高考数学一轮复习：对数与对数函数

第6节对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数.1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1，N>0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log am b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0). 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( ) A.1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6答案 C解析 由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0. ∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________. 答案 (2，2)解析 当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________. 答案 4解析 ∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy ＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案 2或12解析 当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一 对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19C.18D.16答案 B解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19. 法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1D.10－10.1答案 A解析 依题意，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得52lg E 1E 2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E 1E 2＝25.25×25＝10.1，即E 1E 2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝( ) A.－1 B.lg 7 C.1 D.log 710答案 C解析 ∵2a ＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.4.计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 1解析 原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二 对数函数的图象及应用例1 (1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22解析 (1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 感悟提升 对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.训练1 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)(1，＋∞)解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.考点三 解决与对数函数的性质有关的问题 角度1 比较大小例2 (1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.a <c <b(3)(2021·衡水中学检测)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2，b ＝log 120.2，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.b <c <a答案 (1)D (2)C (3)B解析 (1)∵0<a <1，b ＝log 213＝－log 23<0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.故选C.(3)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12x 的图象关于直线y ＝x 对称，则0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2<1<log 120.2，∴a <b .又c ＝a b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2log 120.2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 120.20.2＝0.20.2<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.2＝a ，所以b >a >c . 角度2 解对数不等式例3 (1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________. 答案 (1)(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 (1)设x <0，则－x >0， ∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，0，x ＝0，－log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12. 当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1， 则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2. 当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由题意得a >0且a ≠1， 故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1， 所以2a >1，即a >12. 综上，12<a <1.角度3 对数型函数性质的综合应用 例4 已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解 (1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数. 所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数， 则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)， 故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2). ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥4a ＋2，4a ＋2>0，解得－12<a ≤－13. 故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－13.感悟提升 1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)A (2)[1，2) (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 (1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ， 要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c 答案 B解析 ∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案 D解析 由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋f (lg 5)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝( ) A.2B.4C.6D.8答案 A 解析 由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c答案 C解析 a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .5.在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 若a >1，则y ＝1a x 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在(－12，＋∞)上单调递减.因此， 选项D 中的两个图象符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f (x )的图象关于原点对称；②f (x )的图象关于y 轴对称；③f (x )的最大值为0；④f (x )在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图象(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________.答案 4解析原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log2x＋122－14≥－14，当log2x＝－12，即x＝22时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－14.10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝log a(x＋1)(a>0，且a≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a <log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2； ②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞). 11.已知函数f (x )＝log 21＋ax x －1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)因为函数f (x )＝log 21＋ax x －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log21－ax－x－1＝－log21＋axx－1，即log2ax－1x＋1＝log2x－11＋ax，所以a＝1，f(x)＝log21＋x x－1，令1＋xx－1>0，解得x<－1或x>1，所以函数的定义域为{x|x<－1或x>1}.(2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)，当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1.因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系式为P＝P0e－kt，其中P0，k为正常数.如果一定量的废气在前10 h的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11 hB.21 hC.31 hD.41 h答案 B解析由已知得1－15＝e－10k，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k，所以k＝2ln 2－ln 5－10≈0.022 3.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h，则12＝e－0.022 3t，方程两边同取自然对数得ln 12＝－0.022 3t，解得t≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（x －1），x >1，2x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a 的取值范围为( )A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案 D解析 作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，方程f (x )－a ＝0有两个实数根，即y ＝f (x )与y ＝a 有两个交点，由图知，0<a ≤2.14.(2022·郑州调研)在①f (x )＋f (－x )＝0，②f (x )－f (－x )＝0，③f (－2)＝－f (2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a ＋x )(a ∈R )满足________.(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝2f (－x )＋1－x 2＋1，证明：g (x 2－x )≤54. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解 若选择②f (x )－f (－x )＝0，因为f (x )－f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )－log 2(x 2＋a －x )＝0， 所以x 2＋a ＋x ＝x 2＋a －x ，所以x ＝0，a ≥0，此时求不出a 的具体值，所以不能选②. 若选择①f (x )＋f (－x )＝0，(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以log 2(x 2＋a ＋x )＋log 2(x 2＋a －x )＝0， 所以log 2[(x 2＋a ＋x )(x 2＋a －x )]＝0， 所以x 2＋a －x 2＝1，解得a ＝1. 若选择③f (－2)＝－f (2)，(1)因为f (－2)＝－f (2)，所以log 2(4＋a －2)＝－log 2(4＋a ＋2)， 所以(4＋a －2)(4＋a ＋2)＝1， 所以4＋a －4＝1，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )， f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )，所以g (x )＝2log2(x 2＋1－x )＋1－x 2＋1 ＝x 2＋1－x ＋1－x 2＋1＝－x ＋1， 所以g (x 2－x )＝－(x 2－x )＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54≤54.。

新高考数学一轮复习知识点解析1．理解对数的概念，以及熟练掌握对数的运算性质． 2．理解对数函数的概念，熟悉对数函数的性质及图象．3．知道对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，掌握两者图象之间的关系．一、对数的概念及对数的运算 1．对数的概念一般地，如果()0,1x a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．两个重要对数①常用对数：以10为底的对数10log N ，简记为lg N ； ②自然对数：以无理数 2.71828e =为底的对数log e N ，简记为ln N ．3．对数的运算法则设0a >，1a ≠，0M >，0N >，常有： ①()log log log a a a MN M N =+对数与对数函数②log log log aa a MM N N=- ③()log log n a a M n M n =∈R 4．对数的性质设0a >，1a ≠，0N >，则有：①log 10a =；②log a N a N =；③log 1a a =；④log N a a N = 5．换底公式及其变形设a ，b ，c 大于0且不等于1，0m >，0n >，0M >，0d >， 则①1log log m a a M M m =；log log m n a a nM M m=； ②log log log c a c b b a =；log 1log log log b a b b b b a a==；③log log log log a c a c m n n m ⋅=⋅；lg lg lg lg log log log log lg lg lg lg a b c a b c d db c d d a b c a⋅⋅=⋅⋅==．二、指数函数 1．对数函数的概念一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞．注意：对数函数的定义与幂函数、指数函数类似，都是形式定义，注意辨别． 如：22log y x =，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． 2．对数函数图象与性质【例1】计算912log 41lg83lg12524-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭_________．【答案】173【解析】原式2233log2og 33l 22lg 23lg 533(lg 2lg 5)3=++=++++2323173=++=，故答案为173． 【变式1．1】计算：（1）()1223021******* 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 2323log lg 25lg 47log 3log 4+++⨯． 【答案】（1）12；（2）234． 【解析】（1）原式344112992=-+=-．（2）原式()1432123log 3lg 2542log 422244-=+⨯++=-+++=．【变式1．2】已知2log 3m =，3log 4n =，则mn =_________，12m n+=__________．【答案】2，【解析】因为23log 3,log 4m n ==， 所以23lg 3lg 4lg 42lg 2log 3log 42lg 2lg 3lg 2lg 2mn =⋅=⋅===， 1222324242111log 3log 3log 4log 3log 3log 3log 3log 32222223232m n+++===⋅=⨯=⨯=故答案为2，【例2】计算下列各式的值：（1）11lg 25lg 2lg(0.01)2-++；（2）2(lg5)lg 2lg5lg 2+⋅+；（3）lg5lg 20lg 2lg50lg 25⋅-⋅-；（4）33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++．【答案】（1）72；（2）1；（3）1-；（4）1．【解析】（1）11117lg25lg2lg(0.01)lg5lg2lg100122222-++=+++=++=．（2）2(lg5)lg2lg5lg2lg5(lg5lg2)lg2lg5lg21+⋅+=++=+=． （3）222lg5lg 20lg 2lg50lg 25lg5lg(25)lg 2lg(25)lg5⋅-⋅-=⋅⨯-⋅⨯-22lg5(2lg2lg5)lg2(lg22lg5)2lg52lg2lg5(lg5)(lg2)2lg2lg52lg5=+-+-=+--- 22(lg5)(lg 2)2lg5(lg5lg 2)(lg5lg 2)2lg5lg5lg 22lg5(lg 2lg5)=--=+--=--=-+1=-．（4）3322(lg2)(lg5)3lg2lg5(lg2lg5)[(lg2)lg2lg5(lg 5)]3lg2lg5++=+-++22222(lg2)lg2lg5(lg5)3lg2lg5(lg2)2lg2lg5(lg5)(lg2lg5)1=-++=++=+=．【变式2．1】31log 232311273()log 6log 68-++-=___________． 【答案】73【解析】原式1336663log 2log 3227log 26233-⎡⎤⎛⎫=++-⎢⎥⎪⎝⎭=+-⎢⎣=⎥⎦， 故答案为73．1．对数运算的常用方法技巧（1）将真数和底数都化成指数幂的形式，使真数和底数最简，然后用公式log log m n a a nM M m=化简合并； （2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂运算；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式相乘除的形式，一般改成几个对数相加减的形式，然后再进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式．1．对数型函数恒过定点问题【例3】函数()log 23(01)a y x a a =-+>≠，的图象恒过一定点________． 【答案】()3,3【解析】由函数图象的平移公式，我们可得：将函数log (0,1)a y x a a =>≠的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数()log 23a y x =-+的图象． 又函数log (01)a y x a a =>≠，的图象恒过()1,0点，由平移向量公式，易得函数()log 23a y x =-+的图象恒过()3,3点， 故答案为()3,3．【变式3．1】已知函数1()log (3)(0,1)2af x x a a =-+>≠的图象过定点P ，若点P 在幂函数()g x x α=的图象上，则1()9g 的值为_________．【答案】3【解析】因为函数log a y x =过定点()1,0，所以令31x -=，即4x =， 所以()142=f ，则14,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为点P 在幂函数()g x x α=的图象上，所以142α=，即12α=-， 则12()g x x -=，所以11222111()3993g --⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为3．【变式3．2】已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（）A ．12B ．14 C ．18D ．1【答案】C【解析】令11x -=，即2x =，得(1)1f =，则()2,1A ， 则21m n +=且0m >，0n >，由1218m n mn +≥⇒≥≤，当且仅当14m =，12n =时，等号成立，故选C ．函数()log a y x m n =-+()0,1a a >≠且的图象过定点()1,m n +．确定定点的方法：令1x m -=，得1x m =+，此时y n =，故函数图象过定点()1,m n +．2．辨析与对数函数有关的函数图象 【例4】函数()lg 1y x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象， 再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象．故合乎条件的图象为选项C 中的图象，故选C ．【变式4．1】已知函数()cos 0y ax b a =+>的图象如图所示，则函数()log a y x b =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数()cos 0y ax b a =+>的图象可得01b <<，2π4πa >，则102a <<， 故函数()log a y xb =+是定义域内的减函数，且过定点()1,0b -， 结合所给的图象可知只有A 选项符合题意，故选A ．【例5】当01a <<时，在同一平面直角坐标系中，函数1x y a -+=与log (1)a y x =--的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由于01a <<，所以1()xx y aa-==为R 上的单调递增函数，且过点(0,1)， 将其向右平移一个单位得1x y a -+=的图象；log a y x =-为(0,)+∞上的单调递增函数，且过点(1,0)，将其向右平移一个单位得log (1)a y x =--的图象． 故选B ．【变式5．1】对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =--在同一坐标系内的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =--开口向上，对称轴102(1)x a =>-，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =--开口向下，对称轴102(1)x a =<-，经过原点，C 、D 都不可能．故选BCD ．3．利用对数函数的图象与性质比较大小【例6】已知4log 3a =，5log 3b =，4log 5c =，则（） A ．b a c << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A【解析】首先01a <<，01b <<， 因为lg 3lg 4a =，lg 3lg 5b =，所以()lg 3lg 5lg 4lg 3lg 30lg 4lg 5lg 4lg 5a b --=-=>⋅， 所以01b a <<<，因为4log 51c =>，所以b a c <<，故选A ．【变式6．1】已知实数3log 2a =，2πlog b =，2log c =，则有（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】因为3322log 2log 3log lo πg 1b a c <=<==<=A ． 【例7】已知3log 0.6a =，0.13=b ，ln 2c =，则（） A ．b c a << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B【解析】因为33log 0.6log 10a =<=，0.10331b =>=，0ln1ln2ln 1c e =<=<=， 所以a c b <<，故选B ．【变式7．1】若ln0.4a =，30.2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．b a c << B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】D【解析】ln0.4ln10a =<=，30.20.008b ==，22log 3log 21c =>=，故选D ． 【变式7．2】设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，则（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【答案】A【解析】0.10.1log 0.2log 10a =>=，0.10.1log 0.2log 0.11a =<=，1.1 1.1log 0.2log 10b =<=，0.201.2 1.21c =>=， ∴c a b >>，故选A ．【变式7．3】（多选）已知函数()2xf x =，若(2log a f =，(3log b f =，()0.3log 0.2c f =，则下列正确的是（） A ．a b > B ．c a >C ．b c >D ．a c >【答案】AB【解析】2221log log log 212=<=，3331log log log 102=>>=，0.30.31log 0.3log 0.2=<，所以0.323log 0.2log log >>而函数()2xf x =单调递增，故c a b >>，故选AB ．1．当底数相同，则可由对数函数的单调性直接判断．2．当底数不同，真数相同，则可以利用图象法比较，或取倒数法比较；当底数为真数的因数且真数的因数中除底数外都相同时可以转化为同真数比较大小．3．当底数和真数都不同，我们常借助中间值来比较：例如比较0.6log 0.5与3log 2的大小，即可选取中间值“1”来比较大小，即30.6log 21log 0.5<<． 4．利用对数函数的图象与性质解方程或不等式【例8】（多选）使“()2log 232x -<”成立的一个充分不必要条件是（） A ．32x >B ．32x <或3x > C ．23x << D ．732x <<【答案】CD【解析】由()22log 232log 4x -<=，解得3722x <<， 根据集合语言与逻辑语言的关系，只要是集合37|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭的真子集即满足条件， 显然C ，D 对应的范围是集合37|22x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭的真子集， 故选CD ．【变式8．1】已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为__________．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()10131x x f x +≤⎧∴>⇔⎨>⎩或130log 1x x >⎧⎪⎨>⎪⎩，解得10-<≤x 或103x <<，即113x -<<，∴不等式()1f x >的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【变式8．2】解不等式2233log (45)log (1)x x x -->+．【答案】3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】∵31>，∴3log y x =为()0,∞+上增函数，∴原不等式等价于22224513450210x x x x x x x ⎧-->+⎪-->⇒<-⎨⎪+>⎩，所以原不等式的解集为3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．【变式8．3】解关于a 的不等式：log (1)log (2)a a a a -<．【答案】10,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】log (1)log (2)a a a a -<，1102012a a a a a >⎧⎪->⎪∴⎨>⎪⎪-<⎩或01102012a a a a a<<⎧⎪->⎪⎨>⎪⎪->⎩，a ∴∈∅或10,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以不等式的解集为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．5．对数型复合函数的有关问题【例9】已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设函数()()()22g x f x f x =+，则()()max min g x g x -=_________． 【答案】5【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，∴13x ≤≤，∴()g x 的定义域为[1，3]， ()()()()()2222233331log 1log log 4log 2g x f x f x x x x x =+=+++=++，设3log t x =，01t ≤≤，则()()224222y g x t t t ==++=+-，在[0，1]上为增函数， ∴当0t =，即1x =时，()min 2g x =； 当1t =，即3x =时，()max 7g x =， ∴()()max min 5g x g x -=，故答案为5．【变式9．1】已知函数22()log log (8)2x f x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，若()5f x ≤在区间(,)m n 上恒成立，则n m -的最大值为（） A ．154B ．6C ．6316D ．4【答案】C【解析】∵()()2222()log log (8)log 13log 52x f x x x x ⎛⎫=⋅=-⋅+≤ ⎪⎝⎭，化简得()()22log +4log 20x x ⋅-≤， ∴24log 2x -≤≤，1416x ≤≤， ∵()5f x ≤在区间(,)m n 上恒成立，∴n m -的最大值为16341616-=， 故选C ．【例10】（1）已知函数()22()log 16f x x mx =--+在[2,2]-上单调递减，则m 的取值范围是（） A ．[4,)+∞ B ．(6,6)-C ．(6,4]-D ．[4,6)【答案】D【解析】令2()16g x x mx =--+，因为2log y x =是增函数，所以，要使()f x 在[2,2]-上单调递减， 只需()g x 在[2,2]-上单调递减，且()0>g x 恒成立，故min ()(2)4216022g x g m m ==--+>⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，解得46m ≤<，故选D ．（2）已知函数()lg 12xa f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则实数a 的值为_____．【解析】∵102x a->，∴2x a >，当0a ≤时，定义域为(),-∞+∞，与题设矛盾，2210log log 2a x a a a ∴>∴>∴=∴=，（3）若122log (42)0ax x a -+-<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】4a >【解析】由已知得不等式21122log (42)log 1ax x a -+-<对任意x ∈R 恒成立，所以不等式2421ax x a -+->对任意x ∈R 恒成立，即不等式2430ax x a -+->对任意x ∈R 恒成立，当0a =时，则不等式430x -->对任意x ∈R 不恒成立，所以0a ≠．所以20(4)4(3)0a Δa a >⎧⎨=---<⎩，即20340a a a >⎧⎨-->⎩，所以014a a a >⎧⎨<->⎩或，解得4a >．【变式10．1】（1）若函数()212log 815y ax x =-+在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围（） A ．[]0,2 B ．1,24⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】令2815ax t x -+=，则12log y t =，因为函数()212log 815y ax x =-+在()1,2上单调递增，函数12log y t =在定义域上是减函数，所以函数2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，并且28150ax x -+>在()1,2上成立；当2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，则280ax t '-=≤在()1,2上成立，所以2a ≤； 又28150ax x -+>在()1,2上成立，所以2815a x x>-在()1,2上成立， 所以8151244a ≥-=， 综上，a 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选D ．（2）已知函数()()()22lg 111f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦，设命题:p “()f x 的定义城为R ”；命题:q “()f x 的值域为R ”．①若命题p 为真，求实数a 的取值范围；②若命题p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】①[)5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；②(][),11,-∞-+∞．【解析】①命题p 为真，即()f x 的定义域是R ，等价于()()221110a x a x -+-+>恒成立，等价于1a =或()()222101410a Δa a ⎧->⎪⎨=---<⎪⎩，解得53a <-或1a ≥， 故实数a 的取值范围为[)5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．②命题q 为真，即()f x 的值域是R ，等价于()()22()111g x a x a x =-+-+取遍所有的正数，即值域为()0,+∞，等价于1a =-或()()222101410a Δa a ⎧->⎪⎨=---≥⎪⎩，解得513a -≤≤-． 若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，则“p 真q 假”或“p 假q 真”，即513513a a a a ⎧<-≥⎪⎪⎨⎪<->-⎪⎩或或或513513a a ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≤≤-⎪⎩，解得1a ≤-或1a ≥，故实数a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞．（3）已知函数214()log (238)f x mx x m =-+．①当1m =时，求函数()f x 在1[,2]2上的值域；②若函数()f x 在(4,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围．【答案】①114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】①当1m =时，()122()log 238f x x x =-+，此时函数()f x 的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．因为函数2238y x x =-+的最小值为242835588⨯⨯-=．最大值为22232810⨯-⨯+=，故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为114455log 10,log 8⎡⎤⎢⎥⎣⎦．②因为函数14log y x =在(0,)+∞上单调递减，故2()238g x mx x m =-+在(4,)+∞上单调递增，则0344(4)0m mg >⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩，解得310m ≥， 综上所述，实数m 的取值范围为3,10⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．对数型复合函数的单调性和值域的求解方法 1．对于()log a y f x =型函数 （1）单调性①首先求出()log a y f x =的定义域D ；②当1a >时，若()f x 在区间(),m n 上（其中(),m n D ⊆）具有单调性，则函数()log a y f x =在区间(),m n 上的单调性与()f x 在区间(),m n 上的单调相同；③当01a <<时，若()f x 在区间(),m n 上（其中(),m n D ⊆）具有单调性，则函数()log a y f x =在区间(),m n 上的单调性与()f x 在区间(),m n 上的单调相反． （2）值域令()u f x =，先求出()u f x =的值域，再利用log a y u =的单调性求出值域．2．对于()log a y f x =型函数的单调性和值域令log a u x =，先求出log a u x =的值域M ，研究函数()y f u =在M 上的单调性，再求出()y f u =的值域．一、选择题．1．如图，①②③④中不属于函数2log y x =，0.5log y x =，3log y x =-的一个是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B【解析】由对数函数图象特征及2log y x =与0.25og l l og y x x ==-的图象关于x 轴对称， 可确定②不是已知函数图象，故选B ．2．已知()333log log log 1a b a b +=++，则4a b +的最小值是（） A ．12 B ．18 C ．24 D ．27【答案】D【解析】()333log log log 1a b a b +=++，即()()33log log 33ab a b =+，33ab a b ∴=+，所以1131a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()114434353527a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当2a b =时，等号成立，因此，4a b +的最小值为27，故选D ．3．已知函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），则()1y f x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意()(1)log (1)a y g x f x x ==-=-，∴()log (1)()a g x x g x -=--=，即()g x 为偶函数，排除A 、D ； 当3x =时，(3)log (31)log 2a a y g ==-=， 当32x =时，33()log (1)log 222a a y g ==-=-，∴3x =、32x =对应函数值异号，排除C ， 故选B ．4．已知3log 12a =，5log 4b =，134c =，则（） A ．c a b >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．b a c >>【答案】C【解析】因为11321442<<=，332log 9log 12=<，50log 41<<， 所以1335log 44log 12<<，故a c b >>，故选C ．5．已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1【答案】C【解析】令11x -=，即2x =，得(1)1f =，则()2,1A ，则21m n +=且0m >，0n >，由1218m n mn +≥⇒≥≤，当且仅当14m =，12n =时，等号成立， 故选C ．6．声音通过空气的振动所产生的压强叫作声压强，简称声压，声压的单位为帕斯卡(Pa )，把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级，声压级以符号SPL 表示，单位为分贝(dB )，在空气中，声压级的计算公式为SPL (声压级)020lg (dB)p p =，其中p 为待测声压的有效值，0p 为参考声压，在空气中，一般参考声压取5210Pa -⨯，据此估计，声压为1Pa 的声压级为（）()lg20.301≈A ．92dBB ．94dBC ．95dBD ．96dB 【答案】B【解析】由题意知：55120lg 20(lg10lg 2)20(50.301)93.98210-=⨯-≈⨯-=⨯， ∴声压为1Pa 的声压级约为94dB ，故选B ．7．已知0m >，0n >，()248log log log 43m n m n ==+，下列结论正确的是（） A ．2n m =B ．ln 2ln 2ln m n =-C ．1ln 2n m e =D ．393log 2log 2log 2m n -=【答案】C【解析】由题意设()248log log log 43m n m n k ==+=，则2k m =，4k n =，438k m n +=，∴42348k k k ⨯+⨯=，∴114()3()142k k ⨯+⨯=， ∴211431022k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴1124k ⎛⎫= ⎪⎝⎭或112k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍），解得2k =， ∴2k =，4m =，16n =，4n m =，故A 错误；ln ln 41ln ln1622ln 2m n ==≠-，故B 错误； 11ln ln16ln 242n m e e e ===，故C 正确；3939333log 2log log 42log 16log 42log 42log 2m n -=-=-=-，故D 错误，故选C ．8．已知函数()2()log 3a f x x ax =++(0a >，且1a ≠)，若()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2)B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,)+∞【答案】A【解析】令()23g x x ax =++，可得函数()g x 表示开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-， 所以()2()324a a g x g ≥-=-， 因为()1f x >恒成立，所以2134a a a >⎧⎪⎨->⎪⎩，即214120a a a >⎧⎨+-<⎩，解得12a <<， 即实数a 的取值范围是()1,2，故选A ．9．已知定义在()(),00,-∞+∞上的偶函数()f x ，当0x >时，()3log ,034,3x x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若函数()()y f x a a =-∈R 恰有六个零点，且分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅的取值范围是（）A ．()9,4--B ．()4,9-C ．()16,9--D ．()16,4--【答案】C 【解析】根据题目条件，作出函数()f x 在()(),00,-∞+∞上的图象，如图所示：设()0f x a -=的六个零点，自左到右为123456,,,,,x x x x x x ，则(0,1)∈a ，由对称性知：162534,,x x x x x x =-=-=-，又45(0,1),(1,3)x x ∈∈，则343545log log 1x x x x -=⇒⋅=，故()123456266452x x x x x x x x x x ⋅=-=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅， 易知6(3,4)x ∈，则26(16,9)x -∈--，故选C ．10．（多选）已知函数()22()log 48f x mx x =++，m ∈R ，则下列说法正确的是（） A ．若函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，则实数m 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．若函数()f x 的值域为[2,)+∞，则实数2m =C ．若函数()f x 在区间[3,)-+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是42,93⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．若0m =，则不等式()1f x <的解集为32x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ 【答案】AC【解析】对于A ，由题意知2480mx x ++>对x ∈R 恒成立，由于当0m =时，不等式480x +>不恒成立，所以0m ≠．当0m ≠时，由016320m Δm >⎧⎨=-<⎩，解得12m >，所以A 正确； 对于B ，若函数()f x 的值域为[2,)+∞，则min ()2f x =，显然m 不为0，则函数248y mx x =++的最小值为4， 则当2x m =-时，2min 22484y m m m ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =，所以B 错误； 对于C ，若函数()f x 在区间[3,)-+∞上为增函数，则248y mx x =++在[3,)-+∞上为增函数，且在[3,)-+∞内的函数值为正，所以2023(3)4(3)80m m m >⎧⎪⎪-≤-⎨⎪⨯-+⨯-+>⎪⎩，解得4293m <≤，所以C 正确；对于D ，若0m =，则不等式()1f x <等价于2log (48)1x +<，则0482x <+<，解得322-<<-x ，所以D 不正确， 故选AC ．二、填空题．11．()332483log log log +⋅=___________． 【答案】56【解析】()332483lg3lg3lg 25log log log 2lg 23lg 2lg36⎛⎫+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，故答案为56．12．函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得(2)(1)f x f x >-成立的x 的取值范围是________． 【答案】()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【解析】函数()()21ln 11f x x x =+-+，定义域为R ， 且()()()21ln 11f x x f x x -=+-=+，即()f x 为偶函数， 当0x >时，()()21ln 11f x x x =+-+单调递增， 由(2)(1)f x f x >-，可得(|2|)(|1|)f x f x >-，即为|2||1|x x >-，即有(31)(1)0x x -+>，解得13x >或1x <-， 故答案为()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭．13．若函数()log (6)a f x ax =-在[0,2]上为减函数，则a 取值范围是_________．【答案】()1,3【解析】令log a y u =，0a >且1a ≠，6u ax =-，因为函数()log (6)a f x ax =-在[]0,2上是减函数且6u ax =-在[]0,2上是减函数， 所以log a y u =是增函数且0>u 恒成立，即1620a a >⎧⎨->⎩，解之得a 的取值范围是()1,3， 故答案为()1,3．14．设()f x 定义域为R ，已知()f x 在[)1,+∞上单调递减，()1f x +是奇函数，则使得不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>成立的x 取值范围为_________．【答案】()3,4【解析】因为()1f x +是奇函数，故()f x 图象关于()1,0对称， 由题设()()110f x f x -++=，因为()f x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()120f x f x +>等价于122x x +<， 因此不等式()()()22log 3log 0f x f x -+>等价于()22log 3log 2x x -+<， 即22log [(3)]log 4x x -<，即234x x -<且30x ->， 解得x 取值范围为()3,4，故答案为()3,4．。

专题3.6 对数与对数函数（真题测试）一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B 【解析】 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B.2．（2021·天津·高考真题）若2510a b ==，则11a b+=（ ）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 10【答案】C 【解析】 【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.3.（2020·海南·高考真题）已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(5,)+∞D ．[5,)+∞【答案】D 【解析】【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增 所以5a ≥ 故选：D4．（2011·辽宁·高考真题（理））设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 取值范围是（ ）A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1,+∞）D ．[0,+∞）【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性，讨论不同区间对应()2f x ≤的x 范围，然后取并. 【详解】由1122x x -≤⎧⎨≤⎩，可得01x ≤≤；或211log 2x x >⎧⎨-≤⎩，可得1x >；综上，()2f x ≤的x 取值范围是[0,)+∞. 故选：D5．（2017·天津·高考真题（文））已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C 【解析】 【详解】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.6．（2018·全国·高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 【详解】 分析：求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果． 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴==0.3110.4log a b ∴+=1101a b ∴<+<,即01a bab+<< 又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.7.（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.8．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D. 二、多选题9．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（ ）AB C D【答案】ABC【解析】 【分析】分1a >和01a <<，分别作函数()4x f x =与()log a g x x =的图象，观察在12x =处的函数值关系可解. 【详解】分别记函数()4x f x =，()log a g x x = 由图1知，当1a >时，不满足题意；当01a <<时，如图2，要使102x <≤时，不等式4log xa x ≤恒成立，只需满足11()()22f g ≤，即1214log 2a ≤，即12log 2a ≤，解得212a ≤<.故选：ABC10．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中满足：对定义域中任意1x ，()212x x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭的有（ ）A ．()2x f x =B ．()lg f x x =C ．2()f x x =D ．()f x x =【答案】AC 【解析】作出22,lg ,,x y y x y x y x ====的图象，在图象上任取两点且两点的横坐标为()1212,x x x x <，根据图象分析()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系.【详解】A ．作出2x y =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故满足；B ．作出lg y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故不满足； C ．作出2y x 的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故满足；D ．作出y x =的图象如下图所示：所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，故不满足，故选：AC.11．（2022·广东佛山·三模）已知01b a <<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．log log a b b a < B ．log 1a b > C ．ln ln a b b a < D ．ln ln a a b b >【答案】BC 【解析】 【分析】作差法判断选项A ；利用对数函数单调性判断选项B ；利用幂函数指数函数对数函数的单调性去判断选项C ；举反例排除选项D. 【详解】选项A ：()()22lg lg lg lg lg lg lg lg log log lg lg lg lg lg lg a b b a b a b a b a b a a b a b a b-+--=-==由01b a <<<，可得lg lg 0b a <<，则lg lg 0b a >，lg lg 0b a -<，lg lg 0b a +< 则()()lg lg lg lg 0lg lg b a b a a b-+>，则log log a b b a >.判断错误；选项B ：由01a <<，可得log a y x =为(0,)+∞上减函数， 又0b a <<，则log log 1a a b a >=.判断正确；选项C ：由01a <<，可知x y a =为R 上减函数，又b a <，则a b a a > 由0a >，可知a y x =为(0,)+∞上增函数，又b a <，则a a b a <，则b a a b >又ln y x =为(0,)+∞上增函数，则ln ln b a a b >，则ln ln a b b a <.判断正确；选项D ：令211e ea b ==，，则01b a <<<，e ln l 111e n e a a =-=，222ln ln 112e e eb b =-=则22122e0e ln eln e a a b b --+==<-，即ln ln a a b b <.判断错误.故选：BC12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，方程()()220(0)f x f x m m +-=>有四个不同的实数根，从小到大依次是1234,,,,x x x x 则下列说法正确的有（ ） A ．13x <- B ．122x x +<- C ．342x x = D ．m 可以取到3【答案】BD 【解析】 【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象，根据已知方程知两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，结合图象及原方程根的个数确定1()f x 、2()f x 的范围，进而得到1234,,,x x x x 的范围，即可确定答案. 【详解】由题设，2222,0()log ,01log ,1x x f x x x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩，其函数图象如下：而2()2()y f x f x m =+-的对称轴为()1f x =-且440m ∆=+>，即1m >-，所以0y =必有两个零点1()f x 、2()f x 分别在()1f x =-的两侧，由上图知：10()1f x <≤且23()2f x -≤<-，满足原方程有四个实根，故123()()0f x f x m -≤=-<，则03m <≤，D 正确；所以13222x --≤-<-：21log 52x -≤<-；且210x -<≤； 230log 1x <-≤：3112x ≤<；且240log 1x <≤：412x <≤.； 所以212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤且341x x =，则122x x +<-，故A 、C 错误，B 正确. 故选：BD 三、填空题13．（2020·北京·高考真题）函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________． 【答案】(0,)+∞ 【解析】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14．（2020·山东·高考真题）若212log log 40x -=，则实数x 的值是______.【答案】14【解析】 【分析】根据对数运算化简为2log 2x =-，求解x 的值. 【详解】21222log log 40log log 40x x -=⇔+=，即2log 2x =-，解得：14x =. 故答案为：1415．（2018·全国·高考真题（文））已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．【答案】-7 【解析】 【详解】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 16．（2022·全国·高考真题（文））若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12-； ln 2．【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x +≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x +=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，2()(23)g x f x mx =-+，若>1a ，且()g x 在(1,)∞-+为增函数，求实数m 的取值范围. 【答案】21m -≤≤- 【解析】 【分析】根据二次函数、对数函数以及复合函数的单调性建立不等式组，求解即可. 【详解】解：因为函数()log (0,1)a f x x a a =>≠，2()(23)g x f x mx =-+，又>1a ，且()g x 在(1,)∞-+为增函数，所以()()21121+30m m ≤-⎧⎪⎨--⨯-⎪⎩， 解得21m -≤≤-，所以实数m 的取值范围为21m -≤≤-.18．（2011·上海·高考真题（理））已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.【答案】（1）当0,0a b >>时，函数()f x 在R 上是增函数,当0,0a b <<时，函数()f x 在R 上是减函数；（2）当0,0a b <>时，则 1.5log ()2a x b >-；当0,0a b ><时，则 1.5log ()2a x b<-. 【解析】 【详解】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a ⇒-<，121233,0(33)0x x x xb b ⇒-<，∵12())0(f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数, 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数；（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.19．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． 【答案】(1)(－1，1)； (2)奇函数，证明见解析； (3)(0，1)． 【解析】【分析】（1）结合真数大于零得到关于x 的不等式组即可求得函数的定义域； （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于x 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果． (1)要使函数有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(1,1)-； (2)函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-()f x ∴是奇函数．(3)若1a >时，由()0f x >得log (1)log (1)a a x x +>-，则1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩，求解关于实数x 的不等式可得01x <<，故不等式的解集为(0,1)．20．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）已知函数()()212log f x x mx m =--．(1)若1m =，求函数()f x 的定义域．(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围．(3)若函数()f x在区间(1-∞，上是增函数，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)()-∞⋃+∞； (2)(,4][0,)m ∈-∞-⋃+∞；(3)22(1m ≥≥. 【解析】 【分析】（1）由对数的性质有210x x -->求解集，即可得定义域.（2）由题设(0,)+∞是2y x mx m =--值域的子集，根据二次函数的性质有0∆≥即可求m 的范围.（3）首先根据二次函数、对数函数的性质判断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有12(10mf ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即可求m 的范围. (1)由题设，210x x -->，则xx <所以函数定义域为()-∞⋃+∞. (2)由函数()f x 的值域为R ，则(0,)+∞是2y x mx m =--值域的子集， 所以240m m ∆=+≥，即(,4][0,)m ∈-∞-⋃+∞. (3)由2t x mx m =--在(,)2m -∞上递减，在(,)2m +∞上递增，而12log y t=在定义域上递减，所以()f x 在(,)2m -∞上递增，在(,)2m+∞上递减，又()f x在(,1-∞上是增函数，故12(10mf ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，可得22(1m ≥≥.21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()|21|x f x -=-，()x R ∈．(1)证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，并指出函数()f x 在区间(,1)-∞上的单调性；(2)若函数()f x 的图象与直线y t =有两个不同的交点(,)A m t ，(,)B n t ，其中m n <，求m n +的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；函数()f x 在区间(,1)-∞上为减函数 (2)(,2)-∞ 【解析】 【分析】（1）用单调性的定义取值，做差，判断与零的关系，证明即可；（2）易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<，故1210m --<，1210n -->，易得m n +的表达式，利用对数复合函数求值域即可. (1)证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <()()()()()121212121111111212121212122222x x x x x x x x f x f x -------=---=-----==12x x <，∴1222x x <，∴12220x x -<，12()()f x f x ∴<．所以()f x 在区间(1,)+∞上为增函数． 函数()f x 在区间(,1)-∞上为减函数． (2)（2）作出函数1()|21|x f x -=-的图像，如图所示，由题意函数()f x 的图象与直线y t =有两个不同的交点，故有(0,1)t ∈，易知(,)A m t ，(,)B n t 分别位于直线1x =的两侧，由m n <，得1m n <<， 故1210m --<，1210n -->，又A ，B 两点的坐标满足方程1|21|x t -=-，故得112m t -=-，121n t -=-， 即2log (22)m t =-，2(log 2)2n t =+，故2222log (22)log (22)log (44)m n t t t +=-++=-， 当01t <<时，20444t <-<，22log (44)2t -∞<-<． 因此，m n +的取值范围为(,2)-∞．22．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1axf x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数． (1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)1- (2)证明见解析 (3)9(,)8-∞-【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义列出等式，整理化简可得结果； （2）将()f x 看成是由0.52()log ,=1+1f x μμμ=- 复合而成，根据复合函数的单调性的判断方法证明即可； （3）不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立问题转化为()min 1[2]xf x m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭->解决，因此根据函数的单调性求得最值，解不等式可得答案. (1)解：由题意，()0.51log 1axf x x -=-是奇函数， 故()()0f x f x ，即0.50.511log log 011ax axx x +-+=---， 即0.511log 011ax ax x x +-⋅=---，所以11111ax axx x +-⋅=---， 即22211a x x -=- ，则222a x x =， 故1a =± ，当1a =时，()0.50.51log log (1)1xf x x -==--，无意义，不符合题意； 当1a =-时，()0.51log 1xf x x +=-满足()()0f x f x ，故1a =-； (2)证明：由（1）知：()0.51log 1xf x x +=-， 设12111x x x μ+==+-- ，那么()f x 可以看成是由0.52()log ,=1+1f x μμμ=- 复合而成， 因为0.5()log f μμ=在定义域内是减函数，故要证明函数()f x 在()1,+∞上是增函数，只需证明2=1+1x μ-在()1,+∞上是减函数即可；不妨设121x x << ， 则()()211212122-22()()1-1=1111x x x x x x x x μμ-=++----（）（） ， 121x x << ，122110,10,0x x x x ∴->->-> ，故()()21122-011x x x x >--（），即12()()0x x μμ->，即12()()x x μμ>,所以2=1+1x μ-在()1,+∞上是单调减函数，故()f x 在()1,+∞上是增函数． (3)解：对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，即()12x f x m ⎛⎫+ ⎪⎭>⎝-恒成立，只需()min 1[2]xf x m ⎛⎫⎪⎝⎭->即可；而由（2）知()f x 在[3,4]上是增函数，在[3,4]上12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调减函数，故()1()2xh x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-在[3,4]上是增函数，故()3min 119](3)()128281[xf x f ⎛⎫⎪⎝-=---=-⎭=，故98m <-，即9(,)8m ∈-∞- .。

§2.7 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0； 当0<x <1时，当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点 ． 答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0， 令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝ .答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝ . 答案 12或2解析 当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 2a ＝5b ＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2log 5150－log 514＝ .答案 2解析 原式＝log 535－log 5150－log 514＋212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2.教师备选计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .答案 1 解析 原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＋b ＝ .答案 6解析 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ， 所以b 2b ＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ . 答案 4解析 原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.题型二 对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1答案 A解析 由函数图象可知，f (x )为增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析若方程4x ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝⎛⎦⎤0，12上有交点， 由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x ＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln 2 B ．e ＋ln 2 C ．2D ．4答案 C解析根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，函数f(x)＝e x＋x－2的零点为函数y＝e x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x1，1e x)，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，又由函数y＝e x与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，1e x)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有1e x＋ln x2＝1e x＋x1＝2.思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝log a x＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝a x＋b的图象可能为()答案 D解析 结合已知函数的图象可知， f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意．(2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2e x -＝ln(x 2＋1)，3e x -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1 D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析 画出函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x ，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3.题型三 对数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式、对数式大小 例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a <b C ．c <b <a D ．a <c <b答案 D 解析 c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( )A ．b <c <aB ．a <c <bC ．a <b <cD ．c <b <a答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数， 所以1a ＝log 36＝1＋log 32，1b＝log 612＝1＋log 62， 1c＝log 1224＝1＋log 122， 因为log 32＝lg 2lg 3，log 62＝lg 2lg 6，log 122＝lg 2lg 12，且lg 3<lg 6<lg 12，所以log 32>log 62>log 122， 即1a >1b >1c ， 所以a <b <c .命题点2 解对数方程不等式例4 若log a (a ＋1)<log a (2a )<0(a >0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，1解析 依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递减C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减 答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1， c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg 3lg 2×lg 5lg 9＝lg 3lg 2×lg 52lg 3 ＝lg 52lg 2＝lg 5lg 4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．a <c <b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0， 可得c <b <a <1.(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ≥2，－log ax －4，0<x <2存在最大值，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤0，22解析 当a >1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意， 故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2； 当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4， 则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2， 即1a 2≥2,0<a ≤22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min＝ .答案 5解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7，∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于() A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析 函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10 lg I I 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7)B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析 由题意可得，0≤10·lg I I 0<50， 即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 C解析 由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩ 或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩ 解得a >1或－1<a <0.5. (多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案 BC解析 由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ，则( )A ．f (ln 2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln 2答案 ACD解析 f (ln 2)＝ln(e 2ln 2＋1)－ln 2＝ln 52， 故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－ln e x＝ln e 2x ＋1e x ＝ln(e x ＋e －x )， 所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x 在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x ＋e －x )在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln 2，故D 项正确．7．(2022·海口模拟)log 327＋lg 25＋lg 4＋27log 7＋138的值等于 ． 答案 152 解析 原式＝323log 3＋lg 52＋lg 22＋2＋1332⨯ ＝32＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2 ＝32＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2x 的最小值为 ．答案 －14 解析 依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14. 9．设f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x －2x )，令t ＝4x －2x ，则t ＝4x －2x ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， 因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4，所以94≤⎝⎛⎭⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12， 因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0，log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x >0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0. ∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x ＝3y ＝log 4z ，则( )A ．z >x >yB ．z >y >xC ．x >y ，x >zD ．z >x ，z >y 答案 D解析 设2x ＝3y ＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k ，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ，4k >log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83 B.809 C.154 D.25516答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |，∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83. 14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是 ． 答案 (1，2)解析 令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋12－a 24， 则u 有最小值12－a 24， 欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12有最小值， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1 解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a＝lg (a ＋1)lg a －lg a lg (a ＋1)＝lg 2(a ＋1)－lg 2a lg a lg (a ＋1)＝[lg (a ＋1)－lg a ][lg (a ＋1)＋lg a ]lg a lg (a ＋1)当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lg a ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>0， 由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝⎛⎭⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1， 综上有a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋52，1. 16．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )．(1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围． 解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x －4)．由f (x )>2，得log 2(2x －4)>2，得2x －4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x ＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)， 所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x ＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根， 即log 2(2x ＋1)＝x －2m 有实根． 所以方程－2m ＝log 2(2x ＋1)－x 有实根． 令g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x＝log 2(2x ＋1)－log 22x＝log 22x ＋12x ＝log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝⎛⎭⎫1＋12x >0， 所以g (x )的值域为(0，＋∞)． 所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练： 对数运算和对数函数A.C. D.4．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )A.的增长速度最快, 的增长速度最慢B.的增长速度最快, 的增长速度最慢C.的增长速度最快, 的增长速度最慢D.的增长速度最快, 的增长速度最慢5．已知函数，则下列说法正确的是( ).A.B.函数的图象与x 轴有两个交点C.函数的最小值为-434log 9log 2+=212log 3=+5log 3259=225511log 25log log 8log 252⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22,2,log x f x x g x h x x ===(4,)x ∈+∞()f x ()h x ()g x ()h x ()g x ()f x ()f x ()g x ()2222()log log 3f x x x =--(4)3f =-()y f x =()y f x =D.函数的最大值为46．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则7．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则8．已知，且，下列说法中错误的是( ).A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9．下列运算错误的是( ).A. B.C. D.10．下列运算错误的是( )A.B.C.D.11．若,,且,则( )A. B.C. D.12．下列式子中正确的是( )()y f x =lg(lg10)0=lg(ln e)0=lg 10x =10x =ln e x =2e x=1232=129ln e 4+=3log (lg )1x =1000x=log a c =7cb a =0a >1a ≠M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=23511log 25log log 16169⨯⨯=lg 2lg 5010+=11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⋅⋅=lg 2lg 5010+=((2225log (2log 4-=-1a >1b >lg()lg lg a b a b +=+lg(1)lg(1)0a b -+-=11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭lg(1)lg(1)1a b -+-=11lg 1a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.若，则B.若C.D.13．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，南极星的星等是-0.72，则( )A.天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是14．已知且A. B. C. D.15．下列运算正确的是( )A. B.C. D.16．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.17．下列运算正确的是( )A. B.C. D.18．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg 2lg5010+=ln 2ln3e 6+=10lg x =10x =25log x =5=±lg(lg10)0=24log 5280+=2152m m -=k ()1,2k E k =10,110-0,29210-0a b >>ln a =22log log a b>2e ab >122ab a b ++<a b b aa b a b >lg 5lg 21+=42log 32log 3=ln πe π=5lg 5lg 2log 2÷=lg5lg 21+=ln πe π=42log 32log 3=2lg 5lg 2log 5÷=52log 10log 0.252s +=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg2lg5010+=ln 2ln36e +=19．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快20．已知，，则的值可能为( )A.B.C.24D.12()log f x x =1()2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,+∞()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ,a b ∈R 249a b ==2a b -8338124参考答案解析：对选项A:,正确;对选项C:,正确;341log 9log 222+=+=2212log 32log 3==-=+555log 3log 3log 9225559===对选项D:,正确;故选:BCD 4．答案：ACD解析：画出函数,,的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数,,中,当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.所以选项B 正确;选项ACD 不正确.故选：ACD.5．答案：ABC解析：对于A ，，正确；对于B ，，，令，得，即得或，所以或，即的图象与x 轴有两个交点，正确；对于C ，，，当，即时，，正确；对于D ，易知没有最大值.6．答案：AB 解析：7．答案：BCD 解析：8．答案：ACD 解析：()2222(4)log 4log 433f =--=-()222()log 2log 3f x x x =--(0,)x ∈+∞()0f x =()()22log 1log 30x x +-=2log 1x =-2log 3x =12x =2255252511log 25log log 8log log 5log 42log 5log 2252⎛⎫⎛⎫++=⨯=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2f x x =()2x g x =()2log h x x =()2f x x =()2x g x =()2log h x x =(4,)x ∈+∞()2x g x =()2log h x x =8x =()f x ()22()log 14f x x =--(0,)x ∈+∞2log 1x =2x =min ()4f x =-()f x9．答案：ABD 解析：对于A ，，故A 错误.对于B ，误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误.10．答案：ABC解析：对于A ，，A 错误；对于B ，对于C ，，C 错误；对于D ，故选：ABC.11．答案：AB解析:依题意,,由,得,所以,且,即,.故选AB12．答案：CD解析：若，则，故A 错误；若，故B 错误；因为，则，故C 正确；()221111115555552log 10log 0.25log 10log 0.25log 100.25log 252+=+=⨯==-4259lg 27lg8lg 53lg 33lg 2lg 5log 27log 8log 5lg 4lg 25lg 92lg 22lg 52lg 3⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=242235235112lg 54lg 22lg 3log 25log log log 5log 2log 316169lg 2lg 3lg 5----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=lg 2lg 50lg1002+==()22111155552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==-334259222lg 312lg 533log 27log 8log 5lg 215lg 3222g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯lg 2lg 50lg1002+==((22221log (2log 12⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭1a >1b >lg()lg lg lg()a b a b ab +=+=a b ab +=(1)(1)()1a b ab a b --=-++=111a b=+=[]lg(1)lg(1)lg (1)(1)lg10a b a b -+-=--==11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lg x =1010x =25log x =12255x ==lg101=lg(lg10)lg10==，故D 正确.故选：CD.13．答案：AC 解析：14．答案：AD解析：对于选项A ：因为，又因为在上单调递增，所以，故A 正确；对于选项B ：因为，解得或，所以或，故B 错误；对于选项C ：因为，且，可得，同号，则有若，同正，可得，则，可得；若，同负，可得，则，可得.综上所述，，又因为在定义域内单调递增，所以，故C 错误；对于选项D ：因为，则，可得在上单调递增，可得，且，，所以，故D 正确.故选AD.15．答案：AC解析：,故选项A 正确;,故选项B 错误;根据对数恒等式可知,,选项C 正确;根据换底公式可得：,故选项D 错误．故选：AC.16．答案：AD解析：对于选项A ，，所以选项A 正确；224log 5log 5422216580+==⨯=⨯0a b >>2log y x =()0,+∞22log log a b >2(ln ln )ln ln 4a b a b +<=()2ln 14ab >()ln 2ab >()ln 2ab <-2e ab >210e ab <<0a b >>ln ln 10a b =>ln a ln b ln a ln b e 1a b >>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+ln a ln b 110ea b >>>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+1ab a b +>+2x y =122ab a b ++>0a b >>0a b ->a b y x -=()0,+∞0a b a b a b -->>0b a >0b b >a b b a a b a b >()lg 5lg 2lg 52lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===ln πe π=5lg 2log 2lg 2lg 5lg 5==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==对于选项B ，误；对于选项C ，，所以选项C 错误；对于选项D ，，所以选项D 正确.故选：AD 17．答案：ABD解析：对于选项A ，，故选项A 正确；对于选项B ，根据对数恒等式可知，故选项B 正确；对于选项C ，，故选项C 错误；对于选项D ，根据换底公式可得，故选项D 正确.故选ABD.18．答案：AD解析:对于选项A,,所以选项A 正确;对于选项B,项C,,所以选项C 错误;对于选项D,, 所以选项D 正确.19．答案：ABD解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.20．答案：BC解析：由题意得，，则时，，同理时，334259222lg 3lg 2lg 533log 27log 8log 5lg 2lg 5lg 3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg 2lg50lg1002+==ln 2ln3ln 2ln3e e e 236+=⋅=⨯=lg5lg 2lg(52)lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===2lg 5log 5lg 5lg 2lg 2==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==334259222lg3lg2lg533log 27log 8log 5lg2lg5lg3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg2lg50lg1002+==ln 2ln 3ln 2ln 3236e e e +=⋅=⨯=()f x ()g x ()f x ()g x 42log 9log 3a ==3b =±3b =23228a a bb -==3b =-22242a a bb -==故选：BC.。

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结第11练对数与对数函数（精练）【A组在基础中考查功底】一、单选题⎝⎭．．．．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.【详解】依题意ππ),,22y x x⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，cos x为偶函数，则ln(cos)x为偶函数，cos1x<<，则ln(cos)0x<.故选A．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数()|f x=令1()44g b a b b b=+=+，根据对勾函数的图像与性质易得所以()(1)5g b g >=．故4a b +>故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（A ．12B ．14【答案】C【分析】求出A ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果【详解】令11x -=，即2x =，得则21m n +=且0m >，0n >，由222122m n mn mn +≥⇒≥当且仅当14m =，12n =时，等号成立，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最41+．．．．【答案】A【分析】先求出定义域，由)x 为偶函数，结合函数在结合函数图象的走势，排除【详解】()22ln 41x x x f x =+变形为，定义域为()(,00,∞-U )()22ln ln 2222x x x x x x ----==++为偶函数，关于y 轴对称．1x <<时，()0f x <，，排除BC ，→+∞时，()0f x →，故排除故选：A ．（2023·河南周口·统考模拟预测）若，21log 62b =，12c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．b a c >>B ．c b a >>D ．【答案】A二、多选题当01a <<时，函数()lg f x x =在函数()πsin2x g x =在[]0,a 上单调递增，所以所以π1sin22a a a M m -==，解得当1a ≥时，函数()lg f x x =在[a 由图可知，函数()πsin2x g x =在所以11lg 2a a M m a -=-=，解得结合选项，实数a 可以是13和10故选：BD.三、填空题15．（2023·上海·高三专题练习）若实数x 、y 满足lg x m =、110m y -=，则xy =______________．【答案】10【分析】根据指数式与对数式的关系，将lg x m =转化为指数式，再根据指数运算公式求值.【详解】由lg x m =，得10m x =，所以1110101010m m m m xy -+-=⋅==，故答案为：10.16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()1log 2(0a y x a =+->且1)a ≠的图像恒过定点P ，且点P 在圆220x y mx m +++=外，则符合条件的整数m 的取值可以为__________.（写出一个值即可）【答案】5（不唯一，取4m >的整数即可）【分析】先求定点P 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m 的取值.【详解】因为函数()1log 2a y x =+-的图像恒过定点()1,1，所以()1,1P ；因为点P 在圆220x y mx m +++=外，所以22110m m +++>且240m m ->，解得10m -<<或4m >；又m 为整数，所以m 的取值可以为5,6,7, .故答案为：5（不唯一，取4m >的整数即可）.【B组在综合中考查能力】一、单选题A ．14B ．15C ．16D ．【答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为二、多选题三、填空题四、解答题【C组在创新中考查思维】一、解答题二、单选题则函数()y f x =的图象关于直线令()t f x =因为函数()()()2g x f x af x =+故当()1f x =时，方程()g x =所以，要使函数()()2g x f x =+所以，关于t 方程22t at b ++=所以，由韦达定理得1,a b =-=故选：B【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于1,0a b =-=.三、多选题5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数列说法正确的是（）四、填空题由题意可知，4cos 25θ=，所以22tan 3tan 2,1tan 4θθθ==-解得tan 因为θ为锐角，所以tan 3,1θ=由对称性，不妨取直线AD 进行研究，则直线π1tan tan tan()41tan k θαθθ+==+=-设切点A 的横坐标为1x ，切点e mx y m '=，所以1e 2mx AD k m ==。