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试解： xn Aei(qnat) （n=1,2,…）
位于n a处的原子的振动试探解
为频率
q 2 为波矢
正q对应于沿+x方向的前进波，负q对应于沿-x方向
的波，这种在晶体中传播的波，称为格波。
一种振动模式 q ,
试解代入运动方程
m 2(eiq a e iq a 2)
22[1coqs(a)]
n2a n1a na n1a n2a
a
一维布拉菲格子（一维单原子链） 对一维格子晶格振动的讨论是了解和描述三维格 子晶格振动的重要基础。
一、简谐近似下的运动解
du u(x)u(x0)dxx0
x1d2u (x)2 2dx2
x0
1d2u u(x0)2 dx2
(x)2
x0
则原子间相互作用力
du d2u f(x)dxdx 2
fn,n1(xnxn1)
xn+2
近似2：只考虑最近邻原子间作用力
第n个原子受到的合力为：
fn fn ,n 1 fn ,n 1 ( x n 1 x n 1 2 x n )
第n个原子的运动方程
mx••n (xn1 xn1 2xn )
每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个方程 联立的线性齐次方程组.
② 声子------声子携带声波的能量和动量。若格波频 率为ω，波矢q为，则声子的能量为ħω，动量为ħq。
③ 声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律， 如同具有能量ħω和动量ħq的粒子一样。
④ 可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和 物质的碰撞过程，使问题大大简化。
返回
§3.2一维布拉菲格子的晶格振动
模式，即代表一种格波。
例如：
q,
1
2a
,
2
m
长波极限，,q0 整个晶格象刚体一样作整体运 动,因而恢复力为0,故 0
2a, q 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢
a 复力和频率取极大值
二、周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成，另有 无穷多个相同的一维原子链与之联结而形成无限长 的一维原子链，各段相应原子运动情况相同。
简正坐标和谐振子：
3N
运用线性变换的方法，引入简正坐标 Ql ，blk qk k 1 3N qk aklQl l 1
代入能量表达式，消除势能交叉项（即消去相互作用）
总能量：E
3N
l
l 1
1 2
3N l 1
• 2 Ql
l2Ql2
Q lQ l0si(nltl) l1,2, ,3N 谐振子
晶体的振动动能：T Ti
i1
1 2
3N i1
mixi2
qi
T
mi xi
1 3N 2 i1
• 2
i
晶体振动势能Uqi
按 q的i 幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数
UU 0
i
( U qi)0qi1 2ij( qi2 U qj)0qiqj高阶项
其中 U0 0 平衡位置处的势能为零势能点
U qi
固体电子导论第三章
一、微振动方程及其解
设的晶位体矢由：NR 个n原'子R 组n成，x n 考虑原子振动，每个原子
平衡位置
位移矢量（原子偏离平衡位置）
以位移矢量作为考察量：
( x 1 x 2 x 3 )( x , 4 x 5 x 6 ) ( x 3 N 2 x 3 N 1 x 3 N )
q 3N
晶体中原子的实际振动由运动方程的一般解表示
方程的一般解可表示为特解的线性叠加
3N
qk AklSi(nltl) k1,2, ,3N l1
对晶体中某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式 引起的振动的叠加，形式极为复杂。 借助简谐振动，可以将这一复杂的运动图象简化。
共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。
xx
x0 作用力常数
近似1：简谐近似下原子间作用力简化为弹性力。
l 因此在简谐近似下，原子间的相互作用类似于一 个弹簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子。
n2a n1a na n1a n2a
x n2 x n1
x n x n1
第n+1个原子对第n个原子的作用力
fn,n1(xnxn1)
第n-又 xnAi(e q n at)
q2sL LNa
q
a
a
S N 1,
N ,
共有N种取
2
2值
q 2 , 2 2 ,
, 有N种取值
aL a L a
max
波矢点在波矢空间 （第一布里渊区、倒 格子原胞）均匀分布
a
2
aL
0
q
a
周期性边界下一维布拉菲晶格的色 散关系曲线
0
0
平衡位置处势能为极小值
bij
2U qiq
j
0
略去高阶项（简谐近似）
晶体的振动势能：Uqi
1 2
ij
bijqiqj
拉格朗日函数 LTU
代入拉格朗日方程 d d(t q L k) q L k0 (k1 3N )
•• 3N
qk bikqi 0 k1,2, ,3N i1
由3N个线性齐次方程组成的方程组,其一组特解为
m
2 sin qa
m2
——一维布拉菲晶格中格波的色散关系
2 sin qa
m2
常将q 限制在
色散关系具有周期性
2 m
q
a
a
0
q
a
a
一维布拉菲晶格的色散关系曲线
称为一维布拉菲晶格的第一布里渊区。
即一维布拉菲晶格 的倒格子原胞
色散关系曲线中任意一点的坐标 q , 代表一种振动
N个相互作用着的原子系统可看成 3N个独立的谐振子组成的系统。
二、声子
根据量子理论
每一个谐振子能量可表示为
εl
(nl
1 2
)hυl
系统的总能量：
E
3N l1
(nl
12)hυl
声子
晶体系统的能量可看成由大量声子组成。
声子的粒子性：
① 光子------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是 光子流，光子携带电磁波的能量和动量。
qk Ak sin t k 1,2,,3N
qk Ak sin t k 1,2,,3N
所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅 的振动,称为简谐振动。
每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是
表示整个晶体所有原子都参与的频率 ，初相位
的振动，也称为一个振动模式。
有N个原子组成的晶体，一共有3N组特解，即有 3N种不同频率的间歇振动，也即有3N个振动模 式。
q 2
L
周期性边界条件下，频 率也相应有N个取值。
在周期性边界条件的约束下，N个格点组 成的一维布拉格晶格的振动模式数共有N
种，由色散关系曲线中N组分立的 q ,
