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1.1.1集合的含义与表示(9.13)

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1.1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表示
1.1.1集合的含义与表示
问题提出
“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉 语解释为:许多的人或物聚在一起.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学 语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
知识探究（一）
考察下列问题： （1）1～20以内的所有质数； （2）绝对值小于3的整数； （3）华侨中学所有的高一同学； （4）平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.
形式如 :{ | }
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
解 : (1)设方程x2 2 0的实数根为x,并且满足条 件x2 2 0,因此,用描述法表示为
A { x R | x2 2 0}. 方程 x2 2 0有两个实数根 2, 2,因此, 用列举法表示为A { 2, 2}. (2)设 大 于10小 于20的 整 数 为x,它 满 足 条 件x Z 且10 x 20,因 此,用 描 述 法 表 示 为
例1 用列举法表示下列集合： (1) 小于10的所有自然数组成的集合；
(2) 方程x2 x的所有实数根组成的集合;
(3) 由1～20以内的所有质数组成的集合．
解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
由于元素完全相同的两个集合相等，而与列 举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举方 法．例如 A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.
(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不 能组成一个集合,因为其元素不确定
(2)已知2是集合M={0，a，a2-3a+2}中的元素，
则实数a为( C )

1.1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表示

说明：大括号{ }的含义就表示“集在一起”、 “全体”、“所有的” ；大括号{ }内表示的 是集合元素的特征、共性 。 错误表示法：{实数集}，{全体实数} ， 不 能记为{镇海中学2009级全体同学}
③常用大写的拉丁字母表示集合.
例如：集合A，集合B，集合C= {0,1,2,3} 练一练： （1）小于10的所有自然数组成的集合；
解： A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}． (1)∵AΔB＝{x|1<x<2}，
由上图可知AΔB中的元素都在A中但不在B中， ∴定义AΔB＝{x|x∈A，且x∉B}． (2)由(1)可知BΔA＝{x|x∈B，且x∉A}＝ {x|3≤x≤4}．
7、(2011年杭州五校质检)设全集 U＝{x∈N*|x<10}，对集合A，B，定义运算 “⊗”，A⊗B＝∁U(A∪B)，若集合M＝{1,2,3,4,5}， N＝{1,2,3,5,7,9}，则M⊗N＝( ) A．{4,6,7,8,9} B．{1,2,3,5} C．{0,6,8} D．{6,8}
三、元素与集合之间的关系 提问：
高一(1)班中的所有同学组成了一个班集体，李明 是高一(1)班里的一位同学，钱多多是高一(2)班里的一 位同学，那么这两位同学与高一(1)班这个班集体之间 分别有什么关系呢？从中能得出什么结论？
总结：
元素与集合之间的关系通常用属于符号“∈”或不属 于符号“∉”表示.
取2个元素作为x,y，满足x>y的(x,y),即为集合B
中的元素，故共有
2 个，选 D。 C5 10
3、若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2 ＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ） A．P B．Q C ． D都是y，它们分别 2 2 y x 1 x 表示函数y= ， 的值域，由 P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知Q是P的真子集，即 P∩Q=Q．应选B．

1.1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表示
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集合的表示法
例：用适当的方法表示下列集合：
（1）有限集
含有有限个元素的集合
（1）方程2−9=0的解的集合；
A={3, -3}={x | x - 9=0
三、集合与元素之间关系
若a在集合A中： 即a属于集合A，记: a ∈ A
若a不在集合A中：即a不属于集合A，记: a ∉ A
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[作答] ---- 写出所有符合题的字母的取值
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则
即a2−a＋1＝0，∵方程无实数解．
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
所以a ≠
1
∈A(a≠1)．求证：
1−
1
1−
，
，所以集合A不可能是单元素集
(2)集合A不可能是单元素集．
[归纳提升]
1
∈A，
1−
解: (1)∵若a∈A时，则
∴2∈A时，则
1
1−2
∴−1∈A时，则
1
2
=−1∈ A，
1
P={(x, y) | y = x2 – 2x + 2}
（6）平面直角坐标系中第三象限所有的点

1.1.1 集合的含义与表示

1.1.1 集合的含义与表示

A .
三、集合中元素的性质
• 确定性
• 互异性
• 无序性
四、集合的分类
1.按集合中元素的个数 有限集 无限集 空集 2.按集合中元素的种类 数集 点集
五、常见的数集及其记法
实数集 正实数集 有理数集 整数集 自然数集 正整数集
R
R＋
Q
Z
N
N＋或N*
六、集合的表示方法
1.列举法
1,2,3,4,5
2.描述法
x | x 2k 1, k z
1.1.1 集合的含义与表示
一、集合的含义
一般地，一定范围内某些确定的不同的对象
的全体构成一个集合，集合中的每一个对象称为
该集合元素
a 是集合 A
中的元素，就说元素 a 属
于集合 A ，记作 a A .
2.元素 b 不是集合 A 中的元素，就说元素 b 不 属于集合 A ，记作 b

【数学】1.1.1集合的含义与表示

【数学】1.1.1集合的含义与表示

3、元素与集合的关系
关系 元 素 与 集 合 的 关 系 概念 记法 读法
如果a是集合A中的 于 属于 元素，就说a属于集 a∈A 集合 合A 如果a不是集合A中 不 的元素，就说a不属 a∉A 属于 于集合A
a属 A a不 A
属于 集合
4、常用的数集及记法 名称 意义 记法 非负整数集 全体非负整数组成的 N (自然数集) 集合 所有正整数组成的集 * 正整数集 N 或N＋ 合 整数集 有理数集 实数集 全体整数组成的集合 全体有理数组成的集 合 全体实数组成的集合 Z Q R
练习2：已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a ＋3}，若1∈A，求实数a的值．
解：若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}， 与集合中元素的互异性矛盾，应舍去； 若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}，满足题意． 当 a ＝－ 2 时， A ＝ {0,1,1} ，与集合中元素的互 异性矛盾，舍去； 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去)． 综上可知，a＝0.
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择 适当的方法来表示．
（4）我国古代四大发明； （5）抛物线y=x2上的点．
知识梳理： 1、定 义 一般地, 指定的某些对象的全体称 为集合. 集合中每个对象叫做这个集合的元素.
2、集合与元素 (1)、元素：一般地，我们把研究对象统 称为元素，元素常用小写拉丁字母 a ， b ， c„表示． (2)、集合：把一些元素组成的总体叫做 集合 ( 简称集 ) ，集合通常用大写拉丁字 母A，B，C，„表示． (3)、集合元素的三个特性：确定性、互 异性、无序性．

1.1.1集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表示
解：由集合中元素的互异性知
3≠x 3 ≠ x ²- 2x x ≠ x ²- 2x 解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
讨论题2： 集合A={1,3,5}与集合 B={3,1,5}是同一集合吗？
解：根据集合的三要素，可以知道两个 集合是同一集合．
讨论题3： 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
知识要 点
集合的表示方法之二： 像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号 “{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
课堂检测： 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数； （2）方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解； （3) 小于10的所有奇数．
解：（1）A={0，1，2,3,4,5,6,7,8,9}
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲，非 洲，南极洲，北美洲，南美洲，欧 洲，大洋洲}．
2.12的所有约数可表示为{1，2，3， 4，6，12}.
3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.
⑵ 方程 x2 5x 6 0的解集．
用列举法表示集合时，不必考虑
分析 这两. 个元集素合的都排是列有顺序限,集但是．列举的元素 （1）题的元素不可能以出现直重接复列．举出来； （2）题的元素需要解方程 x2 5x 6 0 得到．{-1,6}.
高教社
课堂练习：P5，上，练习。3
个元素，求a的值和这个元素．
解：A中只有一个元素， （1）当a=0时，4x+4=0，x=4
A={-1}；
（2）当a 0时， 16-16a=0,a=1 即x2+4x+4=0 ，x=-2 A={-2}.

1.1.1集合的含义与表示

2


（ 1 ）若A中只有一个元素，求 a的值； （2）若A中至多有一个元素，求 a的取值范围。
1 解：（ 1）当a 0时，原方程变为 2 x 1 0，此时x ，符合题意。 2 当a 0时，由 0，得a 1，此时x 1. 所以A若中只有一个元素，则 a的值为0或1. 相等的实数根或没有实 数根。由 4 4a 0，得a 1. 结合（ 1）可知，当a 0或a 1时，A中至多有一个元素。
例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合 （1）方程 x 2 2 0的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。
思考？
结合上述实例，试比较用自然语言，列举 法和描述法表示集合时，各自的特点和适 用的对象。 列举法，多用于集合中的元素有有限个的情况 描述法，多用于集合中的元素有无限多个的无 限集或元素较多的有限集
（2）当a 0时，A中至多含有一个元素， 即ax2 2 x 1 0方程有两个
8、小结
• 这两节课我们学习了哪些内容？ • 选择集合的表示方法时应注意些什么？
9、作业
• P11习题1.1A组1、2、3、4 • 元素与集合的关系有多少种？如何表示？ 类似地集合与集合间的关系又有多少种呢？ 如何表示？
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线 l 的距离等于定长
d
的所有的点；
（7）方程 x 2 3x 2 0 的所有实数根；
（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。
请我们班的全体女生起立！ 下面请我们班身高在1.70米以上的男生起立！ 我们班最高的男生能不能构成一个集合？ 咱班的女生能不能 我们班的高个子能不能构成一个集合？ 这个问题说明集合中 构成一个集合？ 由实数 1、2、3、1组成的集合有几个元素？ 的元素具有什么性质 由实数 1、2、3组成的集合中的元素有M， 他们能不能构成一个集合？ 由实数3、2、1组成的集合记为N，这两个 这两个问题说明集合中 集合中的元素相同吗？

1.1.1集合的含义与表示

例题9
设 是集合A上的一个运算，若对任意a,b ,有a b ,则称A对运算 封闭，若集合A是由正整数的平方组成的集合，即A＝{1，4，9，16，25，…}.若 分别是；①加法，②减法③乘法，④除法，则A对运算 封闭的序号有.
10.求参数的取值范围
（1）已知集合元素个数求参数问题的解题策略：已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法灵活掌握，弄清其实质，即集合中的元素是什么.
高考水平突破：
1、由a，-a，|a|， 构成的集合中，最多含有元素的个数是（）.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2、含有三个实数的集合可表示为{a， ，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2013+b2014=（）
A. 0B. 1 C.－1 D. 2
3、已知x，y都是非零实数，z= + + 可能的取值组成集合A，则（）.
（2）集合问题方程化的思想：对于一些已知某个集合（此集合中涉及方程）中的元素个数，求参数的问题，常把此集合的问题转化为方程的解的问题.
（3）集合与方程的综合问题，一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性。反过来，一组元素若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合。故集合中元素的这三个特性是判断指定对象是否构成集合的元素。
例题2判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）全体高个子的中国人构成一个集合；
（2）由1， ， ，｜－ ｜， 组成的集合有五个元素；
D.上海的所有高楼
2、已知A＝{x|3-3x>0}，则有（）.

1.1.1集合的含义和表示

C= x | x a b, a A, b B ，试用列举法表示集合C.
C={-1，0，1，2}
随堂练习 1. 将下列集合改为用符号语言描述： 奇数集呢？ (1)非负奇数集；
{x|x＝2k－1，k∈N*}； {n|n＝3k，k∈Z}
(2)能被3整除的整数的集合；
(3)第一象限和第三象限内的点的集合；
(3)0
(5) 2

3

N+
用符号“∈”或“ Q
”填空 (2) Q
3

(4)(-2)0
Q (6) 2
N R
+
• 2.若集合{－1，|x|}与{x，x2}相等，求实数x的值． [解析] ∵{－1，|x|}与{x， 2 }两集合相等， x ∴两集合含有相同的元素
x 2 }一定含有－1这个元素 即{x， 由于 x 2 ≥0，∴x＝－1.
例3 用列举法表示下列集合：
4 A x Z | Z ; （1） x 3
（2） ( x, y) | x y 3, x N , y N .
（1）{-1，1，2，4，5，7}；
（2）{（0，3），（1，2），（2，1）,（3，0）}
例4 已知集合A={1，2，3}，B={1，2}，设集合
重要数集：
思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？
思考2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集， 实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？
自然数集（即非负整数集）：记作 N (含0) 正整数集：记作 N * 或 N (不含0) 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
（3） M y y x 1, x R （4）M y y x 1, x R

1.1.1 集合的含义与表示


记作a∉A.
知识探究（四）：常见的数集
思考1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实 数能否分别构成集合？
常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记号Βιβλιοθήκη NN*或N＋Z
Q
R
知识探究（五）：集合的表示方法
观察下列集合： (1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合；
考点二： 元素与集合的关系
例 设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，
k∈Z}，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与集合A，B的关
系． 分析：a∈A，则a＝2k1(k1∈Z)；b∈B， 则b＝2k2＋1(k2∈Z)， 所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1.
又k1＋k2为整数，2(k1＋k2)为偶数，
方法规律小结
1．判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看元 素是否确定．若元素不确定，则不能构成集合．
2．集合中的元素是确定的，某一元素a要么满足a∈A，
要么满足a ∉A，两者必居其一．这也是判断一组对象 能否构成集合的依据． 3．集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序 性．求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集
合中元素的互异性．
(3)大于4的全体奇数构成的集合； (4)坐标平面内，两坐标轴上点的集合； (5)所有的三角形构成的集合．
解析 (1)∵|x|<3，x∈Z， ∴x＝－2，－1,0,1,2.∴A＝{－2，－1,0,1,2}； 2x＋y＝8， x＝3， (2)解方程组 得 ∴B＝{(3,2)}； x－y＝1， y＝2， (3){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (4){(x，y)|xy＝0}； (5){x|x 是三角形}或{三角形}．
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练习2：
思考1：a与{ a }的含义是否相同？ 思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？ 思考3：集合 { y | y x 2 , x R}与集合 { y x 2 } 相同吗？ 思考4:集合 {( x, y) | y x 2 , x R}的几何意义如何？ y
y x2
思考题(P4) (1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3吗?
集合的表示方法
2、描述法：
将集合的所有元素的共同特征（满足的条件） 表示出来，写成{x∈M︱p(x)}的形式 共同特征
3、Venn图： 形象描述法表示下列集合：
Ｂ＝｛ x Z 10 x 20 ｝ 用列举法表示为
Ｂ＝ { 11,12,13,14,15,16,17,18,19｝
随堂练习 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；
{-2，-1，0，1，2}或 {x Z || x | 3} （2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆 周上的点组成的集合；
3.集合元素的三大性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同 的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合. 只要构成两个集合的元素是一样的， 我们就称这两个集合是相等的 那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
R
5.集合的分类
有限集：含有限个元素的集合 无限集：含无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合
练习2：⑴ 0 ⑵{0} (填∈或) (填＝或≠)
φ
6、集合的表示方法 描述法、列举法、图表法
1、列举法：
无序 互异 将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ 括起来的方法叫做列举法 }
例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有素数组成的集合； 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那 么 Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６，７，８，９｝ 2 （２）设方程 x x 的所有实数根组成的集合为 Ｂ，那么Ｂ＝｛０，１｝ （３）设由1～20以内的所有素数组成的集合为Ｃ， 那么C＝｛２，３，５，７，１１，１３，１７，１ ９｝
知识探究 思考1：观察下列问题： （1）1～20以内的所有素数；
（2）我国从1991-2003年的13年内所发射的所有人造卫星
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形； （6）到直线L的距离等于定长d的所有点；
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的 全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称 为元素.
4．重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N＋: 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集
(5) R：实数集
练
习
1. 用符号“∈”或“
空 (1) 3.14
”填 Q

Q (2)

(4) (6)

(3) 0 + N 2 3 (5) Q
0 (-2) N+ 2 3
（1）
x2 2 0 方程
的所有根组成的集合 ;
（2）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合 解：（１）设所求集合为Ａ，用描述法表示为 Ａ＝｛ x R x 2 2 0 ｝ 用列举法表示为 Ａ＝｛ 2, 2
｝
（2）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合
解：设所求集合为Ｂ，用描述法表示为
{( x, y) | x y 1}
2 2
（3）所有奇数组成的集合；
{x | x 2k 1, k Z }
（4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.
{123，132，213，231，312，321}.
练习1：设x∈R，y∈R，观察下面四个集合 A＝{ y＝x2－1 } B＝{ x | y＝x2－1 } C＝{ y | y＝x2－1 } D＝{ (x, y) | y＝x2－1 } 它们表示含义相同吗?
x
o
课堂小结 1．集合的定义; 2．集合元素的性质：确定性，互 异性，无序性； 3．数集及有关符号； 4. 集合的表示方法；
5. 集合的分类.。
作业:
P12习题1.1A组： 3、4（上交作业） P11-12习题1.1A组：1、2（课下作业）
思考题：已知集合 A x Z | a x 2 a ，如
1. 定 义
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素 集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
2. 集合的表示法
常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素 注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
3．集合元素的性质： （1）确定性：集合中的元素必须 是确定的． 如果a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就 说a不属于集合A，记作a A．
例如：A表示方程X2＝1的解. 2A，1∈A.
P3思考：
判断以下元素的全体是否组成集合，并 说明理由； (1) 大于3小于11的偶数； (2) 我国的小河流。
判断下列例子能否构成集合
1：中国的直辖市 √ ×
2：身材较高的人
3：著名的数学家
×
4：高一(5)班眼睛很近视的同学 ×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不 确定的词都不能构成集合
果集合A中有且只有3个元素，求实数 a 的取值 范围，并用列举法表示集合A.