北科大随机过程复习提纲

《随机过程》课程需要掌握的内容及要求第一章：随机过程及其分类（1）掌握随机过程和随机过程的有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密度的概念。

理解随机过程的两种描述方式。

（2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。

（3）了解随机过程的分类方式及分类。

（4）了解两个随机过程的联合分布的概念。

会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。

了解两个随机过程之间独立的概念。

第二章：Markov过程（1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。

理解齐次性的概念。

了解独立增量过程与马氏过程的关系。

（2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。

（3）了解状态的常返性、遍历性的概念。

掌握遍历性的主要定理的条件和结论。

能对简单齐次马氏链的状态进行分类。

（4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。

（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。

（6）掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。

（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。

第三章：Poission过程（1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义和性质。

（2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。

（3）掌握Poission过程与指数分布之间的关系。

掌握到达时间和条件到达时间的分布性质；了解更新过程的定义和基本性质。

（4） 一些主要结果：● 一维分布：N k e k t k t N P k s N t s N P tk ∈====-+-,!)(})({})()({λλ； ● Q 矩阵： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= λλλλλλλλ000000Q ；● 均值函数：tt N E t t N E t m N )}({)}({)(=⇒==λλ；● 均方函数：t t t N E λλ+=22)()}({； ● 方差函数：t t D N λ=)(；● 相关函数：},min{),(2121221t t t t t t R N λλ+=； ● 协方差函数：},min{),(2121t t t t C N λ=；● 到达时间的分布：n S 表示第n 个事件发生的时刻（1≥n ），则有：0,)!1()()(1≥-=--t e n t t f t n S n λλλ；● 到达时间间隔的分布：)1(1≥-=-n S S X n n n 表示第1-n 个事件与第n 事件发生的时间间隔，则有：n k t e t f t X n ≤≤≥=-1,0,)(λλ；● 无条件),,,(21n S S S 的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=-其它,00,),,,(2121nt n n t t t e t t t g n λλ ● 在已知条件n t N =)(下，事件相继发生的时间),,,(21n S S S 的条件概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<<=其它,00,!),,,(2121tt t t t n t t t f n n n● 在已知条件n t N =)(下，第)(n r r <个事件发生时刻的概率密度：t x tt x t x r r n n n t N x f rn r S r <<⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--0,11)!1()!(!))((1 转移概率函数：i j e i j s t i N j N P j i t s p s t i j s t ≥--====---,)!()]([}{),,,()(λλ；第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。

丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。

又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。

随机过程复习提纲汇总随机过程是概率论中研究随机现象的一种数学工具，它描述了随机事件或变量在时间或空间上的演化规律。

随机过程在概率论、统计学以及各个科学领域中都有广泛的应用。

在复习随机过程的过程中，可以按照以下提纲进行系统地总结和复习：一、随机过程的定义和基本概念1.随机过程的定义和基本性质2.随机变量和随机过程的关系3.有限维分布和无限维分布4.随机过程的连续性和可测性二、随机过程的分类1.马尔可夫链和马尔可夫过程2.马尔可夫链的平稳分布和细致平衡条件3.各类随机过程的特性和应用（如泊松过程、布朗运动等）三、随机过程的数学描述1.随机过程的表示方法（如状态空间表示、样本函数表示等）2.随机过程的独立增量性质3.随机过程的平稳性质和相关函数四、随机过程的统计特性1.随机过程的均值和方差2.随机过程的相关函数和自相关函数3.随机过程的功率谱密度和自相关函数之间的关系五、随机过程的极限理论1.强大数定律和中心极限定理在随机过程中的应用2.极限理论在随机过程中的应用（如大数定律、中心极限定理等）六、马尔可夫过程的统计推断1.马尔可夫链的参数估计2.马尔可夫过程的参数估计3.马尔可夫过程的隐马尔可夫模型和参数估计七、随机过程的应用1.随机过程在金融领域的应用2.随机过程在电信领域的应用3.随机过程在信号处理领域的应用以上是一个较为全面的随机过程复习提纲，按照这个提纲进行复习可以帮助系统地回顾和学习随机过程的各个重要概念、定理和应用。

在复习的过程中，可以结合课本、教材以及相关资料进行深入学习和巩固。

同时，通过解答题目、做习题和实际应用案例的分析，可以提高对随机过程的理解和应用能力。

复习随机过程时，要注意理论和实践相结合，注重理论概念的理解和应用技巧的掌握。

随机过程复习提纲2017第⼀章1. 简述样本空间、基本事件、事件、随机事件、事件域的概念。

2. 设概率空间(,,)F P Ω，,A B F ∈（随机试验中两个随机事件A 、B ），()0P A >，B 1,B 2,…,B n 为Ω的⼀个分割，请写出：（1）事件A 出现条件下事件B 出现的概率公式P(B |A )；（2）事件A 、B 同时发⽣的乘法公式P (AB )；（3）事件A 的全概率公式P (A )；（4）P (B i |A )的贝叶斯公式。

3. 某化验室检测某种疾病的⾎液检查,当确实有病时的有效率是95%.可是,该检测也在1%的健康⼈中产⽣“假阳性”结果(即⼀个健康⼈去检查, 检测结果为阳性的概率是0.01).如果总体⼈群中有0.5%真有此病,问已知某⼈检测结果为阳性时,他有病的概率是多少?4. 假设离散随机变量X 的分布律为：p(1)=1/2，p(2)=1/3， p(3)=1/6，请写出关于X 的累积分布函数F(x)。

5. 设⼆维随机变量X 、Y 的联合分布函数为,(,)X Y F x y ，请分别写出关于X 和关于Y 的边缘分布函数和边缘PDF ，并写出(,)XY f x y 、|(|)Y X f y x 和()X f x 三者关系式。

6. 随机变量X ，Y 的联合概率密度函数为|| (,0)(,)0, y XY Ae y x x y f x y ，其它-?>-∞<<∞>=??求：常数A 、边缘概率密度函数()X f x ，()Y f y 和条件概率密度函数|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y ，判断是否统计独⽴。

7. 随机变量Y =sin X , X 为（-π，π）均匀分布，1()2X f x π=,求)(y f Y 。

8. 已知随机变量X 1，X 2的联合PDF 为1212(,)X X f x x ，试借助⼆维随机变量函数的分布来求随机变量Y=X 1-X 2的PDF 。

第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。

（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 2 3.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xtxi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni n i Y q e p q e p g g it n it n t X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i ii X =λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπiiX所以其特征函数为()n i e t Xe g it ii,...2,1,1==⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie et X t ni n i Y ∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。

随机过程复习要点第一章 概率论知识补充1.随机事件体有样本空间的全体子集总共2n个组成。

1.特征函数：随机变量X 的分布函数为F(x),称()()(),itX itxg t E e e dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数。

()()ln X X t g t ψ=，此为第二特征函数。

离散型：()1kitx k k g t ep ∞==∑；连续型：()()itx g t e f x dx ∞-∞=⎰2特征函数的性质：注：特征函数为虚函数。

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'"'12n 12n 12101,1,.2-30=-0.-0;00.4....5n k k kk k k n g g t g t g t g t X g t n k n g i EX EX i g EX i g DX g g X g t g t g t g t =≤-=∞∞≤===-+==第二项为取模，第三项为取共轭。

在，一致连续；若随机变量X 的n 阶矩EX 存在，则的特征函数阶可导，且当时，有；若X X ...X 相互独立，则X +X +...+X 的特征函数为随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。

两者是一一对应的。

3随机变量的分布函数()F x 与特征函数g(t)是一一对应的且相互唯一确定。

如果X为连续型且特征函数g(t)j绝对可积则有：()()()()()()()()1;2.itx X itx X X X f x e g t dt g t e f x dx g t f x f x g t π∞--∞∞-∞==⎰⎰是的相差一个负号的傅氏变换；是的相差一个负号的傅氏逆变换。

4n 维正态分布：()()()1212,,..,...n n i ijij n nn XN a B X X X a a a a a B b b ⨯==维正态分布：其中 X=为均值，为正定矩阵，为协方差。