式函数。

如y = 2x +1，y = x 2 +1 dx 2 +ex +f x 2 + x x -24x +1 y = 等。

x +3 2、分式复合函数形如y =a [f (x )] +bf (x )+c (a ,b ,c ,d ,e , f R )的函数称为分式复合函数。

如y = 2+1 d [f (x )]2 +ef (x )+f sin x + 2 x -1+2y = ， y = 等。

3sin x -3 x +3 1-2x ※ 学习探究 探究任务一：函数 y = ax + b (ab 0) 的图像与性质 xax + b 问题1： y = ax + b(a ,b ,c , d R )的图像是怎样的？ cx + d 2x -1例1、画出函数y = 2x -1的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

x - 1【分析】y = 2x -1= 2(x -1)+1= 1 + 2，即函数y = 2x -1的图像可以经由函数y = 1 x -1 x -1 x -1 x - 1 x的图像向右平移 1 个单位，再向上平移 2个单位得到。

如下表所示： 1y = x x -1 x -1 值域：(-,2)U (2,+)； 对称中心：(1,2)。

需要借助“分离常数”的处理方法。

ax + b 分式函数y = ax + b（a,b,c, d R）的图像与性质cx + d（1）定义域：｛x| x- ｝；c（2）值域：｛y| y a｝；c（3）单调性：单调区间为（-,-d）,（-d,+）；ccda da（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x= - , y= ，对称中心为点（- , ）；cc cc（5）奇偶性：当a = d = 0时为奇函数；（6）图象：如图所示问题 2：y = ax + b（ab0）的图像是怎样的？x例 2、根据y= x与y = 1的函数图像，绘制函数y=x+1的图像，并结合函数图像指出函xx数具有的性质。

分式函数的图像与性质学习过程1、分式函数的概念ax 2 bx c 2x形如 yexf (a,b,c, d ,e, f R) 的函数称为分式函数。

如 ydx 2 x 2y4x 1等。

x 32、分式复合函数a[ f (x)]2bf (x) c (a, b, c, d, e, f R) 的函数称为分式复合函数。

如形如 yef ( x) fd[ f (x)]2ysin x 2， yx 1 2等。

3sin x3x 31，yx 2 1 ， xx 22 x y2x1，1 2※ 学习探究探究任务一 ：函数 yaxb(ab0) 的图像与性质x问题 1： yax b(a, b, c, d R) 的图像是怎样的？cx d例 1、画出函数 y2 x1的图像， 依据函数图像， 指出函数的单调区间、 值域、对称中心。

x1【分析】 y2x 1 2( x 1) 1 12 ，即函数 y2x 1的图像可以经由函数 y1x1 x 1x 1x1x的图像向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位得到。

如下表所示：1右1 1 上 2y1yy12xx x1由此可以画出函数y2 x 1的图像，如下：x 1yyyOx O12xO1x单调减区间： ( ,1),(1,) ；值域： (,2) U (2,) ；对称中心： (1,2) 。

【反思】 yaxb(a,b, c, d R ) 的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些cx d条件决定？【小结】 yaxb(a,b, c, d R) 的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cx d需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数 y axb(a,b,c,dR) 的图像与性质cx dd }（1）定义域： { x | x；c （2）值域： { y | ya} ；cd),(d, + ) ；（3）单调性： 单调区间为 (,cc d, ya，对称中心为点 (d , a) ；（ 4）渐近线及对称中心：渐近线为直线xccc c（ 5）奇偶性：当 a d 0 时为奇函数； （ 6）图象：如图所示yyO x O x问题 2： yaxb(ab 0) 的图像是怎样的？x例 2、根据 y1的函数图像， 绘制函数 y x1 x 与 y的图像， 并结合函数图像指出函xx数具有的性质。

分式函数的图像与性质一、课前准备1、分式函数的概念形如22(,,,,,)ax bx c y a b c d e f R dx ex f ++=∈++的函数称为分式函数。

如221x y x x+=+，212x y x +=-，413x y x +=+等。

2、分式复合函数形如22[()]()(,,,,,)[()]()a f x bf x c y a b c d e f R d f x ef x f ++=∈++的函数称为分式复合函数。

如22112x xy +=-，sin 23sin 3x y x +=-，y =等。

二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数(0)by ax ab x=+≠的图像与性质 问题1：(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像是怎样的？ 例1、画出函数211x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+===+---，即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1y x=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。

如下表所示：12111211y y y x x x =−−→=−−→=+--右上由此可以画出函数211x y x -=-的图像，如下：单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；值域：(,2)(2,)-∞+∞U ； 对称中心：(1,2)。

【反思】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。

分式函数(,,,)ax by a b c d R cx d+=∈+的图像与性质 （1）定义域：{|}dx x c ≠- ；（2）值域：{|}ay y c≠；（3）单调性：单调区间为(,),(,+)d dc c-∞--∞；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,d a x y c c =-=，对称中心为点(,)d ac c-；（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：(0)by ax ab x=+≠的图像是怎样的？ 例2、根据y x =与1y x =的函数图像，绘制函数1y x x=+的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

二次分式函数二次分式函数，是指分子和分母都是二次函数的函数。

它的一般形式为：f(x) = (ax² + bx + c) / (dx² + ex + f)其中，a、b、c、d、e、f均为实数且d不等于0。

二次分式函数的定义域为所有使得分母不等于0的x值。

因此，需要求解方程dx² + ex + f = 0的根，即可确定定义域。

一般情况下，二次分式函数的图像会呈现出一个“U”型或“倒U”型。

具体来说，如果d和a同号，则图像开口向上；如果d和a异号，则图像开口向下。

同时，由于二次函数在x轴两侧的取值趋势相反，在分子和分母中同时存在时，会产生零点或极点。

要求求解二次分式函数的零点和极点，可以先将其化简为一个一元二次方程，并求解方程根。

具体步骤如下：1. 将分子和分母都乘以dx²，化简后得到：ax² + bx + c = k(dx² + ex + f)其中k=a/d。

2. 将两边展开并移项，得到：(kd)x² + (ke-b)x + kf-c = 03. 求解该方程的根x1和x2，即可得到二次分式函数的零点和极点。

其中，如果方程的判别式D=（ke-b）²-4(kd)(kf-c)大于0，则有两个不同的实根，分别对应着两个零点或极点；如果D=0，则有一个重根，对应着一个零点或极点；如果D小于0，则没有实数根，也就没有零点或极点。

在求解二次分式函数的过程中，还需要注意以下几点：1. 如果分母中存在一次项或常数项，则需要将其提出来，并进行配方法化简。

2. 如果分子和分母中都存在因式相同的项，则可以直接约掉这些因式。

3. 如果分子和分母中存在公因式，则可以将其约掉后再进行化简。

总之，在求解二次分式函数时，需要耐心地进行化简和计算，并注意各种特殊情况的处理。

只有在理解了其基本性质和求解方法后，才能更好地应用它来解决实际问题。